福建省师大附中高二数学上学期期中试题 理

福建师大附中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时， +≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0] C．[0，4）D．（﹣4，0）3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2 B．k1＜k＜k3 C．k1≤k≤k3 D．k＜k1或k＞k37．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．49 B．50 C．51 D．5210．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣201411．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）12．数列{a n}满足a1=1， =，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a= ．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n= ．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值为．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i ﹣b i，此时c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．2015-2016学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时， +≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．2．关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，则m应满足的条件是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0] C．[0，4）D．（﹣4，0）【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】若m=0．则﹣1＜0恒成立，若m≠0，由不等式的解集是全体实数可知f（x）=mx2﹣mx﹣1开口向下，△＜0，列出不等式解出m的范围．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣1＜0，恒成立；当m≠0时，∵不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是全体实数，∴，解得﹣4＜m＜0．综上，m的取值范围是（﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键．3．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，S n是{a n}的前n项和，且，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知式子可得数列{a n}的公比，进而可得等比数列{}的首项为1，公比为±，由求和公式可得．【解答】解：∵，∴S8=17S4，∴=16，∴公比q满足q4=16，∴q=2或q=﹣2，∴等比数列{}的首项为1，公比为±，当公比为时，数列{}的前5项和为=；当公比为﹣时，数列{}的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．4．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北α方向上，行驶a千米后到达B处，此时测得此山顶在西偏北β方向上，仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α），此山的高度是（）A．B．C．D．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】先求出BC，再求出CD即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=β﹣α，∠ABC=π﹣β，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=．故选：B．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．6．已知约束条件对应的平面区域D如图所示，其中l1，l2，l3对应的直线方程分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，y=k3x+b3，若目标函数z=﹣kx+y仅在点A（m，n）处取到最大值，则有（）A．k1＜k＜k2 B．k1＜k＜k3 C．k1≤k≤k3 D．k＜k1或k＞k3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据z的几何意义，结合直线斜率之间的关系，即可得到结论．【解答】解：A是l1与l3的交点，目标函数z=﹣kx+y仅在点A处取到最大值，∴直线y=kx+z的倾斜角比l1的要大，比l3的要小，即有k1＜k＜k3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率之间的关系，比较基础．7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3 C．或3 D．3或【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．【解答】解：∵A+B=π﹣C，∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0解之得cosB=0或sinA=3sinB．①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，∵，∴A==，因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．综上所述，的值为或3．故选：C【点评】本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S100＞0，S101＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．49 B．50 C．51 D．52【考点】等差数列的性质．【专题】函数思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a51＞0；a51＜0，进而可得a50＞0，且|a50|＞|a51|，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100==50（a1+a100）=50（a50+a51）＞0，∴a50+a51＞0；同理S101===101a51＜0，∴a51＜0；∴a50＞0，且|a50|＞|a51|，∴k=51故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题．10．已知数列{a n}的前n项和为，令，记数列{b n}的前n项为T n，则T2015=（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2013 D．﹣2014【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质．【分析】利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”可得a n，于是=2（n﹣1）•cos．由于函数y=cos的周期T==4．利用周期性和等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，当n=1时，a1=S1=1﹣1=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．上式对于n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．∴=2（n﹣1）•cos．∵函数y=cos的周期T==4．∴T2015=（b1+b5+…+b2009）+（b2+b6+…+b2010）+（b3+b7+…+b2011）+（b4+b8+…+b2012）+b2013+b2014+b2015=0﹣2（1+5+...+2009）+0+2（3+7+ (2011)+4024•cos+4026•cos+4028•cos=4×503+0﹣4026=﹣2014．故选D．【点评】本题考查了利用“当n=1时，a1=S1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求a n、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，20] D．[﹣4，20）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式：x2﹣2x﹣3≤0，然后a取特殊值验证即可得到答案．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3；观察选项取a=﹣1解不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x≤0可得﹣4＜x＜0显然A不正确；令a=31不等式x2+4x﹣（1+a）＜0即x2+4x﹣32≤0解得﹣8≤x≤4，仅有B正确．故选B．【点评】选择题的解法非常灵活，一定要观察题干和选项，特殊值一定要特殊．是中档题．12．数列{a n}满足a1=1， =，记S n=a i2a i+12，若S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】先求出数列{a n2}的通项公式，再求S n，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．【解答】解：∵a1=1， =，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴a n2=，a n2•a n+12=•=（﹣），∴S n=a i2a i+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜S n≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为t≥30•=7.5，而t为正整数，所以，t min=8．故选C．【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a= 2 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n= ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知求出S1+a1=2，可得S n+na n=2，当n≥2时，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，然后利用累积法求得a n．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，∴S1+1×a1=1+1=2，∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n=2，当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1=2两式作差得（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，从而=，∴（n≥2），当n=1时上式成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，训练了累乘法求数列的通项公式，是中档题．15．若数列{a n}满足﹣=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是 4 ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．【解答】解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99=299=．则b50=2．∴b8+b92≥=2b50=4，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故答案为：4．【点评】本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=AB，再应用余弦定理推出AC2+BC2=5AB2，将+=应用三角恒等变换公式化简得λ=，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出实数λ的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB于D，由于G为重心，故D为中点，∵AG⊥BG，∴DG=AB，由重心的性质得，CD=3DG，即CD=AB，由余弦定理得，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，BC2=BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，∴AC2+BC2=2AD2+2CD2，∴AC2+BC2=AB2+AB2=5AB2，又∵+=，∴+=，则λ===== ==．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为（ax﹣2）（x+1）≥0，且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0，它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}；当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0，不等式对应方程的两个实数根为和﹣1，在﹣2＜a＜0时，＜﹣1，∴不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2时， =﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；在a＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．18．设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{ }是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．19．如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．【解答】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，当，即x=时取得最大角，故点Q应选在距A点km处．【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．20．在△ABC中，已知sinB=cosAsinC（1）判断△ABC的形状（2）若•=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长；（3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形；（2）由数量积的意义可得•=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC，∴sin（A+C）=cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC，∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵•=||2=9，解得AC=3，又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4，由勾股定理可得AB=5；（3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0，设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且，∴d1+d2+d3=x+y﹣=，令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8∴d1+d2+d3的取值范围为[，4]【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．21．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα设∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中， =即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．【点评】本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．22．已知函数．（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若f（x）的最小值为﹣2，求实数k的值；（3）若对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【考点】复合函数的单调性．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；（2），令，则，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可解得k值；（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k=1时易判断；当k ＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；【解答】解：（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因为﹣2x﹣2﹣x=﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，所以k＞﹣2；（2），令，则，当k＞1时，无最小值，舍去；当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；当k＜1时，，最小值为，综上所述，k=﹣8．（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k＞1时，因且，故，即1＜k≤4；当k=1时，f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，且，故，解得；综上所述，【点评】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．四、附加题：23．（2015秋•福建校级期中）研究数列{x n}的前n项发现：{x n}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n﹣1）中的最大者记为a i，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为b i，记c i=a i ﹣b i，此时c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…x n﹣1为等差数列．【考点】等差关系的确定．【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜c n﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，x n﹣1是单调递增数列；再证明x m为数列{x n}中的最小项，从而可求得是x k=c k+x m，问题得证【解答】证明：设c为c1，c2，…c n﹣2，c n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为b i≤b i+1，c＞0，所以a i+1=b i+1+c i+1≥b i+c i+c＞b i+c i=a i，又因为a i+1=max{a i，x i+1}，所以x i+1=a i+1＞a i≥x i．从而x1，x2，…，x n﹣1为递增数列．因为a i=x i（i=1，2，…n﹣1），又因为b1=a1﹣c1＜a1，所以b1＜x1＜x2＜…＜x n﹣1，因此x n=b1．所以b1=b2=…=b n﹣1=x n．所以x i=a i=b i+c i=x n+c i，因此对i=1，2，…，n﹣2都有x i+1﹣x i=c i+1﹣c i=c，即x1，x2，…，x n﹣1是等差数列．【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．。

2012-2013学年度福建师大附中第二学期高二期中考试数学试题（理）参考答案一、选择题：1－12：DBBADC DCCACB 二、填空题： 13．1-14．1615．2π 16．(1,0)-17．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 三、解答题：18．解：（Ⅰ）'22()()2(2)xxxf x e x a e x e x x a =-+=+-依题意得'(0)3f a =-=-，解得3a = ∴2()(3)xf x e x =-，∴(0)3f =- ∴切点为（0,3-）∴切线方程为33y x +=-，即330x y ++=（Ⅱ）2()(3)xf x e x =-，'2()(23)(1)(3)xxf x e x x e x x =+-=-+ 令'()0f x =得，123,1x x =-=x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞'()f x+ 0-+()f x增36e 减 2e - 增 ∴当3x =-时3()f x e =极大，当1x =时()2f x e =-极小19．解：设22212()()()()n f x x a x a x a =-+-++-2222222121212()()()()2()n n n f x x a x a x a nx a a a x a a a =-+-++-=-+++++++∵22212()()()()0n f x x a x a x a =-+-++-≥对x R ∈恒成立、 ∴22222221212124()4()44()0n n n a a a n a a a n a a a ∆=++-+++=-+++≤∴222121n a a a n+++≥，当且仅当12n a a a ===时等号成立∴22212n a a a +++的取值范围是1[,)n+∞20．解：通过观察，猜想S n = a 1+a 2+a 3+……+a n ＝（-1）n+1（1＋2＋3+……+n ）=2)1()1(1+⋅-+n n n 下面用数学归纳法给予证明： （1）当n ＝1时，S 1= a 1＝1，而12)11(1)1(2)1()1(21=+-=+⋅-+n n n ∴当n ＝1时，猜想成立（2）假设当n=k （k≥1，*N k ∈）时，猜想成立，即S k =2)1()1(1+⋅-+k k k 那么S k ＋1=S k ＋a k+1=2)1()1(1+⋅-+k k k ＋21)1()1()1(+⋅-++k k =)]1(2)1[(2)1()1(12++-+⋅--+k k k k=2]1)1)[(1()1()2(2)1()1(1)1(2+++⋅-=++⋅-+++k k k k k k 所以，当n=k+1时，猜想也成立。

福建师大附中2022—2022学年度高二上学期期中考试（数学理）（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷 第I 卷 共60分 一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．22a b > B ．ac bc > C ．22ac bc > D ．a c b c ->- 2．计算︒-5.22sin212的结果等于A ．12 B．2 C． D．3．在等差数列}{n a 中，已知53a =，96a =，则13a =（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18 4．下列命题中是假命题的是（ ）①若2＋2≠0，则，不全为零； ②“若30x ->，则0x >”的逆命题；③“若m>0，则2＋－m=0有实根”的逆否命题； ④“29x =，则3x =”的否命题 A ．① B．② C．③ D．④ 5．若数列{}n a 为递减数列, 则它的通项公式可以为（ ）A ．23na n =+ B ．231n a n n =-++ C ．12n n a =D ．(1)nn a =-6．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，若15=a ，10=b ，A = 60°，则cos B 的值为（ ）A ．－3 B ．3 C．－ D ．7数列{}n a 的通项公式为1(1)(2)n a n n =++，则{}n a 的前10项之和为（ ）A ．14B ．34C ．512D ．7128．在ABC ∆中,若cos cos a B b A = 则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 9．0,0>>y x 且5=+y x ，则y x lg lg +的最大值是（ ）A ．5lgB ．25lgC ．2lg 42-D ．不存在10．设0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为 A ．4 B ．8 C ． 1 D ． 1411．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于 A ．285 B ．4 C ． 125 D ．212．数列{}n a 是递减的等差数列，{}n a 的前n 项和是n S ，且69S S =，有以下四个结论：①80a =； ②当n 等于7或8时，n S 取最大值； ③存在正整数k ，使0k S =； ④存在正整数m ，使2m m S S =；其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④ 第Ⅱ卷 共90分 二、填空题：（每小题4分，共16分）13．若不等式022>++x ax 的解集为R ，则a 的范围是 ．14 已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y 求y x z +=2的最大值15．已知数列满足1133,2,n n a a a n +=-= 则na n 的最小值为 ．16 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为三、解答题：（本大题共6小题，共74分） 17（本小题满分12分）已知()cos cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1）求函数()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且()1f A =，ABC∆的面积为S =4b =，求a 的值18（本小题满分12分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．19（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2nn S a =- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的前项和20．（本小题满分12分）已知函数()f x kx m =+，数列{}n a ，{}n b 满足：当11[,]x a b ∈时，()f x 的值域是22[,]a b ；当22[,]x a b ∈时，()f x 的值域是33[,]a b ，……，当x ∈11[,]n n a b --*(,2)n n ∈N ≥且时，()f x 的值域是[,]n n a b ，其中k ,m 为常数，110,1a b ==．1若1k =,2m =，求2a ,2b 以及数列{}n a 与{}n b 的通项；2若2k =，且数列{}n b 是等比数列，求m 的值；（附加题：5分，记入总分，但总分不超过150分）3若0k >，设{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，求12()n T T T +++…12()n S S S -+++…．21（本小题满分12分） 已知{}n a 为递增等比数列，且{}{}16,4,3,1,0,2,6,10,,531---⊂a a a（1）求数列{}n a 的通项公式（2）是否存在等差数列{}n b ，使得221123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 对一切*N n ∈都成立若存在，求出n b ；若不存在，说明理由22．（本小题满分14分）已知函数()()x k kx x f 12-+= （k 为常数） （1）若2=k ，解不等式();0>x f （2）若0>k ，解不等式();0>x f（3）若0>k ，且对于任意[),,1+∞∈x 总有()()11≥+=x x f x g 成立，求k 的取值范围．参考答案1－12：DBABC DCDCA BD13、18a >14、3 15、212 16、517、解：()xx x x f sin 23cos 21cos +-==x x sin 23cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πx 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,6ππx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,36πππx ， 所以()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ上的最小值为23，最大值为1因为()1=A f ，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为π<<A 0，所以06A ππ<+<，所以3π=A36sin 21==A bc S ，解得6=c28cos 2222=-+=A bc c b a ，4=b所以72=a 18、解：设该扇形的半径为r 米 由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，22022cos60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅= 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=解得490011r =445≈（米）答：（略））解法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H由题意，得CD=500（米），AD=300（米），0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中∴ AC=700（米）（也可在ACD ∆中求AC ）22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米）∴cos AHOA HAO =∠490044511=≈（米）答：（略）19、解：1又当2n ≥时11(2)(2)n n n n n a S S a a --=-=--- 1n n a a -=-∴12n n a a -=， 11a =∴数列{}n a 是等比数列,其首项为1,公比为12 ， ∴11()2n n a -=（2）2n n S a =-=112()2n --，记{}n S 的前项和为0111112()2()2()222n n T -=-+-++-11()22112nn -=--11222n n -=-+20、解：1因为1k =,2m =，所以()2f x x =+在R 上是增函数， 所以2122a a =+=，2123b b =+=12n n a a -=+，*12(,2)n n b b n n -=+∈N ≥且 所以数列{}n a 与{}n b 是公差为2的等差数列又110,1a b ==，所以2(1)n a n =-，21n b n =-（2）因为2k =，所以()2f x x m =+在R 上是增函数， 所以12n n b b m +=+，*n ∈N又因为{}n b 是等比数列，所以0n b ≠法一：于是12n nn b mb b +=+（是常数）所以0m =或{}n b 是常数列，又11b =，所以若{}n b 是常数列，则必有21221b b m m =+=+=，即1m =-综上，0m =或1m =- 法二：}{}{1232123**1,2,22(2)43,,143=+(1)00212112110101()11()n n n n n n b b m b b m m m m b b b m m m m b b m b b n N b n N b ==+=+=++=+∴⨯+∴+=∴==∴=-=-∴-=--=∴-=∴=∈=∴=∈∴2n+1n+1n+11n+1n+11成等比（）（2m ）或m=1当m=0时，b 此时是等比数列当时，b b （）又b b b 又b 此时也是等比数列综上所述，m=0 1.m =-或（附加题）（3）因为0>k ，所以()m kx x f +=在R 上是增函数，所以2,,,*11≥∈+=+=--n N n m kb b m ka a n n n n 两式相减得()2,,*11≥∈-=---n N n b a k a b n n n n 即{}n n a b -是以11a b -为首项，k 为公比的等比数列所以()1111--=-=-n n n n k a b k a b ()*N n ∈()()n n n n a a a b b b S T +++-+++=- 2121()()()⎪⎩⎪⎨⎧--=-++-+-=k k na b a b a b n n n 112211 ()()1,01≠>=k k k()()n n S S S T T T +++-+++ 2121()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++-+=-++-+-=+2122111121S k n k n k n n S T S T T n n n ()()1,01≠>=k k k21解：（1）因为{}n a 是递增的等比数列，所以数列{}n a 的公比q 是正数，又{}{}135,,1,6,2,0,1,3,4,16a a a ⊂---，所以16,4,1531===a a a从而1111322,2,4--=====n n n q a a q a a q ，所以12-=n n a（2）假设存在满足条件的等差数列{}n b ，其公差为d ，则当1=n 时111=b a ，法一： 又11=a ，11=∴b ；当2=n 时，.2,4,42121221==+=+b b b b a b a则112=-=b b d ()().11111n n d n b b n =⨯-+=-+=∴以下证明当n b n =时，221123121--=++++--n b a b a b a b a n n n n n 对一切*N n ∈都成立。

福建省师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题（平行班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若a＜b＜0，则（）A. B. C. D.2.从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A. 480B. 481C. 482D. 4833.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球．设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是（）A. P与R是互斥事件B. P与Q是对立事件C. Q和R是对立事件D. Q和R是互斥事件，但不是对立事件4.A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是x A，x B，观察茎叶图，下列结论正确的是（）A. ，B比A成绩稳定B. ，B比A成绩稳定C. ，A比B成绩稳定D. ，A比B成绩稳定5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A. 24里B. 12里C. 6里D. 3里6.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a3+a9=27-a6，则S11=（）A. 18B. 99C. 198D. 2977.已知正实数x，y满足，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A.B.C.D.9.若关于x的不等式x2+mx+2＞0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.10.已知x，y满足约束条件，若的最大值为2，则m的值为（）A. 4B. 5C. 8D. 911.某个泊位仅供甲乙两艘轮船停靠，甲乙两艘轮船都要在此泊位停靠6小时．若他们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率（）A. B. C. D.12.在△ABC中，D是边BC上一点，AB=AD=AC，cos∠BAD=，则sin C=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______．14.下列说法错误的是______．①．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题．②．命题p：∃x0∈R，x02-2x0+4＜0，则￢p：x2-2x+4≥0③．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”④．特称命题“∃x∈R，使-2x2+x-4=0”是真命题．15.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，a=2，则b+c的最大值是______16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a=2，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设p：≤1，q：x2-（2a+1）x+a（a+1）＜0，若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18.一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n个学生的成绩（满分为100分）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（图中仅列出得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）现从在[80，90）和[90，100]的两组的成绩中随机抽取2个，求它们属于同一组的概率．19.在△ABC中，∠B=，AB=4，点D在BC上，且CD=3，cos∠ADC=．（I）求sin∠BAD；（Ⅱ）求BD，AC的长．20.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=1-（n∈N*）．（1）设b n=，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n c n+1}的前n项和T n．21.新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税．某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如表：（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y（万辆）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整．已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：差s2及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（ii）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．参考公式及数据：①回归方程，其中，；②．。

福建省师大附中高二上学期期中考试（数学理）（满分：150分，时间：1）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1、设2(2),(1)(3),M a a N a a =-=+-则有（ **** ） A ．M N > B ．M N ≥ （等号定能取到） C ．M N < D ．M N ≤ （等号定能取到）2、在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11S ( **** ) A ．18B ．99C ．198D ．2973、若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（****）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，11a b<则C ．若0a b <<,b a a b>则 D ．若0a b <<，则22a ab b >> 4、下列函数中，最小值为4的是 （**** ） A ． 4y x x =+（3x ≥） B ． 4sin sin y x x=+ (0)x π<< C ． e 4exxy -=+ D ．3log 4log 3x y x =+5、已知ABC ∆满足sin 2cos sin C B A =，则ABC ∆的形状是（ **** ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 6、记等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则105S S 等于（ **** ） A ． 3- B ． 5 C ． -31 D ．33 7、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ **** ） A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b=2 ,∠A=30°C ． a=1,b=2,∠A=100°D ． b=c=1, ∠B=45°8、北京第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为，则旗杆的高度为( **** )A ．10米B ．30米 C．米 D．9、若不等式组0024x y y x y x s≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是 ( **** )A ．0<s ≤2或s ≥4B ．0<s ≤2C ．2≤s ≤4D ．s ≥410、如果数列{}n a 满足:121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a 等于（ **** ）。

福建师大附中2016-2017学年第一学期模块考试卷高二数学（文科）本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若a ＞b ＞0，下列不等式成立的是（***）A ．a 2＜b 2B ．a 2＜ab C ．＜1 D ．＞ 2．在△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a=，c=，∠A=，则∠C 的大小为（***） A ．或B ．或C ．D ．3．原点和点（1，1）在直线x+y ﹣a=0两侧，则a 的取值范围是（***） A ．0≤a ≤2 B ．0＜a ＜2 C ．a=0或a=2 D ．a ＜0或a ＞2 4．在△ABC 中，已知C b B c C B bc 2222sin sin cos cos 2+=，则这个三角形一定是（***） A ．等腰三角形 B ． 等腰直角三角形 C ． 直角三角形 D ． 等边三角形 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d=2，S k+2﹣S k =24，则k=（***） A ．8 B ． 7 C ． 6 D ． 5 6．下列命题正确的是（***） A ．143107+<+ B ．对任意的实数x ，都有x 3≥x 2﹣x+1恒成立．C ．()R x x x y ∈++=2224 的最小值为2 D ．y=2x （2﹣x ），（x ≥2）的最大值为2 7．已知三角形△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（***） A ．15 B ．18C ．21D ．248．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小，则a 的取值范围是（***） A ．20a -<< B ．10a -<< C ．31a -<< D ．02a << 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（***） A ．尺 B ．尺C ．尺 D ．尺10.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（***）A ．10≤<a 或34≥aB ． 10≤<aC ．10<≤a 或34>a D ．10<<a11．数列{a n }的通项公式a n =ncos+1，前n 项和为S n ，则S 2014=（***）A ．1005B ．1006C ．1007D ．100812．已知单调递增数列{a n }满足a n =3n ﹣λ•2n （其中λ为常数，n ∈N +），则实数λ的取值范围是（***）A ．λ≤3B ．λ<3C ．λ≥3D ．λ>3第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答卷的相应位置. 13.已知关于x 的不等式ax 2﹣（a+1）x+b ＜0的解集是{x|1＜x ＜5}，则a+b= *** 14.设,x y R +∈且291=+yx ,则x y +的最小值为 *** 15．数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，111,3(1)n n a a S n +==≥，则n a = ***16.如图，第1个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正 三角形，并擦去中间一段，得第2个图，如此继续下去，得第3个图，……，用n a 表示第n 个图的边数，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于 ***三、解答题：本大题有6题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分） 在ABC △中，5cos 13B =-，3sin 5C = 第1个图 …第2个图第3个图（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．18.（本题满分12分） （Ⅰ）若函数2()f x x kx k =--定义域为R ，求k 的取值范围;（Ⅱ）解关于x 的不等式（x ﹣a ）（x+a ﹣1）＞0．19.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，满足22243()S a b c =+- （I ）求角C 的大小；（II ）若边长2c =，求ABC ∆的周长的最大值．20．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足122()n n n a a a n N *++=+∈，它的前n 项和为n S ，且575,28a S ==。

2020-2021学年度福建师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试卷【含解析】一、单选题1．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示： 若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A ．30B ．25C ．22D ．20【答案】D【解析】()50 1.000.750.250.220⨯++⨯=，故选D ．2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为（a ，），则a<0，b>0.直线y ＝－，其斜率k ＝>0，在y 轴上的截距为－>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．【解析】圆与直线.3．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 A ．9a ≤ B ．8a ≥C ．9a ≥D ．10a ≥【答案】B【分析】根据题意可知，利用参数分离的方法求出使命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的a 的取值范围，a 的取值范围构成的集合应为正确选项的真子集，从而推出正确结果． 【详解】命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题9a ∴≥根据选项满足是9a ≥的必要不充分条件只有8a ≥，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了简单的不等式恒成立问题以及求一个命题的必要不充分条件． 4．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29sD ．32x +，292s +【答案】C【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案. 【详解】由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x 的平均数为1231001()100x x x x x =++++数据1210032,32,,32x x x +++的平均数为：121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100x x x x x x x ++++++=++++⨯=+， 数据12100,,,x x x 的方差为2222121001[()()()]100s x x x x x x =-+-++-，数据1210032,32,,32x x x +++的方差为：222121001{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100x x x x x x +-+++-++++-+ 2222121001[9()9()9()]9100x x x x x x s =-+-++-= 故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．设不等式224x y +≤表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则2x y +≤的概率是（ ）A ．1ππ- B ．2ππ- C ．1πD ．2π【答案】D【分析】不等式224x y +表示的平面区域为圆心为()0,0半径为2的圆内部，面积为4π；满足||||2x y +≤的平面区域的面积为8，即可得出结论．【详解】依题意得，如下图，分别画出224x y +和||||2x y +≤表示的区域， 不等式224x y +表示的平面区域D 是圆心为()0,0半径为2的圆内部，所以面积为4π； 而||||2x y +≤表示的区域为边长22的正方形内部，面积为8， 要满足||||2x y +≤且满足224x y +表示的平面区域的面积为8， 得出所求概率为824ππ=． 故选：D ．【点睛】本题考查几何概型，其中运用了线性规划表示的平面区域和圆的方程，考查对图形的理解能力，正确求出面积是关键．6．已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．30 B ．40C ．60D ．80【答案】B【分析】由题可知点()0,4P 在圆内，则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦，过()0,4P 最长的弦BD 为直径，求出后即可求出四边形面积.【详解】圆M 的标准方程为()()223425x y -+-=，即圆是以()3,4M 为圆心，5为半径的圆，且由()()220344925-+-=<，即点()0,4P 在圆内，则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦，所以22592AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以8AC =，过()0,4P 最长的弦BD 为直径，所以10BD =， 且AC BD ⊥，故而1402ABCD S AC BD =⋅⋅=. 故选：B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题.7．在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】基本事件总数336n A ==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C ==,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率. 【详解】由题意，基本事件总数336n A ==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C ==，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为2163m P n ===, 故选：B【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.8．平面内到两个定点的距离之比为常数(1)k k ≠的点的轨迹是阿波罗尼斯圆．已知曲线C 是平面内到两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离之比等于常数(1)a a >的阿波罗尼斯圆，则下列结论中正确的是（ ） A ．曲线C 关于x 轴对称 B ．曲线C 关于y 轴对称 C ．曲线C 关于坐标原点对称 D ．曲线C 经过坐标原点 【答案】A【分析】先根据阿波罗尼斯圆的定义求得这个曲线C 的方程，再根据所求得的方程对选项逐一进行排除，从而得出正确选项.【详解】设动点(),P x y ()()222211x y a x y ++=-+，两边平方并化简得2222221211a a x y a a ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故圆的圆心为221,01a a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，半径为221ar a =-.由此可知圆关于x 轴对称，不关于y 轴，原点对称.B,C 选项错误，A 选项正确.由于1a >，221212a a a +>⋅=，所以2221211a aa a +>--，故圆不经过坐标原点，D选项是错误的.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查对新概念的理解，考查图形的对称性，属于中档题.二、多选题9．下列4个说法中正确的有（ ）①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”； ②若00:0,sin 1p x x ∃≥>，则:0,sin 1p x x ⌝∀≥≤； ③若复合命题：“p q ∧”为假命题，则p ，q 均为假命题； ④“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件. A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】ABD【分析】由命题的逆否命题的形式可判断①；由特称命题的否定是全称命题可判断②；由复合命题的真值表可判断③；由充分不必要条件的定义和二次不等式的解法可判断④，进而可得正确选项.【详解】对于①：命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”，故①正确；对于②：若00:0,sin 1p x x ∃≥>，则:0,sin 1p x x ⌝∀≥≤，故②正确；对于③：若复合命题：“p q ∧”为假命题，则p 、q 至少有一个是假命题；故③不正确； 对于④：2x >能推出2320x x -+>，但2320x x -+>不一定有2x >成立，1x <也成立，所以“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故④正确， 所以①②④正确， 故选：ABD10．（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=【答案】AB【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．2211k k =++，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB【点睛】此题考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题 11．以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A ．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13B ．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为23C ．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12【答案】BCD【分析】结合选项，利用树状图和列举法，求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，逐项求解，即可求解.【详解】对于A 中， 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，共有339⨯=种情形， 结合树状图，可得玩一局甲不输的情况，共有236⨯=种情形， 所以玩一局甲不输的概率是6293=，所以A 不正确；对于B 中，设1名男生为a ，两名女生分别为,A B ，则从这3人中选取2人包含：(,),(,),(,)a A a B A B ，共3种选法， 其中选中一男一女同学包含：(,),(,)a A a B ， 所以选中一男一女同学的概率为23，所以B 正确； 对于C 中，将一个质地均匀的正方体骰子，先后抛掷2次，共有36种不同的结果， 其中点数和为6的有：(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共有5种， 所以点数之和是6的概率是536，所以C 正确； 对于D 中，从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是232412C P C ==，所以D 是正确的.故选：BCD 。

福建师大附中-第一学期高二数学模块考试卷必修5(理科)（满分：150分，时间：1）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1、设2(2),(1)(3),M a a N a a =-=+-则有（ **** ）A ．M N >B ．M N ≥ （等号定能取到）C ．M N <D ．M N ≤ （等号定能取到）2、在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11S ( **** ) A ．18 B ．99 C ．198D ．2973、若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（****）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，11a b<则 C ．若0a b <<,b a a b>则 D ．若0a b <<，则22a ab b >> 4、下列函数中，最小值为4的是 （**** ）A ． 4y x x =+ （3x ≥）B ． 4sin sin y x x=+ (0)x π<<C ． e 4e x xy -=+ D ．3log 4log 3x y x =+5、已知ABC ∆满足sin 2cos sin C B A =，则ABC ∆的形状是（ **** ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形6、记等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则105S S 等于（ **** ） A ． 3- B ． 5 C ． -31 D ．33 7、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ **** ）A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b=2 ,∠A=30°C ． a=1,b=2,∠A=100°D ． b=c=1, ∠B=45°8、北京第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为( **** )A ．10米B ．30米 C． D．9、若不等式组0024x y y x y x s≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是 ( **** )A ．0<s ≤2或s ≥4B ．0<s ≤2C ．2≤s ≤4D ．s ≥410、如果数列{}n a 满足:121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a 等于（ **** ）。

福建省师大附中2021 2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题福建省师大附中2021-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题福建师范大学附中2022-2022学年第一学期实验班模块试卷高二数学（理科）必修5本文共4页。

满分为150分，考试时间为120分钟注意事项：试卷分第i卷和第ii卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第一卷60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只以下结论之一是正确的：（a）当x？0和X？1点，lgx？11? 2B。

x什么时候？在0，x？？2lgxxc。

x什么时候？两点，x？最小值11为2D。

什么时候？十、两点，x？没有最大值XX2。

关于x的不等式MX2？mx？1.如果0的解集都是实数，那么m应该满足的条件是（）A.[4,0]B？？4,0? c、 ?。

？0,4? d、。

？？4,0? 3.已知系列？一是第一项为1的等比序列，Sn是？一前5项的总和是（）as411?，则数列{}ans817311*********或b．或c．d．1616161616164．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到a处时测得公路北侧远处一山顶d在西偏北?方向上，行驶a千米后到达b处，此时测得此山顶在西偏北?方向上，仰角为?,根据这些测量数据计算(其中???)，此山的高度是（）a．阿辛？罪阿辛？棕褐色的阿辛？罪b、 c。

sin(???)sin(???)sin(???)asin?tan?罪（？？？）d。

5．在?abc中，①若b?60?，a?10，b?7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角；③若?abc为锐角三角形，且三边长分别为2,3,x，则x的取值范围是5?x?13．其中正确命题的个数是（）a．0b．1c．2d．36.图中显示了与已知约束相对应的平面区域D，其中与L1、L2和L3相对应的线性方程分别为：yL3oa（m，n）l1l2x在点a（m，n）处取最大y？k1x？b1，y？k2x？b2，y？k3x？B3，如果目标函数Z？？kx？如果y只是一个值，那么就有（）a．k1?k?k2b.k1?k?k3c.k1?k?k3d.k?k1或k?k37.在哪里？在ABC中，角a、B和C的对应边是a、B、C和sinc？罪（a？b）？3sin2b。

福建师大附中2018-2019学年上学期期中考试高二（理科平行班）数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.若a＜b＜0，则2.从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为A．480 B．481 C．482D．4833.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是A．P与R是互斥事件B．Q与R是互斥事件，但不是对立事件C．P与Q是对立事件D．Q与R是对立事件4.已知A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是x A，x B，观察茎叶图，下列结论正确的是A．x A<x B，B比A成绩稳定B．x A>x B，B比A成绩稳定C．x A<x B，A比B成绩稳定D．x A>x B，A比B成绩稳定5.中国古代数学著作“算法统宗”中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步使步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为A．24里B．12里C．6里D．3里6.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a3＋a9＝27－a6，则S11＝A ．18B ．99C ．198D ．2977.若两个正实数x ,y 满足112=+yx ,且m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的取值范围是 A ．)2,4(- B ．)4,2(-C ．),2[]4,(+∞⋃--∞D ．),4[)2,(+∞⋃--∞8.执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?9.若关于x 的不等式220x mx ++>在区间[1,2]上有解，则实数m 的取值范围为 A．[)-+∞B．()-+∞C ．[3,)-+∞D ．(3,)-+∞10.已知x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x ，若1+x y 的最大值为2，则m 的值为A ．4B ．5C ．8D ．911.某个泊位仅供甲乙两艘轮船停靠，甲乙两艘轮船都要在此泊位停靠6小时.若他们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 A ．41B ．31C ．167D ．16912.在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，AC AD AB 22==，31cos =∠BAD ，则=C sin A ．32B ．33C ．36D ．23 Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共20分. 13.设y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤≤0131y x x ，则y x z -=2的最大值为 .14. 下列说法正确的是 . （写出所有正确说法的序号）①如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题；②命题“042,0200<+-∈∃x x R x ”的否定是“042,2≥+-∈∀x x R x ”.③命题“若0=a ，则0=ab ”的否命题是：“若0≠a ，则0≠ab ”④特称命题 “R x ∈∃0，使042020=-+-x x ”是真命题.15.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ABa b c cos cos 2=-，52=a ，则b +c 的最大值是 .16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且 02,60a A ==，若三角形有两解，则b 的取值范围为 .三、解答题:6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 设31:12x p x -≤-，2:(21)(1)0q x a x a a -+++<，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 18．（12分）一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n 个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60)， [90,100]的数据）.(1)求样本容量n 和频率分布直方图中,x y 的值；(2)现从在[80,90)和[90,100]的两组的成绩中随机抽取2个，求它们属于同一组的概率.19.（12分）在ABC △中，π4B ∠=，AB =点D 在BC 上，且3CD =，cos ADC ∠． (1)求sin BAD ∠； (2)求BD ，AC 的长．20．（12分）已知数列{}n a 满足()*+∈-==N n a a a nn 411,111.(1)设122-=n n a b ，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；(2)设14+=n a c nn ，求数列{}1+n n c c 的前n 项和n T . 21．（12分）2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y （万辆）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程∧∧∧+=a t b y ，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；(2)2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值X 的样本方差2s 及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）. 参考公式及数据：①回归方程∧∧∧+=a t b y ，其中t b y a tn ty t n yt b ni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑,1221；②8.1851=∑=i i i y t .22．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，*23()n n S a n n =-∈N ． (1)求出数列{}n a 的通项公式；(2)设)3(312+-=n n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ； (3)若对任意的*N n ∈,不等式92)63(-≥++n n S k n 恒成立,求实数k 的取值范围.福建师大附中2018-2019学年上学期期中考试高二（理科平行班）数学评分标准 一、选择题：二、填空题：13. 3 14. ①②③ 15. 54 16. )334,2( 三、解答题: 17.解：由3112x x -≤-得31211022x x x x -+-=≤--∴221<≤-x ，即221:<≤-x p ………………………………………………3分由2(21)(1)0x a x a a -+++<得()[(1)]0x a x a --+<∴1+<<a x a ，即1:+<<a x a q ………………………………………………3分∵q ⌝是p ⌝的必要不充分条件 ∴p 是q 的必要不充分条件 ∴)2,21[)1,(-⊂+a a ………………………………………………8分∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥2121a a ，解得121≤≤-a .………………………………………………10分 18.解：（1）由题意可知，样本容量8400.0210n ==⨯，2100.00540y =÷=，10.020.040.010.005)100.02510x -+++⨯==(．………………6分（2）成绩在[80,90)的共有4个，设这4个成绩分别为4321,,,a a a a ；成绩在[90,100]共有2个，设这2个成绩分别为21,b b .现从在[80,90)和[90,100]的两组的成绩中随机抽取2个，基本事件有：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(212414231343221242322111413121b b b a b a b a b a a a b a b a a a a a b a b a a a a a a a 共有15个.同属同一组的共有7个，所以属于同一成绩组的概率为157.…………………12分 19.解：（1）∵πADC ADB ∠+∠=，且cos ADC ∠，∴cos ADB ∠=，∴sin ADB∠=2分由πB ADB BAD∠+∠+∠=得，sin sin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sinB ADB B ADB=∠∠+∠∠(==………………………………………………6分（Ⅱ）在ABD△中，由正弦定理得sin sinBD ABBAD ADB=∠∠，sin2sinAB BADBDADB⋅===∠∠………………………………………………………………………………………………9分在ABC△中，由余弦定理得2222cosAC AB BC AB BC B=+-⋅⋅∠32252517=+-⨯=∴AC=12分20. (1)∵b n+1－b n＝22a n＋1－1－22a n－1＝22⎝⎛⎭⎪⎫1－14a n－1－22a n－1＝4a n2a n－1－22a n－1＝2…4分∴数列{b n}是等差数列．∵a1＝1，∴b1＝2，因此b n＝2＋(n－1)×2＝2n，…………6分由b n＝22a n－1得a n＝n＋12n.…………………………………………………………7分(2)由c n＝4a nn＋1，a n＝n＋12n得c n＝2n，……………………………………………………8分∴)111(4)1(41+-=+=+nnnnccnn……………………………………………………10分∴T n14)1113121211(4+=+-+⋅⋅⋅+-+-=nnnnTn.………………………………12分21.解：（1）易知04.1,3==yt，555432122222512=++++=∑=iit……………………………………………………2分08.0332.004.1,32.0955504.1358.1855512251=⨯-=-==⨯-⨯⨯-=--=∧∧==∧∑∑t b y a tt yt yt b i i i ii ，………5分则y 关于t 的线性回归方程为08.032.0+=∧t y ， 当6=t 时，00.2=∧y ，即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆……………………6分. （2）（i ）根据题意，这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值X 的平均值x ，样本方差2s 及中位数的估计值分别为：，…………8分……………………………………………10分中位数的估计值为.……………………………………12分22.解：（1） 23n n S a n =-，*()n ∈N ①，∴当1n =时，11123a S a ==-，得13a =，……………………………………………1分 当2n ≥时1123(1)n n Sa n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，………………………………………2分∴132(3)n n a a -+=+，136a +=∴数列{}3n a +是以6为首项，2为公比的等比数列， ∴136232n n n a -+=⋅=⋅，∴323n n a =⋅-． ………………………………………………………………4分 （2）由题意，2121(3)32(21)233n n n n n n b a n --=+=⋅⋅=-⋅，……………………5分∴1231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯， 23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得2312222222(21)2n n n T n +=--⨯-⨯-⨯+-⨯ 23122(222)(21)2n n n +=--⨯++++-⨯2112(12)22(21)212n n n -+-=--⨯+-⨯-31122(12)(21)2n n n -+=-+-+-⋅ 112822(21)2n n n ++=-+-⋅+-⋅16(23)2n n +=+-⋅．………………………………………………………………8分（3）1233263n n nS a n n +=-=⋅--∵对任意的*N n ∈,不等式92)63(-≥++n n S k n 恒成立∴对任意的*N n ∈,不等式12392+⋅-≥n n k 恒成立………………………………………9分 设12392+⋅-=n n n c则21212321123922372++++⋅-=⋅--⋅-=-n n n n n n n n c c当1≤n ≤5时，c n+1-c n >0，即c n+1>c n 当n ≥6时c n+1-c n <0，即c n+1<c n∴(c n )max =c 6=1281……………………………………………………………………11分∴1281≥k ……………………………………………………………………12分。

福建师大附中2016-2017学年第一学期模块考试卷高二数学必修5(理科)（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．若a ＞b ＞0，下列不等式成立的是（***** ）A ．a 2＜b 2B ．a 2＜abC ．＜1D ．＞ 2．原点和点（1，1）在直线x+y ﹣a=0两侧，则a 的取值范围是（***** ）A ．0≤a ≤2B ．0＜a ＜2C ．a=0或a=2D ．a ＜0或a ＞2 3．在ABC ∆中，01,3,60AB AC A ==∠=，则ABC ∆的面积为（***** ） A ．32 B ．34 C ．32或3 D ．32或344．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=（***** ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 35 5．在△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a=，c=，∠A= ，则∠C 的大小为（***** ）A ．或B ．或C ．D ． 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．若sin B •sin C=sin 2A ，则△ABC 的形状是（***** ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（***** ）A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺8.若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,0,0,a a a a a >⋅<+>则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( ***** )A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 0159.若x ，y 满足且z=2x +y 的最大值为6，则k 的值为（ ***** ） A ．﹣1 B ．1 C ．﹣7 D ．710．若两个正实数x ，y 满足+=1，且不等式x +＜m 2﹣3m 有解，则实数m 的取值范围（ ******* ）A ．(1,4)-B ．(,1)(4,)-∞-+∞C ．(4,1)-D ．(,0)(3,)-∞+∞11．已知函数f （x ）=4x 2﹣1，若数列1{}()f n 前n 项和为S n ，则S 2015的值为（*****） A ． B ． C ．D ． 12．已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，1132n n n a a a +=+，1n n a b =，则使101n b >的最小 的n 为（******* ） A ．4 B ．5 C ．6D ．7 第Ⅱ卷 共90分二、填空题：（每小题5分，共30分）13．在数列{}n a 中，1112,,1n n na a a a ++=-=- 则2016a = ********** . 14．若35x x a -++>对于任意x R ∈均成立，则实数a 的取值范围 ******* .15．设,a b R +∈，且2,a b +=则2ab 的最大值为 ********* .16．在数列{}n a 中，111,2,,n n n a a a n N *+=-=∈则n a = ********* .17．已知x ，y 满足41y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为 ******* ．18．如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求060=∠ACB ，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米 为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，则AC 最短为 ******* 米.三、解答题：（本大题共5小题，共60分）19．（本小题满分12分）已知函数()2f x x a x =++- C A B（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，A B C 、、是三内角，a b c 、、分别是A B C 、、的对边，已知22sin )()sin A C a b B -=-，ABC ∆．(1) 求角C ；(2) 求ABC ∆面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，首项13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的 首项11b =，且2212a b =，3220S b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求{}n n a b 的前n 项和T n ．22．（本小题满分12分）某企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为210元，生产一件产品B 的利润为90元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为多少元.23．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S -=+ (2)n ≥，12a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21,log n nb a T n =b n +1+b n +2+…+b 2n ，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有T n ＞恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．福建师大附中2016-2017学年第一学期模块考试卷解答一、选择题： C B B B D ；CACBB ；DC第Ⅱ卷 共90分三、填空题：13．3 ；14．8a < 15．322716．21n - 17． 18．32+三、解答题：（本大题共5小题，共60分）19．（本小题满分12分）（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩1x ⇔≤或4x ≥，解集为{|41}x x x ≥≤或.（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤20.（本小题满分12分）解：(1)由已知，由正弦定理得：22)()]()222a c b a b R R R-=-，因为R ，所以222a c ab b -=-，即：222a b c ab +-=，由余弦定理得：2cos ab C ab =，所以1cos 2C =．又0C π<<，所以=3C π．(2)由正弦定理得：2sin sin3c R C π===，由余弦定理得：226a b ab +-= 所以2262a b ab ab +=+≥，即：6ab ≤所以11=sin 622S ab C ≤⋅=，当且仅当a b ==S21．（本小题满分12分）解：（1）设公差为d ，公比为q ，则a 2b 2=（3+d ）q=12①S 3+b 2=3a 2+b 2=3（3+d ）+q=20②联立①②可得，（3d +7）（d ﹣3）=0∵{a n}是单调递增的等差数列，d＞0．则d=3，q=2，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n，b n=2n﹣1…（2）T n=3•1+6•2+9•4+…+3n•2n﹣1，①2T n=3•2+6•4+9•8+…+3n•2n，②①﹣②得：-T n=3+3（2+4+…+2n﹣1）-3n•2n=3（1+2+4+…+2n﹣1）-3n•2n=31212n---3n•2n∴T n=3+3（n﹣1）•2n22．（本小题满分12分）解：设生产产品A、产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么由题意得约束条件：目标函数2100900z x y=+.约束条件等价于①作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将2100900z x y=+变形，得73900zy x=-+，作直线：73y x=-并平移，当直线73900zy x=-+经过点M时，z取得最大值.1.50.5150,0.390,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩3300,103900,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标为(60,100). 所以当60x =， 100y =时，max210609010021600z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为21600元.23．（本小题满分12分）解：（1）由已知a n =S n ﹣1+2，①a n +1=S n +2，②②﹣①，得a n +1﹣a n =S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2），∴a n +1=2a n （n ≥2）．又a 1=2，∴a 2=a 1+2=4=2a 1，∴a n +1=2a n （n=1，2，3，…）∴数列{a n }是一个以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n =2•2n ﹣1=2n ．（2）b n ===，∴T n =b n +1+b n +2+…+b 2n =++…+， T n +1=b n +2+b n +3+…+b 2（n +1） =++…+++． ∴T n +1﹣T n =+﹣==．∵n 是正整数，∴T n +1﹣T n ＞0，即T n +1＞T n ．∴数列{T n }是一个单调递增数列，又T 1=b 2=，∴T n ≥T 1=，要使T n ＞恒成立，则有＞，即k ＜6，又k 是正整数，故存在最大正整数k=5使T n ＞恒成立．。

2021-2022学年福建师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，32-）的直线l 的方程是（ ） A ．3x +2y －1＝0B ．3x +2y +1＝0C ．2x +3y +1＝0D ．x －2y －3＝0【答案】A 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率k 的值，代入点斜式方程，求出直线方程即可.【详解】直线l 的一个方向向量为（1，32-），且经过（1，－1）， 故直线l 的斜率k ＝32-， 故直线方程为：y +1＝32-（x －1），即3x +2y －1＝0， 故选：A.2．圆()22:39A x y -+=与圆22:812270B x y x y +--+=的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离 【答案】C【分析】求出圆心距，与两半径的和差比较可得．【详解】圆心A ，圆心为(3,0)A ，半径为3r =，圆B 标准方程为22(4)(6)25x y -+-=，圆心为(4,6)B ，半径为5R =．AB ，显然5353-<+，所以两圆相交．故选：C ．3．已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．－1【答案】D【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a 2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：，若直线12122112211221000l l A B A B AC A C B C B C ⇔-=-≠-≠且（或）； 4．设函数f （x ）＝sin2x ，x ∈R ，若π0,2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，函数()f x θ+是偶函数，则θ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】C【分析】由诱导公式和余弦函数为偶函数，可得ππ24k θ=+（Z k ∈），再由θ的范围，可得所求值. 【详解】函数f （x ）＝sin2x ，x ∈R ，函数f （x +θ）＝sin2（x +θ）＝sin （2x +2θ）， 由于f （x +θ）是偶函数，可得2θ＝k π+π2（k ∈Z ）， 即ππ24k θ=+（k ∈Z ）， 由θ∈[0，π2），可得θ的值为π4. 故选：C.5．正方体中，M 是1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上的任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为A ．45B ．60C ．90D ．与点P 的位置有关【答案】C【详解】试题分析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =---，(0,2,1)AM =-，∴(1)012(2)(1)0OP AM x ⋅=-⋅-⨯+-⨯-=，即OP AM ⊥，故夹角为2π，故选C. 【解析】异面直线的夹角.【名师点睛】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择“端点，中点，等分点”，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.6．直线y ＝x +b 与曲线21x y =--有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b ＝±2B ．－1＜b ≤1或b ＝2-C ．－1≤b ＜1或b ＝2D ．－2≤b ≤2【答案】C【分析】把曲线方程整理后可知其图像为半圆，进而画出图像来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第二象限与曲线相切，交曲线于（0，1）和（－1，0），及与曲线交于点（0，－1），分别求出b ，则b 的范围可得.【详解】曲线21x y =--有即 x 2+y 2＝1 （x ≤0），表示一个半圆（单位圆位于x 轴及x 轴左侧的部分）.如图，则A （0，1）、B （－1，0）、C （0，－1），当直线y ＝x +b 经过点C 时，－1＝0+b ，求得 b ＝－1；当直线y ＝x +b 经过点B 、点A 时，0＝－1+b ，求得b ＝1；当直线y ＝x +b 和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12b =b 2，或 b ＝2（舍去），故要求的实数b 的范围为－1≤b ＜1或b ＝2，故选：C. 7．已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，ABC 为等边三角形且其面积为334，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，则球O 的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π 【答案】D【分析】由正弦定理可得ABC 外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体D ABC -的外接球的半径，即可求出球O 的表面积. 【详解】因为ABC 为等边三角形且其面积为22133324sin 60a =， 所以ABC 3ABC 外接圆的半径为r ， 由正弦定理可得32260r ==，1r =，取底面中心为1O ，即11O A = ∵AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，过1O 作1//O O AD ，且取11=2O O AD ， 则O 即是四面体D ABC -外接球的球心，半径R OA =，在1Rt O OA △中，2222211122AD OA O O O A ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则2R OA == 所以球O 的表面积为24π8πR =.故选：D.8．已知点F 是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上焦点，点P 在椭圆E 上，线段PF 与圆222()216c b x y +-=相切于点Q ，O 为坐标原点，且()0OP OF FP +⋅=，则椭圆E 的离心率为（ ）A 6B 5C ．23 D ．12 【答案】B【分析】根据()0OP OF FP +⋅=可得1PF PF ⊥，结合圆的相切关系可得1PF b =，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率. 【详解】设椭圆的下焦点为1F ，圆222()216c b x y +-=的圆心为A ，线段PF 的中点为B ， 因为()0OP OF FP +⋅=，所以()()0OP OF OP OF +⋅-=，即OP OF c ==；所以OB PF ⊥，由于1//OB PF ，所以1PF PF ⊥；因为线段PF 与圆222()216c b x y +-=相切于点Q ， 所以AQ PF ⊥，所以1//PF AQ ，所以11AQ AF PF FF =； 因为12,,42b c FF c AQ AF ===，所以1PF b =； 根据椭圆定义可得2PF a b =-，所以有()22224a b b c -+=，整理得23b a =， 所以离心率2513c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，根据题意构建关于,,a b c 的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.二、多选题9．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22195x y +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．1PF F 的周长为10B ．1PF F 面积的最大值为25C ．1||PF 的最小值为1D ．椭圆C 的焦距为6【分析】根据椭圆的方程求出,,a b c ，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解.【详解】∵椭圆C 方程为：22195x y +=， 3,5,2a b c ∴===12PF F ∴△的周长为1212||||||2210PF PF F F a c ++=+=，∴A 正确；∴△PF 1F 2面积的最大值为12252c b ⋅⋅=，此时P 位于短轴的端点，∴B 正确； P 在椭圆的左顶点时，|PF 1|的最小值为a －c ＝1，又P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，∴C 错误； 椭圆C 的焦距为2c ＝4，∴D 错误.故选：AB.10．某同学在研究函数()211f x x x =++-的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为()()()()()2222001100f x x x =-+-+-+-，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小值为22B ．函数()f x 的最小值为2C ．函数()f x 没有最大值D ．函数()f x 有最大值 【答案】BC【分析】由题意画出图形，利用动点到两定点距离和的变化求出最小值判断AB ，分析无最大值判断CD ．【详解】设2222()(0)(01)(1)(00)f x x x =-+-+-+-，可理解为动点(,0)P x 到两个定点(0,1)A ，(1,0)B 的距离和．如图：由三角形三边关系可得2PA PB AB +≥当点P 和点B 重合时，等号成立，PA PB +无最大值，所以函数()f x 2.11．已知点F 1，F 2分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上的一点（异于左、右顶点），若存在以22c 为半径的圆内切于12PF F △，则该椭圆的离心率可能为（ ） A ．22 B ．12 C ．13 D ．14【答案】CD【分析】根据题意可得12122PF F S c b ≤⨯⨯，从而可得()121222222a c c cb ⨯+⨯≤⨯⨯，再化简转化为关于e 的不等式，解不等式即可求解.【详解】由椭圆性质可得：12PF F △的面积满足12122PF F Sc b ≤⨯⨯， 又存在以22c 为半径的圆内切于12PF F △， ∴()12121222222PF F S a c c c b =⨯+⨯≤⨯⨯， ∴a +c ≤2b ，∴（a +c ）2≤2b 2＝2（a 2－c 2），∴3c 2+2ac －a 2≤0，∴3e 2+2e －1≤0，∴ 113e -≤≤ 又01e <<，解得103e <≤， 故选：CD.12．如图，矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （点A 不落在底面BCDE 内），若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A ．四棱锥1A BCDE -2B ．线段BM 长度是定值C ．MB ∥平面A 1DE 一定成立D ．存在某个位置，使1DE A C ⊥【答案】ABC 【分析】对选项A ，取DE 的中点O ，连接1A O ，根据题意得到当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，1A 到平面BCDE 的距离最大，再计算四棱锥1A BCDE -体积即可判断A 正确.对选项B ，对选项B ，取CD 的中点F ，连接MF ，BF ，根据等角定理得到145A DE MFB ∠=∠=，再利用余弦定理即可判断B 正确.对选项C ，首先根据题意易证平面//MBF 平面1A DE ，再利用面面平行的性质即可判断C 正确，对选项D ，连接AC ，根据1A C 在平面BCDE 的射影在AC 上，DE 与AC 不垂直，即可判断D 错误.【详解】对选项A ，取DE 的中点O ，连接1A O ，如图所示：当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，1A 到平面BCDE 的距离最大.因为1A D AE =，O 为DE 中点，所以1AO DE ⊥. 又因为平面1A DE ⋂平面BCDE DE =，所以1A O BCDE ⊥. 22112DE =+=，所以22122122AO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以四棱锥1A BCDE -体积最大值为()1211223224+⨯⨯⨯=，故A 正确. 对选项B ，取CD 的中点F ，连接MF ，BF ，如图所示：因为,M F 分别为1,A C AB 的中点，22AB AD ==，所以四边形DEBF 为菱形，所以1//A D MF ，//DE BF ，所以145A DE MFB ∠=∠=，11122MF A D ==，2BF DE ==， 所以()2211252222222MB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确. 对选项C ，因为1//MF A D ，1A D ⊂平面1A DE ，所以//MF 平面1A DE ，因为//FB DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以//BF 平面1A DE ，又因为MF BF F ⋂=，,MF BF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故C 正确.对选项D ，连接AC ，如图所示：因为1A C 在平面BCDE 的射影在AC 上，45DEA =∠，1tan 2CAB ∠=，所以DE 与AC 不垂直， 所以DE 与1A C 不垂直，故D 错误.故选：ABC三、填空题13．求过点3(4,)P -且与圆()()22139x y -+-=相切的直线方程为______.【答案】x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y +3＝k （x －4），即kx －y －4k －3＝0， 234331k k k ---=+，解得k ＝34-，此时直线方程为3x +4y ＝0， 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4此时圆心(1,3) 到直线x ＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.故答案为：x ＝4或3x +4y ＝0.14．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为______.21 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面ABC 1的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可.【详解】以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则()()()1131,0,0,1,0,0,1,1,0,0,12A B B C ⎫⎪⎪⎝⎭， 所以131,122C A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,1,1C B =-， ()110,1,0C B =， 设平面ABC 1的法向量为(,,)n x y z =，则1100n C A n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即31020y z y z ⎧+-=⎪⎪-=⎩， 令1x =，则3y z ==(1,3,3)n =，所以点B 1到平面ABC 1的距离为113217133C B n n ⋅==++. 217..15．已知直线l ：kx ﹣y ﹣2k +2＝0与圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣6y +6＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为______________． 【答案】2【分析】根据题意，分析圆C 的圆心与半径，将直线l 的方程变形为y ﹣2＝k （x ﹣2），恒过定点M （2，2），分析可得M 在圆C 内部，分析可得：当直线l 与CM 垂直时，弦|AB |最小，求出此时|CM |的值，由勾股定理分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣6y +6＝0即（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4， 圆心C 的坐标为（1，3），半径r ＝2，直线l ：kx ﹣y ﹣2k +2＝0，即y ﹣2＝k （x ﹣2），恒过定点M （2，2）， 又由圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4，则点M （2，2）在圆内， 分析可得：当直线l 与CM 垂直时，弦|AB |最小， 此时|CM |22(21)(23)-+-2 则|AB |的最小值为42-22 故答案为：22四、双空题16．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程1x =在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示______，过点(1,1,2)-P 且法向量为(1,2,3)=v 的平面的方程是______． 【答案】 一个平面 2350x y z ++-=【分析】根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为(),,n A B C =，且平面过点()000,,x y z ，那么平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=计算可得；【详解】解：依题意可得1x =在三维空间中，它表示一个平面，在这个平面上所有点的横坐标都为1， 过点(1,1,2)-P 且法向量为(1,2,3)=v 的平面的方程为()()()1121320x y z -+++-=，整理得2350x y z ++-=故答案为：一个平面；2350x y z ++-=五、解答题17．在①sin cos 6a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，②2c cos A ＝a cos B +b cos A ，③b 2+c 2＝a 2+bc ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若已知b ＝6，ABCS=______，求a 的值.【答案】选①：a =②：a =③：a =【分析】选条件①时，直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换及三角形的面积公式和余弦定理，求出a 的值；选条件②时，直接利用三角函数的关系式的变换及三角形的面积公式和余弦定理，求出a 的值； 选条件③时，直接利用余弦定理及三角形的面积公式，求出结果. 【详解】若选①：因为πsin cos 6a C c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πsin sin sin cos 6A C C A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0所以1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，即3sin 2A A =，所以tan A = 因为0＜A ＜π，所以π6A =.所以1113sin 62222ABCSbc A c c ==⨯⨯==所以c =，由余弦定理有(222222cos 62612a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =若选②：因为2c cos A ＝a cos B +b cos A ， 所以2sin C cos A ＝sin A cos B +sin B cos A ，所以2sin C cos A ＝sin （A +B ）＝sin （π－C ）＝sin C 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以1cos 2A =， 因为0＜A ＜π，所以3A π=，所以11sin 622ABCSbc A c ==⨯== 所以c ＝2，由余弦定理有2222212cos 62262282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =若选③：因为b 2+c 2＝a 2+bc ，所以b 2+c 2－a 2＝bc ，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0＜A ＜π，所以π3A =，所以11sin 622ABCSbc A c ==⨯== 所以c ＝2，由余弦定理有2222212cos 62262282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =故答案为：18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点Q0），直线l ：x ＝P 满足到点Q 的距离与到直线l . (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线m ：x －y －1＝0与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.【答案】(1)22163x y +=【分析】（1）设P 的坐标，由题意可得P 的横纵坐标的关系，进而求出P 的轨迹方程. （2）联立直线与曲线方程，写出韦达定理，利用弦长公式计算即可 可求弦|AB |的长.【详解】（1）设P （x ，y ），由题意可得222(3)232x y x -+=-， 整理可得：22163x y +=；所以P 的轨迹C 的方程为：22163x y +=.（2）设直线m ：x －y －1＝0与曲线C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由2216310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩，消去y 得x 2+2（x －1）2＝6，整理得3x 2－4x －4＝0， 由()Δ163440=-⨯-⨯>所以x 1+x 2＝43，x 1x 2＝43-，，所以()()221212(1)4AB k x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦.224482(11)4333⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦19．如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥ 平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE == .(1)求证：EG ∥ 平面ADF ； (2)求点D 到直线EG 的距离. 【答案】(1)证明见解析； 230【分析】（1）取AD 的中点M ，连接MG OD FM G ，，， 为线段AB 的中点，根据三角形的中位线定理、矩形的性质、平行四边形的判断定理、线面平行的判定定理即可证明结论.（2）连接ED ，根据面面垂直的性质定理可得EB ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，求得直线EG 的单位方向向量EGe EG=，可得点D 到直线EG 的距离22()d ED ED e =-⋅.【详解】（1）证明：取AD 的中点M ，连接,,MG OD FM ，正方形ABCD 的中心为O ，则,,B O D 共线，又G 为线段AB 的中点，则MG BD MG OB =∥， ，∵四边形OBEF 为矩形，则,,EF OB EF OB EF MG EF MG =∴=∥，∥ ， ∴四边形EFMG 为平行四边形，∴EG FM ∥ ，而FM ⊂平面AFD ，而EG ⊄平面AFD ， ∴EG ∥平面AFD . （2）连接ED ,∵四边形OBEF 为矩形，则EB BO ⊥,平面OBEF ⊥平面ABCD ， 平面OBEF平面ABCD BO =,EB ⊂平面OBEF ,∴EB ⊥平面ABCD ，故以B 为坐标原点，以,,BC BA BE 为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系B xyz - ，则()()()2,2,0,0,1,0,0,0,2D G E ，()2,2,2ED =-，0,1,2)EG -=(，直线EG 的单位方向向量150,1,2)EG e EG-==， ∴65EG ED e ED EG⋅=⋅=∴点D 到直线EG 的距离2236230()125d ED ED e =-⋅=-=20．已知函数()23sin 3cos 2f x x x x =+.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos 03a x f x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.【答案】（1）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈)；（2）()22,-+∞.【分析】（1）先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简，进而求出单调递减区间； （2）先用诱导公式将函数化简，进而进行换元，然后通过参变分离解得答案. 【详解】（1）()23sin 3sin cos 2f x x x x =-+1133cos 2sin 22222x x =--+ sin 226x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈.故()f x 的单调递减区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈).（2）()sin 226f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，2sin 22cos 222cos 132f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2cos cos 2cos 103a x f x a x x π⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭.令cos t x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则01t <<，即2210at t ++>，可得12a t t ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭.因为1122222t t t t +≥⋅=，当且仅当12t t =，即22t =，4x π=时取等号，所以1222t t ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭.故22a >-，即a 的取值范围是()22,-+∞.21．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，//MB AN ，2NA AB ==，4BM =，23CN =.(1)证明：MB ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为33，若存在求出的CEEM值，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析. (2)存在；12CE EM =．【分析】（1）由面面垂直的性质可得BC BM ⊥，再得出BM AB ⊥即可证明；（2）设CE CM λ=，求出平面BEN 和平面BMN 的法向量，利用向量关系建立方程求出λ即可得出. 【详解】（1）正方形ABCD 中，BC AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD ⋂平面ABMN AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ABMN ，BC ∴⊥BM ，且BC BN ⊥，又2,23BC CN ==，2222BN CN BC ∴=-=，又2AB AN ==，222BN AB AN ∴=+AN AB ∴⊥，又//AN BM ，BM AB ∴⊥，BCBA B =，∴BM ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，BM ⊥平面ABCD ，BM AB ⊥以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2B A C ，()()()2,0,2,2,2,0,0,4,0D N M ， 设点(),,E x y z ，CE CM λ=，()(),,20,4,2x y z λ∴-=-，()04,0,4,2222x y E z λλλλ=⎧⎪∴=∴-⎨⎪=-⎩， ()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ∴==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z =，()2204220BN m x y BE m y z λλ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩，令221,1,,1,1,11x y z m λλλλ⎛⎫=∴=-=∴=- ⎪--⎝⎭， 显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，cos ,2BC m BC m BC m⋅∴<>===⋅== 即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），则存在一点E ，且12CE EM =. 22．在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，△12F PF 3450x y -+=相切.（1）求精圆C 的方程；（2）若直线l 过定点()1,0且与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于P ，Q 两点，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，()T .【分析】（1）由题设可得c b ⋅=3450x y -+=的距离为b ，即可求椭圆参数，进而写出椭圆方程.（2）法一：讨论斜率的存在性分别研究定点，且斜率存在时设()1y k x =-、()11,A x y 、()22,B x y ，联立椭圆方程，应用韦达定理求12x x +、12x x ；法二：设1x my =+，联立椭圆方程应用韦达定理求12y y +、12y y ；(两种方法后续过程)求直线AM 、BM 方程进而确定P ，Q 坐标，设定点N 坐标，则有0PN QN ⋅=，利用向量数量积的坐标表示列方程求N 坐标即可；【详解】（1）由△12F PF3450x y -+=相切.∴121221PF F S c b b ⎧=⋅⋅=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，解得1b =，c =2a =，则椭圆C 的方程是2214x y +=.（2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.法一：当直线l 斜率不存在时，以PQ 为直径的圆的方程为：223x y +=，恒过定点30,.当直线l 斜率存在时，设()1y k x =-，()0k ≠. 由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222148440k x k x k +-+-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+. 又M 是椭圆C 的右顶点，则()2,0M . 由题意知：直线AM 为()1122y y x x =--，故11(0,2)2y x P --. 直线BM 为：()2222y y x x =--，故2220,2y Q x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 若以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点()0,0N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立.又1012,2y PN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2022,2y QN x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，∴21201222022y y PN QN x x x ⋅=+⋅=--恒成立. 又()()()2221212122224484222424141414k k k x x x x x x k k k ---=-++=-⨯+=+++ ()()()222221212121222244831111141414k k k y y k x k x k x x x x k k k k ⎛⎫--=--=-++=-+= ⎪+++⎝⎭. ∴()()22222120002122124143042214k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+，解得0x =故以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点30,.法二：设1x my =+，代入2214x y +=得()224230m y my ++-=.12224m y y m +=-+，12234y y m =-+直线AM ：()1122y y x x =--，令0x =得11112221y y y x my --==+-，即1120,1y P my ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，同理得2220,1y Q my ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 设以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0T t ，有PT QT ⊥，即0PT QT ⋅=，则()21221212401y y t m y y m y y +=-++，将12y y +、12y y 代入得230t，t =()T .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线及交点坐标，联立椭圆方程并整理，应用韦达定理求12x x +、12x x 或12y y +、12y y ，再根据已知确定P ，Q 坐标，并设N 坐标易知0PN QN ⋅=，利用向量数量积坐标公式求N 坐标即可.。