2018-2019学年高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算3课后习题新人教A版必修4

2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向量减法运算及其几何意义[A 级 基础巩固]一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.MP → B.NP → C ．0D.MN →解析：PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.答案：C2．在平行四边形ABCD 中，AB →＋CA →＋BD →＝( )A.AB →B.BD →C.BC →D.CD → 解析：AB →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋CA →＝AD →＋CA →＝CA →＋AD →＝CD →.答案：D3．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c .答案：A4．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 解析：作菱形ABCD ，则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3. 答案：D5.如图所示，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析：因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点， 所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →， 所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立． BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立． AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立． BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． 答案：A 二、填空题6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →.答案：PQ →7．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．解析：当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 答案：20，48．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 则OD →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：在平行四边形ABCD 中，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BA →＝OA →－OB →＝a －b ， 所以CD →＝BA →＝a －b ， 所以OD →＝OC →＋CD →＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c 三、解答题9．如图所示，已知a ，b ，求作a －b .解：10．如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .[B 级 能力提升] 1．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( )A.AD →＝0B.AB →＝0或AD →＝0 C ．四边形ABCD 是矩形D ．四边形ABCD 是菱形解析：AB →＋AD →与AB →－AD →分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，所以四边形ABCD 是矩形．答案：C2．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |＞||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向3．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a 、b 表示AC →、DB →；(2)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 解：(1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，所以AC ⊥BD .又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为菱形，所以|a |＝|b |.所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直． (3)假设|a ＋b |＝|a －b |， 即|AC →|＝|BD →|.因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 是矩形，所以a ⊥b ， 所以当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能．因为▱ABCD 的两条对角线不可能平行，所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，也就不可能为相等向量了．。

2．3.2平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3平面向量的坐标运算学习目标1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？★答案★互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考1如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?★答案★a＝23i＋2j.思考2在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？★答案★对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a ＝(1,1)，此时给出了a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置不确定．思考3 设向量BC →＝(1,1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA →的坐标是多少？A 点坐标是多少？★答案★ 向量OA →的坐标为OA →＝(1,1)，A 点坐标为A (1,1)． 梳理 (1)平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．②在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系知识点三 平面向量的坐标运算思考 设i ，j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i ，j 表示？★答案★ a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j . 梳理 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．1．相等向量的坐标相等．( √ )2．在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．( × ) 提示 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．3．与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形． (1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2.∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)， 则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝ 2. a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2，b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2)．类型二 平面向量的坐标运算 例2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 反思与感悟 向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练2 已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 ★答案★ A解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4，－2)，则BC →＝(－7，－4)， 故选A.类型三 平面向量坐标运算的应用例3 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求λ为何值时： (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内．考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 解 设点P 的坐标为(x ，y )， 则AP →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， AB →＋λAC →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. (1)若点P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练3 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )， 且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →， 得D (4,6)．当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )， 由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →， 得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).1．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b 等于( )A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．(－1，－2)D ．(1,2)考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 ★答案★ A解析 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12－32，12＋32＝(－1,2)．2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C ．(－8,1)D ．(8,1) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算★答案★ A解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)，∴12AB →＝⎝⎛⎭⎫－4，12. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 ★答案★ A解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →＝(4,3)， AD →＝(x ，y －2)，由BC →＝2AD →，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，∴D ⎝⎛⎭⎫2，72. 4．(2017·金华模拟)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，c ＝(1，m )，若实数λ满足a ＋b ＝λc ，则λ＋m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 ★答案★ B解析 由平面向量的坐标运算法则可得a ＋b ＝(5,5)，λc ＝(λ，λm )，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm ＝5，解得λ＝5，m ＝1，∴λ＋m ＝6.5．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________．考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 ★答案★ (0,2)解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2.1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题1．已知M (2,3)，N (3,1)，则NM →的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(1，－2)考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ B解析 NM →＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ D3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( ) A ．3a －b B ．3a ＋b C ．－a ＋3bD ．a ＋3b考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 ★答案★ A 解析 设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝4，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴c ＝3a －b .4．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫－35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35 D.⎝⎛⎭⎫45，－35 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ A解析 因为与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|，AB →＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)， |AB →|＝32＋(－4)2＝5，所以AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 5．如果将OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →，则OB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫32，－12C ．(－1，3)D.⎝⎛⎭⎫－32，12 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ D解析 因为OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12所在直线的倾斜角为30°，绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →所在直线的倾斜角为150°，所以A ，B 两点关于y 轴对称，由此可知B 点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12，故OB →的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，12，故选D.6．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝－2PM →，则P 点的坐标为( ) A ．(－14,16) B ．(22，－11) C ．(6,1)D ．(2,4)考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 ★答案★ D7．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0，－2) C ．(－2,0)D ．(0,2)考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ D解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)． 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 二、填空题8．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________．考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 ★答案★ (－3,6)9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，则MN →的坐标为________． 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 ★答案★ (9，－18) 解析 CM →＝3(1,8)＝(3,24)， CN →＝2(6,3)＝(12,6)，MN →＝CN →－CM →＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)．10.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ的值为________．考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 ★答案★ 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb 得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.11．已知A (2,3)，B (1,4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 ★答案★ π6或－π2解析 因为12AB →＝12(－1,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，12＝(sin α，cos β)， 所以sin α＝－12且cos β＝12，∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝－π6，β＝π3或－π3， 所以α＋β＝π6或－π2.三、解答题12．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a ，b 表示p . 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 用坐标形式下的基底表示向量 解 p ＝2a ＋3b ＋c ＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2) ＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．设p ＝x a ＋y b ＝x (2,1)＋y (－1,3)＝(2x －y ，x ＋3y )， a 与b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，x ＋3y ＝13，解得⎩⎨⎧x ＝197，y ＝247.∴p ＝197a ＋247b .四、探究与拓展14．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|. 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →. ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫13，0.当P 在线段AB 延长线时，AP →＝－2PB →. ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8. 综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0或(－5,8)．15．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.(2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形OABP 不能成为平行四边形．。

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2.2。

1 向量加法运算及其几何意义学习目标：1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的几何意义及其运算律．(难点）2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算．（重点)3。

数的加法与向量的加法的联系与区别．（易混点）[自主预习·探新知]1．向量加法的定义定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0错误!错误!＝a＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作错误!＝a，错误!＝b，则向量A错误!叫做a与b的和,记作a＋b，即a＋b ＝错误!＋错误!＝错误!平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作错误!＝a，错误!＝b，以错误!,错误!为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量A错误!＝a＋b。

3(1)交换律:a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．[基础自测]1．思考辨析(1)a＋（b＋c)＝(a＋b）＋c.( ）(2)错误!＋错误!＝0。

（）（3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．（）[解析]（1）正确．（2）正确．(3)错误．平行四边形法则只适用于求两个不共线的向量的和．［答案］(1)√(2)√（3)×2.错误!＋错误!＋错误!等于（）A.错误!B。

教学资料范本高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课后集训编辑：__________________时间：__________________2.2.1 向量加法运算及其几何意义课后集训基础达标1.在四边形ABCD中，++等于（ ）A. B. C.D.解析：++=（+）+=+=，故选C.答案：C2.在△ABC中，必有++等于（ ）A.0B.0C.任一向量D.与三角形形状有关解析：++=+=0.故应选B.答案：B3.如右图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则+( )A. B. C. D.解析：由于D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴=则+=+=，故应选D.答案：D4.已知正方形ABCD的边长为1（如右图），=a,=c,=b,则|a+b+c|等于（ ）A.0B.3C.D.解析：如右图所示,a+b=c，∴|a+b+c|=2|c|=.∴应选D.答案：D5.如右图所示,O是四边形ABCD对角线的交点,若a+d=c+b则四边形ABCD形状为（）A.等腰梯形B.菱形C.平行四边形D.矩形解析：c+b=，a+d=d+a=∴=.∴ABCD为平行四边形.答案：C6.（1）++=_______________;（2）+++=_______________;（3）（+）+=_______________;（4）（+）++=_______________.解析：（1）++=+（+）=+=+=. （2）+++=+=.（3）（+）+=++=+（+）=+=0.（4）（+）++=（+）++=+=.答案：（1）（2）（3）0（4）综合运用7.下列各式中不能化简为的是（ ）A.（+）+B.（+）+（+）C.++D.++答案：C8.向量a、b满足|a|=6,|b|=10,则|a+b|的最大值是_____________，最小值是__ ___________.解析：当a、b不共线时，如右图，作=a,=b,则=a+b.由向量加法的几何意义知|a+b|＜|a|+|b|=16.当a、b共线同向时，如下图，作=a，=b，则=a+b，由向量加法的几何意义可知||=|a+b|=|a|+|b|=16.当a、b共线反向时：如下图所示，作=a,=b,则=a+b由向量加法的几何意义可知|a+b|=|b|-|a|=10-6=4，∴|a+b|的最大值为16，最小值为4.答案：16 49.某人从点A向东位移60 m到达点B，又从点B向东偏北30°方向位移50m到达点C，又从点C向北偏西60°方向位移30m到达点D，选用适当的比例尺作图，求点D相对于点A的位置.解：如右图，构造了三个直角三角形：△CFB,△CED和△DMA.在Rt△CFB中，|CF|=50×sin30°=25,||=50×cos30°=.在Rt△CED中，||=30×cos30°=,||=30×sin30°=15.∴||=||+||=15+25=40.||=||-||=||-||=.∴在Rt△DMA中，||=40，||=60+.∴||=≈87.tan∠DAM==≈0.517 3.由计算器计算得∠DAM=27°18′.∴D在A点东偏北27°18′且距A87米处.拓展探究10.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地东偏北30°的方向处,且A、C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B、C间的距离.解：如右图，=+,∠BAC=90°,||=||=300,所以||=(km).又因为∠ABC=45°,且A地在B地的东偏南60°的方向处,可知C地在B地的东偏南1 5°的方向处.答:飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°,B、C两地间的距离为km. 备选习题11.（1）若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则a的方向与b的方向必定_____ ______.（2）向量a与向量b反向，则a+b与a的方向是___________.（3）向量a、b满足关系式a+b=b，则a=___________,|a+b|=___________.答案：(1)相同 （2）同向或反向 （3）0 |b|12.设a表示“向东走了2 s千米”，b表示“向南走了2s千米”，c表示向西走了2 s千米，d表示向北走了2 s千米，则（1）a+d表示向____________方向走了____________千米.（2）b+c表示向____________方向走了____________千米.（3）a+c+d表示向____________方向走了____________千米.（4）b+c+d表示向____________方向走了____________千米.答案：（1）东北 22 s (2)西南 22 s (3)北 2 s (4)西 2 s13.如图1所示，已知O是线段AB的中点，M是平面上任意一点，试证明+=+.图1 图2证法1：如图2，过A、B分别作MB、MA的平行线交于M′易知+==+.证法2：因为=+，=+，而+=0，所以易得+=+.14.如下图甲所示，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.解：如上图乙所示，作出OACB的图形，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°. ||=||·cos30°=×300=N,=||sin30°=×300=150N，||=||=150 N.则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.15.已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力F 1=24 N;绳BO与墙壁垂直,所受拉力F 2=12 N.求F 1和F 2的合力.解：如右图,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F =F1+F 2=.在△OCA中,|F1|=24,||=12,∠OAC=60°, ∴△OAC为直角三角形.∴||=24×sin60°=24×.∴F1与F2的合力为N与F2成90°角竖直向上.16.如图(1)（2）,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m.一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10 km/h,水流速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用时间是多少(精确到0.1 min)?图（1）图（2）解：|v|=km/h,∴t=×60≈3.1 min.答:行驶航程最短时,所用时间是3.1 min.。

2. 2. 2 向量减法运算及其几何意义课后篇坚固研究1.若O, E, F是不共线的随意三点, 则以下各式中建立的是()A. B .C.=-D.=-答案 B2.已知 ABCDEF是一个正六边形, O是它的中心 , 其中=a,=b,=c,则=()A. a+bB. b- aC. c- bD. b- c剖析=b- c.答案 D3.以下不能够化简为的是()A. B.+()C.()+()D.剖析D项中 ,, 应选D.答案 D4.如图 , 点D, E, F分别是△ABC的边AB, BC, CA的中点 , 则()A.=0B.=0C.=0D.=0剖析因为=0,所以A项正确 .答案 A5.平面上有三点A, B, C,设m=, n=, 若 m, n 的长度恰巧相等, 则有 ()A. A, B, C三点必在同一条直线上B. △ABC必为等腰三角形, 且∠B为顶角C. △ABC必为直角三角形, 且∠B=90°D. △ABC必为等腰直角三角形剖析如图 , 因为 m, n 的长度相等 ,所以||=||,即||=||,所以 ABCD是矩形,故△ ABC是直角三角形,且∠ B=90° .答案 C6.若四边形ABCD为正方形,且边长为2,则||=.剖析 ||=|+() |=||=||= 2.答案 27.如图,已知为平行四边形内一点 ,a,b,c, 则O ABCD====.剖析由已知得,则=a+c- b.答案 a+c- b8.如图 , 在正六边形中 , 与相等的向量有ABCDEF.①;②;③;④; ⑤;⑥; ⑦.剖析因为四边形ACDF是平行四边形,所以.因为四边形ABDE是平行四边形,所以.综上知与相等的向量是①④ .答案①④9.已知向量 a, b 知足| a|= 1, | b|= 2, | a- b|= 2, 则| a+b|的值为.剖析如图 , 在平面内任取一点A,作=a,=b,以 AD, AB为邻边作?ABCD,则 =a+b, =a-b .由题意, 知||=||= 2, ||= 1.过点B 作⊥于点, 过点C作⊥AB交的延伸线于点F.BE AD E CF AB因为 AB=BD=2,所以 AE=ED=AD= .在 Rt △中 ,cos ∠EAB=.ABE易知∠ CBF=∠ EAB,所以 cos ∠CBF= .所以 BF=BC·cos∠ CBF=1×.所以 CF=.所以 AF=AB+BF=2+.在 Rt △AFC中 , AC=, 所以| a+b|=.答案10.导学号68254066如图 , 在四边形ABCD中,对角线 AC, BD交于点 O,且||=||= 1,=0,cos∠ DAB= ,求|| 与 ||.解∵=0,∴.∴四边形 ABCD为平行四边形 .又||=||= 1,∴?ABCD为菱形.∵c os ∠DAB= , ∠DAB∈ (0, π ),∴∠ DAB= ,∴△ ABD为正三角形 .∴||=||=|2|=, |= |||=||=||= 1.11.如图 , 在 ?ABCD中 ,=a,=b.(1) 当 a, b 知足什么条件时, a+b 与 a-b 所在的直线互相垂直?(2)a+b 与 a-b 有可能为相等向量吗 ?为什么 ?解 (1)=a+b,=a-b .若 a+b 与 a-b所在的直线互相垂直, 则AC⊥ BD.因为当 | a|=| b| 时,四边形 ABCD为菱形,此时 AC⊥ BD,故当 a, b 知足| a|=| b|时 , a+b 与 a-b 所在的直线互相垂直.(2)不能能 . 因为?ABCD的两对角线不能能平行,所以a+b与a-b不能能为共线向量, 更不能能为相等向量.。

2.2.1向量加法运算及其几何意义课后篇巩固探究A组基础巩固1.在四边形ABCD中,,则四边形ABCD是()A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形解析由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.答案D2.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AC与BD交于点O,则=()A. B.C. D.解析.答案B3.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向()A.与向量a的方向相同B.与向量a的方向相反C.与向量b的方向相同D.不确定解析若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同.答案A4.如图,在正六边形ABCDEF中,等于()A.0B.C.D.解析∵,∴=0.答案A5.向量()+()+化简后等于()A. B.C. D.解析()+()+.答案C6.在矩形ABCD中,若AB=2,BC=1,则||=.解析因为ABCD是矩形,所以对角线AC=,于是||=||=.答案7.如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果:(1)=;(2)=;(3)=;(4)=.解析(1)由平行四边形法则可知为;(2);(3);(4)=0.答案(1)(2)(3)(4)08.如图所示,若P为△ABC的外心,且,则∠ACB=.解析因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC,因为,由向量的线性运算可得四边形PACB 是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.答案120°9.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.解存在,如图,=a,=b,OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°.10.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:.证明∵,∴.∵大小相等,方向相反,∴=0.故+0=.B组能力提升1.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是()A. B.C. D.解析因为四边形ABCD是菱形,所以也是平行四边形,于是,故C项正确.答案C2.设a=()+(),b是任一非零向量,则在下列结论中:①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.正确结论的序号是()A.①⑤B.②④⑤C.③⑤D.①③⑤解析∵a=()+()==0,又b为任一非零向量,∴①③⑤均正确.答案D3.如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N,则F1与F2的合力大小为,方向为.解析以为邻边作平行四边形BOAC,则F1+F2=F,即,则∠OAC=60°,||=24,||=||=12,∴∠ACO=90°,∴||=12.∴F1与F2的合力大小为12 N,方向为竖直向上.答案12 N竖直向上4.如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:(1);(2);(3).解(1).(2)=()+.(3).5.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?解如图,用表示船的第一次位移,用表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知,所以可表示两次位移的和位移.由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,则BC=AC=1,AB=.在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=2,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2 km.6.如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin37°=0.6).解设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行600 km,则飞机飞行的路程指的是||+||;两次位移的和指的是.依题意,有||+||=800+600=1 400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中,||==1 000(km),其中∠BAC=37°,所以方向为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次飞行的位移和的大小为1 000 km,方向为北偏东72°.。