数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，(){}30M x x x =-＜，{}13N x x x =＜或≥，则正确的为（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．R C N M ⊆ D ．R M C N ⊆2．已知命题P ：“函数()y f x =为幂函数，则()y f x =的图像不过第四象限”．在P 的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．下列函数中是偶函数，且在()1,+∞上是单调递减的函数为（ ） A ．12y x =- B ．2y x x =-+ C ．ln y x = D ．2y x x =-+4．若函数()3f x +的定义域为[]5,2--，则()()()11F x f x f x =+⋅-定义域为（ ） A ．[]3,2- B ．[]7,6-- C ．[]9,4-- D ．[]1,0-5．若1sin 64πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3cos 2πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A D6．)1x dx ⎰等于（ ）A ．24π- B ．22π- C ．12π- D ．14π-7．函数log o y x =，x y a =，()0,1y x a a a =+≠＞在同一直角坐标系中的图象如图，正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．8．对于1,2x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭都有2x x +a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭9．若函数()2x f x e x =+-，()2ln 3g x x x =+-，若()0f a =，()0g b =，则（ ） A ．()()g a f b ＞ B ．()()g a f b ＜ C ．()()g a f b ≤ D ．()()g a f b ≥ 10．若函数()cos f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 值域为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,1- C．⎡-⎣ D．⎡-⎣11．在等腰直角三角形ABC 中，1AC BC ==，点M ,N 分别为AB ，BC 的中点，点P 为ABC ∆内部任一点，则AN MP ⋅取值范围为（ ）A ．33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知函数()()()()()212,0log 11,10a x a x a x f x x x ⎧+++⎪=⎨++-⎪⎩＞＜≤，()0,1a a ≠＜，若函数()y f x =在1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，且关于x 的方程()3f x x =+恰有两个不同的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．{}31,2,62⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ C ．{}2,6 D ．35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在ABC ∆中，AB =3BC =，60C ∠=︒，则AC = ．14．若函数()()()()2log ,15,1x x f x f x x ⎧⎪=⎨+⎪⎩＞≤，则()2016f -= ．15．定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()10f -=，当0x ＞时，()()0xf x f x '-＜则不等式()0f x ＜的解集为 ．16．在ABC ∆中，0AD BC ⋅=，3AB =，5BC =，23BD DC =，点P 满足()1AP AB AC λλ=+-，R λ∈，则AP AD ⋅为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． （本小题满分12分）已知集合{}2=430A x x x -+=，{}10,B x mx m R =+=∈，A B B ⋂=，求实数m 的取值的集合．18． （本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()23230f x g x a x x a a +=++≠ （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）命题P ：对任意[]1,2x ∈，都有()1f x ≥，命题Q ：存在[]2,3x ∈-，使()17g x ≥，若P Q ∨为真，求a 的取值范围． 19． （本小题满分12分）已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞＞≤＜3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．（1）求()f x 的解析式，并写出()f x 的单调增区间． （2）若把()f x 的图像向左平移12π个单位，横坐标伸长为原来的2倍得()y g x =图像当[]0,1x ∈时，试证明，()g x x ≥．20． （本小题满分12分）某市渭河的某水域有夹角为120︒的两条直线河岸1l ，2l （如图所示）：在该水域中，位于该角平分线且距A 地相距1公里的D 处有座千年古亭，为保护古亭，沿D 所在直线BC 建一河堤（B ，C 分别在1l ，2l 上，河堤下方有进、出水的桥洞）；现要在ABC ∆水域建一个水上游乐城，如何设计AB 、AC 河岸的长度，AB 、AC 都不超过5公里（不妨令AB x =公里，AC y =公里）．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．（2）求该游乐城的面积至少可以有多少平方公里，此时AB 、AC 是如何设计的．21． （本小题满分12分）已知函数()()2320,3f x x ax a x R =-∈＞（1）求()f x 的单调区间和极值．（2）若()()1g x f x =-有三个零点，求实数a 的取值范围．（3）若对()12,x ∀∈+∞，()21,x ∃∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22． （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2229x y -+=．（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程．（2）直线L 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），L 交C 于A 、B 两点，且AB =求L的斜率．23． （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x =-++，M 为不等式()4f x ≤的解集． （1）求集合M ．（2）当a ，b M ∈时，求证2a b -试卷答案一、选择题1-5:ABBDA 6-10:ADDBC 11、12：AC 二、填空题13．1或2 14．2 15．()()1,01,-⋃+∞ 16．5 三、解答题 17．解：{}1,3A Θ=A B B ⋂=,B A ∴⊆．当0m =时，B φ=，满足B A ⊆． 当0m ≠时，1x m=-． B A Θ⊆11m ∴-=或13m-= 即1m =-或13-．则实数m 取值的集合为10,1,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．18．解：（1）()()2323f x g x a x x a +=++①（2）若p 真，()min 1f x ≥，[]1,2x ∈211a a ∴⇔≥≥或1a -≤若q 真，()min 17g x ≥ 即3917a +≥解得2a ≥ 则a 的范围为(][],11,-∞-⋃+∞ 19．解（1） 2A =2T ππω==，2ω∴=又()232k k Z ππϕπ+=-∈ 而,22ππϕ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，6πϕ∴=-()26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令222262k x k πππππ--+≤≤，()k Z ∈63k x k ππππ∴-+≤≤，()k Z ∈ 则()f x 的增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）()g x x =当[]0,1x ∈时，要证()g x x ≥，即证sin x令()sin x x ϕ=-，[]0,1x ∈()cos x x ϕ'= 当()0x ϕ'=，得4x π=当0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0x ϕ'＞，即()x ϕ递增,14x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0x ϕ'＜，即()x ϕ递减()()(){}max min 0,1min 0,sin10x ϕϕϕ⎧⎪∴===⎨⎪⎪⎩⎭则()0x ϕ≥，即sin x 故()g x x ≥ 20．解（1）设AB x =，AC y =（单位：公里） ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+111sin120sin60sin60222xy x y ∴︒=︒+︒ 即x y xy +=1xy x ∴=- 又0505x y ⎧⎨⎩＜≤＜≤455x ∴≤≤ ∴所求定义域为455x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤（2）由（1）知令游乐城面积为S14sin120525S xy x ⎫=︒=⎪⎝⎭≤≤方法一：导数 方法二：()2112411x x x x =-++--≥ 当里数为111x x -=-即52,54x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，上式取等号．2x y ∴==时，S答：当AB 、AC 长都设计为2)1.732≈平方公里． 21．解：（1）()()22221f x x ax x ax '=-=-0a ＞，令()0f x '=得0x =或1x =()f x ∴减区间(),0-∞，,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭0x ∴=时，()f x 取极小值，且()00f =，x a =时，()f x 取极大值，且2113f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）若()0g x =有三个根，即()1f x =有三个不同实根．如图， 由（1）知，()()1f x f x 极小值极大值＜＜，2113a ∴＞得0a ＜则a 的取值范围为⎛ ⎝⎭．（3）()3002f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭及由（1）知当30,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ＞；3,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ＜．设集合()(){}2,A f x x =∈+∞，()()()11,,0B x f x f x ⎧⎫⎪⎪=∈+∞≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭已知“对()12,x ∀∈+∞，()21,x ∃∈+∞，使()()121f x f x =”A B ⇔⊆ 若322a ＞即304a ＜＜时，302f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0A ∈，而0B ∉，∴不满足A B ⊆； 若3122a ≤≤即3342a ≤≤时，()20f ≤，此时()f x 在()2,+∞上单调递减， 故()()(),2,0A f =-∞⊆-∞，此时()10f ＞，(),0B ∴⊇-∞满足A B ⊆； 若312a ＜即32a ＞时，有()10f ＜，此时()f x 在()1,+∞上单调递减，故 ()1,01B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()(),2A f =-∞，∴不满足A B ⊆． 综上所述，a 的取值范围为33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22．解：（1）cos x ρθ=，sin y ρθ=，C ∴方程为24cos 50ρρθ--=．（2）l 为()tan tan y x kx k αα===， 圆心()2,0到直线l的距离为d =又AB=d ∴=21k =，1k ∴=±．综上所述，l 的斜率为1±． 23．解：（1） ()2,12,112,1x x f x x x x --⎧⎪=-⎨⎪⎩≤＜＜≥()4f x ≤ ()1,1x ∴∈-恒成立当1x -≤时，24x -≤得2x -≥ 21x ∴--≤≤当1x ≥时，24x ≤得2x ≤ 12x ∴≤≤综上所述{}22m x x =-≤≤ （2）证明：由（1）知22a -≤≤22b -≤≤要证2a b -()222242167a ab b a b ⇐-+-≤222244160a b a b ⇐+--≤()()()22440*a b ⇐--≤204a ≤≤ 244b -≤≤()*∴恒成立则原不等式得证。
