二元一次方程组解法回顾

二元一次方程组的解法一、概述二元一次方程组是由两个同时存在的一次方程组成的方程组，可形式化地表示为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知系数，x、y为未知数。

本文将介绍三种常见的解法：代入法、消元法和Cramer法。

二、代入法代入法是通过求解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而得到未知数的解。

以下为代入法的步骤：1. 选择一个方程，将其中一个未知数用另一个未知数表示，即得到一个未知数的表达式。

2. 将该表达式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。

3. 解这个含有一个未知数的方程，求解得到第一个未知数的值。

4. 将求得的第一个未知数的值代入任意一个方程中，求解得到第二个未知数的值。

5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。

三、消元法消元法是通过对方程组进行变形，使得一方程的一个未知数系数与另一个方程相应未知数系数的乘积相等，从而消除一个未知数。

以下为消元法的步骤：1. 将方程组进行适当的变形，使得两个方程中一个未知数的系数相等或者成比例。

2. 将两个方程相减或相加，得到一个只含有另一个未知数的方程。

3. 解这个只含一个未知数的方程，求得某个未知数的值。

4. 将求得的未知数值代入任意一个方程中，求解得到另一个未知数的值。

5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。

四、Cramer法Cramer法是利用行列式的性质来求解二元一次方程组。

该方法要求方程组的系数行列式不为零。

以下为Cramer法的步骤：1. 计算原方程组系数行列式D。

2. 分别将方程组中第一个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数x的系数行列式Dx。

3. 将方程组中第二个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数y的系数行列式Dy。

4. 分别计算未知数x和y的值，即x = Dx / D，y = Dy / D。

二元一次方程组的解法在数学学科中，解方程是一个非常重要的内容。

而二元一次方程组是解方程的一种特殊形式，它由两个二元一次方程组成。

解决二元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。

下面，我将为大家详细介绍二元一次方程组的解法。

一、代入法代入法是解决二元一次方程组的最常用方法之一。

它的基本思想是将一个方程的其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数，然后代入另一个方程进行求解。

例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以先将方程1中的y表示为方程2中的未知数：y = 3x - 1然后将y的值代入方程1，得到：2x + (3x - 1) = 5化简后，我们可以得到一个一元一次方程：5x - 1 = 5解这个方程，我们可以得到x的值为2。

将x的值代入方程1，我们可以求得y 的值为1。

因此，这个二元一次方程组的解为x=2，y=1。

二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。

它的基本思想是通过对方程组进行加减运算，消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。

例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将方程1乘以3，方程2乘以2，得到：方程1：6x + 3y = 15方程2：6x - 2y = 2然后将方程2的两倍加到方程1上，得到：9y = 17解这个一元一次方程，我们可以得到y的值为17/9。

将y的值代入方程1，我们可以求得x的值为5/3。

因此，这个二元一次方程组的解为x=5/3，y=17/9。

三、图像法图像法是解决二元一次方程组的另一种可视化方法。

它的基本思想是将方程组转化为直线的图像，通过观察直线的交点来求解方程组的解。

例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将这两个方程转化为直线的形式：方程1对应的直线为：y = -2x + 5方程2对应的直线为：y = 3x - 1我们可以在坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。

二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。

解决这种方程组的方法有很多种，下面将介绍其中三种常见的解法。

方法一：代入法代入法是一种比较简单直观的解二元一次方程组的方法。

假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先将其中一个方程（不妨设为方程1）的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程（方程2）中消去这个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的一次方程。

例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程2中y表示为x的函数（y = 5x - 1），将其代入方程1中，得到：2x + 3(5x - 1) = 7然后将这个一次方程化简，求解得到x的值。

将x的值代入方程2中，即可得到y的值。

最终得到方程组的解。

方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。

它通过逐步消去一个未知数，将方程组化为只含有一个未知数的一次方程，然后求解得到解。

例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程1乘以5，将方程2乘以2，然后将两个方程相减，消去y的系数，得到一个只含有x的一次方程：10x + 15y = 3510x - 2y = 2--------------17y = 33通过化简这个一次方程，求解得到y的值。

将y的值代入方程1或方程2中，即可得到x的值。

最终得到方程组的解。

方法三：Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解二元一次方程组的方法。

假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先计算系数矩阵A的行列式值D，然后在D中用方程组右边的常数项替换掉A的某一列，得到矩阵Dx。

同理，用方程组右边的常数项替换掉A的另一列，得到矩阵Dy。

二元一次方程组的解法二元一次方程组是指包含两个未知数和两个方程的方程组。

解二元一次方程组的常用方法有消元法、代入法和矩阵法等。

下面将分别介绍这三种方法的步骤和应用。

一、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法，它的基本思想是通过消去一个未知数，从而将方程组转化为只含一个未知数的一次方程，进而求解。

假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 通过等式的加减消去一个未知数。

选择其中一个方程，将其系数乘以另一个方程中与其同未知数的系数的相反数，然后将两个方程相加或相减，消去该未知数。

2. 获得新的一次方程，其中只含有一个未知数。

3. 解新的一次方程，求得该未知数的值。

4. 将求得的未知数值代入原方程中，求得另一个未知数的值。

5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。

二、代入法代入法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它的基本思想是将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程，从而将方程组转化为只含一个未知数的方程，进而求解。

假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 选择一个方程，将其一个未知数表示为另一个未知数的函数，例如将（1）中的 x 表示为 y 的函数：x = f(y)。

2. 将函数表达式代入另一个方程（2），得到只含有一个未知数 y的一次方程。

3. 解这个一次方程，求得 y 的值。

4. 将求得的 y 值代入第一个方程（1），求得 x 的值。

5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。

三、矩阵法矩阵法是用矩阵运算的方法解二元一次方程组，它的基本思想是将方程组转化为矩阵方程，通过对矩阵的运算得到解。

假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）将方程组表示为矩阵形式：⎛ a₁ b₁⎞⎛ x ⎞⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ a₂ b₂⎠ * ⎝ y ⎠ = ⎝ c₂⎠利用矩阵的逆矩阵，可以得到未知数向量的值：⎛ x ⎞⎛ a₁ b₁⎞⁻¹⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ y ⎠ = ⎝ a₂ b₂⎠⎝ c₂⎠通过计算矩阵的逆矩阵，可以求得未知数的值。

一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2B．－2C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。

【数学知识点】二元一次方程详细解法步骤
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

接下来分享二元一次方程的解法，供参考。

(1)等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)，用另一个未知数(如x)的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式;
(2)代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程，求出x的值;
(4)回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解;
(5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。

解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。

该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。

(1)变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;
(2)加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;
(4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值;
(5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。

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二元一次方程组解法【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．要点三、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．例1、解方程组（两种方法灵活运用）：237338x y x y +=⎧⎨-=⎩①②104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩2320,2352y 9.7x y x y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩36101610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩【变式】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.例2如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式】若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．例3.已知2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b +的值．例4小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．巩固练习1、已知是方程组的解，则a﹣b的值是（）A.﹣1B.2C.3D.42、如果方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，则k=（）A. B. C.3 D.－33.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A.4119x yx y⎧+=+=⎪⎨⎪⎩B.57x yy z+=+=⎧⎨⎩C.1326xx y=-=⎧⎨⎩D.2130x ax y+=-=⎧⎨⎩4．由方程组+=43x my m⎧⎨-=⎩可得出x与y之间的关系是()．A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－75．己知x,y满足方程组612328x yx y+=⎧⎨-=⎩，则x+y的值为（）A．5 B．7 C．9 D．36．方程x﹣y＝﹣2与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为24xy=⎧⎨=⎩，那么这个方程可以是（）A．3x﹣4y＝16 B．2（x+y）＝6x C．14x+y＝0 D．4x﹣y＝07. 已知2x n−3−13y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，则n m＝________．7.已知关于x 、y 的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论a 取何值，x ，y 的值都不可能互为相反数； ③当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝4﹣a 的解； ④x ，y 的值都为自然数的解有4对，其中正确的有（ ） A ．①③B ．②③C ．③④D ．②③④8.现有n （n ＞3）张卡片，在卡片上分别写上﹣2、0、1中的任意一个数，记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，若将卡片上的数求和，得x 1+x 2+x 3+…+x n ＝16；若将卡片上的数先平方再求和，得x 12+x 22+x 32+…+x n 2＝28，则写有数字“1的卡片的张数为（ ） A ．35B ．28C ．33D ．209.对于二元一次方程组我们把x ，y 的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数进行变换的过程．如解二元一次方程组时，我们用加减消元法消去x ，得到的矩阵为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题10.方程mx －2y=x+5是二元一次方程时，则m________． 11.若关于x ，y 的方程组的解满足4x +3y ＝14，则n 的值为 ．12.若二元一次方程组和的解相同，则xy ＝ ．13.用加减消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝－1，①4x ＋2y ＝1，①由①×2－①得 .14.a －b=2，a －c=3，则（b －c ）3－3（b －c ）+94=________． 15.一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有________名，士兵有________名．实际问题与二元一次方程组要点一、常见的一些等量关系（一） 1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价. 5行程问题速度×时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 6存贷款问题利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×121. 7数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ． 8方案问题在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；【典型例题】类型一、和差倍分问题例1.为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？类型二、配套问题例2.某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？【变式】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？类型三、工程问题例3.一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）例4.甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价．实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲乙两件服装的成本各是多少元？【变式】为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共位880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是多少？类型五、行程问题例5.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.【变式】已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度．类型六、存贷款问题例6.某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付出4.4万元利息，已知甲种贷款每年的利率为10%，乙种贷款每年的利率为8%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为多少？例7.小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？类型八、方案选择问题例8.一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．)(1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；(2)求本次奖金发放的具体方案．二元一次方程组巩固练习1. 若x |2m−6|+(m −2)y ＝8是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的值是（ ） A.1B.3.5C.2D.3.5或2.52. 方程x −3y ＝1，xy ＝2，x −1y =1，x −2y +3z ＝0，x 2+y ＝3中是二元一次方程的有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个3. 下列各等式中，是二元一次方程的是( ) A.2x −1y =0B.3x +y =0C.x 2−x +1=0D.xy +1=04. 若方程3x |m|−2＝3y n+1+4是二元一次方程，则m ，n 的值分别为（ ） A.2，−1B.−3，0C.3，0D.±3，05. 已知关于x ，y 的二元一次方程组{x +3y =4−ax −y =3a，给出下列结论中正确的是（ ）①当这个方程组的解x ，y 的值互为相反数时，a ＝−2；②当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝4+2a 的解；③无论a 取什么实数，x +2y 的值始终不变；④若用x 表示y ，则y =−x2+32； A.①②B.②③C.②③④D.①③④6. 关于x 、y 的二元一次方程组{3x −2y =5−4m2x −4y =2m +3 的解满足x +2y ＝11−3m ，则m 的值是（ ）A.3B.−3C.−1D.17. 把方程2x −y ＝3改写成用含x 的式子表示y 的形式正确的是（ ） A.2x ＝y +3B.x =y+32C.y ＝2x −3D.y ＝3−2x8. 坐标平面上，若点(3, b)在方程式3y =2x −9的图形上，则b 值为何( ) A.−1B.2C.3D.99. 若方程x 2+bx +c =0(b ，c 是常数)的解是x 1=1，x 2=−3，则方程(2x +3)2+b(2x +3)+c =0的解是( )A.x 1=−1,x 2=−3B.x 1=1,x 2=−3C.x 1=−1,x 2=3D.x 1=1,x 2=310. 二元一次方程2x +3y =15的正整数解的个数是（ ） A..1个B.2个C.3个D.4个11. 下列各方程组中，属于二元一次方程组的是( )A.{x =0,y =2 B.{x +y =0,z +y =2 C.{x +y =0,1x+y =2D.{x +y =0,xy =2 12. 若方程组{ax +by =32ax +by =4与方程组{2x +y =3x −y =0有相同的解，则a 、b 的值分别为（ ）A.1，2B.1，0C.13，−23D.−13，2313. 已知方程x −2=2x +1的解与方程k(x −2)=x+12的解相同，则k 的值是（ ）A.15 B.−15C.2D.−214. 若2x−13=5与kx −1=15的解相同，则k 的值为( )A.8B.2C.−2D.615. 已知2x n−3−13y 2m+1＝0是关于x ，y 的二元一次方程，则n m ＝________． 16. 若方程x |a|−1+(a −2)y ＝3是二元一次方程，则a 的值为________．17. 方程(k 2−1)x 2+(k +1)x +2ky ＝k +3，当k ＝________时，它为二元一次方程． 18. 4x a+2b−5−2y 3a−b−3=8是二元一次方程，那么a =________，b =________．19. 某花店有甲乙两款花，其中每束甲花7元，每束乙花15元，若他一共用了115元，那么他能买________束花．20. 已知6x −2y ＝3，用含y 的代数式表示x ，则________． 21. 已知关于x 、y 的二元一次方程组{3x +5y =63x +ky =10给出下列结论：①当k =5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x +15y =16的解，则k =10； ③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解（x 、y 均为整数）， 其中正确的是________（填序号）．24. 已知：{x =m +2y =5−m 2． (1)用x 的代数式表示y ；(2)如果x 、y 为自然数，那么x 、y 的值分别为多少？(3)如果x 、y 为整数，求(−2)x ⋅4y 的值．25. 下列方程：①2x +5y =7；②x =2y +1；③x 2+y =1；④2(x +y)−(x −y)=8；⑤x 2−x −1=0；⑥x−y 3=x+y 2−1；（1）请找出上面方程中，属于二元一次方程的是：________（只需填写序号）；（2）请选择一个二元一次方程，求出它的正整数解；（3）任意选择两个二元一次方程组成二元一次方程组，并求出这个方程组的解．26. 已知方程(m −3)x n−1+y m2−8=0是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值．27. 已知关于x ，y 的方程(k 2−1)x 2+(k +1)x +(k −7)y =k +2．（1）当k 取什么值时，该方程为一元一次方程？（2）当k 取什么值时，该方程为二元一次方程？28. 某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A ，B 两种客车可供租用，A 型客车每辆载客量45人，B 型客车每辆载客量30人．若租用4辆A 型客车和3辆B 型客车共需费用10700元；若租用3辆A 型客车和4辆B 型客车共需费用10300元．(1)求租用A ，B 两型客车，每辆费用分别是多少元；(2)为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？29. 在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A 、B 两组卡片，每组各3张，A 组卡片上分别写有0，2，3；B 组卡片上分别写有−5，−1，1．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A 组中随机抽取一张记为x ，乙从B 组中随机抽取一张记为y ．（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是−1，它们恰好是ax −y ＝5的解，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax −y ＝5的解的概率．（请用树形图或列表法求解）30. 已知{x =4y =−2与{x =1y =1都是方程mx +ny =6的解． (1)求m 和n 的值；(2)用含有x的代数式表示y；(3)若y是不小于−2的数，求x的取值范围．31. 已知甲种物品毎个重4kg，乙种物品毎个重7kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg．（1）列出关于x，y的二元一次方程；（2）若x＝12，则y＝________．（3）若乙种物品有8个，则甲种物品有________个．32. 已知关于x，y的二元一次方程组{x−y=m+3x+y=3m−5.(1)求这个方程组的解（用含m的式子表示）；(2)若这个方程组的解x，y满足2x−y>1成立，求m的取值范围．。

二元一次方程组的解法二元一次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组。

解决这样的方程组可以使用多种方法，包括消元法、代入法和图解法等。

本文将介绍这些解法的步骤和应用示例。

1. 消元法消元法是一种常用的解二元一次方程组的方法。

它通过将其中一个方程的未知数系数倍乘以另一个方程的系数，使得两个方程中的一个未知数的系数相等或相差一个倍数，进而将自变量消去，从而求得另一个未知数的值。

具体步骤如下：步骤1：观察两个方程，确定哪个未知数系数的倍数可以使得两个未知数的系数相等或相差一个倍数。

步骤2：将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。

步骤3：解得一个未知数的值。

步骤4：将求得的未知数代入任意一个方程中，求得另一个未知数的值。

下面是一个示例：例题：解方程组方程1：2x + 3y = 7方程2：3x - 4y = 8解答过程：步骤1：由观察可知，方程1的横坐标系数的倍数可以使得两个方程中y的系数相等，因此我们将方程1的系数倍乘以方程2的系数，得到6x + 9y = 21和3x - 4y = 8。

步骤2：将两个方程相减，得到(6x + 9y) - (3x - 4y) = (21 - 8)。

化简得到3x + 13y = 13。

步骤3：解得x = 1。

步骤4：将x = 1代入方程1中，得到2(1) + 3y = 7。

化简得到3y = 5，解得y = 5/3。

因此，方程组的解为x = 1，y = 5/3。

2. 代入法代入法是另一种解二元一次方程组的常用方法。

它通过将其中一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得另一个未知数的值。

具体步骤如下：步骤1：解其中一个方程，得到一个未知数的值。

步骤2：将求得的未知数的值代入到另一个方程中，求得另一个未知数的值。

下面是一个示例：例题：解方程组方程1：3x - 4y = 2方程2：2x + y = 7解答过程：步骤1：解方程1，得到x = (2 + 4y)/3。

步骤2：将x = (2 + 4y)/3代入方程2，得到2(2 + 4y)/3 + y = 7。

一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式. 6、二元一次方程组解的情况 若二元一次方程组（a 1，a 2，b 1，b 2，c 1，c 2均为不等于0的已知数），则 （1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（ ）① ② ③④mn ＋m=7 ⑤x ＋y=6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）在方程(k 2－4)x 2＋(2－k)x ＋(k ＋1)y ＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 的值为（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5 ③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。

二元一次方程的解法二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

1.消元解法“消元”是解二元一次方程组的基本思路。

所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。

这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。

代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.。

这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。

（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。

2．加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、消元法解二元一次方程组：(1) 基本思路：未知数又多变少。

(2) 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

6.解法：通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。

例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y ③把③带入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7把y=59/7带入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解加减消元法：例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+② 2x=14即 x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解7. 二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6① 2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。

教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2， (x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

二元一次方程组的解法步骤
引言
在代数学中，二元一次方程组是一种包含两个未知数的线性方程组。

解二元一次方程组是代数中的基本问题之一，下面将介绍解二元一次方程组的步骤。

步骤一：消元法
首先，我们需要对二元一次方程组中的两个方程进行消元操作。

消元法可以让我们得到一个只含有一个未知数的方程，从而简化计算过程。

步骤二：整理方程
经过消元操作后，我们得到一个简化的方程，接下来需要整理方程，将未知数的系数移到方程的一侧，常数移到另一侧，使方程变成标准形式。

步骤三：代入法
在得到整理后的方程之后，我们可以使用代入法来求解未知数的值。

通过将一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程中，可以得到未知数的解。

步骤四：检验解
最后一步是对求得的解进行检验。

将解代入原方程组中，检验是否满足原方程组两个方程中的所有条件，如果满足，则表示求解正确。

结论
通过以上四个步骤，我们可以解出二元一次方程组的未知数的值。

二元一次方程组是代数学中常见的问题，掌握解题步骤对培养逻辑思维能力有很大帮助。

希望以上内容能够帮助您更好地理解二元一次方程组的解法步骤。

二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。

二元一次方程含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

注意：二元指的就是含有2个系数不为0的未知数；一次指的就是所有未知数的次数都是1，方程则要求必须是等式。

二元一次方程组由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。

二元一次方程组的解一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解法1、代入消元法通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。

求解步骤：1) 从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；2) 把1）中所得的新方程代入另一个方程，消去一个未知数；3) 解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.4) 把所求得的一个未知数的值代入1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。

2、加减消元法两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求解方法叫做加减消元法。

求解步骤：1) 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使相乘后一个未知数的系数与另一方程中该未知数的系数互为相反数或相等；2) 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3) 解这个一元一次方程；4) 将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。

在掌握二元一次方程组基本解法后，我们就得研究如何利用二元一次方程求解实际问题。

针对二元一次方程组经常涉及到的11种经典题型，豆豆老师逐一给大家进行举例讲解，希望大家认真看，用心学。

经典题型1、行程问题例：甲、乙两人相距40千米，两人相向而行，如果甲比乙先走3 小时，那么他们在乙出发1小时后相遇；如果乙比甲先走1 小时，那么他们在甲出发2小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？思路分析：不管哪种情况，他们两人走的路程之和都等于40千米，而这也是我们列方程组的关键。

二元一次方程组的概念及解法二元一次方程组是含有两个未知数，且未知数的指数都是1的方程。

当把两个二元一次方程合在一起时，就组成了一个二元一次方程组。

方程组的解是使得两个方程的未知数相等的值。

公共解是指两个方程的解都相同的值。

例如，在方程组中，是一个二元一次方程组的例子。

另外，已知二元一次方程2x－y＝1，当x＝2时，y＝3；当y＝1时，x＝3.消元解法是解二元一次方程组的一种方法。

代入消元法是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中进行消元。

加减消元法是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后解出另一个未知数。

例如，方程2x－y－5＝0可以表示为x＝(y+5)/2，y＝2x-5.另外，方程组可以用消元解法来解，例如，方程组(2x+3y=40.x-y=-5)可以用加减消元法解出x=11，y=6.举例来说，如果有一个两位数，其个位和十位数字之和为11，将其个位数字和十位数字对调后得到的数比原数大63，那么可以用代数式表示原数为(10y+x)，对调后的数为(10x+y)，则可以列出方程组(10y+x+63=10x+y。

x+y=11)。

解方程组可以得到x=8，y=3，因此原数为83.鸡兔同笼”问题是另一个例子，可以用二元一次方程组表示。

题目中给出了总共30个头和94只脚，因此可以列出方程组(2x+4y=30.2x+2y=94)，其中x表示鸡的数量，y表示兔的数量。

解方程组可以得到x=12，y=9，因此鸡的数量为12，兔的数量为9.综上所述，二元一次方程组是含有两个未知数和未知数的指数都是1的方程组。

解二元一次方程组可以使用消元解法，包括代入消元法和加减消元法。

实际问题可以用二元一次方程组来表示，然后解方程组得出答案。

1.在方程y=-3x-2中，若x=2，则y=-8.若y=2，则x=-4.2.若方程2x-y=3写成用含x的式子表示y的形式：y=2x-3；写成用含y的式子表示x的形式：x=(y+3)/2.3.已知43=2x-3y+1，4x-15y-17=0，6x-25y-23=0，则x=3，y=-2.4.二元一次方程3x-my=4和mx+ny=3有一个公共解，则m=-4，n=3.5.已知|a-b+2|+(b-3)^2=1，那么ab=-1.6.对于方程组(1){xy= -10.x+y=-2}，是二次方程组；(2){x-y=1.x/y=3/4}，是一次方程组；(3){x+y=5.xy=3}，是二次方程组；(4){x+y=3.x=2y}，是一次方程组。