(版)2018年高考数学一轮复习第04章三角函数与解三角形测试题

第04章 三角函数与解三角形 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【2017浙江台州上期末】已知，则( )A. B. C. D.【答案】C2.【2018河北石家庄二中八月模拟】点)P a 是角660︒终边上一点，则a =( )A. 3-B. 3C. 1-D. 1 【答案】A【解析】因为tan660=，所以3a =⇒=-，应选答案A 。

3．在△ABC 中，若，则△ABC 的形状（ ）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形 【答案】B【解析】由正弦定理，得，所以，，又因为，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 4．【2018广东茂名五大联盟学校9月】的内角的对边分别是，已知，，，则等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B5．【2017湖北浠水实验高级中学】若1cos23θ=，则44sin cos θθ+的值为（）A. 1318B. 1118C. 59D. 1【答案】C【解析】221cos23cos sin θθθ=-=.又221cos sin θθ+=.解得222133cos sin θθ==，.()2442222215sin cos 212339cos sin sin cos θθθθθθ+=+-=-⨯⨯=.故选C.6.【2017浙江台州4月调研】在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】根据正弦定理可得，而，整理为：，所以，所以，，解得，因为，所以或 ，当时， ，此时的面积为，当时，，此时的面积为 ,故选C.7．【2018四川成都彭州中学9月】已知函数()2sin (0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π【答案】C再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=， 0,3πϕπϕ<<∴=，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=. 8．【2018广西南宁马山金伦中学开学】为了得到函数的图像，只。

三角函数、解三角形 章节验收测试卷A 卷姓名班级准考证号1．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin cos αα+的值等于( ) A.25−B.45C.35-D.25【答案】A 【解析】因为角α的终边过点()4,3,5P r OP −==， 所以利用三角函数的定义，求得34,cos 55sin αα=−=， 3422cos 2555sin αα∴+=−⨯+=−，故选A.2．将函数()1223f x sin x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象上每一个点向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A.,,44k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦B.3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.2,,36k k k Z ππππ⎡⎤−−∈⎢⎥⎣⎦D.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由题意可知平移后的解析式：()1sin 223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数()y g x =的单调递增区间：222232k x k πππππ−≤+≤+解得：5 1212k x k k Z ππππ−≤≤+∈3．若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．【解析】 因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.4．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】 由题可知所以由余弦定理所以，故选C.5．已知函数()222cos sin 2f x x x =−+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x −=+−+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max35422f x =+=，故选B. 6．已知4sin cos 3αα−=，则sin 2α=（ ）． A ．79−B ．29− C ．29D ．79【答案】A 【解析】 【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα−−===−−.所以选A.7．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │ D ．f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．8．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D 【解析】当[0,2]x π∈时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选：D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若＝，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为A ．4B ．2C ．3D ．【答案】A 【解析】 ∵在△ABC 中＝，∴，由正弦定理得，∴．又，∴，∵，∴．在△ABC 中，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立．∴△ABC 的面积.故选A ．10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 11．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2， 故选：D ．12．锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22b a ac −=，函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f B 的取值范围是（ ） A.1(,1)2 B.1(,1]2C.D.1(2【答案】A 【解析】22b a ac −=，22222cos b a c ac B a ac ∴=+−=+，2cos c a B a ∴=+，sin 2sin cos sin C A B A ∴=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A ∴=−=−，三角形ABC 为锐角三角形，A B A ∴=−，2B A ∴=，3C A π∴=−，∴022302202B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<−<⎨⎪⎪<<⎪⎩(3B π∴∈，)2π()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=cos 22sin cos cos(2)sin(2)34432x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−++=−−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=sin(2)6x π−，所以()sin(2)6f B B π=−,因为252,23266B B πππππ<<∴<−<,所以1()12f B <<. 故选：A13．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3 【解析】0x π≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点。

真题演练集训1．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725答案：D解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4·sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α，得 α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B. 3．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________. 答案： 2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158.课外拓展阅读 给值求角忽视角的范围致误已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又∵sin(α＋β)＝5314，∴cos(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝－1114. ∴sin β＝sin ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝32. 又∵0<β<π，∴β＝π3或2π3.(1)不能根据题设条件缩小α，β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin(α＋β)时不能正确判断符号，产生两角解．(2)结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2.又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1114，所以cos β＝cos＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.π3答题启示利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．。

1．y＝A sin(ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）(A〉0，ω〉0），x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝错误!f＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0π2π错误!2πy＝A sin（ωx＋φ）0A0－A03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ) （A>0，ω>0）的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y＝sin ωx到y＝sin（ωx＋φ)(ω>0，φ〉0）的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y＝A sin（ωx＋φ）的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋错误!,k∈Z确定;对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √）（2）将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ（φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin（ωx－φ）的图象．（×)（3）利用图象变换作图时“先平移，后伸缩"与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致．( ×)（4)函数y＝A sin（ωx＋φ）的最小正周期为T＝错误!。

( ×) (5）把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的错误!,所得图象对应的函数解析式为y＝sin 12x。

（×)(6)若函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．(教材改编）y＝2sin(错误!x－错误!）的振幅，频率和初相分别为( ）A．2，4π，错误!B．2，错误!，错误!C．2，错误!，－错误!D．2，4π,－错误!答案C解析由题意知A＝2，f＝错误!＝错误!＝错误!，初相为－错误!. 2．（2015·山东）要得到函数y＝sin错误!的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象( )A．向左平移π12个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移错误!个单位D．向右平移错误!个单位答案B解析∵y＝sin错误!＝sin错误!，∴要得到y＝sin错误!的图象,只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移错误!个单位．3．（2016·青岛模拟）将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动错误!个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），所得图象的函数解析式是( ）A．y＝sin（2x－错误!）B．y＝sin（2x－错误!）C．y＝sin（错误!x－错误!）D．y＝sin（错误!x－错误!）答案C解析y＝sin xπ10右移个单位−−−−−→y＝sin（x－错误!)错误!y＝sin(错误!x－错误!）．4．(2016·临沂模拟）已知函数f(x)＝A cos(ωx＋θ）的图象如图所示,f(错误!)＝－错误!,则f(－错误!）＝________。

1．角的概念(1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内,构成的角的集合是S＝{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝．(3)象限角:使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制（1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0。

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝错误!rad,1 rad＝错误!°。

(3）扇形的弧长公式：l＝｜α|·r，扇形的面积公式：S＝错误!lr＝错误!|α|·r2。

3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x,tan α＝错误!(x≠0）．三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin αR＋＋－－cos αR＋－－＋tan α{α|α≠kπ＋错误!，k∈Z}＋－＋－4。

三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T。

三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线。

【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义（推广）设P（x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!（x≠0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（×）(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(√）（3）不相等的角终边一定不相同．（×）(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√）(5）若α∈(0，错误!)，则tan α>α〉sin α.（√)(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(√)1．角－870°的终边所在的象限是(）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同,在第三象限．2．(教材改编）已知角α的终边与单位圆的交点为M（错误!，y)，则sin α等于(）A 。

2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式真题演练集训 理 新人教A 版1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案：D解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D. 2．[2016·四川卷]cos 2π8－sin 2π8＝________. 答案：22 解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2 π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＝22. 3．[2015·四川卷]sin 15°＋sin 75°的值是________． 答案：62解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 15°＋22cos 15° ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)＝2sin 60°＝2×32＝62. 4．[2015·江苏卷]已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 答案：3解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝17－－1＋17－＝3.课外拓展阅读三角恒等变换的综合问题1．三角恒等变换与三角函数性质的综合应用利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点．[典例1] [改编题]已知函数f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx 2＋2＋a (其中ω>0，α∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间[6,16]上的最大值为4，求a 的值．[解] (1)f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx 2＋2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋a ， 由题意，知2ω＋π4＝π2，得ω＝π8. 所以最小正周期T ＝2πω＝16. (2)f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＋a ， 因为x ∈[6,16]，所以π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，9π4. 由图象可知(图略)，当π8x ＋π4＝9π4， 即当x ＝16时， f (x )的最大值，由22sin 9π4＋a ＝4，得a ＝2. 2．三角恒等变换与三角形的综合三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．[典例2] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，α＋A α＋B cos 2α＝25，求tan α的值．[解] (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4. (2)由题意，得 αsin A －cos αcos A αsin B －cos αcos Bcos 2α＝25， 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4， 所以sin(A ＋B )＝22. 因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.3．三角恒等变换与向量的综合三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．[典例3] 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，是共线向量．(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值． [思路分析] (1)向量共线→三角函数式――→化简得sin 2A 的值→得锐角A (2)化函数为A ωx ＋φ＋b 的形式→根据B 的范围求最值 [解] (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34. 又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3. (2)y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6， 所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值， 解得B ＝π3，y max ＝2.。

1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 3．(2016·青岛模拟)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 y ＝sin x π10−−−−−→右移个单位 y ＝sin(x －π10)―――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)．4．(2016·临沂模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (－π6)＝________.答案 －23解析 由题图知，函数f (x )的周期 T ＝2(11π12－7π12)＝2π3，所以f (－π6)＝f (－π6＋2π3)＝f (π2)＝－23.5．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x＋π4－2φ)， 又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心． 解 由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z .思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)答案 A解析 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝cos 2x .题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又∵1112π是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．思维升华 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }答案 B解析 根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值．题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例3 (2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m 的取值范围是__________． 答案 [2π9，5π18]解析 画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin(x ＋π3)，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．为了得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6个单位长度B ．向右平移5π6个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 C解析 由题意，得y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin 2(x ＋5π12)，则它是由y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位得到的，故选C. 2．若f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－1，则实数b 的值为( ) A ．－2或0 B ．0或1 C ．±1 D ．±2答案 A解析 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .当直线x ＝π6经过最高点时，φ＝π6；当直线x ＝π6经过最低点时，φ＝－56π.若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝0；若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －56π＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝－2.所以b ＝－2或b ＝0.3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π 答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12 B.32C.22D ．1答案 B解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12 D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称答案 B解析 由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A 、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8.(2017·长春质检)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f (16)＝12cos π6＝34.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.10.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．答案 －5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎫1300，10， ∴10sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，∴5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为[k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x ·cos x －32. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和． 解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π2＝π，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z .(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3. *13.(2016·潍坊模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos (3x ＋π4)2＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]的图象中,五个关键点是：（0，0），(错误!,1),（π，0),(错误!，－1)，（2π,0)．余弦函数y＝cos x，x∈［0，2π］的图象中，五个关键点是：(0，1)，（错误!，0)，(π，－1),(错误!，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R ｛x｜x∈R 且x≠错误!＋kπ，k∈Z}值域[－1,1］[－1,1]R【知识拓展】1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝A sin（ωx＋φ）(A，ω≠0），则(1)f（x)为偶函数的充要条件是φ＝错误!＋kπ(k∈Z）；（2）f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．（×)(2)常数函数f(x)＝a是周期函数,它没有最小正周期．（√）(3）正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．（×）（4)已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1.（×)（5)y＝sin ｜x|是偶函数．( √)(6)若sin x>错误!，则x>错误!.（×)1．函数f（x）＝cos（2x－错误!)的最小正周期是( ）A.错误!B．πC．2π D．4π答案B解析最小正周期为T＝错误!＝错误!＝π.故选B.2．（教材改编）函数f(x）＝3sin(2x－错误!)在区间［0，错误!］上的值域为( ）A．［－错误!，错误!] B．[－错误!，3]C．［－错误!，错误!］D．[－错误!，3]答案B解析当x∈［0，错误!］时,2x－错误!∈［－错误!，错误!]，sin（2x－错误!）∈［－错误!，1],故3sin(2x－错误!）∈[－错误!，3]，即f（x)的值域为［－32，3]．3．函数y＝tan 2x的定义域是（) A。

第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式[A 级 基础巩固]1．(多选题)若cos(π＋α)＝－12，则sin(α－2π)可以等于()A.12B ．－12 C.32D ．－32解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，所以sin α＝±32，故sin(α－2π)＝sin α＝±32. 答案：CD2．(2020·某某模拟)已知直线2x －y －1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos 2α＝() A.25B ．－65 C ．－45D ．－125解析：由题意知tan α＝2，所以sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－2tan 2α＋1＝25. 答案：A3．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为()A ．－32B.32C ．－34D.34解析：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， 所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 答案：B4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝3，又|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D5．(2020·某某重点中学联考)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos(5π14＋α)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫15π14＋α＝()A ．－53B ．－35C.35D.53 解析：由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53.答案：A6．(2020·某某一中月考)已知cos(α＋π)＝25，则sin(2α＋π2)＝()A.725B ．－725C.1725D ．－1725解析：由cos(α＋π)＝25，得cos α＝－25，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－1725.答案：D7．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是()A.35B ．－35 C ．－3 D ．3解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝ 1＋tan α1＋tan 2α＝35. 答案：A8．(多选题)已知－π2<θ<π2，则sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0，1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是()A ．－3B ．－13C ．－14D ．－1解析：由sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0，1)， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22， 又－π2<θ<π2，所以0<θ＋π4<π4，从而－π4<θ<0，因此－1<tan θ<0，则满足题目的取值为－13与－14.答案：BC9．(2017·卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________．解析：由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z)，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z)，所以sin β＝sin α＝13.答案：1310．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－3311．(2020·潍坊一中质检)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan αtan β＝________． 解析：因为sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β， tan αtan β＝2. 答案：212．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α＝________． 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2， sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－25[B 级 能力提升]13．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝()A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：因为f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，所以a sin α＋b cos β＝1，所以f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.答案：A14．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝()A.15B.55C.255D ．1 解析：由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 所以tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， 所以|a －b |＝55. 答案：B15．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． 解析：由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4， 所以m ＝1－ 5. 答案：1－ 5[C 级 素养升华]16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cosα＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0<α<π4，所以0<sin α<cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：3545。

真题演练集训1．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15C ．－15D ．－725 答案：D解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4·sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案：B解析：解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得 sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得 α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2. 解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z . 当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B. 3．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________. 答案： 2 1解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ＜π2得k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 课外拓展阅读给值求角忽视角的范围致误已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________. ∵0<α<π，cos α＝17， ∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. 又∵sin(α＋β)＝5314， ∴cos(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝－1114. ∴sin β＝sin ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝32. 又∵0<β<π，∴β＝π3或2π3. (1)不能根据题设条件缩小α，β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin(α＋β)时不能正确判断符号，产生两角解．(2)结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误．因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2.又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π. 由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114， 所以cos β＝cos ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12， 又0<β<π，所以β＝π3. π3答题启示利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值．。

专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念【考试要求】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．【知识梳理】1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r (弧长用l 表示) 角度与弧度的换算1°＝π180 rad ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° 弧长公式弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.【微点提醒】1.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.象限角的集合4.轴线角的集合【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( )(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)锐角的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.(3)顺时针旋转得到的角是负角.(4)终边相同的角不一定相等.【教材衍化】2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为()A.－12B.12C.－32D.32【答案】 A【解析】 由题意得m <0且8m(8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 3.(必修4P4例1改编)在－720°～0°X 围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.【答案】 {－675°，－315°}【解析】 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ).解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.【真题体验】4.(2019·某某模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 D【解析】 由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.【答案】 3【解析】 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，所以α＝ 3.6.(2019·某某模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α<0，则tan α＝________.【答案】 －1【解析】 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－x x＝－1.【考点聚焦】 考点一 角的概念及其集合表示 【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.【答案】 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π 【解析】 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角. (2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【规律方法】 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z )的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的X 围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.【答案】 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 【解析】 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π， 所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 考点二 弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 【答案】见解析【解析】由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). 【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.【答案】见解析【解析】l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2). 【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】见解析【解析】由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10).所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25， 所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【规律方法】1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.【训练2】 (一题多解)(2019·某某质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米【答案】 B【解析】 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3. 所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米). 法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB＝12×4×4×sin 2π3＝4 3. 故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 考点三 三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12， 则sin(π＋α)＝－sin α＝－12. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.【规律方法】 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【训练3】 (1)(2019·某某一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________. 【答案】 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 【解析】 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－2425. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的X 围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .【反思与感悟】1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP |＝r 一定是正值.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.【易错防X 】1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z ) 【答案】 C【解析】 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确.3.(2019·某某区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27 B.127C.9 D.19【答案】 B【解析】 ∵tan 7π3＝3m m＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( )A.(2cos θ，2sin θ)B.(－2cos θ，2sin θ)C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)【答案】 C【解析】 由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ).5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】 B【解析】 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角.6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝() A.－45B.－35C.35D.45【答案】 B【解析】 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255 B.－55C.55D.255【答案】 A【解析】 由三角函数定义，cos α＝25＝255，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【答案】 D【解析】 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 二、填空题9.(2019·某某徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________. 【答案】 3【解析】 由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 10.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 【答案】 π3【解析】 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.11.(2019·某某调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.【答案】 －43【解析】 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值X 围是________.【答案】 (－2，3]【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】 A【解析】 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.14.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D.1 【答案】 B 【解析】 由题意可知tan α＝b －a 2－1＝b －a ， 又cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（b －a ）21＋（b －a ）2＝23， ∴5(b －a )2＝1，得(b －a )2＝15，则|b －a |＝55. 15.函数y ＝2sin x －1的定义域为________.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )【解析】 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边X 围(如图阴影所示).∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ).16.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2的终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号. 【答案】见解析【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由(1)知2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 故k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限. (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号. 综上，tan α2sin α2cos α2取正号. 【新高考创新预测】17.(多填题)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (单位：cm)表示成t (单位：s)的函数，则d ＝________(其中t ∈[0，60])；d 的最大值为________cm.【答案】 10sin πt 6010 【解析】 根据题意，得∠AOB ＝t 60×2π＝πt 30，故d ＝2×5sin ∠AOB 2＝10sin πt 60(t ∈[0，60]).∵t ∈[0，60]，∴πt 60∈[0，π]，当t ＝30时，d 最大为10 cm.。

第04章 三角函数与解三角形第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【2017浙江台州上期末】已知，则( )A. B. C. D.【答案】C2.【2018河北石家庄二中八月模拟】点()3,P a 是角660︒终边上一点，则a = ( )A. 3-B. 3C. 1-D. 1 【答案】A【解析】因为tan6603=o，所以333a -=⇒=-，应选答案A 。

3．在△ABC 中，若，则△ABC 的形状（ ）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形 【答案】B【解析】由正弦定理，得，所以，，又因为，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 4．【2018广东茂名五大联盟学校9月】的内角的对边分别是，已知，，，则等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B5．【2017湖北浠水实验高级中学】若1cos23θ=，则44sin cos θθ+的值为（） A.1318 B. 1118 C. 59D. 1 【答案】C【解析】221cos23cos sin θθθ=-=.又221cos sin θθ+=. 解得222133cos sin θθ==，. ()2442222215sin cos 212339cos sin sin cos θθθθθθ+=+-=-⨯⨯=.故选C.6.【2017浙江台州4月调研】在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】根据正弦定理可得，而，整理为：，所以，所以，，解得，因为，所以或 ，当时， ，此时的面积为，当时，，此时的面积为 ,故选C.7．【2018四川成都彭州中学9月】已知函数()2sin (0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π【答案】C再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=， 0,3πϕπϕ<<∴=Q ，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=. 8．【2018广西南宁马山金伦中学开学】为了得到函数的图像，只要把函数上的所有点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度【答案】B【解析】设x x ϕ→+，则()2,555x x πππϕϕ++=-=-，向右平行移动个单位长度，选B.9．已知角α终边上一点P 的坐标为(),3a a （0a ≠），则cos sin sin cos αααα-+的值是（ ）A. 2B. -2C. 12D. 12- 【答案】D10．【2018黑龙江大庆中学开学】已知θ为锐角，且3cos 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5cos 12πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） 62+126 D. 6【答案】C【解析】由已知得55cos cos cos sin sin cos sin sin cos 1212121212πππππθθθθθ⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭53sin 12πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； θ为锐角， 56cos 12πθ⎛⎫∴-=⎪⎝⎭，故选C. 11．【2018云南玉溪第一中学第一次月考】函数()cos (0)6f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π内的值域为31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则w 的取值范围是A. 35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 0x π≤≤， 31cos 62x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则1166x πππω≤+≤，解得5365ω≤≤，选D. 12．【2018广东广州海珠区综合测试（一）】设函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A. ()f x 的一个周期为π-B. ()y f x =的图像关于直线23x π=对称 C. 2f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为3x π=-D. ()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】D【解析】()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期为T=k π,所以A 对第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【2017浙江温州中学11月模拟】在ABC ∆中，已知2AB =，1cos 3B =，若3BC =，AC 的长为__________；若点D 为AC 中点，且172BD =，sin A 的值为__________【答案】3，22. 【解析】试题分析：由余弦定理可知：222cos 3AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=；222224||||4||22||1722||2||||9244BC AC BC BC BA BC BC BD BC AC +-++⋅⋅⋅+⋅⋅=⇒=⇒-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵224||||1cos 322||BC AC B BC +-==⋅⋅u u u r u u u r u u u r ，联立方程，从而可知||3||3BC AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u u r，∴22sin sin 3A B ==，故填：3，22. 14．【2017浙江丽水下学期测试】已知()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为__________； 6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 【答案】 π 3 【解析】()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ， ∴f(x)的最小正周期22T ππ==， 22sin 22sin 36633f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故函数()f x 的最小正周期为π； 36f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 15．已知02x π-<<， 1sin cos 5x x +=，则24sin cos cos x x x -的值为__________． 【答案】6425-222224sin cos cos 41644sin cos cos x 125x x x tanx x x x sin cos x tan x ---===-++ 故答案为： 6425-16．【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________． 【答案】【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且 ，C 点坐标为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【2018湖北武汉部分学校起点】已知函数（为常数）（1）求的单调递增区间； （2）若在上有最小值1，求的值.【答案】(1)，；(2).【解析】试题分析：（1），∴，∴单调增区间为，（2）时，∴当时，最小值为∴.18．【2018黑龙江省大庆中学开学】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos ;B （2）若90B =o ，且2,a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1 由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-== （2）由（1）知22b ac =因为90B =o ，由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=，得2c a ==所以的面积为1.19．【2018湖北武汉部分学校起点】在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值； （2）若3b =b a ≤，求a 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) )3,3a ∈.得2222312sin 2sin 2cos sin 044B A B B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭化简得3sin A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故3A π=. （2）∵3b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤由正弦定理得：sin sin a b A B =即：3sin 32B=，即32sin a B =由13sin 2B ⎛∈ ⎝⎦知)3,3a ∈. 20．【2017浙江丽水下学期测试】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积()2212S a b c ⎡⎤=--⎣⎦．（1）求sin A 与cos A 的值； （2）设ba λ=，若tan 2C =，求λ的值. 【答案】（1）45{ 35sinA cosA ==（2）52λ=【解析】试题分析：(1)由题意结合面积公式可得sin 2cos 2A A +=，结合同角三角函数基本关系可得43sin ,cos 55A A ==. (2)利用两角和差正余弦公式结合正弦定理可得sin 5sin b B a A λ===试题解析：（2）易得sin 5C =， cos 5C =， ()sin sin sin cos cos sin 5B AC A C A C =+=+=所以sin 5sin b B a A λ===. 21．【2017 “超级全能生”浙江3月联考】已知()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><满足()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，若其图像向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数． （1）求()f x 的解析式；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos c a B b A -=，求()f A 的取值范围．【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭;（2）(]0,1. 【解析】试题分析：（1）由条件()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得周期，由周期求ω；由图像变换的函数为奇函数得ϕ的等量关系，由2πϕ<，解出ϕ；（2）由正弦定理将边角关系()2cos cos c a B b A -=转化为角的关系，解出B ；由锐角条件解出A 取值范围；根据()f A 函数关系式，结合正弦函数性质确定()f A 的取值范围．为奇函数，则有3k πϕπ+=， k Z ∈，而2πϕ<，则有3πϕ=-，从而()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）()2cos cos c a B b A -=，由正弦定理得： ()2sin cos sin sin C B A B C =+=， ∵0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∴3B π= ∵ABC ∆是锐角三角形， 232C A ππ=-<， ∴62A ππ<<，∴20233A ππ<-<， ∴(]sin 20,13A π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴()(]sin 20,13f A A π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 22．【2018辽宁庄河市高级中学开学】已知3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f B =，且3b =，求2ca -的取值范围. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）3,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝ 【解析】试题分析：230,3sin 336A A ππ⎛⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即可求出结果. 试题解析： （1）3x π=是函数()sin2cos2f x m x x =-的一条对称轴213f m π⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭21m -+3m ⇒=()2sin 26f x x π⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭ ⇒增区间： (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()2f B = sin 2163B B ππ⎛⎫⇒-=⇒= ⎪⎝⎭ 又3b = 2sin ,2sin 2sin 3a A c C A π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ 2sin sin(+=3sin 236c a A A A ππ⎛⎫⇒-=-- ⎪⎝⎭ 210,,sin ,1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 33sin 36A π⎛⎛⎫⇒-∈ ⎪ ⎝⎭⎝，即332c a ⎛⇒-∈ ⎝。

专题四 三角函数、解三角形考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C.1D.16251.A tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.2.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4 2.C [cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]3.(2014·大纲全国，3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b3.C [∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a .又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C.]考点2 三角函数的图象与性质1.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关 1.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]2.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度2.D[由题可知,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D.3.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π33.A[点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]4.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.54.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2π，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]5.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A.x ＝k π2－π6(k ∈Z )B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z )5.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.]6.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位6.B[∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.]7.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 7.D[易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎨⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.]8.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x8.A [A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 9.(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.109.C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]10.(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 10.D [由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确.]11.(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)11.A [由于f (x )的最小正周期为π,∴ω＝2,即f (x )＝A sin(2x ＋φ),又当x ＝2π3时,2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝⎛⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4， 又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.]12.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位12.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos 3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，故选C.]13.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 13.B [将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选B.]14.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π 14.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]15.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .15.7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]16.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得到.16.2π3[y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]17.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.17.π ⎣⎡⎦⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]18.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.18.解法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。

真题演练集训1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案：A解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π4＋k π2，0对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．2．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 答案：B解析：由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5答案：B解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以T ≥π6，k ≤112.又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.4．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案：π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z ) 解析：∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋32 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴ 函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x－3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π.当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 课外拓展阅读 三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．1．y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的最值可将y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 中的sin x 看作t ，即令t ＝sin x ，则y ＝at 2＋bt ＋c ，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x 的取值范围，求出t 的范围．另外，y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c ，y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 等形式的函数的最值都可归为此类．设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，求函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最值．令t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3→t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1→求得y ＝4t 2－12t －1的最值，即原函数的最值令t ＝sin x ，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.y ＝4t 2－12t －1＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －322－10，因为当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1时，函数单调递减， 所以当t ＝－12，即x ＝－π6时，y max ＝6；当t ＝1，即x ＝π2时，y min ＝－9.2．y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值可利用降幂公式⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＝1－cos 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 整理转化为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C 求最值．求函数y ＝sin x (cos x －sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π4的最大值．y ＝sin x (cos x －sin x ) ＝sin x cos x －sin 2x ＝12sin 2x －1－cos 2x2 ＝12(sin 2x ＋cos 2x )－12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12.因为0<x <π4，所以π4<2x ＋π4<3π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，y max ＝2－12.3．y ＝a sin x ＋cb cos x ＋d型函数的最值此类题目的特点是分子或分母中含有sin x 或cos x 的一次式的形式，一般可将其化为f (y )＝sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值．求函数y ＝3cos x2＋sin x 的最值．由y ＝3cos x2＋sin x ，得y sin x －3cos x ＝－2y ，所以y 2＋3sin(x －φ)＝－2y (其中φ为辅助角)，所以sin(x －φ)＝－2yy 2＋3，又|sin(x －φ)|≤1， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2y y 2＋3≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y y 2＋32≤1， 解得－1≤y ≤1，故y max ＝1，y min ＝－1.4．y ＝a (sin x ±cos x )＋b sin x cos x ＋c 型函数的最值对于y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x cos x ＋c ，令sin x ＋cos x ＝t ，t ∈，因为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，则函数就变为y ＝at ＋b ·t 2－12＋c 的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题．对于形如y ＝a (sin x －cos x )＋b sin x cos x ＋c 的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同．求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值．y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈， 且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.5．通过换元转化为代数函数的最值通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值．已知x ∈(0，π)，求函数y ＝3sin x1＋3sin 2x 的最大值．令sin x ＝tt→转化为求代数函数y ＝31t＋3t的最值→利用基本不等式求最值 令sin x ＝t (0<t ≤1)， 则y ＝3t 1＋3t 2＝31t＋3t ≤321t·3t＝12， 当且仅当t ＝33时等号成立．故y max ＝12. 已知x ∈(0，π)，求函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值．令sin x ＝t (0<t ≤1)，然后求导，利用函数的单调性求最值． 设sin x ＝t (0<t ≤1)， 则原函数可化为y ＝t ＋2t，因为y ′＝1－2t 2＝t 2－2t 2＝t －2t ＋2t2， 所以当0<t ≤1时，y ′<0，则y ＝t ＋2t在(0,1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝3.即函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值是3.温馨提示y ＝sin x ＋asin x型三角函数求最大值时，当sin x >0，a >1时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解．。

课外拓展阅读
错用三角函数的定义求三角函数值
已知角θ的终边上一点P（3a，4a)（a≠0），则sin θ＝________。

（1）角的终边是一条射线，而不是直线，该题中,我们只能确定角的终边所在直线．
(2）由终边上一点求三角函数时,由于没有考虑参数的取值情况，从而求出r＝错误!＝错误!＝5a，结果得到下列错误的结论:sin θ＝错误!＝错误!。

∵x＝3a，y＝4a，
∴r＝错误!＝5｜a｜。

(1)当a〉0时，r＝5a，
∴sin θ＝错误!＝错误!.
(2)当a〈0时，r＝－5a，
∴sin θ＝错误!＝－错误!.
综上，sin θ＝±4 5 .
±错误!
温馨提示
（1)区分两种三角函数的定义
如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角α的终边与单位圆的交点坐标为（x，y)，则sin α＝y，cos α＝x,tan α＝错误!，但如果不是在单位圆中，设角α的终边经过点P（x，y），｜OP｜＝r，则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!。

（2)明确三角函数的定义与角的终边所在的象限位置的关系．。

2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.8 解三角形应用举例真题演练集训 理 新人教A 版1．[2014·浙江卷]如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是( )A.305 B.305 C.439D.539答案：D解析：如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠PAO ＝θ. 设CO ＝x m ，则OP ＝33x m. 在Rt △ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ， 所以BC ＝20 m ．所以cos ∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40 x ＋625(m)．所以tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925.当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539. 2．[2015·湖北卷]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.答案：100 6解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30° ＝3002×33＝1006(m)． 3．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.答案：150解析：在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在三角形MNA 中，MN1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m.4．[2014·四川卷]如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________ m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)答案：60解析：根据图中给出的数据构造适当的三角形求解．根据已知的图形可得AB ＝46sin 67°.在△ABC 中，∠BCA ＝30°， ∠BAC ＝37°，由正弦定理，得 AB sin 30°＝BCsin 37°，所以BC ≈2×460.92×0.60＝60 (m)．课外拓展阅读有关解三角形的应用题的解题方法1．解决关于解三角形的应用问题的步骤2．解三角形的应用题的两种情形及解题方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出(或找出)这些三角形，先解能直接解的三角形，然后逐步求出其他三角形的解，有时需设出未知量，利用几个三角形中边角所满足的关系列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．3．解决关于解三角形的应用问题应注意的事项(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确地找出这些角； (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题过程；(3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义．[典例] 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？[解] (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由AB sin C ＝ACsin B，得 AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理，得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因为0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，d 最小，所以乙出发3537分钟后，甲、乙两游客距离最短．(3)由BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝ACsin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ， 由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。

A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2016²全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1 D.1625【解析】 通性通法 由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 光速解法 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 【答案】 A2．(2017²河北石家庄第二次模拟)在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π8，cos π8，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π12＝( )A.32 B ．－32C.12 D ．－12【解析】 ∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π8，cos π8，∴sin α＝cos π8，cos α＝sin π8，∴α＝3π8＋2k π，k ∈Z ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋3π4－π12＝sin 2π3＝32.故选A. 【答案】 A3．(2016²江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α＜π4＜βB ．β＜π4＜αC.π4＜α＜β D.π4＜β＜α 【解析】 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16＞0，∴α＞π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α＞π4，∴β＜π4＜α.【答案】 B4．(2017²黑龙江哈尔滨三中第二次检测)sin 182°³cos 28°－cos 2°³sin 28°的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32【解析】 sin 182°³cos 28°－cos 2°³sin 28°＝(－sin 2°)³cos 28°－cos 2°³sin 28°＝－sin 30°＝－12.故选B.【答案】 B5．(2017²福建四地六校联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6的值是( )A ．－235B ．－45C.235 D.45【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，∴32cos α－32sin α＝435， 12cos α－32sin α＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin αcos 11π6＋cos αsin 11π6＝32sin α－12cos α＝－45.故选B. 【答案】 B6．(2017²山东滨州重点高中模拟)已知角α，β满足tan αtan β＝713，若sin(α＋β)＝23，则sin(α－β)的值为________．【解析】 设sin(α－β)＝x ，即sin αcos β－cos αsin β＝x ，① 由sin(α＋β)＝23，可得sin αcos β＋cos αsin β＝23，②由①②求得sin αcos β＝x 2＋13，cos αsin β＝13－x2.由tan αtan β＝713＝sin αcos βcos αsin β＝x 2＋1313－x 2，可得x ＝－15. 【答案】 －157．(2016²合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________．【解析】 (1)∵α为锐角，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π.又∵sin(α＋β)＜sin α，∴α＋β＞π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)²sin α＝－1114³17＋5314³437＝4998＝12. 【答案】 128．(2016²杭州模拟)函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为________．【解析】 ∵f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，∴f (x )的最大值为1－32. 【答案】 1－329．(2017²吉林省实验中学期末)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin （2α＋2π）－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos （π－2α）＋sin 2α的值．【解析】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13. (2)sin （2α＋2π）－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos （π－2α）＋sin 2α＝sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＋sin 2α ＝2tan α－12＋tan 2α＝－1519. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)10．(2017²宁夏中卫一中期末)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2²tan C2的值是( )A ．± 3B ．－ 3C. 3D.33【解析】 在△ABC 中，∵A ，B ，C 成等差数列， ∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3.则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2²tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2²tan C 2＋3tan A 2²tan C2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A2²tan C 2＋3tan A 2²tan C2＝ 3.故选C.【答案】 C11．(2016²贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.【答案】 D12．(2016²四川卷)cos2π8－sin 2π8＝________． 【解析】 由二倍角公式得， cos2π8－sin 2π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2³π8＝cos π4＝22.【答案】2213．(2017²河北师大附中第一次段考)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的最大值为________． 【解析】 ∵y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－32，∴当cos x ＝1时，函数y ＝cos 2x ＋2cos x 取最大值y max ＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122－32＝3.【答案】 314．(2017²北京海淀期末练习)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12上的最大值与最小值的和．【解析】 (1)因为f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12，所以2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π12.根据函数f (x )＝sin x 的性质，当2x ＋π4＝－π12时，函数f (x )取得最小值2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12， 当2x ＋π4＝π12时，函数f (x )取得最大值2sin π12.因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12上的最大值与最小值的和为0.。

课时作业16 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、填空题1．设角θ的终边经过点P (5t,12t )(t ＜0)，则sin θ＋cos θ的值为__________．2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝__________.3．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是__________．4．若α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2是第__________象限角．5．若α是第四象限角，则π－α在第________象限．6．已知点A ，B 是半径为2的圆O 上的两点，∠AOB ＝2 rad ，则劣弧的长度是__________．7．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋c os α＋45tan α＝________.8．(2012江苏连云港模拟)若角α和β的终边关于直线x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则角β的集合是________．9．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.二、解答题10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．11．(2013届江苏宿迁月考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．12．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？参考答案一、填空题1．－1713解析：r ＝OP ＝(5t )2＋(12t )2＝－13t .∴sin θ＝y r ＝12t －13t ＝－1213，cos θ＝x r ＝5t －13t ＝－513，∴sin θ＋cos θ＝－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－1713.2.35 解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0， ∴r ＝OP ＝(－3cos θ)2＋(4cos θ)2＝－5cos θ，∴cos α＝x r ＝－3cos θ－5cos θ＝35.3．{－1,3} 解析：若x 是第一象限角，则y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x＝3.同理，若x是第二、三、四象限角，则y ＝－1，－1，－1.4．三 解析：设α＝2k π＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫k ∈Z ，π2<β<π，∴α2＝k π＋β2，k π＋π4＜α2＜k π＋π2，∴α2是第一或第三象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，知cos α2＜0，∴α2是第三象限角．5．三 解析：π－α＝－α＋π，若α是第四象限的角，则－α是第一象限的角，再逆时针旋转180°，得π－α是第三象限角．6．47．－25或－45解析：取直线3x ＋4y ＝0上的点P 1(4，－3)，则|OP 1|＝5，则sin α＝－35，cos α＝45，ta n α＝－34， 故sin α＋cos α＋45ta n α＝－35＋45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－25.取直线3x ＋4y ＝0上的点P 2(－4,3)，则sin α＝35，cos α＝－45，ta n α＝－34.故sin α＋cos α＋45ta n α＝35－45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－45.综上，sin α＋cos α＋45ta n α的值为－25或－45.8.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π－π6，k ∈Z 解析：由对称性知，角β的终边与－π6的终边相同，故角β的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π－π6，k ∈Z. 9．－8 解析：根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三或第四象限，又因为点P的横坐标为正数，断定该角为第四象限角，故y ＜0，由sin θ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.二、解答题10．解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255， 因为α为锐角，故sin α＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210.同理可得sin β＝55. 因此ta n α＝7，ta n β＝12.所以ta n(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)ta n(α＋2β)＝ta n[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2.从而由ta n(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.11．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15， ta n α＝－2aa＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15， cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25， ta n β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋ta n α·ta n β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.12．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l .(1)依题意，得214,2210,R R R θθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.∵8＞2π，舍去，∴θ＝12.(2)∵扇形的周长为40，∴θR ＋2R ＝40， S ＝12θR 2＝14θR ·2R ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.。

A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )【解析】 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.【答案】 D2．(2016·课标全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 【解析】 将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后对应的函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，可得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 【解析】 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2. 又图象过点⎝⎛⎭⎪⎫512π，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.【答案】 D4．(2016·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0，0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0等于( )A.π12B.π6 C.π3 D.5π12【解析】 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0，0)中心对称； ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝π3.【答案】 C5．(2016·开封模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解析】 由图象可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由y ＝sin x 的图象先左移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变．【答案】 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．【解析】 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 【答案】 －57．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．【解析】 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【答案】 2π38．(2015·忻州市高三联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．【解析】 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.【答案】 π3或43π9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．【解析】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 10．(2016·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在上的单调递减区间．【解析】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】 当ω＞0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω＜0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.【答案】 D12．(2016·宁夏大学附中第三次月考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是．【解析】 ∵f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，则T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .其图象如图．由图可知，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，A 错误；其图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，B 错误；函数为偶函数，C 错误；2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝1，2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＝－1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π时，函数g (x )的值域是，D 正确．故选D.【答案】 D13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．【解析】 画出函数的图象．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．【解析】 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4＜πω，即ω＜12，令k ＝0，得ω＝143.【答案】 14315．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．。