第二章第五节线性方程组的一般理论2(新)

学习指南《线性代数》是理工科及经济管理各学科专业的一门重要数学基础课程。

它的课程目标是通过各个教学环节，充分利用数学软件工具，运用各种教学手段和方法，系统地向学生阐述矩阵、向量、线性方程组的基本理论与基本方法，使学生掌握线性代数的基本概念、基本原理与基本计算方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题与解决问题的能力、运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力，为学习后继课程的学习，从事工程技术、经济管理工作，科学研究以及开拓新技术领域打下坚实的基础 。

第一章 矩阵矩阵是研究线性方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究对象之一。

矩阵作为一种抽象数学结构的具体表现，其理论与方法在自然科学、工程技术、经济管理、社会领域都具有广泛的应用。

本章从实际问题出发，引出矩阵的概念，讨论矩阵的运算及其性质，逆矩阵及其求法，矩阵的分块，矩阵的初等变换与初等矩阵的概念与性质。

重点是矩阵的运算，特别是矩阵的乘法运算，逆矩阵及其性质，初等变换、初等矩阵的概念与性质，用初等变换化矩阵为阶梯形与最简形，用初等变换和定义法求逆矩阵的方法。

1. 矩阵是初学线性代数认识的第一个概念。

矩阵不仅是线性代数主要讨论的对象之一，而且是非常重要的数学工具,它的理论和方法贯穿于本课程始终。

本章的重点之一是矩阵的各种运算，其中又以矩阵的乘法最为重要，它也是难点之一。

两个矩阵的乘积是有条件的，不是任何两个矩阵都能相乘的。

AB 有意义，必须是A 的列数等于B 的行数，而积矩阵AB 的行数等于A 的行数，列数等于B 的列数。

积矩阵AB 的第i 行第j 列元素等于左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和。

读者务必掌握矩阵乘法的实质。

矩阵的乘法与数的乘法不同。

尤其要注意以下三点：（1）矩阵乘法不满足交换律。

当乘积AB 有意义时，BA 不一定有意义，即使BA 有意义，也不一定有AB BA =。

线性方程组知识点总结一、引言线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。

本文将对线性方程组的基本概念、求解方法和应用进行总结和介绍。

二、基本概念1. 线性方程组的定义：线性方程组是由若干个线性方程组成的方程集合，形式一般为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。

2. 线性方程组的解：线性方程组的解是使得所有方程都成立的一组变量值，分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。

3. 线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是由线性方程组中各个方程的系数构成的矩阵，记作A。

4. 线性方程组的增广矩阵：增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数项列向量合并成一个矩阵，记作[A | b]。

三、求解方法1. 列主元消元法：利用行初等变换将线性方程组转化为简单形式，其中列主元消元法是一种常用的方法。

具体步骤包括选主元、消元和回代三个过程。

2. 矩阵法：利用矩阵的逆、转置等性质，可以通过求解矩阵方程来求解线性方程组。

3. 克拉默法则：克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，通过计算线性方程组的系数行列式和常数行列式的比值，可以得到方程组的解。

四、应用领域1. 工程学：线性方程组广泛应用于工程学中的结构分析、电路分析、力学运动等问题的求解。

2. 经济学：线性方程组在经济学中的需求分析、均衡分析、成本分析等方面有着重要应用。

3. 计算机科学：线性方程组在图像处理、数据分析、模型建立等计算机科学的领域中起着关键作用。

五、总结线性方程组是数学中的基础概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

本文总结了线性方程组的基本概念、求解方法和应用领域，希望能为读者提供一定的参考和启发。

建议读者在学习线性方程组时，注重理论与实践的结合，加强对各种方法的理解和运用能力，进一步提升问题求解的能力和水平。

初中知识点整理——线性方程组篇线性方程组是初中数学中的重要内容，是代数学习的基础和扩展。

在这篇文章中，我将为您详细介绍线性方程组的定义、解法和应用。

一、线性方程组的定义线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。

每个线性方程都可以写为形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b的形式，其中a1, a2, ..., an为常数，x1, x2, ..., xn为变量。

而b为方程的常数项。

二、线性方程组的解法1. 图解法当线性方程组只有两个变量时，可以通过图解法来求解。

将每个方程转化为直线的形式，并找出它们的交点，该交点即为线性方程组的解。

若直线重合，则方程组有无数个解；若直线平行，则方程组无解。

2. 代入法代入法是线性方程组常用的解法之一，适用于任意个数的变量。

步骤如下：（1）从方程组中选择一个方程，将其中的一个变量表示为其他变量的函数。

（2）将该函数代入其它方程中去，从而得到一个只含有一个变量的方程。

（3）解这个新的方程，得到一个变量的值。

（4）将该变量的值代入刚才选定的方程中，求出一个变量的值。

（5）按照这种方法继续，直到每个变量的值都求出来。

3. 消元法消元法是线性方程组解法中常用的方法，可以通过消元将线性方程组转化为简化的形式，进而得到解。

步骤如下：（1）将线性方程组排列成增广矩阵的形式，其中每行代表一个方程。

（2）利用初等行变换将增广矩阵化为行最简形。

（3）从化简后的增广矩阵中读出方程组的解。

4. 矩阵法线性方程组可以通过矩阵的形式进行求解，矩阵法更适用于高阶的线性方程组。

将方程组表示为矩阵形式AX = B，其中A为系数矩阵，X为变量矩阵，B为常数项矩阵。

通过矩阵的逆矩阵或高斯消元法求解出X的值。

三、线性方程组的应用线性方程组在实际生活和工作中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。

1. 比例分配假设投资人A和B共同投资了一个项目，A投资的金额为X，B投资的金额为Y。

根据投资人的协议，A和B的总投资金额为100万元。

求线性方程组的方法摘要：线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要作用。

在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据处理是很方便简洁的选择。

本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。

关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。

英文题目The solution of linear equation Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns oflinear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations.Key words:Homogeneous linear equations, Non homogeneous linearequation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.正文：1 引言：在对实际问题的思考中，我们免不了要用到我们所学的数学知识来解决身边所遇到的问题，建立线性方程组来求解未知数是我们最常见的一类问题。

高等教育自学考试衔接考试（课程代码02198）《线性代数》考试大纲课程目标：线性代数课程是高等教育自学考试工科类专业的一门重要的基础理论课，它是为培养满足工科类专业人才的需要而设置的。

通过本课程的自学，使考生系统地学习并获得有关行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、实二次型的基本知识、必要的基本理论和常用的基本方法。

在此过程中，注重培养考生的抽象思维能力好逻辑推理能力，不断提高自学能力，并为后继课程的学习提供必要的数学基础。

第一章行列式第一节行列式的定义识记：行列式的定义掌握：熟练计算二阶与三阶行列式及简单的n阶行列式。

第二节行列式的性质识记：行列式的性质与计算掌握：掌握并会熟练运用行列式的性质。

第三节行列式按一行（或一列）展开识记：行列式的按一行（或一列）展开定义。

领会：了解行列式的按其第一列展开的递归定义。

掌握：掌握行列式的基本方法。

第四节行列式按k行（或k列）展开识记：清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。

领会：余子式和代数余子式计算。

第五节克拉默法则识记：知道克拉默法则掌握：会用克拉默法则求解简单的线性方程组。

克拉默法则。

要求达到“简单应用”层次。

第二章矩阵第一节矩阵的定义识记：矩阵的定义。

要求达到“识记”层次。

了解：知道三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。

第二节矩阵运算识记：矩阵运算及其运算规律。

要求达到“综合应用”层次掌握：掌握矩阵相等与加、减法的定义及其可运算的条件和运算律，掌握矩阵乘法的定义和可乘条件；掌握矩阵乘法的运算法则；注意矩阵乘法不满足交换定律和消去律，知道矩阵乘法与数的乘法的区别。

第三节矩阵分块识记：知道分块矩阵的定义。

掌握：分块矩阵的加法、数科和乘法运算。

第四节可逆矩阵识记：理解可逆矩阵的概念与性质。

方阵的逆矩阵，要求达到“领会”层次。

理解方阵的伴随矩阵的定义。

掌握：熟练掌握方阵可逆条件和求逆运算律，会用伴随矩阵求二阶和三阶矩阵的逆矩阵。