二、方向导数的定义
回顾函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 处关于
x, y 的偏导数定义:
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y
*6、二阶方向导数
f 在 仍有方向导数 f , 如果 ( x 0 , y0 ) 沿 e l l l ( x0 , y0 ) l 就把它称为 f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 沿 el 的二阶方向
导数并记作 f . l 2
2
2 f 沿方向el 的二阶方向导数: l 2
z 1 所求方向导数 . l ( 0,0 ) 2
注:
(1) 仅由函数在一点可偏导,未必可推出函数在
该点处沿各方向的方向导数存在.
例如: f ( x , y ) ( x y ) , 则 f x (0,0) f y (0,0) 0,
但 ab 0 时,
1 3
1 3
f l
z f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ), 考虑
当 P 沿着 l 趋于P0 时,
z
t
,
f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) 是否存在? lim t 0 t
1、方向导数的定义
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点P ( x0 , y0 )的某个邻 域内有定义 , l 是一非零向量 , el (cos , cos ) 是与 l 同方向的单位向量 , 如果极限 f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) lim t 0 t 存在 , 则称这极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 沿 f 方向 l 的方向导数 , 记为 ,即 l ( x0,y0 )