四川省泸州市2014年高2012级高二学年末统一考试数学(理)(图片版含答案)

泸州市高2011级第二次教学质量诊断性考试数 学（文史类） 2014.2.25考生须知： （下面解析供同学们参考，不作实质性用途） 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 )()()(B P A P B A P +=+ n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的k 次概率 如果事件A,B 相互独立，那么)...,3,2,1()1()(n k P C k P k n kn n =-=-)()()(B P A P B A P ∙=∙数据n x x x x ...,,321的方差是()[]222212)...()(1x x x x x x n S n -+-+-=；x 为平均数.球的半径为R ，球的体积为334R V π=；表面积24R S π=.选择题部分（共50分）选择题（本大题共10个小题.每小题5分.共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）已知全集{}2,01,1-=U ，{}1,1-=A ，则=A C UA.{}2,1,0,1-B.{}2,01C.{}2,0,1-D.{}2,0【答案】：D【解析】：本题考查集合基本概念；{}1,1-=A ，{}2,01,1-=U ，故{}2,0=A C U. 在复平面内，复数i i+22对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】：A【解析】：本题考查复数基本概念和基础应用；i i i i i i i 54525244)2(2222+=+=--=+，由定 义得，复数形如bi a z +=的坐标为),(b a ，∴)54,52(为第一象限.选A.已知在同一坐标系下，指函数x a y =和xb y =的图像如图，则下列关系中正确的是A.1＜＜b a B.1＜＜a b C.1＞＞b a D.1＞＞a b 【答案】：C【解析】：本题考查考生对函数图像趋势的判断，简单题.很显然b a ,均大于1；且xb y =函数图像比xa y =变化趋势小，故ab ＜，综上所述：1＞＞b a .故选C. 将一个正方体沿其棱的中点截去两三个棱锥后所得几何体如图所示，则其俯视图为【答案】：C 【解析】：本题考查考生对空间立体图及平面图射影的抽象考察；根据排除法很快选出C. 若向量)4,3(),2,1(==BC AB ，则=ACA.)6,4(B.)6,4(--C.)2,2(--D.)2.2( 【答案】：A【解析】：本题考察向量加减法基本概念；由向量定义得()6,4=+=BC AB AC .选A.把函数)62sin(π+=x y 的图像上各点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，所得的函数解析式为A.)34sin(π+=x y B.)3sin(π+=x yC.)6sin(π+=x y D.)64sin(π+=x y【答案】：C【解析】：本题考察三角函数中的正弦函数图像的平移；紧扣缩小21→既横坐标变为原来 的21也就是说x x →2，排除A 、D ；选C.已知命题P ：0162≥-a ，命题:q 04≤+a ，则P 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】：A【解析】：本题考察不等式基本性质以及命题性质；44:-≤≥a a P 或；4:-≤a q ， 故,q P ⇒∴P 是q 的.充分不必要条件.选A已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)(021*+∈=-N n S S n n ，且21=a ，那么=7a A.64 B.128 C.32 D.16 【答案】：B【解析】：本题考察数列常见形式；很显然)(021*+∈=-N n S S n n 得到{}n a 是等比数列， 公比21==+n n S S q ，∴nn n q a a 211=⨯=-，∴1287=a ；选B. 如图1是某高三学生14次数学考试成绩的茎叶图，现将该14个数据依次记为1421,...,A A A ，并输入如图2所示的一个算法流程图，那么该算法流程图运行结束时输出的n 值是A.9B.10C.11D.12 【答案】：B 【解析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再 根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加 14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含 义可得超过90分的人数为10个；故选B.定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-==0,1000,1sgn ＜，＞x x x x ，设函数21)1s g n ()(+-=x x f ，)(2)1sgn()(21x f x x f -+，)2,0(∈x 其中1)(21+=x x f ， 42)(2+-=x x f .若)1,0())((∈a f f ，则实数a 的取值范围是A.)22,0( B.)45,1( C.)45,1()22,0(⋃ D.)45,1()1,22(⋃【答案】：D.【解析】：对函数值域的重点考察；难度系数：★★★★☆.思路： 对不等式分类讨论，既1,11＜，＞x x x =，分别求出)(x f ，然后由)1,0())((∈a f f ①如果1＞x ，)(211)(211)(2)1sgn()(2)1sgn()(2121x f x f x f x x f x x f +++-=∙-+∙-=42+-=x . ②如果1=x 时，252)(210)(210)(2)1s g n ()(2)1s g n ()(22121+-=+++=∙-+∙-=x x x f x f x f x x f x x f .③如果当1＜x 时，1)(211)(211)(2)1s g n ()(2)1s g n ()(22121+=+-++=∙-+∙-=x x f x f x f x x f x x f .综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-+=1,4215.2211,1)(22＞，＜x x x x x x x x f ，其图像如图所示：结合图像分析：选D.非选择题部分（共100分） 填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 函数xx f 21)(-=的定义域为______. 【答案】：{}0≤x x【解析】：本题考察函数的基本定义；使得函数xx f 21)(-=有意义，则需要0021≤⇒≥-x x .一个高为2的圆柱，底面周长为2π,则该圆柱的表面积为_____. 【答案】：π6【解析】：本题考察圆柱周长和表面积公式的应用；圆柱底面周长122=⇒==R R l π. ∴圆柱表面积为ππ6222=+=+=R lh S S S 底侧.已知函数)1(14)(＞x x x x f -+=，当a x =，)(x f 取得最小值为b ，则b a +=____.【答案】：8.【解析】：本题考察不等式性质的拓展延伸；显然114114)(+-+-=-+=x x x x x f故351421141)(=⇒==+≥+-+-=a b a a a f ，∴8=+b a .在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面 积介于25cm3和81cm3的概率为_____.【答案】：52或0.4.【解析】：本题考察正方形的基本概念以及概率性质；以线段AC 为边的正方形面积介于 5cm 和9cm 之间，满足条件的C 点对于的线段长4cm.而线段AB 总长为10cm.故方形的面积介于25cm3和81cm3的概率为52104==P 或0.4.定义：<m>表示大于或等于m 的最小整数（m 是实数）.若函数122)(+=xxx f ，则函数21)(21)()(--+>-=<x f x f x g 的值域为_______.【答案】：{}1,0【解析】：本题考查函数性质的综合应用；因为0122)(＞+=x xx f ，则1121122)()(=+++=-+x x x x f x f ；而21)(21)(21)(+>-≤<-x f x f x f ＜. ∴2)(01)()()(1)()(＜＜x g x f x f x g x f x f ≤⇒+-+≤--+，故)(x g 的值域为0或1. 解答题：（本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（本题满分12分）单调递减的的等比数列{}n a 中，1614=a 且245a 是31,aa 的等差中项.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设nn a b 2log =，求数列{}nb 的前n 项和nT .【解析】：本题考查等比数列的综合应用；属于简单题.【答案】：（I ）由题意得：245a 是31,aa 的等差中项，故qa q a a a a a 12112315.25.2=+⇒=+化简得到（舍）或2215.212==⇒=+q q q q ，而211611314=⇒==a q a a . ∴{}n a 的通项公式为)(2121211*∈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-N n a n n n（II ）由（I ）得na b n n n -===-2log log 22，∴{}n b 是一个等差数列，故)(,21212)1(2*∈--=-+-=N n n n n n T n（本题满分12分）某班50名学生在一次百米跑测中，成绩全部介于13秒到18秒之间，将测试结果按照如下方式分为5组：第一组[13,14).第二组：[14,15)......第五组：[17,18].下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图. （I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求出该班这次百米测试中成绩良好的人数.（II ）若从第一组和第五组的所有学生中随机抽取两名同学，记m ，n 表示这两位同学的百米测试成绩，求事件“|m -n|＞1”的概率. 【解析】：本题考查频率直方图的基本概念和综合应用. 【答案】：（I ）由直方图知，成绩在[14，16)内的人数为：50×0.16+50×0.38=27(人)，所以该班成绩良好的人数为27人.（II ）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，分别设为x ，y ，z ； 成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，分别设为A ，B ，C ，D ， 若m ，n ∈[13，14)时，有xy ，xz ，yz 3种情况；若m ，n ∈[17，18]时，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD6种情况； 若m ，n 分别在[13，14)和[ 17，18]内时， 情况如下表所示：结合表格分析出满足要求的共有12种情况，而基本事件总数为21种.∴事件742112)1(==-＞n m P .（本题满分12分）已知函数x ax x x f 3ln )(2-+=.（I ）若5.1)2(='f ，求函数)(x f 的极值点.（II ）若函数)(x f 在[0.5,2]上是减函数，求a 的取值范围. 【解析】：本题考查函数基本性质.【答案】：（I ）由题意得：321)(-+='ax x x f ，所以15.13421)2(=⇒=-+='a a f .∴x x x x x x f 132321)(2+-=-+='，只需要讨论001322≤≥+-或x x 即可.∴当())21,0(,1或+∞∈x 时函数)(x f 单调递增；⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21x 单调递减. （II ）原函数的定义域为),0(+∞，∴x x ax x f 132)(2+-='.因为函数)(x f 在[0.5,2]上是减函数.∴0)(≤'x f 在[0.5,2]恒成立.讨论：①当0＞a 时，设])2,5.0[(,132)(2∈+-=x x ax x g 由题意得：对称轴a x 43=，∴383224321≤≤⇒≤≤a a 时，满足0)(≤x g .②当0＜a 时，只需要2143≤a 即可，也就是说32≤a ，∴0＜a 时满足0)(≤x g . ③0=a 时，函数13)(+-=x x g 单调递减符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃∞-38,320,.19.（本题满分12分）已知函数)200,)(sin()(πϕϕ＜，＞，＞w M R x wx M x f ∈+=的部分图像如图所示.（I ）求)(x f 的解析式；（II ）在锐角△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对应边，且7=a ，3)(=A f ,233=ABC S △，求c b +的值.【解析】：本大题注重考察三角函数化简和余弦公式的巧妙应用.【答案】：（I ）由题意得：24)6125(41,2=⇒=⇒=-==w T T M ππππ.∴)2sin(2)(ϕ+=x x f 过点)0,6(π，∴0)3sin(=+ϕπ得到3πϕ-=满足题目要求. ∴)32sin(2)(π-=x x f . （II ）∵3)(=A f ，∴3332πππ=⇒=-A A在锐角△ABC 中，∠A=60°，∴6233sin 21=⇒=∙=bc A bc S ABC △.由余弦定理得：1321127212cos 2222222=+⇒=-+⇒=-+=c b c b bc a c b A∴5222=++=+bc c b c b . 20.（本题满分13分）已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，2===PD PA AB ，∠3π=A B D ,点E是AD 的中点，点Q 是PC 的中点. （I ）求证：//EQ 平面PAB ； （II ）求三棱锥PAD B -的体积.【解析】：本题考察线与平面之间的位置关系以及二面角的巧妙求解.【答案】：（I ）证明：取PB 中点G ，连接AG ,QG ，构成四边形AGQE . 因为菱形ABCD 中，2==AB AD ，而2===PD PA AB .∴PC PB =（三角形中不等式性质传递性）∴在△PBC 中，BCGQ 21//=.而AE BC //，∴四边形QGAE 为平行四边形.∴AQ EQ // 而⊂AQ 平面PAB ，∴//EQ 平面PAB .（II ）由（I ）得，△ADP 为正三角形，∴⊥PE 底面ABCD .（这一步很重要）而3π=ABD ，∴在△ABD 中AD BE ⊥，∴⊥BE 平面APD （解题思路逐步明朗）∴112443313122=-∙∙∙=∙=-EB S V APD BADP △.（本题满分14分）已知函数2)(2++=ax x x f ，)(2)(b x e x g x+=，若曲线)(x g y =经过点)2,0(P ，且在点P 处曲线)(x f y =和)(x g y =有相同的切线.（e 是自然对数的底数） （I ）求b a ,的值；（II ）若)2)(()(+=x f x x F ，如果存在[]1,3,21--∈x x ，使得M x F x F ≥-)()(21成立，求满足上述条件的最大整数M ；（III ）当，＞1k 讨论方程0)()(=-x f x kg 在[)+∞∈,2x 上解的个数.【解析】：本题属于函数大题中的中档题；考察同学们对函数基本性质的综合应用.【答案】：（I ）由题意得：a x x f +='2)(，xx x be xe e x g 222)(++='.而0222,2)0()0(=⇒=+=⇒'='b b a f g .∴0,2==b a .（II ）由（I ）得：x x x x f x x F 42)2)(()(23++=+=. 因为要使得[]1,3,21--∈x x ，使得M x F x F ≥-)()(21成立，只需求出min 21)]()([x F x F -即可.显然我们就要讨论)(x F 在[]1,3--∈x 的极值问题.∴443)(2++='x x x F ，其对称轴13264-≥-=-=x ，显然函数)(x F 在[]1,3--∈x 是单调递增的.也就是说)(x F 在[]1,3--∈x 单调递增.∴21)3(max -=-F ，3)1(max -=-F要使得())(21x F x F -最小，只需18)1()3(-=---F F 即可. ∴M 的最大整数值为-18. （III ）略.。

四川省泸州市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为40cm，上口的半径约为28cm，圆柱的高和底面直径分别约为24cm，18cm，则“何尊”的体积大约为（）A．B．C．D．第(2)题已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(3)题若复数满足（i是虚数单位），的共轭复数是，则的模是（）A．B．4044C．2D．0第(4)题皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）是十七世纪法国律师和业余数学家．费马曾提出猜想：对任意大于2的正整数n，关于x，y，z的方程没有正整数解．经历了三百多年，1995年英国著名数学家、牛津大学教授安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出了证明，使它成为费马大定理．若三边的长为a，b，c且都为正整数，满足，则一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形第(5)题已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（）A．30种B．60种C．90种D．120种第(7)题函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，并且函数在区间,上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A．10B．18C．2D．8第(8)题已知向量，且，则（）A．B．C．或D．或二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域为R，，，则（）A．B．C．为奇函数D．第(2)题如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A．有无数个点满足B．当点在棱上运动时，的最小值为C．若，则动点的轨迹长度为D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是第(3)题满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（）A．存在非零实数t，使得为等差数列B．存在非零实数t，使得为等比数列C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设集合A＝{x|（x－1）2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是________个．第(2)题在中，角，，所对应的三边分别为，，，，，则面积的最大值是___________.第(3)题已知i是虚数单位，则复数的模等于___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列.(1)若，，，求的值；(2)已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值；(3)若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：.第(2)题设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．(1)求a的值；(2)求的单调区间；(3)若对成立，求b的取值范围．第(3)题已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是定义域内的单调函数，求的取值范围.第(4)题已知双曲线过点，且焦距为10．(1)求C的方程；(2)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．第(5)题在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．。

2013-2014学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x∈N|0＜x＜3}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．∅B．{1}C．{2}D．{1，2}2．（5分）点（1，2）到直线3x+4y﹣1=0的距离为（）A．2 B．C．D．3．（5分）函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π4．（5分）若一个球的表面积为4π，则这个球的体积是（）A．B． C． D．5．（5分）已知||=3，||=4且向量与的夹角是，则向量在方向上的投影是（）A．﹣ B．C．﹣D．6．（5分）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）A．B． C．3πD．2π7．（5分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．258．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知奇函数f（x）在x≥0时，f（x）=x2﹣4x，则使f（x﹣2）＞﹣3成立的x的取值范围是（）A．（﹣2﹣，1）∪（3，+∞）B．（﹣4﹣，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣，3）∪（5，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（3，5）10．（5分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时f（x）=﹣|x|+1．则方程f（x）=log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是（）A．10 B．9 C．8 D．12二.填空题（共5个小题，共25分）11．（5分）若过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y+2=0平行，则m 的值为．12．（5分）已知向量=（3，4）与=（x，﹣8）共线．则||=．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．14．（5分）海中有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°方向上且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ方向上（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A 相距10海里的位置C．则该船的行驶速度为海里/小时．15．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．AC1分别与平面A1BD、平面CB1D1交于E，F两点．给出以下命题：①平面A1BD∥平面CB1D1；②若∠A1AD=∠A1AB=∠DAB，AD=AB=AA1，则直线A1D与CD1所成角为；③点E，F为线段AC1的两个三等分点；④E为△A1BD的内心．其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）三.解答题（共6小题，共75分）16．（12分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且3a2为9a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的首项和公比；（Ⅱ）设b n=a n+log3a n，求数列{b n}的前n项和．17．（12分）已知函数f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a（x∈R，a∈R，a是常数）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]时，函数f（x）的最大值为4，求a的值．18．（12分）如图，已知△ABC的边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣7=0，点M（3，0）满足=，点T（0，1）在边AC所在直线上，且满足•=0（Ⅰ）求AC所在直线的方程；（Ⅱ）求•．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，△ABC面积为，cosB=．（1）求b的值；（2）求cos（2B﹣A）的值．20．（13分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角为，AB=2，BC=4，E是PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（Ⅲ）求多面体PABCE的体积．21．（14分）已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（﹣2）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=log2[m﹣f2（x）+4f（x）]若此函数在[0，2]上存在零点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若≤k＜1，函数f1（x）=|f（x）﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数f 2（x）=|f（x）﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），求x1﹣x2+x3﹣x4的最大值．2013-2014学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x∈N|0＜x＜3}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．∅B．{1}C．{2}D．{1，2}【解答】解：∵A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B={2}．故选：C．2．（5分）点（1，2）到直线3x+4y﹣1=0的距离为（）A．2 B．C．D．【解答】解：点（1，2）到直线3x+4y﹣1=0的距离：d==2．故选：A．3．（5分）函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A．3πB．πC．2πD．4π【解答】解：由题意，函数f（x）=sinxcosx=sin2x∴故选：B．4．（5分）若一个球的表面积为4π，则这个球的体积是（）A．B． C． D．【解答】解：设这个球的半径为R，则∵球的表面积为4π，∴4πR2=4π，解之得R=1因此，则这个球的体积V=•R3=故选：B．5．（5分）已知||=3，||=4且向量与的夹角是，则向量在方向上的投影是（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：∵||=3，||=4且向量与的夹角是，∴向量在方向上的投影===．故选：D．6．（5分）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）A．B． C．3πD．2π【解答】解：由题意以及三视图可知几何体的圆柱，底面圆的直径为1，高为1，所以圆柱的表面积为：=．故选：B．7．（5分）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．25【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选：B．8．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D故选：B．9．（5分）已知奇函数f（x）在x≥0时，f（x）=x2﹣4x，则使f（x﹣2）＞﹣3成立的x的取值范围是（）A．（﹣2﹣，1）∪（3，+∞）B．（﹣4﹣，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣，3）∪（5，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（3，5）【解答】解：令x＜0时，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2﹣4（﹣x）=x2+4x，又f（﹣x）=﹣f（x）∴f（x）=﹣x2﹣4x，∴f（x）=，若使f（x﹣2）＞﹣3，则当x﹣2≥0时，即x≥2，（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＞﹣3，解得x＞5或x＜3，所以x＞5或2≤x＜3，当x﹣2＜0时，即x＜2，﹣（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＞﹣3，解得＜x＜所以＜x＜2综上x＞5或＜x＜3故选：C．10．（5分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[﹣1，1]时f（x）=﹣|x|+1．则方程f（x）=log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是（）A．10 B．9 C．8 D．12【解答】解：令﹣3≤x≤﹣1则﹣1≤x+2≤1，∵f（x+2）=2f（x），∴f（x）=（1﹣|x+2|）（﹣3≤x≤﹣1）①令﹣5≤x≤﹣3则﹣1≤x+4≤1，f（x+4）=1﹣|x+4|，又f（x+4）=2f（x+2）=4f （x），∴f（x）=（1﹣|x+4|）（﹣5≤x≤﹣3）②则﹣7≤x≤﹣5时，f（x）=（1﹣|x+6|）③当1≤x≤3时，﹣1≤x﹣2≤1，f（x﹣2）=1﹣|x﹣2|又f（x﹣2）=f（x），即f（x）=2（1﹣|x﹣2|），同理3≤x≤5时，f（x）=4（1﹣|x﹣4|）④当5≤x≤7时，f（x）=8（1﹣|x﹣6|）⑤如图所示f（x）的图象，再画出y=log4|x|的图象，观察得出交点数为8，即方程f（x）=log4|x|在区间[﹣7，7]内的解个数是8．故选：C．二.填空题（共5个小题，共25分）11．（5分）若过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y+2=0平行，则m 的值为﹣8．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率k也是﹣2，∴=﹣2，解得m=﹣8，故答案为：﹣8．12．（5分）已知向量=（3，4）与=（x，﹣8）共线．则||=10．【解答】解：向量=（3，4）与=（x，﹣8）共线．所以3×（﹣8）=4x，可得x=﹣6．||==10．故答案为：10．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=2n+1（n∈N*）．【解答】解：当n≥2，且n∈N*时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=n2+2n﹣（n2﹣2n+1+2n﹣2）=2n+1，又S1=a1=12+2=3，满足此通项公式，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1（n∈N*）．故答案为：2n+1（n∈N*）14．（5分）海中有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°方向上且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ方向上（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．则该船的行驶速度为45海里/小时．【解答】解：∵sinθ=，0°＜θ＜90°∴cosθ==，∴在△ABC中，由余弦定理知BC==30（海里），∴该船的行驶速度为=45（海里/小时）．故答案为：45．15．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．AC1分别与平面A1BD、平面CB1D1交于E，F两点．给出以下命题：①平面A1BD∥平面CB1D1；②若∠A1AD=∠A1AB=∠DAB，AD=AB=AA1，则直线A1D与CD1所成角为；③点E，F为线段AC1的两个三等分点；④E为△A1BD的内心．其中真命题的序号是①②③（写出所有真命题的序号）【解答】解：∵A1B∥D1C，A1D∥B1C，A1D∩A1D=A1，∴平面A1BD∥平面CB1D1，故①正确；∵∠A1AD=∠A1AB=∠DAB，AD=AB=AA1，∴△A1BD是等边三角形，∵A1B∥D1C，∴直线A1D与CD1所成角为∠BA1D，∴直线A1D与CD1所成角为，故②正确；连接A1C1，A1C，AC，设AC1与A1C交于O点，连接A1E并延长交AC于H点，由平行四边形对角线互相平分得OA=OC1，又A1H是面A1DB与面A1AC的交线，所以H为AC与BD的交点，即为中点，从而E为△A1AC的重心，A1E=2EH，AE=2OE，又OE=OF，从而AE=EF，同理可得C1F=2OF，所以点E，F为线段AC1的两个三等分点，故③正确；由③的分析可得：E为△A1BD的重心，故④错误．故答案为：①②③．三.解答题（共6小题，共75分）16．（12分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且3a2为9a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的首项和公比；（Ⅱ）设b n=a n+log3a n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且3a2为9a1和a3的等差中项，∴，解得a1=1，q=3．（Ⅱ）∵a1=1，q=3，∴，∴b n=a n+log3a n=3n﹣1+n﹣1，设数列{b n}的前n项和为T n．∴T n=（1+3+32+…+3n﹣1）+（1+2+…+n）﹣n=+=．∴数列{b n}的前n项和为．．17．（12分）已知函数f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a（x∈R，a∈R，a是常数）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]时，函数f（x）的最大值为4，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=2cosx（cosx+sinx）+a=2cos2x+2sinxcosx+a=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+a+1的最大值为a+3，又∵函数f（x）的最大值为4，∴a+3=4，解得a=1，∴a的值为1．18．（12分）如图，已知△ABC的边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣7=0，点M（3，0）满足=，点T（0，1）在边AC所在直线上，且满足•=0（Ⅰ）求AC所在直线的方程；（Ⅱ）求•．【解答】解：（I）点T（0，1）在边AC所在直线上，且满足•=0，∴，∴A=90°．∴k AC=﹣=﹣=﹣3．∴直线AC的方程为：y=﹣3x+1．（2）联立，解得，∴A（1，﹣2）．设B（3y+7，y），C（x，﹣3x+1），∵点M（3，0）满足=，∴点M是线段BC的中点．∴，解得，∴B，C．∴•=（2，2）•=﹣．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，△ABC面积为，cosB=．（1）求b的值；（2）求cos（2B﹣A）的值．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理=得：bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，∴a=3c；又cosB=，∴sinB==，∵△ABC面积为，∴acsinB=×3c2×=，∴c=1，a=3；∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=10﹣2×3×1×=6，解得：b=．（2）由余弦定理得cosA===﹣，A∈（0，π），∴sinA=，由cosB=得：cos2B=2cos2B﹣1=﹣（＜2B＜π），sin2B=，∴cos（2B﹣A）=cos2BcosA+sin2BsinA=（﹣）（﹣）+×=．20．（13分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角为，AB=2，BC=4，E是PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（Ⅲ）求多面体PABCE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结BD交AC于O点，连结OE∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点可得在△PBD中，OE是中位线，∴PB∥OE∵PB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴PB∥平面ACE．（II）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∴∠EHG即为二面角θ的平面角．∵直线PB与平面ABCD所成角为，AB=2，∴PA=2，∴EG=1，∵BC=4，∴AG=2，∴GH=，∴tan∠EHG==；（Ⅲ）解：利用多面体PABCE 的体积为长方体的体积减去三棱锥E ﹣ACD 的体积，可得多面体PABCE 的体积∵三棱锥E ﹣ACD 的底面三角形ADC 中，AD=2，CD=1，高为1， ∴多面体PABCE 的体积为V P ﹣ABCD ﹣V E ﹣ACD =﹣=．21．（14分）已知函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1），且f （﹣2）=． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）设函数g （x ）=log 2[m ﹣f 2（x ）+4f （x ）]若此函数在[0，2]上存在零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若≤k ＜1，函数f 1（x ）=|f （x ）﹣1|﹣k 的零点分别为x 1，x 2（x 1＜x 2），函数f 2（x ）=|f （x ）﹣1|﹣的零点分别为x 3，x 4（x 3＜x 4），求x 1﹣x 2+x 3﹣x 4的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f （﹣2）=． ∴f （﹣2）=a ﹣2=．解得a=2，即函数f （x ）的解析式f （x ）=2x ；（Ⅱ）若g （x ）=log 2[m ﹣f 2（x ）+4f （x ）]在[0，2]上存在零点， 即等价为m ﹣f 2（x ）+4f （x ）=1在[0，2]上成立， 则m=f 2（x ）﹣4f （x ）+1=（2x ）2﹣4×2x +1， 设t=f （x ）=2x ；则1≤t ≤4， 则y=t 2﹣4t +1=（t ﹣2）2﹣3， ∵1≤t ≤4， ∴﹣3≤t ≤1，即﹣3≤m ≤1，则实数m 的取值范围[﹣3，1]．（Ⅲ）由f 1（x ）=|f （x ）﹣1|﹣k=0得|f （x ）﹣1|=k ，即f （x ）=1﹣k ，或f （x ）=1+k ，则=1﹣k，==1+k，由f2（x）=|f（x）﹣1|﹣=0得|f（x）﹣1|=，即f（x）=1+或f（x）=1﹣，则=1﹣=或=1+=，则，，即，∵≤k＜1，∴，则≥3，即x2﹣x1+x4﹣x3≥log23，则x1﹣x2+x3﹣x4=﹣（x2﹣x1+x4﹣x3）≤﹣log23，故x1﹣x2+x3﹣x4的最大值是﹣log23，赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

泸州市高2023级高一学年末统一考试数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}{}2Z 25,4A x x B x x x=∈-<<=<，则A B = （）A.(0,4)B.{1,2,3}C.{}1- D.(2,4)-2.设复数z 满足3(1i)3i z -=-，则z =（）A.2i+ B.2i- C.12i - D.12i+3.设 1.30.4118,,lg 23a b c -⎫⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c b a<< D.c<a<b4.已知2tan 2α=，则cos2α=（）A.14 B.13C.12D.235.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线,m m αβ⊄⊄，且//,//m m αβC.直线m α⊂，直线n β⊂，且//,//m n βαD.α内的任何一条直线都与β平行6.如图，AOB 为直角三角形，1OA =，2OB =，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅＝（）A .1B.116C.14D.12-7.若圆台侧面展开图扇环的圆心角为180,︒其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）A.B.C.D.8.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x k =有4个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3412x x x x --的值为（）A.3B.0C.2D.6二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任意向量a ，b ，若a b > 且a 与b同向，则a b> B.若向量PA PB PC λμ=+，且1(01)λμλ+=<<，则,,A B C 三点共线C.若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角是锐角D.已知|6a = ，b 为单位向量，且3,π4a b = ，则a 在b上的投影向量为-10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于π2x =对称 B.1sinφ2=-C.()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）A.截面形状可能为正三角形B.平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()2xf x =，则72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为____________．13.计算：1sin10cos10-=︒︒__________.14.已知三棱锥S ABC -的底面是边长为3的等边三角形，且SA AB SB ==，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为____________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,1,a b =-= ，且()3a b b +⋅=．（1）求向量a 与b的夹角．（2）若向量ka b + 与a kb -互相垂直，求k 的值．16.已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求不等式()1g x >的解集．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos 2b C a c =+．（1）求B ；（2）若b =，且1sin sin 4A C =，求a c +．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PB PC 的中点，G 为线段AC 上一动点，PD⊥平面ABCD ．（1）证明：平面⊥BDF 平面A E G ；（2）当3CG AG =时，证明：//EG 平面BDF ；（3）若2AD PD =，四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，求GC AC的值．19.对于三个实数,,a b k ，若()()()()22111a b k a b ab --≥--成立，则称,a b 具有“性质k ”（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”，并说明理由；（2）若22x x --具有“性质0”，求x 的取值范围；（3）若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，求实数k 的最大值．泸州市高2023级高一学年末统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}{}2Z 25,4A x x B x x x=∈-<<=<，则A B = （）A.(0,4)B.{1,2,3}C.{}1- D.(2,4)-【答案】B 【解析】【分析】先求出,A B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}Z 251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-，{}{}2404B x x x x x =<=<<，所以{1,2,3}A B ⋂=.故选：B.2.设复数z 满足3(1i)3i z -=-，则z =（）A.2i +B.2i- C.12i- D.12i+【答案】C 【解析】【分析】先根据复数的除法计算复数，再结合共轭复数定义即可.【详解】因为()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+,所以12i z =-.故选：C.3.设 1.30.4118,,lg 23a b c -⎫⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c b a<< D.c<a<b【答案】D 【解析】【分析】分别利用指数函数和对数函数的单调性进行比较，借助于中间值“0”即可判断三个值的大小.【详解】因为函数2x y =在R 上单调递增，所以. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭，又因为函数lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以1lg lg103c =<=，所以c<a<b .故选：D.4.已知tan 2α=，则cos2α=（）A.14 B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法求值.【详解】依题意，222222222111cos sin 1tan 122cos2cos sin 1cos sin 1tan 3122ααααααααα----=-===+++.故选：B5.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线,m m αβ⊄⊄，且//,//m m αβC.直线m α⊂，直线n β⊂，且//,//m n βαD.α内的任何一条直线都与β平行【答案】D 【解析】【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.【详解】对于A ，若α内有无穷多条直线都与β平行，则,αβ平行或相交，故充分性不成立，故A 错误；对于B ，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//C D 平面ABCD ，11//C D 平面11ABB A ，而平面11ABB A 平面ABCD AB =，故充分性不成立，故B 错误；对于C ，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，而平面11ABB A 平面ABCD AB =，故充分性不成立，故C 错误；对于D ，由面面平行的定义知能推出平面α与平面β平行，故充分性成立，故D 正确.故选：D .6.如图，AOB 为直角三角形，1OA =，2OB =，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP OP⋅ ＝（）A.1B.116C.14D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用数量积的定义、运算律以及向量的线性运算即可求解.【详解】因为()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2211512444PQ BA ==+ ，取AO 中点Q ，连接PQ ，144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221511416416PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-⎢⎥⎣⎦.故选：B.7.若圆台侧面展开图扇环的圆心角为180,︒其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）A.23B.132C.3D.332【答案】C 【解析】【分析】设圆台的上底面的圆心为H ，下底面的圆心为O ，圆台的母线交于点S ，由已知易求得圆锥的母线4SB =，进而可求得上下底面的半径，利用直角梯形的性质可求圆台的高.【详解】设圆台的上底面的圆心为H ，下底面的圆心为O ，设圆台的母线交于点S ，AB 为圆台的母线，且2AB =，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，所以12SA HA SB OB ==，所以2SA =，所以4SB =，由圆台侧面展开图扇环的圆心角为180︒,所以下底面圆的周长为4π，所以2π4πOB = ，所以2,1OB HA ==，在直角梯形HABO 中，易求得22213OH =-=.故选：C.8.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x k =有4个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3412x x x x --的值为（）A.3 B.0C.2D.6【答案】A 【解析】【分析】作出函数图象，由对称性可知，122x x +=-，4344log log x x =，计算得341x x =，再计算3412x x x x --的结果；【详解】作出函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下由对称性可知，122x x +=-，因为4344log log x x =，由图可知3401x x <<<，所以43444344log 0,log 0log log x x x x ⇒-=则43434log 0,1x x x x =∴=，34121(2)3x x x x ---=-=，故选：A .二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任意向量a ，b ，若a b > 且a 与b 同向，则a b> B.若向量PA PB PC λμ=+，且1(01)λμλ+=<<，则,,A B C 三点共线C.若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角是锐角D.已知|6a =，b 为单位向量，且3,π4a b = ，则a 在b 上的投影向量为-【答案】BD 【解析】【分析】举反例判断A ，C ，利用向量共线定理判断B ，利用投影向量的定义判断D 即可.【详解】对于A ，向量不能比较大小，故A 错误，对于B ，向量PA PB PC λμ=+且1(01)λμλ+=<<时，由向量共线定理的推论，知,,A B C 三点共线，故B 正确，对于C ，当,a b 同向共线时，0a b a b ⋅=⋅>，此时夹角不是锐角，故C 错误，对于D ，由题意得1b = ，由投影向量定义得投影向量为3πcos 4b a b⋅=-，故D 正确.故选：BD10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于π2x =对称 B.1sinφ2=-C.()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BD 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性与单调性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于π3x =对称，故A 错误；所以πsin(2)13ϕ⨯+=±，所以2πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，所以ππ,Z 6k k ϕ=-∈，因为()ππ2f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，()()sin πsin 2πϕϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以2,Z k n n =∈，所以1sin 2ϕ=-，故B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，由π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得π5π11π(,)2666x ∈-，所以()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 错误；由1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-，所以()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确．故选：BD ．11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）A.截面形状可能为正三角形B.平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为【答案】ACD 【解析】【分析】借助正方体，画出截面图形，再对选项进行一一判断．【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,,,B A D BD AC A，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，又因为1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以，BD ⊥平面11AA C C ，因为1AC ⊂平面11AA C C ，则1BD AC ⊥，同理可证11A B AC ⊥，因为1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，则1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行或重合，所以平面1A BD 与正方体的截面形状可以是正三角形，故A 正确；平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为即为平面1A BD 与平面ABCD 所成的角，设AC 与BD 交于O ，连接1OA ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面1AA O ，又1A O ⊂平面1AA O ，所以1BD AA ⊥，所以1AOA ∠是平面平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，由题意可得12A A =，进而可得12AO AC ==1A O ==，所以111sin 3AA AOA A O ∠===，所以平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3，故B 错误；当,,,,,E F N M G H 分别为对应棱的中点时，截面EFNMGH 为正六边形，因为,E H 分别为111,BB A B 的中点，则1EHA B ，因为EH ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，则//EH 平面1A BD ，同理可得//EF 平面1A BD ，又因为EH EF E =I ，,EH EF ⊂平面EFNMGH ，则平面//EFNMGH 平面1A BD ，所以，1AC ⊥平面EFNMGH ，此时截面为正六边形，故C 正确；如图设截面为多边形GMEFNH ，设1A G x =，则02x ≤≤，则,),GH ME NF MG HN EF x MN ======-=，所以多边形GMEFNH 的面积为两个等腰梯形的面积和，所以1211()()22S GH MN h MN EF h =+++ ，因为1h ==2h ==，所以11)22S x =++-=11)22S x =+-221)x =++=-+，当1x =时，max S =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何体的截面问题，求解时要注意从动态的角度进行分析问题和求解问题，结合函数思想求解最值.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()2xf x =，则72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____________．【答案】##122-【解析】【分析】根据周期性和奇函数的性质可得7122f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可以求值.【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：13.计算：1sin10cos10-=︒︒__________.【答案】4【解析】【详解】()2sin 3010141sin10cos10sin202︒-︒-==︒︒︒14.已知三棱锥S ABC -的底面是边长为3的等边三角形，且SA AB SB ==，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为____________．【答案】15π【解析】【分析】先分析得三棱锥的体积取得最大值时，有平面SAB ⊥平面ABC ，分别求得ABC ，SAB △的外接圆的半径，进而可求外接球的半径，由此得解.【详解】依题意，三棱锥S ABC -的底面ABC 面积是个定值，侧面SAB 是等边三角形，顶点S 到边AB 的距离也是一个定值，所以当该三棱锥的体积取得最大值时，平面SAB ⊥平面ABC ，取AB 的中点，连接,SH CH ，,N M 分别为正三角形SAB ，ABC 的中心，所以,SH AB CH AB ⊥⊥，所以SHC ∠为二面角S AB C --的平面角，可得SH CH ⊥，过,N M 分别作平面SAB ，平面ABC 的垂线,NO MO ，两垂线交于O ，则O 为外接球的球心，由正三角形的性质可求得332SH CH ==，进而可得32NH HM ==，SN CM ==易得四边形OMHN 是正方形，所以2OM =，由勾股定理可得2OC ==，其外接球的表面积为24π15π2⎛= ⎝⎭.故答案为：15π.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,1,a b =-= ，且()3a b b +⋅=．（1）求向量a 与b的夹角．（2）若向量ka b + 与a kb -互相垂直，求k 的值．【答案】（1）π3（2）1k =或1k =-【解析】【分析】（1）由向量模的坐标运算得出||a =，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；（2）由已知得()()·0ka b a kb +-=，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．【小问1详解】由()1,1a =-，得||a ==a 与b的夹角为[0,π]θ∈，由()3a b b +⋅= ，23a b b ⋅+= ，又b = ，所以1a b ⋅= ，所以||||cos 1a b θ⋅= ，解得1cos 2θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．【小问2详解】由向量向量ka b + 与a kb - 互相垂直，得()()·0ka b a kb +-=，所以2220ka k a b a b kb -+-= ，即22120k k k -+-=，解得1k =或1k =-．16.已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求不等式()1g x >的解集．【答案】（1）1π()2sin(26f x x =+（2）ππ(π,πZ 66k k k -+∈【解析】【分析】（1）由图象求出A ，ω和ϕ的值即可求出函数的解析式．（2）根据函数图象变换求出()g x 的解析式，进而解不等式()1g x >即可.【小问1详解】由图象知2A =，18π2π2π233T =-=，即4πT =，又0ω>，所以2π4πω=，所以12ω=，则1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点2π(,2)3，所以2π12π()2sin()2323f ϕ=⨯+=，所以πsin()13ϕ+=，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.又π||2ϕ<，所以π6ϕ=，即1π()2sin()26f x x =+．【小问2详解】将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，可得函数()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，所以()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=，由()1g x >，可得2cos 21x >，所以1cos 22x >，所以ππ2π22π,Z 33k x k k -<<+∈，所以ππππ,Z 66k x k k -<<+∈，所以不等式()1g x >的解集为ππ(π,πZ 66k k k -+∈．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos 2b C a c =+．（1）求B ；（2）若b =，且1sin sin 4A C =，求a c +．【答案】（1）2π3（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理定理化简等式，再根据余弦定理的推论和角的范围解出答案；（2）利用正弦定理公式结合已知条件求出1ac =，再由余弦定理求出答案.【小问1详解】因为余弦定理可得222222a b c b a c ab+-⨯=+，所以222a b c ac -+=-，因为2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈，所以2π3B =.【小问2详解】因为正弦定理得2sin sin sin 2a b c A B C====，所以sin ,sin ,22a cA C ==又1sin sin 4A C =，所以1224a c ⨯=，即1ac =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即221322a c ac ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭，222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+因为,0a c >，所以2a c +=.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PB PC 的中点，G 为线段AC 上一动点，PD⊥平面ABCD．（1）证明：平面⊥BDF 平面A E G ；（2）当3CG AG =时，证明：//EG 平面BDF ；（3）若2AD PD =，四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，求GCAC的值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）34【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于O ，连接OE ，易得AC BD ⊥，由已知可证PD BD ⊥，进而可证OE BD ⊥，利用线面垂直的判定定可证BD ⊥平面A E G ，可证结论成立；（2）连接CE 交BF 于点M ，连接EF ，连接OM ，则O 为AC 的中点，利用相似比证明//OM GE ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（3）由题意可得34A BEF G BEF V V --=，可求得GCAC的值.【小问1详解】设AC 与BD 交于O ，连接OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，且O 为BD 的中点，又PD⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，因为E 是PB 的中点，所以//PD OE ，所以OE BD ⊥，又OE AC O ⋂=，,OE AC ⊂平面A E G ，所以BD ⊥平面A E G ，又BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面A E G ；【小问2详解】连接CE 交BF 于点M ，连接EF ，连接OM ，则O 为AC 的中点，因为3CG AG =，所以12OG OC =，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以M 为PBC 的重心，所以12ME MC =，所以ME OGMC OC=，所以//OM GE ，又OM ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以//EG 平面BDF ；【小问3详解】由PD⊥平面ABCD ，可得22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以14BEF PEF PBC S S S ==，所以4A PBC A BEF V V --=，所以228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===又四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，所以34A BEF G BEF V V --=，所以点,G A 平面BEF 的距离之比为34，所以34GC AC =.19.对于三个实数,,a b k ，若()()()()22111a b k a b ab --≥--成立，则称,a b 具有“性质k ”（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”，并说明理由；（2）若22x x --具有“性质0”，求x 的取值范围；（3）若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，求实数k 的最大值．【答案】（1）2a =（答案不唯一），理由见解析.（2）443535log log 22x x x ⎧-+⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或（3）0【解析】【分析】（1）2a =代入a 与2具有“性质1”的不等式进行验证；（2）根据题意得不等式()()2222110x x-⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦，化简得4403x x -+-≥，解不等式求出x 的取值范围；（3）根据题意条件列出不等式进行化简分离变量()()22cos sin sin cos 1sin cos x xk x x x x ≤--，令[]t=sin cos ,0,1x x t -∈，变形得2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫--⎪⎝⎭，构造新函数43212,22t t y t t++-=利用导数求得新函数的最小值，从而得到实数k 的最大值；【小问1详解】2a =与2具有“性质1”.当2a =时，()()()()222121122122--≥⨯--⨯，即90>，则2与2具有“性质1”【小问2详解】若22x x --具有“性质0”，所以()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦，即()22210442104430x x x x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥，令4,0xt t =>，所以2131300t t t t t -++-≥⇒≥，所以2310t t -+≥，解得302t -<≤或32t ≥即3042x <≤或342x +≥所以43log 2x -≤或43log 2x ≥因此x 的取值范围443535log log 22x x x ⎧+⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或【小问3详解】若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，所以()()()()22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x x --≥--，因为ππ42x ≤≤，所以sin x >cos x ，cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->，化简得()()()()2222cos sin cos sin sin cos 1sin cos sin cos 1sin cos x x x x k x x x x k x x x x ≥--⇒≤--，令[]t=sin cos ,0,1x x t -∈，两边平方得212t sinxcosx -=，2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭令43212,22t t y t t ++-=求导得()()()()()()3324264222322442212265512221t t t t t t t t t t y t t t t -++--+++--=+'=+，令462551()h t t t t =+--，求导得534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-令()0h t '=，解得0,1t t ==，当()0,()t h t h t '=<在上单调递减；当()0,()t h t h t '=>在上单调递增；又因为(0)1,(1)0,h h =-=所以()0h t <，因此0'<y ，即y 在[]0,1单调递减，当1t =时，y 取最小值为0，进而得到0k ≤，实数k 的最大值为0.【点睛】含参不等式恒成立问题1.对参数分类讨论2.函数恒等变形和不等式放缩法相结合解题3.参变分离和函数导数结合解题。

泸州市二〇一二年高中阶段学校招生统一考试数 学 试 卷（考试时间：120分钟，试卷满分100分）说明：1．试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷（1至2页）为选择题，第Ⅱ卷（3至10页）为非选择题，满分100分．2．本卷中非选择题部分的试题，除题中设计有横线的题目外解答过程都必须有必要的文字说明、演算步骤或推理证明．第Ⅰ卷 选择题（共24分）注意事项：1．第Ⅰ卷共2页，答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上。

考试结束后，监考人员将试卷和答题卡一并收回．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、51-的相反数是 A 、5B 、-5C 、51-D 、512、将如图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是3、“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是A 、中位数是5吨B 、众数是5吨C 、极差是3吨D 、平均数是5.3吨4、计算2x 3 • x 2的正确结果是 A 、2xB 、2x 5C 、2x 6D 、x 55、如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC = 6，BD = 4，则菱形的周长是 A 、24 B 、16 C 、34D 、326、为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算（未超过部份仍按每度电0.50元计算）．现假设某户居民某月用电量是x （单位：度），电费为y （单位：元），则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是7、如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B = 60°，∠BOD = 100°，则∠C 的度数为 A 、50°B 、60°C 、70°D 、80°8、若关于x 的一元二次方程x 2 - 4x + 2k = 0有两个实数根，则k 的取值范围是 A 、k ≥ 2B 、k ≤ 2C 、k ＞ -2D 、k ＜ -29、已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x 2 - 6x + 8 = 0的根，则这个三角形的周长等于 A 、13B 、11C 、11 或13D 、12或1510、如图，边长为a 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为A 、221aB 、233a C 、2)431(a -D 、2)331(a -11、如图，矩形ABCD 中，C 是AB 的中点，反比例函数xky =（k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为 A 、2B 、4C 、8D 、1612、如图，矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF ⊥AE 交DC于点F ，连接AF ．设k ADAB =，下列结论：①△ABE ～△ECF ，②AE 平分∠BAF ，③当k = 1时，△ABE ～△ADF ，其中结论正确的是A 、①②③B 、①③C 、①②D 、②③泸州市二〇一二年高中阶段学校招生统一考试数 学 试 卷第Ⅱ卷 （非选择题 共76分）注意事项：1．第Ⅱ卷共8页，用黑（蓝）色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答题前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中的横线上．13、分解因式：x 3 - 6x 2 + 9x = _________________．14、用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为___________．15、设x 1，x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 = 0的两个实数根，则2122214x x x x ++的值为______．16、有三张正面分别标有数字3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，记下数字后将卡片背面朝上放回，又洗匀后从中再任取一张，则两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的概率是_________．17、如图，n 个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M 1，M 2，M 3，…，M n 分别为边B 1B 2，B 2B 3，B 3B 4，…，B n B n +1的中点，△B 1C 1M 1的面积为S 1，△B 2C 2M 2的面积为S 2，…，△B n C n M n 的面积为S n ，则S n =____________．(用含n 的式子表示)评卷人三、（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）18、计算：1302012)21(8)3()1(-+--⨯-π．19、先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中2=x ．20、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连结AE ．求证：AE ∥BC ．四、（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）21、某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的小麦种子共2 000粒进行发芽实验，将从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验可知，C型号种子的发芽率为95%，根据实验数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．(1)根据图甲求用于实验的D型号种子的粒数，并将图乙的统计图补充完整；(2)通过计算，回答应选哪一个型号的种子进行推广．22、某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？(利润 = 售价-进价)五、（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）23、“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．（1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？（2）的旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？24、如图，一次函数y = ax + b 的图象与y 轴、x 轴分别交于点A （0，3）、B （3，0），与反比例函数xky的图象在第一象限交于C 、D 两点．（1）求该一次函数的解析式． （2）若AC ∙ AD =3，求k 的值．六、（本大题共2个小题，其中第25题9分，第26题11，共20分）25、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD ．（1）求证：P 是线段AQ 的中点； （2）若⊙O 的半径为5，AQ = 215，求弦CE 的长．26、如图，二次函数21212+++-=m mx x y 的图象与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，顶点D 在第一象限．过点D 作x 轴的垂线，垂足为H ．（1）当23=m 时，求tan ∠ADH 的值； （2）当60° ≤ ∠ADB ≤ 90° 时，求m 的变化范围；（3）设△BCD 和△ABC 的面积分别为S 1、S 2，且满足S 1 = S 2，求点D 到直线BC 的距离．。

2014年四川省高考模拟试题202013.12.6 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-,0 , 12,0 ,21)(x x x f x x，则该函数是A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减2．将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 、()g x 的图象都经过点3(0,)2P ，则ϕ的值可以是 A ．53πB ．56πC ．2πD ．6π3．若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1-<a4．△ABC 所在平面上一点Ｐ满足PA ＋PB ＋PC ＝AB,则△PAB 的面积与△ABC 的面积比为（ ） A.2:3 B.1:3 C.1:4 D.1:65. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量(31)(cos sin )A A =-=，，，m n ，若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ36，B ．2ππ36，C ．ππ63， D ．ππ33，6．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的长分别是,,a b c ，且2222c a b =+，可导函数()f x 满足/()2()x f x f x < ，则 A.22sin (sin )sin (sin )A f B B f A < B. 22sin (sin )sin (sin )A f A B f B > C.22cos (sin )sin (cos )B f A A f B < D.22cos (sin )sin (cos )B f A A f B >7．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()(),f x f x -=- 称()f x 为“局部奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）.1313A m -≤≤+ .1322B m -≤≤ .2222C m -≤≤ .2213D m -≤≤-8．已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，”当x ∈（－1，3]时，()f x ＝21(1,1](12),(1,3]x x t x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩－,－－－其中t>0．若函数y ＝()f x x－15的零点个数是5，则t 的取值范围为( )A ．（25，1） B ．（25，65） C ．（1，65） D ．（1，＋∞）9．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ） （A ）10,5,5+∞ （]（）（B ）10,[5,5+∞ （））（C ）11,]5,775 （（）（D ）11,[5,775（））10．对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数：①； ②；③ ； ④.其中为“敛1函数”的有A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③第II 卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．设C B A P ,,,半径为2的球面上四点，且满足PA ∙PB =0,PA ∙PC =0,PB ∙PC=0,则PBC PAC PAB S S S ∆∆∆++的最大值是_______________13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 14．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末理）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=．15．已知集合22{()|()()()()}A f x f x f y f x y f x y x y =-=+⋅-∈R ，、，有下列命题：①若1,0()1,0x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，则()f x A ∈； ②若()f x kx =，则()f x A ∈；③若()f x A ∈，则()y f x =可为奇函数；④若()f x A ∈，则对任意不等实数12,x x ，总有1212()()f x f x x x -<-成立．其中所有正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分）D ()y f x =c ξ,x D ∃∈0|()|f x c ξ<-<()y f x =c ()()f x x x Z =∈()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()2log f x x =()1x f x x -=16．（本小题满分12分）已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值； （Ⅱ）若3c =，ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．M NθACB17．(湖北省黄冈市2013年3月高三质量检测理)（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望.18．（本小题满分12分）在等腰梯形PDCB 中（如图1），PB DC //,33==CD PB ,2=PD ，PB DA ⊥,垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得AB PA ⊥，得到四棱锥ABCD P -(如图2) （1）求证：平面⊥PAD 平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥ABCD P -分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比，即45=-ABC M PMACD V V 时，求MBPM的值；（3）在（2）的条件下，求证：PD //平面AMC .PABCDM图2PABD C图119．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和)(2)21(*1N n a S n n n ∈+--=-，数列{b n }满足n n n a b 2=. （1）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n 1的前n 项和为T n ，证明：*N n ∈且3≥n 时，125+>n n T n ； （3）设数列{c n }满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.20（本小题满分13分）已知函数)()(b ax e x f x+=，曲线)(x f y =经过点)2 , 0(P ，且在点P 处的切线为l ：24+=x y ．⑴ 求常数a ，b 的值；⑵ 求证：曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点；⑶ 是否存在常数k ，使得]1 , 2[--∈x ，)24()(+≥x k x f 恒成立？若存在，求常数k 的取值范围；若不存在，简要说明理由．21. （本小满分14分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =-+++--，其中0a <且1a ≠-．(1) 当2a =-，求函数()f x 的单调递增区间；(2) 若1x =时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；（3）设函数2(()66(1))e ,1,()e (),1.x F x x a x x g x f x x ⎧-+-⋅=⎨⋅>⎩≤ （e 是自然对数的底数），是否存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，若存在，求实数a 的范围；若不存在，请说明理由．。

2024年春期高2022级高二期末联合考试数学试题数学试卷分为第1卷（选择题）和第I1卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.第一卷选择题（58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．()()()351i 2i 2i +=+-（）A ．1-B ．1C ．1i-D ．1i+2．下列求导运算正确的是（）A ．()1e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭B ．cos sin33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 2cos x x x x'=D ．()33x x'=3．直线l 过圆()22:34C x y ++=的圆心，并且与直线20x y ++=垂直，则直线l 的方程为（）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=4．已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-，则5a =（）A ．81B ．162C ．243D ．4865．下列命题中，真命题的是（）A ．若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为8B ．若回归方程为 0.450.6y x =-+，则变量y 与x 正相关C ．甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为125D ．在线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好6．已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，则a b +=（）A ．11或4B ．-4或-11C ．11D ．47．621()x x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为（）A ．55B ．70-C ．65D ．25-8．已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A ．a b c>>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．c a b>>二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．直线()12:0,:00,l ax y b l bx y a ab a b --=-+=≠≠，下列图象中正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A ，2A 表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B ，C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（）A ．()15|21P B A =B ．()212|21P C A =C ．()1742P B =D ．()4384P C =11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 相交于P ，Q ，2l 与C 相交于M ，N ，PQ 的中点为G ，MN 的中点为H ，则（）A ．111||||PF QF +=B ．111||||2PQ MN +=C ．||||PQ MN +的最大值为16D ．当||GH 最小时，直线GH 的斜率不存在第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）12．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A ，B 角色各1人，C 角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A ，B 角色不可同时为女生．则店主共有种选择方式．13．若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且212PF F F ⊥，H 是线段1PF 上靠近1F 的三等分点，且10OH PF ⋅=，则C 的离心率为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且24213a a +=，749=S .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC ==，AC =E ，F 为线段1BB ，1AC 的中点．(1)证明：EF ⊥平面11A ACC ；(2)若直线EA 与平面ABC 所成的角大小为6π，求点C 到平面1AEC 的距离．18．已知函数ln ()xx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设()()'g x xf x =,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1x g x e -><+.19．已知一动圆与圆()22:318++=E x y 外切，与圆()22:32-+=F x y 内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程．(2)已知点P 在曲线C 上，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点（异于点P ）．记直线PA 和直线PB 的斜率分别为1k ，2k ，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①()4,1P ；②120k k +=；③12k =-．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．1．C【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】()()351i 51i 1i (2i)(2i)5+-==-+-故选：C.2．A【解析】根据求导公式和求导法则，逐一验证四个选项的正误，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：()11e ln e ln e =e ln x x x x x x x x x ⎛⎫'=+⋅+ ⎪⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：cos 0sin 33ππ'⎛⎫=≠- ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：()22sin 2sin cos 2cos x x x x x x x x '=+≠，故选项C 不正确；对于选项D ：()33ln 33x x x '=≠，故选项D 不正确，故选：A 3．D【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.【详解】由22(3)4x y ++=可知圆心为()3,0-，又因为直线l 与直线20x y ++=垂直，所以直线l 的斜率为1k =，由点斜式得直线:03l y x -=+，化简得直线l 的方程是30x y -+=．故选：D ．4．B【分析】根据给定条件，利用1(2)n n n a S S n -=-≥列式计算即得.【详解】数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-，所以5455433162a S S =-=-=.故选：B 5．A【分析】对于选项A ，结合新样本数据的方差公式运算；对于选项B ，根据相关性的概念，由x 的系数分析判断；对于选项C ，根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，分析运算；对于选项D ，相关指数越接近于1，拟合效果越好.【详解】①若样本数据1210,,x x x 的方差为2，则数据121021,21,21x x x --- 的方差为2228⨯=，故A 项为真命题；②由ˆ04506yx =-+..，可知ˆ0.450b =-<，则变量y 与x 负相关，B 项为假命题；③根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关，某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为2005003，故C 项为假命题；④在线性回归分析中相关指数2R 越接近于1，则模型的拟合效果越好，故D 项为假命题.故选：A.6．C【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可.【详解】根据题意，()236f x x ax b=++' 函数()f x 在1x =-处有极值0()1360f a b ∴-=-+='且()21130f a b a -=-+-+=1,3a b ∴==或2,9a b ==1,3a b ==时()23630f x x x =++≥'恒成立，此时函数无极值点2,9a b ∴==11a b ∴+=.故选：C.7．D【分析】根据6()x y +展开式的通项公式进行计算即可.【详解】含42x y 的项为242333426621C C 25xT x y x y x y y =⨯-⨯=-，所以展开式中42x y 的系数为25-．故选：D.8．B【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>又ln3ln33e <，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.9．BC【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】直线()12:,:0,l y ax b l y bx a ab a b =-=+≠≠，A 选项，由图可知：12000:,:000a a a l l b b b <<>⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨-><>⎩⎩⎩，所以A 选项错误.B 选项，由图可知：12000:,:000a a a l l b b b >>>⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨-<>>⎩⎩⎩，所以B 选项正确.C 选项，由图可知：12000:,:000a a a l l b b b >>>⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨-><<⎩⎩⎩，所以C 选项正确.D 选项，由图可知：12000:,:000a a a l lb b b <<>⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨-><<⎩⎩⎩，所以D 选项错误.故选：BC 10．BCD【分析】在各自新的样本空间中求出()1|P B A ，()2|P C A 判断A ，B ；利用全概率公式计算()P B ，()P C 判断C ，D 作答.【详解】在事件1A 发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则()25127C 10|C 21P B A ==，A 不正确；在事件2A 发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则()1143227C C 12|C 21P C A ==，B 正确；因1253(),()88P A P A ==，()110|21P B A =，()24272C 6|C 21P B A ==，则()()()12215103617||821821(2)()4P B P B A P B A P A P A =+=⨯+⨯=，C 正确；因()212|21P C A =，()1152127C C 10|C 42P C A ==，则()()()121251031243||821821()8)(4P C P C A P C A P A P A =+=⨯+⨯=，D 正确.故选：BCD 11．AD【分析】A 选项，先得到两直线斜率均存在且不为0，设直线1l 方程为()1y k x =-，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由焦半径得到11PF x =+，21QF x =+，从而得到111||||PF QF +=；B 选项，在A 选项基础上得到244PQ k=+和244MN k =+，从而代入计算出4111||||PQ MN +=；C 选项，在B 选项基础上，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D 选项，先得到2221,G k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()212,2H k k +-，表达出GH ，并结合基本不等式求出当2212k k+=时，||GH 取得最小值，此时3G H x x ==，故D 正确.【详解】A 选项，若一条直线的斜率不存在时，则另一条直线斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，故两直线斜率均存在且不为0，由题意得()1,0F ，设直线1l 方程为()1y k x =-，联立()1y k x =-与2:4C y x =得，()2222240k x k x k -++=，易知0∆>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212224,1k x x x x k++==，则11PF x =+，21QF x =+，则2212212121222422111112411111k x x k k PF QF x x x x x x k +++++=+===++++++++，A 正确；B 选项，在A 选项基础上得到122424PQ x x k =++=+，由于两直线均过焦点且垂直，可得2244441MN k k =+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，故222241111114||||44444k PQ MN k k k ++=+==+++，B 错误；C 选项，由B 选项可知，()114PQ MN PQ MN PQ MN ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭4114216MN PQ PQ MN ⎛⎛⎫ =+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当MN PQ PQMN=，即8MN PQ ==时，等号成立，故||||PQ MN +的最小值为16，C 错误；D 选项，由A 选项可知，G 点横坐标为122212x x k+=+，故22211G y k k k ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以2221,G k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于两直线均过焦点且垂直，可得()22221,12,211H k k k k ⎛⎫⎪ ⎪+=+- ⎪⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则GH ==其中2212k k +≥=，当且仅当221k k =，即1k =±时，等号成立，当2212k k+=时，||GH 取得最小值，此时3G H x x ==，故当||GH 最小时，直线GH 的斜率不存在，D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12．348【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类，第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A ，B 角色有23A 种，剩余的1名男生和女生扮演C 角色，或A ，B 角色1名男生1名女生，女生先选有12C ，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则13C 种，所以共有1321134323C C (A C C )144+=种，第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A ，B 角色有22A 种，剩余的2名女生扮演C 角色，或A ，B 角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有1122C C ，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则12C 种，所以共有222111342222C C (A C C C )180+=种，第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A ，B 角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有1132C C ，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C ，所以共有31113432C C C C 24=种，由分类计数原理可得：店主共有14418024348++=种选择方式，故答案为：348.13．(4，5)【分析】由已知得()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数a 的取值范围.【详解】解： 函数()324132x a f x x x =-++，'2()4f x x ax ∴=-+，若函数()f x 在区间(1,4)上不单调，则()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点，由240x ax -+=得4a x x =+，令4()g x x x =+，(1,4)x ∈，'2(2)(2)()x x g x x +-=，()g x ∴在()1,2递减，在()2,4递增，而()422+42g ==，()411+51g ==，()444+54g ==，所以45a <<.故答案为：()45，.14．622【分析】根据题意可得22b PF a =，221+=a c PF a ，2213+=a c HF a ，再结合三角形相似可得21111F F HF PF OF =，代入分析求解即可.【详解】由题意，不妨设点P 在第一象限，如图.因为212PF F F ⊥，则22b PF a =，22212b a c PF a a a +=-=，2211133a c HF PF a +==.因为10OH PF ⋅= ，则1OH PF ⊥，可知121PF F OF H ∽△△，则21111F F HF PF OF =，即222223a c c a a c ca+=+，整理得2260c ac a +=.由c e a =得2610e e +=，解得622e -=或6212e =>（舍去），所以C 的离心率为622.故答案为：622.15．(1)21n a n =-(2)212223n n T n +-=+.【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解；（2）分组求和方法求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又24213a a +=，749=S ，所以()1112313767492a d a d d a ⎧+++=⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，2d =，所以{}n a 的通项公式()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-.（2）由（1）知212212n a n n n b a n -=+=-+，所以()()()()3521123123252212n n n T b b b b n -=+++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+-+()()()()2135212214121221352122222143n n n n n n n +-⨯-+--=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+=+=+-.16．(1)1120(2)①19；②方案二中取到红球的概率更大.【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件1A ，“取到乙袋”为事件2A ，“试验结果为红球”为事件1B ，“试验结果为白球”为事件2B ，（1）()()()()()111121219121121021020P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.所以试验一次结果为红球的概率为1120.（2）①因为1B ，2B 是对立事件，()()219120P B P B =-=，所以()()()()()()2111212221111029920P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====，所以选到的袋子为甲袋的概率为19.②由①得()()2212181199P A B P A B =-=-=，所以方案一中取到红球的概率为：()()()()1121122121982591091018P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=，方案二中取到红球的概率为：()()()()22211121289123791091045P P A B P B A P A B P B A =+=⨯+⨯=，因为3754518>，所以方案二中取到红球的概率更大.17．(1)证明见解析【分析】（1）取BC 的中点M ，连结,FM BM ，可得EF BM ∥，通过证明BM ⊥平面11A ACC 可得；（2）利用等体积关系11E ACC C AEC V V --=可得.【详解】（1）证明：取BC 的中点M ，连结,FM BM ，∵在1ACC △中，F 、M 分别为1AC 、AC 的中点，∴112FM CC =且1FM CC ∥，又在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中心，∴112BE CC =且1BE CC ∥，∴BE FM =且BE FM ∥，∴四边形BEFM 为平行四边形，∴EF BM ∥，∵在ABC 中，M 为AC 的中点，且1,AB BC AC ===∴BM AC ⊥，且22BM =，∵1CC ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1CC BM ⊥，又1CC AC C =I ，∴BM ⊥平面11A ACC ，∴EF ⊥平面11A ACC ；（2）由（1）知，22EF BM ==，1EF AC ⊥，因为直线EA 与平面ABC 所成的角大小为π6，π6EAB ∠=∴，因为R t EAB 中，1AB =，3tan 3BE AB EAB =⋅∠=∴，11CC BB ==∴，1AC ==∴11111122EAC ACC S EF AC S AC CC =⋅=⋅ ∴设点C 到平面1AEC 的距离为d ，11E ACC C AEC V V --= ，111133ACC AEC S EF S d ⋅=⋅ ∴，即11=33236d ⋅⋅，解得5d =.18．：（Ⅰ）1k =；（Ⅱ）()f x 的单调增为()0,1,单调减区为()1,+∞.（Ⅲ）见解析【详解】(1)由f (x )＝ln x x k e +，得f ′(x )＝1ln xkx x x xe --，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x)＝1xxe (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0.又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)(3)因为g (x )＝xf ′(x )，所以g(x )＝1xe (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，由(2)得，h (x )＝1－x －x ln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e -2)．所以当x ∈(0，e -2)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e -2，＋∞)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e -2)＝1＋e -2.又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1e x ＜1，所以当x ∈(0，＋∞)时，1ex h (x )＜1＋e -2，即g(x )＜1＋e -2.综上所述结论成立19．(1)2218x y -=(x ≥(2)证明见解析【分析】（1）利用两圆位置关系得到ME r MF r =+=6ME MF EF -=<=，再利用双曲线的定义即可得到曲线C 的方程；（2）依次选择其中两个作为已知条件，联立直线与曲线C 的方程，结合韦达定理得到关于12,,,k k k m 的表达式，从而得证.【详解】（1）依题意，设动圆的圆心为(),M x y ，半径为r ，因为该动圆与圆()22:318++=E x y 外切，与圆()22:32-+=F x y 内切，此处要特别注意圆F 在圆M 的内部与圆M 相切，否则圆M 无法与圆E 外切，所以ME r MF r =+=()()3,0,3,0E F -，所以6ME MF EF -==，由双曲线定义可知，M 的轨迹是以E ，F 为焦点，实轴长为所以2a ＝，2c ＝6，即a ＝，c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝1，所以曲线C 的方程为2218x y -=(x ≥..（2）选择①②⇒③：设直线l ：y ＝kx ＋m ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，联立2218y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得2(18)k -x 2－16mkx －8m 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－21681mk k -，x 1x 2＝228881m k +-，因为()4,1P ，k 1＋k 2＝0，所以2214y x --＋1114y x --＝0，即12(4)(1)x kx m -+-＋21(4)(1)x kx m -+-＝0，即2kx 1x 2＋12(14)()m k x x --+－8(1)m -＝0，所以2k ×228881m k +-＋216(14)()81mk m k k ----－8(1)m -＝0，化简得8k 2＋2k －1＋m (21)+k ＝0，即(21)(41)k k m +-+＝0，所以12k =-或m ＝1－4k ，当m ＝1－4k 时，直线l ：y ＝kx ＋m ＝k (4)x -＋1过点P (4,1)，不满足题意，舍去；当12k =-时，由于曲线C 是双曲线2218x y -=的右支，易知0m >，又由2(18)k -x 2－16mkx －8m 2－8＝0得228880x mx m -++=，此时0∆>，则()22644880m m -+>，解得21m >，故1m >，即1m >时，12k =-满足题意，综上：12k =-，所以③成立.选择①③⇒②：设直线l ：y ＝－12x ＋m ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，联立221218y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y ，得228880x mx m -++=，所以x 1＋x 2＝8m ，x 1x 2＝8m 2＋8，由第1种选择可知1m >且0∆>，此处不再详细说明，所以k 1＋k 2＝2214y x --＋1114y x --＝221124x m x -+--＋111124x m x -+--＝－1＋234m x --＋134m x --＝－1＋121212(3)(8)4()16m x x x x x x -+--++＝－1＋2(3)(88)884816m m m m --+-⨯+＝0，所以②成立.选择②③⇒①：设直线l ：y ＝－12x ＋m ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，P (x 0，y 0)，联立221218y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y ，得228880x mx m -++=，所以x 1＋x 2＝8m ，x 1x 2＝8m 2＋8，由第1种选择可知1m >且0∆>，此处不再详细说明，由k 1＋k 2＝2020y y x x --＋1010y y x x --＝202012x m y x x -+--＋101012x m y x x -+--＝0，得10201()()2x x x m y --+-＋20101()()2x x x m y --+-＝0，即－x 1x 2＋00121()()2m y x x x -++－2x 00()m y -＝0，所以－8m 2－8＋8m ×001()2m y x -+－2x 00()m y -＝0，故2m 00(4)x y -＋2x 0y 0－8＝0，由于m 的任意性，所以0040x y -=，00280x y -=，解得04x =±，又0x ≥04x =，则01y =，满足2218x y -=，所以P (4,1)，①成立.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.。

绵阳市高2012级第二学年末考试数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：每小题4分，共40分．1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．A 10．B二、填空题：每小题4分，共20分．11．10 12．7 1314．260 15．②④三、解答题：共40分．16．解：对p ：m ≤min 4()x x +，∵ x >0， ∴4x x+≥4= (当且仅当x =4x ，即x =2时“=”成立)， ∴ m ≤4．…………………………………………………………………………………3分 对q ：2(2)40m ∆=--<，得0<m <4． ………………………………………………5分 由⌝p 为假，p q ∧为假，得p 为真，q 为假，………………………………………7分于是404m m m ≤⎧⎨≤≥⎩，，或， 解得m ≤0，或m =4．故实数m 的取值范围是(0]-∞，∪{4}．……………………………………………10分 17．解：（Ⅰ）设“两名学生来自同一个班”为事件A ，根据题意，得22224635218(615310)22()18179C C C C P A C ++++++⨯===⨯．………………………………4分 （Ⅱ）根据题意，得X =0，1，2． 且21421891(0)153C P X C ===，1141421856(1)153C C P X C ⋅===，242186(2)153C P X C ===． ∴ X 的分布列为……………………………………………………………8分∴ 数学期望E (X )91566684012153153153153=⨯+⨯+⨯==．…………………………10分 18．解：（Ⅰ）∵ ∠CAO =4π，∴ CO ⊥OB ． 如图，作Ox ⊥AB ，并以OB 所在直线为y 轴， 以OC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(020)(002)(020)(010).A C B E --，，，，，，，，，，， 由于3OAD π∠=，则△OAD为正三角形，得10)D -，．……………………3分（Ⅰ）(00)DE =u u u r ，，(022)BC =-u u u r ，，， ∴0DE BC ⋅=u u u r u u u r ，得DE ⊥BC ．…………………………………………………………5分 （Ⅱ）令m =(x ，y ，z )为平面ACD 的一个法向量． 由00m m AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，uuu r uuu r得00y z y +=⎧⎪+=，，得m-3，3)． 又取平面OAC 的一个法向量为n =(1，0，0)．∴cos m n m n m n ⋅===⋅，． 故二面角O -AC -D…………………………………………………10分 19．解：（Ⅰ）111()()(1)(1)x x x f x e x a e e a x -+-+-+'=++-=--．根据题意，得(1)0f '=，解得a =0． 此时，1()(1)x f x e x -+'=-．易知，当x <1时，()0f x '>，当x >1时，()0f x '<，∴ f (x )在(-∞，1)上是增函数；f (x )在(1，+∞)上是减函数，f (x )在x =1处取得极大值， 即a =0符合题意．………………………………………………………………………3分（Ⅱ）由于()f x 在[2+)∞，上是减函数， 则1()(1)x f x e a x -+'=--≤0对∀x ≥2恒成立，得a ≥max (1)1x -=-，即a ≥-1．故实数a 的取值范围是[1+)-∞，．……………………………………………………6分 （Ⅲ）10()x a f x xe -+==，，则要证明对x ∀∈(0，1)，()(2)f x f x <-，即证1(2)1(2)x x xe x e -+--+<-， 等价于2222x e x-<-，即证2202x x e x -+>-． (ⅰ) 令()g x =222x x e x -+-(01)x <<，于是2222()2(2)x g x e x -'=--． 下面证明：2221(01)(2)x e x x -<<<-， 等价于222(2)x x e e -<，即证(2)x x e e -<． （ⅱ）再令=)(x h (2)(01)x x e x -<<，，则()(1)0x h x e x '=->(01)x <<， ∴()h x 在(0，1)是增函数，∴()h x (1)h e <=，从而不等式（ⅱ）成立．得()0g x '<，得g (x )在(0，1)是减函数，得g (x )>g (1)=0．从而不等式(ⅰ)成立． 故对x ∀∈(0，1)，都有()(2)f x f x <-成立．……………………………………10分。

四川省泸州市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数的定义域为，“为偶函数”是“为偶函数”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件第(2)题（）A．16B．32C．48D．52第(3)题被9除的余数为（）A．1B．4C．5D．8第(4)题若函数，当时函数值，则的取值范围是（）A．；B．；C．；D．．第(5)题函数的图象是（）A．B．C．D．第(6)题的值为（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在棱长为6的正方体中，，，则（）A．平面截正方体所得截面为梯形B．四面体的外接球的表面积为C．从点出发沿正方体的表面到达点的最短路径长为D．若直线与平面交于点，则第(2)题已知，则（）A．B．C．D．第(3)题若复数满足，则（）A．的虚部为B．C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线，其左焦点为F，左顶点为A，过原点的直线l分别交双曲线的左，右支于B，C两点，直线AC恰好过线段BF的中点，则双曲线的离心率______．第(2)题直线（a为常实数）的倾斜角的大小是_______________．第(3)题如图，在四棱锥中，，底面是边长为的正方形．是的中点，过点作棱锥的截面，分别与侧棱交于两点，则四棱锥体积的最小值为________________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，其中．（1）①求函数的单调区间；②若满足，且．求证：．（2）函数．若对任意，都有，求的最大值．第(2)题已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.（Ⅰ）若，求曲线的方程；（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.第(3)题已加．(1)解不等式；(2)令，若的图象与轴所围成的图形的面积为，求实数的值．第(4)题以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形．如图，以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且．由已知曲线C的参数方程为（t为参数）.(1)求的极坐标方程与曲线C的普通方程；(2)求曲线C与交点的极坐标．第(5)题已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且求的面积．。

泸州市二〇二四年初中学业水平考试数学试题全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试时间共120分钟．注意事项：1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回．2．选择题每小题选出的答案须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.下列各数中，无理数是（）A.13-B. 3.14C.0D.π【答案】D 【解析】【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001⋯（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．【详解】解：根据无理数的定义可知，四个数中，只有D 选项中的数π是无理数，故选：D ．2.第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（）A.72.610⨯B.82.610⨯ C.92.610⨯ D.102.610⨯【答案】B 【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示方法，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，确定n 的值时，要看原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的值与小数点移动位数相同，确定a 与n 的值是解题关键．【详解】解：8260000000 2.610=⨯，故选：B ．3.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三视图．主视图、左视图是分别从物体正面、左面所看到的图形．依此即可求解．【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；B、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；C、主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项符合题意；D、主视图为矩形，左视图为三角形，故本选项不符合题意．故选：C．∠=︒，则2∠=（）4.把一块含30︒角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若145A.10︒B.15︒C.20︒D.30︒【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性∠=︒，再根据平角的定义求解，即可解题．质得到3135【详解】解：如图，直角三角板位于两条平行线间且145∠=︒，∴∠=︒，3135又 直角三角板含30︒角，1802330∴︒-∠-∠=︒，215∴∠=︒，故选：B ．5.下列运算正确的是（）A.34325a a a +=B.236326a a a ⋅=C.()23624a a -= D.62344a a a ÷=【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、3a 与32a 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B 、235326a a a ⋅=，原式计算错误，不符合题意；C 、()23624a a -=，原式计算正确，符合题意；D 、62444a a a ÷=，原式计算错误，不符合题意；故选：C ．6.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列条件中，不能．．判定ABCD Y 为矩形的是（）A.90A ∠=︒B.B C ∠=∠C.AC BD =D.AC BD⊥【答案】D 【解析】【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．【详解】解：如图，A 、90BAD ∠=︒，能判定ABCD Y 为矩形，本选项不符合题意；B 、∵ABC BCD ∠=∠，180ABC BCD ∠+∠=︒，∴90ABC BCD ∠=∠=︒，能判定ABCD Y 为矩形，本选项不符合题意；C 、AC BD =，能判定ABCD Y 为矩形，本选项不符合题意；D 、AC BD ⊥，能判定ABCD Y 为菱形，不能判定ABCD Y 为矩形，本选项符合题意；故选：D ．7.分式方程12322x x-=--的解是（）A.73x =-B.=1x - C.53x =D.3x =【答案】D 【解析】【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．【详解】解：12322x x-=--，12322x x -=---，()1322x --=-，1362x -+=-，39x -=-，3x =，经检验3x =是该方程的解，故选：D ．8.已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k 的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程2210x x k ++-=无实数根，∴()Δ4410k =--<，解得：0k <，则函数y kx =的图象过二，四象限，而函数2y x=的图象过一，三象限，∴函数y kx =与函数2y x=的图象不会相交，则交点个数为0，故选：A ．9.如图，EA ，ED 是O 的切线，切点为A ，D ，点B ，C 在O 上，若236BAE BCD ∠+∠=︒，则E ∠=（）A.56︒B.60︒C.68︒D.70︒【答案】C 【解析】【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．根据圆的内接四边形的性质得180BAD BCD ∠+∠=︒，由236BAE BCD ∠+∠=︒得56EAD ∠=︒，由切线长定理得EA ED =，即可求得结果．【详解】解：如图，连接AD ，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵236BAE BCD ∠+∠=︒，∴()236180BAE BCD BAD BCD ∠+∠-∠+∠=︒-︒，即56BAE BAD ∠-∠=︒，∴56EAD ∠=︒，∵EA ，ED 是O 的切线，根据切线长定理得，∴EA ED =，∴56EAD EDA ∠=∠=︒，∴180180565668E EAD EDA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．10.的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点B '处，AB '交CD 于点E ，则sin DAE ∠的值为（）A.B.12C.35D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明ADE CB E '△≌△，在Rt ADE △中，利用勾股定理即可求得结果．【详解】解：设宽为x ，，∴长为：512512x =，由折叠的性质可知，AD BC B C x '===，在ADE V 和CB E ' 中，AED AEB D B AD B C ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AAS ADE CB E ' ≌，∴AE CE =，∴512AE DE DC x ++==，设DE y =，在Rt ADE △中，222512x y x y ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，变形得：12y x =，2AD y =，AE ==，∴5sin5DE DAE AE ∠===，故选A ．11.已知二次函数()2231y ax a x a =+-+-（x 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为（）A.918a ≤<B.302a <<C.908a <<D.312a ≤<【答案】A 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与x 轴有2个交点，开口向上，而且与y 轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．【详解】解： 二次函数()2231y ax a x a =+-+-图象经过第一、二、四象限，()()2Δ23410a a a ∴=--->且10a -≥，0a >，解得918a ≤<．故选：A ．12.如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB BC ，上的动点，且满足AE BF =，AF 与DE 交于点O ，点M 是DF 的中点，G 是边AB 上的点，2AG GB =，则12OM FG +的最小值是（）A.4B.5C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明()SAS ADE BAF ≌得到ADE BAE ∠=∠，进而得到90DOF ∠=︒，则由直角三角形的性质可得12OM DF =，如图所示，在AB 延长线上截取BH BG =，连接FH ，易证明()SAS FBG FBH ≌，则FH FG =，可得当H 、D 、F 三点共线时，DF HF +有最小值，即此时12OM FG +有最小值，最小值即为DH 的长的一半，求出8AH =，在Rt ADH 中，由勾股定理得10DH ==，责任12OM FG +的最小值为5．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90AD AB DAB ABC ===︒，∠∠，又∵AE BF =，∴()SAS ADE BAF ≌，∴ADE BAF ∠=∠，∴90DOF ADO DAO BAF DAO DAB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵点M 是DF 的中点，∴12OM DF =；如图所示，在AB 延长线上截取BH BG =，连接FH ，∵90FBG FBH FB FB BG BH ==︒==∠∠，，，∴()SAS FBG FBH ≌，∴FH FG =，∴()11112222OM FG DF HF DF HF +=+=+，∴当H 、D 、F 三点共线时，DF HF +有最小值，即此时12OM FG +有最小值，最小值即为DH 的长的一半，∵2AG GB =，6AB =，∴2BH BG ==，∴8AH =，在Rt ADH 中，由勾股定理得10DH ==，∴12OM FG +的最小值为5，故选：B ．第Ⅱ卷（非选择题共84分）注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．13.函数y =中，自变量x 的取值范围是_____．【答案】2x ≥-【解析】∴20x +≥，∴2x ≥-，故答案为2x ≥-．14.在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是23，则黄球的个数为______．【答案】3【解析】【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为x 个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案．【详解】解：设黄球的个数为x 个，根据题意得：6263x =+，解得：3x =，经检验，3x =是原分式方程的解，∴黄球的个数为3个．故答案为：3．15.已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是______．【答案】14【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为1x ，2x ，则12b x x a+=-，12cx x a =．先根据根与系数的关系得到123x x +=，125x x =-，再根据完全平方公式的变形()22212112229x x x x x x +=++=，求出()21229x x -=，由此即可得到答案．【详解】解： 1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，123x x ∴+=，125x x =-，()22212112229x x x x x x ∴+=++=，∴()2221211221229492029x x x x x x x x -=-+=-=+=，∴()()212123293514x x x x -+=+⨯-=．故答案为：14．16.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移()0a a >个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的(),a ρθ变换．如：点()2,0A 按照()1,90ρ︒变换后得到点A '的坐标为()1,2-，则点)1B -按照()2,105ρ︒变换后得到点B '的坐标为______．【答案】(【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点)1B-向上平移2个单位，得到点)C，再根据题意将点)C绕原点按逆时针方向旋转105︒，得到2OB OC '==，45B OD '∠=︒，据此求解即可．【详解】解：根据题意，点)1B-向上平移2个单位，得到点)C，∴1CE =，OE =∴2OC ==，1sin 2CE COE OC ∠==，∴30COE ∠=︒，根据题意，将点)C绕原点按逆时针方向旋转105︒，∴10530135B OE '∠=︒+︒=︒，作B D x '⊥轴于点D ，∴2OB OC '==，18013545B OD '∠=︒-︒=︒，∴sin 45B D OD OB ''==⋅︒=∴点B '的坐标为(，故答案为：(．三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．17.计算：()11π20242sin 602-⎛⎫+--︒+ ⎪⎝⎭．【答案】3【解析】【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的加减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．【详解】解：原式1222-⨯+，3+，=3．18.如图，在ABCD Y 中，E ，F 是对角线BD 上的点，且DE BF =．求证：12∠=∠．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到AD CB AD CB =，∥，则ADE CBF ∠=∠，再证明()SAS ADE CBF ≌△△，即可证明12∠=∠．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD CB AD CB =，∥，∴ADE CBF ∠=∠，又∵DE BF =，∴()SAS ADE CBF ≌△△，∴12∠=∠．19.化简：2222y x y x y x x ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭．【答案】x y x y-+【解析】【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，然后根据完全平方公式和平方差公式整理，最后约分即可得出答案．【详解】解：2222y x y x y x x ⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭22222y x xy xx x y +-=⋅-()()()2x y xx x y x y -=⋅+-x y x y-=+四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．20.某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表．甲781011111213131414141415161618乙7101311181213131013131415161117将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．苗高分组甲种小麦的频数710x≤<a1013x≤<b1316x≤<71619x≤<3小麦种类统计量甲乙平均数12.87512.875众数14d中位数c13方差8.657.85根据所给出的信息，解决下列问题：（1）=a______，b=______，并补全乙种小麦的频数分布直方图；（2）c=______，d=______；（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是______（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在1013x ≤<（单位：cm ）的株数．【答案】（1）2，4，乙种小麦的频数分布直方图见解析；（2）13，13.5；（3）乙，375．【解析】【分析】本题考查的是数据的整理，画频数分布直方图，众数和中位数的定义，根据方差作决策，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）根据题中数据和频数分布直方图的，即可直接得到a 、b ，以及乙种小麦1316x ≤<的株数，再画出频数分布直方图，即可解题；（2）根据众数和中位数的概念，即可解题；（3）可根据方差的意义作出判断，根据统计表和统计图得到乙种小麦苗高在1013x ≤<的所占比，再利用总数乘以其所占比，即可解题．【小问1详解】解：由表可知：甲种小麦苗高在710x ≤<的有7、8，故2a =；甲种小麦苗高在1013x ≤<的有10、11、11、12，故4b =，161537---=（株），补全后的乙种小麦的频数分布直方图如下：故答案为：2，4；【小问2详解】解：由表可知：乙种小麦苗高13cm 最多，为5次，故13d =；将甲种小麦苗高从小到大排列得7、8、10、11、11、12、13、13、14、14、14、14、15、16、16、18，故中位数为131413.52+=，即13.5c =；故答案为：13.513，；【小问3详解】解： 乙种小麦方差7.85<甲种小麦方差8.65，∴甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙，由题可知：乙种小麦随机抽取16株麦苗中苗高在1013x ≤<有5株，∴若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，苗高在1013x ≤<的株数为：5120037516⨯=（株）．21.某商场购进A ，B 两种商品，已知购进3件A 商品比购进4件B 商品费用多60元；购进5件A 商品和2件B 商品总费用为620元．（1）求A ，B 两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进A ，B 两种商品共60件，且购进B 商品的件数不少于A 商品件数的2倍．若A 商品按每件150元销售，B 商品按每件80元销售，为满足销售完A ，B 两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A 商品的件数最多为多少？【答案】（1）A ，B 两种商品每件进价各为100元，60元；（2）购进A 商品的件数最多为20件【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：（1）设A ，B 两种商品每件进价各为x 元，y 元，根据购进3件A 商品比购进4件B 商品费用多60元；购进5件A 商品和2件B 商品总费用为620元列出方程组求解即可；（2）设购进A 商品的件数为m 件，则购进B 商品的件数为()60m -件，根据利润不低于1770元且购进B 商品的件数不少于A 商品件数的2倍列出不等式组求解即可．【小问1详解】解：设A ，B 两种商品每件进价各为x 元，y 元，由题意得，346052620x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得10060x y =⎧⎨=⎩，答：A ，B 两种商品每件进价各为100元，60元；【小问2详解】解：设购进A 商品的件数为m 件，则购进B 商品的件数为()60m -件，由题意得，()()()1501008060601770602m m m m ⎧-+--≥⎨-≥⎩，解得1920m ≤≤，∵m 为整数，∴m 的最大值为20，答：购进A 商品的件数最多为20件．五、本大题共2小题，每小题8分，共16分．22.如图，海中有一个小岛C ，某渔船在海中的A 点测得小岛C 位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B 点，测得小岛C 位于北偏西30︒方向上，再沿北偏东60︒方向继续航行一段时间后到达D 点，这时测得小岛C 位于北偏西60︒方向上．已知A ，C 相距30n mile ．求C ，D 间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【答案】C ，D 间的距离为．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作CE AB ⊥于点E ，利用方向角的定义求得45CAE ∠=︒，30ECB ∠=︒，60ECD ∠=︒，证明CAE V 是等腰直角三角形，在Rt BCE 中，求得BC 的长，再证明90CBD ∠=︒，30DCB ∠=︒，在Rt BCD 中，利用三角函数的定义即可求解．【详解】解：作CE AB ⊥于点E ，由题意得904545CAE ∠=︒-︒=︒，30ECB ∠=︒，60ECD ∠=︒，∴CAE V 是等腰直角三角形，∵30AC =，∴cos 45AE CE AC ==⋅︒=，在Rt BCE 中，cos30CEBC ==︒，在BCD △中，306090CBD ∠=︒+︒=︒，30DCB ECD ECB ∠=∠-∠=︒，在Rt BCD中，)n mile cos30BCCD ==︒，答：C ，D间的距离为．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+与x 轴相交于点()2,0A -，与反比例函数ay x=的图象相交于点()2,3B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直线()2x m m =>与反比例函数()0a y x x =>和()20y x x=->的图象分别交于点C ，D ，且2OBC OCD S S =△△，求点C 的坐标．【答案】（1）一次函数解析式为33y x 42=+，反比例函数解析式为6y x=（2）()61C ，【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合：（1）利用待定系数法求解即可；（2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到31COF ODF S S ==△△，，进而得到28OBC OCD S S ==△△；再证明3OBE COF S S ==△△，推出8BOC BEFC S S ==△梯形，设6C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则6OF m CF m==，，求出2OF m =-，可得()63282m m +⋅-=，解方程即可得到答案．【小问1详解】解：把()2,3B 代入a y x=中得：32a=，解得6a =，∴反比例函数解析式为6y x=；把()2,0A -，()2,3B 代入y kx b =+中得：2023k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴一次函数解析式为33y x 42=+；【小问2详解】解：如图所示，过点B 作BE x ⊥轴于E ，设CD 与x 轴交于F ，∵直线()2x m m =>与反比例函数()60y x x =>和()20y x x=->的图象分别交于点C ，D ，∴11632122COF ODF S S =⨯==⨯-= ，，∴4COD COF DOF S S S =+=△△△，∴28OBC OCD S S ==△△；∵BE x ⊥轴，点B 在反比例函数()60y x x=>的图象上，∵3OBE COF S S ==△△，∵BOC COF BOE OBCF BEFC S S S S S =+=+△△△四边形梯形，∴8BOC BEFC S S ==△梯形，设6C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则6OF m CF m==，，∵()23B ，，∴23OE BE ==，，∴2OF m =-，∴()63282m m +⋅-=，解得6m =或23m =-（舍去），经检验6m =是原方程的解，且符合题意，∴()61C ，．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．24.如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D ，点E 在O 上，AC CE =，CE 交AB 于点F ．（1）求证：CAE D ∠=∠；（2）过点C 作CG AB ⊥于点G ，若3OA =，BD =FG 的长．【答案】（1）证明见解析（2）45【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到90BCD ∠=︒，则90D CBD ∠+∠=︒，由切线的性质推出90ABC CBD Ð+Ð=°，则ABC D ∠=∠，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到E ABC ∠=∠，CAE E ∠=∠，据此即可证明CAE D ∠=∠；（2）由勾股定理得AD =，利用等面积法求出BC =，则AC =，同理可得CG =，则4AG =，进而得到2BG =；如图所示，过点C 作CH AE ⊥于H ，则2AE AH =，证明ACB CHA △∽△，求出AH =，则AE =FG x =，则4AF x =+，证明AEF CBF ∽△△，推出4CF +=，在Rt CGF △中，由勾股定理得(2224664x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解方程即可得到答案．【小问1详解】证明：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90BCD ∠=︒，∴90D CBD ∠+∠=︒；∵BD 是O 的切线，∴90ABD Ð=°，∴90ABC CBD Ð+Ð=°，∴ABC D ∠=∠，∵ AC AC=，∴E ABC ∠=∠，∵AC CE =，∴CAE E ∠=∠，∴CAE D ∠=∠；【小问2详解】解：∵3OA =，∴26AB OA ==，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ==，∵1122ABD S AB BD AD BC =⋅=⋅△，∴AB BD BC AD ⋅==，∴AC ==，同理可得CG =，∴4AG ==，∴2BG =；如图所示，过点C 作CH AE ⊥于H ，则2AE AH =，由（1）可得90ABC CAH ACB CHA ∠=∠∠=∠=︒，，∴ACB CHA △∽△，∴AH ACBC AB =，即266=，∴AH =，∴AE =设FG x =，则4AF x =+，∵E CBF EAF BCF ==∠∠，∠∠，∴AEF CBF ∽△△，∴CF BC AF AE =，即4CF x =+，∴4664CF +=，在Rt CGF △中，由勾股定理得222CF CG FG =+，∴(2224x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得45x =或4x =（舍去），∴45FG =．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0A ，与y 轴交于点B ，且关于直线1x =对称．（1）求该抛物线的解析式；（2）当1x t -≤≤时，y 的取值范围是021y t ≤≤-，求t 的值；（3）点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点D ，在y 轴上是否存在点E ，使得以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．【答案】（1）223y x x =-++（2）52t =（3）存在点以B ，C ，D ，E为顶点的四边形是菱形，边长为2-或2【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分1t ≤和1t >，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．（3）分BD 为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线23y ax bx =++经过点()3,0A ，与y 轴交于点B ，且关于直线1x =对称，∴129330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴223y x x =-++；【小问2详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线1x =，∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，∵1x t -≤≤时，021y t ≤≤-，①当1t ≤时，则：当x t =时，函数有最大值，即：22123t t t -=-++，解得：2t =-或2t =，均不符合题意，舍去；②当1t >时，则：当1x =时，函数有最大值，即：2211234t -=-++=，解得：52t =；故52t =；【小问3详解】存在；当2230y x x =-++=时，解得：123,1x x ==-，当0x =时，3y =，∴()3,0A ，()0,3B ，设直线AB 的解析式为3y kx =+，把()3,0A 代入，得：1k =-，∴3y x =-+，设()()2,2303C m m m m -++<<，则：(),3D m m -+，∴222333CD m m m m m =-+++-=-+，BD ==，()22222BC m m m =+-+，当B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：①当BD 为边时，则：BD CD =，即23m m -+=，解得：0m =（舍去）或3m =此时菱形的边长为2=；②当BD 为对角线时，则：BC CD =，即：()()2222223m m mm m +-+=-+，解得：2m =或0m =（舍去）此时菱形的边长为：22322-+⨯=；综上：存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，边长为2或2．。

2023_2024学年四川省泸州市泸县泸县高二下册期末数学（理）模拟测试卷一、单选题1．若复数（为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）12z i =+iA ．是纯虚数B ．的实部为2C ．的共轭复数为D ．z z z 12i -+z 【正确答案】D根据纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义逐项判断即可.【详解】解：复数（为虚数单位）显然不是纯虚数，的实部是1，的共12z i =+i 12z i =+z轭复数为，故D 正确，12i -故选：D.考查纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义的应用，基础题.2．已知命题p ：对，有，则为（ ）0x ∀≥1xe ≥p ⌝A ．对，有B ．对，有0x ∀≥1xe <0x ∀<1xe <C ．，使得D ．，使得00x ∃≥01x e <00x ∃<01x e <【正确答案】C【分析】利用全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定.【详解】根据全称命题p ：对，有的否定为特称命题，0x ∀≥1xe ≥即：为，使得.p ⌝00x ∃≥01x e <故选：C本题考查了含有全称量词的命题的否定，属于基础题.3．若随机变量，则（ ）14,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～()21E X +=A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】D根据，求出，然后根据期望的性质求解.14,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭～EX ()21E X +【详解】因为，所以，所以.14,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～1422EX =⨯=()21215E X EX +=+=故选：D.本题主要考查随机变量的计算，明确随机变量期望的性质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是()f x ()f x '()f xA ．在区间上为减函数B ．在处取得极小值(2,2)-2x =-C ．在区间，上为增函数D ．在处取得极大值(,2)-∞-(2,)+∞0x =【正确答案】B结合图象，求出函数的单调区间和极值点即可．【详解】由图象得：在递减，在递增，在递减，()f x (,2)-∞-(2,2)-(2,)+∞故在取极小值，在取极大值，()f x 2x =-2x =故选：B.本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道常规题．5．的展开式中的常数项为（ ）622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．240B ．﹣240C ．480D ．﹣480【正确答案】A【分析】求出通项公式，运用指数幂的运算性质，令指数为0，解方程可得，即可得到4r =所求常数项．【详解】解：的通项公式为22(x x -6)26162()()r r r r T C x x-+=- ，1236(2)r r r C x -=- 令，可得，1230r -=4r =则展开式的常数项为．446(2)240C -=故选：．A 本题考查二项式定理的运用，主要是通项公式的运用和指数幂的运算性质，考查运算能力，属于基础题．6．3男2女站成一排，其中2名女生必须排在一起的不同排法有（ ）A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种【正确答案】B【分析】先将2名女生看成整体排序，再将其和其余人一起去安排，相乘即可.【详解】根据题意，分2步进行分析：第一步，将2名女生看成整体，有种情况；222A =第二步，将这个整体和3名男生全排列，有种情况，44=24A 所以2名女生必须排在一起的不同排法有种.224=48⨯故选：B.本题考查了捆绑法，属于常考题.7．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周）2.0946≈A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.1413【正确答案】A先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.r【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因r 2r π2162r ⨯⨯，则.0.8269== 3.1419π≈故选A本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.8．已知曲线在点处的切线方程为，则e ln xy a x x =+()1,ae 2y x b =+A ．B ．C ．D ．,1a e b ==-,1a e b ==1,1a e b -==1,1a eb -==-【正确答案】D通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．a b 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++，1|12x k y ae ='==+=1a e -∴=将代入得，故选D ．(1,1)2y x b =+21,1b b +==-本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．9．直线与抛物线交于，两点，则（ ）10x-=24y x =AB AB =A ．B ．C ．D ．816【正确答案】D【分析】焦点弦长度等于.12x x p ++【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则24yx =()1,010x -=AB 由得：，2104x y x⎧-=⎪⎨=⎪⎩21410x x -+=所以，，1214x x +=所以，1214216AB x x p =++=+=故选：D.10．已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）()3227f x x ax bx a a =++--1x =ab A ．B ．或2C ．2D ．23-2313-【正确答案】A【分析】求导，根据题意得到，代入数据解得答案，再验证排除即可.()()11010f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩【详解】，则，()3227f x x ax bx a a=++--()'232f x x ax b=++根据题意：，解得或，()()2117101320f a b a a f a b '⎧=++--=⎪⎨=++=⎪⎩21a b =-⎧⎨=⎩69a b =-⎧⎨=⎩当时，，函数在上单调递减，在上单21a b =-⎧⎨=⎩()()()'2341311f x x x x x =-+=--1,13⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞调递增，故处取得极小值，舍去；1x =当时，，函数在上单调递增，在上单69a b =-⎧⎨=⎩()()()'23129313f x x x x x =-+=--(),1∞-()1,3调递减，故处取得极大值，满足.1x =故.6293a b -==-故选：A.本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.11．设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的22221x y a b -=圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为ABC ．2D 【正确答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，PQ x A PQ x ⊥又，为以为直径的圆的半径，||PQ OF c == ||,2c PA PA ∴=∴OF 为圆心．A ∴||2c OA =，又点在圆上，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P 222x y a +=，即．22244c c a∴+=22222,22c c a e a =∴==A．e ∴=本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12．已知在上恰有两个极值点，，且，则的()()21ln f x x a x =-+1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x 2x 12x x <()12f x x 取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．13,ln 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭1ln 2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭1,ln 22⎛⎫-∞-⎪⎝⎭13ln 2,ln 224⎛⎫--⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3182a <<由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩21324x <<()12f x x 1x 2x 示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.2x 【详解】由题意得，()()222220a x x a f x x x x x -+'=-+=>令，得，()0f x '=2220x x a -+=由题意知在上有两个根，，2220x x a -+=1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x 2x ∴，得．20,1122044480a a a >⎧⎪⎪⎛⎫⨯-⨯+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪∆=->⎩3182a <<由根与系数的关系得，由求根公式得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩1,2x ==∵，∴，∵，∴．12x x <2x =3182a <<21324x <<则()()()()2211121212222221ln 2ln 21ln 1f x x a x x x x x x x x x x x -++===+--，()()222213121ln 1124x x x x ⎛⎫=-+--+<< ⎪⎝⎭令，则．21t x =-1142t <<设，则，()112ln 142g t t t t t ⎛⎫=-++<< ⎪⎝⎭()12ln g t t '=+易知在上单调递增，()g t '11,42⎛⎫⎪⎝⎭∴，()12ln 12ln 2ln04eg t t '=+<-=<∴当时，函数为减函数，1142t <<()g t ∴，且，()11132ln 1ln 24444g t <-+⨯+=-()11112ln ln 1ln 22222g t >-+⨯+=-∴，()1213ln 2,ln 224f x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭故选：D .关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的a 取值范围，以及与之间的关系；1x 2x （2）将题意转化为关于的函数，构造出，利用导数判断单调性.2x 21t x =-二、填空题13．若直线与直线平行，则 .(1)(5)0m x y m +--+=260x my --=m =【正确答案】2-【分析】根据两直线平行公式，列式即可求解.【详解】根据两直线平行可得：解之得.(1)20,6(1)2(5)0m m m m +-=⎧⎨+-+≠⎩2m =-故2-14．已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估,x y 计得到回归方程，则 .ˆ0.70.35yx =+m =x3456y2.5m44.5【正确答案】3【分析】根据题意计算样本中心点，代入回归方程即可得到答案.【详解】解：，，3456 4.54x +++== 2.54 4.51144m my ++++==所以样本中心点为.114.5,4m +⎛⎫ ⎪⎝⎭因为回归方程，样本中心点在回归方程上，ˆ0.70.35yx =+所以，解得.110.7 4.50.354m+=⨯+3m =故3.本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数，考查学生的计算能力，属于基础题.15．已知直线，圆，若直线与圆相交于:(2)10l mx m y m --+-=22:20C x y x +-=l C 两点,则的最小值为．,M N ||MN【分析】求出直线过的定点，当圆心和定点的连线垂直于直线时，取得最小值，结合l ||MN.||MN =【详解】由题意知，圆，圆心，半径，()22:11C x y -+=()1,0C 1r =直线，，:(2)10l mx m y m --+-=()1210m x y y +--+=，解得，故直线过定点，10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩l 11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭设圆心到直线的距离为，则最大时，d ||MN==d 有最小值，由图可知，时，最大，此时，||MN CP l ⊥d d ==此时.故.||2MN ===||MN 故答案为16．已知函数与的图象在区间上存在关于轴对称的点，()ln f x x m=-()273g x x x=-+[]1,3x 则的取值范围为 .m 【正确答案】35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】与的图象在区间上存在关于轴对称的点，即方程()f x ()g x []1,3x 在区间内有解，即方程在区间有解，所以构造函数()()0f xg x -=[]1,327ln 3m x x x=-+[]1,3，利用导数的知识点求出的值域即可求出答案()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈()h x 【详解】函数与的图象在区间上存在关于轴对称的点，()ln f x x m =-()273g x x x =-+[]1,3x 即方程在区间内有解，27ln 03x x x m -+-=[]1,3所以方程在区间有解.27ln 3m x x x=-+[]1,3令，()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈所以()()()23123176732333x x x x h x x x x x +--++'=-+==-令，解得或()0h x '=13x =-32x =所以当时，，随的变化情况如下表：[]1,3x ∈()h x '()h x xx131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,32⎛⎫ ⎪⎝⎭3()h x '+0-()h x 43极大值ln 32-由上表可知，，又，()413h =()43ln 323h =-<335ln 224h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以当时，，[]1,3x ∈()h x ∈35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦故的取值范围是.m 35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦故35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦三、解答题17．为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：健身族非健身族合计男性401050女性302050合计7030100（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式：，其中. 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+=+参考数据：()20P K k ≥0. 500. 400. 250. 050. 0250. 010k 0. 4550. 708 1. 321 3. 840 5. 024 6. 635【正确答案】（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【分析】（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断【详解】（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为小时，1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；76<（2）由联立表可得，， ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()210040203010 4.762 3.84070305050⨯-⨯≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.18．已知函数.32()1f x x x x =--+（1）求在点处的切线；()f x (0,(0))f （2）求在区间上的最大值和最小值.()f x [0,2]【正确答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.1x y +=30【分析】（1）求出函数的导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;（2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.【详解】（1），又，所以切线方程为，2()321,(0)1f x x x f ''=--=-()01f =11(0)y x -=-⋅-即；1x y +=（2）由（1）知或，∴在上单减，在上单增，()01f x x '>⇒>13x <-()f x [0,1][1,2]又，∴在上的最大值为3，最小值为0.(0)1,(1)0,(2)3f f f ===()f x [0,2]本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数的切线方程,单调性以及函数的最值,考查学生的运算能力与逻辑思维,属于中档题.19．如图，在四棱锥中，平面，，，，P ABCD -AB ⊥PAD PA PD ⊥PA PD =2AD =.AC CD =（1）求证：平面；PD ⊥PAB（2）若直线与平面长.PA PDC CD【正确答案】（1）见解析（2）CD =【分析】（1）根据线面垂直性质可得，再根据题中，即可由线面垂直的判PD AB ⊥PD PA ⊥定定理证明平面；PD ⊥PAB （2）先证明为等腰三角形，然后以中点为原点，，，为，，ACD AD O OC OA OP x y 轴，建立空间直角坐标系，设，写出各个点的坐标，并求得平面的法向量，z OC m =PDC 再根据直线与平面所成的线面角的正弦值求得的值，即可求得长.PA PDC m CD 【详解】（1）证明：∵平面，平面，AB ⊥PAD PD ⊆PAD ∴，PD AB ⊥∵，平面，，PD PA ⊥,PA AB ⊆PAB PA AB A = ∴平面.PD ⊥PAB （2）∵，，PA PD ⊥PA AD =∴为等腰直角三角形，PAD ∵，AC CD =∴为等腰三角形.ACD 以中点为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：AD O OC OA OP x y z设，则，，，，OC m =()0,1,0A ()0,0,1P (),0,0C m ()0,1,0D -∴.()0,1,1PA =-设平面的法向量为，PDC (),,n x y z =∵，，(),1,0DC m = ()0,1,1DP =∴，令，则，，∴.00mx y y z +=⎧⎨+=⎩1x =y m =-z m =()1,,n m m =- ∴sin cosPAθ==m =∴CD ==本题考查了线面垂直的判定，由空间向量法依据线面夹角求参数值，属于中档题.20．已知椭圆，且点在椭圆上．2222:1x yE a b +=(0)a b >>E (1)求椭圆的标准方程；E (2)若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足0,2F（）E G H G F H ，求的取值范围.FG FH λ=λ【正确答案】(1)2212x y +=(2)1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）代入点坐标，结合离心率，以及即得解；222a b c =+（2）设直线方程，与椭圆联立，转化为，结合韦达定理和判别式，分GH FG FH λ=12x x λ=析即得解【详解】（1）由题意可知：，解得：2222241331c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎩11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩椭圆的标准方程为：．∴C 2212x y +=（2）①当直线斜率不存在，方程为，则，. GH 0x =13FG FH = 13λ∴=②当直线斜率存在时，设直线方程为，GH GH 2y kx =+联立 得.22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩221()4302k x kx +++=由得.221Δ161202k k =-+>（）232k >设，，11(,)G x y 22(,)H x y 则，，1222481122k kx x k k--+==++1222361122x x k k ==++又，，，则，FG FH λ=1122,2,2x y x y λ-=-（）（）12x x λ=12xx λ=()()2212122122121323222131232x x x x k x x x x k k λλ+∴=++=++==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ，所以，所以 ，解得：,232k >232164133(2)k <<+116423λλ<++<133λ<<又，01λ<<113λ≤<综上所述：的取值范围为.λ1[,1)321．已知函数，其中．()x 2e 24f x mx mx=--R m ∈(1)若函数在单调递增，求m 的取值范围；()f x [)1,+∞(2)已知函数存在两个极值点（），当时，求的取值范()f x 1210x x -<<<211351x x +≤≤+12x x +围．【正确答案】(1);e8m ≤(2).3ln 52ln 32,2]2[--【分析】(1)求出函数的导数，由题意转化为不等式恒成立，分离参数，构造函数利用导数求最小值即可；（2）根据所给极值点得出，换元后可得构造函数，利用导21211e 1x x x x -+=+12(1)ln 2,1t tx x t ++=--数研究函数单调性，由单调性求范围即可.【详解】（1），，()2e 24x f x mx mx =-- ()e 44x f x mx m'∴=--函数在单调递增，在上恒成立，()f x [)1,+∞()e 440xf x mx m '∴=--≥[)1,+∞即在上恒成立，令，则时，，e 41xm x ≤+[)1,+∞e ()1x h x x =+[)1,x ∞∈+2e ()0(1)x x h x x '=>+所以在时，单调递增，所以，e ()1xh x x =+[)1,x ∞∈+mine ()(1)2h x h ==所以，即.e 42m ≤e 8m ≤（2）因为函数存在两个极值点（），()f x 1210x x -<<<所以，可得，令，则，1212e 440e 440x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩21211e 1x x x x -+=+2111x t x +=+[]3,5t ∈所以取对数可得111e,tx x t t -+-=111ln ,tx x t t -+-=，12ln ln 1,111t t t x x t t ∴+=+=--12(1)ln 2,1t tx x t ++=--令，则，(1)ln ()21t t m t t +=--212ln ()(1)t t tm t t --'=-令，则，1()2ln n t t t t =--22221(1)()10t n t t t t -'=-+=>所以在上单调递增，因为，所以在恒成立，()n t [)1,t ∈+∞(1)0n =()0n t >[]3,5t ∈所以在恒成立，所以在上单调递增，()0m t '>[]3,5t ∈(1)ln ()21t tm t t +=--[]3,5t ∈所以，即，(3)()(5)m m t m ≤≤3ln 52ln 32()22m t -≤≤-即123ln 52ln 32,2]2[x x ∈-+-关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据极值点的定义得出，进而换元21211e 1x x x x -+=+，求出构造函数，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出2111x t x +=+12(1)ln 2,1t tx x t ++=--的范围.12x x +22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐2222tan cos 12tan cos x y αααα⎧=⋅⎨=-⋅⎩α标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．cos 44πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)动点D 在曲线C 上，动点A ，B 均在直线l 上，且，求△ABD 面积的最小值．AB 4=【正确答案】(1)(y ≠ -1)，221xy +=0x y --=(2)6【分析】（1）先对曲线C 的参数方程化简，然后利用正弦与余弦的平方和为1可求出其普通方程，由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求出l 的直角坐标方程；（2）设，求出点D 到直线l 的距离，化简变形后利用余弦函数的性质可求出()cos ,sin D t t d 的最小值，从而可求出△ABD 面积的最小值．d 【详解】（1）对于曲线C ，，22tan cos sin2x ααα=⋅=，22212tan cos 12sin cos2y αααα=-⋅=-=所以．221x y +=因为当有意义时，，tan α()ππZ 2k k α≠+∈所以，则，即，()22ππZ k k α≠+∈cos2cos πy α=≠1y ≠-所以C 的普通方程为．()2211x y y +=≠-由，即cos 44πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 4θθ=cos sin ρθρθ-=将，代入上式，可得l 的直角坐标方程为．cos x ρθ=sin y ρθ=0x y --=（2）设，则点D 到直线l 的距离()cos ,sin D t td 所以当且仅当，即（）时，d 取得最小值，cos 14t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2π4t k +=Z k ∈，min 3d 所以△ABD 面积的最小值为143 6.2⨯⨯=23．已知函数，不等式的解集为．()()21R f x x x m x =-+-∈()7f x <2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的值；m (2)若三个实数，，，满足．证明：a b c a b c m ++=()()()222224a c a b c a b c m+++++++≥【正确答案】(1)3m =(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可；()47273ff⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩（2）由（1）可知，则3a b c ++=()()()22222a c a b c a b c +++++++，利用柯西不等式即可证明.()()()222333b c a =-++++【详解】（1）∵不等式的解集为，()7f x <2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，即，∴，经检验得符合题意.()47273f f ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩241472221733m m ⎧-+-=⎪⎨--+--=⎪⎩3m =3m =（2）∵，3a b c m ++==∴()()()22222a c a b c a b c +++++++()()()222333b c a =-++++，()()()222333b c a =-++++由柯西不等式可知：，()()()()()()()222222233311133336b c a b c a ⎡⎤-++++++≥-++++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴，()()()22233312b c a -++++≥即，()()()22222124a c a b c a b c m+++++++≥=当且仅当，，时等号成立.1a =-5b =1c =-。

泸州市高2012级高二上学期末统一考试数学(理工类本试卷分第一部分(选择题和第二部分(非选择题。

第一部分1至2页,第二部分3至4页,共150分。

考试时间120分钟。

注意事项:1、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂、写在答题卡规定的位置上。

2、选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案。

非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上。

作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚,答在草稿子、试题卷上无效。

3、本部分共10小题,每小题5分,共50分。

第一部分 (选择题共50分一、本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项,只有一项是符合题目要求的。

1、某单位有老年人30人,中年人18人,青年人42人。

为了调查他们的身体状况,用分层抽样的方法抽取了一个容量为30的样本,则样本中老年人的个数为(A 、10B 、15C 、5D 、32、双曲线2219x y -=的渐近线方程为(A 、13y x =±B 、3y x =±C 、19y x =± D 、9y x =± 3、若a b >且c R ∈,则下列不等式中一定成立的是(A 、22a b > B 、ac bc > C 、a c b c ->- D 、11a b<4、执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( A 、1 B 、2C 、4D 、75、下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(④圆锥③正方体①圆台A 、①②B 、①④C 、①③D 、②④ 6、圆22670x y x ++-=和圆228120x y y +-+=的位置关系是( A 、相切 B 、内含 C 、相离 D 、相交 7、设,αβ是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A 、若l α⊥,αβ⊥,则l β⊂ B 、若//l α,//αβ,则l β⊂ C 、若l α⊥,//αβ,则l β⊥ D 、若//l α,αβ⊥,则l β⊥8、设某大学的女生体重y (单位:kg 与身高x (单位:cm具有线性相关关系,根据一组样本数据(,i i x y (1,2,,i n =⋅⋅⋅,建立的回归方程为0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( A 、y 与x 具有正的线性相关关系B 、回归直线过样本点的中点(,x yC 、若该大学某女生身高增加1cm ,则且体重约增加0.85kgD 、若该大学某女生身高为170cm ,则可断定其体重为58.79kg9、某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨,硝酸盐15吨。

泸县2023年秋期高三期末考试理科数学（答案在最后）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）A.{21}x x -≤<∣B.{21}x x -<≤∣C.{2}xx ≥-∣ D.{1}xx <∣【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A2.某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有20件，则样本容量n 为（）A.50B.80C.100D.200【答案】C 【解析】【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.【详解】由题意样本容量为220100235n =÷=++.故选：C.3.已知()21i 32i z -=+，则z =（）A.31i 2--B.31i 2-+C.3i 2-+ D.3i 2--【答案】B【解析】【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+，()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅.故选：B.4.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值是（）A.－15B.－9C.1D.9【答案】A 【解析】【分析】作出可行域，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，数形结合知z 在点B (－6，－3)处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数2z x y =+，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，()223066,3303x y x B y y +-==-⎧⎧⇒⇒--⎨⎨+==-⎩⎩，数形结合知函数2y x z =-+在点B (－6，－3)处纵截距取得最小值，所以z 的最小值为－12－3＝－15.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.5.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.6.将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（）A.16B.14C.13D.12【答案】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.7.已知ABC 中，2AB =，1AC =，1AB AC ⋅=，O 为ABC 所在平面内一点，且满足230OA OB OC ++= ，则AO BC ⋅的值为（）.A.4- B.1- C.1D.4【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量线性运算得到1132AO AB AC =+，再使用平面向量数量积运算法则进行计算.【详解】∵230OA OB OC ++=，∴2()3()0OA OA AB OA AC ++++= ，∴1132AO AB AC =+ ，∴2211111()()132236AO BC AB AC AC AB AC AB AB AC ⋅=+⋅-=--⋅=-，故选：B.8.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．9.已知π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2425 B.2425-C.725D.725-【答案】D 【解析】【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.【详解】π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π72sin 1325α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭.故选：D10.甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A.193243B.100243C.23D.59【答案】B 【解析】【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去A 的情况数，从而得到甲不去A 小区的情况数，再结合概率公式，即可得到结果.【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=故选：B.11.已知三棱锥-P ABC 的外接球半径为5，6AB =，90ACB ∠=︒，60APB ∠=︒，则平面PAB 与平面ABC 的夹角的余弦值为（）A.4B.12C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】先设AB 的中点为M ，M 为ABC 的外接圆圆心；PAB 的外接圆圆心为N ，三棱锥-P ABC的外接球球心为O ，由正弦定理确定NA =，在中Rt OMC 由勾股定理确定4OM =，在Rt AMN中由勾股定理确定MN =，作出二面角P AB C --的平面角NMD ∠，求()cos cos 90sin 4NMD OMN OMN ∠=︒-∠=∠=即可.【详解】不妨设二面角P AB C --为锐角，设AB 的中点为M ，因为90ACB ∠=︒，所以M 为ABC 的外接圆圆心；设PAB 的外接圆圆心为N ，三棱锥-P ABC 的外接球球心为O ，如图，连接OM ，ON ，MN ，OC ，则OM ⊥平面ABC ，ON ⊥平面PAB ，MN AB ⊥，在PAB 中，60APB ∠=︒，6AB =，所以由正弦定理知2sin ABNA APB=∠，所以NA =在Rt ABC △中，由6AB =，得3CM =；在Rt OMC 中，由5OC =，3CM =，得4OM =；在Rt AMN 中，3AM =，NA =MN =；所以在Rt OMN △中，cos 4MN OMN OM ∠==，从而sin 4OMN ∠=；在平面ABC 内过点M 作DM AB ⊥交AC 于D ，则NMD ∠为二面角P AB C --的平面角，易知OM DM ⊥，所以()cos cos 90sin 4NMD OMN OMN ∠=︒-∠=∠=.故选：D.12.已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>的左、右焦点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，23CB F A =，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线Γ的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据23CB F A =可知2//CB F A ，再根据角平分线定理得到1,BF BC 的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用,,a b c 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为23CB F A =，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则24F C c =，设1AF t =，则13BF t =，2AB t =．因为2BF 平分1F BC ∠，由角平分线定理可知，11222142BF F F c BCF Cc ===，所以126BC BF t ==，所以2123AF BC t ==，由双曲线定义知212AF AF a -=，即22t t a -=，2t a =，①又由122BF BF a -=得2322BF t a t =-=，所以222BF AB AF t ===，即2ABF △是等边三角形，所以2260F BC ABF ∠=∠=︒．在12F BF 中，由余弦定理知22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅，即22214942223t t c t t+-=⋅⋅，化简得2274t c =，把①代入上式得ce a==故选：A ．第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．14.若()56016(12)2x x a a x a x -+=+++，则3a =___________．【答案】120-【解析】【分析】结合展开式第1r +项的通项公式可得3x 项及其系数.【详解】5(12)x -展开式第1r +项155C (2)C (2)r r r r rr T x x +=-=-，2r =时，22235C (2)40x x x ⋅-=，3r =时，333352C (2)160x x -=-，3340160120x x -=-．3120a ∴=-.故答案为：120-15.过点()2,1P -作抛物线2:2C x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________.【答案】210x y -+=【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出.【详解】抛物线2:2C x y =可写成：2=2x y 且=y x'设1122(,),(,)A x y B x y ，则两条切线的斜率分别为1122,k x k x ==两条切线的方程为：111()y y x x x -=-111()y y x x x -=-又两条切线过点()2,1P -，所以1111(2)y x x --=-1111(2)y x x --=-所以直线AB 的方程为：1(2)y x x --=-又22x y =，所以直线AB 的方程为：210x y -+=.故答案为：210x y -+=.16.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，M 在线段BC 上，且1,3CM BC N =是侧面11CDD C 上一点，且MN 平面1A BD ，则线段MN 的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】在线段CD 上取一点E ，使得13CE CD =，在线段1DD 上取一点F ，使得1113D F DD =，连接1,,ME EF CD ，易证平面MEF 平面1A BD ，得到N 的轨迹为线段EF 求解.【详解】解：如图，在线段CD 上取一点E ，使得13CE CD =，在线段1DD 上取一点F ，使得1113D F DD =，连接1,,ME EF CD ，因为1113D F CM CE BC CD DD ===，所以ME ,BD EF 1CD ，又1A B 1CD ，所以EF 1A B ，因为ME ⊄平面1,A BD BD ⊂平面1A BD ，所以ME 平面1A BD ，同理，因为EF ⊄平面11,A BD A B ⊂平面1A BD ，所以EF 平面1A BD ，又ME EF E ⋂=，所以平面MEF 平面1A BD ，因此，N 在线段EF 上.因为ME MF ====所以线段MN.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某实验学校为提高学习效率，开展学习方式创新活动，提出了完成某项学习任务的两种新的学习方式.为比较两种学习方式的效率，选取40名学生，将他们随机分成两组，每组20人，第一组学生用第一种学习方式，第二组学生用第二种学习方式.40名学生完成学习任务所需时间的中位数40min m =，并将完成学习任务所需时间超过min m 和不超过min m 的学生人数得到下面的列联表：超过m不超过m第一种学习方式155第二种学习方式515（Ⅰ）估计第一种学习方式且不超过m 的概率、第二种学习方式且不超过m 的概率；（Ⅱ）能否有99%的把握认为两种学习方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，P （2K k ≥）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（Ⅰ）18；38；（Ⅱ）有.【解析】【分析】（Ⅰ）根据古典概型概率公式求解即可.（Ⅱ）根据2K 的计算公式计算其观测值，并与附录中的数据进行对比可得结论.【详解】（Ⅰ）根据列联表得：第一种学习方式且不超过m 的概率151408p ==.第二种学习方式且不超过m 的概率2153408p ==.（Ⅱ）由于()224015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种学习方式的效率有差异.【点睛】本题考查独立性检验的应用问题，考查古典概型概率问题，属于基础题.18.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+．证明如下：当1n =时，13a =成立；假设()n k k *=∈N时，21kak =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立；［方法二］：构造法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由123,5a a ==得212a a -=．134n n a a n +=-，则134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--．令1n n n b a a +=-，且12b =，所以134n n b b -=-，两边同时减去2，得()1232n n b b --=-，且120b -=，所以20n b -=，即12n n a a +-=，又212a a -=，因此{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+．［方法三］：累加法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由134n n a a n +=-得1114333n n n n n a a n +++-=-，即2121214333a a -=-⨯，3232318333a a -=-⨯，……1114(1)(2)333n n n n n a a n n ---=--⨯≥．以上各式等号两边相加得1123111412(1)33333n n n a a n ⎡⎤-=-⨯+⨯++-⨯⎢⎥⎣⎦ ，所以1(21)33n n n a n =+⋅．所以21(2)n a n n =+≥．当1n =时也符合上式．综上所述，21n a n =+．［方法四］：构造法21322345,387a a a a =-==-=，猜想21n a n =+．由于134n n a a n +=-，所以可设()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，其中,λμ为常数．整理得1322n n a a n λμλ+=++-．故24,20λμλ=--=，解得2,1λμ=-=-．所以()112(1)13(21)3211n n n a n a n a +-+-=--=⋅⋅⋅=-⨯-．又130a -=，所以{}21n a n --是各项均为0的常数列，故210n a n --=，即21n a n =+．（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅［方法一］：错位相减法231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，②由①-②得：()23162222(21)2nn n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.［方法二］【最优解】：裂项相消法112(21)2(21)2(23)2n n n n n n n a n n n b b ++=+=---=-，所以231232222n n n S a a a a =++++ ()()()()2132431n n b b b b b b b b +=-+-+-++- 11n b b +=-1(21)22n n +=-+．［方法三］：构造法当2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，设11()2[(1)]2nn n n S pn q S p n q --++⋅=+-+⋅，即122n n n pn q p S S ----=+⋅，则2,21,2pq p -⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得4,2p q =-=．所以11(42)2[4(1)2]2nn n n S n S n --+-+⋅=+--+⋅，即{}(42)2nn S n +-+⋅为常数列，而1(42)22S +-+⋅=，所以(42)22n n S n +-+⋅=．故12(21)2n n S n +=+-⋅．因为12(21)2222422nnnnn n n a n n n -=+=⋅+=⋅+，令12n n b n -=⋅，则()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠- ，()121211(1)()1231(1)nn n n x x nx n x f x x x nx x x +-'⎡⎤-+-+=++++==⎢⎥--⎢⎥⎣⎦' ，所以12n b b b +++L 21122322n n -=+⋅+⋅++⋅ 1(2)12(1)2n n f n n +==+-+'⋅．故234(2)2222nn S f =++'+++ ()1212412(1)212n n n n n +-⎡⎤=+⋅-++⎣⎦-1(21)22n n +=-+．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列{}n a 的部分项从而归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式134n n a a n +=-，代换得134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--，设1n n n b a a +=-，从而简化递推式，再根据构造法即可求出n b ，从而得出数列{}n a 的通项公式；方法三：由134n n a a n +=-化简得1114333n n n n n a a n +++-=-，根据累加法即可求出数列{}n a 的通项公式；方法四：通过递推式求出数列{}n a 的部分项，归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，求出,λμ，从而可得构造数列为常数列，即得数列{}n a 的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，构造得到数列{}(42)2nn S n +-+⋅为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成12(21)2222422n n n n n n n a n n n -=+=⋅+=⋅+，利用分组求和法分别求出数列{}{}12,2nn n -⋅的前n 项和即可，其中数列{}12n n -⋅的前n 项和借助于函数()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠- 的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的19.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面11BCC B ，1AC BC ==，12BB =，160B BC ∠=.（1）证明：1B C AB ⊥；（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45 ，求1BEBB 的值.【答案】（1）证明见解析（2）112BE BB =【解析】【分析】（1）证明出1B C ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）以点C 为坐标原点，1CB 、CB 、CA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设1BE BB λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解之即可得出结论.【小问1详解】证明：在1BB C △中，1BC =，12BB =，160B BC ∠= ，由余弦定理可得2221112cos 603B C BB BC BB BC =+-⋅=，所以，11222B C BC BB +=，1BC B C ∴⊥，AC ⊥ 平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，则1AC B C ⊥，AC BC C = ，AC 、BC ⊂平面ABC ，1B C ∴⊥平面ABC ，AB ⊂ 平面ABC ，1B C AB ⊥∴.【小问2详解】解：因为AC ⊥平面11BCC B ，1B C BC ⊥，以点C 为坐标原点，1CB 、CB 、CA 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,1A 、()0,0,0C、)11,0C -、()0,1,0B、)1B ，设))11,0,,0BE BB λλλ==-=- ，其中01λ≤≤，则()))10,1,0,,0,1,0CE CB BB λλ=+=+-=-，所以，)112,0C E CE CC λ=-=--，()1C A =，设平面1AC E 的法向量为(),,m x y z =，则()11020m C A y z m C E x y λ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取2x λ=-，则(m λ=-- ，易知平面1ECC 的一个法向量为()0,0,1n =，由已知可得cos ,2m n m n m n⋅<>==⋅，整理可得22520λλ-+=，01λ≤≤ ，解得12λ=.因此，当E 为棱1BB 的中点时，二面角1A EC C --为45 ，即112BE BB =.20.已知抛物线()2:20C y px p =>，抛物线C 与圆()22:14D x y -+=的相交弦长为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A B 、为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）122y x =-或122y x =-+.【解析】【分析】（1）利用圆与抛物线的对称性可知，点(),2a 在抛物线和圆上，代入方程即可求解.（2）设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，点A B 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，将抛物线与直线联立，分别消,x y ，再利用韦达定理可得两根之和、两根之积，根据向量数量积的坐标运算可得2264b kb k +=，AFB ∆的面积为()()12111122AF BF x x ⨯=++即可求解.【详解】（1）由圆及抛物线的对称性可知，点(),2a 既在抛物线C 上也在圆D 上，有：()224144pa a =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,2a p ==故抛物线C 的标准方程的24y x=（2）设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，点A B 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y .联立方程24y x y kx b ⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()222240k x kb x b +-+=，可得12242kb x x k -+=，2122b x x k=联立方程24y xy kx b ⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为2440ky y b -+=，可得124by y k=，16160kb ∆=->，得1kb <由90AFB ∠=︒有，()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-，()()121211FA FB x x y y ⋅=--+()1212121x x x x y y =-+++22242410b kb b k k k-=-++=，可得2264b kb k ++=AFB ∆的面积为()()()121212111111222AF BF x x x x x x ⨯=++=+++22222214224122b kb b kb k k k k ⎛⎫--++=++= ⎪⎝⎭()2222222222622b kb k b kb k b kb k b k k k k -+++++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭可得56b k k +=±，有6k b =-或116kb =-联立方程22646b kb k k b⎧++=⎨=-⎩解得122k b =-⎧⎨=⎩或122k b =⎧⎨=-⎩，又由241kb =-<，故此时直线AB 的方程为122y x =-或122y x =-+联立方程2264116b kb k kb ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，解方程组知方程组无解.故直线AB 的方程为122y x =-或122y x =-+【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于难题.21.已知函数()e ln(1)x f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．【答案】（1）y x=（2）()g x 在[0,)+∞上单调递增.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.【小问1详解】解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =【小问2详解】解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++-++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.【小问3详解】解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()eln(1)e ln(1)()()11x t x x txm x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y +=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）方法一：设(),P x y ，设)Mθθ+，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）[方法一]【最优解】设(),P x y ，设),Mθθ+AP =，())()1,1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+-，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数） 曲线C的圆心为)，曲线1C的圆心为()3-，半径为2，则圆心距为3-，32-<- ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.[方法二]：设点P 的直角坐标为(,)x y ，1(M x ，1)y ，因为(1,0)A ，所以(1,)AP x y =- ，1(1AM x =- ，1)y ，由AP = ，即1111)x x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得112(1)1222x x y y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以((1)12M x -+，)2y ，代入C的方程得22[(1)1()222x y -+-+=，化简得点P的轨迹方程是22(34x y -++=，表示圆心为1(3C -，0)，半径为2的圆；化为参数方程是32cos 2sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，θ为参数；计算1|||(332CC =--=--，所以圆C 与圆1C 内含，没有公共点．【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，方法一：利用参数方程的方法，设出M 的参数坐标，再利用向量关系解出求解点P 的参数坐标，得到参数方程.方法二：利用代数方法，设出点P 的坐标，再利用向量关系将M 的坐标用点P 的坐标表示，代入曲线C 的直角坐标方程，得到点P 的轨迹方程，最后化为参数方程.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时a 的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.。

叙永2023年秋期高三期末考试理科数学（答案在最后）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}21x A y y ==+∣，{230}B xx =-≤∣，则A B = （）A.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的性质，求得集合{|1}A y y =>和3{|}2B x x =≤，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合3{|21}{|1},{|230}{|}2xA y y y yB x x x x ==+=>=-≤=≤，所以33{|1}{|}(1,22A B y y x x =>≤= .故选：B.【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中结合指数函数的性质求得集合A 是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2.若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】首先根据特殊角的三角函数值将复数化为122z i =--，求出z ，再利用复数的几何意义即可求解.【详解】 221sin cos 3322z i i ππ=-+=--，122i z -∴=+，则z 在复平面内对应的点的坐标为,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.3.执行右图的程序，若输入的实数x =4，则输出结果为（）A. B. C. D.14【答案】C 【解析】【详解】试题分析：依据程序框图知，输入x ,当1x >时，2log y x =;当1x ≤时，1y x =-；故输入4x =，输出2log 42y ==，选C ．考点：程序框图4.若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（）A.b a> B.b a <C.b a < D.b a>【答案】C 【解析】【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==，|lg ||lg ||lg |(lg 3lg 2)||||0lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，||||a b >.故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．5.“8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求解函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称的等价条件，得到7,8k k ϕππ=+∈Z ，分析即得解.【详解】若函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称，则3,82k k ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得7,8k k ϕππ=+∈Z ，故“8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的充分不必要条件．故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.6.1nx-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A.28B.28-C.70D.70-【答案】A 【解析】【分析】由题意求得8n =，求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】1nx-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n 为偶数，展开式共有9项，故8n =．1nx-即81)x-，它的展开式的通项公式为84318(1)rr rrT C x-+=⋅-⋅，令8403r-=，求得2r=，则展开式中的常数项是2828C=，故选A．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．7.在ABC中，1AB=，23Aπ=，||()AB tAC t R+∈的最小值是（）A.32B.22C.12D.33【答案】A【解析】【分析】利用相反向量将向量的加法转化为向量的减法，利用向量的减法的模的几何意义求得最小值.【详解】|||()|AB t AC AB t AC+=--，令()P t ACA-=，则P为直线AC上的动点，如图所示，|||()|||||AB t AC AB t AC AB AP PB+=--=-=，当PB⊥直线AC时，||BP取得最小值，∵1AB=，23Aπ=，∴min||BP=2.故选：A.【点睛】本题考查向量的线性表示，向量的模的最值，关键在于转化为所求向量的模的最小值为点到直线的距离，属于中档题.8.已知直线y x=-被圆M：220x y Ey++=()0E<截得的弦长为，且圆N的方程为222210x y x y+--+=，则圆M与圆N的位置关系为（）A.相交B.外切C.相离D.内切【答案】A 【解析】【分析】根据圆的弦长公式以及点到直线的距离公式得出E 的值，再由圆心距与两圆半径的关系确定两圆的位置关系.【详解】圆M ：220x y Ey ++=，可化为22224E E x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可知圆M 的圆心M 的坐标为0,2E ⎛⎫-⎪⎝⎭，半径为2MEr =-圆心0,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线0x y +=的距离为d =由d ===228E =，解得4,4E E =-=（舍）(0,2)M ∴，M 2r =圆N 的方程可化为22(1)(1)1x y -+-=，则圆心()1,1N ，1N r==3,1N M N M r r r r +=-=M N M Nr r r r ∴-<<+则圆M 与圆N 相交故选：A【点睛】本题主要考查了已知圆的弦长求参数以及判断两圆的位置关系，属于中档题.9.已知正三棱柱的高为，它的六个顶点都在一个直径为4的球的球面上，则该棱柱的体积为A.3B.C.2D.92【答案】D 【解析】【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径1r =，结合体积公式，即可求解.【详解】由题意可知球的半径2R =，因为正三棱柱的高为d =根据球的截面圆的性质，可得222R d r =+，即2222r =+，解得1r =，棱柱底面与球的截面圆的半径1r =，所以三角形的面积为1333224S ==，该棱柱的体积为33942V S h =⋅=⨯=.故选：D.【点睛】本题主要考查了棱柱的体积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中合理应用求得性质，以及正三角形内切圆的性质，结合棱柱的体积求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积12,2V AB ==，若四面体11A B CD -的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为（）A.8πB.9πC.16πD.32π【答案】C 【解析】【分析】设1,BC x BB y ==，可得6xy =，然后r =，()22244S r x y ππ==++，然后可得答案.【详解】设1,BC x BB y ==，因为12,2V AB ==，所以6xy =；根据长方体的对称性可知四面体11A B CD -的外接球即为长方体的外接球，所以外接球半径r =；()()222444216S r x y xy ππππ==++≥+=，当且仅当x y ==时，S 取到最小值16π.故选：C11.函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>对任意的x R ∈都有()()2f x f a x =-，且a<0时a 的最大值为5π-，下列四个结论：①5x π=-是()f x 的一个极值点；②若()f x 为奇函数，则()f x 的最小正周期45T π=；③若()f x 为偶函数，则()f x 在,05π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④ω的取值范围是()0,5.其中一定正确的结论编号是（）A.①②B.①③C.①②④D.②③④【答案】A 【解析】【分析】①根据()()2f x f a x =-，得到x a =是函数的一条对称轴，且a<0时a 的最大值为5π-判断；②由()f x 为奇函数，则k ϕπ=，得到()sin f x A x ω=±，再根据a<0时a 的最大值为5π-判断；③由()f x 为偶函数，则2k πϕπ=+，得到()cos f x A x ω=±，再根据a<0时a 的最大值为5π-判断；④由②知()f x 的最小正周期45T π=，则252T πω=≤判断.【详解】因为()()2f x f a x =-，所以x a =是函数的一条对称轴，又因为a<0时a 的最大值为5π-，所以5x π=-是函数的一条对称轴，故①正确；若()f x 为奇函数，则k ϕπ=，所以()sin f x A x ω=±，又因为a<0时a 的最大值为5π-，所以45T π=，所以45T π=，故②正确；若()f x 为偶函数，则2k πϕπ=+，所以()cos f x A x ω=±，又因为a<0时a 的最大值为5π-，所以()f x 在,05π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增或递减，故③错误；由②知()f x 的最小正周期45T π=，则252T πω=≤，所以ω的取值范围是50,2⎛⎫⎪⎝⎭，故④错误.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，奇偶性，周期性，还考查了运算求解的能力，属于难题.12.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，经过点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ≤∠≤.则该双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.⎡⎣D.⎤⎦【答案】B 【解析】【分析】由题意画出图形，求得122tan a F AF b ∠=，再由1264F AF ππ∠ 求得b a的范围，结合双曲线的离心率公式得答案．【详解】如图，由题意，(,)bcA c a，12||2F F c =，则12122||22tan ||F F c aF AF bc AF b a∠===．由1264F AF ππ∠21a b ，即2ba．c e a ∴==．故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设等比数列{}n a 满足5648a a +=，5748a a -=-，则1a =______.【答案】1【解析】【分析】依题意得到方程组解得即可；【详解】解：等比数列{}n a ，有451146114848a q a q a q a q ⎧+=⎨-=-⎩，两式相除可得111q =--，所以2q =，代回可得11a =.故答案为：1【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的运算，属于基础题.14.ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(sin cos )0b a C C +-=，则A =______.【答案】34π【解析】【分析】由正弦定理得，sin sin a bA B=，代入(sin cos )0b a C C +-=，得sin sin (sin cos )0B A C C +-=，再借助sin sin()B A C =+和正弦的两角和公式进行化简可得，sin (sin cos )0C A A +=，由于sin 0C ≠，所以sin cos 0A A +=，即tan 1A =-，又(0,)A π∈，于是可求得A 的值．【详解】解：由正弦定理得，sin sin a bA B=，(sin cos )0b a C C +-= ，sin sin (sin cos )0B A C C ∴+-=，A B C π++= ，sin()sin (sin cos )0A C A C C ∴++-=，即sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，sin (sin cos )0C A A ∴+=，sin 0C ≠ ，sin cos 0A A ∴+=，即tan 1A =-，(0,)A π∈ ，34A π∴=．故答案为：34π．【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，考查计算能力，属于中等题.15.已知32()31f x x a x b =-++是奇函数，(),0,()ln(),0,f x xg x x b x ≤⎧=⎨-->⎩若4()2g x a ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(,1]{0}[1,)-∞-+∞ 【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得1b =-，进而可得323,0()ln(1),0x a x x g x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，按照0x >、0x ≤讨论4()2g x a ≤成立情况；当0x ≤时，转化条件为324203x a x a -≤-恒成立，令()()324320h x x a x x a =-≤-，求导求得()h x 的最大值，令()max 0h x ⎡⎤≤⎣⎦即可得解.【详解】由32()31f x x a x b =-++是奇函数可得(0)10f b =+=，即1b =-，所以323,0()ln(1),0x a x x g x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，当0x >时，()ln(1)g x x =-+，可知此时()g x 单调递减，所以()()ln 010g x <+=，所以4()2g x a ≤恒成立；当0x ≤时，32()3g x x a x =-，所以4()2g x a ≤等价于324203x a x a -≤-，令()()324320h x x a x x a=-≤-，则()()()22333h x x a x a x a =+'=--，令()0h x '=，则1x a =，2x a =-，当0a >时，210x x <<，当(),x a ∈-∞-时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(),0x a ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；所以()()h x h a ≤-，若要使4()2g x a ≤恒成立，则()()334332210h a a a a aa -=-+-=--≤恒成立，所以10a -≥即1a ≥；当0a =，()0h x '≥，()h x 单调递增，所以()()4020h x h a ≤=-≤恒成立，满足题意；当a<0时，120x x <<，当(),x a ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(),0x a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；所以()()h x h a ≤，若要使4()2g x a ≤恒成立，则()()334332210h a a a a a a =--=-+≤恒成立，所以10a +≤即1a ≤-；综上所述，实数a 的取值范围是(,1]{0}[1,)-∞-+∞ .故答案为：(,1]{0}[1,)-∞-+∞ .【点睛】本题考查了奇函数性质的应用及导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.16.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线与抛物线相交于A ，B 点，OAB （O 为坐标原点）的面积为32sin α，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M .则FM 的值为______.【答案】2【解析】【分析】依题可设直线AB 的方程为tan 2p y x α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将直线方程与抛物线方程联立可求出弦AB 的中点坐标以及弦长AB ，再由点到直线的距离公式可求出点O 到直线AB 的距离，列式可求出p 与sin α的关系，然后求出线段AB 的垂直平分线方程，即可得到点M 的坐标以及FM 的值．【详解】设直线AB 的方程为tan 2p y x α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，由2tan 22p y x y px α⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得，()22222tan tan 2tan 04p x p p x ααα-++=，∴21222tan tan p p x x αα++=，即有21222tan 22tan x x p p αα++=．∴21222tan tan 22tan 2tan y y p p p p αααα⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭，1222sin p AB x x p α=++=．又点O 到直线AB的距离为sin 2p d α==，所以321sin 22sin 22sin p p ααα=⨯⨯，解得22sin p α=．因为线段AB 的垂直平分线方程为2212tan tan tan 2tan p p p y x αααα⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，令0y =，解得222tan 2tan p p x p αα+=+．所以22222tan 22tan 2tan sin p p p p p FM p p αααα+=+-=+==．故答案为：2．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，以及弦长的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 满足11a =，公差0d >，等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，35b a =．()1求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；()2若数列{}n c 满足3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，求{}n c 的前n 项和n S ．【答案】()121n a n =-，13n n b -=；()23n n S =.【解析】【分析】()1由11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列，所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =.进而求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式；()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =，当2n 时，由3121123n n n c c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n c c c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=，可得123n n c -=⋅，进而求出前n 项和n S ．【详解】解：()1由题意知，11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列，所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =．所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-．数列{}n b 的公比3q =，其通项公式13n n b -=．()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =．当2n ≥时，由3121123n n n c c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n c c c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=，两式相减得1n n n nc a a b +=-，所以123n n c -=⋅．故13,123,2n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩所以{}n c 的前n 项和231323232323n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()131332313n n -⎡⎤⨯-⎢⎥=+=-⎢⎥⎣⎦，2n ≥．又1n =时，1113S a ==，也符合上式，故3n n S =.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．18.如图,四棱锥S ABCD -的侧面SAD 是正三角形,//AB CD ,且AB AD ⊥,24AB CD ==,E 是SB 中点.（1）求证：//CE 平面SAD ；（2）若平面SAD ⊥平面ABCD ,且=SB ,求二面角E AC B --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】(1)取SA 的中点F ,连接EF ,再证明四边形EFDC 是平行四边形即可.(2)取AD 中点O ,连接SO ,BO ,根据线面垂直性质计算可得4SA =,再以O 为原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量的方法求解二面角E AC B --的余弦值即可.【详解】（1）取SA 的中点F ,连接EF ,因为E 是SB 中点,所以EF AB ∥,且2AB EF =,又因为AB CD ∥,2AB CD =,所以EF DC ,EF DC =,即四边形EFDC 是平行四边形,所以EC FD ∥,又因为EC ⊄平面SAD ,FD ⊂平面SAD ,所以CE 平面SAD ；（2）方法一：取AD 中点O ,连接SO ,BO ,因为SAD 是正三角形,所以SO AD ⊥,因为平面SAD ⊥平面ABCD ,AB AD⊥所以SO ⊥平面ABCD ,AB ⊥平面ABCD ,所以AB SA ⊥,故4==SA ,以O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,则(0,0,0)O ,(0,2,0)A -,(4,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,S ,(2,-E ,所以(0,=- CE ,(2,4,0)=-- CA ,设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z = ,则30-+=y ,240x y --=,令1y =得= m ,易知平面ACB 的法向量为(0,0,1)n =,则6cos ,||||4m n m n m n ⋅===r r r r r r ,所以二面角E AC B --的余弦值为4.方法二：过E 作∥EH SO 交BO 于H ,所以12==EH SO ,且EH ⊥平面ABCD ,过E 作EH AC ⊥交AC 于M ,连接HM ,所以MH AC ⊥,所以∠HME 为二面角E AC B --的平面角,因为AC =,==EC DF ,因为CE ⊥平面SAB ,所以CE AE ⊥,且AB =,又因为1122⨯=⨯EM AC AE EC ,所以5=EM ,5=HM ,故cos 4∠=EMH ,所以二面角E AC B --的余弦值为64.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及线面垂直的判定与性质，同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角大小的问题,需要根据题意确定坐标原点，分别求得两个面的法向量，再求解二面角夹角的余弦值即可.属于中档题.19.冠状病毒是一个大型病毒家族,已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中,感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有4份需检验血液.（1）假设这4份需检验血液有且只有一份为阳性,从中依次不放回的抽取3份血液,已知前两次的血液均为阴性,求第3次出现阳性血液的概率；（2）现在对4份血液进行检验,假设每份血液的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,据统计每份血液是阳性结果的概率为1100p p⎛⎫<<⎪⎝⎭,现在有以下两种检验方式：方式一：逐份检验；方式二：混合检验,将4份血液分别取样混合在一起检验（假设血液混合后不影响血液的检验）.若检验结果为阴性,则这4份血液全为阴性,检验结束；如果检验结果为阳性,则这4份血液中有为阳性的血液,为了明确这4份血液究竟哪几份为阳性,就要对这4份再逐份检验.从检验的次数分析,哪一种检验方式更好一些,并说明理由.参考数据：40.990.96≈.【答案】（1）12；（2）方式二,理由见解析【解析】【分析】(1)易得剩下的两份中一份阴性一份阳性即可求解.(2)易得方式一要检验四次,方式二可能的检验次数为1,5,再求出分布列以及方式二检验次数的数学期望,再根据10100p <<可求得方式二检验次数的数学期望与方式一中的四次比较大小即可.【详解】解：（1）111212C P C ==.（2）方式一：检验次数4次.设方式二需要需检验的次数为X .根据题意有X 的可能取值为1,5.()()411P x p ==-,()()4211P x p ==--.所以：X 的分布列为：X15P ()41p -()411p --所以：()()()()4441511541E X p p p ⎡⎤=-+--=--⎣⎦.因为：10100p <<,所以：()()4441541541540.99540.96 1.164100E X p ⎛⎫=--<--=-⨯≈-⨯≈< ⎪⎝⎭.所以：从检验的次数分析,方式二更好一些.【点睛】本题主要考查了分布列以及数学期望解决实际问题中的优化问题,需要根据题意将所有可能的情况列举,再求出分布列与数学期望,再分析数学期望的大小关系判断即可.属于中档题.20.已知函数()ln x f x xαα=，(),x e ∈+∞.其中Z α∈.（1）证明：0()3x e f x x e +<-；（2）记()()()()2101F x e f x f x f x -=++.若存在[)()*0,1x n n n N ∈+∈使得对任意的(),x e ∈+∞都有()()0F x F x ≥成立.求n 的值.（其中 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.【答案】（1）见解析（2）5n =【解析】【分析】（1）将不等式0()3x e f x x e +<-变形为3ln x e x x e ->+，利用导数得出单调性，即可证明0()3x e f x x e+<-；（2）由条件得出()F x 的解析式，进行两次求导，得出()F x 在(],5e 严格单调递减，在41,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格单调递增.，由单调性得出n 的值.【详解】解：（1）要证明0()3x e f x x e +<-，即证明3ln x e x x e->+，(),x e ∈+∞.令3()ln x e g x x x e -=-+，(),x e ∈+∞.则22214()'()0()()e x e g x x x e x x e -=-=>++.于是()g x 在(),e +∞单调递增，所以()()0g x g e >=即3ln x e x x e ->+，(),x e ∈+∞.所以0()3x e f x x e+<-.（2）221011()()()()ln ln ln e x F x e f x f x f x x x x x -=++=++22ln x x e x x++=，(),x e ∈+∞.则()222(21)ln (ln 1)'()(ln )x x x x x e x F x x x +-+++=()()22222ln (ln )x e x x x e x x --++=.令()()2222()ln h x x e x x x e =--++，(),x e ∈+∞.当(),x e ∈+∞时，由（1）知3ln x e x x e ->+.则()()22223()x e h x x e x x e x e ->--+++2412(41)22e x e x x x +⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭（i ）当41,2e x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，于是()0h x >，从而()'0F x >.故()F x 在41,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格单调递增.其中41 5.936562e += .（ii ）当(],5x e ∈时，则()()2222()ln 5h x x e x x e ≤--++()()22222223x e x x e x x e <--++=--22030e ≤-<.（用到了223x x e --在(],5e 单调递增与27e >）于是()'0F x <，故()F x 在(],5e 严格单调递减.综上所述，()F x 在(],5e 严格单调递减，在41,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格单调递增.因为4162e +<，所以[)05,6x ∈.所以5n =.【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于较难题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足1294PF PF ⋅= （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线1l 与2l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间），是否存在直线2l ，使得直线1l ，2l ，,PM PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程，若不能，请说理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）设()12(,0),,0F c F c -，则21299144PF PF c ⋅=-+= ，由此即可求出椭圆方程；（2）设直线1l 的方程为3(1)2y k x -=-，联立直线与椭圆的方程可求得12k =-，则直线2l 斜率为12，设其方程为11221,(,),(,)2y x t M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得,PM PN 关于1x =对称，可求得1211,22l l k k =-=，假设存在直线2l 满足题意，设,PM PN k k k k =-=，可得12k =，由此可得答案．【详解】解：（1）设()12(,0),,0F c F c -，则21299144PF PF c ⋅=-+= ，21,2,3c a b ∴===，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）设直线1l 的方程为3(1)2y k x -=-，与22143x y +=联立得222(34)4(32)(32)120k x k k x k ++-+--=，∴10,2k ∆==-，因为两直线的倾斜角互补，所以直线2l 斜率为12，设直线的方程为11221,(,),(,)2y x t M x y N x y =+，联立整理得2222121230,0,4,,3x tx t t x x t x x t ++-=∆><+=-=-，121212121233(2)()(23)22011(1)(1)PM PN y y x x t x x t k k x x x x --+-+--∴+=+==----，所以,PM PN 关于1x =对称，由正弦定理得,sin sin sin sin PM MK PN NK PKM MPK PKN NPK==∠∠∠∠，因为,180MPK NPK PKM PKN ︒∠=∠∠+∠=,所以PM KN PN KM ⋅=⋅，由上得1211,22l l k k =-=，假设存在直线2l 满足题意，设,PM PN k k k k =-=，11,,,22k k --按某种排列成等比数列，设公比为q ，则1q =-，所以12k =，则此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符，所以不存在满足题意的直线2l ．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox .（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知,A B 是曲线C 上任意两点，且4AOB π∠=，求OAB 面积的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=；（2）2+.【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程为：22(2)4x y -+=，再根据cos ,sin x y ρθρθ==转化为极坐标方程即可．（2）利用极坐标系，设()1020,,,4A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其中1200,0,22ππρρθ>>-<<，利用极径的几何意义、三角形面积公式和三角函数的性质，可得答案．【详解】解：（1）消去参数α，得到曲线C 的标准方程为：22(2)4x y -+=，22(cos 2)(sin )4ρθρθ∴-+=()222sin cos 4cos 44ρθθρθ∴+-+=24cos 0ρρθ∴-=故曲线的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）极坐标系Ox 中，不妨设()1020,,,4A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中1200,0,22ππρρθ>>-<<.由（1）知：10204cos ,4cos 4πρθρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭OAB 面积，12001sin cos 244S ππρρθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭2000004cos 4sin cos 2cos 22sin 22S θθθθθ=-=-+0224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当024πθ=-时，即00,cos 284ππθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有最大值1，此时min 2S =+.故OAB 面积的最大值为2+.【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程与极坐标方程互化，考查了利用极坐标解决面积最值问题，属中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f （x ）=|2x ﹣3|，g （x ）=|2x +a +b |.（1）解不等式f （x ）<x 2；（2）当a >0，b >0时，若F （x ）=f （x ）+g （x ）的值域为[5，+∞），求证：112223a b +≥++.【答案】（1）{|1x x >或3}x <-；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得|2x ﹣3|<x 2，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由a >0，b >0，根据绝对值三角不等式，化简可得F （x ）的最小值，可得a +b 的值，再由乘1法和基本不等式，即可得证.【详解】（1）解：不等式f （x ）<x 2化为|2x ﹣3|<x 2，等价于23223x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩或23232x x x⎧<⎪⎨⎪-<⎩，即为32x x R ⎧≥⎪⎨⎪∈⎩或3213x x x ⎧<⎪⎨⎪><-⎩或，解得x 32≥或x <﹣3或1<x 32<，所以不等式f （x ）<x 2的解集为{x |x >1或x <﹣3}；（2）证明：由a >0，b >0，根据绝对值三角不等式可知F （x ）=f （x ）+g （x ）=|2x ﹣3|+|2x +a +b |=|3﹣2x |+|2x +a +b |≥|3﹣2x +2x +a +b |=|a +b +3|=a +b +3，又F （x ）=f （x ）+g （x ）的值域为[5，+∞），可得a +b +3=5，即a +b =2，即（a +2）+（b +2）=6，故111226a b +=++[（a +2）+（b +2）]（1122a b +++）16=（22222b a a b ++++++）16≥（）23=，当且仅当2222b a a b ++=++，即a =b =1时取等号时，故222223b a a b +++≥++.。

四川省泸州市（新版）2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题用n个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵．对第i行，记．例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在1，2，3，4，5形成的数阵中，（）．123132213231312321A．B．1800C．D．第(2)题《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的（）A．B．C．D．第(3)题若，且，则的值为（）A．B．C．D．第(4)题已知空间向量，则（）A．B．C．D．第(5)题在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(6)题在中，设命题，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件第(7)题对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若m、n与所成的角相等，则第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知五个数据的分位数为15，则这组数据（）A．平均数为9B．众数为10C．中位数为10D．方差为30第(2)题总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDP x（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（）A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关．B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关C．D．未来三年总和生育率一定继续降低第(3)题设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若对任意恒成立，则实数的取值范围是________第(2)题将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为________．第(3)题在中，点满足，且对于边上任意一点，恒有.则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点．(1)求证：点为线段的中点；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱存在且唯一确定．（i）求二面角的余弦值；（ii）求点到平面的距离．条件①：平面；条件②：四边形是正方形；条件③：平面平面．注：如果选择的条件不符合要求，则第2问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．第(2)题已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.第(3)题设函数，(1)当时，求不等式的解集；(2)对任意实数，证明在上恒成立.第(4)题已知数列{n}的前n项和是(1)求证：数列是等比数列；(2)数列的前n项和是，证明：第(5)题已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性.。