高三数学寒假练习数列

ICME －7 图甲O A 1A 2 A 3A 4A 5A 6 A 7 A 8图乙高三数学寒假练习：数列1． 设集合102M x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}210N x x =+>，则M N =I ▲ ．2． 已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ▲ ．3． 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为 ▲ ． 4． 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ▲ ．5． 下列四个命题：①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，；③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，；④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，． 其中真命题的序号是 ▲ ．6． 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===== ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝ ▲ ．7． 以下伪代码：Read xIf x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else()f x ←2x End If Print ()f x根据以上算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ▲ ．8． 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ▲ ． 9． 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()ππ33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = ▲ ．10．已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） ▲ f （a ＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一） 11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =u u r u u u r ，则直线AB 的斜率为 ▲ ．12．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ▲ cm ． 13．若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是▲ ．14．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b ＝m （m ∈N*），则这样的三角形共有 ▲ 个（用m 表示）． 15．（本小题满分15分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由． 16．（本小题满分15分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． （Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围；（Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．答案：1．{}1122x x -<<2．23．0.03 说明：本题关注一下：222,().i i i i x ax b x ax b S a S '''=+⇒=+=4．13 5．④说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R 改成Z ，真命题的序号是①④，如果R 改成复数集C 呢？6． 说明：本题是课本中的习题改编，重在建立观察、归纳意识．7．－88．3说明：此学生容易把两向量的夹角弄错．如改成12个点，边长1||i i A A +的求法就不一样了，难度会加大．9．－1 说明：注意对称性．10．< 说明：注意函数y ＝f （| x |）是偶函数．比较f （－2）与f （a ＋1）的大小只要比较－2、 a ＋1与y 轴的距离的大小．11．说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．1213．4(0,1][,)3+∞U 说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界．14．(1)2m m +说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c ＝m 再探究．本题也可以用线性规划知识求解．15.解：（I ）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．……………………2分又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， (4)分所以51()255P A ==． ………………………………………………………………………6分 答：编号的和为6的概率为15． (7)分（Ⅱ）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ， (10)分则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个： （1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5）， （4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．所以甲胜的概率P （B ）＝1325，从而乙胜的概率P （C ）＝1－1325＝1225． (14)分由于P （B ）≠P （C ），所以这种游戏规则不公平． (15)分评讲建议：本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答． 引申：连续玩此游戏三次，若以D 表示甲至少赢一次的事件，E 表示乙至少赢两次的事件，试问D 与E 是否为互斥事件?为什么?（D 与E 不是互斥事件．因为事件D 与E 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P （D ）、P （E ），由P （D ）＋ P （E ）>1可得两者一互斥．）16.解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分别为12c x -=，11()22b y x b -=-．………………………………………………………………2分 联立方程组，解出21,2.2c x b c y b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩……………………………………………………………4分 21022c b cm n b--+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ）（b －c ）>0， ∴b >c ． ……………………………………………………………………………………6分从而22b c >即有222a c >，∴212e <．……………………………………………………7分又e >，∴0e <<． ...........................................................................8分 （Ⅱ）直线AB 与⊙P 不能相切． (9)分由AB k b =，22102PB b cb b kc --=--＝2(1)b c b c +-． (10)分如果直线AB 与⊙P 相切，则b ·2(1)b cb c +-＝－1． (12)分解出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾， (14)分所以直线AB 与⊙P 不能相切． …………………………………………………………15分评讲建议：此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a ，b ，c 的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB 与⊙P 相切，则有AB 2＝AF ×AC ，易由椭圆中a ，b ，c 的关系推出矛盾．。

2021年高三数学寒假课堂练习专题3-4数列综合复习【学习目标】1．理解等差等比数列的概念；2．掌握等差等比数列的通项与前项和公式；3．能灵活应用等差等比数列的性质解决相关问题；4．体会几种数学思想的运用，如整体思想、分类讨论思想以及函数与方程思想.【知识链接】1．在等比数列中，，，则公比=_____；________.2．等差数列前9项的和等于前4项的和.若，，则 .3．等比数列中，，，则 .4．下图是一个算法的流程图，则输出S的值是 .【知识建构】题型一运用基本量法解决有关问题例1已知两个等比数列、，满足，，，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.题型二等差、等比数列的证明例2 已知是以为首项，为公比的等比数列，为它的前项和．（1）当、、成等差数列时，求q的值；（2）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数，、、也成等差数列．题型三数列与数论的简单结合例3 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项.题型四数列与矩阵的简单结合例4已知个正数排成行列方阵,其中每一行的数都成等差数列,每一列的数都成等比数列, 并且所有公比都等于.若，,（1）求公比的值；（2）求的值；（3）记第行各项和为，求及的通项公式.【学习诊断】1．（1）等比数列中，已知，，则= .（2）在等比数列中，已知，则= .2．已知函数，若方程有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则= .3．数列是正项等差数列，若12323123n n a a a na b n ++++=++++，则数列也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列.4．已知为等差数列，且，.（1）求的通项公式；（2）若等比数列满足，，求的前n 项和公式.【巩固练习】1．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的2倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列项数为 .2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 中的、、.（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n 项和为，求证：数列是等比数列.3．等比数列的各项均为正数，且（1）求数列的通项公式；（2）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列的前n 项和.4．数列、的通项公式分别是，它们公共项由小到大排列构成数列．（1）写出数列的前5项；（2）判断数列是否为等比数列，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由.。

专题3 数列【典例剖析】1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若113a =，246a a =，则5S = ． 【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ， 由已知113a =，246a a =，所以32511()33q q =，又0q ≠，所以3q =，所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 2．设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和． 【答案】（1）2q =-；（2）111()(2)399nn S n =--⋅-+． 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，∵1232a a a =+，∴21112a a q a q =+，又∵10a ≠，故220q q +-=，解得2q =-或1q =（舍）． （2）由11a =，可得111(2)n n n a a q --==-，设数列{}n na 的前n 项和为n S ，则0111(2)2(2)(2)n n S n -=⨯-+⨯-++⨯-① 1221(2)2(2)(2)n n S n -=⨯-+⨯-++⨯-②①-②，得01213(2)(2)(2)(2)(2)n n n S n -=-+-+-++--⨯-(2)111(2)()(2)2133n n n n n --=-⨯-=--⋅-+--，∴111()(2)399nn S n =--⋅-+．【对点训练】一、单选题．1．若等比数列{}n a 的各项均为正数，23a =，23174a a a =，则5a =（ ）A ．34B ．38C ．12D ．242．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．1或12C ．2D ．2±3．已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a =（ ） A ．8B ．16C ．32D ．644．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时，n S 取得最大值，则d 的取值范围为（ ） A ．7(1,)8--B ．(1,1)--C ．7(,1)8-D ．1(,1)2-5．知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且116a ，49a ，72a 成等差数列，则3S =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．96．等比数列{}n a 的前n 项的乘积记为n T ，若29512T T ==，则8T =（ ） A ．1024B ．2048C ．4096D ．81927．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a 为（ ） A ．63B ．16C ．64D ．328．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，满足2n ，则数列{}n a 公差d 为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8二、填空题．9．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则23S S = ． 10．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S = ．三、解答题．11．在等比数列{}n a 中，213a =，5181a =． （1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．12．在①数列2{}n S n -是公差为3-的等差数列；②254n n S n a n =+-+；③数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且2364a a a =，这三个条件中任意选择一个，添加到下面的题目中，然后补充完整的题目．已知数列{}n a 中，12a =-，{}n a 的前n 项和为n S ，且 ． （1）求n a ； （2）若1(1)(4)n n b n a =++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1142n T ≤<．参考答案一、单选题． 1．【答案】D【解析】因为数列{}n a 是等比数列，各项均为正数，2231744a a a a ==，所以224234a q a ==，所以2q，则33523224a a q =⋅=⨯=．2．【答案】C【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故234q =， 因为{}n a 为正项等比数列，所以0q >，所以2q =． 3．【答案】B 【解析】由已知1291a a a =，又2192837465a a a a a a a a a ====，所以951a =，即51a =，所以41112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则116a =． 4．【答案】A【解析】由题意，当且仅当8n =时n S 有最大值，可得89000d a a <⎧⎪>⎨⎪<⎩，即0770780d d d <⎧⎪+>⎨⎪+<⎩，解得718d -<<-． 5．【答案】C【解析】数列{}n a 是公比q 不为l 的等比数列，满足22a =，即12a q =，由1471692a a a ，，成等差数列，得41718162a a a =+，即3611198a q a a q =+， 解得2q =，11a =，则3312712S -==-．6．【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =，得761a =，故61a =，即511a q =． 又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =， 所以36312832424096a T T a q ⎛⎫===== ⎪⎝⎭．7．【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则由632S S ≠，得1q ≠，则313(1)714a q S q -==-，616(1)6314a q S q -==-，解得2q =，114a =，则778112324a a q ==⨯=． 8．【答案】D【解析】由2n =，知24n S n n =-，则依据21()22n d dS n a n =+-，知8d =．二、填空题． 9．【答案】73【解析】由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由2580a a -=，即41180a q a q -=，解得2q，则2211121311227123S a a q a q S a a q ++++===++，即2373S S =． 10．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以1-为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--．三、解答题．11．【答案】（1）11()3n n a -=；（2）22n n n S -=．【解析】（1）设等比数列n a 的首项为1a ，公比为q ，则有14113181a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1131q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴11()3n n a -=．（2）由（1）得11()3n n a -=，∴133log log 31nn n b a n -===-，∴2112()(01)222n n n n b b n n n n S b b b ++--=+++===．12．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）若选择条件①．因为12a =-，所以211113S a -=-=-，因为2{}n S n -是公差为3-的等差数列，所以233(1)3n S n n n -=---=-，所以23n S n n =-．当2n ≥时，1n n n a S S -=-=22(3)[(1)3(1)]24n n n n n -----=-， 当1n =时，12a =-，符合上式， 所以24n a n =-． 若选择条件②．因为254n n S n a n =+-+，所以当2n ≥时，211(1)5(1)4n n S n a n --=-+--+， 两式相减，得221(1)55(1)n n n a n n a a n n -=--+--+-，即126n a n -=-，所以24()n a n n *=-∈N ． 若选择条件③．设等差数列{}n a 的公差为d ，由2364a a a =，可得2111(2)(5)(3)a d a d a d ++=+，又12a =-，0d ≠，所以2d =， 所以数列{}n a 的通项公式为24n a n =-． （2）由（1）知11111()(1)(244)2(1)21n b n n n n n n ===-+-+++，所以1211111111(1)()()2222321n n T b b b n n =+++=-+-++-+ 111111(1)222312(1)nn n n =-+-++-=++． 因为11102(2)2(1)2(1)(2)n n n n T T n n n n ++-=-=>++++，所以数列{}n T 是增数列，因此114n T T ≥=， 又11n n <+，所以12(1)2n n T n =<+，所以1142n T ≤<．。

高三数学寒假作业（数列1）姓名____________学号___________一、填空题1．数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，若711=+b a ，2133=+b a ，则=+55b a ________． 2．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =________． 3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且11223S π=，则6cos a 的值为________． 4．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=________．5．公差不为0的等差数列{}n a 中，134,,a a a 成等比数列，则该等比数列的公比为________． 6．数列{}n a 中，12342,6,14,26a a a a ====，试写出{}n a 的一个通项公式________． 7．在数列{}n a 中，121,6a a ==，n N *∀∈，都有21+++=n n n a a a ，则2014a =________． 8．设{}n a 为递减的等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，123{,,}{4,3,2,0,1,a a a ⊆---2,3,4}，那么1051S q=-________． 9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S 3=，则912SS =________． 10．已知数列{}n a 的通项公式是121n a n =+，那么11n i i i a a +==∑________．11．已知不等式2x y +≤的自然数解有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)，共6组解，不等式3x y +≤的自然数解有10组解．根据以上事实，可以发现，不等式x y n +≤的自然数解有________组．12．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列结论：①0d <； ②110S >； ③120S <； ④130S <； ⑤86S S >； ⑥93S S >． 上述正确的结论的序号为________．13．ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果三边,,a b c 成等差数列，那么角B 的最大值是________．14．已知数列{}n a 满足：1a m ＝（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时.若3a ＝1，则m所有可能的取值为________． 二、解答题15．已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8． （1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若231,,a a a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和n S ．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且102055,210S S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n n a b a +=，是否存在,m k （2,,k m k m N *>≥∈），使得1,,m k b b b 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的,m k 的值；若不存在，请说明理由．17．在数列}{n a 中，1111,(1)1n n a a a n +==-+． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记n b =122n n n a a a +++++，试比较1,n n b b +的大小；（3）不等式12217log (1)1212n n n a a a a a +++++>-+恒成立,求实数a 的取值范围．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+（2n ≥）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若2lg[(2)]n n n n c t t a +=⋅⋅（01t <<），且数列{}n c 中的每一项总小于它后面的项，求实数t 的取值范围．高三数学寒假作业（数列1）参考答案1．35； 2．210n -； 3．12-； 4．7-； 5．12； 6．2222n n -+； 7．1-； 8．334；9．记3S m =，则63S m =，所以632S S m -=，从而得到961294,8S S m S S m -=-=，从而9127,15S m S m ==，所以912S S =715． 10．11ni i i a a +==∑1113557(21)(23)n n +++⨯⨯+⨯+11111[()()23557=-+-+11()]2123n n +-++111()2323n =-+=69nn + 11．不等式2x y +≤的自然数解分为三类：当0x =时有3组，当1x =时有2组，当3x =时有1组，共计6组；不等式3x y +≤的自然数解分为四类：当0x =时有4组，当1x =时有3组，当2x =时有2组，当3x =时有1组，共计10组；不等式x y n +≤的自然数解分为1n +类：当0x =时，0,1,2,,y n =有1n +组，当1x =时，0,1,2,,1y n =-有n 组，当2x =时有1n -组，…当x n =时，0y =，有1组，共计(1)n n +++(1)n -21+++=(1)(2)2n n ++组．12．n S 是关于n 的二次函数，画出示意图，如右所示，抛物线开口向下，①正确，对称轴方程x m =，(6,6.5)m ∈，从而函数的两个零点是0和2(12,13)m ∈，所以1112130S S S >>>，②正确，③错误，④正确，由抛物线示意图可知，678S S S >>，⑤错误，由对称性和75S S >可知93S S >，⑥正确．所以正确选项①②④⑥；13．22222222()3326214cos 22882a c a c a cb ac ac ac ac B ac ac ac ac ++-+-+--===≥=，6014．当m 是奇数时，213131a a m =+=+是偶数，2331122a m a +===，13m =舍去；当m 是偶数时，1222a m a ==，奇偶性不确定，再分类：当2m 是偶数时，23124a ma ===，4m =满足；当2m 是奇数时，32331112ma a =+=+=，0m =舍去．所以m 的所有取值只能是4． 15．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-. （2）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时，234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩16．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+．由已知，得 111091055,2201920210,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩即112911,21921,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,1,a d =⎧⎨=⎩所以1(1)n a a n d n =+-=． （2）假设存在,m k （2,,k m k m N *>≥∈），使得1,,m k b b b 成等比数列，则21m k b b b =．因为11n n n a nb a n +==+，所以11,,211m k m k b b b m k ===++．所以21()121m k m k =⨯++．整理，得22221m k m m =-++．因为0k >，所以2210m m -++>．解得11m <<．因为2,m m N *≥∈，所以2m =，此时8k =．故存在2,8m k ==，使得1,,m k b b b 成等比数列．17． 解：（1）∵11n n na a n +=+ 方法一：∴1(1)0n n n a na ++-=，∴{}n na 是以1为首项，0为公差的等差数列．∴1n na =， ∴1n a n=．方法二：∴2112a a =， 3223a a =， …， 11(2)n n a n n a n --=≥，∴累加可得11n a a n=(2)n ≥ ∴当2n ≥时，1n a n =；∵1n =时11a =亦满足上式． ∴1n a n=．（2）122111122n n n a a a n n n++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++ 令122n n n n b a a a ++=++⋅⋅⋅+，∴12322n n n n b a a a ++++=++⋅⋅⋅+∴1222111111222112(21)(1)n n n n n b b a a a n n n n n ++++-=+-=+-=+++++ ∴1,n n N ∀>∈，10n n b b +->恒成立（2）min 11()2n b b ==；∴由题意可知min 17log (1)()1212a n ab -+< ∴log (1)1a a -<-又1a >；∴101a a <-<；∴1a <<18．（1）∵11353(2)n n n n S a a S n --=-+≥，∴11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥，∴135(2)n n n a a a n -=-≥，即12(2)n n a a n -=≥；∵12a =，∴{}n a 是以2为首项，12为公比的等比数列． ∴12112()()22n n n a --=⨯=． （2）21(21)(21)()2n n n b n a n -=-=-∴10121111()3()5()(21)()2222n Tn n --=++++-，012111111()3()5()(21)()22222n Tn n -=++++-， ∴122111111221()()()(21)()22222n n Tn n --⎡⎤=+++++--⎢⎥⎣⎦1111()1222(21)()1212n n n ---=+⨯---31116()(21)()22n n n --=---，∴42211112()(21)()12(23)()222n n n n T n n ---=---=-+． （3）lg n n c nt t =，∵数列{}n c 中的每一项总小于它后面的项，∴1n n c c +>对*n N ∈恒成立． ∴1(1)lg lg n n n tt nt t ++>，∵01t <<，∴lg 0,0nt t <>，∴(1)n t n +<对*n N ∈恒成立．∴min ()1n t n <+． ∵1111n n n =-++在*n N ∈时单调递增， ∴min 1()12n n =+， ∴102t <<．。

高三数学习题集：数列与逻辑推理一、数列1. 有一等差数列，已知首项为3，公差为2，求前10项的和。

2. 已知数列的前两项为4和7，且从第三项开始，每一项都比上一项的前一项大2，求这个数列的通项公式。

3. 某等比数列的首项为2，公比为0.5，求该数列的第8项。

4. 已知数列的前两项为3和4，且从第三项开始，每一项都是前两项的和，求这个数列的第6项。

5. 某数列的前三项为3、6和12，且从第四项开始，每一项都是前三项的和，求这个数列的通项公式。

二、逻辑推理1. 如果“All cats have tails”为真，且“Tom is a cat”为真，那么“Tom has a tail”为真吗？2. 在一项调查中，发现所有吃辣椒的人都喜欢吃辣食，但并不意味着所有喜欢吃辣食的人都喜欢吃辣椒。

判断下面的陈述是否是正确的：- 吃辣椒的人一定喜欢吃辣食。

- 喜欢吃辣食的人一定喜欢吃辣椒。

3. 在一个集合中，所有圆形都是红色的。

判断下面的陈述是否是正确的：- 所有红色的图形都是圆形。

- 有些红色的图形是圆形。

- 所有圆形都是红色的图形。

4. 如果“All dogs have four legs”为真，且“Lucy is a dog”为真，那么“Lucy has four legs”为真吗？5. 在一个生物调查中，发现所有鸟类都有翅膀，但不是所有有翅膀的动物都是鸟类。

判断下面的陈述是否是正确的：- 所有有翅膀的动物都是鸟类。

- 鸟类一定有翅膀。

以上是高三数学习题集中关于数列和逻辑推理的题目。

通过解答这些题目，可以巩固和加深对数列和逻辑推理的理解和应用能力。

希望同学们能够认真思考，积极解答，提升数学水平。

一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10可得d ＝3，a 1＝－4，所以S 10＝－4×10＋10×92×3＝95.答案：C2．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列解析：设{a n }的公差为d ，则d ＝1，设c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则c n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，c n ＋1－c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－a 2n －1－2a 2n ＝6d ＝6，选择C.答案：C3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20，a 3＝4.答案：A4．等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1≠d ，若这个数列的前40项和是20m ，则m 等于( )A ．a 1＋a 20B ．a 5＋a 17C ．a 27＋a 35D ．a 15＋a 26解析：S 40＝40(a 1＋a 40)2＝20(a 1＋a 40)＝20m ，m ＝a 1＋a 40＝a 15＋a 26.答案：D5．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26的值是( )A.b aB.b 2a2C.b 2aD.ba2解析：记等比数列{a n }的公比为q ，依题意得a 15＋a 16＝a 5q 10＋a 6q 10＝(a 5＋a 6)q 10，q 10＝a 15＋a 16a 5＋a 6＝b a，a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)q 20＝a ×(b a)2＝b 2a，选C. 答案：C6．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝( )A.53B.35 C ．－53D ．－35解析：依题意，设公比为q ，则q ≠1，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q ＝158①a 21q 3＝－98 ②，又1a 1，1a 2，1a 3，1a 4构成以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1[1－(1q)4]1－1q＝(1－q 4)a 1q 3(1－q )，①÷②得(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝－53，即1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝－53，选择C.答案：C7．(2010·江西九校联考)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101＝( )A ．200B ．2C ．－2D ．0解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意正整数，有a n ＋2a n ＋1＋a n＋2＝0，a n ＋2a nq ＋a n q 2＝0，因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，q ＝－1，S 101＝2×(1＋1)1＋1＝2，选择B.答案：B8．(2010·西安八校二联)已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( )A ．a 9S 8>a 8S 9B ．a 9S 8<a 8S 9C ．a 9S 8＝a 8S 9D ．a 9S 8与a 8S 9的大小关系与a 1的值有关 解析：依题意得，a 9S 8－a 8S 9＝a 1q 8·a 1(1－q 8)1－q－a 1q 7·a 1(1－q 9)1－q＝－a 21q 7>0，因此a 9S 8>a 8S 9，选A.答案：A9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134解析：∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴b n ＝ln a n 是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2， ∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 答案：C10．(2009·安徽蚌埠测验)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第1000项等于( )A ．42B ．45C ．48D ．51解析：将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第n 段n 个数，设a 1000＝k ，则a 1000在第k 个数段，由于第k 个数段共有k 个数，则由题意k 应满足1＋2＋…＋(k －1)<1000≤1＋2＋…＋k ，解得k ＝45.答案：B11．(2010·湖北八校联考)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0 其中正确的判断是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：依题意，∵a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (n ∈N *)，∴k ≠0，①正确，排除B ，C 选项，又由于公差是0的等差数列不是等差比数列，②错误，排除A ，选择D.答案：D12．(2009·湖北高考)设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则{5＋12}，[5＋12]，5＋12( )A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列 解析：由题意，记a 1＝{5＋12}＝5＋12－[5＋12]＝5＋12－1＝5－12，a 2＝[5＋12]＝1，a 3＝5＋12，若为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，不满足；若为等比数列，则(a 2)2＝a 1a 3，有12＝5－12×5＋12，∴是等比数列但非等差数列，选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝__________.解析：由a 4＋a 6＝6，得a 5＝3，又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝10，∴a 1＝1.∴4d ＝a 5－a 1＝2，d ＝12.答案：1214．(2009·重庆一诊)已知数列{a n }是等比数列，且a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·a 10＝128，则a 15·a 2a 10＝__________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则依题意得a 71·q 42＝128，a 1·q 6＝2，a 7＝2，a 15·a 2a 10＝a 2·q 5＝a 7＝2.答案：215．把100个面包分给5个人，使每人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份之和的13等于较少的两份之和，则最少的一份面包个数是__________．解析：设构成等差数列的五个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则⎩⎨⎧5a ＝1003(a ＋d )＝3(2a －3d )解得⎩⎨⎧a ＝20d ＝5，则最少的一份为a －2d ＝10.答案：1016．数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ＝1,2，…)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则A 2005＝__________.解析：可求出a 1＝3，a 2＝23，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝23，a 6＝－12，…，数列{a n }每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a 1×a 2×a 3＝－1，则A 2005＝(a 1×a 2×a 3)…(a 2002×a 2003×a 2004)×a 2005＝(a 1×a 2×a 3)668a 1＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项． (1)求S 2和S 3的值； (2)求此数列的通项公式； (3)求此数列的各项和S . 解：(1)由题意知⎩⎨⎧12S 2＋13S 3＝22S 2·3S 3＝36，解得S 2＝2，S 3＝3.(2)⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝4q ＝－12或⎩⎨⎧a 1＝1q ＝1(舍去)．∴a n ＝4·(－12)n －1.(3)∵|q |＝|－12|＝12<1.∴S ＝41－(－12)＝83.18．(12分)已知函数f (x )＝x3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)．(1)求证：数列{1a n}是等差数列；(2)记S n (x )＝x a 1＋x 2a 2＋…＋eq \f(x n ,a n )，求S n (x )．(1)证明：∵a n ＋1＝f (a n )，∴a n ＋1＝a n3a n ＋1.∴1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3.∴{1a n}是以1a 1＝1为首项，3为公差的等差数列．∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)解：S n (x )＝x ＋4x 2＋7x 3＋…＋(3n －2)x n ，① 当x ＝1时，S n (x )＝1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.当x ≠1时，xS n (x )＝x 2＋4x 3＋…＋(3n －5)x n ＋(3n －2)x n ＋1，②①－②，得(1－x )S n (x )＝x ＋3x 2＋3x 3＋…＋3x n －(3n －2)x n ＋1＝3(x ＋x 2＋…＋x n )－2x －(3n －2)x n ＋1＝3x (1－x n )1－x－2x －(3n －2)x n ＋1，S n (x )＝3x －3x n ＋1(1－x )2－2x ＋(3n －2)x n ＋11－x.19．(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2、a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n >42＋4n 成立的n 的最小值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，① 又a 2＋a 3＋a 4＝28，将①代入得a 3＝8.所以a 2＋a 4＝20.于是有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12.又{a n }是递增的，故a 1＝2，q ＝2. 所以a n ＝2n .(2)b n ＝log 22n ＋1＝n ＋1，S n ＝n 2＋3n2.故由题意可得n 2＋3n2>42＋4n ，解得n >12或n <－7.又n ∈N *，所以满足条件的n 的最小值为13.20．(12分)商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款．(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元？(精确到元)(参考数据：lg1.7343＝0.2391，lg1.05＝0.0212,1.058＝1.4774)解：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．(1)设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×800元＝800000元＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1. 化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1， ∴1.05n ≥1.7343.两边取对数整理得n ≥lg1.7343lg1.05＝0.23910.0212＝11.28，∴取n ＝12(年)．∴到2014年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x 元， ∵到2010年底公寓共使用了8年，依题意有(1000x10000－18)[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9.化简得(0.1x －18)1.058－11.05－1≥500×1.059.∴x ≥10(18＋25×1.0591.058－1)＝10(18＋25×1.05×1.47741.4774－1)＝10×(18＋81.2)＝992(元)故每生每年的最低收费标准为992元．21．(12分)若公比为c 的等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝a n －1＋a n －22(n＝3,4，…)．(1)求c 的值．(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)由题设，当n ≥3时，a n ＝c 2a n －2， a n －1＝ca n －2，a n ＝a n －1＋a n －22＝1＋c 2a n －2， ∴c 2＝1＋c 2. 解得c ＝1或c ＝－12. (2)当c ＝1时{a n }是一个常数数列，a n ＝1.此时S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当c ＝－12时，a n ＝(－12)n －1(n ∈N *)． 此时S n ＝1＋2(－12)＋3(－12)2＋…＋n (－12)n －1.① －12S n ＝－12＋2(－12)2＋3(－12)3＋…＋(n －1)(－12)n －1＋n (－12)n .② ①－②，得(1＋12)S n ＝1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1－n (－12)n ＝1－(－12)n 1＋12－n (－12)n .∴S n ＝19[4－(－1)n 3n ＋22n －1]． 22．(14分)(2009·陕西高考)(理)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *.(1)猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|x n ＋1－x n |≤16(25)n －1. (文)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解：(理)(1)由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6猜想，数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，已证命题成立．②假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，易知x n >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2， 也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合①和②知，命题成立．(2)当n ＝1时，|x n ＋1－x n |＝|x 2－x 1|＝16，结论成立； 当n ≥2时，易知0<x n －1<1，∴1＋x n －1<2，x n ＝11＋x n －1>12， ∴(1＋x n )(1＋x n －1)＝(1＋11＋x n －1)(1＋x n －1) ＝2＋x n －1≥52， ∴|x n ＋1－x n |＝|11＋x n －11＋x n －1|＝|x n －x n －1|(1＋x n )(1＋x n －1)≤25|x n －x n －1|≤(25)2|x n －1－x n －2|≤…≤(25)n －1|x 2－x 1|＝16(25)n －1. (文)(1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1， 当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2 ＝1＋1－(－12)n －11－(－12)＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．。

专题3-4 数列综合复习（1）【学习目标】1．理解等差等比数列的概念；2．掌握等差等比数列的通项与前n 项和公式； 3．能灵活应用等差等比数列的性质解决相关问题；4．体会几种数学思想的运用，如整体思想、分类讨论思想以及函数与方程思想. 【知识链接】1．在等比数列{}n a 中，112a =，44a =-，则公比q =_____；12=n a a a +++…________. 2．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若11a =，40k a a +=，则k =. 3．等比数列{}n a 中，1237a a a ++=，23414a a a ++=，则348a a a ++⋯+=. 4．下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是.【知识建构】题型一 运用基本量法解决有关问题例1 已知两个等比数列}{n a 、}{n b ，满足)0(1>=a a a ，111=-a b ，222=-a b ，333=-a b .（1）若1=a ，求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n a 唯一，求a 的值.题型二 等差、等比数列的证明例2 已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和．（1）当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；（2）当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．题型三 数列与数论的简单结合例3 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足22222345a a a a +=+，77S =.（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.题型四 数列与矩阵的简单结合例4已知2n 个(4)n ≥正数排成n 行n 列方阵,其中每一行的数都成等差数列,每一列的数都成等比数列, 并且所有公比都等于q .若1112a =，241a =,3214a = 11121312122232123n n n n n nna a a a a a a a a a aa（1）求公比q 的值； （2）求1(1)k a k n ≤≤的值；（3）记第k 行各项和为k A ，求1A 及{}(1)k A k n ≤≤的通项公式.【学习诊断】1．（1）等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=. （2）在等比数列{}n a 中，已知3458a a a =，则23456a a a a a =.2．已知函数()cos ,(,3)2f x x x π=∈π，若方程()f x m =有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则m =.3．数列}{n a 是正项等差数列，若12323123nn a a a na b n++++=++++，则数列}{n b 也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d =，则数列}{n d 也为等比数列. 4．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.【巩固练习】1．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的2倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列项数为.2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b中的b 、b 、b .（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）数列{}n b 的前n 项和为nS ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.3．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.4．数列{}n a 、{}n b 的通项公式分别是2nn a =，32,n b n =+它们公共项由小到大排列构成数列{}n c ．（1）写出数列{}n c 的前5项；（2）判断数列{}n c 是否为等比数列，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由.。

高三数学练习题及答案：数列一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.在等差数列{an}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为()A.6B.7C.8D.9解析：∵a1+a2+a12+a13=4a7=24，∴a7=6.答案：A2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33-S22=1，则数列{an}的公差是()A.12B.1C.2D.3解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代入S33-S22=1，得d=2，故选C.答案：C3.已知数列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2011等于()A.1B.-4C.4D.5解析：由已知，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，。

故{an}是以6为周期的数列，∴a2011=a6×335+1=a1=1.答案：A4.设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5A.d0B.a7=0C.S9S5D.S6与S7均为Sn的值解析：∵S5又S7S8，∴a80.假设S9S5，则a6+a7+a8+a90，即2(a7+a8)0.∵a7=0，a80，∴a7+a80.假设不成立，故S9答案：C5.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3=3a3，则公比q 的值为()A.-12B.12C.1或-12D.-2或12[解析：设首项为a1，公比为q，则当q=1时，S3=3a1=3a3，适合题意.当q≠1时，a1(1-q3)1-q=3?a1q2，∴1-q3=3q2-3q3，即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0，解得q=1(舍去)，或q=-12.综上，q=1，或q=-12.答案：C6.若数列{an}的通项公式an=5?252n-2-4?25n-1，数列{an}的项为第x 项，最小项为第y项，则x+y等于()A.3B.4C.5D.6解析：an=5?252n-2-4?25n-1=5?25n-1-252-45，∴n=2时，an最小;n=1时，an.此时x=1，y=2，∴x+y=3.答案：A7.数列{an}中，a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25解析：∵3an+1=3an-2，∴an+1-an=-23，即公差d=-23.∴an=a1+(n-1)?d=15-23(n-1).令an0，即15-23(n-1)0，解得n23.5.又n∈N*，∴n≤23，∴a230，而a240，∴a23a240.答案：C8.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A.1.14aB.1.15aC.11×(1.15-1)aD.10×(1.16-1)a解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1=a，wan=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a.答案：C9.已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7?a14的值为()A.25B.50C.100D.不存在解析：由S20=100，得a1+a20=10.∴a7+a14=10.又a70，a140，∴a7?a14≤a7+a1422=25.答案：A10.设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn()A.在直线mx+qy-q=0上B.在直线q__my+m=0上C.在直线qx+my-q=0上D.不一定在一条直线上解析：an=mqn-1=x，①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y，②由②得qn=y-1，代入①得x=mq(y-1)，即q__my+m=0.答案：B11.将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，。

高三数学 数列多选题练习题及答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 一定是等比数列B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+【答案】BC 【分析】对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得112n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22pa =，则2112a a =，当3n ≥时，有1222n n S S p ---=，则120n n a a --=，即112n n a a -=， 故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；当1p =时，441111521812S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故B 正确； 当12p =时，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12m nm n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；当0p ≠时，38271133+22128a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而56451112+22128a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故3856a a a a +>+，则D 错误；故选：BC.2．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ） A．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【答案】AB 【分析】对于A ，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】对于A ，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.3．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=- C ．1n n a a +> D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【分析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-， 第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+， 所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.4．将()23nn ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：11a 12a 13a ……1n a21a 22a 23a ……2n a 31a 32a 33a ……3n a……1n a 2n a 3n a ……nn a该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．2m =B ．767132a =⨯C ．()1212j ij a i -=+⨯D ．()()221nS n n =+-【答案】ACD 【分析】由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D. 【详解】由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或13m =-（舍去），A 正确；()666735132a m m =+=⨯，B 错误；()()112132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确； ()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++1121(12)(12)(12)121212n n n nn a a a ---=+++--- ()()()11211332(1)21212n nn n a a a n ++-⎛⎫=+++-=⨯- ⎪⎝⎭()()221n n n =+-，D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.5．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知，12n n n a a b +=+①，1312lnn n n n b a b n++=++②，①-②得，1131lnn n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.6．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122...2212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13． 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0． 对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nn S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；二、平面向量多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λabB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.对于选项A ： 由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确； 对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直， 故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.10．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，cos ,AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=，对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<，故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确； D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.。

2023高考数学数列练习题及答案数列是高中数学中常见的重要概念，也是高考数学考试中的热点内容之一。

在准备2023年高考数学考试时，通过练习数列题目可以帮助我们深入理解数列的性质和应用，提高解题能力。

下面将提供一些2023年高考数学数列练习题及答案，供同学们进行复习和练习，以期取得好成绩。

练习题1：已知数列{an}满足a₁ = 2，an+1 = 2an - 1，(n ≥ 1)，求a₅。

解答：根据已知条件可以得到数列的通项公式为an = 2ⁿ⁻¹。

代入n = 5，得到a₅ = 2⁴ = 16。

练习题2：已知等差数列{an}的首项是a₁ = 3，公差是d = 4，求数列的第n项an。

解答：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n - 1)d可以得出：an = 3 + (n - 1) × 4化简后得到an = 4n - 1。

练习题3：已知等比数列{bn}的首项是b₁ = 5，公比是q = 2，求数列的第n项bn。

解答：根据等比数列的通项公式bn = b₁ × qⁿ⁻¹可以得出：bn = 5 × 2ⁿ⁻¹。

练习题4：已知等差数列{cn}的首项是c₁ = 2，公差是d = 3，求数列的前n项和Sn。

解答：数列的前n项和Sn可以表示为Sn = n/2 × (2a₁ + (n - 1)d)。

代入已知条件得到Sn = n/2 × (2 × 2 + (n - 1) × 3)。

化简后得到Sn = 3n² - 3n。

练习题5：已知等差数列{dn}的前n项和Sn为Sn = 4n² + n，求数列的首项d₁和公差d。

解答：根据数列的前n项和的公式可以得到Sn = n/2 × (2a₁ + (n - 1)d)。

代入已知条件得到4n² + n = n/2 × (2d + (n - 1)d)。

高三数列专题练习30道带答案高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ） 求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+． （1）求数列{}n a的通项公式；（2）若2n a n b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ．13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。

2023年高三数学寒假作业十二(时间:45分钟分值:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确选项填在答题卡的相应位置)1.已知集合M={y|y=2x,x∈R},集合N={x|y=lg(3-x)},则M∩N=()A.{y|y≥3}B.{y|y≤0}C.{y|0<y<3}D.⌀2.复数i-1的共轭复数在复平面内对应的点位于()2-iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.图X14-1是某统计部门网站发布的《某市2020年2~12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数(CPI)月度涨跌幅度(单位:%)折线图(注:同比是今年第n个月与去年第n个月相比,环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比).图X14-1则下列说法错误的是()①2020年9月CPI环比上升0.5%,同比上涨2.1%;②2020年9月CPI环比上升0.2%,同比无变化;③2020年3月CPI环比下降1.1%,同比上涨0.2%;④2020年3月CPI环比下降0.2%,同比上涨1.7%.A.①③B.①④C.②④D.②③4.方胜是汉民族的传统寓意祥纹,由两个菱形压角叠加而成,一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应,象征着“同心”.在如图X14-2所示的二连方胜中任取一点,则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为(不考虑菱形边界的宽度) ()图X14-2A .16B .17C .18D .195.已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=√2,a ·b=1,则a-b 与b 的夹角为 ( )A .2π3B .3π4C .π2D .π46.已知抛物线y 2=2px (p>0)上有两个点M ,N ,F 为该抛物线的焦点.已知FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,以线段MN 为直径的圆的周长为8π,且过该圆的圆心P 作该抛物线的准线l 的垂线PQ ,垂足为Q ,则|PQ|的最大值为 ( ) A .4√2 B .2√2 C .4D .87.将正整数12分解成两个正整数的乘积,有1×12,2×6,3×4这三种分解,其中因数3与4的差的绝对值最小,则称3×4为12的最佳分解.当正整数n 的最佳分解为p×q (p ,q ∈N)时,记f (n )=|p-q|.设a n =f (2n ),则数列{a n }的前99项和为 ( ) A .249-1 B .250-1 C .298-1D .299-18.如图X14-3所示,某圆锥的高为√3,底面半径为1,O 为底面圆心,OA ,OB 为底面圆半径,且∠AOB=2π3,M 是母线PA 的中点,则在此圆锥侧面上从M 到B 的路径中,最短路径的长度为( )图X14-3A .√3B .√2-1C .√5D .√2+19.在△ABC 中,已知C=60°,AB=4,则△ABC 周长的最大值为 ( )A .8B .10C .12D .1410.函数f (x )=2sin ωx+π6(ω>0)的图像如图X14-4,则下列说法正确的是 ( )A .f (x )的最小正周期为2πB .f (x )的图像关于点-π6,0对称 C .f (x )的图像关于直线x=π6对称D .将f (x )图像上所有的点向左平移π12个单位长度得到y=2sin 2x 的图像图X14-4 图X14-511.如图X14-5,直线l :y=kx 与双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)交于P ,Q 两点,点M 为双曲线C 上异于P ,Q 且不与P ,Q 关于坐标轴对称的任意一点,若直线PM ,QM 的斜率之积为34,则k 的取值范围是 ( ) A .-12,12B .0,√32C .-√32,√32D .-∞,-√32∪√32,+∞12.已知a-4=ln a4<0,b-3=ln b3<0,c-2=ln c2<0,则 ( )A .c<b<aB .b<c<aC .a<b<cD .a<c<b二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f (x )=12x 2+x ln x 的图像在点(1,f (1))处的切线与直线ax-y-1=0垂直,则a= . 14.已知数据x 1,x 2,…,x 9的标准差为5,则数据3x 1+1,3x 2+1,…,3x 9+1的标准差为 . 15.在直角边长为3的等腰直角三角形ABC 中,E ,F 为斜边BC 上两个不同的三等分点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.设函数f (x )=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M+m= .答案1.C [解析] ∵M={y|y>0},N={x|x<3},∴M ∩N={y|0<y<3}.故选C .2.C [解析] i -12-i =(i -1)(2+i )(2-i )(2+i )=-35+15i 的共轭复数为-35-15i,在复平面内对应的点为-35,-15,在第三象限.故选C .3.B [解析] 根据折线图中的数据可得,9月份CPI 环比上涨0.5%,同比上涨2.1%,故①正确,②错误;3月份CPI 环比下降0.2%,同比上涨1.7%,故④正确,③错误.故选B .4.B [解析] 设大菱形的边长为2a ,其中一个顶角为α,则小菱形的边长为a ,一个大菱形的面积为2×12×2a×2a×sin α=4a 2×sin α,一个小菱形的面积为2×12×a×a×sin α=a 2×sin α,故任取一点,该点恰好落在叠加小菱形内的概率为a 2×sinα2×4a 2×sinα-a 2×sinα=17.故选B .5.B [解析] 设a-b 与b 的夹角为θ,∵(a-b )·b=a ·b-b 2=1-2=-1,|a-b|=√a 2-2a ·b +b 2=√1-2+2=1,∴cos θ=(a -b )·b|a -b ||b |=1×√2=-√22,又∵0≤θ≤π,∴θ=3π4,故选B .6.A [解析] 设|FM|=a ,|FN|=b ,则根据抛物线的性质和梯形中位线定理可知|PQ|=12(a+b ).易知F 在以线段MN 为直径的圆上,且|MN|=8,则a 2+b 2=64,所以a+b 2≤√a 2+b 22=4√2,当且仅当a=b 时等号成立,故选A .7.B [解析] a 1+a 2+…+a 98+a 99=f (2)+f (22)+…+f (298)+f (299)=|21-20|+|21-21|+|22-21|+|22-22|+…+|249-249|+|250-249|=1+0+2+0+…+0+249=1×(1-250)1-2=250-1.故选B .8.A [解析] 将圆锥的侧面沿PA 剪开得到圆锥的侧面展开图如图所示,则AB⏜的长度l AB ⏜=2π3×1=2π3,PA=√(√3)2+12=2,连接BP ,BM ,则∠APB=lAB ⏜PA=π3.在△PMB 中,PM=1,PB=2,则MB 2=22+12-2×2×1×cos π3=3,∴MB=√3,即M 到B 的路径中最短路径的长度为√3.故选A .9.C [解析] 在△ABC 中,设内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c.∵C=60°,AB=c=4,∴由余弦定理得16=a 2+b 2-2ab cos 60°=a 2+b 2-ab=(a+b )2-3ab.由基本不等式有ab ≤a+b 22,当且仅当a=b 时等号成立,∴16=(a+b )2-3ab ≥(a+b )2-34(a+b )2=14(a+b )2,∴a+b ≤8,则△ABC 的周长为a+b+c ≤8+4=12,故当且仅当a=b=4时,△ABC 的周长取得最大值12,故选C .10.C [解析] 根据f (x )的图像,结合五点法作图可得ω×5π12+π6=π,即ω=2,故f (x )=2sin 2x+π6.易知f (x )的最小正周期为2π2=π,故A 错误;令x=-π6,求得f (x )=-1,故B 错误;令x=π6,求得f (x )=2,为最大值,故C 正确;将f (x )图像上所有的点向左平移π12个单位长度得到y=2sin 2x+π3的图像,故D 错误.故选C .11.C [解析] 设M (x ,y ),P (x 0,y 0),则Q (-x 0,-y 0),则k PM =y -y 0x -x 0,k QM =y+y 0x+x 0.由题意知k PM ·k QM =y 2-y 02x 2-x 02=b 2(x 2a 2-1)-b 2(x 02a 2-1)x 2-x 02=b 2a 2=34,所以双曲线C 的渐近线方程为y=±√32x ,所以-√32<k<√32.故选C .12.C [解析] 令f (x )=x-ln x ,则f'(x )=1-1x =x -1x.令f'(x )=0,可得x=1,则当0<x<1时,f'(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减,当x>1时,f'(x )>0,f (x )在(1,+∞)上单调递增.由a-4=ln a4<0可得0<a<4,将a-4=ln a4化为a-ln a=4-ln 4,可得f (a )=f (4),则0<a<1.同理f (b )=f (3),0<b<1,f (c )=f (2),0<c<1.因为4>3>2>1,f (x )在(1,+∞)上单调递增,所以f (4)>f (3)>f (2),可得f (a )>f (b )>f (c ).因为f (x )在(0,1)上单调递减,所以a<b<c ,故选C .13.-12[解析] 因为f (x )=12x 2+x ln x ,所以f'(x )=x+ln x+1,因此函数f (x )=12x 2+x ln x 的图像在点(1,f (1))处的切线斜率k=f'(1)=1+1=2.又该切线与直线ax-y-1=0垂直,所以a=-12.14.15 [解析] 数据x 1,x 2,…,x 9的标准差为5,则其方差为25,所以3x 1+1,3x 2+1,…,3x 9+1的方差为25×9=225,则其标准差为√225=15.15.4 [解析] 由题意,以A 为原点,以AB 所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (3,0),C (0,3).由E ,F 为斜边BC 上两个不同的三等分点,不妨设E (2,1),F (1,2),可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+1×2=4.16.2 [解析] f (x )=(x+1)2+sinxx 2+1=1+2x+sinx x 2+1.令g (x )=2x+sinx x 2+1,则g (x )为R 上的奇函数,∴g (x )的最大值与最小值的和为0.∴函数f (x )=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值与最小值的和为1+1+0=2,即M+m=2.。

〔寒假总发动〕2021年高三数学寒假作业 专题09 数列中求和问题〔测〕〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

时间是：45分钟 满分是：100分 一.选择题〔每一小题5分，一共50分〕 1、〔2021〕等比数列}{n a 的首项与公比分别是复数2(i i +是虚数单位)的实部与虚部，那么数列}{n a 的前10项的和 〔 〕A 20B 1210- C 20- D i 2-2、〔2021〕{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，那么过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 〔〕A ．4B 41C ．－4D ．－143、〔2021番禺〕首项为30-的等差数列,从第7项开场为正,那么公差d 的取值范围是 〔 〕 A. 56d ≤<B. 6d < C . 56d <≤D. 5d >4、〔2021北江中学〕一个等差数列一共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，最后10项的和为75，那么项数n 为 〔 〕B.165、〔2021〕等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,91318,52S S =-=-,等比数列}{n b 中,,,7755a b a b ==那么15b 的值是 〔 〕A ．64 B ．-64 C ．128 D ．-1286、〔2021澄海〕．等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于( ) A.15B.21 77、〔2021〕等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=，那么有〔 〕A ．11010a a +> B ．11010a a +< 11010a a += D ．5151a =8、〔2021一中〕在等差数列｛n a ｝中,,4,1201-==d a 假设)2(≥≤n a S n n ，那么n 的最小值为〔 〕 A ．60B ．62C ．70D ．729、〔09〕设等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，83=S ，76=S 那么=++987a a a〔 〕A ．81-B ．81C ．857D ．85510、〔09〕等差数列}{n a ，151=a ，555=S ，那么过点),3(2a P ，),4(4a Q 的直线的斜率为〔 〕A ．4B ．41C ．4-D ．41-二.填空题〔每一小题5分，一共20分〕11、〔二中2021—2021学年上学期高三期中考试〕 数列1，2，4，7，11，16，……的一个通项公式为n a = 。

高三数学数列专项练习题及答案一、选择题1.已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，则数列的首项是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2.有一个等差数列的第1项是3，公差是4，求该数列的第10项：A. 23B. 27C. 30D. 33答案：C3.已知数列{an}的前n项和Sn = n^2 + 2n，求该数列的通项公式。

A. an = n^2B. an = n^2 + 2n + 1C. an = n^2 + nD. an = n^2 + 2n答案：D4.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 2n^2 + 3n，求该数列的第10项。

A. 183B. 193C. 203D. 213答案：C5.已知等差数列{an}的前5项之和为10，其中首项为a1，公差为d，求a5的值。

A. 4B. 5C. 6D. 7答案：D二、填空题1.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 2n^2 + 5n，求a1的值。

答案：22.已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，其中n为自然数，求该数列的前5项之和。

答案：623.已知等差数列{an}的前n项和Sn = n^2 + 3n，求a1的值。

答案：14.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 4n - n^2，求该数列的第7项。

答案：115.已知等差数列{an}的首项为3，公差为-2，求该数列的第8项。

答案：-5三、解答题1.已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前10项。

解答：将n分别代入1到10，得到该数列的前10项为：5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32。

2.已知等差数列{an}的首项是5，公差是3，求该数列的前10项之和。

解答：根据等差数列的图像性质可知，首项和末项之和等于前n项和的两倍。

所以，末项为a10 = 5 + 3 × (10 - 1) = 32。

故前10项之和为(5 + 32) × 10 ÷ 2 = 185。

高三数学数列多选题练习题附解析一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ）A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC 【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D. 【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A错误；对于B 选项，若21nn S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q qa q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC 【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a =B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.3．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列 【答案】AB 【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n na2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．5．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，211n n n na a a a +++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32nn a =-+，2113n n n na a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确； 若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.6．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.7．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nnN ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.二、平面向量多选题9．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ）A ．23+ B ．33+ C ．323+ D ．4237+ 【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=，12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=， 由基本不等式可得()131********μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=当且仅当μ=时，等号成立.所以，λμ+ABC选项均不满足47λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=； （2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.10．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-【答案】AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.。