两角和与差的余弦

两角和与差的余弦在解析几何中，我们经常需要计算两个角的和或差的余弦。

这是因为余弦函数是三角函数中最重要的函数之一，常常用于计算两个向量之间的夹角或两个点之间的夹角等问题。

下面将介绍如何计算两个角的和与差的余弦，并给出一些实际应用的例子。

首先，我们需要回顾余弦的定义。

余弦函数表示两个向量之间的夹角的余弦值。

对于两个向量A和B，它们的夹角θ的余弦值可以通过以下公式计算得到：cos(θ) = (A·B) / (，A，，B，)其中，A·B表示向量A和B的点乘，A，表示向量A的模，B，表示向量B的模。

接下来，我们要计算两个角的和的余弦。

假设有两个角α和β，它们的和γ可以通过以下公式计算得到：cos(γ) = cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ其中，cosα和cosβ分别表示角α和角β的余弦值，而sinα和sinβ分别表示角α和角β的正弦值。

同样地，我们可以计算两个角的差的余弦。

假设有两个角α和β，它们的差δ可以通过以下公式计算得到：cos(δ) = cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ与计算两个角的和的余弦相比，计算两个角的差的余弦的公式中的符号发生了变化。

和的余弦中正弦项的符号是负的，而差的余弦中正弦项的符号是正的。

通过以上的公式，我们可以计算任意两个角的和或差的余弦。

下面，我们来看一些实际应用的例子。

例子1：计算两个向量之间的夹角的余弦假设有两个向量A(3,4)和B(1,2)，我们可以使用向量的点乘和模的概念来计算它们之间的夹角的余弦。

首先，计算向量A和向量B的点乘：A·B=3*1+4*2=11然后，计算向量A和向量B的模：A，=√(3^2+4^2)=√25=5B，=√(1^2+2^2)=√5最后，将点乘和模代入余弦公式中得到夹角的余弦值：cos(θ) = (A·B) / (，A，，B，) = 11 / (5 * √5)通过计算可以得到，夹角的余弦值为11/(5*√5)。

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝；tan α－tan β1＋tan αtan β(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.a 2＋b 2ba 2＋b 2aa 2＋b 2知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－＝－1.tan α＋tan βtan (α＋β)tan α－tan βtan (α－β)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(　×　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任tan α＋tan β1－tan αtan β意角α，β都成立．(　×　)(4)sin α＋cos α＝sin .(　×　)3212(α＋π3)教材改编题1．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于( )45(α＋π4)A ．－B.210210C ．－ D.72107210答案　C解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，1－cos2α35∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.(α＋π4)π4π43522(－45)2272102．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .答案　12解析　原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.123．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝.1312答案　17解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝＝.12－131＋12×1317题型一　两角和与差的三角函数公式例1　(1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos ＝1，则cos 等于( )(α－π3)(α－π6)A. B.1312C. D.2233答案　D解析　∵cos α＋cos＝1，(α－π3)∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α12323232＝3(32cos α＋12sin α)＝cos＝1，3(α－π6)∴cos＝.(α－π6)33(2)化简：①sin x ＋cos x ＝.3答案　2sin(x ＋π3)解析　sin x ＋cos x ＝23(12sin x ＋32cos x)＝2sin.(x ＋π3)②sin ＋cos ＝.24(π4－x )64(π4－x )答案　sin 22(7π12－x )解析　原式＝22[12sin (π4－x )＋32cos (π4－x)]＝sin 22(π4－x ＋π3)＝sin .22(7π12－x)教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ＝1，则sin 等于( )(θ＋π3)(θ＋π6)A. B. C. D.12332322答案　B解析　因为sin θ＋sin(θ＋π3)＝sin ＋sin (θ＋π6－π6)(θ＋π6＋π6)＝sincos －cos sin ＋sin cos ＋cos sin (θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6＝2sincos ＝sin ＝1.(θ＋π6)π63(θ＋π6)所以sin＝.(θ＋π6)332．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )35(π2，π)12A ．－ B. C. D ．－211211112112答案　A解析　∵α∈，(π2，π)∴cos α＝－，tan α＝－，4534又tan(π－β)＝，12∴tan β＝－，12∴tan(α－β)＝＝＝－.tan α－tan β1＋tan α·tan β－34＋121＋(－34)×(－12)211思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1　(1)函数y ＝sin ＋sin 的最小值为( )(2x ＋π4)(2x －π4)A. B ．－22C ．－ D.23答案　C解析　y ＝sin＋sin(2x ＋π4)(2x －π4)＝sin 2x cos ＋cos 2x sin ＋sin 2x cos －cos 2x sin ＝sin 2x .π4π4π4π42∴y 的最小值为－.2(2)已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝.(α＋π6)333答案　－33解析　因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，(α＋π6)3212333所以tan(α＋β)＝＝tan α＋tan β1－tan αtan β－3＋331＋3×33＝＝－.－233233题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2　(1)(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法(0，π2)正确的是( )A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案　AD解析　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝，即选项A 正确，B 错误；12∵γ∈，(0，π2)∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈，(0，π2)∴0<β－α<，π2∴β－α＝，π3即选项D 正确，C 错误．(2)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝，则tan A tan B 的值为( )233A. B.1413C. D.1253答案　B解析　∵C ＝120°，∴tan C ＝－.3∵A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝－tan C .∴tan(A ＋B )＝，3tan A ＋tan B ＝(1－tan A tan B )，3又∵tan A ＋tan B ＝，233∴tan A tan B ＝.13延伸探究　若将本例(2)的条件改为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C 等于( )A ．45° B ．135°C ．150° D ．30°答案　A解析　在△ABC 中，因为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，所以tan(A ＋B )＝＝－1＝－tan C ，tan A ＋tan B1－tan A tan B 所以tan C ＝1，所以C ＝45°.教师备选1．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .3π4答案　2解析　tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，(－3π4)tan α＋tan β1－tan αtan β所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝.答案　－12解析　∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，12∴sin(α＋β)＝－.12思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2　(1)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝(sin 56°－cos 56°)，c ＝22，则a ，b ，c 的大小关系是( )1－tan239°1＋tan239°A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b答案　D解析　由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝(sin 56°－cos 56°)22＝sin 56°－cos 56°2222＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan239°1＋tan239°＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x 在x ∈上单调递增，[0，π2]所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案　4解析　(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三　角的变换问题例3　(1)已知α，β∈，若sin＝，cos ＝，则sin(α－β)的值为( )(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513A. B.16653365C. D.56656365答案　A解析　由题意可得α＋∈，π6(π2，π)β－∈，5π6(－π2，0)所以cos ＝－，(α＋π6)35sin＝－，(β－5π6)1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋π6)－(β－5π6)]＝－×＋×45513(－35)(－1213)＝.1665(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝，tan α＝.答案　－1　12解析　∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan (α＋2β)－tan β1＋tan (α＋2β)tan β＝2－(－3)1＋2×(－3)＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.－1－(－3)1＋(－1)×(－3)12教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.4355(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解　(1)因为tan α＝，43tan α＝，sin αcos α所以sin α＝cos α.43因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝，925因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－.725(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，55所以sin(α＋β)＝＝，1－cos2(α＋β)255因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，43所以tan 2α＝＝－，2tan α1－tan2α247因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－.211思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－α＋β2α－β2π4π2等．(π4－α)跟踪训练3　(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝.551010答案　π4解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.π2π2又sin(α－β)＝－，1010所以cos(α－β)＝.31010又sin α＝，55所以cos α＝，255所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255(－1010)22所以β＝.π4(2)已知0<α<<β<π，tan α＝，cos(β－α)＝，则sin α＝，cos β＝.π243210答案 －4522解析　因为0<α<，且tan α＝，π243所以sin α＝，cos α＝，4535由0<α<<β<π，π2则0<β－α<π，又因为cos(β－α)＝，210则sin(β－α)＝，7210所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝－.2103572104522课时精练1．(2022·北京模拟)tan 105°等于( )A ．2－ B ．－2－33C.－2 D ．－33答案　B解析　tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝＝－2－.4＋23－232．已知点P (x ，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos 等于( )213(π6＋α)A ．－B.3＋2263＋226C.D.3－22622－36答案　A解析　因为点P (x ，2)是角α终边上一点，2则有cos α＝＝，xx 2＋(22)2xx 2＋8而cos α＝－，13于是得＝－，解得x ＝－1，xx 2＋813则sin α＝＝，22x 2＋8223因此，cos ＝cos cos α－sin sin α(π6＋α)π6π6＝×－×32(－13)12223＝－，3＋226所以cos ＝－.(π6＋α)3＋2263.等于( )sin 10°1－3tan 10°A ．1 B.14C. D.1232答案　B解析　sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4(12cos 10°－32sin 10°)＝sin 20°4sin (30°－10°)＝.144．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )5531010A. B.或3π4π43π4C. D ．2k π＋(k ∈Z )π4π4答案　C解析　由sin α＝，cos β＝，5531010且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，2551010故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×25531010551010＝，22又0<α＋β<π，故α＋β＝.π45．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案　BCD解析　对于A ，方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos30°·cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.322212226＋24方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，A 错误．223222126＋24对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C 正确．12对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D 正确．126．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )55513A ．sin 2α＝B ．cos(α－β)＝121319565C ．cos αcos β＝D ．tan αtan β＝8565118答案　AC解析　因为cos(α＋β)＝－，55cos 2α＝－，其中α，β为锐角，513所以sin 2α＝＝，故A 正确；1－cos22α1213因为sin(α＋β)＝，255所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝，(－513)(－55)121325529565故B 错误；cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]12＝＝，12(－55＋29565)8565故C 正确；sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]12＝＝，12[29565－(－55)]21565所以tan αtan β＝，故D 错误．2187．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .答案　sin(α＋γ)解析　sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．8．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin ＝，则cos ＝.(3π4，π)35(β－π4)1213(α＋π4)答案　－5665解析　因为α，β∈，(3π4，π)所以<α＋β<2π，3π2<β－<，π2π43π4因为sin(α＋β)＝－，35sin＝，(β－π4)1213所以cos(α＋β)＝，45cos＝－，(β－π4)513所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin (β－π4)(β－π4)＝×＋×45(－513)(－35)1213＝－.56659．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin ＝，求cos(α＋β)的值．π2(α－β2)19(α2－β)23解　∵0＜β＜＜α＜π，π2∴－＜－β＜，π4α2π2＜α－＜π，π4β2∴cos ＝＝，(α2－β)1－sin2(α2－β)53sin＝＝，(α－β2)1－cos2(α－β2)459∴cos ＝cosα＋β2[(α－β2)－(α2－β)]＝cos cos ＋sin sin(α－β2)(α2－β)(α－β2)(α2－β)＝×＋×(－19)5345923＝，7527∴cos(α＋β)＝2cos 2－1＝2×－1＝－.α＋β249×572923972910．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.3513(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解　(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.(0，π2)π2π2又∵tan(α－β)＝－＜0，13∴－＜α－β＜0.π2∴sin(α－β)＝－.1010(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.31010∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.3545∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.453101035(－1010)9105011．已知cos ＝2cos(π－α)，则tan 等于( )(π2－α)(π4＋α)A ．－3B.13C ．－D ．313答案　C解析　由cos ＝2cos(π－α)得(π2－α)sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ＝(π4＋α)tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝＝－.1－21－1×(－2)1312．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．3sin x ＋3cos x ＝3sin1555(x ＋π6)C ．f (x )＝sin ＋cos 的最大值为2x2x2D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1答案　AD解析　对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ，3sin x ＋3cos x ＝61555(32sin x ＋12cos x)＝6sin，故B 错误；5(x ＋π6)对于C ，f (x )＝sin ＋cos ＝sin ，x2x22(x 2＋π4)所以f (x )的最大值为，故C 错误；2对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．13．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则(－π2，π2)α＋β＝ .答案　－3π4解析　依题意有Error!所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝＝1.－3a 1－(3a ＋1)又Error!所以tan α<0且tan β<0，所以－<α<0且－<β<0，π2π2即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.3π414．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．答案　[－1，1]解析　由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝，π2∴Error!即≤α≤π，π2∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)(2α－α＋π2)＝cos α＋sin α＝sin .2(α＋π4)∵≤α≤π，π2∴≤α＋≤，3π4π45π4∴－1≤sin≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．2(α＋π4)15．(2022·河北五校联考)已知x ，y ∈，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( )(0，π2)A. B. C. D.π3π6π4π8答案　B解析　由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y1＋tan x tan y＝＝≤，2tan y1＋3tan2y 21tan y＋3tan y33当且仅当tan y ＝时等号成立，33由于f (x )＝tan x 在x ∈上单调递增，(0，π2)又x ，y ∈，(0，π2)则x －y 的最大值为.π616.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM ＝，点B 的纵坐标是.55210(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解　(1)由题意知，|OA |＝|OM |＝1，因为S △OAM ＝|OA |·|OM |sin α＝，1255所以sin α＝，255又α为锐角，所以cos α＝.55因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是，210所以sin β＝，cos β＝－，2107210所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.55(－7210)2552101010(2)因为sin α＝，cos α＝，25555cos(α－β)＝－，1010sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，255(－7210)5521031010所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，22因为α为锐角，sin α＝>，25522所以α∈，所以2α∈，(π4，π2)(π2，π)又β∈，(π2，π)所以2α－β∈，(－π2，π2)所以2α－β＝－.π4。

两角和与差的余弦公式余弦公式是用来计算三角形中一个角的余弦值的公式。

它通常用于计算三角形的边长或角度。

余弦公式有两种形式，分别对应两角和与差：1.两角和的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。

假设我们要计算角C的余弦值。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)2.两角差的余弦公式：在三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C。

假设我们要计算角C与角A的差的余弦值。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)这两个公式可以用来计算三角形中的角度，也可以用来计算边长。

下面我们通过一些例子来说明如何应用这两个公式。

例1：已知三角形ABC，边长分别为AB=5，BC=7，AC=8、计算角C的余弦值。

解：根据余弦公式，我们需要先计算出角A和角B的余弦值，然后代入两角和的余弦公式中。

根据余弦定理，有以下公式：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)代入具体数值，得到：cos(C) = (5^2 + 8^2 - 7^2) / (2 * 5 * 8)=(25+64-49)/80=40/80=0.5所以角C的余弦值为0.5例2：已知三角形ABC，边长分别为AB=4，AC=5，BC=6、计算角C与角A的差的余弦值。

解：根据余弦定理，我们需要先计算出角C和角A的余弦值，然后代入两角差的余弦公式中。

使用余弦定理计算角C的余弦值：cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)=(4^2+5^2-6^2)/(2*4*5)=(16+25-36)/40=5/40=0.125使用余弦定理计算角A的余弦值：cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)=(6^2+5^2-4^2)/(2*6*5)=(36+25-16)/60=45/60=0.75代入两角差的余弦公式，得到：cos(C-A) = cos(C)cos(A) + sin(C)sin(A)= (0.125)(0.75) + (sqrt(1 - 0.125^2))(sqrt(1 - 0.75^2))综上所述，这就是两角和与差的余弦公式的用法。

两角和与差的余弦公式余弦公式是三角学中常用的定理，用来计算三角形的角度和边长。

其中，两角和与差的余弦公式是一种特殊形式的余弦公式，用来计算两个角的和与差的余弦值。

在本文中，我们将详细介绍两角和与差的余弦公式，并且给出其证明及应用示例。

一、两角和与差的余弦公式的表述对于任意两个角A和B，其和与差的余弦值分别可以表示为：①余弦和公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB②余弦差公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB其中，cosA、cosB、sinA、sinB分别表示角A和角B的余弦和正弦值。

二、两角和与差的余弦公式的证明1.证明余弦和公式：我们先来证明余弦和公式cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB。

根据三角函数的定义，我们有：cos(A + B) = cos(α + β)= [exp(i(α + β)) + exp(-i(α + β))] / 2 (欧拉公式)= [exp(iα) * exp(iβ) + exp(-iα) * exp(-iβ)] / 2 (指数幂法则)= [(cosα + i * sinα) * (cosβ + i * sinβ) + (cosα - i * sinα) * (cosβ - i * sinβ)] / 2 (令exp(iα) = cosα + i *sinα，同样对于exp(iβ))= [(cosα * cosβ + i * cosα * sinβ + i * sinα * cosβ + i^2 * sinα * sinβ) + (cosα * cosβ - i * cosα * sinβ - i * sinα *cosβ - i^2 * sinα * sinβ)] / 2= [(cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] + [- (cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] / 2= (cosα * cosβ + sinα * sinβ)= cosA * cosB - sinA * sinB故余弦和公式成立。

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（基础知识+基本题型）知识点一、两角差的余弦公式 如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==OB OA . 由向量数量积的定义，有)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅OB OA OB OA ，由向量数量积的坐标表示，得βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA . 于是有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-. 由以上的推导过程可知，βα,是任意角，则)(βα-也应为任意角，即对于任意角βα,有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，此公式称为差角的余弦公式，简记为)(βα-C【提示】（1）适用条件：公式中的βα,都是任意角，可以为常量，也可以为变角（2）公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 【拓展】（1）逆用：)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+（2）角变换后使用：ββαββαββααsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+= （3）移项使用：βαβαβαsin sin )cos(cos cos --=；βαβαβαcos cos )cos(sin sin --=（4）特殊化使用导出诱导公式：ααπαπαπsin sin 2sincos 2cos)2cos(=+=-知识点二 两角和的余弦公式 运用)(βα-C 和诱导公式，有)](cos[)cos(βαβα--=+ )sin(sin )cos(cos βαβα-+-= βαβαsin sin cos cos -=，即βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+此公式就是两角和的余弦公式，简记作)(βα+C 提示：（1）公式中的βα,都是任意角（2）两角和与差的余弦公式右边函数名的排列顺序为：余⋅余 正⋅正，左右两边加减运算符号相反 （3）一般情况下，两角和的余弦公式不能按分配律展开，即βαβαcos cos )cos(+≠+ 【拓展】要学会顺用（从左至右，即展开）、逆用（从右至左，即化简）、变用（移项变形）公式()C αβ± （1）顺用公式()C αβ±，如：()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦；()cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβαβ+=-，()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦（2）逆用公式()C αβ±，如：()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ+--+- ()()cos cos 2αβαβα=++-=⎡⎤⎣⎦（3）变用公式()C αβ±，如：()cos sin sin cos cos αβαβαβ++=； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ--=知识点三 两角和与差的正弦公式 运用()C αβ-和诱导公式，有()()sin cos cos 22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-+=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin sin cos cos sin 22ππαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+.这就是两角和的正弦公式，简记作sin cos cos sin αβαβ+()S αβ+. 在公式()S αβ+中，用β-代替β，可得()()()sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦，即()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. 这就是两角差的正弦公式，简记作()S αβ-. 【提示】（1）公式中的,αβ均为任意角.（2）两角和与差的正弦公式右边函数名的排列顺序为：正余±余正，左右两边加减运算符号相同. （3）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即()sin sin sin αβαβ±=±.知识点四 两角和与差的正切公式 ()()()sin sin cos cos sin tan tan tan cos cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--， 即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-.这就是两角和的正切公式，简记作()T αβ+. 以β-代替上式中β，可得 ()()()tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ+--+-==⎡⎤⎣⎦--+，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.这就是两角差的正切公式，简记作()T αβ-. （1）适用条件：公式()T αβ±只有在(),,Z 222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠+±≠+∈时才成立，否则不成立，这是由正切函数的定义域决定的.（2）特殊情况：当tan α或tan β或()tan αβ±的值不存在时，不能使用()T αβ±处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法.例如，化简tan 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为tan 2π的值不存在，不能利用公式()T αβ-，所以改用诱导公式来解.sin cos 2tan 2sin cos 2πβπββπββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. （3）公式()T αβ-也可以这样推导： ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ---==-+若cos cos 0αβ≠，则将上式得分子、分母都除以cos cos αβ，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.【拓展】（1）正切公式的逆用： ()()()tan tan tan tan 1tan tan αβααβαβαβα+-=+-=⎡⎤⎣⎦++；tantan 1tan 4tan 1tan 41tan tan 4πααπαπαα++⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭-（2）正切公式的变形应用：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-； ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-=+；()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+=-知识点五 辅助角公式辅助角公式：()sin cos tan b a x b x x a ϕϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭推导过程：sin cos a x b x x x ⎫+=+⎪⎭令cos ϕϕ==，)sin cos sin cos cos sin a x b x x x ϕϕ++()x ϕ+其中角ϕ所在象限由,a b 的符号确定，角ϕ的值由tan ba ϕ=确定或由cos ϕϕ==共同确定【提示】 （1）关于形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）的式子，引入辅助角可以变形为()sin A x ϕ+的形式，有时也变形为()cos A x ϕ+的形式（2）辅助角公式能将异名三角函数式转化为同名三角函数式，它本身就是一个化简得过程，化简后，可轻松地求出函数的周期、最值、单调区间等考点一 三角函数式的化简 【例1】 化简下列各式 （1）sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）()2sin50sin101⎡⎤︒+︒︒⎣⎦；（3）()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ 解：（1）原式()()sin 158cos15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8tan15cos 158sin15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8︒-︒+︒︒︒︒-︒︒+︒︒==︒︒-︒-︒︒︒︒+︒︒-︒︒()1tan 45tan 30tan 45301tan 45tan 30︒-︒=︒-︒==+︒︒2=-（2）原式2sin 50sin10⎛=︒+︒ ⎝⎭2sin 50cos102sin10cos50cos10︒︒+︒︒⎡⎤=︒⎢⎥︒⎣⎦)sin 50cos10sin10cos50=︒︒+︒︒()5010=︒+︒== （3）原式()()()1sin cos sin sin 2αβαααβαβα=+-++-+-⎡⎤⎣⎦ ()()1sin cos 2sin cos 2αβαααβ=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ ()sin sin αβαβ=+-= 化简三角函数式的标准和要求： （1）能求出值得应求出值；（2）使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少； （3）使三角函数式的次数尽可能低； （4）使分母中尽量不含三角函数式和根式 考点二 三角函数的求值 【例2.】.（1）求sin105︒的值；（2）已知3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，求cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）已知1tan ,tan 20,322ππαβαβπ⎛⎫==-<<<< ⎪⎝⎭，求()tan αβ-及αβ+的值解：（1）()sin105sin 6045︒=︒+︒sin 60cos45cos60sin 45=︒︒+︒︒ （2）因为3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，所以4cos 5θ=-所以413cos cos cos sin sin 666525πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为1tan ,tan 23αβ==-，所以()12tan tan 3tan 721tan tan 13αβαβαβ+--===+- ()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ-++===--+ 因为0,,22ππαβπ<<<<所以 322ππαβ<+<所以34παβ+=三角函数的求值问题主要包括三类：给角求值、给值求值、给值求角 （1）给角求值的求解策略求解的关键是能将所求角转化为特殊角，并注意公式的选用 （2）给值求值的求解策略已知角,αβ的某种三角函数值，求αβ±的余弦、正弦或正切的方法；先根据平方关系求出,αβ的另一种三角函数值，求解过程中应注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，再根据求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的正弦、余弦、正切公式中，求出和角或差角的正弦、余弦、正切（3）给值求角的方法解答这类题目的步骤：①求出角的某一个三角函数值；②确定角所在的范围；③求角 考点三 三角恒等式的证明 【例3】求证：()()sin 2sin 2cos .sin sin αββαβαα+-+=证明：因为sin 0α≠，()()sin 22cos sin αβαβα+-+()()=sin 2cos sin αβααβα++-+⎡⎤⎣⎦()()()sin cos cos sin 2cos sin αβααβααβα=+++-+ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+()sin αβα=+-⎡⎤⎣⎦ sin β=，所以()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=.证明三角恒等式常用以下方法：（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去；（2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边-右边=0. 考点四 辅助角公式的应用【例4】 将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式：（1cos x x -；（2）.4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）12cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭原式2cos sin sin cos 66x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin .6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1sin cos 22424x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式sin sin cos cos 26464x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 246212x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2212x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭5sin .212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 通过引入辅助角ϕ，可以将sin cos a x b x +这种形式的三角函数式化为一个角的一种三角函数的形式.这种变形方法可解决sin cos a x b x +的许多问题，如值域、最值、周期、单调区间等.另外，（2）在解法上充分体现了角的变换和整体思想.。

两角和与差的公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运3.( √ )1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( ) A ．－34 B.34 C ．－43 D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎨⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105. 4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sinφcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin [(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( ) A.33B ．－33 C.539 D ．－69答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3. 故选A.(2)cos(α＋β2) ＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)． ∵0<α<π2， 则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0， 则π4<π4－β2<π2， 则sin(π4－β2)＝63. 故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.故选C. 思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )A.35B.45 C ．－35 D ．－45(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( )A. 2B.22C.12D.32 (2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan (π4－x )sin 2(π4＋x )＝________. (3)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝________. 答案 (1)B (2)12cos 2x (3) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin (π4－x )cos (π4－x )·cos 2(π4－x ) ＝(2cos 2x －1)24sin (π4－x )cos (π4－x )＝cos 22x 2sin (π2－2x ) ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝________. (2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2的值为________．答案 (1)cos α (2) 3解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2. 因为α∈(0，π)，所以cos α2>0， 所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cos α2＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 题型三 三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 (1)－1010 95010 (2)A 解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0， ∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A. 思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等． (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)＝________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于()A．－53B．－59 C.59 D.53(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于()A．－32B．－12 C.12 D.32思维点拨(1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系．(3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系．(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ， 又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12， 故原式＝1＋121－12＝3＋2 2. (2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)， ∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2. (3)方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z)， ∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z)， ∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.方法二 由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sinαcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝153.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53.(4)原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16 答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝322. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( ) A ．4 3 B.654 C ．4 D.233答案 B解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α，∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654.4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋32 C. 3 D ．22－1答案 C 解析4cos50°－tan40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 C解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1.6． sin 250°1＋sin 10°＝________.答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0， 即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 8.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 答案 －4 3解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.9．已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合． 解 因为1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2cos 2α－ (1－sin α)2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α|＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|， 所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z}．10．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255. 12．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝________.答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －3π4，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45， 两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0. 15．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)． (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围． 解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。

两角和与差的余弦公式精讲精练余弦公式是三角函数中常用的公式之一，用于计算两个角的和或差的余弦值。

余弦公式的精讲内容如下：1.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和B，它们的余弦和C可以表示为如下公式：cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)2.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和B，它们的余弦差D可以表示为如下公式：cos(D) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)下面通过几个例子来解释和演示这两个公式的使用。

【例题1】已知角A的余弦值为0.6，角B的余弦值为0.8，求角C 的余弦值。

解析：根据公式cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)，将已知的余弦值代入即可求解：cos(C) = 0.6 * 0.8 - sin(A)sin(B)cos(C) = 0.48 - sin(A)sin(B)因为没有提供角A和角B的正弦值，所以无法进一步计算角C的余弦值。

【例题2】已知角A的余弦值为0.6，角B的余弦值为0.8，求角D 的余弦值。

解析：根据公式cos(D) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)，将已知的余弦值代入即可求解：cos(D) = 0.6 * 0.8 + sin(A)sin(B)cos(D) = 0.48 + sin(A)sin(B)因为没有提供角A和角B的正弦值，所以无法进一步计算角D的余弦值。

【例题3】已知角A为30度，角B为60度，求角C的余弦值。

解析：根据余弦函数的性质，可以求出角A和角B的正弦值和余弦值：sin(A) = sin(30°) = 0.5cos(A) = cos(30°) = √3/2sin(B) = sin(60°) = √3/2cos(B) = cos(60°) = 0.5将正弦值和余弦值代入公式cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)中求解：cos(C) = (√3/2) * 0.5 - (0.5) * (√3/2)cos(C) = (√3/4) - (√3/4)cos(C) = 0所以角C的余弦值为0。

§1 两角和与差的三角函数知识梳理1.两角和与差的余弦公式（1）公式：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.（2）理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cos α±cos β.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式（1）公式：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.（2）理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切（1）公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：①公式成立的条件：α≠k π+2π，β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tan α+tan β. 知识导学要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.难疑突破1.形如函数f (x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.当x=2k π+2π (k∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2k π-2π (k∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2k π(k∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2k π+π(k∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x∈R 的最值.可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(21sinx-23cosx) =4(sinxcos3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a+sinx+22b a b +cosx)， ∵(22b a a+)2+(22b a b +)2=1, ∴可设cos θ=22b a a +，sin θ=22b a b +,则tan θ=ab （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcos θ+cosxsin θ)= 22b a +sin(x+θ).∴当x∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +.特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(81,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-81,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】 若sin α=55,sin β=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cos α=552)55(12=-,cos β=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=22. 又∵sin α=55<21,sin β=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23， 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用【例2】 已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解. 解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得 ①+②得cos αcos β=154, ②-①得sin αsin β=151-, ∴tan αtan β=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于（ ） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sin α=53,∴cos α=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cos α=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cos α=71,∴sin α=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=（1411-）·71+7341435∙=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】 已知α,β∈(-2π,2π)，tan α,tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tan α+tan β、tan αtan β，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,①∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα. 又∵α,β∈(-2π,2π) 且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0), ∴α+β∈(-π,0).∴α+β=32π-. 类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。

两角和与差的正弦余弦正切公式1.两角和的正弦公式：对于两个任意角A和B，其正弦的和可表示为它们正弦的乘积加上它们余弦的乘积，即：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB证明：将A和B分别表示为单位圆上的点P和Q，以O为原点，OP的方向为正x轴方向。

设P的坐标为(x1,y1)，则Q的坐标为(x2,y2)。

由单位圆上的性质可得：x1 = cosA, y1 = sinAx2 = cosB, y2 = sinB现在考虑A+B的点的坐标。

根据点的加法定义，有：x3=x1*x2-y1*y2,y3=x1*y2+x2*y1将x1,y1,x2,y2代入，化简可得：x3 = cosA * cosB - sinA * sinBy3 = cosA * sinB + sinA * cosB因此，点(A + B)的坐标为(x3, y3)，即sin(A + B) = y3 = cosA * sinB + sinA * cosB。

2.两角差的正弦公式：对于任意两个角A和B，其正弦差可表示为它们正弦的乘积减去它们余弦的乘积，即：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB证明：同样根据点的减法定义，有：x3=x1*x2+y1*y2,y3=-x1*y2+x2*y1将x1,y1,x2,y2代入，化简可得：x3 = cosA * cosB + sinA * sinBy3 = -cosA * sinB + sinA * cosB因此，点(A - B)的坐标为(x3, y3)，即sin(A - B) = y3 = cosA * sinB - sinA * cosB。

3.两角和的余弦公式：对于两个任意角A和B，其余弦的和可表示为它们余弦的乘积减去它们正弦的乘积，即：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB证明：同样根据点的加法定义，有：x3=x1*x2-y1*y2,y3=x1*y2+x2*y1将x1,y1,x2,y2代入，化简可得：x3 = cosA * cosB - sinA * sinBy3 = -cosA * sinB - sinA * cosB因此，点(A + B)的坐标为(x3, y3)，即cos(A + B) = x3 = cosA * cosB - sinA * sinB。

专题3两角和与差的三角函数（一）两角和与差的余弦C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；【点拨】①简记为：“同名相乘，符号反”．②公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．（二）两角和与差的正弦S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；【点拨】①简记为：“异名相乘，符号同”．②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.（三）两角和与差的正切T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；.T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ【点拨】1公式T α±β只有在α≠2π＋k π，β≠2π＋k π，α±β≠2π＋k π(k ∈Z )时才成立，否则就不成立.②当tan α或tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．③变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，如tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)，1－tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ++．1＋tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ--．（四）辅助角公式函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．4sin(2cos sin πααα±=±.题型一公式的正用【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，若点A 、B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则以下结论正确的是（）A ．3cos 5α=B ．3cos 5β=C ．()cos 0αβ+=D ．()cos 0αβ-=【答案】AD(0,π)β∈，则tan()αβ+的值为______．【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知tan ,4αα=-是第四象限角．(1)求cos sin αα-的值；(2)求ππcos ,tan 44αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值”问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．题型二公式的变用、逆用【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知sin100cos100M =︒-︒，44cos 78cos 46cos12)N =︒︒+︒︒，1tan101tan10P -︒=+︒，那么M ，N ，P 之间的大小顺序是（）A ．M N P <<B ．N M P<<C ．P M N<<D ．P N M<<A cos15︒︒B ．2cos 15sin15cos75︒︒︒-C ．2tan 301tan 30︒︒-D ．1tan151tan15︒︒+-【答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.(1)1－tan75°1＋tan75°；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；(3)tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°．【答案】（1）3-；（2）222；（3【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．详解：(1)原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°tan(45°－75°)＝33-．(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式＝222．(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝tan25°＋tan35°1－tan25°tan35°＝，∴tan25°＋tan35°＝3(1－tan25°tan35°)∴tan25°＋tan35°．【规律方法】1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝4π＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．题型三给值求值【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ，则cos()αβ-=（）A ．12-B ．13-C ．12D ．34取得最大值，则πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C D【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知cos 27βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos2αβ+的值；tanαβ+的值.(2)()给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．题型四给值求角【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知()0παβ∈，，，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=（）A ．5π4B ．π4C ．π4-D ．3π4-1,0,,cos 222π2a a βαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求αβ+的值．解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α、sin α、cos α中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．题型五三角函数式化简问题【典例12】（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：70cos10︒︒=︒（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()tan tan αβα+=___________.1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，33,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型六三角恒等式证明问题【典例14】（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）求证：(1)22sin cos 1sin cos 1cot 1tan αααααα+=-++；(2)在非直角三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【典例15】（2023·高一课时练习）求证：(1)当18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 时，(1tan )(1tan )2αβ++=；(2)当180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 时，tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据正切两角和公式求解即可.（2）根据正切两角和公式求解即可.【详解】（1）因为18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 所以(1tan )(1tan )αβ++1tan tan tan tan αβαβ=+++()()1tan 1tan tan tan tan αβαβαβ=++-+()()1tan 451801tan tan tan tan k αβαβ=++⋅-+ ()1tan 451tan tan tan tan αβαβ=+-+ 11tan tan tan tan αβαβ=+-+2=.即证：(1tan )(1tan )2αβ++=.（2）因为180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 所以tan tan tan αβγ++()()tan 1tan tan tan αβαβγ=+-+()()tan 1801tan tan tan k γαβγ=⋅--+ ()tan 1tan tan tan γαβγ=--+tan tan tan αβγ=⋅⋅.即证：tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅.【总结提升】三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）5cos 12π=（）A B C D2．（2023·江苏·高一专题练习）化简tan tan 44A A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2tan AB ．2tan A-C ．2tan 2AD ．2tan 2A-，，1,2b =，且a b ⊥，则()tan 45θ-︒的值是（）A ．1B ．3-C．3D ．134．（2023·江苏·高一专题练习）若1tan θ-=+，则cot 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）．A ．12B C D ．1【答案】C5．（2023·江苏·高一专题练习）在ABC 中，若cos 5A =，cos 13B =-，则cos()A B +等于（）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365-6．（2023·江苏·高一专题练习）若cos 5θ=-且(,π)2θ∈，则πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A B．410+-C D 7．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知02α<<，02β<<，且()sin 5αβ-=-，12sin 13β=，则sin α=（）A ．6365B ．5665C ．3365D ．1665-合，将角α的终边绕O 点顺时针旋转π3后，经过点()3,4-，则sin α=（）A B C D ．9．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角αβ､，下列不等关系恒成立的是（）A ．()sin cos cos αβαβ+<+B ．()cos sin sin αβαβ+<+C ．()sin cos cos αβαβ-<+D ．()cos sin sin αβαβ-<+【答案】ACA ．1sin15222-=-B ．sin20cos10cos160sin102-C ．sin1212ππ=D ．sin105=11．（2023·江苏·高一专题练习）化简：πtan 3π13αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______．12．（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知α，β满足04α<<，44β<<，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=______．13．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）求sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒的值．()cos ,sin b ααβ=- ，且a b ⊥ ．(1)求()cos αβ+的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan 3α=-，求2αβ+的值．︒︒+︒︒+︒︒=，tan10tan20tan20tan60tan60tan101tan20tan30tan30tan40tan40tan201︒︒+︒︒+︒︒=，tan33tan44tan44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒=．(1)尝试再写出一个相同规律的式子；(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．。

两角和与差的余弦公式精讲精练1.两角和的余弦公式：设∠A和∠B为两个角，则它们的和∠C的余弦公式为：cos(∠C) = cos(∠A + ∠B) = cos(∠A)cos(∠B) -sin(∠A)sin(∠B)2.两角差的余弦公式：设∠A和∠B为两个角，则它们的差∠C的余弦公式为：cos(∠C) = cos(∠A - ∠B) = cos(∠A)cos(∠B) +sin(∠A)sin(∠B)首先，我们利用欧拉公式及欧拉恒等式可得：cos(∠A + ∠B) = Re{exp(i(∠A + ∠B))} =Re{exp(i∠A)exp(i∠B)}= Re{(cos∠A + isin∠A)(cos∠B + isin∠B)}= Re{(cos∠Acos∠B - sin∠Asin∠B) + (cos∠Asin∠B + sin∠Acos∠B)i}= cos∠Acos∠B - sin∠Asin∠B将上式中的实部提取出来，即为两角和的余弦公式。

接下来，我们将对两角和的余弦公式进行一些练习题目。

练习1：已知cos(∠A) = 3/5，sin(∠B) = 4/5，且∠A和∠B为第四象限角，求co s(∠A + ∠B)的值。

解：根据已知条件，我们可以得到sin(∠A) = -4/5，cos(∠B) = -3/5带入两角和的余弦公式：cos(∠A + ∠B) = cos(∠A)cos(∠B) - sin(∠A)sin(∠B)=(3/5)(-3/5)-(-4/5)(4/5)=-9/25+16/25=7/25所以cos(∠A + ∠B)的值为7/25练习2：已知cos(∠A) = 2/3，sin(∠B) = 3/5，且∠A和∠B为相邻角，求cos(∠A - ∠B)的值。

解：由于∠A和∠B为相邻角，所以∠A - ∠B = 0，即cos(0) = 1所以cos(∠A - ∠B)的值为1通过练习题目，我们可以更好地理解和运用两角和与差的余弦公式。