解直角三角形及其应用(4)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章第四节解直角三角形的实际应用知识精练基础题1.(2023天津)sin 45°＋22的值等于()A.1B.2C.3D.22.(2023河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观，如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的()第2题图A.南偏西70°方向B.南偏东20°方向C.北偏西20°方向D.北偏东70°方向3.(2023南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两点相距()A.x sin α米B.x cos α米C.x ·sin α米D.x ·cos α米第3题图4.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，则cos ∠CAB 的值为()第4题图A.55B.255C.22D.255.(2023包头)如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为()A.34B.43C.35D.45第5题图6.(2023十堰)如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)()第6题图A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米7.(北师九下P20第2题改编)如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD，BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3∶4，则大坝底端增加的长度CF为()第7题图A.7米B.11米C.13米D.20米8.(2023武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm.(结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第8题图9.[新考法—跨学科](2022凉山州)如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为________．第9题图10.[新考法—数学文化](2023枣庄改编)桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处．如图所示是桔槔汲水的简单示意图，若已知杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号)第10题图11.成都第31届世界大学生夏季运动会代表建筑主火炬塔，其构造设计理念为“大运之光”，塔身整体采用钢结构制作，造型呈细腰型，底座为直径约13米的内外同心圆环，内环延伸出4根主管呈螺旋上升型，外环12根副管与主管反向螺旋上升，象征着十二条太阳光芒螺旋升腾聚集于阳燧，寓意“东进兴川之光”．某数学活动小组利用课余时间测量主火炬塔的高度，在点A 处放置高为1米的测角仪AB ，在B 处测得塔顶F 的仰角为30°，沿AC 方向继续向前行38米至点C ，在CD 处测得塔顶F 的仰角为65°(点A ，C ，E 在同一条直线上)，依据上述测量数据，求出主火炬塔EF 的高度．(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47)第11题图拔高题12.[新考法—跨学科](2023甘肃省卷)如图①，某人的一器官后面A 处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图第12题图①第12题图②说明如图②，新生物在A 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠DBN ；再在皮肤上选择距离B 处9cm 的C 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠ECN .测量数据∠DBN ＝35°，∠ECN ＝22°，BC ＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A 处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)13.雨量监测站是一款以物联网为基础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来雨量情况，从而安排合理的农业作业．如图①是雨量监测站的实物图，如图②是该监测站的简化示意图，其中支杆AB，CD与支架MN 的夹角分别为∠BAM＝45°，∠DCM＝30°，支杆AB与太阳能供电板的夹角∠ABD＝85°，且支杆AB，CD的端点A，C的距离为14cm，支杆CD的端点D到支架MN的水平距离为16cm，求支杆AB，CD的端点B，D之间的距离．(结果精确到0.1cm.参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73)图①图②第13题图参考答案与解析1.B【解析】原式＝22＋22＝2.2.D【解析】∵南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．3.B 【解析】∵在Rt △ABC 中，cos α＝AB AC ，∴AC ＝AB cos α.∵AB ＝x ，∴AC ＝x cos α.4.B 【解析】如解图，连接BD ，在△ABD 中，AB ＝32＋12＝10，AD ＝22＋22＝22，BD ＝12＋12＝2，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴△ABD 是直角三角形，∴cos ∠CAB ＝AD AB＝255.第4题解图5.D 【解析】如解图，∵两个正方形的面积分别为1，25，∴两个正方形的边长分别为CD ＝1，AB ＝5，设Rt △ABC 的AC 边为x ，则x 2＋(x ＋1)2＝52，解得x 1＝3，x 2＝－4(舍去)，∴BC ＝4，∴cos α＝BC AB ＝45.第5题解图6.D 【解析】根据题意可知，∠BAD ＝90°，∠BCA ＝45°，AB ＝5，∴AC ＝AB ＝5，在Rt △ABD中，∠D ＝30°，∴tan 30°＝AB AD ，∴AD ＝AB tan 30°＝5tan 30°＝53，∴CD ＝AD －AC ＝53－5≈3.66(米).7.C 【解析】如解图，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N .由题意可知DM ＝EN ＝15，∵背水坡CD 的坡度i ＝1∶0.6，∴DM CM ＝53，∴CM ＝9.∵DE ＝MN ＝2，∴CN ＝7.∵背水坡EF 的坡度i ＝3∶4，∴EN NF ＝157＋CF＝34，解得CF ＝13.第7题解图8.2.7【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，过点C 作CE ⊥OA 于点E .在△BOD 中，∠BDO ＝90°，∠DOB ＝45°，∴BD ＝OD ＝2cm ，∴CE ＝BD ＝2cm.在△COE 中，∠CEO ＝90°，∠COE ＝37°，∵tan 37°＝CE OE≈0.75，∴OE ≈2.7cm.∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为2.7cm.第8题解图9.43【解析】由平面镜反射知识可知α＝∠A ＝β＝∠B ，∴tan α＝tan B ＝OD BD.易知△ACO ∽△BDO ，∴AC BD ＝OC OD ＝36＝12.∵CD ＝12，∴OD ＝8，∴tan α＝tan B ＝43.10.(3＋2)【解析】如解图，过点O 作OC ⊥BT ，垂足为C ，由题意得BC ∥OM ，∴∠AOM ＝∠OBC ＝45°，∵AB ＝6米，AO ∶OB ＝2∶1，∴AO ＝4米，OB ＝2米，在Rt △OBC 中，BC ＝OB ·cos 45°＝2×22＝2(米).∵OM ＝3米，∴此时点B 到水平地面EF 的距离＝BC ＋OM ＝(3＋2)米．第10题解图11.解：如解图，设BD 的延长线与EF 交于点G ，由题意可得∠FDG ＝65°，∠FGD ＝90°，∴∠DFG ＝25°.AB ＝CD ＝EG ＝1米，AC ＝BD ＝38米，设FG ＝x 米，在Rt △BFG 中，∠FBG ＝30°，tan 30°＝FG BG ＝x BG ＝33，解得BG ＝3x ，在Rt △DFG 中，∠DFG ＝25°，tan 25°＝DG FG ＝DG x≈0.47，解得DG ＝0.47x ，∴BD ＝BG －DG ＝3x －0.47x ＝38，解得x ≈30，∴EF ＝FG ＋EG ＝30＋1＝31(米).∴主火炬塔EF 的高度约为31米．第11题解图12.解：如解图，过点A 作AF ⊥MN ，垂足为点F ，设BF ＝x cm ，∵BC ＝9cm ，∴CF ＝BC ＋BF ＝(x ＋9)cm.在Rt △ABF 中，∠ABF ＝∠DBN ＝35°，∴AF ＝BF ·tan 35°≈0.7x cm.在Rt △ACF 中，∠ACF ＝∠ECN ＝22°，∴AF ＝CF ·tan 22°≈0.4(x ＋9)cm ，∴0.7x ＝0.4(x ＋9)，解得x ＝12，∴AF ＝0.7x ＝8.4cm ，∴新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm.第12题解图13.解：如解图，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点D 分别作DF ⊥MN 于点F ，作DG ⊥BE 于点G ，则易得四边形DGEF 是矩形，DF ＝16cm ，∴EF ＝DG ，DF ＝GE .在Rt △CDF 中，∠CFD ＝90°，tan ∠DCF ＝DF CF ，∴CF ＝DF tan ∠DCF ＝16tan 30°＝1633＝163cm.∵∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，AE＝BE.∵∠ABD＝85°，∴∠DBG＝∠ABD－∠ABE＝85°－45°＝40°.在Rt△DBG中，∠BGD＝90°，sin∠DBG＝DGBD，cos∠DBG＝BGBD，∴DG＝BD·sin∠DBG＝BD·sin40°≈0.64BD，BG＝BD·cos∠DBG＝BD·cos40°≈0.77BD，∴AE＝BE＝BG＋GE＝(0.77BD＋16)cm.∵AF＝AE＋EF＝AC＋CF，∴0.77BD＋16＋0.64BD＝14＋163，解得BD≈18.2cm.答：支杆AB，CD的端点B，D之间的距离约为18.2cm.第13题解图。

解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC是半圆⊙O的直径，D是AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，(1)求证：△ABE∽△DBC；(2)已知BC＝52，CD＝52sin∠AEB的值；(3)在(2)的条件下，求弦AB的长．【答案与解析】(1)∵AD CD，∴∠1＝∠2，又BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝52，CD＝5∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB＝52552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DEDB AD=，∴ 2AD DE DB =． 又∵ 5CD AD ==，∴ CD 2＝(BD －BE)·BD ， 即25(5)5BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴ 35BE =． 在Rt △ABE 中，AB ＝BEsin ∠AEB ＝32355452⨯=． 【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE ∽△DBC ．(2)利用(1)的结论，将∠AEB 转化为Rt △BCD 中的DCB ∠．(3)在Rt △ABE 中求AB ．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】 （2015•河南模拟）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=，则AD 的长为多少?【答案与解析】解：作DE ⊥AB 于E ，如图， ∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC=6， ∴∠A=45°，在Rt △ADE 中，设AE=x ，则DE=x ，AD=x ， 在Rt △BED 中，tan ∠DBE==，∴BE=5x ，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即355FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD＝10，∴ AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝53 2，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴5553(31)222AB AE BE=+=+=+≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。

解直角三角形及其应用点评：黑龙江省农垦红兴隆管理局八五三农场中学教师冯迪课标要求及分析：《解直角三角形及其应用》第一课时是数学课程标准第三学段，二、图形与几何、（二）图形的变化。

本节课的课标要求：能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。

他有两项内容。

第一项课标要求的维度目标是结果目标，行为动词是能，学习水平为：掌握和运用。

学习内容是用锐角三角函数解直角三角形。

第二条维度目标是结果目标，行为动词是能，学习水平为：掌握和运用,学习内容、是用相关知识解决一些简单的实际问题。

教材分析：《解直角三角形及其应用》是在学习掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。

通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。

从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。

它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。

学情分析优势：九年级学生正处在身体发育和大脑发育的高峰时期，好奇心和求知欲望较强，愿意与他人交流合作。

同时他们正处在由形象思维向抽象思维的过渡时期，有一定的推理和分析能力。

学生已经学习了二次根式的运算，一元二次方程的解法，全等三角形，相似三角形等相关知识，特别是前面锐角三角函数知识的运用，这些都为解直角三角形的应用的学习打下了一定的基础。

劣势：这节课里，学生将实际问题抽象为数学问题的能力，“数形转化”的能力，实数运算的能力还需要进一步。

由于实际问题的内容是多种多样的，要把这些问题转化为解直角三角形的教学问题，对分析问题能力的要求比较高，这使得学生感到困难。

所以它也是本章学习内容中的一个难点。

教学重、难点：课标要求“能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题”。

教材分析中指出：“能够正确理解实际问题的题意，看懂题中给出的示意图，学会能够在示意图中找出或者添加必要的辅助线，构成合适的直角三角形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，进而解决问题。

解直角三角形的应用问题四2005年“麦莎” 台风中心从我市的正东方向300km处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多长？问题五如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽BC为6m，堤高为3.2m，为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD的坡度也不变。

但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。

(1)求加高后的堤底HD的长。

(2)求增加部分的横断面积(3)设大堤长为1000米，需多少立方米土加上去？实践活动：下星期一数学活动课，年级段将组织各班同学去校外测量一铁塔的高度，为了安全起见，不能爬上铁塔测量，只能在地面上进行，如果给你测角仪和卷尺这两种测量工具，请根据下列的两种情形，设计一下你的测量方案，并画出相应的示意图，简要说明计算过程。

情形一：铁塔的底部能直接到达，如图（1）。

课外练习:1、经国务院批准，甬台温铁路已在去年开工，这是继甬台温高速公路建成后的又一喜事，不过在这一建设中，涉及千家万户的土地调整、房屋拆建等工作，在规划图上发现，C 城市在B 城市的正北方向，两城市相距100千米，经测量，森林保护区A 在B 城市的北偏东45 °的方向上，又在C 城市的南偏东60°的方向上，又森林保护区A 的范围为60千米的区域，问计划修筑这条笔直的铁路会不会穿越森林保护区？为什么？2、如图，A ，B ，C 表示三青山上的三个缆车钢索支柱的位置，AB ，BC 表示连接三个支柱的钢缆，已知A ，B ，C 所处的位置的海拔高度分别为124m ，400m ，1100m 。

建立如图所示的平面直角坐标系，则可得A （a ，124）、B （b ，400）、C （c ，1100），若直线AB 的解析式为421+=x y ，直线BC 与水平线BC 1的夹角为450。

（1）分别求出A ，B ，C （2）求缆车从B 处到达C 处单向运行的路程。

解直角三角形及其应用1. 定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2. 直角三角形的边角关系：如图:（3）边角之间的关系：3. 解直角三角形的四种基本类型：如下图：已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。

应注意以下原则：（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。

（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。

（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。

4. 几个常用概念：（1）仰角：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角。

（2）俯角：在测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。

（3）坡度：（坡比）如图:坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比，叫做坡面的坡度。

（4）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。

坡度越大，坡角越大，坡面越陡。

（5）方向角（如图）OA：北偏东30°OB：东南方（南偏东45°）OC：南偏西70°OD：北偏西60°东西与南北方向线互相垂直。

5. 运用解直角三角形的方法解决实际问题：基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。

（即构建数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。

一般有以下几个步骤：（1）审题：根据题意画出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知和未知。

（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。

（3）选择适当关系式解直角三角形。

典型例题例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1）a＝8，b＝6（2）c＝16，∠A＝32°分析：略解：例2. 如图某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，可以将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度（精确到1cm）。

沪科版数学九年级上册同步课时训练第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其应用第4课时 坡度、坡角问题及坐标系中直线与x 轴的夹角1. 一只小蚂蚁沿着倾斜角为α的斜坡前进了m cm ，那么它上升的高度是( ) A. m sin αcm B. m cos αcm C. m tan αcm D. m tan αcm 2. 某坡面的坡度是1∶3，则此坡的坡角是( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 3. 直线y ＝x －2的向上方向与x 轴正方向所夹的锐角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为( ) A. 4m B. 3m C.433m D. 43m第4题 第5题5. 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动.如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A. 8.1米B. 17.2米C. 19.7米D. 25.5米 6. 直线y ＝52x ＋1与直线y ＝83x ＋2的向上方向与x 轴正方向所成的角分别为α，β，则( )A. α＝βB. α＜βC. α＞βD. 无法确定 7. 直线y ＝3x ＋5的向上方向与x 轴正方向所夹的锐角为α，则tan α＝ .8. 已知一次函数y ＝kx ＋b 经过点(1，3)和点(3，5).则该直线的向上方向与x 轴正方向所夹的锐角的正切值为 .9. 直线x ＝3向上的方向与x 轴的正方向所夹的角为 .10. 如图，小华站在河岸上的G 点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C 的俯角是∠FDC ＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG ＝0.7米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长为米.(结果保留根号)11. 已知正比例函数y＝kx经过点(33，9)，求直线向上的方向与x轴正方向所夹的夹角α.12. 已知直线y＝kx＋b经过点(－5，11)，且向上的方向与x轴正方向所夹的锐角为45°，求直线表达式.13. 某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹，组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆.渡江战役纪念馆实物如图①所示.某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图②，经查资料，获得以下信息：斜坡AB的坡比i＝1∶3，BC＝50m，∠ACB＝135°，求AB的长及过点A作的高是多少.(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图①图②14. 已知直线y＝kx＋b经过点(－3，m)和点(m，2)，且向上的方向与x轴正方向所夹的锐角为30°，求直线表达式.15. 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠F AE＝30°，求大树的高度.(结果保留整数.参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73)16. 某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，坡角∠BAD＝68°.为了减缓坡面防止滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保不滑坡.(1)求改造前坡顶到地面的距离BE的长；(精确到0.1m)(2)如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC左移11m到F点处，像这样改造能确保安全吗？(参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12′≈0.85，tan49°30′≈1.17)17. 如图，斜坡AP的坡度为1∶2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求(1)坡顶A到地面PQ的距离；(2)古塔BC的高度.(结果精确到1米)(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)18. 某市为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长96m的一堤段(原海堤的横断面形如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m，背水坡坡度由原来的1∶1改成1∶2，已知原背水坡长AD＝8.0m，求完成这一工程所需的土方，要求保留两个有效数字.(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)1. A2. A3. B4. C5. A6. B7. 38. 19. 90° 10. 8－5.511. 解：将(3，9)代入y ＝kx ，得9＝3k ，k ＝，∴tan α＝，又α是锐角，∴α＝60°.12. 解：∵k ＝tan45°＝1，又直线y ＝kx ＋b 过点(－5，11)，∴－5＋b ＝11，b ＝16，∴所求直线表达式为y ＝x ＋16.13. 解：过点A 作AD ⊥BC 交其延长线于点D ，∵∠ACB ＝135°，∴∠ACD ＝45°，∴△ADC 为等腰直角三角形，设AD ＝x ，则CD ＝x ，在Rt △ADB 中，BD ＝50＋x ，∵斜坡AB 的坡比i ＝1∶，∴x ∶(50＋x )＝1∶，解得x ＝－150≈68.5，∴AD ≈68.5.∵在Rt △ABD 中，∠B ＝30°，∠D ＝90°，∴AB ＝2AD ≈137.0.答：AB 的长约为137.0m ，过点A 作的高约是68.5m.14. 解：∵k ＝tan30°＝33，又直线过点(－，m )和(m ，2)，∴解得3∴所求直线表达式为y ＝33x ＋23.15. 解：延长BD 交AE 于点G ，过点D 作DH ⊥AE 于点H .由题意知：∠DAE ＝∠BGA ＝30°，DA ＝6，∴GD ＝DA ＝6.∴GH ＝AH ＝DA ·cos30°＝6×23＝3.∴GA ＝6.设BC 的长为x 米.在Rt △GBC 中，GC ＝tan ∠BGC BC ＝tan30°x ＝x .在Rt △ABC 中，AC ＝tan ∠BAC BC ＝tan48°x .∵GC －AC ＝GA ，∴x －tan48°x＝6.∴x ≈13.即大树的高度约为13米.16. 解：(1)在Rt △ABE 中，AB ＝26，∠BAD ＝68°，∵sin ∠BAD ＝AB BE，∴BE ＝AB ·sin ∠BAD ＝26×sin68°≈24.2(m).(2)过点F 作FM ⊥AD 于点M ，连接AF .∵BC ∥AD ，BE ⊥AD ，BF ＝11，∴FM ＝BE ＝24.2，EM ＝BF ＝11.在Rt △ABE 中，∵cos ∠BAE ＝AB AE ，∴AE ＝AB ·cos ∠BAE ＝26×cos68°≈9.62.∴AM ＝AE ＋EM ＝9.62＋11＝20.62.在Rt △AFM 中，∵tan ∠F AM ＝AM FM ＝20.6224.2≈1.17，∴∠F AM ＝49°30′＜50°.∴这样改造能确保安全.17. 解：(1)过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H .∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴PH AH ＝2.41＝125.设AH ＝5k ，则PH ＝12k .由勾股定理，得AP ＝13k .∴13k ＝26，解得k ＝2，∴AH ＝10.∴坡顶A 到地面PQ 的距离为10米.(2)延长BC 交PQ 于点D .由(1)可得PH ＝24.∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ，∴四边形AHDC 是矩形，∴CD ＝AH ＝10，AC ＝DH .∴∠BPD ＝45°，∴PD ＝BD .设BC ＝x ，则x ＋10＝24＋DH ，∴AC ＝DH ＝x －14.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝76°.tan76°＝AC BC ，即x －14x ≈4.01，解得x ≈19.∴古塔BC 的高度约为19米.18. 解：作EG ⊥FB 于点G ，DH ⊥FB 于点H ，设堤高为h ，则EG ＝DH ＝h .由tan ∠DAH ＝1∶1＝1，得∠DAH ＝45°.∴h ＝DH ＝AD sin ∠DAH ＝8sin45°＝8×22＝4，∴AH ＝DH ＝4，由tan F ＝EG ∶FG ＝1∶2，得FG ＝2EG ＝2h ＝8，∴F A ＝FG －AG ＝8－(4－1.6)＝4＋1.6，∴海堤横断面增加的面积：S 梯形F ADE ＝21(ED ＋F A )·h ＝21(4＋3.2)×4≈25.0(m 2)，∴工程所需土方＝96×S 梯形F ADE ≈96×25.0＝2400＝2.4×103(m 3).答：完成这工程约需土方2.4×103m 3.。