hmw《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》

高中数学必修4导学案2014-2015学年第一学期 高二年级 班 姓名： 编写者： 使用时间2018-9-2课题 ：§1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义1 课时 学习目标：1、知识与技能（1）理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念； （2）理解正弦函数、余弦函数的几何意义； 2、过程与方法类比直角三角形正弦函数、余弦函数的概念，引入正弦函数、余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况.3、情感态度与价值观由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力.学习重点：正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号. 学习难点：会利用单位圆求三角函数值. 基础达标：1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义（1）单位圆的定义：在直角坐标系中，以 为圆心，以 为半径的圆，称为单位圆．（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴 重合，终边与单位圆O 交于点(,)P u v ，那么：点P 的 叫作角α的正弦函数，记作 ； 点P 的 叫作角α的余弦函数，记作 ； **设点P 是α角终边上任意一点，坐标为(,)P x y ，22||OP x y r =+=，用（1）比值 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α= ；（2）比值 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α= ；通常，我们用x 表示自变量，即表示 ，用y 表示函数值，这样就定义了任意角的三角函数 和 ．它们的定义域为 值域为 ．（3）角α终边在第一、第二、第三、第四象限时，角α正弦函数、余弦函数的正负号 象限 三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin αcos α注1：试考虑正切函数的有关定义及正负号问题。

注2：（1）若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值；（2）正弦函数值的符号与y 的符号相同，余弦函数值的符号与x 的符号相同． 例1、已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的正弦、余弦、正切值. 分 析：任意角的三角函数的定义 例2、 确定下列三角函数值的符号：（1）7cos12π； （2）0sin(465)-； 合作交流：1、已知角α的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠． （1）求sin α，cos α的值；（2）求α终边与单位圆交点Q 的坐标．2、若sin α>0，且cos 0α<，试确定α所在的象限．思考探究：1、已知角α终边上一点(,)P x y ，则sin α，cos α有何定义？它与P 点的位置有关吗？2、当角α终边在坐标轴上时，sin α，cos α的值有什么特点？达标检测：1、cos 300°=3、若△ABC 的两内角α、β满足cos αcos β＜0，则此三角形为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上情况均有可能 4、若sin 0α>，且cos 0α<，则α是第________象限角． 5、已知下列四个命题：①角α终边上一点，，则sin α的值随y 的增大而增大；②若α为第一或第二象限角，则sin α＞0；③正角的三角函数值为正，负角的三角函数值为负，零角的三角函数值为零； ④若cos A ＜0，则△ABC 为钝角三角形．其中正确的是A ．①④B ．②④C ．①②D ．①②④ 6．已知角θ终边上一点(,3)(0)P x x ≠且10cos 10θ= ，求sin θ的值．7、确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：（1）0885； （2）0395-； （3）196π； （4）253π-8、已知角α的终边经过点(3,4)P -，求角α的正弦、余弦和正切值.学后反思：。

1.2.1任意角的三角函数设计思路
教学过程中我将会将教材内容进行整合:
首先，让学生回顾初中相关内容－－锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值等；然后将初中的锐角三角形放到直角坐标系中，出现了点的坐标，邻、对、斜变成了横、纵、r(=OP)。

老教材上的定义自然推出；
再次，将r特殊化令r=1,新教材上的定义立即出现；
最后，进行定义的应用，教材14页例1考查新教材定义，例2考查旧教材定义；强化练习、课堂小结、布置作业。

目标和进程
（1）知识与能力：这节课从知识传授，三个问题环环相扣，及时将知识内化为能力，通过作业和调研题的讲解，让学生加强对三角函数概念的理解。

（2）循序渐进：A组练习二的目的是为了调研，此题相对于学生已有的知识是难了一点，因此可能出错率会高，但可以让优生提升。

（3）教给与教会：要注意梯度的设计，台阶不要过密，要有一定的思维跨度。

任意角函数知识点总结任意角函数是初等数学中的一个重要概念，它是对常规角函数的拓展，使其可以适用于任意角度的情况。

任意角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，它们在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

在学习和运用任意角函数时，需要了解其定义、性质、图像等基本知识，下面我们将对任意角函数进行详细的总结。

一、正弦函数正弦函数是最基本的任意角函数之一，它表示一个角的正弦值。

在直角三角形中，正弦函数的定义是指对边与斜边的比值，它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。

正弦函数的图像是一条周期为2π的曲线，其波动幅度在[-1,1]之间，且符合奇函数的性质。

正弦函数的反函数为反正弦函数，可以表示为y=sin⁻¹x，其中定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。

二、余弦函数余弦函数是另一个重要的任意角函数，它表示一个角的余弦值。

在直角三角形中，余弦函数的定义是指邻边与斜边的比值，它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。

余弦函数的图像也是一条周期为2π的曲线，其波动幅度在[-1,1]之间，且符合偶函数的性质。

余弦函数的反函数为反余弦函数，可以表示为y=cos⁻¹x，其中定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。

三、正切函数正切函数是对角的正切值的表示，它的定义是指对边与邻边的比值。

正切函数的定义域为实数集合中除以π的奇数倍的数，其值域为实数集合。

正切函数的图像是一条以π/2为周期的振荡曲线，不存在振荡幅度的上限和下限。

正切函数的反函数为反正切函数，可以表示为y=tan⁻¹x，其中定义域为实数集合，值域为(-π/2,π/2)。

四、余切函数余切函数是对角的余切值的表示，它的定义是指邻边与对边的比值。

余切函数的定义域为实数集合中除以π的奇数倍的数，其值域为实数集合。

余切函数的图像也是一条以π为周期的振荡曲线，不存在振荡幅度的上限和下限。

余切函数的反函数为反余切函数，可以表示为y=cot⁻¹x，其中定义域为实数集合，值域为(0,π)。

1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》一、教学目标1．知识与技能目标（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用．2.过程与方法目标（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想．（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3．情感、态度、价值观目标在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．二、教学重难点教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用.难点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.三、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法结合多媒体课件四、教学过程（一）问题引入【投影展示】问题１：初中我们学过锐角 的正弦函数与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？借助右图直角三角形，复习回顾. sin s rαα==的对边斜边，cos h rα=＝α的邻边斜边．问题２：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，那么该比值会随着三角形的大小而改变吗？为什么？（根据相似三角形的知识可知该比值不会发生改变）（二）新知探究我们所学角的范围已经扩充到任意角，如果角α为任意角，显然初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足我们的需求，我们必须重新定义正弦函数、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨．【投影展示】问题3：如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点(,)P u v ，你能求出sin α与cos α的值吗？该值与点P 的坐标有什么关系呢？由学生自己探究，得出结论，sin v v rα==，cos uu rα==． 归纳总结：一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点(,)P u v ，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作cos u α=．通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，则得到任意角的正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =．【投影展示】问题4：在上述定义中，正、余弦函数的定义域与值域分别是什么？说明：x 表示角的大小，故可为全体实数，而在单位圆中显然[1,1]y ∈-，故值域为[1,1]-．【投影展示】问题5 如果知道角终边上一点P ,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?（由学生探讨）说明：三角函数的值与点(,)P x y 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.根据三角形相似对应边成比例可知，我们只需计算点(,)P x y到原点的距离r =,那么sin y rα==cos x rα=＝．因此任意角的正弦函数与余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.【投影展示】问题6 当角α分别在第一、第二、第三、第四象限时，你能确定角α的正弦函数值、余弦函数值的正负吗？完成课本P14页表格．三角函数说明：正弦函数符号与所在象限记忆法则，从函数出发来记，“正弦上为正，余弦右为正，正切一、三正”；也可以从象限出发来记忆，即“一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正”．（三）新知应用【投影展示】例1在直角坐标系的单位圆中，4πα=-，（1）画出角α；（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值．（课本P14页例1）分析：只需求出交点坐标，套用定义即可求解． 变式训练1判断65sinπ与65cos π的符号，并通过计算进行验证． 【投影展示】例2已知角α终边上一点(3,2)P -，求角α的正弦函数值、余弦函数值．分析：该点并不是角的终边与单位圆的交点，所以应先计算||r OP =，再利用sin y r α=，cos xrα=求解．解：r ==所以siny r α===，cos x r α=== 【投影展示】变式训练2已知角α终边上一点(2,3)(0)P a a a -≠，求角α的正弦函数值、余弦函数值．【投影展示】变式训练3已知角α终边与直线1(0)3y x x =≤重合，求角α的正弦函数值、余弦函数值．若去掉“0x ≤”这个条件呢？说明：变式2中由于未注明a 的正、负，故需分情况讨论，旨在让同学们学会分类讨论思想，而变式3中并没有给出终边上一点的坐标，需要自己任意选取一特殊点的坐标求解，也可以作出单位圆与该射线或直线的交点，借助方程组的思想求出交点坐标，套用定义求解．（四）反思升华由学生自己从以下三方面进行反思小结，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节：①本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？ ②你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? ③正弦函数与余弦函数的定义在应用时应注意什么呢？ （五）作业布置【投影展示】课本P16页练习3，4，5填书上，P20页A 组1，3，做作业本上．补充作业：已知角α终边与直线2y x =重合，求sin cos αα+的值． （六）板书设计五、教学反思本节课整体效果是不错的，从熟知的初中的锐角三角函数到高中的任意三角函数，从旧知识到新知的扩展，对学生来讲较容易接受．课堂中的变式训练也使新知识能够以充分的应用，锻炼了学生的思维能力、考虑问题周密性，整节课学生始终处于探索与应用中．。

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
正弦函数：
1、正弦函数又称三角函数之一，用来描述某个角（通常用弧度制来表示）对应的正弦值。

其定义为：sinθ=y/r，其中θ是一个角、y表示线
段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，r为OP线段
的长度。

2、正弦函数在数学和科学研究中被广泛使用，可以描述很多自然现象，如波形、格林函数、化学反应的振荡及循环等。

3、由于定义中引入了角θ，因此正弦函数也被称为周期函数，其拥有
可预测的周期性，其周期性就受到了角θ的周期性所控制，其周期
T=2π/θ。

余弦函数：
1、余弦函数也是三角函数之一，与正弦函数正交，从定义上来看：
cosθ=x/r，其中θ是一个角、x表示线段OP（P是原点O与某角θ之间
所成的角）的水平宽度，r为OP线段的长度。

2、余弦函数也被人们广泛使用，用来描述很多自然现象，如电磁场的
振荡、微波加热、声反射、图像处理、建筑设计、数控加工中的刀具
轨迹等。

3、余弦函数具有预测的可重复性，其周期T=2π/θ。

正切函数：
1、正切函数也可以称为三角函数之一，定义为：tanθ=y/x，其中θ是一个角，y表示线段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，x为OP线段的水平宽度。

2、正切函数也被广泛应用于数学和科学研究中，可以用来描述很多自然现象，如太阳辐射、抛物线分布、圆周运动及天文学等。

3、正切函数也具有可预测的周期性，其周期T=2π/θ。

任意角的正弦函数、余弦函数的定义
重点分析:
本节课的重点是任意角的三角函数的定义．学生初中已经学过锐角的三角函数，是在直角三角形中定义的．从锐角到任意角是思维的一个跳跃，学生理解起来有一定的难度．不过两者都是比值，把直角三角形放入直角坐标系中联系起来讲，对学生来讲就比较容易理解了．
突破重点的方法:
先复习初中学过的三角函数的定义，为学生学习新的定义作准备．再把直角三角形放入直角坐标系中，讨论三角函数的定义，先锐角，再钝角，然后到任意角的三角函数定义．发现我们可以脱离直角三角形来重新定义三角函数，并让学生从中体会到新的定义适用于任意角．。