第十四讲 综合性问题

第十四讲 必胜策略一、周期性1、必胜策略（抢最后一个） 总数-（最少+最多）=组数...余数 无余数：对方先报，然后和对方凑整 有余数：先把余数报掉2、必输策略 抢倒数第二个 二、对称性1、数量相等，跟着对方报2、数量不等，先报完两者之差知识点总结——李晨老师例题精讲例1、地上有20个小石子，凯奥斯、夸父二人轮流每次取走1-2个，规定谁取走最后一个石子谁获胜。

凯奥斯想获胜，应该先取还是后取，怎样取？解析：这道题目用到周期性游戏中的必胜策略。

列算式20÷（1＋2）＝6（组）……2（个）。

发现有余数，先取获胜。

凯奥斯想获胜，必须自己先取两个，后面每次跟夸父凑3就可以了。

具体：当夸父取一个，凯奥斯就取两个，当夸父取两个，凯奥斯就取一个。

例2、地上放着80个贝壳，武西、凯奥斯二人轮流每次取走1-9个。

规定谁取走最后一个贝壳谁获胜。

如果双方采用最佳方法，凯奥斯先取，那么谁将获胜？解析：这道题目仍然用到周期性游戏中的必胜策略。

列算式80÷（1＋9）＝8（组）。

发现没余数，后取获胜。

凯奥斯先取，因为双方采用最佳方法，所以无论凯奥斯取什么，武西每次都会跟凯奥斯凑10，武西必胜。

15×3＝45（米）例3、树上有19个柿子，薇儿和凯奥斯二个人轮流摘下1-2个。

谁摘走最后一个柿子谁就输。

如果薇儿想获胜，应该怎么取？解析：这道题目用到周期性游戏中的必输策略。

因为最后一个柿子留给对方必胜，所以先把它除去，总个数（19-1）÷（1+2）=6（组），无余数后取获胜。

让凯奥斯先取，薇儿每次跟着凯奥斯凑3，这样必然最后一个留。

49 271.（1）A 、B 两位同学轮流报数：4、5、6、7、8、9、10、11、12，规定每次只能报1-2个数，谁先报到12谁就赢。

A 想赢，怎么报数？（2）M 、N 两位同学轮流报数：3、6、9、12、15、18、21、24，规定每次只能报1-2个数，谁先报到12谁就赢。

第十四讲工程问题综合提高本讲知识点汇总：1.工程问题基本公式：工作量=工作效率×工作时间；工作时间=工作量÷工作效率；工作效率=工作量÷工作时间．2.理解“单位1”的概念并灵活应用；3.有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系；工作量其实是一种分率，利用量率对应可以求出全部工作的具体数量．典型题型1.基本效率计算：最常见的工程问题，基本思路是根据工作过程计算效率，通过对效率的分析计算时间．（1）基本工程问题：关键在于效率的计算；（2）中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；（3）来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间，再根据总时间算每个人具体的工作安排；2.具有周期性的工程问题（1）轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量，再独做处理零头，即剩余的工作量；（2）间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理；3.工程问题中的比例（1）正反比的应用：关键要明确“什么是不变的”，从而知道该用何种比例；（2）效率变化：类似于行程问题中的变速问题，需要从变速点分段计算；4.水管问题和牛吃草问题（1）牛吃草问题型：设效率，比较总量；（2）水管问题型：注意有“帮倒忙”的水管．例1．生产一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．现由甲先单独工作5天，再由乙单独工作3天后还剩这批帽子的34没完成．若甲每天比乙少加工4个帽子，则这批帽子共有多少个？「分析」题中已知甲、乙的工效和，那么就应想办法让甲、乙同时工作，不妨采用假设的工作方式分析题目．练习1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成．现在两队合作，期间甲队休息了2天，乙队休息了8天．开始到完工共用了多少天时间？例2．A仓库货物是B仓库的2倍，甲搬运A仓库需要32小时，乙、丙搬运B仓库分别需要24小时和12小时．甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两仓库货物同时搬完．丙帮助甲搬了多少小时？「分析」总的工作量是已知的，工作效率的和也知道，在整个工作的过程中没有人休息，那么，我们可以求出工作时间．练习2、墨莫带着阿呆和阿瓜去割草．单独割完一个草地的草，阿呆需要9个小时，阿瓜需要12个小时，墨莫只需要18个小时就行．现在阿呆和阿瓜各自负责一个大小相同的草地．墨莫先帮助阿瓜，一会去帮助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任务，那么墨莫共帮助阿呆割了多少个小时？例3．小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务，若由这3人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时．（1）如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？（2）如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打1小时，那么需要多少小时完成？「分析」（1）直接计算即可；（2）分析可得每3个小时可以作为一个周期，那么在完成工作的过程中需要多少个整周期哪？练习3、一个水池有两根进水管，单开甲管12小时注满，单开乙管15小时注满，现在甲乙管轮流打开，甲管打开1小时，乙管打开1小时，甲管打开1小时，乙管打开1小时……重复交替下去，那么注满水池共需要多少小时？例4．甲工程队每工作6天必须休息1天，乙工程队每工作5天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息），如果两队合作，从2012年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？「分析」分析可得两个工程队都是每7天为一个周期，那么一个周期内它们完成的工作量分别是多少呢？练习4、姜太公“三天打鱼两天晒网”（打三天鱼休息两天），周文王“四天打鱼一天晒网”，姜太公打满一缸鱼要38天，周文王打满同样的一缸鱼要37天，两人从2012年9月2号开始打鱼，在几月几号可以合打满一缸鱼？例5．一批蜘蛛侠模型，做了后，提速25%，提前3小时完成任务；如果做了400个模型后，提速20%，可以提前2小时完成任务，那么这批模型有多少个？「分析」不妨画出一个类似行程问题的线段图来分段分析本题．例6．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要上升20%．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？「分析」在解决某些工程问题时列方程是个不错的选择．智慧的结晶——《梦溪笔谈》宋代是中国古代数学最辉煌的时期之一．北宋大科学家沈括的名著《梦溪笔谈》中，有10多条有关数学的讨论，内容既广且深，堪称我国古代数学的瑰宝．沈括最重要的数学探讨是隙积术和会圆术．隙积术在我国数学史上开辟了高阶等差级数求和的研究领域．所谓“隙积”，指的是有空隙的堆积体、例如酒店中堆积的酒坛、叠起来的棋子等，这类堆积体整体上就像一个倒扣的斗，与平截头的长方锥（刍童）很像．但是隙积的边缘不是平的，而中间又有空隙，所以不能照搬刍童的体积公式．沈括经过思考后，发现了正确的计算方法．他以堆积的酒坛为例说明这一问题：设最上层为纵横各2个坛子，最下层为纵横各12个坛子，相邻两层纵横各差1坛，显然这堆酒坛共11层；每个酒坛的体积不妨设为1，用刍童体积公式计算，总体积为，酒坛总数也应是这个数．显然，酒坛数不应为非整数，问题何在呢？沈括提出，应在刍童体积基础上加上一项“”即为，酒坛实际数应为．加上去的这一项正是一个体积上的修正项．在这里，沈括以体积公式为基础，把求解不连续的个体的累积数（级数求和），化为连续整体数值来求解，可见他已具有了用连续模型解决离散问题的思想．会圆术是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式，主要思想是局部以直代曲．沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式，求出弧长，这便是会圆术公式．沈括得出的虽是近似公式，但可以证明，当圆心角小于45°时，相对误差小于2%，所以该公式有较强的实用性．这是对刘徽割圆术以弦（正多边形的边）代替圆弧思想的一个重要佐证，很有理论意义．后来，郭守敬、王恂在历法计算中，就应用了会圆术．在《梦溪笔谈》中，沈括还应用组合数学法计算得出围棋可能的局数是3361种，并提出用数量级概念来表示大数3361的方法．沈括还在书中记载了一些运筹思想，如将暴涨的汴水引向古城废墟来抢救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、运输，最后又将建筑垃圾填河成路的方法来修复皇宫等．沈括对数的本质的认识也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真数．”显然他否定了数的神秘性，而肯定了数与物的关系．他还指出：“然算术不患多学，见简即用，见繁即变，乃为通术也．”作业1.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，现在由两队合作，其间乙队休息了若干天，从开始到完工共用了14天，那么乙队休息了多少天？2.一项工作由甲先做6小时，再由乙做12小时即可完成，如果甲先做8小时，乙再做6小时也可完成．如果甲先做3小时，则乙还需要做几小时？3.某工程可由若干台机器在规定的时间内完成．如果增加2台机器，则需要用规定时间的就可完成；如果减少2台机器，那么就要推迟小时完成．问由一台机器完成这项工程需要多少小时？4.草场上放有一堆草，并且还有一片草以均匀的速度生长着，如果放养8头牛，则10天可以吃完；如果放养10头牛，则6天可以吃完，那么如果放养15头牛，可以吃几天？5.搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时．现有两个相同的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，那么丙帮助甲几小时，帮助乙几小时？第十四讲 工程问题综合提高例7．答案：240． 详解：由已知条件可知甲乙工作效率和为115，而甲工作5天加上乙工作3天相当于甲乙合作三天后甲又独自工作了2天，所以甲的工作效率为311(13)241540--⨯÷=，进而可知乙的工作效率为111154024-=，所以这批帽子共有114()2402440÷-=个．例8． 答案：12 详解：在整个过程中甲、乙、丙均没有停止，一直在工作，所以可以从整体上考虑这类型的题目；小时，对于A 仓库：甲搬了，丙帮甲搬了小时．例9． 答案：（1）；（2）详解：三人的工作效率之和为． （1）三人同时工作时所需的时间为；（2）三人依次各做1小时，也就是周期是3小时的周期性合作，且每个周期可完成．而，，小时，即轮流工作6个周期后，鹿又工作了1个小时，羊又工作了小时，所以共需要：小时．例10． 答案：10月12日详解：把工程总量看作单位“1”，因为1047146=⨯+，所以甲工作一天可完成11614690=⨯+；因为827115=⨯+，所以乙工作一天可完成11511560=⨯+．甲乙两人合作周期性工作，每7天完成的工作量为11365906020⨯+⨯=，则经过6个周期后还剩余的工作量为31162010-⨯=，而甲乙合作一天可完成111906036+=，所以4>111810365÷=>3，因此所需的时间为67446⨯+=，由于 8月有31日，所以8月份工作了4天，而4643012=++，因此要到10月12日方可完工．例11．答案：1000详解：第一次提速前后的工作效率比是4:5，工作时间比是5:4，所以完成整个工作需要小时，第二次提速前后的工作效率比是5:6，工作时间比是6:5，所以400个模型需要8个小时，那么这批模型有1000个．例12．答案：10详解：由题意可知，晴天甲效率112，乙效率118；雨天时甲效率120，乙效率115，假设共有x个晴天，y 个雨天，则可列出方程：1122011815x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得610xy=⎧⎨=⎩，所以雨天有10天．练习：练习1、答案：11简答：甲的工作效率是，乙的工作效率是，期间甲队休息了2天，乙队休息了8天，相当于甲和乙一起休息2天后，乙又独自多休息了6天，此时甲独自完成了，剩下的由甲和乙同时完成，所用的时间为天，所以共用：天．练习2、答案：2简答：在整个过程中三人没有停止，一直在工作，所以总的工作量除以总的工作效率可得总的工作时间为小时，因此墨莫共帮助阿呆割了小时．练习3、答案：小时简答：两人各做1小时，周期是2小时，两人合作一小时的工作量是，而，剩余的工作量就是，，共需要小时．练习4、答案：9月19号简答：两人都是5天一周期，姜太公打满一缸鱼相当于实际工作的天数是24天，周文王实际工作天数是30天，所以一周期效率和是，所以共三个周期15天，而剩下的工作量是，恰好需做天，所以总共要打18天，所以是9月19号．作业1. 答案：5简答：首先把这项工程的工作量看作单位“1”，则甲、乙的工作效率分别为120、130．设乙队休息了x 天，由已知条件可得：1114+(14)12030x ⨯-=，解得5x =．2. 答案：21简答：在工作总量不变的情况下，甲工作6小时、乙工作12小时或甲工作8小时、乙工作6小时都可完成，对比前后两种情况可知当甲多工作862-=个小时，乙少工作了1266-=个小时，即甲1个小时的工作量由乙来做要3个小时．因此当甲由原来工作6小时变为工作3小时后，乙要比原来多工作9小时，所以乙需要做21小时．3. 答案：56简答：增加2台机器后只需用规定时间的78就可完成任务，把规定时间分为8份，即原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成了，由反比关系可知原来有72141⨯=台机器；减少2台机器剩余的12台机器要多工作23小时，则原来计划的工作时间为212243⎛⎫⨯÷= ⎪⎝⎭小时，因此14台机器要用4个小时完成，所以一台机器要56个小时完成．4. 答案：3简答：设一头牛一天吃一份草，8头牛吃了10天，即吃了80份草；10头牛吃了6天，即吃了60份草，前后两种情况多出来的20份草是因为第一种情况下比第二种情况草多长了4天，即草每天长5份，所以原来有81051030⨯-⨯=份草．所以15头牛要吃303155=-天．5. 答案：3、5简答：因为自始至终三人都在同时工作，且共完成的工作总量为“2”，所以所需的总时间为1112()8101215÷++=小时，所以丙帮甲11(18)31015-⨯÷=小时，丙帮乙835-=小时．。

小三奥数第十四讲还原问题小三奥数第十四讲还原问题第1四课修复1、小明的哥哥说：“把我的年龄减去2，除以5，加上8，乘上6，正好是72。

”同学们，你们知道小明的哥哥今年多少岁吗？2.一个数字加6，乘以6，减去6，最后除以6，结果仍然是6。

这个号码是多少？3、一根绳子用去了全长的一半少5米，还剩下了56米，这根绳子原来长多少米？道路小组计划在四天内完成一条道路的修建。

总长度的一半在第一天修复，剩余的一半在第二天修复，剩余的一半在第三天修复，160米在第四天修复。

刚刚结束。

这条路的总长度是多少米？5、小红、小青、小宁都喜爱画片。

如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数将同样多。

已知他们三人共有150张画片，他们三人原来各有多少张画片？实践：一、一个数加上5，除以7，再加上10最后减去5，结果是8，这个数是多少？2.将一个数字的6到4倍相加，减去10，再乘以2得到88，然后找到这个数字。

3、一条公路已经修了全程的一半少12米，还剩下52千米，这条公路共有多长？4.小明看书。

第一天，他读了整本书的一半，第二天，他读了剩下的一半，第三天，第四天，他读了40页。

刚读完，这本书有几页？综合练习：一.一个数字减去16加24再除以7得到36。

这个号码是多少？2、一位老师的年龄加上5，乘以3，再减去40，乘以2，结果正好是100岁，你知道这位老师的年龄是多少岁吗？3.当有人取款时，他第一次取款一半，第二次取款一半。

此时，剩下1200元。

此人的原始存款有多少元？四、四个小朋友共有彩色玻璃弹子100粒。

甲给乙3粒，乙给丙5粒，丙给丁6粒，丁给甲7粒，这样四个人的弹子的粒数相等。

四个小朋友原来各有弹子多少粒？5.将绳子总长度的一半以上剪掉2米，然后剪掉剩下的一半，留下10米。

绳子有多长？6、有26个桃子，甲猴眼急手快，抢先得到一部分，乙猴看甲猴拿得太多，就从甲猴手中抢去一半，甲猴不服，又从乙猴手中抢走一半，乙猴不肯，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴的桃子比甲猴的桃子多2个。

第十四讲综合与运用授课讲师：施华————————————————————————————————————————————一、知识补充：1．综合题主要来源于生活、生产与科研的实践，有实际应用价值2．试题具有开放性特点3．关注化学和相关学科知识的结合部二、考试真题：（2007北大）大气中CO2等气体含量增加会导致温室效应已引起广泛关注。

请回答下列问题：（1）用酿造C2H5OH作燃料，不会增加大气中CO2含量。

为什么？（2）请解释为何天然气（主要成分：CH4，燃烧热892kJ·mol-1）与煤（主要成份：C，燃烧热394kJ·mol-1）相比是“清洁燃料”？（2008年交大）可燃冰又叫“天然气水合物”，是天然气在00C和30atm作用下结晶而成的“冰块”。

它是一种由水分子和碳氢气体分子组成的结晶状固体简单的化合物。

通常是由甲烷分子进入冰晶体的结构中形成的。

“冰块”中的甲烷占80%~99.9%，可直接点燃，有学者称其为“21世纪能源”或“未来能源”，从上述的描述中你得到了怎样的启示（从可燃冰的形成和利用角度考虑）。

（2007交大）请用勒沙特列原理举两个例子解释生活或工业生产中常见的化学现象。

三、仿真训练：1．粗食盐的杂质主要是MgCl2。

工业上常把粗盐粉碎后用饱和食盐水浸洗，再过滤出食盐。

对此，下面的评论正确的是A、浸洗前后，被浸洗的食盐中MgCl2的含量基本不变。

B、浸洗前后，食盐水中NaCl的浓度基本不变C、浸洗用过的饱和食盐水可以无限次地使用下去D、粉碎颗粒的大小影响浸洗后盐中MgCl2的含量2．仅由硼氢两种元素组成的化合物称硼烷，它的物理性质与碳烷相似。

下列说法中正确的是A、乙硼烷B2H6，丁硼烷B4H10的密度，分别比乙烷、丁烷的密度小（均为气态）B、乙硼烷的熔点、沸点分别比丁硼烷的熔点、沸点高C、硼烷容易燃烧D、与乙烷、丁烷相比，乙硼烷、丁硼烷的热稳定性更高3．液氨能溶解碱金属，形成的稀溶液是蓝色的导电性很强的溶液，颜色来自于生成了电子氨合物e(NH3)n，放置一段时间后，蓝色会逐渐褪去。

第十四讲 期末考试综合（一）第一部分 知识梳理 一、整式及乘法公式1．幂的相关概念（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即nm nmaa a +=⋅（m 、n 都是正整数）（2）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。

即()mn n m a a =（m 、n 都是正整数）（3）积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn nb a ab =（n为整数）2．平方差公式及完全平方公式 （1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b2二、因式分解1．提公因式法（1）确定公因式的方法：①对于数字系数:若是整数系数，取各项系数的做大公约数作为公因数系数；②对于字母：一是取各项相同字母；二是各相同字母的指数取其次数最低的。

（2）提取公因式法：步骤：①找出公因式；②第二步提公因式并确定另一个因式．（提公因式时利用多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式，也可以用公因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式．）2．平方差公式（1）字母表示：))((22b a b a b a -+=-，其中，a 、b 可以是单项式，也可是多项式。

（2）特点：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积．3．完全平方公式（1）字母表示：222)(2b a b ab a ±=+±两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

(2)特点：左边是三项式，首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的 2 倍，符号正负均可；右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方．（其中 a 、b 可以是单项式，也可以是多项式）。

4．十字相乘法对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”。

点拨中考思想品德第14课时人口、资源、环境与可持续发展战略考点一人口现状与计划生育基本国策命题点1：我国人口现状的特点(1)基本特点：人口基数大，新增人口多，人口素质偏低。

(2)其他特点：农村人口多，人口老龄化的速度加快，人口分布不平衡，男女性别比失衡等。

命题点2：我国人口形势严峻带来的影响(1)给资源和环境带来了沉重的负担。

(2)就业压力越来越大。

(3)影响人民生活水平的提高。

(4)影响经济增长的速度和规模，影响综合国力的增强。

(5)制约着经济社会的可持续发展。

命题点3：如何更好地解决我国面临的人口问题(1)继续坚持计划生育的基本国策，控制人口数量，提高人口素质。

(2)坚持以经济建设为中心，大力发展生产力，不断满足人民日益增长的物质文化需要。

(3)坚持改革开放，大力实施科教兴国和人才强国战略，提高整个中华民族的科学文化素质。

(4)坚持节约资源和保护环境的基本国策和实施可持续发展战略，全面落实科学发展观，解决我国因人口过多和过快增长带来的其他社会问题。

命题点4：实行计划生育的原因有哪些(1)人口过多和过快增长，直接影响我国经济的发展和人民生活水平的提高，影响我国人口素质的提高。

(2)只有严格控制人口的过快增长，实行计划生育，使人口发展与经济社会发展相适应，才能保证社会主义现代化宏伟大业的顺利实现。

(3)实行计划生育，是从我国社会主义初级阶段的国情出发制定的一项基本国策，也是我国目前条件下解决人口问题的唯一正确的选择。

命题点5：为什么要正确处理人口、资源、环境与经济发展之间的关系人口、资源、环境与经济发展之间的关系是相互作用、相互影响、相互制约的。

人口增长过快，对物质资料的需求和消耗随之增大，就会造成资源的过度消耗和环境的破坏；而资源的过度消耗和环境的破坏，又会阻碍经济的发展，危害人类的生存和发展。

正确处理好人口、资源、环境与经济发展之间的关系，就要走可持续发展之路。

考点二资源环境现状、节约资源和保护环境的基本国策命题点1：我国目前的资源现状及影响【冷点】[2015，T6](1)现状：自然资源总量大、种类多，但人均资源占有量少、开发难度大、总体上资源紧缺。

假期培优第十四讲：浮力相关实验问题1．请你只利用图中的器材，测量塑料块（密度小于水的密度，水的密度已知）的密度（1）简要写出实验步骤_____；（2）塑料块的密度ρ塑＝_____（用题目所给及所测出的物理量表示）。

2．小海利用浮力的知识测出了他家里所用瓷碗的密度。

第一次如图甲所示，他向自制溢水杯中注满水，然后让瓷碗漂浮在水面上，用电子秤测出排开水的质量是m1；第二次如图乙所示，他向溢水杯中注满水，然后让瓷碗沉入水底，用电子秤测出排开水的质量是m2，根据测量的物理量和已知水的密度ρ水，可得到瓷碗密度的表达式为ρ=_______。

3．小明清洗甜瓜时发现它漂浮在水面，此时甜瓜受到的浮力的大小______（选填“大于”、“小于”或“等于”）重力，小明想知道甜瓜的密度，于是将甜瓜放入盛满水的溢水杯中，静止时溢出水410mL，再使甜瓜向下浸没在水中，又溢出水25mL，甜瓜的密度为_________g/cm3。

4．小南利用如图甲所示的探头进行了液体压强和浮力的综合探究。

(1)探头下端的橡皮膜形变程度越大，说明它所受的液体压强越______。

(2)图乙是实验的情形，比较A、B两图，得出：液体内部的压强与液体的______有关；比较______两图，得出：液体内部的压强与液体的密度有关；(3)小南用弹簧测力计挂着此探头继续探究，如图丙所示，先在溢水杯内装满水，然后将探头浸没溢水杯中，此时弹簧测力计的示数为______N，探头所受的浮力为____N。

(4)粗心的小明在做丙图实验时，溢水杯里的水未装满，则他所测探头受的浮力与小南相比将______（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）。

5．测量苹果的密度（1）方法一：用天平测得苹果的质量为160g，若苹果的体积为200cm3，则苹果的密度为______g/ cm3。

（2）方法二：①将苹果轻放入装满水的溢水杯中，静止时，苹果漂浮在水面上，测得从杯中溢出水的体积为V1；那么苹果质量的表达式m＝______（已知水的密度为ρ水）②再用细针缓缓地将苹果全部压入水中，从杯中又溢出了体积为V2的水。

四年级奥数讲座（二）目录第一讲乘法原理第二讲加法原理第三讲排列第四讲组合第五讲排列组合第六讲排列组合的综合应用第七讲行程问题第八讲数学游戏第九讲有趣的数阵图（一）第十讲有趣的数阵图（二）第十一讲简单的幻方及其他数阵图第十二讲数字综合题选讲第十三讲三角形的等积变形第十四讲简单的统筹规化问题第一讲乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：注意到 3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．例1某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？分析某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）．其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法．故可以由乘法原理解决．解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有3×5=15种不同的方法．补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？分析甲虫要从A点沿线段爬到B点，必经过C点，所以，完成这段路分两步，即由A到C，再由C到B．而由A到C有三种走法，由C到B也有三种走法，所以，由乘法原理便可得到结论．解：这只甲虫从A到B共有3×3=9种不同的走法．例3书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？分析要做的事情是从外语、语文书中各取一本．完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法），再取一本语文书（有4种取法）．(或先取语文书，再取外语书．）所以，用乘法原理解决．解：从架上各取一本共有6×4=24种不同的取法．例4王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？分析三人报名参加比赛，彼此互不影响独立报名．所以可以看成是分三步完成，即一个人一个人地去报名．首先，王英去报名，可报4个项目中的一项，有4种不同的报名方法．其次，赵明去报名，也有4种不同的报名方法．同样，李刚也有4种不同的报名方法．满足乘法原理的条件，可由乘法原理解决．解：由乘法原理，报名的结果共有4×4×4=64种不同的情形．例5由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成3×4×4=48个不相等的三位数．②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，由乘法原理，共有3×3×2=18个没有重复数字的三位数．解：由乘法原理①共可组成3×4×4=48（个）不同的三位数；②共可组成3×3×2=18（个）没有重复数字的三位数．例6由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．解：由1、2、3、4、5、6共可组成3×4×5×3=180个没有重复数字的四位奇数．例7右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决．解：由乘法原理，共有16×9×4×1=576种不同的放法．例8现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取，共9种取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．由乘法原理，共有9×4=36种情形，但注意到，要求“至少取一张”而现在包含了一张都不取的这一种情形，应减掉．解：取出的总钱数是9×4-1=35种不同的情形．习题一1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？习题一解答1．3×2×4=24（种）．2．1×4×3=12（个）．3．90×9=810（个）．4．4×4×3×2×1=96（种）．5．①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；⑤1×3×6=18（个）．6．9×10×10×10×10×10=900000（部）．第二讲加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法．这就是加法原理．例1学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？分析在这个问题中，小明选一本书有三类方法．即要么选外语书，要么选科技书，要么选小说．所以，是应用加法原理的问题．解：小明借一本书共有：150+200+100=450（种）不同的选法．例2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？分析①中，从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法．所以是加法原理的问题．②中，要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题．解：①从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种），不同的取法．②从两个口袋中各取一个小球共有3×8=24（种）不同的取法．补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例3如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法．第一类，由甲地途经乙地到丙地．这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有4种走法；第二步从乙地到丙地共2种走法，所以由乘法原理，这时共有4×2=8种不同的走法．第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有3种不同的走法．解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：4×2+3=11（种）不同的走法．例4如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．例5有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．第一类，两个数字同为奇数．由于放两个正方体可认为是一个一个地放．放第一个正方体时，出现奇数有三种可能，即1，3，5；放第二个正方体，出现奇数也有三种可能，由乘法原理，这时共有3×3=9种不同的情形．第二类，两个数字同为偶数，类似第一类的讨论方法，也有3×3=9种不同情形．最后再由加法原理即可求解．解：两个正方体向上的一面同为奇数共有3×3=9（种）不同的情形；两个正方体向上的一面同为偶数共有3×3=9（种）不同的情形．所以，两个正方体向上的一面数字之和为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形．例6从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4．三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有3×9×9=243个三位数．由于500也是一个不含4的三位数．所以，1～500中，不含4的三位数共有3×9×9+1=244个．解：在1～500中，不含4的一位数有8个；不含4的两位数有8×9=72个；不含4的三位数有3×9×9+1=244个，由加法原理，在1～500中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324（个）不含4的自然数．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个．这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．例7如下页左图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析观察下页左图，注意到，从A到B要一直向右、向上，那么，经过下页右图中C、D、E、F四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也就是说从A到B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F的路线．第一类，经过C的路线，分为两步，从A到C再从C到B，从A到C有2条路可走，从C到B也有两条路可走，由乘法原理，从A经C到B共有2×2=4条不同的路线．第二类，经过D点的路线，分为两步，从A到D有4条路，从D到B有4条路，由乘法原理，从A经D到B共有4×4=16种不同的走法．第三类，经过E点的路线，分为两步，从A到E再从E到B，观察发现．各有一条路．所以，从A经E到B共有1种走法．第四类，经过F点的路线，从A经F到B只有一种走法．最后由加法原理即可求解．解：如上右图，从A到B共有下面的走法：从A经C到B共有2×2=4种走法；从A经D到B共有4×4=16种走法；从A经E到B共有1种走法；从A经F到B共有1种走法．所以，从A到B共有：4+16+1+1=22种不同的走法．习题二1．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？4．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？5．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？6．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？习题二解答1．3×3+2×4=17（种）．2．6+7+15+21+6×7=91（种）．提示：拿两本的情况分为2本画报或2本书或一本画报一本书．3．（1）6；（2）10；（3）20；（4）35．4．9+180+3=192（个）．5．8+8×8+3×8×8=264（个）．6．9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）．第三讲排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．例如某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间．问：应准备有多少种不同船票？分析这个问题，可以用枚举法解决，三个城市之间，船票有下面六种设置方式：如果不用枚举法，注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关，而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关，所以，要考虑共准备多少种不同的船票，就要在三个城市之间每次取出两个，按照起点、终点的顺序排列．首先确定起点站，在三个城市中，任取一个为起点站，共有三种选法．其次确定终点站，每次确定了一个起点站后，只能从剩下的两个城市之中选终点站，共有两种选法．由乘法原理，共需准备：3×2=6种不同的船票．为叙述方便，我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个，按照一定的顺序排成一列的问题．我们把每一种排法叫做一个排列（如天津——青岛就是一个排列），把所有排列的个数叫做排列数．那么上面的问题就是求排列数的问题．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≢n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≢n）元素的所有排列的个数，叫做从上面的问题要计算从3个城市中取出2个城市排成一列的排列数，就是一般地，从n个不同元素中取出m个元素（m≢n）排成一列的问题，可以看成是从n个不同元素中取出m个，排在m个不同的位置上的问题，而第一步：先排第一个位置上的元素，可以从n个元素中任选一个，有n种不同的选法；第二步：排第二个位置上的元素．这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法；第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法；…第m步：排第m个位置上的元素．由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素．这样，第m个位置上只能从剩下的[n-（m-1）]=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法．由乘法原理知，共有：n（n-1）（n-2）…（n-m+1）种不同的排法，即：这里，m≢n；且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘．例1解：由排列数公式知：例2有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？分析这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n=5，m=3．解：由排列数公式知，共可组成种不同的信号．补充说明：这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．例3用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？分析这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，且知n=8，m=5．解：由排列数公式，共可组成：例4幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？分析在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．解：由排列数公式，共有：种不同的坐法．例5幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？分析与例4不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．解：由排列公式，共有：种不同的坐法．例6有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）分析由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．解：由排列数公式，共可能有：种不同的拍照情况．例7 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？分析 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时n=4，m=4．解：由排列数公式知，共有。

（五年级）备课教员：×××第十四讲最优化问题一、教学目标： 1. 通过简单的生活事例，体会策略优化在解决实际问题中的作用。

2.经历探索解决问题的过程，体验解决问题策略的多样性，在寻找解决问题的最优方案过程中积累生活经验。

3.感受生活与数学的紧密联系，培养学生解决问题及寻找最优化方案的能力，使学生学会合理安排时间。

二、教学重点：体会解决问题策略的多样性。

三、教学难点：寻找解决问题的最优方案。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分钟)师：同学们，阿博士最近在学校里遇到了一些麻烦，但是他又忙不过来，所以打电话给卡尔，让卡尔帮助阿博士快速联系班里的54个同学。

【课件演示动画，可以让两个来学生读】师：聪明的卡尔想了一会儿就想出了方法。

同学们，你们想知道卡尔是怎么想出来的吗？生：想。

师：嗯，今天我们就来学习最优化问题。

在学完了这两个课程以后，相信同学们就知道卡尔是怎么解决问题了。

【课件展示课题：最优化问题】二、探索发现授课（40分钟）（一）例题一：（13分钟）有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车和小卡车每运一次的耗油量分别为10升和5升。

请问：如何选派车辆才能使耗油量最少？师：同学们，如题，要使耗油量最少是什么意思呢？生：用的油最少。

师：怎么样是油最少呢？生1：如果我们都用大卡车来运的话，看看用了多少油；然后再算如果都用小卡车运的话，用多少油；最后比比哪种车用的油多。

师：嗯，很好，还有吗？生2：我们可以直接用每运一次的耗油量除以载重量，然后比一比。

师：嗯，同学们这个方法和上个方法相比有什么优点吗？生：更方便。

师：对，更方便，我们可以直观的比较哪个车更省油，每运一吨的耗油量是多少，对不对。

生：对。

师：那我们就来比一比哪个车辆更省油一些。

【教师配合课件讲解】师：我们可以算出大卡车每吨的耗油量是2升，小卡车每吨的耗油量是2.5升，谁的耗油量少？生：大卡车。

第十四讲中考热点问题之四——方案设计问题（一）一、题型解读方案设计型试题是通过设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，运用数学知识设计恰当的解决方案，以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式。

二、试题特点方案设计型试题是近几年中考的热点问题之一，它贴近生活，具有较强的操作性和实践性，解决此类问题时，要注意先思考，后动手，防止盲目尝试，问题的结果不一定唯一，但必须符合实际情况，它有利于形成“动手实践、自主探索与合作交流”的新的学习方法。

三、解题策略方案设计型试题不仅要求学生有扎实的数学基础知识，而且能够把实际问题转化、抽象成具体的数学问题；它综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等．能与初中所学的重点知识进行联结．四、常见题型1. 设计测量方案，2. 设计作图、拼图方案3. 设计经济类方案，五、基础题目例 1 参加保险公司的医疗保险,住院治疗的病人享受分段报销,保险公司制定的报销细则如下表,某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元,那么此人住院的医疗费是(D)A.1000元六、能力提升（知识运用）1. 方程与不等式（组）型方案设计例1、（成华区2009～2010学年度上期期末质量测评九年级数学）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2007年底拥有家庭轿车64辆，2009年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2007年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率相同，试求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率；（2）若2010年该小区的家庭轿车拥有量的年平均增长率与2009年保持不变，在（1）的基础上预计该小区到今年年底家庭轿车将达到多少辆？（3）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？并写出所有可能的方案.即学即练：1. （05荆门市）某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位．⑴求中巴车和大客车各有多少个座位？⑵客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？2. 函数与不等式（组）型方案设计例2．（04河北省）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．3. 不等式（组）与函数型方案设计例3．（七中育才学校2009年１２月月考试题）某公司经营甲，乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14．5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元；且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲，乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．(1)该公司有哪几种进货方案?(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润? 最大利润是多少?(3)若用(2)中所求得的利润再次进货,请直接写出获得最大利润的进货方案?4. 方程型方案设计例4 .（05资阳）已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元．（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？（2） 若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由．即学即练：1.（2007广东梅州）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的速度是5km/h （上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．5. 函数与方程型方案设计例5（2007山东济宁）某小区有一长100m ，宽80cm 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如下，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m ，不大于60m ．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．（1）设一块绿化区的长边为xm ，写出工程总造价y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：732.13 )家庭作业科目______ 姓名___________ 作业等级_______ 第一部分：1、（09湖州）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.第二部分：(08山东济宁)2008年5月12日14时28分，我国四川汶川发生了8.0级的特大地震，给汶川人民的生命财产带来巨大损失．地震发生后，我市人民积极响应党中央号召支援灾区，迅速募捐了大量的药品、食品、帐篷等救灾物资，计划首批用某运输公司的20辆汽车运送200吨上述三种物资到地震灾区，每辆车只能装运同一种物资且必须装满．根据下表提供的信息，解答下列问题．（1）若装运药品的车辆数为x，装运食品的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种物资的车辆数都多于4辆，那么车辆安排方案有几种？写出每种安排安案；（3）若要使此次运输费用W/百元最小，应采用哪种方案，并求出最少运费．。