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4．3.1 对数的概念必备知识基础练1．下列说法正确的是( ) A ．因为12＝1，所以log 11＝2 B ．因为32＝9，所以log 39＝2 C ．因为(－3)2＝9，所以log －39＝2 D ．因为32＝9，所以log 92＝32．已知a 23＝5(a >0)，则log a 5＝( )A ．2B ．3C ．32D ．233．若log x 7y ＝z ，则( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7zC ．y ＝7xD ．y ＝z 7x4．若log x 127＝－3，则x ＝( )A ．81B ．181C ．13 D ．35．将指数式e 3＝n 化为对数式，其中正确的结果为( )A ．log3e ＝n B ．log n e ＝ 3C ．ln 3＝nD ．ln n ＝ 36．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是( ) A ．54＝625与log 4625＝5 B ．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2 C ．(12)－4＝16与log －416＝12D ．912＝3与log 93＝127．[2022·广东揭阳高一期末]若2x＝3，则实数x 的值为________． 8．计算：＝________．关键能力综合练1．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n的值为( )A ．12B ．16C ．6D ．182．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝93．已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则a b的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．5 D ．154．若f (10x)＝x ，则f (3)等于( ) A ．3 B ．103C ．310D ．lg 35．若2x＝6，log 443＝y ，则x ＋2y 的值是( )A ．3B ．13C ．log 23D ．－36．(多选)有以下四个结论，其中正确的有( ) A ．lg (lg 10)＝0 B ．lg (ln e)＝0 C ．若e ＝ln x ，则x ＝e 2D ．ln (lg 1)＝0 7．24＋log 25＝________．8．已知log 3(log 4x )＝0，log 2(log 3y )＝1，则x ＋y ＝________． 9．求下列各式中x 的值． (1)log x 64＝4； (2)ln e ＝－x ； (3)log 2[log 3(log 2x )]＝1.10．计算下列各式：核心素养升级练1．在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b <2或b >5 B ．2<b <5 C ．4<b <5 D ．2<b <5且b ≠42．若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．3．已知log 2[log 12(log 2x )]＝log 3[log 13(log 3y )]＝log 5[log 15(log 5z )]＝0，试比较x ，y ，z 的大小．4．3.1 对数的概念必备知识基础练1．答案：B解析：因为当a b＝N (a >0且a ≠1)时，b ＝log a N ，所以选项A 的底数为1，是错误的，选项C 的底数为负数，是错误的，32＝9的底数为3，所以化为对数后底数也应为3，所以B 正确，D 错误．2．答案：D解析：因为a 23＝5(a >0)，所以log a 5＝23.3．答案：B解析：由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，y ＝x 7z. 4．答案：D解析：因为log x 127＝－3，所以127＝x －3，即x 3＝27，所以x ＝3.5．答案：D解析：由a n＝m 有n ＝log a m ，结合题设，则有3＝ln n ． 6．答案：BD解析：对于A ，54＝625可化为：log 5625＝4，故不正确； 对于B ，10－2＝0.01可化为：lg 0.01＝－2，故正确； 对于C ，(12)－4＝16可化为：log 1216＝－4，故不正确；对于D ，912＝3可化为：log 93＝12，故正确．7．答案：log 23解析：因为2x＝3，所以x ＝log 23. 8．答案：7解析：(12)－log 27＝(2－1)－log 27＝2log 27＝7.关键能力综合练1．答案：A解析：由指对互化公式可知a m ＝2，a n ＝3，则a 2m ＝(a m )2＝4，a 2m ＋n＝a 2m ·a n＝4×3＝12.2．答案：A 解析：由题得2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.3．答案：A解析：由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故a b＝1. 4．答案：D解析：由10x ＝3，得x ＝lg 3.又f (10x)＝x ，所以f (3)＝lg 3. 5．答案：A解析：因为log 443＝y ，则4y ＝22y ＝43，所以，2x ＋2y ＝2x ·22y ＝6×43＝8＝23，故x ＋2y ＝3.6．答案：AB解析：lg (lg 10)＝lg 1＝0，lg (ln e)＝lg 1＝0，所以A ，B 均正确； C 中若e ＝ln x ，则x ＝e e，故C 错误； D 中lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D 错误． 7．答案：80 解析：因为24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80.8．答案：13解析：由log 3(log 4x )＝0得log 4x ＝1，得x ＝4， 由log 2(log 3y )＝1，log 3y ＝2，得y ＝32＝9. 所以x ＋y ＝4＋9＝13.9．解析：(1)由log x 64＝4可得x 4＝64，且x >0，所以x ＝2 2. (2)由ln e ＝－x 得e －x＝e ＝e 12，所以－x ＝12，x ＝－12.(3)由log 2[log 3(log 2x )]＝1得log 3(log 2x )＝2，所以log 2x ＝32，所以x ＝29＝512. 10．解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4. (2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34×3－1＋1＝43＋1＝73.核心素养升级练1．答案：D解析：由对数的意义得⎩⎪⎨⎪⎧b －2>05－b >05－b ≠1，解得2<b <5且b ≠4.所以实数b 的取值范围是2<b <5且b ≠4.选D.2．答案：108解析：因为正数a ，b 满足，2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，所以设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝x ，则a ＝2x －2，b ＝3x －3，a ＋b ＝6x，∴1a ＋1b ＝a ＋bab＝6x2x －2·3x －3＝62×3＝108.3．解析：由log 2[log 12(log 2x )]＝0， 得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，即x ＝212；同理y ＝313，z ＝515.∵y ＝313＝326＝916，x ＝212＝236＝816， ∴y >x .又x ＝212＝2510＝32110，z ＝515＝5210＝25110， ∴x >z ，∴y >x >z .。
4．3对数4．3.1对数的概念学习目标1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一 对数的有关概念 对数的概念：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N . 知识点二 对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x . 对数恒等式：log a Na＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．知识点三 对数的性质 1．1的对数为零． 2．底的对数为1. 3．零和负数没有对数．1．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ ) 3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × ) 4．若ln N ＝12，则N ＝⎝⎛⎭⎫12e .( × )一、指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)e a＝16；(4)1364-＝14；(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z (x >0且x ≠1，y >0)． 解 (1)log 214＝－2.(2)log 10100＝2，即lg 100＝2. (3)log e 16＝a ，即ln 16＝a . (4)log 6414＝－13.(5)32＝9. (6)x z ＝y .反思感悟 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4；(2)13log 27＝－3；(3)43＝64；(4)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.解 (1)由log 216＝4，可得24＝16. (2)由13log 27＝－3，可得⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(3)由43＝64，可得log 464＝3. (4)由⎝⎛⎭⎫14－2＝16，可得14log 16＝－2.二、利用对数式与指数式的关系求值 例2 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x .考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 解 (1)2233364(4)x --==＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以1111636662()8(2)2x x =====(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.反思感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练2 (1)计算log 927；的值； (2)求下列各式中x 的值： ①log 27x ＝－23；②log x 16＝－4.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33， ∴2x ＝3，x ＝32.设81x =，则x＝81,43x ＝34，∴x4＝4，x ＝16.(2)①∵log 27x ＝－23，∴2233327(3)x --==＝3－2＝19.②∵log x 16＝－4，∴x －4＝16，即x 4＝116＝⎝⎛⎭⎫124，∴x ＝12.三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)71log 57.x －＝考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)771log 5log 5777775.5x ÷÷－＝＝＝＝反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记． (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：log log .a NN a a N a N ＝，＝跟踪训练3 (1)设3(log 21)327x ＋＝，则x ＝ .答案 13(2)若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.1．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2B ．13log 9＝－2C ．13log (2)-＝9D ．log 9(－2)＝13答案 B解析 根据对数的定义，得13log 9＝－2，故选B.2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 C 3．方程3log 2x＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式与指数式的互化 答案 A 解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0B．138 ＝12与log812＝－13C．log39＝2与129＝3D．log77＝1与71＝7考点对数式与指数式的互化题点对数式与指数式的互化答案 C5．已知log x16＝2，则x＝.答案 4解析log x16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，又因为x>0且x≠1，所以x＝4.1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的性质．2．方法归纳：(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确说法的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点对数的概念题点对数的概念答案 C解析①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，a x＝N才能化为对数式．2．已知－ln e2＝x，则x等于()A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案 B解析因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2.3．若log a 5b＝c，则下列等式正确的是()A．b5＝a c B．b＝a5c C．b＝5a c D．b＝c5a 答案 B解析由log a 5b＝c，得a c＝5b，所以b＝a5c.4．下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2. 其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝e e.故只有①②正确．5．若log a3＝m，log a5＝n，则a2m＋n的值是()A．15 B．75 C．45 D．225考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析由log a3＝m，得a m＝3，由log a5＝n，得a n＝5，∴a2m＋n＝(a m)2·a n＝32×5＝45.6．＝.考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案8解析设81＝t ，则(3)t ＝81,23t ＝34，t2＝4，t ＝8. 7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝ .考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x ， ∴12x-＝()1322-＝18＝122＝24. 8．若对数log (x －1)(2x －3)有意义，则x 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x －1≠1，2x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ≠2，x >32，得x >32且x ≠2.9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116；(3)12log 8＝－3；(4)log 3127＝－3. 解 (1)∵53＝125，∴log 5125＝3. (2)∵4－2＝116，∴log 4116＝－2.(3)∵12log 8＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127.10．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得32a＝6，所以log 26＝3a .11．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3答案 B解析 由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3. 12.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72 C ．8 D.37答案 C解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫12－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.13．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝ . 答案 －3解析 由log (1－x )(1＋x )2＝1，得(1＋x )2＝1－x ， ∴x 2＋3x ＝0，∴x ＝0或x ＝－3.注意到⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，∴x ＝－3. 14．若x 满足(log 2x )2－2log 2x －3＝0，则x ＝ .答案 8或12解析 设t ＝log 2x ，则原方程可化为t 2－2t －3＝0， 解得t ＝3或t ＝－1，所以log 2x ＝3或log 2x ＝－1，所以x ＝23＝8或x ＝2－1＝12.15．若a >0，23a ＝49，则23log a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 因为23a ＝49，a >0， 所以a ＝3249⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫233， 设23log a ＝x ，所以⎝⎛⎭⎫23x ＝a .所以x ＝3.16．若12log x ＝m ，14log y ＝m ＋2，求x 2y 的值． 解 因为12log x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为14log y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4. 所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －(2m ＋4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.。
