用分式方程解决实际问题

分式方程与实际问题的技巧分式方程在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学、化学、工程学等领域中都有广泛的应用。

解决分式方程的问题需要一定的技巧和方法，本文将从以下几个方面介绍分式方程与实际问题的技巧。

一、理解分式方程的基本概念分式方程是指含有分式的方程，即等号两边至少有一个项是分式。

分式方程的一般形式为：A/B = C/D，其中A、B、C、D 均为整式，且B≠0。

二、分式方程的解法1. 消去分母法消去分母法是将分式方程转化为整式方程求解的方法。

具体步骤如下：（1）将分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验所得解是否为原分式方程的解。

2. 换元法换元法是将原分式方程中的未知数用另一个变量表示，从而将原分式方程转化为一个新的整式方程求解的方法。

具体步骤如下：（1）设一个新的变量u，使得原分式方程可以表示为关于u的整式方程；（2）解关于u的整式方程；（3）将所得解代入原分式方程，求出原未知数的值。

3. 分离变量法分离变量法是将原分式方程中的未知数与常数分离，从而将原分式方程转化为一个关于未知数的一元一次方程求解的方法。

具体步骤如下：（1）将原分式方程中的未知数与常数分离；（2）对分离后的一元一次方程进行求解；（3）将所得解代入原分式方程，求出原未知数的值。

三、实际问题中的分式方程技巧1. 确定未知数和已知条件在解决实际问题时，首先要明确题目中的未知数和已知条件。

未知数通常是需要求解的量，而已知条件则是题目给出的关于未知数的信息。

例如，某物体的速度v与其时间t的关系可以表示为v = at^2 + bt + c，其中a、b、c为已知常数，v、t为未知数。

2. 建立分式方程模型根据题目中的已知条件，建立相应的分式方程模型。

例如，某物体的速度v与其时间t的关系可以表示为v = at^2 + bt + c/t，其中a、b、c为已知常数，v、t为未知数。

3. 选择合适的解法求解分式方程根据所建立的分式方程模型，选择合适的解法求解分式方程。

分式方程是高中数学中的一个重要知识点，它在工程问题和路程问题中有着广泛的应用。

通过分式方程，可以解决诸如管道工程、水利工程、交通运输等方面的实际问题。

本文将从工程问题和路程问题两个方面来探讨分式方程的应用思路。

一、工程问题中的分式方程应用1.1 管道工程在管道工程中，经常会遇到液体或气体在管道中流动的问题。

假设一个长为L的管道中有两个孔，已知从第一个孔流出液体的速度为V1，从第二个孔流出液体的速度为V2，要求求出流出液体的总量。

我们可以建立如下的分式方程来解决这个问题：$\frac{x}{V1} + \frac{L-x}{V2} = T$其中，x表示从第一个孔流出液体的时间，L-x表示从第二个孔流出液体的时间，T表示总时间。

通过解这个分式方程，可以求出流出液体的总量。

1.2 水利工程在水利工程中，经常需要计算水库的注水和排水问题。

假设一个水库的注水管每分钟注入水量为A，排水管每分钟排水量为B，如果注水管和排水管同时开启，求出水库的水位变化规律。

我们可以建立如下的分式方程来解决这个问题：$\frac{dV}{dt} = A - B$其中，dV/dt表示水库水位随时间的变化率。

通过解这个分式方程，可以求出水库水位随时间的变化规律。

1.3 其他工程问题除了管道工程和水利工程，分式方程还可以应用于其他工程问题，如风力发电机组的发电功率问题、地基沉降速度问题等。

在解决这些问题时，我们可以根据实际情况建立相应的分式方程，然后通过求解方程得出问题的答案。

二、路程问题中的分式方程应用2.1 交通运输在交通运输中，经常需要计算车辆的行驶时间和行驶距离。

假设一辆车以速度V1从A地出发到B地，再以速度V2从B地返回A地，已知车辆的往返总时间为T，求出车辆的行驶距离。

我们可以建立如下的分式方程来解决这个问题：$\frac{2x}{V1} + \frac{2(L-x)}{V2} = T$其中，x表示车辆往返的时间，L-x表示车辆返回的时间，T表示总时间。

用分式方程解决实际问题
假设我们要解决以下问题，甲乙两人合作做某件工作，如果甲独立做需要5个小时，乙独立做需要6个小时。

问他们合作做需要多长时间？
首先，我们可以设甲、乙合作做这件工作需要x个小时。

根据工作的性质，我们知道甲、乙合作做一小时的工作量分别是1/5和
1/6。

因此，他们合作做一小时的工作量就是1/5 + 1/6，即5/30 + 6/30，等于11/30。

根据工作量与时间的关系，工作量等于工作量与时间的乘积。

因此，甲、乙合作做x个小时的工作量就是x 11/30。

而这个工作量又等于1，因为他们最终完成了整个工作。

因此，我们可以得到方程式，x 11/30 = 1。

通过解这个分式方程，我们可以得到x的值，从而知道甲、乙合作做这件工作需要的时间。

通过这个例子，我们可以看到分式方程是解决实际问题的有力
工具。

在实际应用中，我们可以根据具体情况建立分式方程，然后通过代数运算来解决问题。

这种方法在解决配比、速度、工作效率等实际问题时非常有效。

希望这个例子可以帮助你更好地理解如何用分式方程解决实际问题。

分式方程的应用问题分式方程是包含了分数形式的方程，可以用来解决很多与比例、比率和分数有关的实际问题。

在本文中，将探讨分式方程在不同应用问题中的实际应用。

1. 比例问题比例问题是分式方程的一种常见应用。

比如，假设小明每小时跑步的速度是x米，而小红每小时跑步的速度是y米，我们可以得到以下方程：x / y = 4 / 5其中4 / 5是两者速度的比例。

通过解这个分式方程，我们可以计算出小明和小红的速度。

这种应用问题通常涉及到多个变量之间的比例关系。

2. 比率问题比率问题是另一种使用分式方程的应用。

比如，假设一个容器中有3升柠檬汁和2升橙汁，我们可以得到以下方程：3 / 2 = x / 10其中3 / 2是柠檬汁和橙汁的比率，而10是容器中液体的总量。

通过解这个分式方程，我们可以计算出柠檬汁的数量x。

这种应用问题通常涉及到比率和总量之间的关系。

3. 速度、时间和距离问题在许多速度、时间和距离相关的问题中，分式方程也经常被使用。

假设小华以每小时60公里的速度行驶，并且需要2个小时到达目的地。

我们可以得到以下方程：60 * 2 / x = 1其中60 * 2是小华总共行驶的距离，而x是小华的速度。

通过解这个分式方程，我们可以计算出小华的速度。

这种应用问题通常涉及到速度、时间和距离之间的关系。

4. 货币兑换问题货币兑换问题也可以使用分式方程进行建模和解决。

假设1美元可以兑换85日元，而小明用400美元兑换了多少日元。

我们可以得到以下方程：1 / 85 = 400 / x其中1 / 85是兑换比率，而400是小明用来兑换的美元数量。

通过解这个分式方程，我们可以计算出小明兑换的日元数量。

这种应用问题通常涉及到不同货币之间的比率关系。

通过以上几个例子，我们可以看到分式方程在比例、比率、速度、时间、距离以及货币兑换等方面的广泛应用。

通过建立适当的数学模型，并解决相应的分式方程，我们能够更好地理解和解决各种实际问题。

分式方程的应用问题不仅能够提高学生的数学能力，还能够加深对实际问题的理解和分析能力。

数学学科导学案（第次课）教师: 学生: 年级: 八日期: 星期: 时段: 课题分式方程的应用学情分析教学目标与考点分析1、能够根据实际问题中的数量关系，准确列分式方程解决问题；2、会将有关实际问题转化成分式方程来解决，感悟分式方程是反映现实数量关系的一种模型；3、培养学生的逻辑思维和灵活运用所学知识点解决问题的能力。

教学重点用分式方程解决实际问题；教学方法讲练结合法、归纳总结法学习内容与过程1、解分式方程应用题的步骤分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：1．审清题意；2．设未知数；3．根据题意找等量关系，列出分式方程；4．解分式方程，并验根；5．检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．2、常见的实际问题中等量关系1.工程问题1．工作量＝工作效率×工作时间，，；2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．基础练习：1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。

乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？例：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组．练习1：某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？练习2：某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款1.5万元，乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。

人教版八年级数学上册15.3.2《列分式方程解决实际问题》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册15.3.2《列分式方程解决实际问题》这一节主要讲述了如何利用分式方程来解决实际问题。

学生在学习了分式方程的知识后，需要运用这些知识解决一些实际问题，从而加深对分式方程的理解和应用。

本节内容是分式方程应用的一个例子，通过解决实际问题，让学生掌握分式方程在实际问题中的应用。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了分式方程的基本知识，能够熟练地列出分式方程。

但是对于如何选择合适的等量关系，以及如何将实际问题转化为分式方程，可能还存在一些困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生正确地选择等量关系，并将实际问题转化为分式方程。

三. 教学目标1.理解分式方程在解决实际问题中的应用。

2.能够正确选择等量关系，并将实际问题转化为分式方程。

3.通过解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：分式方程在解决实际问题中的应用。

2.教学难点：如何选择合适的等量关系，并将实际问题转化为分式方程。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过解决实际问题，引导学生运用分式方程的知识。

在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用分式方程。

2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和解答过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何利用分式方程来解决问题。

例如：甲、乙两地相距100公里，甲地有一批货物需要运往乙地，如果每小时运60公里，则4小时可以运完。

如果每小时运80公里，则需要多少时间才能运完？2.呈现（10分钟）呈现更多的实际问题，让学生独立思考如何列出分式方程。

例如：一个长方形的周长是36厘米，长是10厘米，求宽是多少厘米？3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决呈现的问题。

《利用分式解决实际问题》教案一、教学目标1.知识与技能：理解实际问题中的分式模型，能够利用分式解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学方法，探究实际问题中的分式模型，培养学生的数学建模能力。

3.情感态度和价值观：在学习过程中，培养学生独立思考、大胆探索的习惯，及敢于面对困难、挑战困难的精神。

二、教学重点难点1.教学重点：理解实际问题中的分式模型，能够利用分式解决实际问题。

2.教学难点：如何将实际问题转化为分式模型，以及如何从分式模型中得出实际问题的解。

三、教学过程（一）导入新课教师出示几个实际问题，如工程问题、行程问题等，让学生思考如何解决这些问题。

然后教师指出，这些问题都可以通过建立数学模型来解决，而其中一个重要的数学模型就是分式。

引出课题：利用分式解决实际问题。

（二）探究新知1.教师出示一个典型的工程问题：一项工程由甲、乙两队合作完成，甲队单独完成需要m天，乙队单独完成需要n天。

两队合作完成这项工程需要多少天？2.学生分组讨论，并将讨论结果记录下来。

然后各组代表发言，分享讨论结果。

教师对学生的回答进行点评，并引导学生探究如何将实际问题转化为分式模型。

通过讨论和教师的引导，学生发现可以设工程总量为1，然后利用甲、乙两队的工作效率来建立分式模型。

3.教师引导学生利用分式模型求解实际问题。

通过求解分式方程，得出两队合作完成这项工程需要的时间。

同时，教师强调在求解过程中需要注意的问题，如分母不能为0等。

4.教师总结归纳：利用分式解决实际问题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为分式模型。

然后通过求解分式方程得出实际问题的解。

在这个过程中，需要注意分母不能为0等问题。

（三）练习巩固1.教师出示几个实际问题，如工程问题、行程问题等，让学生自主选择题目进行练习。

学生练习时，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。

通过练习巩固，学生能够更好地掌握利用分式解决实际问题的方法。

2.教师对学生的练习进行点评和纠正，并对重点问题进行讲解。

列分式方程解决实际问题常见的几种类型一、行程问题例题、小明和小亮进行百米比赛。

当小明到达终点时，小亮距离终点还有5米，如果小明比小亮每秒多跑0。

35米,你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？解：设小明百米跑的平均速度为xm/s ，那么小亮百米跑的平均速度是（x —0.35)m/s ，根据题意得,10010050.35x x -=- 解这个方程得7x =经检验:7x =是原方程的解。

答:小明百米跑的平均速度是米/秒。

二、工程问题某工程队承建一所希望小学。

在施工过程中,由于改进了工作方法，工作效率提高了20%,因此，比原定工期提高了1个月完工。

问这个工程队原计划用几个月建成这所希望小学？ 解:设这个工程队原计划用x 个月建成这所希望小学，根据题意得11(120%)1x x +=- 解这个方程得6x =经检验：6x =是原方程的解。

答：这个工程队原计划用6个月建成这所希望小学。

三、数字问题今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，再过5年，父亲与儿子的年龄的比是22：9.求今年父亲和儿子的年龄。

解：设今年儿子的年龄是x 岁，则父亲的年龄是3x 岁，根据题意得352259x x +=+ 解这个方程得x=13经检验:x=13时原方程的解3x=3×13=39答:今年父亲和儿子的年龄分别是13岁和39岁。

四、利润问题某超市市场销售一种钢笔，每枝售价为11.7元.后来，钢笔的进价降低了6.4％，从而使超市销售这种钢笔的利润提高了8%。

这种钢笔原来每枝是多少元？解：设这种钢笔原来每枝的进价为x 元，根据题意得11.711.7(1 6.4%)100%8%100%(1 6.4%)x x x x---⨯+=⨯- 解这个方程得x=10经检验：x=10时原方程的解答：这种钢笔原来每枝是10元。

五、几何问题如图所示某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1。

2米，坡角为45°。

分式方程应用题行程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。

它们的数量关系是：路程=速度*时间。

列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。

1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。

某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。

已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。

6、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。

求先遣队和大队的速度各是多少？7、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度8、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1。

5倍，求慢车的速度9、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度.10、甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的81；如果甲走32小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？11、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？12、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.13、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的倍，求这两种车的速度.水流问题1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。

分式方程的解法与应用分式方程是指方程中含有分式的方程，通常形式为分子中含有未知数的方程。

解决分式方程问题的关键是找到其中的未知数的值，使等式成立。

本文将介绍常见的分式方程解法以及其在实际问题中的应用。

一、基本解法1. 消去分母将分数方程中的分母通过乘以最小公倍数或通分的方法消去，从而得到一个等式。

然后继续将未知数移到方程的一边，常数移到另一边，最终求得未知数的值。

2. 通分并整理将分式方程的分子进行通分，并整理为一个等式。

然后通过移项和整理，将未知数移到一边，常数移到另一边，继而求解未知数的值。

3. 求最小公倍数对于一些特殊的分式方程，我们可以先求出方程中分母的最小公倍数，然后将方程中的所有分式统一化。

接着，将分母消去，得到一个整式方程，进而解决。

二、分式方程的应用1. 比例问题分式方程经常用于解决比例相关的问题。

比如，A车和B车以不同的速度驶向一个目的地，已知A车比B车快1小时到达目的地，而A 车比B车慢1小时赶上B车。

求A车和B车单独行驶到达目的地所需的时间。

通过建立分式方程可得到两车的速度比，从而解决问题。

2. 涉及水池、容器等物理问题假设有一个水池，一根管子可以独立进行排水，另一根管子可以独立进行注水。

已知两根管子独立工作时分别需要6小时和8小时将水池排干或注满。

求填满一半的水池所需的时间。

通过建立分式方程可得到两根管子的工作效率，进而解决问题。

3. 财务问题分式方程在解决财务问题时也具有重要应用。

例如，某人通过两种不同的投资方式投资了一笔钱，两种方式的年利率分别为4%和6%。

已知一年后获得的总收益为800元。

求该人分别投资了多少钱。

通过建立分式方程可得到两种投资的金额比例，从而解决问题。

4. 混合液体问题当涉及到两种不同浓度的液体混合时，我们可以利用分式方程解决问题。

例如，混合含有30%盐的溶液和50%盐的溶液，已知混合后的溶液含有40%盐。

求两种溶液的混合比例。

通过建立分式方程可得到两种溶液的体积比例，进而解决问题。

怎样列分式方程解应用题列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。

这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。

下面介绍怎样找等量关系从而列出分式方程进行解决几种常见的实际问题。

一、路程问题这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。

它们的数量关系是：路程=速度*时间。

列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。

例1 某校学生到离校15千米的科技馆去参观。

男同学骑自行车出发2/3小时后，女同学才乘汽车前往，结果男、女同学同时到达。

如果汽车的速度是自行车速度的3倍，那么自行车和汽车的速度各是多少？分析：本题中的等量关系是男同学所用的时间-2/3小时=女同学所用的时间如果设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3 x 千米/小时，男同学所用的时间为15/x小时，女同学所用的时间为15/3x小时，由此我们可列出方程。

解：设自行车的速度是x千米/小时，则汽车的速度是15/3x千米/小时，根据题意，得15/x-2/3=15/3x解这个方程，得x=15经检验，x=15是原方程的根。

∴ 3x=3*15=45（千米/小时）答：自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度是45千米/小时。

[练一练]A、B两地相距60千米。

甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，且比甲早到3小时。

已知乙的速度是甲的3倍，求甲、乙的速度。

二、工程问题这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。

它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间。

列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。

特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。

例2 某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。