一诊模拟理科数学试题

四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}23100,{33}A xx x B x x =+-<=-<<∣∣，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}x x -<<∣C.{33}x x -<<∣D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i + C.1i-+ D.1i --3.设函数()()()121log 2(1)31x x x f x x +⎧-<⎪=⎨⎪⎩，则()()32log 8f f -+=（）A.8B.9C.22D.264.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中x 的系数为（）A.560B.35C.－35D.－5605.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.76.华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G 功能.某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为2ˆ0.4ˆyx a =+，则下列说法不正确的是（）A.样本中心点为()3,1.0 B.由表中数据可知，变量y 与x 呈正相关C.ˆ0.28a =D.预测7x =时华为手机销量约为1.86（万部）7.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，112n n S a +=，则（）A.数列{}n a 是等比数列B.数列{}n a 是等差数列C.数列{}n S 是等比数列D.数列{}n S 是等差数列8.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）9.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11310.某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）A.12 B.715C.713D.111511.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()(),f x g x 的定义域为()R,g x 的图像关于1x =对称，且()22g x +为奇函数，()()()11,31g f x g x ==-+，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.14.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.15.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.16.正方体1111ABCD A B C D -的校长为1，点P 为线段1CC 的中点，则三棱锥1P BDD -外接球的表面积为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值.19.（12分）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：（1）若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布(65,100)X N ~，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y ，求随机变量Y 的分布列及数学期望.附参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()6827.0≈+<<-σμσμX P ，()9545.022≈+<<-σμσμX P ，()9973.033≈+<<-σμσμX P .20.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21.（12分）已知()ln 1f x x x x =--，记()f x 在1ex =处的切线方程为()g x .（1）证明：()()g x f x（2）若方程()f x m =有两个不相等的实根()1212,x x x x <，证明：12122x x m e e->+--.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：∵{}{}2501032<<-=<-+=x x x x x A ，∴{}23<<-=x x B A .2.B解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.C 解析：()()[]222log 221-=--=-f .∵18log 3>，∴()243338log 24log 3log 8log 18log 33333====++f ，∴()()222428log 23=+-=+-f f .4.D 解析：由题意知712⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式()()rr r r rr rr xC x x C T 27777712112---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令127=-r ，得3=r ，∴x 的系数为()5602137373-=--C .5.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .6.D解析：由表格数据可以计算出3554321=++++=x ，0.155.12.10.18.05.0=++++=y ，则样本中心点为()0.1,3，即A 说法正确；从表格数据可得：y 随着x 的增加而增加，∴变量y 与x 正相关，即B 说法正确；将样本中心点为()0.1,3代入a x yˆ24.0ˆ+=，可得28.0ˆ=a ，即C 说法正确；由C 可知线性回归方程为28.024.0ˆ+=x y，将7=x 代入可得96.128.0724.0ˆ=+⨯=y，则D 说法不正确.7.C解析：因121+=n n a S ①可得，当2≥n 时，n n a S 211=-②，①－②得：n n n n a a S S 212111-=-+-，即n n n a a a 21211-=+，可得31=+n n a a ，因11=a ，在121+=n n a S 中，取1=n ，可得2212==S a ，即3212≠=a a ，故数列{}n a 不是等比数列，选项A ，B 错误；又因当*∈N n 时，都有n n n S S a -=++11，代入121+=n n a S 中，可得()n n n S S S -=+121，整理得：31=+nn S S ，故数列{}n S 是等比数列，即选项C 正确，D 错误.8.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xexx x f ，故排除B.9.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.10.B解析：用A 表示事件“代表队既有男生又有女生”，B 表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为()A B P .∴()30333437=--=C C C A n ，()1468241412=+=+=C C C AB n ，∴()()()1573014===A n AB n A B P .11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()22+x g 为奇函数，∴()()2222+-=+-x g x g ，则()()22+-=+-x g x g ，∴()x g 对称中心为()0,2，又∵()x g 对的图象关于1=x 对称，则()()x g x g =+-2，∴()()x g x g =+-2，则()()()x g x g x g =+-=+24，∴()x g 的周期4=T ，①()()()5833g g g =+-=-，∴①正确；②∵()11=g ，()()x g x g =+-2，()x g 对称中心为()0,2，∴()()020==g g ，∴()()002024==g g ，∴②正确；③∵()()13+-=x g x f ，∴()()2112=+=g f ，∵()()x g x g =+-2，∴()()11g g -=-，则()()()011114=+-=+-=g g f ，∴()()242=+f f ，∴③错误；④∵()()13+-=x g x f 且()x g 周期4=T ，∴()()()()x f x g x g x f =+-=++-=+131434，则()x f 的周期为4=T ，∵()()1121=+=g f ，()22=f ，()()1103=+=g f ，()04=f ，∴()()()()44321=+++f f f f ，∴()()()()()[]20244506432150620241=⨯=+++=∑=f f f f n f n ，∴④正确.二、选择题13.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .14.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .15.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .16.825π解析：以D 为坐标原点，DA ,DC ,1DD 方向分别为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系.则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛21101000110001，，，，，，，，，，，P D B D ，M 为线段1BD 的中点，则⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21M ，显然点M 为1BDD ∆的外接圆圆心.则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-===0,21,210111001PM DB DD ，，，，，，，∴，，0212101=-=⋅=⋅DB PM DD PM 即PM 为平面1BDD 的一个法向量，即⊥PM 平面1BDD .则三棱锥1BDD P -外接球的球心O 在直线PM 行，连接OD ，则设R OP OD ==.设⎪⎭⎫⎝⎛-==0,2,2λλλPM OP ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=21,21,20,2,22110λλλλ，，OP DP DO .=，即222222121222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ，解得45-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,83,85DO ，∴32252183852222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=R .则三棱锥1BDD P -外接球的表面积为82542ππ=R .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+nn n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）延长ED 、AC 相交于点N ，连接BN ，则BN 为平面BDE 与平面ABC 的交线.∵AE ∥CD ，CD AE 2=，则DC 为ABC ∆的中位线，∴42==AC AN ，即BC CN AC ==，∴BN AB ⊥，∴3222=-=AB AN BN .而5222=+=AN AE EN ，2222=+=AB AE BE ，∴222EN BNBE =+，即BNBE ⊥∴EBA ∠即为平面BDE 与平面ABC 所成二面角的平面角.∴22222sin ===∠BE AE EBA 故平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值为22.19.解：（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ,设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为190110C C ,∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()1122100190110==C C C A P 故抽取的两名学生中锋恰有一名学生获一等奖的概率为112.（2）（i ）∵852=+σμ，∴()02275.029545.0185=-≈>X P ,∴参赛学生中成绩超过85分的学生数约为22802275.010000≈⨯人.（ii ）由65=μ，得()2165=>X P ，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在65分以上的概率为21，∴随机变量Y 服从二项分布Y ~⎪⎭⎫ ⎝⎛214，B ，∴()161210404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41211414=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()83212424=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41213434=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()161214444=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P .∴随机变量Y 的分布列为：∴期望为()216144138324111610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E.20.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，m y y 421=+，b y y 421-=，∴()b m b y y m x x 24222121+=++=+，()22212116b y y x x ==，∵()4,411--=y x P A ，()4,422--=y x PB ，()()324421212121++-++-=⋅y y y y x x x x PB P A ()32161216324442442222=+---=+⨯--+-=m b m b m b b m b ∴41616361222++=+-m m b b ，即()()22246+=-m b ，当6-b 与24+m 同号时，246+=-m b ，即84+=m b ，此时()04284222>++=++=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()8484++=++=y m m my x 过定点()48-，，当6-b 与24+m 异号时，246+=-m b ，即44+-=m b ，此时()0244222≥-=+-=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()4444+-=--=y m m my x 过定点()44，，则此时与点B A P ,,中任意两点不重合矛盾，故直线AB 过定点，定点坐标为()48-，.21.解：（1）证明：()1ln --=x x x x f 的定义域为()∞+，0，∵()()x x x f ln 1ln 1-=+-='，∴11=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e f ，121111-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e ef ，∴()e x e xg 112-=⎪⎭⎫⎝⎛--，即()11-+=e x x g .令()()()()x x ex x e x x f x g x F ln 11ln 11+=----+=-=，()+∞∈,0x ，()x x F ln 1+='，令()0='x F ，解得ex 1=，∴当e x 10<<时，()0<'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛e 10，单调递减，当e x 1>时，()0>'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 单调递增，∴()01min =⎪⎭⎫⎝⎛=e F x F ，∴()0≥x F 恒成立，即()()x f x g ≥.（2）由（1）知()x x f ln -='，令()0='x f ，得1=x .∴当10<<x 时，()0>'x f ，()x f 在()1,0单调递增，当1>x 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+，1单调递减，∴()()01max ==f x f ，当0→x 时，()1-→x f ；当e x >时，()()1-=<e f x f ，∵方程()m x f =有两个不相等的实根()2121,x x x x <，∴01<<-m 且e x x <<<<2110，∵()1-='e f ，()1-=e f ，∴函数()x f 在e x =处的切线方程为()()e x y --=--1，即1-+-=e x y .下证：()1-+-≤e x x f 令()()e x x x x f e x x h ++-=--+-=ln 21，()+∞∈,0x ∵()x x x h ln 11ln 2+-=++-='，令()0='x h ，解得e x =，∴当e x <<0时，()0<'x h ，()x h 在()e ,0单调递减，当e x >时，()0>'x h ，()x h 在()∞+，e 单调递增，∴()()0min ==e h x h ∴()0≥x h 恒成立，即()1-+-≤e x x f ，当且仅当e x =时等号成立.∵e x <<21，∴()122-+-<=e x x f m ，即12+->-e m x ，由（1）知，()()11-+=≤e x x g x f ，∵101<<x ，∴()1111-+≤=e x x f m ，即111+-≥em x ，∴ee m x x 12221--+>-.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。

卜人入州八九几市潮王学校外国语2021届高三一诊模拟考试数学〔理〕试题一、选择题.，集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：化简集合，先求，再求.详解：，，，应选A.点睛：此题主要考察集合的交、并、补运算，属于送分题，解题时注意先将参与运算的集合化到最简形式，再按照要求进展运算.，〔为虚数单位〕，假设为纯虚数，那么〔〕A.1B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai〔a∈R〕，z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，那么，解得a=1，应选：A．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了纯虚数的定义，是根底题．中,，那么〔〕A.5B.8C.10D.14【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以，应选B.考点：等差数列通项公式.4.“〞是“直线的倾斜角大于〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，那么.假设，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或者，即或者，所以“〞是“直线的倾斜角大于〞的充分而不必要条件，应选A.5.，那么〔〕A.1B.-1C.D.0【答案】D【解析】.应选D.6.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【详解】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积.应选：D．【点睛】此题考察了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．7.如下列图，在中，，点在线段上，设，，，那么的最小值为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用，表示，由，，三点一共线得出，的关系，消去，得到关于的函数，利用导数求出的最小值．【详解】解：．∵，，三点一共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或者〔舍〕．当时，，当时，．∴当时，获得最小值.应选：D．【点睛】此题考察了平面向量的根本定理，函数的最值，属于中档题．，，的零点依次为，，，那么以下排列正确的选项是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．【详解】函数，，的零点依次为，，，在坐标系中画出，，与的图象如图：可知，，，满足．应选：B．【点睛】此题考察了函数的零点的断定理，数形结合的应用，属于根底题.9.是定义域为的奇函数，满足．假设，那么〔〕A.50B.2C.0D.-2021【答案】B【解析】【分析】由题意可得，为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】解：是定义域为的奇函数，可得，即有，即，进而得到，为周期为4的函数，假设，可得，，，那么，可得.应选：B．【点睛】此题考察抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考察转化思想和运算才能，属于中档题．：的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于点．假设以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点〔为坐标原点〕，那么双曲线的方程为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出的坐标，代入圆的方程进展求解即可．【详解】解：∵以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点〔为坐标原点〕，∴半径，那么圆的HY方程为，，，即，那么，即，即，即，那么，，那么双曲线的方程为，应选：D．【点睛】此题主要考察双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决此题的关键．属于简单题.中，，．那么满足的最大正整数的值是〔〕A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】由，，结合等比数列的通项公式可求及，然后根据不等式及等比数列的求和公式可得关于的不等式，解不等式可求．【详解】解：∵正项等比数列中，，，∴.∵，解可得，或者〔舍〕，∴，∵，∴.整理可得，，∴，经检验满足题意，应选：C．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．的不等式有且仅有两个正整数解〔其中为自然对数的底数〕，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简不等式可得me x＜，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可．【详解】当x＞0时，由x2﹣mxe x﹣me x＞0，可得me x＜〔x＞0〕，显然当m≤0时，不等式me x＜〔x＞0〕，在〔0，+∞〕恒成立，不符合题意；当m＞0时，令f〔x〕=me x，那么f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，令g〔x〕=，那么g′〔x〕==＞0，∴g〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，∵f〔0〕=m＞0，g〔0〕=0，且f〔x〕＜g〔x〕有两个正整数解，那么∴，即，解得≤m＜．应选：D．【点睛】此题考察了不等式整数解问题，考察函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题.二、填空题。

叙州区第二中学2021届高三数学一诊模拟试题 理制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

第I 卷(选择题 一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只 有一项是哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕 1．全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，那么A B 元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．设121iz i i+=--，那么||z = A ．0B ．1C ．5D ．33．α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β，:q αβ，那么p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，那么21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．516B ．54C ．52D ．55．设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，那么A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 6．以下图可能是以下哪个函数的图像A ．()221x x y x -=- B ．()2ln 1x x y x -=- C ．2ln 1y x x =- D ．()tan ln 1y x x =⋅+7．曲线1:2C y x =，2:sin 2cos 2C y x x =+，那么下面结论正确的选项是 A ．把曲线1C 向右平移8π个长度单位得到曲线2C B ．把曲线1C 向左平移4π个长度单位得到曲线2C C ．把曲线2C 向左平移4π个长度单位得到曲线1C D ．把曲线2C 向右平移8π个长度单位得到曲线1C8．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于A ．B ．CD ．9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，假设直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，那么椭圆的离心率为A 1B C ．2D 10．2019年5月22日具有“国家HY 〞意义的“长三角一体化〞会议在举行；长三角城群包括：以及、、三局部城，简称“三一〞. 现有4 名高三学生准备高考后到、、、四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 那么恰有一个地方未被选中的概率为 A ．2764B ．916C ．81256D ．71611．()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，假设存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，那么12A x x -的最小值为 A ．2019πB ．42019πC ．22019πD ．4038π12．定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，那么不等式()xf x e <的解集为 A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕13．随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，那么()04P X <<=_____________14．假设二项式62313x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，那么213=mx dx ⎰______.15．如图，求一个棱长为2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD ，其三对棱长分别为5,13,10AB CD AD BC AC BD ======，那么此四面体的体积为_______；16．在四边形ABCD 中，M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，假设点N 在线段CD 上，那么NA NB ⋅的取值范围是______.三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕 17.〔12分〕在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC △的面积为1315,2,cos 4b c A -==-． (1) 求a 和sin C 的值； (2) 求cos(2)6A π+的值．18．〔12分〕某老师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [50，60) 3[60，70) m[70，80) 13n [80，90)pq[90，100] 9总计t1(1)求表中t ，q 及图中a 的值；(2)该老师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进展谈话，设X 表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．〔12分〕在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC ，12AA a=，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．〔1〕求证：CD ⊥平面1AB ；〔2〕在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E AC A --的大小为3π．20．〔12分〕A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =〔1〕求动点P 的轨迹方程；〔2〕设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值. 21．〔12分〕函数22()2(1)xf x axex -=--，a R ∈.〔1〕当4a =-时，讨论函数()f x 的单调性；〔2〕当01a <<时，求证：函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，且122x x +>.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以一样的长度单位建立极坐标系，直线l 的极cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>〔l 〕设t 为参数，假设12y t =-，求直线l 的参数方程； 〔2〕直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，务实数a 的值. 23．选修4-5：不等式选讲 函数()23f x x x =-++. 〔1〕求不等式()15f x ≤的解集；〔2〕假设2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.叙州区第二中学高2021届一诊模拟考试理科数学试题参考答案1．B 2．B3．B4．A5．B6．C7．D8．B9．A10．B 11．C12．B14．12415．216．3[,0]4-17．〔1〕△ABC 中,由1cos ,4A =-得15sin ,4A =由1sin 3152bc A =,得24,bc =又由2,b c -=解得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A=+-sin sin a c A C =,得15sin 8C =. 〔2〕()2πππ3cos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 6662A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,157316-= 18．解：(1)由表格可知，全班总人数t ＝＝50，那么m ＝50×0.10＝5，n ＝＝0.26，所以a ＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p ＝50， 即p ＝20，所以q ＝＝0.4.(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人． 由题意得X 可能的取值为0，1，2，3，P (X ＝k )＝，所以P (X ＝0)＝，P (X ＝1)＝，P (X ＝2)＝，P (X ＝3)＝.随机变量X 的分布列如下：X 0 1 2 3 P数学期望EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.19．〔1〕证：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥,∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥； 又1AC A C =，D 为1AA 中点，那么1CD AA ⊥.∴CD ⊥面11ABB A .〔2〕如下图以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴,CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，那么有(),0,0A a ，(),,0B a a ，()10,0,A a ，()10,,B a a ，()1,0,C a a -， 设(),,E x y z ，且1BE BB λ=，即有()(),,,0,x a y a z a a λ--=-， 所以E 点坐标为()()1,,a a a λλ-.由条件易得面11A C A 的一个法向量为()10,1,0n =. 设平面11EA C 的一个法向量为()2,,n x y z =，由2111{n A C n A E⊥⊥可得()()0{110ax ax ay az λλ-=-++-=，令1y =，那么有210,1,1n λ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么1212•cos3n n n n π==()212111λ=+-，得31λ=所以，当1313BEBB =-11E AC A --的大小为3π. 20．解：〔1〕 设(),P x y ，由题意得：()()1,,0,A x y B y ，由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点，故102x x +=，所以12x x =，又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.〔2〕设()11,P x y ，那么10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=；当10x ≠时，11,OPy k x = 因为OP OQ ⊥,即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OP ∴=OQ == 221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x'=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥,综上：POQ S ∆的最小值为3.221．〔1〕当4a =-时，()()22421x f x xe x -=---，得()()()2'411xf x x e -=--，令()'0f x =，得1x =或者2x =.当1x <时，10x -<，210x e -->，所以()'0f x <，故()f x 在(),1-∞上单调递减； 当12x <<时，10x ->，210x e -->，所以()'0f x >，故()f x 在()1,2上单调递增； 当2x >时，10x -<，210x e --<，所以()'0f x <，故()f x 在()2,+∞上单调递减；所以()f x 在(),1-∞，()2,+∞上单调递减，在()1,2上单调递增. 〔2〕证明：由题意得()()()2'14xf x x ae-=-+，其中01a <<，由()'0f x >得1x <，由()'0f x <得1x >，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =- ()210a =-<， ∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内. 不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈， 要证122x x +>，即证122x x >-，因为21021x x <-<<，且()f x 在()0,1上是增函数， 所以()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<.由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦， 令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，那么()()'1g x x =- 22x xe e e-. ∵12x <<，∴10x ->，220x e e -<，∴()1,2x ∈时，()'0g x <，即()g x 在()1,2上单调递减， ∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<， ∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证. 22．〔1〕直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t为参数，假设12y =-+，代入上式得x =，所以直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕〔2〕由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a > 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)2110t a t ++=.〔*〕那么)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 那么1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=.那么有()212128t t t t +=，得1a =或者3a =-.因为0a >，所以1a =23：〔1〕因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-； 当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<； 当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤. 综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.〔2〕〔方法一〕由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 获得最小值5， 所以当0x =时，()2x f x +获得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.日期：2022年二月八日。

叙州区第二中学2021届高三数学一诊模拟试题 理〔含解析〕第I 卷(选择题一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，那么A B 元素个数为 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义求出A B ，即可得到A B 元素个数【详解】由201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B 元素个数为2，故答案选B【点睛】此题考察分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于根底题．121iz i i+=--，那么||z =〔〕A. 0B. 1D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先将z 分母实数化，然后直接求其模．【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（） 【点睛】此题考察复数的除法及模的运算，是一道根底题．α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β〞是“αβ〞的〔 〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公一共点，∴，即能得到；∴“〞是“〞的必要不充分条件．应选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考察线面平行的定义，线面平行的断定定理，面面平行的定义，面面平行的断定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于根底题；并得不到，根据面面平行的断定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，那么21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔〕A.516B.54C.52D. 5【答案】A 【解析】【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 应选A.【点睛】此题考察分段函数和对数运算，属于根底题. 0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，那么〔〕A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中介值“1 〞，和指数的同指或者同底时的大小比拟得解. 【详解】0.30.3log 0.2log 0.31b =>=,0.30.20.20.20.20.41a =<<<,b c a ∴>>应选B.【点睛】此题考察指数、对数的大小比拟，属于中档题. 6.以下图可能是以下哪个函数的图像〔〕A. ()221x x y x -=- B. ()2ln 1x x y x -=-C. 2ln 1y x x =- D. ()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C 【解析】 【分析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项里面的0,y >C 选项里面的0,y < 应选C.【点睛】此题考察函数的定义域和特殊点的函数值区分图像，属于根底题.1:22C y x =，2:sin 2cos 2C y x x =+，那么下面结论正确的选项是〔〕A. 把曲线1C 向右平移8π个长度单位得到曲线2C B. 把曲线1C 向左平移4π个长度单位得到曲线2C C. 把曲线2C 向左平移4π个长度单位得到曲线1C D. 把曲线2C 向右平移8π个长度单位得到曲线1C【答案】D 【解析】 【分析】将2:sin 2cos 2C y x x =+通过合一公式化为2:)4C y x π=+向右平移8π就可以得到1C ．【详解】2:sin 2cos 2)4C y x x x π=+=+，把曲线2C 向右平移8π个长度单位得))]284y x x ππ=-+=即为1C ，应选D ．【点睛】此题考察函数的平移变换，是一道根底题．(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于〔 〕A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为〔a ，-2〕，再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，那么可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为〔a,-2〕，那么r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P 〔1，-2〕.又直线过定点Q 〔-2，0〕，当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为 应选B ．C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的左，右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆C 的中心，且与C 在第一象限交于点P ，假设直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，那么C 的离心率为〔 〕1B.12C.2D.【答案】A 【解析】 【分析】利用条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕的左，右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆C 的中心，且与C 在第一象限交于点P ，假设直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ， 可得222(2)4a c c c -+=，可得2222a ac c += 所以2220,(0,1)e e e +-=∈解得212e -+== 应选A【点睛】此题考察利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题.10.2021年5月22日具有“国家HY 〞意义的“长三角一体化〞会议在举行；长三角城群包括：以及、、三局部城，简称“三一〞. 现有4 名高三学生准备高考后到、、、四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 那么恰有一个地方未被选中的概率为〔 〕 A.2764B.916C.81256D.716【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合的知识分别求解出恰有一个地方未被选中的情况和所有情况，利用古典概型计算可得结果.【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中一共有：2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况 ∴恰有一个地方未被选中的概率：144925616p == 此题正确选项：B【点睛】此题考察古典概型计算概率的问题、排列组合中的分组分配问题；关键是可以利用排列组合的知识准确求解出恰有一个地方未被选中的情况种数；易错点是忽略了分组分配中的平均分配问题. 11.()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，假设存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，那么12A x x -的最小值为〔 〕 A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π 【答案】C 【解析】 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==，12A x x ∴-的最小值为22019π，应选C ．【点睛】此题考察了正弦型三角函数的图像与性质，考察三角函数恒等变换，属中档题．R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，那么不等式()x f x e <的解集为〔 〕A .(,0)-∞B. (0,)+∞C. ()4,e-∞D.()4,e +∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数()()x f x g x e=，由()()f x f x '<可得()0g x '<在R 上恒成立，所以函数()()x f x g x e=在R 为上单调递减函数，由()2f x +为偶函数，()41f =，可得(0)1f =，故要求不等式()xf x e <的解集等价于()()1x f xg x e =<的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数()()x f x g x e =()x R ∈，那么()()()xf x f xg x e''-=， 定义R 在上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()()f x f x '<∴()0g x '<在R 上恒成立，函数()()xf xg x e =在R 上为单调递减函数； 又()2f x +为偶函数，那么函数(2)(2)f x f x -=+ ，即()f x 关于2x =对称，∴(0)(4)1f f == ，那么0(0)(0)1f g e ==， 由于不等式()xf x e <的解集等价于()()1x f xg x e=<的解集，根据函数()()x f x g x e=在R 上为单调递减函数，那么()1()(0)0g x g x g x <⇔<⇔>，故答案选B【点睛】此题考察函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕X 服从正态分布()22,N σ且()40.88X P ≤=，那么()04P X <<=_____________【答案】 【解析】 【分析】由条件可知数据对应的正态曲线的对称轴，根据对称性即可得到结果. 【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ,那么曲线的对称轴为2X =，()20.5P X ≤=，由()40.88X P ≤=可得()40.880.0825.3P X ==<-<， 那么()()204240.76P P X X <=<<<=故答案为0.76．【点睛】此题考察根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用区间表示；正态曲线的主要性质是：〔1〕正态曲线关于x μ=对称；〔2〕在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，那么213=mx dx ⎰______.【答案】124 【解析】 【分析】先根据二项展开式求得常数项项数，即得常数项，再根据定积分得结果.【详解】因为6621231661rrrr rr r T C x C x x ---+⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以由1230r -=得2464,5r m C ===⎝⎭,因此1122335533|51=1241m x dx x dx x ⎰=⎰==-. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出值即可. (2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15.的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD，其三对棱长分别为AB CD AD BC AC BD ======_______；【答案】2 【解析】 【分析】设四面体ABCD 所在的长方体棱长分别为a ，b ，c ，5、1310a ，b ，c 的值，长方体截去四个角，即可求出四面体的体积．【详解】设四面体ABCD 所在的长方体棱长分别为a ，b ，c ，那么22222251310a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体的体积11142323V abc abc abc =-⨯⨯==，故答案为2. 【点睛】此题运用类比的方法，考察锥体的体积求法，考察学生逻辑推理，计算化简的才能，难点在于根据题意，类比出四面体体积的求法，即长方体截去四个角后得到的体积，属根底题．ABCD 中，M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，假设点N 在线段CD 上，那么NA NB ⋅的取值范围是______. 【答案】3[,0]4- 【解析】 【分析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得,,NA NM MA NB NM MB =+=+计算出NA NB ⋅的表达式,最后根据NM 的大小,可以求出NA NB ⋅的取值范围.【详解】2()()NA NB NM MA NM MB NM NM MB MA NM MA MB ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅， 2()NA NB NM NM MB MA MA MB ⇒⋅=+⋅++⋅，M 是AB 边上的点，1MA MB ==，所以0,1MB MA MA MB +=⋅=-，因此21NA NB NM ⋅=-，°120,1MC C D D M M =∠==∴在等腰CMD ∆中,点M 到线段CD 上的一点N 的间隔最大值为1,取最小值时,N 为CD 的中点,此时°1cos cos602MN CMN CM CM =∠⋅=⋅=, 所以21NA NB NM ⋅=-的取值范围为: 3[,0]4-.【点睛】此题考察了平面向量数量积的取值问题,利用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC 的面积为12,cos 4b c A -==-．(1) 求a 和sin C 的值； (2) 求cos(2)6A π+的值．【答案】〔1〕8a =，sin 8C =〔2〕16【解析】 【分析】〔1〕由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC 的值;〔2〕直接展开求值.【详解】〔1〕△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin ,4A =由1sin 2bc A =,得24,bc =又由2,b c -=解得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A =+-,可得a=8.由sin sin a cA C=,得sin 8C =. 〔2〕)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【点睛】此题主要考察三角变换及正弦定理、余弦定理等根底知识,考察根本运算求解才能.18.某老师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下：(1)求表中t，q及图中a的值；(2)该老师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进展谈话，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】〔1〕t=50，q=0.4，a=0.026 〔2〕详见解析【解析】【分析】〔1〕利用频率计算公式、频率分布直方图的性质即可得出；〔2〕由表格可知：区间[50，60〕中有3人，区间[60，70〕中有5人．由题意可得：X＝0，1，2，3．那么P〔X＝k〕33538k k-=，即可得出随机变量X 的分布列和数学期望．【详解】解：(1)由表格可知，全班总人数t＝＝50，那么m＝50×0.10＝5，n ＝＝0.26，所以a＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50，即p＝20，所以q＝＝0.4.(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人．由题意得X可能的取值为0，1，2，3，P(X＝k)＝，所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.随机变量X的分布列如下：X 0 1 2 3P数学期望EX ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.【点睛】本小题主要考察频率分布直方图的性质、超几何分布列及其数学期望，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．111ABC A B C -中，侧面1AC ⊥平面ABC ，12AA a =，1AC CA AB a ===，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．〔1〕求证：CD ⊥平面1AB ；〔2〕在侧棱1BB 上确定一点E ，使得二面角11E AC A --的大小为3π． 【答案】〔1〕见解析;〔2〕3π. 【解析】试题分析: 〔1〕因为面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥,由面面垂直的性质定理可得:AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥,由1AC A C =，D 为1AA 中点，根据等腰三角形三线合一可得1CD AA ⊥,结合线面垂直的断定定理可得CD ⊥面11ABB A ;(2)建立空间直角坐标系,由1BE BB λ=，可得E 点坐标为()()1,,a a a λλ-,求出面11A C A 的一个法向量为1n 和面11EA C 的一个法向量为2n ,根据二面角11E AC A --的大小为3π,构造方程组,解出λ可得E 点坐标.试题解析:〔1〕证：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥, ∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥； 又1AC A C =，D 为1AA 中点，那么1CD AA ⊥. ∴CD ⊥面11ABB A . 〔2〕如下图以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴,CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，那么有(),0,0A a ，(),,0B a a ，()10,0,A a ，()10,,B a a ，()1,0,C a a -，设(),,E x y z ，且1BE BB λ=，即有()(),,,0,x a y a z a a λ--=-， 所以E 点坐标为()()1,,a a a λλ-.由条件易得面11A C A 的一个法向量为()10,1,0n =. 设平面11EA C 的一个法向量为()2,,n x y z =，由2111{n A C n A E⊥⊥可得()()0{110ax ax ay az λλ-=-++-=，令1y =，那么有210,1,1n λ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么1212•cos3n n nn π==12=，得13λ=-.所以，当113BEBB =-时，二面角11E AC A --的大小为3π. 20.A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =〔1〕求动点P 的轨迹方程；〔2〕设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.【答案】(1) 2214x y += (2) 3.2【解析】 【分析】〔1〕设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；〔2〕设出P 点坐标，根据斜率存在与否进展分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：〔1〕 设(),P x y ， 由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=， 所以12xx =， 又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.〔2〕设()11,P x y ，那么10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=； 当10x ≠时，11,OP y k x = 因为OP OQ ⊥, 即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OP ∴=OQ ==221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x '=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数，创作；朱本晓 2022年元月元日 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥,综上：POQ S ∆的最小值为3.2【点睛】此题考察了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.22()2(1)x f x axe x -=--，a R ∈.〔1〕当4a =-时，讨论函数()f x 的单调性；〔2〕当01a <<时，求证：函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，且122x x +>. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析 【解析】试题分析：〔1〕讨论函数单调区间即解导数大于零求得增区间，导数小于零求得减区间〔2〕函数有两个不同的零点，先分析函数单调性得零点所在的区间，()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =-()210a =-<，∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内.不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈，要证122x x +>，即证122x x >-，()f x 在()0,1上是增函数，故()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<. 由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦， 令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，得()g x 在()1,2上单调递减，∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<，∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证解析：〔1〕当4a =-时，()()22421x f x xe x -=---，得()()()2'411xf x x e-=--，创作；朱本晓 2022年元月元日令()'0f x =，得1x =或者2x =.当1x <时，10x -<，210x e -->，所以()'0f x <，故()f x 在(),1-∞上单调递减； 当12x <<时，10x ->，210x e -->，所以()'0f x >，故()f x 在()1,2上单调递增； 当2x >时，10x -<，210x e --<，所以()'0f x <，故()f x 在()2,+∞上单调递减； 所以()f x 在(),1-∞，()2,+∞上单调递减，在()1,2上单调递增. 〔2〕证明：由题意得()()()2'14xf x x ae-=-+，其中01a <<，由()'0f x >得1x <，由()'0f x <得1x >，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.∵()10f ae =>，()020f =-<，()222f a =- ()210a =-<， ∴函数()f x 有两个不同的零点，且一个在()0,1内，另一个在()1,2内. 不妨设()10,1x ∈，()21,2x ∈， 要证122x x +>，即证122x x >-，因为21021x x <-<<，且()f x 在()0,1上是增函数， 所以()()122f x f x >-，且()10f x =，即证()220f x -<.由()()()()()22222222222221210x x f x a x e x f x ax e x ⎧-=---⎪⎨=--=⎪⎩，得()22f x a -= ()222222x x x e x e -⎡⎤--⎣⎦， 令()()2xg x x e =- 2x xe --，()1,2x ∈，那么()()'1g x x =- 22x xe e e-. ∵12x <<，∴10x ->，220x e e -<，∴()1,2x ∈时，()'0g x <，即()g x 在()1,2上单调递减， ∴()()10g x g <=，且∴()()2g x af x =-，01a <<， ∴()20f x -<，即∴()220f x -<，故122x x +>得证.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以一样的长度单位建立极坐标系，直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>〔l 〕设t为参数，假设1y =-，求直线l 的参数方程； 〔2〕直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，务实数a 的值.【答案】〔1〕212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕；〔2〕1【解析】【分析】〔1〕由直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得1x y -=，进而由12y t =-+，代入上式得x =，得到直线的参数方程； 〔2〕根据极坐标与直角坐标的互化，求得222x y ax +=，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】〔1〕直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t为参数，假设12y t =-+，代入上式得2x t =，所以直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕〔2〕由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a >将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)2110t a t ++=.〔*〕那么)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =， 设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 那么1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=. 那么有()212128t t t t +=，得1a =或者3a =-.因为0a >，所以1a =【点睛】此题主要考察了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.23.选修4-5：不等式选讲 函数()23f x x x =-++.〔1〕求不等式()15f x ≤的解集；〔2〕假设2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕[8,7]-〔2〕(,5]-∞【解析】试题分析：〔1〕由，根据解析式中绝对值的零点〔即绝对值等于零时x 的值〕，将函数的定义域分成假设干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；〔2〕由题意，将不等式转化为()2a x f x ≤+，可构造新函数()()2g x x f x =+，那么问题再转化为()min a g x ≤，由〔1〕可得()()min 05g x g ==，即5a ≤，从而问题可得解.试题解析：〔1〕因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-；当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<；当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤.综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.〔2〕〔方法一〕由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+， 因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号，所以当32x -≤≤时，()f x 获得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +获得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.〔方法二〕设()2g x x a =-+，那么()()max 0g x g a ==， 当32x -≤≤时，()f x 获得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +获得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

渝中区巴蜀中学2021届高三数学“一诊〞模拟测试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项满足题目要求的()131i i z i-=+，那么其一共轭复数z 的虚部为〔 〕A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的一共轭复数z ，进而求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 应选：B.【点睛】本小题主要考察复数乘法、除法的运算，考察一共轭复数的概念，考察复数虚部，属于根底题.1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，那么A B =〔 〕A. (]0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦， 应选：C.【点睛】本小题主要考察交集的概念和运算，考察分式不等式的解法，考察对数函数的定义域，属于根底题.a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影为〔 〕A. B. 12-C.12【答案】B 【解析】 【分析】根据向量投影计算公式，计算出所求的投影. 【详解】a 在e 上的投影为21cos ,cos 32a a e π<>==-， 应选：B.【点睛】本小题主要考察向量投影的概念和运算，考察单位向量，属于根底题.{}n a 满足3243a =a ，那么数列{}n a 中一定为零的项是〔 〕A. 6aB. 7aC. 8aD. 9a【答案】A 【解析】 【分析】将条件转化为1,a d 的形式，由此判断出一定为零的项.【详解】设公差为d ，由3243a =a 得15a d =-，∴6150a a d =+=， 应选：A.【点睛】本小题主要考察等差数列的根本量计算，属于根底题.5.新高考方案规定，普通高中学业程度考试分为合格性考试〔合格考〕和选择性考试〔选择考〕.其中“选择考〞成绩将计入高考总成绩，即“选择考〞成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进展排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2021年参加“选择考〞总人数是2021年参加“选择考〞总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考〞的程度情况，统计了该校2021年和2021年“选择考〞成绩等级结果，得到如以下图表：针对该校“选择考〞情况，2021年与2021年比拟，以下说法正确的选项是〔〕A. 获得A等级的人数减少了B.C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数一样【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项. 【详解】设2016年参加考试x人，那么2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如以下图所示：年份 A B C D E2021 0.28x0.32x0.30x0.08x0.02x2021 0.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考察图表分析，考察数据分析与处理才能，属于根底题.6.执行如下图的程序框图，输出的结果为()A. 201921-B. 201922-C. 202022-D. 202021-【答案】C 【解析】 【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．应选：C ．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．()23cos 2sin 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图像，假设()g x 为偶函数，那么ϕ的最小值是〔 〕 A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A【解析】 【分析】利用诱导公式、辅助角公式化简()f x ，求得()f x 向左平移ϕ个单位后的()g x 的解析式，根据()g x 为偶函数，求得ϕ的表达式，由此求得ϕ的最小值. 【详解】()πππcos 2cos 2sin 2cos 2626f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12cos 22x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0ϕϕ>，得()sin 226g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又()g x 为偶函数，令π2π62k πϕ+=+，得26k ππϕ=+，由于0ϕ>，k Z ∈，∴ϕ最小值为6π，应选：A.【点睛】本小题主要考察诱导公式、辅助角公式，考察三角函数图像变换，考察根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112n n n n S a =-+，那么135S S S ++=〔 〕 A. 0 B.564 C.1764D.2164【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给条件，求得135,,S S S 的值，进而求得它们的和.【详解】()()()11122nn n n n S S S n -=--+≥，假设n 为偶数，那么112n nS -=，∴112k k S +=〔k 为奇数〕. 那么135111214166464S S S ++=++=，应选：D.【点睛】本小题主要考察()12n n n a S S n -=-≥的运用，属于根底题.C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记AOB ∆的面积为S ，且满足3AB FB ==，那么p =〔 〕A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的定义，计算出三角形OAB 的面积S ，由此列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，那么211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知()222122y y AB AF BFa -=--=.依题意3232AB FB S ==， 那么3211322222a p a =⨯⨯⨯，∴2p =， 应选：D.【点睛】本小题主要考察抛物线的定义，考察与抛物线有关的三角形面积的计算，考察方程的思想，属于根底题.10.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的体积为〔 〕287 287C.2127D.28219【答案】C 【解析】 【分析】将三视图复原为原图，几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.根据等边三角形外接圆的半径，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.【详解】将三视图复原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为1223π33sin 3==，所以其外接球的222237133R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，213R =.那么342821327V R ππ==球，应选：C.【点睛】本小题主要考察三视图复原为原图，考察三棱锥外接球体积有关计算，属于根底题.()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，那么k 的取值范围是( ) A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如以下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，那么ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，那么23132220AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，那么1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此题正确选项：D【点睛】此题考察根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是可以通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进展求解.ABC ∆中，A 、B 、C 为其三内角，满足tan A 、tan B 、tan C 都是整数，且A B C >>，那么以下结论中错误的选项是〔 〕 A. 25A π>B. 3B π>C. 49A π<D. 512B π<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出,,A B C 均为锐角，根据tan A 、tan B 、tan C 都是整数，求得tan A 、tan B 、tan C 的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于0C B A π<<<<，所以B 、C 都是锐角，又tan B 、tan C 都是正整数，这样()ta ta n tan 0tan tan n 1tan B CA CBC B +=+-->=，可见A 也是锐角.这时，tan 1C ≥，tan 2B ≥，tan 3A ≥.有tan tan tan 1tan tan 1A BC A B +=≥-，即()()tan 1tan 12A B --≤.但是tan 12A -≥，tan 11B -≤，比拟可知只可能tan 3A =，tan 2B =，tan 1C =.由tan B >3B π>，选项B 是正确的.至于选项C 和D ，由5tan 2tan 12A π=>，可知512A π<，又54129ππ<，应选项C 正确； 又由512A B π>>，选项D 正确、A 选项错误. 应选：A.【点睛】本小题主要考察两角和的正切公式，考察三角形内角和定理，考察分析、考虑与解决问题的才能，属于中档题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分 13.()()()()52501252111x a a x a x a x +=+++++++，那么2a =______.【答案】10 【解析】 【分析】将二项式等价变形为()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，根据变形后的二项式展开式的通项公式，求得2a 的值.【详解】()()55211x x +=++⎡⎤⎣⎦，其通项公式为()151r r r T C x +=+，故()22351T C x =+，所以22510a C ==.故答案为：10【点睛】本小题主要考察二项式展开式的通项公式，考察化归与转化的数学思想方法，属于根底题.C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C 的一条渐近线于点P 〔P 在第一象限内〕，假设线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，那么C 的离心率e =______.【答案】2【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，由此求得3ba=，进而利用21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算出双曲线的离心率. 【详解】由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 603ba=︒=，所以2e =. 故答案为：2【点睛】本小题主要考察双曲线离心率的求法，考察双曲线的渐近线，考察数形结合的数学思想方法，属于根底题.15.中国光谷〔〕某科技公司消费一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，假设元件1或者元件2正常工作，且元件3正常工作，那么该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命〔单位：小时〕均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作互相HY.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况〔各部件能否正常工作互相HY 〕，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.【答案】375 【解析】 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，那么部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375【点睛】本小题主要考察互相HY 事件概率计算，考察二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于根底题.1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=∈，现有以下判断：①11A D C P ⊥；②假设1BD ⊥平面PAC ，那么13λ=；③PAC ∆周长的最小值是假设PAC ∆为钝角三角形，那么λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中正确判断的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得13PB BD =1ABD ∆和1CBD ∆展开成平面，由此求得AP CP +的最小值，进而求得三角形PAC ∆APC ∆为直角三角形时λ的值，由此确定λ的取值范围【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；由1BD ⊥平面PAC ，在1Rt ABD ∆中，212,AB AD BD ===由于1BD AP ⊥，由射影定理得21AB BP BD =⋅,即4PB PB =⋅=13PB BD ==,可得13λ=，故②正确；将1ABD ∆和1CBD ∆展开，可得AP CP +，又AC =利用1BD ⊥平面11AC D ，可得当APC ∆为直角三角形时，23λ=，故当APC ∆为钝角三角形时，λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，④正确. 所以正确判断为①②④. 故答案为：①②④【点睛】本小题主要考察正方体中的线线、线面垂直有关命题真假性判断，考察间隔 和的最值的求法，考察空间想象才能和逻辑推理才能，属于中档题.三、解答题：解容许写岀文字说明、证明过程或者演算步骤ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的内角平分线，点D 在线段BC 上，且2BD CD =.〔1〕求sin B 的值；〔2〕假设1AD =，求ABC ∆的面积. 【答案】〔1〕5sin 5B =；〔2〕98ABC S ∆=【解析】 【分析】〔1〕利用正弦定理列方程，求得1sin cos 2B B =，两边平方后利用同角三角函数的根本关系式求得sin B 的值.〔2〕首先求得cos B 的值，利用两角和的正弦公式求得sin BDA ∠，然后求得AB ，进而求得AC ，从而求得三角形ABC 的面积.【详解】〔1〕在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B =∠，即sin 45sin BD ADB︒=，在ACD ∆中，由正弦定理得()sin sin 90CD AD CAD B =∠︒-，即sin 45cos CD AD B=︒，两式相除得sin 1cos 2B CD B BD ==，即1sin cos 2B B =， ∴()22211sin cos 1sin 44B B B ==-，即21sin 5B =，又0B π<<，所以sin 0B >，故5sin 5B =. 〔2〕由90BAC ∠=︒，得B 是锐角，于是25cos 5B =， 所以()sin sin 45sin cos45cos sin 45BDA B B B ︒︒∠=+=+︒31010=， 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 32sin 2BDA AB ADB ∠==，于是32tan 4AC AB B ==， 所以113232922248ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=. 【点睛】本小题主要考察正弦定理解三角形，考察三角形的面积公式，考察同角三角函数的根本关系式，考察两角和的正弦公式，属于根底题.18.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置〔P ∉平面ABCE 〕.〔Ⅰ〕证明：AE PB ⊥；〔Ⅱ〕假设直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】〔I 〕见解析；〔II 〕5-. 【解析】【分析】〔I 〕先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；〔II 〕在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 证明OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值.【详解】〔I 〕证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥平面；〔II 〕解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP⊥OB，∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(0,0,(,0,0),(0,(,0,),(,2222222P E C PE EC ∴=-=,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，那么11130022,,013022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩ 设3x =，那么y=-1,z=1， ∴1(3,-1,1)n =，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =， 设二面角A-EP-C 为α，1212||15|cos |=5||||5n n n n α⋅==.易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos =-5α.【点睛】此题主要考察空间几何元素位置关系的证明，考察二面角的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和空间想象转化分析推理才能.233,33M ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且点M 到C 的左、右焦点的间隔 之和为22〔1〕求C 的方程；〔2〕设O 为坐标原点，假设C 的弦AB 的中点在线段OM 〔不含端点O ，M 〕上，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕45,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔1〕根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的HY 方程.〔2〕设出,A B 的坐标，求得AB 中点的坐标，由OM 的斜率得到()12122x x y y +=+，利用点差法求得AB 的斜率，设出直线AB 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得OA OB ⋅的取值范围.【详解】〔1〕由条件知2241133a b +=，2a =，所以a =1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.〔2〕设点A 、B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，那么AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =， ∴()12122x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，即1AB k =-.设AB 方程为y x m =-+，代入2212xy +=并整理得2234220x mx m -+-=.由()2830m∆=->解得23m<，又由12223x x m +⎛=∈ ⎝，∴0m <<由韦达定理得1243m x x +=，()212213m x x -=，故()()12121212OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+-+-+()()22221212414233m m x x m x x m m-=-++=-+243m =-.而0m <<OA OB ⋅的取值范围是45,33⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考察椭圆的定义和HY 方程，考察直线和椭圆的位置关系，考察点差法，考察向量数量积的坐标运算，考察运算求解才能，属于中档题.20.有“九通衢〞之称，也称为“江城〞，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.〔1〕为理解“五·一〞劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；〔2〕为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心方案在2021年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A X 〔单位：万人〕都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 13X <<35X ≤≤5X >频数〔年〕 244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量互相HY.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量〔单位：艘〕要受当日客流量X 〔单位：万人〕的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X13X <<35X ≤≤5X >A 型游船最多使用量123假设某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，那么游船中心当日可获得利润3万元；假设某艘A Y 〔单位：万元〕表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2021年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？【答案】〔1〕()4353P ξ==；〔2〕投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】 【分析】〔1〕首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=.〔2〕分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.【详解】〔1〕年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；假设采用分层抽样的方法抽取10人，那么年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.可得()31464103435C C C P ξ===. 〔2〕①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，那么()3E Y =〔万元〕. ②当投入2艘A 型游船时，假设13X <<，那么30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛⎫==<<== ⎪⎝⎭； 假设3X ≥，那么326Y =⨯=，此时()()()463555P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()142.56 5.355E Y =⨯+⨯=〔万元〕. ③当投入3艘A 型游船时，假设13X <<，那么312Y =-=，此时()()21213105P Y P X ==<<==； 假设35X ≤≤，那么320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()25.5355P Y P X ==≤≤=；假设5X >，那么339Y =⨯=，此时()()2955P Y P X ==>=； 此时Y 的分布列如下表：此时()1222 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=〔万元〕. 由于6.2 5.33>>，那么该游船中心在2021年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考察分层抽样，考察超几何分布概率计算公式，考察随机变量分布列和期望的求法，考察分析与考虑问题的才能，考察分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21()(1)2,2x f x x e ax ax a R =+++∈.(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)假设00(2)x x ≠-是()f x 的一个极值点，且-2(2)>e f -，证明: 0()<1f x .【答案】(1) 当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点；(2)证明见解析【解析】 【分析】〔1〕求导得到()()()2xf x x e a '=++；分别在0a ≥、2a e -<-、2a e -=-和20e a --<<四种情况下根据()f x '的符号确定()f x 的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；〔2〕由〔1〕的结论和()22f e -->可求得()2,a e-∈-∞-，从而得到()0ln xa =-，代入函数解析式可得()0f x ；令()()ln 2,t a =-∈-+∞可将()0f x 化为关于t 的函数()g t ，利用导数可求得()g t 的单调性，从而得到()1g t ≤，进而得到结论.【详解】〔1〕()()()()222xxf x x e ax a x e a '=+++=++①当0a ≥时，0x e a +>∴当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>()f x ∴在(),2-∞-上单调递减；在()2,-+∞上单调递增2x ∴=-为()f x 的唯一极小值点，无极大值点，即此时()f x 极值点个数为：1个②当0a <时，令()0f x '=，解得：12x =-，()2ln x a =- ⑴当2a e -<-时，12x x <()1,x x ∴∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减1x x ∴=为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个⑵当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点，即()f x 极值点个数为：0个⑶当20e a --<<时，12x x >()2,x x ∴∈-∞和()1,x +∞时，()0f x '>；()21,x x x ∈时，()0f x '<()f x ∴在()2,x -∞，()1,x +∞上单调递增；在()21,x x 上单调递减2x x ∴=为()f x 的极大值点，1x x =为()f x 的极小值点，即()f x 极值点个数为：2个综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当0a ≥时，()f x 有1个极值点；当2a e -<-或者20e a --<<时，()f x 有2个极值点〔2〕由〔1〕知，假设()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，那么()()22,,0a e e--∈-∞-⋃-又()2222f e a e ---=-->，即2a e -<- ()2,a e-∴∈-∞-02x ≠- ()0ln x a ∴=-()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦令()()ln 2,t a =-∈-+∞，那么t a e =- ()()21222t g t e t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞那么()()()2114422t t g t e t t t t e '=-+=-+ 当2t >-时，40t +>，0t e >∴当()2,0t ∈-时，()0g t '>；当()0,t ∈+∞时，()0g t '<()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减()()max 01g t g ∴==，即()1g t ≤ ()01f x ∴≤【点睛】此题考察导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；此题中证明不等式的关键是可以通过换元的方式将()0f x 转化为关于t 的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.请考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔2〕设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】〔1〕22193x y +=，10x y -+=；〔2〕2. 【解析】【分析】(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.【详解】〔1〕因为曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕， 所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=.所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.〔2〕由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||2t t -==. 【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线参数方程t 的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.()()210f x x a x a =++->.〔1〕当1a =时，求不等式()4f x >的解集；〔2〕假设不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；〔2〕()5,+∞【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集. 〔2〕化简不等式()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或者2a x <--，结合恒成立知识的运用，求得a 的取值范围.【详解】〔1〕当1a =时，()121f x x x =++-， 故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或者1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或者1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或者53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.〔2〕当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或者2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立.又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

高三数学理科第一次诊断性测试高三数学理科第一次诊断性测试数学(理)第Ⅰ卷一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．设为空集,则: ( )A．B．C．D．2．有下列四个命题,其中真命题有:①〝若,则互为相反数〞的逆命题;②〝全等三角形的面积相等〞的否命题;③〝若,则有实根〞的逆命题;④〝不等边三角形的三个内角相等〞的逆否命题;( )A．①② B．②③ C．①③D．③④3．单调增区间为( )A． B．C．D．4．若,则a的取值范围是( )A．B． C． D．5．数列1, ( )A．B．C．D．6．已知函数f(_)＝a_(a_gt;0,且a≠1)的反函数为y＝f－1(_),若f－1(2)+f－1(5)＝1,则a等于( )A．B．2 C．5D．107．已知(m为常数)在[－2,2]上有最大值3,那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A．－5 B．－11 C．－29D．－378．设函数,对任意实数t都有成立,则函数值中,最小的一个不可能是( )A． B．C． D．9.抛物线分圆成的两部分的面积之比为( )A．B．C．D．10．幂函数的图象过点(2, ), 则它的单调递增区间是( )A．(0, ＋∞) B．[0, ＋∞] C．(－∞, 0)D．(－∞, ＋∞)11．从材料工地运送电线杆到500m以外的公路,英才苑沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆,已知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输车运行( )A．11700mB．14700m C．14500m D．14000m12．方程的解所在的区间为( )A．(0,2)B．(1,2) C．(2,3)D．(3,4)第Ⅱ卷二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13．一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲.乙所示. 某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;C②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是_______________.14．已知直线与抛物线相切,则15．设p:_－_－20_gt;0,q:_lt;0,则p是q的条件.16．设数列.中,,,,,请按由大到小的次序排列以下各数:...…....…..三.解答题17．(本小题满分12分)如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ω_+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差.Y(2)写出这段曲线的函数解析式.18．(本小题满分12分)已知(1)解关于的不等式;(2)当不等式的解集为(-1,3)时,求实数,的值.19．(本小题满分12分)设函数,(I)讨论在内的单调性;(II)求的取值范围,使函数在区间上是增函数.20．(本小题满分12分)已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,对任意的总成等差数列.(1)求a2.a3.a4的值;(2)求通项公式an.21．(本小题满分12分)已知函数(1)求的值域;(2)设函数,若对于任意,总存在,使得成立,求实数a的取值范围.22．(本小题满分14分)已知,且,数列的前项和为,它满足条件.数列中,·.(1)求数列的前项和;(2)若对一切都有,求的取值范围.参考答案1—5 BCBCB 6—10 DDBAC 11—12 DC13．114．15．充分不必要16．..…....…..17．解:(1)由图示,这段时间的最大温差是30－10=20(℃);(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ω_+φ)+b的半个周期的图象.∴=14－6,解得ω=,由图示A=(30－10)=10,b=(30+10)=20,这时y=10sin(_+φ)+20,将_=6,y=10代入上式可取φ=π.综上所求的解析式为y=10sin(_+π)+20,_∈［6,14］.18．f(1)=－3+a(6-a)+b=-a2+6a+b－3∵ f(1)_gt;0∴ a2－6a+3－b_lt;0△=24+4b当b≤－6时,△≤0∴ f(1)_gt;0的解集为φ;当b_gt;-6时,∴ f(1)_gt;0的解集为(2)∵ 不等式-3_2+a(6-a)_+b_gt;0的解集为(-1,3) ∴ f(_)_gt;0与不等式(_+1)(_-3)_lt;0同解∵ 3_2－a(6－a)_－b_lt;0解集为(－1,3)∴ 解之得19．(I),①当②当0_lt;a_lt;1时,由f′(_)_lt;0,得由f′(_)_gt;0得∴当0_lt;a_lt;1时,f(_)在,为增函为函数,(II)由(I)①知当a≥1时f(_)单调递减,不合;由②知当f(_)在上单调递增等价于:,即a的取值范围是20．解:(2)∵当n≥2时,an=3Sn-4 ∴3Sn=3an+4②-①可得:3an+1=an+1-an∴3Sn=an+4 ①3Sn+1=an+1+4 ②21．解:(1) (2)22．解:(1) 当时,.当≥2时,=,此时··=·,……=……+设……+,……,·……6分(2)由可得当时,由可得, 对一切都成立,此时的解为. 当时,由可得≥对一切都成立,此时的解为.由,可知,对一切都有的的取值范围是或. …………14分。

遂宁市2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学总分: 150分一 单选题（5分*12） 1. 已知复数 z 满足z =1+i , 则i zz+3i=（ ）A.−35−35iB.−15+35iC.−35+35iD.15+35i 2. 人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（ ）A.城镇人口数逐次增加B.历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C.城镇人口比重逐次增加D.乡村人口数逐次增加3. 已知命题 p : “a >1”; 命题q : “函数f(x)=ax +cosx 单调递增”, 则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件4. 已知角 α的顶点与坐标原点O 重合, 始边与x 轴的非负半轴重合. 若角α终边上一点P 的坐标为(cos 2π3,sin 2π3),则sinαtanα=（ ） A.−32B.−√32C.√32D.325. 执行下侧所示的程序框图, 输出 S 的值为 （ ）A.30B.70C.110D.1406. 函数 y =x 28−ln|x|的图象大致为（ ）A. B. C. D.7. 已知离心率为 32的双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则C 的方程是 （ ）A.x 25−y 24=1 B.x 24−y 25=1 C.x 28−y 210=1 D.x 23−y 26=1 8. 已知 a =e 0.1,b =√3c =ln2, 则a,b,c 的大小关系为 （ ）A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a9. 已知函数 f(x)=acos (x −π3)+√3sin (x −π3)是偶函数,g(x)=f (2x +π6)+1, 若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根, 则实数m 的取值范围是（ ） A.[0,3] B.[0,3) C.[2,3) D.[√2+1,3)10.已知函数 f(x)的定义域为R,f(2x −2)为偶函数,f(x −3)+f(−x +1)=0, 当x ∈[−2,−1]时,f(x)=1a x −ax −4(a >0且a ≠1), 且f(−2)=4. 则∑k=119|f(k)|=（ ） A.28B.32C.36D.4011. 某四棱锥的底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形中心, 该四棱锥所有顶点都在半径为 3 的球 O 上, 当该四棱锥的体积最大时, 底面正方形所在平面截球O 的截面面积是（ ） A.πB.4πC.8πD.9π12. 已知函数 f(x)=sinωx +cosωx , 其中ω>0. 给出以下命题:①若 f(x)在(0,π4)上有且仅有 1 个极值点, 则1<ω≤5;①若 f(x)在(π2,π)上没有零点, 则0<ω≤34或32≤ω≤74;①若 f(x)在区间(π2,3π4)上单调递增, 则0<ω≤13或52≤ω≤3.其中所有真命题的序号是（ ） A.①①B.①①C.①①D.①①①二 填空题（5分*4）2a 54 150 , 214. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A , 右焦点F(c,0), 若直线x =c 与该双曲线交于B 、C 两点,△ABC 为等腰直角三角形, 则该双曲线离心率为__________15. 若数列 {a n }对任意n ∈N ∗满足:a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n , 则数列{an n+1}的前n 项和为__________16. 已知函数 f(x)=sin π2x , 任取t ∈R , 记函数f(x)在[t,t +1]上的最大值为M t , 最小值为m t ,设ℎ(t)=M t −m t , 则函数ℎ(t)的值域为__________ 三 解答题（共70分）17. （12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查．某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2×2列联表所示：(1)将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？(2)根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户．若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁及以下”的户数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附表及公式：其中 K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), n =a +b +c +d .18. （12分）在 △ABC 中,a,b,c 分别为角A 、B 、C 的对边,c(acosB +bcosA)=a 2−b 2+bc . (1)求 A ;(2)若角 A 的平分线AD 交BC 于D , 且BD =2DC,AD =2√3, 求a .19. （12分）已知数列 {a n }的前n 项和为S n , 且S n+1=S n +a n +1, __________. 请在a 4+a 7=13;a 1,a 3,a 7成等比数列;S 10=65, 这三个条件中任选一个补充在上面题干中, 并解答下面问题. (1)求数列 {a n }的通项公式;(2)设数列 {a n 2n }的前n 项和T n , 求证:1≤T n <3.20. （12分）如图, 四棱锥 P −ABCD 中, 侧面PAD ⊥底面ABCD , 底面ABCD 为梯形,AB//DC , 且AP =PD =CD =2AB =2√3,∠APD =∠ADC =60∘. 作PH ⊥AD 交AD 于点H , 连结AC,BD 交于点(1)设 G 是线段PH 上的点, 试探究: 当G 在什么位置时, 有GF//平面PAB ; (2)求平面 PAD 与平面PBC 所成二面角的正弦值.21. （12分）已知函数 f(x)=lnx +ax +1(其中a ∈R ).(1) 讨论函数 f(x)的单调性;(2) 对任意 x ∈(0,+∞)都有f(x)≤xe x 成立, 求实数a 的取值范围.22. （10分）在直角坐标系 xOy 中, 曲线C 的参数方程为{x =1+cosαy =1+sinα(α为参数). 以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l 的极坐标方程为ρcos (θ−π4)=√2. (1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;(2)已知点 A 的直角坐标为(−1,3), 直线l 与曲线C 相交于E,F 两点, 求AE ∙|AF|的值. 23. （10分）已知函数 f(x)=|x −1|+2|x +1|. (1) 求不等式 f(x)<5的解集;(2) 设 f(x)的最小值为m . 若正实数a,b,c 满足a +2b +3c =m , 求3a 2+2b 2+c 2的最小值.答案1. D【解析】z=1+i, 故i zz̅+3i =i(1+i)1−i+3i=−1+i1+2i=(−1+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1+3i5=15+35i.故选: D2. D【解析】根据给定的条形图，可得城镇人口在逐年增加，所以A正确；从给定的条形图象，可得再历次人口普查中第七次普查城镇人口最多的，所以B正确；从图表中的数据可得，七次人口普查中城镇人口比重依次为13.06，18.30，20.91，26.40，36.32，69.68，63.89，可知城镇人口比值逐次增加，所以C正确；由图表，可得乡村人口先增加后减少，所以D不正确.故选：D。

四川省成都市高新区2023届高三一诊模拟理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}22A x x =-<，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB u u u r u u u r，则12z z +=（ ）A ．1BC ．3D ．53．已知等差数列{}n a 满足()23544,41a a a a =+=-，则数列{}n a 的前5项和5S 为（ ） A ．15B ．16C ．20D ．304．中国营养学会把走路称为“最简单､最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能､血管弹性､肌肉力量等，甲､乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是（ ）A ．甲走路里程的极差等于11B ．乙走路里程的中位数是27C ．甲下半年每月走路里程的平均数大于乙下半年每月走路里程的平均数D ．甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差 5．若向量,a b r r满足2,1,22,a b a b a b ==-=⋅=r r r r r r （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．26．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥ B ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥ C ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则m //α D ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥7．若3sin sin 2παβαβ-=+=，则tan β=（ ）A B ．C ．13D ．13-8．已知函数()sin22cos f x x x =-，下列说法中，正确的是（ ） A ．函数()f x 不是周期函数B ．点()π,0是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 的增区间为()π7π2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()f x 的最大值为29．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．10．设292,ln ,sin 555a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<11．已知边长为ABCD 中，60A =o ，沿对角线BD 把ABD △折起，使二面角A BD C --为直二面角，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．20πB ．28πC ．36πD ．54π12．定义：设函数()y f x =在(),a b 上的导函数为()f x '，若()f x '在(),a b 上也存在导函数，则称函数()y f x =在(),a b 上存在二阶导函数，简记为()y f x ''=.若在区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()y f x =在区间(),a b 上为“凹函数”.已知()()32113e 1ln ln 622x f x m x x x m ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为“凹函数”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,e 1-B ．()0,e 1-C ．()1,eD ．()0,e二、填空题13．已知变量x ，y 满足约束条件31212x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.14．在()53(1)x x -+的展开式中2x 的系数为__________.三、双空题15．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π,2,3B AB M ==是BC的中点，AM =AC =__________，cos MAC ∠=__________.四、填空题 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右顶点分别为12,A A ，点M 在直线x c =上运动，若12A MA ∠的最大值为60o ，则双曲线C 的离心率为__________.五、解答题17．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+.(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若__________，求数列{}n b 的前n 项和n T .（在①1n n n b a a +=；②(1)n n n b a -=；③1113n a n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）18．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盗，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取400人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，得到以下的2×2列联表：(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关？(2)若从随机抽取的400人中按男女比例分层抽样选取5人进行采访，再从这5人中随机抽取2人赠送冰墩墩，记X 为抽取的2人中男生人数，求X 的分布列和数学期望. 附：()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.19．如图三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为正三角形，且1AA ⊥平面1,,ABC AC AA D E F =､､分别是棱11AB BC AC ､､的中点，记EF 与平面ABC 所成的角为α，二面角F BC A --的平面角为β.(1)求证：CD EF ⊥；(2)判断α与β的大小，并说明理由.20．已知函数2()ln(1)f x x x kx =-+-（其中R k ∈，e 是自然对数的底数）.(1)当14k =时，讨论函数()f x 在[)0,∞+上的单调性；(2)证明*12ln(23)0,N 21ni n n i =-+<∈+∑. 21．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1PA 、B 是椭圆上异于点P 的两点，且0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线PA 、PB 分别交直线3y =于G 、D 两点.(1)求椭圆的标准方程； (2)求GD 的最小值.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 10ρθθ+=(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若点(0,1)P -，直线l 与曲线C 的交点为M ，N ，求||||PM PN +的值. 23．已知0a >，0b >，且2a b +=（I ）若1142x a b+≥-恒成立，求x 的取值范围；（II ）证明：()33114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.。

高三数学一诊模拟考试（理科）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5M =，{}1,3,6N =，则集合{}2,7等于（ ）A 、M NB 、M NC 、()U C M ND 、()()U U C M C N2、抛物线220x y +=的焦点坐标是（ ）A 、1(0,)8-B 、1(0,)4-C 、1(,0)4-D 、1(,0)2-3、在等比数列{}n a 中，首项10a <，则{}n a 是递增数列的充要条件是公比q 满足（ ）A 、1q >B 、1q <C 、0q <D 、01q <<4、以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是（ ）A 、221090x y x +++=B 、221090x y x +-+=C 、221090x y x +--=D 、221090x y x ++-=5、在锐角ABC ∆中，若tan 1,tan 1A t B t =+=-，则t 的取值范围是（ ）A 、)+∞B 、(1,)+∞C 、D 、(1,1)-6、关于x 的方程1lg 21lg x a a+=-有负实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A 、(0,1)(10,)+∞ B 、1(,1)10 C 、(0,1) D 、1(,10)107、已知椭圆22142x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 且倾角为45的直线l 交椭圆于A ，B 两点，对以下结论：①2ABF ∆的周长为8；②83AB =；③在椭圆上不存在相异两点关于直线l 对称；其中正确的结论有（ ）个A 、3B 、2C 、1D 、08、若单调函数(1)y f x =+的图象经过点(2,1)-，则函数1(1)y f x -=-的图象必经过点（ ）A 、(2,2)-B 、(1,2)-C 、(1,2)-D 、(2,1)-9、直线(2)y k x =-与双曲线2244y x -=的下支交于两个不同的点，则实数k 的取值范围是（ ）A 、1(2,2+B 、11,)22C 、(2)5D 、以上都不是 10、已知抛物线21y x =-与x 轴交于(1,0),(1,0)A B -两点，2(,1)(11)M x x x --<<在抛物线AB 上运动，则AM BM +的最大值为（ ）A 、、3 C 、第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

2024届高三年级一诊模拟检测理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数1i z =+，则在复平面内表示复数i z 的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|40}A x x =-<，则Z A =A ．(22)-，B ．{101}-,,C ．[11]-,D ．{21012}--,,,,3．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则A ．n m ∥，m α∥，则n α∥B ．l m ⊥，l n ⊥，m n α⊂，，则l α⊥C ．m α⊥，m n ∥，则n α⊥D ．αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥4．今年“大黄金周”国内旅游人次突破8亿大关，创历史新高.从318个5A 景区中随机抽取30个，统计它们在“大黄金周”的旅游收入（单位：千万）整理得到右图，则A ．这30个5A 景区旅游收入的中位数是19千万B ．这30个5A 景区旅游收入的平均数是19千万C ．这30个5A 景区旅游收入的众数是19千万D ．视频率为概率，从318个5A 景区中随机抽取1个，其旅游收入不低于18千万的概率为0.75．已知向量(cos sin )ββ=,a ，13(,22=b ，则23βπ=是a ，b 夹角为3π的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数e 1()1314sin 3e 1x x f x x x -=++++，若()514f t -=-，则()f t =A ．514B ．520C ．523D ．5177．作为世界上第一个以进口为主题的国家级展会，进博会已成为推动中国与世界市场对接、产业相融、创意互促、规则互鉴的国际大平台.第六届进博会于2023年11月5日至10日在上海举行.某公司派员工甲到指定岗位值班3天，又因工作原因甲不能连续3天值班，则不同的安排方式有A ．24种B ．22种C ．20种D ．16种8．已知某圆台的上底面半径，圆台的高，下底面半径之比为1:2:3，且圆台轴截面面积为8，该圆台上底面圆与下底面圆都在球O 的表面上，则球O 表面积为A ．32πB ．36πC ．40πD ．66π9．已知数列{}n a 是以3为首项2为公差的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为2352n n+，数列{}n c 是以数列{}n a ，{}n b 的相同项按从小到大的顺序排列组成，则下列叙述错误的是A ．数列{}n a 的通项为21n a n =+B ．数列{}n b 的通项为31n b n =+C ．7是数列{}n c 中的项D ．数列{}n c 的前n 项和为26n n+10．已知直线e 3y x a =-(0)a >与曲线ln 2y x b =+(0)b >相切，则a bab+的最小值为A ．5B ．6C ．2652+D ．5262-11．已知1F ，2F 是椭圆22221x y C bα+=:(0)a b >>的左、右焦点，直线0y -=与C 交于点A ，B ，122|AB ||F F |=，则该椭圆的离心率为A．2-B．12C．D112．已知函数3()3f x x x =-，直线y a =与曲线()y f x =有三个交点，记右边两交点的横坐标分别为121(0x x x <，2)x <，则A ．122x x +>B ．1212x x <C．21x x ->D．2132x x a ->+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一诊模拟试题 理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集，集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知复数，则的虚部是（ ） A ． B ． C ． D ．43．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13．1万公里，其中高铁营业里程2．9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列4．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．在中，，，则（ ） A ．1BCD ．26．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）{}2|280U x x x =--<{}|1327xA x =<<U A =ð()0,3(2,0)(3,4)-(2,0][3,4)-(2,1][2,4)-34i z =+5z45-454-3π4tan 43θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭tan 2θ=725-725724-724ABC △0CA CB ⋅=2BC BA ⋅=BC =()222210,0x y a b a b-=>>30°l l y ()0,b 2212x y -=2213x y -=2214x y -=22132x y -=(1)ln y a x x =--()1,033y x =-a =x y 103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩22x y +A ．B ．C ．13D ．12 9．已知点在抛物线上，且为第一象限的点，过作轴的垂线，垂足为，为该抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ． 10．已知函数()sin cos f x x x =+，为了得到函数()2cos 2g x x =的图象，只需将函数的图象上的所有点（ ）A ．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B ．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C ．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D ．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变11．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知，，，记为，，中不同数字的个数，如：，，，则所有的的排列所得的的平均值为（ ）A ．B ．3C ．D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知为偶函数，当时，，则_______．14．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五．此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．15.若二项式6⎛⎝的展开式中的常数项为160-,则()231________axdx -=⎰.16．如图，在中，，，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为_________． 922A ()220y px p =>A A y B F 78pAF =BF -1-2-()f x 6π6π12π3π312a 23π4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭26π2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭26π4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭23π64a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1a 2a {}32,4,6a ∈()123,,N a a a 1a 2a 3a ()2,2,21N =()2,4,22N =()2,4,63N =()123,,a a a ()123,,N a a a 199299()f x 0x <()x f x e x -=-(ln 2)f =ABC △2BC =AB =2π3ACB ∠=E AB ACE BCE ∠=∠CB C 6πD 1CD =DE CDE △三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前项和，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．18．（12分）如图，在长方形中，，，点是的中点．将沿折起，使平面平面，连结、、．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．（12分）某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望与方差.附：若随机变量服从正态分布，则，，.{}na()0d d≠{}n b2d n A n B{}na{}n b n13b=23A=53A B={}na{}n b11n nn nc ba a+⋅=+{}n c n n S2(1)nS n<+ABCD4AB=2AD=E DC ADE△AE ADE⊥ABCE DB DC EBADE⊥BDEADE BDCX()2,Nμσ2225σ≈μξξX()2,Nμσ()0.6826P Xμσμσ-<<+=(22)0.9554P Xμσμσ-<<+=(33)0.9974P Xμσμσ-<<+=20．（12分）已知抛物线，直线是它的一条切线． （1）求的值；（2）若，过点作动直线交抛物线于，两点，直线与直线的斜率之和为常数，求实数的值．21．（12分）设函数． （1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴正半轴重合,直线 的参数方程为：（ 为参数， ），曲线 的极坐标方程为: . （1）写出曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 两点,直线 过定点(2,0)M ,若 ，求直线 的斜率. 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 己知，函数．（1）若，解不等式；（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围．()220y px p =>2y x =+p ()2,4A (),0p m B C AB AC m 2()(2)ln ()f x ax a x x a =---∈R ()f x ()f x a 0a >()f x x a =-2a =()()35f x f x ++≤()()()2g x f x f x a =-+0x ∈R ()202g x a a ≥-a一诊模拟试题理 科 数 学答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】因为，，所以， 故选C ．2．【答案】A【解析】由，得，所以虚部为． 故选A ．3．【答案】D【解析】选项A ，B 显然正确；对于C ，，选项C 正确； 1．6，1．9，2．2，2．5，2．9不是等差数列，故D 错，故选D ． 4．【答案】C【解析】因为，所以，解得， 从而，故选C ．5．【答案】B【解析】因为，所以为直角三角形，所以，所以，故选B ．6．【答案】A【解析】直线的方程为，令，得．，所以， 只有选项A 满足条件，故选A ． 7．【答案】D【解析】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即，故选D ． 8．【答案】C【解析】表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域（如图阴影所示），点到坐标原点的距离最大，即{|24}U x x =-<<{|03}A x x =<<][()2,03,4U A =-ð34i z =+()()()534i 5534i 34i 34i 34i 5z --===++-45-2.9 1.60.81.6->3π4tan 43θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭tan 141tan 3θθ+=--tan 7θ=22tan 7tan21tan 24θθθ==--0CA CB ⋅=ABC △2|cos |2BC BA AB BC ABC BC ⋅=⋅∠=⋅=2BC =l )y x c =+0x =y =b =22222232a c b b b b =-=-=1y a x'=-()1,013a -=4a =22x y +(),x y ()2,3A -()0,0．故选C ． 9．【答案】B【解析】设，因为，所以，解得， 代入抛物线方程得，所以，，，从而直线的斜率为，故选B ． 10．【答案】D【解析】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得， 所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得”即可．故选D ． 11．【答案】C【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为，故选C ．当时，有种；当时，有种，那么所有27个的排列所得的的平均值为．12．【答案】A【解析】由题意可知，所有的的排列数为，当时，有3种情形，即，，；故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】【解析】，故答案为．()()2222max2313xy +=-+=()00,A x y 78p AF =0728p p x +=038px =0y =OB =2p OF =tan BFO ∠=BF ()f x π3x =π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭322m +=1m =()cos 2sin 2cos 6ππ3f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2cos2g x x =()f x π32cos y x =12()2cos2g x x =1822222π1334π8π644a S a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()123,,2N a a a =211323C C C 18⋅⋅=()123,,3N a a a =33A 6=()123,,a a a ()123,,N a a a 132183619279⨯+⨯+⨯=()123,,a a a 3327=()123,,1N a a a =()2,2,2()4,4,4()6,6,62ln2+()()()ln2ln2ln2ln22ln2f f e =-=--=+2ln2+14．【答案】【解析】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共，，三种，所以，所求概率为，故答案为． 15. 616．【答案】【解析】由，得， 解得．因为，所以，，所以．又因为，所以因为，所以，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1），；（2）见解析． 【解析】（1）因为数列，是等差数列，且，，所以，整理得，解得，所以，即，，即． 综上，，． （2）由（1）得，所以，即． 18．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：∵，，连接， ∴，，∴，∴， 又平面平面，平面平面， ∴平面，又平面，∴平面平面．155311C ()3,4,5()6,8,10()5,12,13311C 3155P ==15552222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠2220AC AC +-=1AC =sin sin BC AB BAC ACB =∠∠sin BAC ∠=π4BAC ∠=()sin sin sin 3π4π4AEC ACE BAC ⎛⎫∠=∠+∠=+= ⎪⎝⎭sin sin CE ACBAC AEC=∠∠4CE =-π2ECD BCE BCD ∠=∠+∠=152DCE S CE CD =⋅=△5n a n =21n b n =+{}n a {}n b 23A =53A B =112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩111a d =⎧⎨=⎩()11n a a n d n =+-⋅=n a n =()11221n b b n d n =+-⋅=+21n b n =+n a n =21n b n =+()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++2AD DE ==90ADE ∠=︒BE AE BE ==4AB =222AE BE AB +=AE BE ⊥ADE ⊥ABCE ADE ABCE AE =BE ⊥ADE BE ⊂BDE ADE ⊥BDE（2）作的中点，连结， ∵，∴，又平面平面，∴平面， 过作直线，以、、分别为为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，∴，平面的法向量，， 又，， 设平面的法向量为，，，即，平面的法向量，，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 19．【详解】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得. 所以两人得分之和小于35的概率为.（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：（个）. 又由，得标准差，所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.（i ）因为，所以， 故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为 （人）.（ii ）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为， 所以，的所有可能的取值为0，1，2，3.AE O DO DA DE =DO AE ⊥ADE ⊥ABCE DO ⊥ABCE E EF DO ∥EA EBx y z (0,0,0)EA (0,BD ()AB ∴=-()0,EB=1(2EC AB ∴==(CADE 1EB ∥n1(0,1,0)∴=n (2,CB =(DB =BDC ()2,,x yz =n 2200CB DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩n n 0+=∴+=⎪⎩020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩∴BDC 2(1,1,3)=--n 121212cos ,11⋅∴===-⋅n n n n n n ADE BDC 11A A 221111612612618210029()550C C C C C C P A C +++==29550X (0.0061500.0121600.018170X =⨯+⨯+⨯+0.0341800.0161900.008200⨯+⨯+⨯0.006210)10179+⨯⨯=2225σ≈15σ≈X ()2179,15N 17915164μσ-=-=10.6826(164)10.84132P X ->=-=20000.84131682.61683⨯=≈121~3,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ξ所以，，，，所以，.20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，代入，得，因为拋物线与直线相切，所以，解得． （2）设，，则． 设过点的动直线的方程为，代入，得，所以，，，所以．若变化，为常数，则需满足，解得．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，其定义域为，所以．①当时，令，得；令，得，此时在上单调递减，在上单调递增．②当时，令，得或；令，得，0303111(0)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213113(1)1228P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭2123113(2)C 1228P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3330111(3)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13()322E ξ=⨯=113()31224D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭4p =2m =-2y x =+2x y =-22y px =2240y py p -+=()220y px p =>2y x =+()22440Δp p =-⨯=4p =()11,B x y ()22,C x y ()()12122212121212884488444162288AB AC y y y y k k y y y y y y y y ++--+=+=+=+++++--(),0P m x ty m =+28y x =2880y ty m --=264320Δt m =+>128y y t +=128y y m =-()()121212888841642AB AC y y t k k y y y y t m++++==++++-t AB AC k k +8842m=-2m =-(44ln 2,)++∞()()22ln f x ax a x x =---()0,+∞()()()()211122(0)x ax f x ax a x x x-+=---=>'0a ≥()0f x '<102x <<()0f x '>12x >()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭20a -<<()0f x '<102x <<1x a >-()0f x '>112x a <<-此时在，上单调递减，在上单调递增． ③当时，，此时在上单调递减．④当时，令，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可知：①当时，． 易证，所以．因为，， ．所以恰有两个不同的零点，只需，解得． ②当时，，不符合题意． ③当时，在上单调递减，不符合题意．④当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，且， 又，由于，， 所以，函数最多只有1个零点，与题意不符．综上可知，，即的取值范围为．22．（1）曲线C 的极坐标方程为 ，所以 . 即 ，即 .（2）把直线 的参数方程带入 得 设此方程两根为 ，易知 ,而定点M 在圆C 外，所以 ，， ， ，可得， ∴ ，所以直线 的斜率为-1. 23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得．()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a =-()0f x '≤()f x ()0,+∞2a <-()0f x '<10x a <<-12x >()0f x '>112x a -<<()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0a ≥()14ln224af x f -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小值ln 1x x ≤-()()()222ln 11f x ax a x x ax a x =---≥--+()110313a <≤+()()()()()2221116191211031319191a a f a a a a a a ⎛⎫++≥⋅--⋅+=> ⎪ ⎪++++⎝⎭()120f =>()f x 14ln2024af -⎛⎫=+< ⎪⎝⎭44ln2a >+20a -<<114ln2024a f f a -⎛⎫⎛⎫->=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2a =-()f x ()0,∞+2a <-()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭14ln2024af -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭1111ln f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1102a <-<1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 44ln2a >+a ()44ln2,++∞{}|23x x -≤≤(0,4]2a =()()12,13213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩1x <-125x -≤21x -≤<-12x -≤<35≤12x -≤<2x ≥215x -≤23x ≤≤第 11 页 共 11 页 综上可知，原不等式的解集为． （2），存在使得成立，等价于．又因为，所以， 即，解得，结合，所以实数的取值范围为．{}|23x x -≤≤()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+0x ∈R ()202g x a a ≥-()2max 2g x a a ≥-2x a x a x a x a a --+≤---=222a a a ≥-240a a -≤04a ≤≤0a >a (]0,4。

第七中学2021届高三一诊模拟考试制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

数学〔理〕试题〔考试时间是是：120分钟试卷满分是：150分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，且，那么〔〕【答案】A【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【详解】∵随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，∴对称轴是x=3．∵P〔X≥5〕=0.2，∴P〔1＜X＜5〕=1﹣2P〔X≥5〕=1﹣0.4=0.6．应选：A．【点睛】此题考察正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开场，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．的图象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断．【详解】因为满足偶函数f〔﹣x〕=f〔x〕的定义，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，又x=0时，y=0，排除A、C，应选D.【点睛】此题考察了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于根底题．3.“牟合方盖〞是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图〔其中四边形是为表达直观性而作的辅助线〕.当“牟合方盖〞的正视图和侧视图完全一样时，其俯视图为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【详解】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合〔牟合〕在一起的方形伞〔方盖〕．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，应选：B．【点睛】此题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考察了空间想象才能，属于中档题．是虚数单位，复数满足，那么的虚部为〔〕A. 1B. -1C. -2D. 2【答案】C【解析】【分析】令z=a+bi(a,b，将其代入，化简即可得出．【详解】令z=a+bi，代入，〔a-1+bi〕= a+3+bi，,，应选C.【点睛】此题考察了复数相等的概念及运算法那么、虚部的定义，考察了计算才能，属于根底题．5.执行下边的算法程序，假设输出的结果为120，那么横线处应填入〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果．【详解】模拟执行算法程序，可得：S=1，k=1，不满足条件，S=1，k=2，不满足条件，S=2，k=3，不满足条件，S=6，k=4，不满足条件，S=24，k=5，不满足条件，S=120，k=6，此时i满足条件，退出循环，输出S的值是120；所以横线处应填写上的条件为，应选C.【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，属于直到型循环构造，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答．满足，那么的最大值是〔〕A. -1B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A〔〕，的几何意义为可行域内的动点与定点P〔0，-1〕连线的斜率，由图可知，最大．故答案为：．【点睛】此题考察简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．7.“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可判断出结论．【详解】⇒a>b>0 ⇒，但满足的如a=-2,b=-1不能得到，故“〞是“〞的充分不必要条件.应选A.【点睛】此题考察了对数函数的单调性、简易逻辑的断定方法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．的图象的一条对称轴方程是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f〔x〕=sin〔2x+〕-．再根据正弦函数对称轴的公式，求出f〔x〕图象的对称轴方程.【详解】f〔x〕==sinx=sin2x-=sin2x+-=sin〔2x+〕-，∴f〔x〕=sin〔2x+〕-，令2x+=(k,解得x=(k,k=0时，，应选B.【点睛】此题考察了三角函数的化简与三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式和二倍角公式，属于中档题．分解因式得，为常数，假设，那么〔〕A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+〔-2〕=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，应选D.【点睛】此题考察了二项式定理的应用，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．10.正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，那么其内切球〔与四个面都相切〕的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积，再求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，利用等体积能求出球的外表积．【详解】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∴为侧面与底面所成的二面角的平面角，∴=∵PD=6，∴DE=2,PE=4 , AB=12,∴S△ABC=×〔12〕2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．∴S表=108.设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=6，∴V P﹣ABC=•36•6=72．那么由等体积可得r==2，∴S球=4π22=16π．应选B.【点睛】此题考察棱锥的内切球的半径的求法，棱锥全面积和体积的求法，考察球的外表积公式，解题时要认真审题，注意空间思维才能的培养．分别是的内角的对边，，设是边的中点，且的面积为，那么等于〔〕A. 2B. 4C. -4D. -2【答案】A【解析】【分析】利用三角形内角和定理可得．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈〔0，π〕可得A的值，结合的面积求得bc,将利用向量加减法运算转化为,即可求得结果.【详解】∵，，∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈〔0，π〕，可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,又=-=-=-===-bccosA=2.应选A.【点睛】此题主要考察了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考察了转化思想和计算才能，属于中档题．不是等差数列，但假设，使得，那么称的项数为4，记事件：集合，事件：为“部分等差〞数列，那么条件概率〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出事件与事件的根本领件的个数，用=计算结果.【详解】由题意知，事件一共有=120个根本领件，事件“部分等差〞数列一共有以下24个根本领件，〔1〕其中含1，2，3的部分等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3一共3个，含3，2，1的部分等差数列的同理也有3个，一共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述〔1〕一样，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1一共 2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4一共4个，含5，3，1的也有上述4个，一共24个，=.应选C.【点睛】此题主要考察了条件概率的求法，综合运用了等差数列与集合的知识，理解题意是解决此类题的关键.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.某初中部一共120名老师，高中部一共180名老师，其性别比例如下图，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么工会代表中男老师的总人数为________.【答案】12【解析】【分析】利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男老师的总人数．【详解】∵高中部女老师与高中部男老师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女老师有6人，那么男老师有9人，工会代表中高中部老师一共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，工会代表中初中部老师人数与高中部老师人数比例为2：3，工会代表中初中部老师总人数为10，又∵初中部女老师与高中部男老师比例为7：3，工会代表中初中部男老师的总人数为10×30%=3；∴工会代表中男老师的总人数为9+3=12，故答案为12．【点睛】此题考察对分层抽样的定义的理解，考察识图才能与分析数据的才能，考察学生的计算才能，比拟根底．的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，假设，那么的值〔〕A. B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据条件，结合抛物线的定义得==，即可得出结论．【详解】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.应选：D．【点睛】此题考察了抛物线的定义HY方程及其性质、向量的一共线，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．，，为自然对数的底数，假设，那么的最小值是________.【答案】【解析】【分析】运算=1，将变形，利用分母的和为定值，将乘以，利用根本不等式即可求得结果.【详解】=1，，.故答案为.【点睛】此题考察了“乘1法〞与根本不等式的性质，考察了微积分根本定理，积分的运算，属于中档题．有三个不同的零点，那么实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．【详解】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如下图：当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1,在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如下图：有三个不同的交点，a≤4故答案为：【点睛】此题主要考察函数的零点与方程的根的关系，表达了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.中，，.求的前项和；对于中的，设，且，求数列的通项公式.【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=1，q=2，由此能求出{a n}的前项和．〔2〕由，直接利用累加法求出{b n}的通项．【详解】设正项等比数列的公比为，那么由及得，化简得，解得或者〔舍去〕.于是，所以，.由，，所以当时，由累加法得，.又也合适上式，所以的通项公式为，.【点睛】此题考察数列通项公式、数列的前n项和的求法，考察累加法求通项等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．18.“黄梅时节家家雨〞“梅雨如烟暝村树〞“梅雨暂收斜照明〞……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2021～2021年梅雨季节的降雨量〔单位：〕的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答以下问题：“梅实初黄暮雨深〞.假设每年的梅雨天气互相HY，求镇将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；“江南梅雨无限愁〞.在〔/亩〕与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为〔元/〕，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使利润〔万元〕的期望更大？〔需说明理由〕；降雨量亩产量500 700 600 400【答案】乙【解析】【分析】由频率分布直方图可求出降雨量超过的概率，利用HY重复试验的概率公式计算三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率.根据题意，列出随机变量〔万元〕的分布列并求期望，与甲品种的平均值作比拟得出结论.【详解】频率分布直方图中第四组的频率为.江南地区在梅雨季节时降雨量超过的概率为.所以地区将来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为〔或者0.15625〕.根据题意，总利润为〔元〕，其中.所以随机变量〔万元〕的分布列如下表.27 35故总利润〔万元〕的数学期望〔万元〕.因为31>28，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望的求法，考察计算才能．的离心率为，且经过点.求椭圆的HY方程；设为椭圆的中线，点，过点的动直线交椭圆于另一点，直线上的点满足，求直线与的交点的轨迹方程.【答案】【解析】【分析】〔1〕利用椭圆C：的离心率为，且经过点M〔2，0〕，可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；〔2〕直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.【详解】因为椭圆的离心率，且，所以.又.故椭圆的HY方程为.设直线的方程为〔当存在时，由题意〕，代入，并整理得. 解得，于是，即.设，那么.由得，得，解得，于是.又，由两点的坐标可得直线的方程为.又由点坐标可得直线的方程为.两式相乘，消去参数得.〔假如只求出交点的坐标，此步不得分〕又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.故直线与的交点的轨迹方程.【点睛】此题考察椭圆的HY方程，考察直线与椭圆的位置关系，考察直线过定点，正确运用韦达定理是关键．20.如图，在多面体中，和交于一点，除以外的其余各棱长均为2.作平面与平面的交线，并写出作法及理由；求证：平面平面；假设多面体的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】见解析见解析【解析】【分析】由题意可得平面，由线面平行的性质作出交线即可.取的中点，连结，.由条件可证得平面，故.又.平面.从而平面平面.利用等体积法求得三棱锥的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角. 【详解】过点作〔或者〕的平行线，即为所求直线.和交于一点，四边形边长均相等.四边形为菱形，从而.又平面，且平面，平面.平面，且平面平面，.取的中点，连结，.，，，.又，平面，平面，故.又四边形为菱形，.又，平面.又平面，平面平面.由，即.设三棱锥的高为，那么，解得.又，平面.建立如图的空间直角坐标系，那么，，，.，.由得，平面的一个法向量为.又，于是.故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考察证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点．，其中为常数.假设曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；假设对，都有，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】〔1〕求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．〔2〕对a分类讨论，易判断当或者当时，在区间内是单调的，根据单调性得出结论，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故，又因为，的最大值为，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后求解结果．【详解】求导得，所以.又，所以曲线在处的切线方程为.由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.对，，所以在区间内单调递减.①当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去.②当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由恒成立得，结合得.③当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，由恒成立知，，，所以.又的最大值为，由得，所以.设，那么，所以在区间内单调递增，于是，即.所以不等式恒成立.综上所述，所求的取值范围是.【点睛】此题考察导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考察转化思想以及计算才能．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]中，曲线的参数标方程为〔其中为参数〕，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系〔两种坐标系的单位长度一样〕中，直线的极坐标方程为.求曲线的极坐标方程；求直线与曲线的公一共点的极坐标.【答案】【解析】【分析】〔1〕先将曲线C的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；〔2〕将与的极坐标方程联立，求出直线l与曲线C的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得极坐标．【详解】消去参数，得曲线的直角坐标方程.将，代入，得.所以曲线的极坐标方程为.将与的极坐标方程联立，消去得.展开得.因为，所以.于是方程的解为，即.代入可得，所以点的极坐标为.【点睛】此题考察曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考察计算才能．[选修4-5：不等式选讲]，且.假设，求的最小值；假设，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】由柯西不等式将中的变为，求得的最小值.因为，又，故再结合绝对值三角不等式证得结论成立.【详解】由柯西不等式得，〔当且仅当时取等号〕，所以，即的最小值为；因为，所以，故结论成立.【点睛】此题考察了利用柯西不等式求最值，考察了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.制卷人：打自企；成别使；而都那。

高2023届高三一诊模拟考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合{}2Z 230A x x x =∈+-≤，{|1}B x x =≥-，则集合A B ⋂的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若复数z 满足(1)i 1i z -⋅=-，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．“17m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原△ABC 的面积是（ ）AB ．CD 5．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2π，则母线长为（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．166．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg20.301≈，结果精确到0.1）（ ）A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.37．如图所示的程序框图中，若输出的函数值()f x 在区间[2,2]-内，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[2,4]-C ．[1,2]-D ．[1,4]-15．为了测量成都七中曦园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1百米的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______百米.16. 已知()2cos15,2sin15A ︒︒，()0,0O ，且2OB OC ==,则AB AC ⋅的取值范围是_________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分，每题12分.17.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别记作a ，b ，c ，满足6a =，5b =，且sin sin2A B =．(1)求边c ；(2)若点M ，N 分别在边AB 和AC 上，且MN 将△ABC 分成面积相等的两部分，求MN 的最小值．18. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒。

2021级高三上期一诊模拟试题（一）数学（答案在最后）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|B x y ==，则A.A B ⊆B.A B A ⋃= C.A B ⋂=∅D.()I A B ⋂≠∅ð【答案】A 【解析】【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.【详解】∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥，由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，A B A = ，I A B ⋂=∅ð，故选A ．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.下列函数中，与函数1y x =-相同的是（）A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数.【详解】解：对于A ，1y x ===-，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数；对于B ，函数211x y x -=+的定义域为{}1x x ≠-，函数1y x =-的定义域为R ，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于C ，两函数的定义域都是R ，且对应关系相同，故两函数为相同函数；对于D ，1y x ==--，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.3.如图所示，在ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB的中点，则DE =（）A.1136BA BC --B.1163BA BC --C.5163BA BC --D.5163BA BC -+【答案】B 【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】()111111323263DE DA AE CA AB CB BA BA BC =+=+=+-=--.故选：B4.已知函数()22x f x a-=+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()211π9πcos sin 22sin πααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--等于（）A.23-B.23C.32D.32-【答案】A 【解析】【分析】先化简所要求的式子，又由于()220222123f aa -=+=+=+=，所以()22x f x a -=+过定点()2,3P ，进一步结合题意可以求出与α有关的三角函数值，最终代入求值即可.【详解】()()()222ππππ11π9πcos 6πsin 4πcos sin cos sin 222222sin πsin π+sin πααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦==--⎡⎤-+⎣⎦又因为ππcos cos sin 22ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin os π2c αα⎛⎫= ⎪+⎝⎭，()22sin πsin αα+=，故原式=2sin cos 1sin tan αααα-⋅=-;又()22x f x a -=+过定点()2,3P ,所以3tan 2α=，代入原式得原式=12tan 3α-=-.故选：A .5.函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A.13π,π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ B.132π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈C.13,44k k ⎡⎤-+⎢⎣⎦，Zk ∈ D.132,244k k ⎡⎤-+⎢⎣⎦，Zk ∈【答案】D 【解析】【分析】根据图象可得()f x 的最小正周期和最小值点，根据余弦型函数的性质分析判断.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，可知511244T =-=，即2T =，且当5134424x +==时，()f x 取到最小值，由周期性可知：与34x =最近的最大值点为31144x =-=-，如图所示，所以()f x 的单调递减区间为132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.故选：D.6.下列5个命题：①“0R x ∃∈，2010x +<”的否定；②sin sin αβ=是αβ=的必要条件；③“若a ，b都是偶数，则a b +是偶数”的逆命题；④“若2320x x -+=，则1x =”的否命题；⑤{|x x x ∀∈是无理数}，3x 是无理数.其中假命题的个数为（）A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B 【解析】【分析】写出命题的否定即可判断①，根据必要条件的定义判断②，写出逆命题判断③，写出否命题判断④，利用特殊值判断⑤.【详解】对于①“0R x ∃∈，2010x +<”的否定为“R x ∀∈，210x +≥”，显然为真命题；对于②：由αβ=能推得出sin sin αβ=，故αβ=是sin sin αβ=的充分条件，sin sin αβ=是αβ=的必要条件，故②为真命题，对于③：“若a ，b 都是偶数，则a b +是偶数”的逆命题为：若a b +是偶数，则a ，b 都是偶数，当1a =，3b =时满足a b +是偶数，但是a ，b 都是奇数，故③是假命题；对于④：“若2320x x -+=，则1x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则1x ≠”，由2320x x -+≠则1x ≠且2x ≠，故④为真命题；对于⑤：{|x x x ∀∈是无理数}，3x 是无理数，为假命题，如3x 2=33322x ==为有理数，故⑤为假命题.故选：B7.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式t S ab =，若经过5年，二氧化碳的排放量为45a（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为4a（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：lg 20.3≈）（）A.28 B.29C.30D.31【答案】C 【解析】【分析】根据题设条件可得545a S ab ==，令4ta ab =，代入b =，等式两边取lg ，结合lg 20.3≈估算即可.【详解】由题意，545a S ab ==，即545b b =⇒=，令4ta ab =，即14t b =，故14t=，即1lg 4t =，可得1(3lg 21)2lg 25t -=-，即10lg 233013lg 20.1t =≈=-.故选：C8.若log (1),2()112,222a x x f x a x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.(1,)+∞B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.∅【答案】C 【解析】【分析】依题意()f x 在R 上单调递减，则函数在各段单调递减，且断点左侧的函数值不小于右侧函数值.【详解】因为log (1),2()112,222a x x f x a x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，所以()f x 在R 上单调递减，则()0112021122log 2122a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1184a ≤<，即a 的取值范围是11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C9.南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示.若输出的S 的值为56，则程序框图中①处可以填入（）A.3?i <B.4?i <C.5?i <D.6?i <【答案】D 【解析】【分析】根据循环结构及执行逻辑写出执行步骤，结合输出结果确定条件即可.【详解】第一次循环：011,011a S =+==+=，不满足输出条件，2i =；第二次循环：123,134a S =+==+=，不满足输出条件，3i =；第三次循环：336,4610a S =+==+=，不满足输出条件，4i =；第四次循环：6410,101020a S =+==+=，不满足输出条件，5i =；第五次循环：10515,201535a S =+==+=，不满足输出条件，6i =；第六次循环：15621,352156a S =+==+=，满足输出条件，退出循环．所以判断框中的条件可填入“6?i <”．故选：D10.数列{}n a 中，12a =，对任意,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=- ，则k =（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】取1m =，可得出数列{}n a 是等比数列，求得数列{}n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k *∈N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=，所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=--- ，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.11.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()1f x +为奇函数，当[]0,1x ∈时，()3x f x k a =⋅+.若()()034f f +=，则()3log 2f =（）A.2B.0C.3- D.6-【答案】A 【解析】【分析】由函数性质判断函数的周期性，根据特殊值求,k a 的值，再根据函数的解析式，代入求值.【详解】()1f x +Q为奇函数，()()11f x f x ∴-+=-+，又()f x 为偶函数，()()11f x f x ∴-+=-，()()11f x f x ∴-=-+，即()()()()()2,42f x f x f x f x f x =-+∴+=-+=，所以函数()f x 的周期为4，由()()11f x f x -+=-+，令0x =，易得()()()()10,3110,f f f f ==-==，()04,f ∴=()()04130f k a f k a ⎧=+=⎪∴⎨=+=⎪⎩，解得2,6k a =-=，∴当[]0,1x ∈时，()()3log 23236,log 22362262x f x f =-⋅+=-⨯+=-⨯+=.故选：A12.设函数()()224,4log 4,4x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234122x x x x +++的最小值为（）A.312B.16C.332D.17【答案】B 【解析】【分析】作出函数()f x 的大致图象，可知124x x +=，由()y f x =与y t =的图象有四个交点可得()024t f <<=，计算2log (4)4t x =-=求得x 的值即可得4x 的范围，根据()()4232log 4log 40x x -+-=可得3x 与4x 的关系，再根据基本不等式计算34122x x +的最小值即可求解.【详解】作出函数()f x的大致图象，如图所示：当4x ≤时，()24f x x x =-+对称轴为2x =，所以124x x +=，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则()024t f <<=，由2log (4)(2)4t x f =-==，得6516x =或20x =，则4520x <<，又2423log (4)log (4)x x -=--，所以()()4232log 4log 40x x -+-=，所以()()43441x x -⋅-=，所以43144x x =+-，且44(1,16)x -∈，所以()4434441121224241412204x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝+-⎭+=++-2101210≥++==，当且仅当()4412424x x -=-，即46x =时，等号成立，故123414x x x x +++的最小值为16.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卡的横线上.13.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k=__________.【答案】2【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.故答案为：2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若x ，y 满足约束条件240200x y x y y --≤⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最大值为______．【答案】8【解析】【分析】作出可行域，通过平行232z y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭确定z 的最大值.【详解】如图，作出不等式组所表示的平面区域，联立方程2400x y y --=⎧⎨=⎩，解得4x y =⎧⎨=⎩，即()4,0C ，由23z x y =-，即232z y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭表示斜率23k =，横截距为2z的直线l ，通过平移可得当直线l 过点C 时，横截距最大，即z 最大，故max 24308z =⨯-⨯=.故答案为：8.15.函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】利用sin cos t x x =+通过换元将原函数转化为含未知量t 的函数()f t ，再解出函数()f t 的值域即为函数()f x 的值域.【详解】令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[1)(t ∈-- ，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[1)(t ∈-- ，所以()11,11,22f t ⎡⎫⎛⎤∈--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为11,11,22⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ ．故答案为：2121,11,22⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.16.已知()f x 为偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+<，其中()f x '为()f x 的导数，则不等式()()()11220x f x xf x --+>的解集为______．【答案】(),1-∞-【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合奇偶性求解不等式作答.【详解】令函数()()g x xf x =，当[)0,x ∈+∞时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，由()f x 为偶函数，得()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，即函数()g x 是奇函数，于是()g x 在R 上单调递减，不等式()()()()()1122022(1)1(2)(1)x f x xf x xf x x f x g x g x --+>⇔>--⇔>-，因此21x x <-，解得1x <-，所以原不等式的解集是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-【点睛】关键点睛：根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：每小题12分，共60分.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n a S n n =+∈N .（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）记()()2221log 1log 1n n n c a a +=+⋅+，求证：数列{}n c 的前n 项和34n T <.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)由2n n a S n =+得()11212n n a S n n --=+-≥,作差得121n n a a -=+,进而得1121n n a a -+=+,故数列{}1n a +是等比数列；（2）由（1）得21nn a =-，故()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，再根据裂项求和证明即可.【详解】解：（1）因为2n n a S n =+①，所以()11212n n a S n n --=+-≥②由①-②得，121n n a a -=+.两边同时加1得()1112221n n n a a a --+=+=+，所以1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是公比为2的等比数列.（2）令1n =，1121a S =+，则11a =.由()11112n n a a -+=+⋅，得21nn a =-.因为()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，所以11111111121324112n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭11113111221242224n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因为*11,02224n N n n ∈+>++，所以3113422244n n ⎛⎫-+<⎪++⎝⎭所以1111311312212422244n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k⎛⎫=-⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．18.已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- ．（1）求()f x 的最小正周期以及单调递增区间．（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【答案】（1）πT =，π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）⎡-⎣【解析】【分析】（1）先通过向量的坐标运算及三角公式得()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质得周期和递增区间；（2）利用正弦函数的图像和性质可得()f x 的值域.【小问1详解】由已知()31sin ,1cos ,sin cos ,22a b x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()()122sin ,1sin cos ,2f x a a b x x x ⎛⎫∴=⋅-=⋅+- ⎪⎝⎭ ()π2sin sin cos 1sin 2cos 224x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，2ππ2T ==∴，再令πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤-≤+∈，解得π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，即()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】当π02x ≤≤时，ππ3π2444≤≤--x ，2πsin 2124x ⎛⎫∴-≤-≤ ⎪⎝⎭，π124x ⎛⎫∴-≤-≤ ⎪⎝⎭，()f x \的值域为⎡-⎣.19.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33,82.【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-，此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，此时就有sin cossin sin 2BA AB =，即cos sin 2B B =，再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=．[方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】由解法1得sin sin 2A CB +=，两边平方得22sinsin 2A CB +=，即21cos()sin 2A C B -+=．又180A B C ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=，进一步整理得22cos cos 10B B +-=，解得1cos 2B =，因此3B π=．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为ABC 是锐角三角形，又3B π=，所以,6262AC ππππ<<<<，则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 2sin sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅===22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=．因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan ,3C ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，则1tan C ∈，从而82ABC S ⎛ ⎝⎭∈ ，故ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．[方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知ABC的面积4ABC S a =△．因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以22221cos 0,21cos 0,2b a A b b a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩，又由余弦定理得221b a a =+-，所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC 中，过点A 作1AC BC ⊥，垂足为1C ，作2AC AB ⊥与BC 交于点2C ．由题设及（1）知ABC 的面积34ABC S a=△，因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos cc B a B⋅<<，即1cos3cos3a ππ<<，即122a <<，所以3382ABC S << ，故ABC面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.20.已知函数()2e xf x ax =-．（1）若()f x 在()0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，求曲线()y f x =过点()0,1的切线方程．【答案】（1）e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）1y x =+或()e 21y x =-+【解析】【分析】（1）根据题意可得()0f x '≥在()0,∞+恒成立，利用参变分离可得e2x a x≥在()0,∞+上恒成立，利用导数求maxe x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）设切点()0200,e x x x -，根据导数的几何意义可得斜率为00e 2xk x =-，利用点斜式得()()()00200e e 2xxy x x x x --=--，代入点()0,1求解．【小问1详解】()e 2x f x ax '=-，因为()f x 在()0,∞+上单调递增所以()0f x '≥在()0,∞+恒成立，即e2x a x≥在()0,∞+上恒成立令()e x g x x =，则()()21exx g x x -'=所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增所以()()min 1e g x g ==，则2a e ≤，故实数a 的取值范围是e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【小问2详解】当1a =时，()2e xf x x =-，()e 2xf x x '=-．设切线与曲线()y f x =的切点坐标为()0200,e xx x -，切线斜率00e 2xk x =-则切线方程为()()()00200e e 2x xy x x x x --=--将点()0,1代入，得()()()0020001e e 2x xx x x --=--整理得()()00011ex x x -+-=构建()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-令()0g x '>，则0x >∴()g x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增则()()00g x g ≥=因为1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时，等号成立所以方程()()00011e0x x x -+-=的根为00x=或01x =当00x =时，所求切线方程为1y x =+当01x =时，所求切线方程为()e 21y x =-+21.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，进而得到导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x =为()f x 在(]1,0-上的唯一零点；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，首先可判断出在()00,x 上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可知()0f x >，不存在零点；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x π∈+∞，可证得()0f x <；综合上述情况可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()'∴g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤=()f x \在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()00f '=()00f x '∴>()f x \在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x \在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x \在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减又02f π⎛⎫>⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C πsin 104θ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，且两曲线1C 与2C 交于M ，N 两点．（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）设()2,1P -，求PM PN -．【答案】（1）24y x =，10x y +-=（2）【解析】【分析】（1）依据参普方程互化规则求得曲线1C 的直角坐标方程，依据极坐标与直角坐标的互化规则求得曲线2C 的直角坐标方程；（2）利用直线参数方程的几何意义去求PM PN -的值简单快捷.【小问1详解】由曲线1C 的参数方程消去参数t ，得24y x =，即曲线1C 的直角坐标方程为24y x =．由曲线2C 的极坐标方程，得sin cos 10ρθρθ+-=，则10x y +-=即2C 的直角坐标方程为10x y +-=．【小问2详解】因为()2,1P -在曲线2C 上，所以曲线2C的参数方程为2,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入1C的直角坐标方程，得21702t +-=．设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-，1214t t =-，所以12PM PN t t -=+=．[选修4-5：不等式选讲]23.选修4-5：不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】【详解】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此1.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．。

第一次诊断性考试数 学（理工类）注意事项：1. 答卷前；考生务必得将自己的姓名；座位号和准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时；每小题选出答案后；用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动； 用橡皮擦干净后；再选涂其他答案标号；在试题卷上作答无效。

3. 回答主观题时；将答案写在答题卡上对应位置；写在本试卷上无效。

4. 考试结束后；将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分。

在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题 目要求的。

1. 已知全集},,9|{*N x x x U ∈≤=集合},6,5,4,3{},3,2,1{==B A 则=)(B A CA.{3}B.{7；8}C.{7；8；9}D.{1；2；3；4；5；6}2. 已知i 是虚数单位；若i i z 31)1(+=+；则=zA. 2+iB. 2-iC. -1+iD. -1-i3. 若）＜＜20(53sin παα=；则sin =+)6(πα A. 10433- B. 10433+ C.10343- D.10343+ 4. 已知命题q p ,是简单命题；则“q p ∨是真命题”是“p ⌝是假命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 如图；四边形ABCD 是正方形；延长CD 至E ；使得CD DE =；若点P 为CD 的中点； 且AE AB AP μλ+=；则=+μλA. 3B. 25 C. 2 D. 16. 如图；是某算法的程序框图；当输出29＞T 时；正整数n 的最小值是A. 2B. 3C. 47. 从1；3；5；7；9中任取3个数字；从2；4；6；8中任取2个数字；组成没有重复数字的五位数；则组成的五位数是偶数的概率是A. 32B. 53C. 21D. 52 8. 已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-)6(6(1)21(5n a n n a a n n ）＜若对于任意的*N n ∈都有1+n n a a ＞；则实数a 的取值范围是A. （0；21）B. （127,21） C. （1,21） D. （1,127） 9.已知不等式0264cos 64cos 4sin 22≥--+m x x x 对于]3,3[ππ-∈x 恒成立；则实数m 的取值范围是 A. ]2,(--∞ B. ]22,(-∞ C. 2,22[ D. ),2[+∞ 10. 如图；在三棱锥BCD A -中；已知三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直；32,π=∠=∠=CBD CBA BD AB ；则直线AD 与平面BCD 所成角的大小是 A. 6π B. 4πC. 3πD. 2π 11. 椭圆）＞＞05(12222a by a x =+的一个焦点为F ；该椭圆上有一点A ；满足△OAF 是等边三角形（O 为坐 标原点）；则椭圆的离心率是A. 13-B. 32-C. 12-D. 22-12. 已知函数)(x f y =与)(x F y =的图象关于y 轴对称；当函数)(x f y =和)(x F y =在区间],[b a 同时递增或同时递减时；把区间],[b a 叫做函数)(x f y =的“不动区间”；若区间1；2]为函数|2|t y x-=的“不动区间”；则实数t 的取值范围是 A. (0；2] B. ),21[+∞C. ]2,21[D. ),4[]2,21[+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题；每小题5分；共20分。

四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟（三）数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．45.25m B．50.76mA．52B．10．已知实数0x>，则函数A．(0,)+¥B．11．若函数()y f x=满足由图知：AD BC EC ==，D Ð所以,DM EM AM CM ==，而令,AM a DM x a ==-且2a >所以222(6)()x x a a a -+-=Þ构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>，所以原问题等价于存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()f x f y =，显然函数()f m 不是正实数集上的单调函数，()()e 20m f m m t m ¢=-+>，设()()()e 20e 2m m g m m m g m ¢=->Þ=-，当ln 2m >时，()()0,g m g m ¢>单调递增，当0ln 2m <<时，()()0,g m g m ¢<单调递减，故()()minln 22ln 2g m g ==-，当2ln 20t -+³时，即ln 22t ³-时，()()0,f m f m ¢³单调递增，所以不符合题意；当2ln 20t -+<时，即ln 22t <-时，显然存在0m ，使得()00f m ¢=，因此一定存在区间()()00,0m m e e e -+>，使得()f m ¢在()()0000,,,m m m m e e -+上异号，因此函数()f m 在()()0000,,,m m m m e e -+上单调性不同，因此一定存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()e e x y x y x y t -+-=-成立，故答案为：),2l 2(n2-¥-【点睛】关键点睛：本题的关键是由()()e e x y x y x y t -+-=-构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>.17．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；。

卜人入州八九几市潮王学校数学高2021级“一诊模拟〞考试〔一〕试题理科数学〔第一卷〕一、选择题：只有唯一正确答案，每一小题5分，一共50分1、集合{1,2}P =，{|}Q x x 2=<，那么集合P Q 为〔〕〔A 〕{1,2}〔B 〕{1}〔C 〕{2}〔D 〕{0,1}2、复数212i i -+的虚部是〔〕〔A 〕0〔B 〕5i 〔C 〕1〔D 〕i3、5sin cos 3θθ+=-，那么7cos(2)2πθ-的值是〔〕 〔A 〕49〔B 〕29〔C 〕29-〔D 〕49- 4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出S 的值是〔〕〔A 〕8〔B 〕18〔C 〕26〔D 〕805、设a 、b 是两条不同的直线，α、β)〔A 〕假设a ⊥b ，a ⊥α，那么b ∥α〔B 〕假设a ∥α，α⊥β，那么a ⊥β〔C 〕假设a ⊥β，α⊥β，那么a ∥α〔D 〕假设a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，那么α⊥β6、函数()sin()f x A x ωϕ=+的局部图象如下列图，那么此函数的解析式为〔〕〔A 〕()2sin()33f x x ππ=-〔B 〕()2sin(1)6f x x π=- 〔C 〕()2sin()3f x x π=-〔D 〕()2sin()66f x x ππ=- 7、对一实在数x ，不等式01||2≥++x a x恒成立，那么实数a 的取值范围是〔〕 (A))2,(--∞ (B)),2[+∞- (C)]2,2[- (D)),0[+∞ 8、O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不一共线的三点，假设(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=，那么ABC 是〔 〕 14y x O 2-2〔A 〕以AB 为底边的等腰三角形〔B 〕以BC 为底边的等腰三角形 〔C 〕以AB 为斜边的直角三角形 〔D 〕以BC 为斜边的直角三角形9、反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停顿抛掷，那么抛掷五次后恰好停顿抛掷的不同记录结果总数是〔〕〔A 〕360种〔B 〕840种〔C 〕600种〔D 〕1680种10、关于x 的方程220x bx c -++=，假设{}01234b c ∈、，，，，，记“该方程有实数根12x x 、且满足1212x x -≤≤≤〞为事件A ，那么事件A 发生的概率为〔〕〔A 〕516〔B 〕1225〔C 〕1425〔D 〕1625二、填空题：每一小题5分，一共25分11、数列{}n a 的前n 项和332n nS =-⨯，那么n a =． 12、(12)n x +的展开式中3x 的系数等于2x 的系数的4倍，那么n 等于．13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，假设主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为．14、设向量a 与b 的夹角为θ，)1,2(=a ，)54(2，=+b a ，那么θcos 等于．15、定义在(1,1)-上的函数)(x f 满足：对任意,(1,1)x y ∈-，()()()1x y f x f y f xy--=-恒成立．有以下结论：①(0)0f =；②函数()f x 为(1,1)-上的奇函数；③函数()f x 是定义域内的增函数；④假设122()1n n na a n a *+=∈+N ，且(1,0)(0,1)n a ∈-，那么数列{}()n f a 为等比数列．其中你认为正确的所有结论的序号是．侧视图 俯视图新高2021级“一诊模拟〞考试〔一〕试题理科数学〔第二卷〕11、12、13、14、15、三、解答题：总分75分16、〔此题总分值是12分〕ABC ∆的面积S满足36S AB BC ≤≤⋅=且，AB BC 与的夹角为θ．〔Ⅰ〕求θ的取值范围； 〔Ⅱ〕求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最大值．17、〔此题总分值是12分〕三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90ACB ∠=︒，2AC CB ==． 〔Ⅰ〕求证：平面PAB⊥平面ABC ； 〔Ⅱ〕假设2CB AD =，且异面直线PC 与AD 的夹角为60︒时，求二面角P CD A --的余弦值．18、〔此题总分值是12分〕设函数()x f y =满足：对任意的实数,R x ∈有()sin =x f 〔Ⅰ〕求()x f 的解析式； 〔Ⅱ〕假设方程()212-=x a x f 有解，务实数a 的取值范围x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩. 〔Ｉ〕写出年利润W 〔万元〕关于年产量x 〔千件〕的函数关系式；〔Ⅱ〕年消费量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的消费中所获年利润最大？20、〔此题总分值是13分〕设数列{}n a 为单调递增的等差数列,1,1=a 且1263,,a a a 依次成等比数列. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式n a ；A B〔Ⅱ〕假设(),223222+⋅+=n n n a a a n b 求数列{}n b 的前n 项和n S ；〔Ⅲ〕假设2121n n a n a c +=-，求证：.312+<∑=n c n i i 21．〔本小题总分值是14分〕函数1ln(1)()(0)x f x x x ++=>． 〔Ⅰ〕函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； 〔Ⅱ〕当0x >时，()1k f x x >+恒成立，求整数k 的最大值； 〔Ⅲ〕试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>.。