2018届一轮复习人教A版7.4基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题 学案

第04节 基本不等式及其应用【考纲解读】【知识清单】基本不等式1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 对点练习【2018重庆铜梁县联考】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则 + 的最小值为（ ）A. 3+2B. 3+2C. 7D. 11【答案】A【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用． 【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【1-2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【领悟技法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【触类旁通】 【变式一】求证:47(3)3a a a +≥>-考点2 利用基本不等式求最值【2-1】【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当2224a b ==时取等号）. 【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），则1212ax x x x ++的最大值是（ ）D. 【答案】D【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得： 2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么： 1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a4a +13a ≤故1212ax x x x ++的最大值为3-．故选：D ．【2-3】【2018安徽安庆模拟】若方程ln x a =有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,+∞B. )+∞ C. ()2,+∞ D. ()0,1【答案】C【领悟技法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋ax(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【触类旁通】【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈的两个零点为1x ， 2x ，若122x x +≤，则（ ）A. 1a ≥B. 1b ≤C. 22a b +≥D. 22a b +≤ 【答案】B【解析】12x x +≥= ，所以2≤ ，则1b ≤ ，故选择B. 【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若正数,a b R ∈且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） A. 92-B. 92C. 14D. -4 【答案】A考点3 基本不等式的实际应用【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.C.4D. 【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以EB=，AE y=．AB EB AE+≥＝，即=+yxy≤，所以绿地面积最大值为4，故选C．≤4，所以4【3-3】(2015·大理模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60 m，AB＝40 m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10 m，EF＝20 m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m)．(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【领悟技法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.【触类旁通】【变式】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 【解析】(1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100]． (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100])．y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．【易错试题常警惕】易错典例：已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．[错解] 错解一：因为对a >0，恒有a ＋1a≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)≥4，所以z 的最小值是4. 错解二：z ＝2＋x 2y 2－2xyxy＝(2xy ＋xy )－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)．易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．。

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简单的线性规划问题教师用书文新人教版1．二元一次不等式表示的平面区域(1）一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C〉0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点（x，y)，把它的坐标（x，y）代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0）作为测试点，由Ax0＋By＋C的符号即可判断Ax＋By＋C〉0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的一次不等式线性约束条由x，y的一次不等式(或方程）组成的不等式组件目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函关于x,y的一次解析式数可行解满足线性约束条件的解3。

重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域:（1）直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点,则特殊点常选取（0,1)或(1,0)来验证．【知识拓展】1．利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有（1)当B(Ax＋By＋C)〉0时,区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；（2)当B（Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √)（2)不等式Ax＋By＋C〉0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( ×)(3)点(x1，y1)，(x2，y2）在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C）>0，异侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)〈0。

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第04节 基本不等式及其应用A 基础巩固训练1.【２01８山东寿光现代中学模拟】已知，且,则的最小值为( ）Ａ. B ． 4 C. D. ２ 【答案】C２．【２0１８湖北荆州中学模拟】已知1,2,5a b a b >>+=,则1912a b +--的最小值为 （ ) A 。

４ B 。

8 Ｃ。

9 D 。

６ 【答案】B 【解析】1912a b +--=()()12911912108212212a b a b a b a b ⎡⎤-+---⎛⎫+=++≥⎢⎥ ⎪----⎝⎭⎣⎦，当且仅当()91212a b a b --=--成立时,等号成立，即37,22a b ==.选B 。

３.【2０18广西钦州质量检测】已知(,为正实数),则的最小值为＿＿____＿__＿. 【答案】【解析】∵ａ，b ∈R +,ａ＋4b=1 ∴＝≥,当且仅当,即a ＝２b 时上述等号成立，故答案为：９4．【2018浙江嘉兴第一中学模拟】若正实数满足,则的最小值是_＿____＿_＿.【答案】1８【解析】由正实数满足可得即,令,即,解得：即,∴的最小值是18。

第04节 基本不等式及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+ 【答案】C2. 【2018贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列中，若，且，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 16 【答案】A【解析】由等差数列性质得：= ，等号成立的条件为 ，故选A ．3. 【2018东北四市一模试题】已知，，且，则的最小值为( )A. 8B. 9C. 12D. 16 【答案】B4.设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为A.4+ 【答案】D 【解析】试题分析：因为0,1a b >>，所以01>-b ，又因为2=+b a 所以11=-+b a ，=-+113b a ab b a a b b a b a b a )1(31241)1(313)1)(113(-⨯-+≥+-+-+=-+-+=4+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-2)1(31b a a b b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=231233b a 取等号，答案为D.5. 【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若220(,0)m n m n +=>，则()lg lg lg2m m +的最大值是（ ）【答案】A【解析】()()22lg 2lg lg2lg lg lg2lg lg224m n m n m n m n ⋅+⎛⎫⋅+=⋅≤==⎪⎝⎭，又由220m n +=≥，所以50mn ≤，从而()lg lg lg21m n ⋅+≤，当且仅当10m =，5n =时取最大值．所以选A.6. 已知函数()lg1xf x x =-，若()()0f a f b +=且01a b <<<，则ab 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D7.点()2,2A 在由点(),0B a 、()0,C b 确定的直线上，且0ab ≠，则11a b+的值为（ ）A ．12 B ．1 C ．13D ．2 【答案】A 【解析】由题意得221a b +=，则111.2a b +=选A. 8.设,x y 均为正数，且111112x y +=++，则xy 的最小值为（ ） A ．16 B ．15 C ．10 D ．9 【答案】D【解析】因为,x y 均为正数，且111112x y +=++，所以21(1)(1)2x y x y ++=++，整理可得：3xy x y =++，由基本不等式可得3xy ≥，整理可得230-≥，解3≥1-（舍去），所以9xy ≥，当且仅当x y =时取等号，故xy 的最小值为9，故选D.9. 【2018河南林州市第一中学模拟】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8425S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为（ ）A. 10B. 15C. 20D. 25 【答案】C10. 【2018黑龙江大庆实验中学模拟】若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13m n+ 的 最小值为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 16 【答案】B【解析】圆心坐标为()3,1--，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即320m n --+=， 32m n +=，所以()1311332m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1962n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭162⎛≥+ ⎝ 6=，当且仅当9n mm n=时取等号，因此最小值为6，故选B ． 11. 【2018湖南岳阳一中模拟】已知0a b >>，则412a a b a b+++-的最小值为（ ）A. 6B. 4C. 【答案】A【解析】因为()()411412a b a b a b a b a a ba b ⎡⎤⎡⎤+=+++-⎣⎦⎢⎥+-+-⎣⎦，而()()()[]41411195542222a b a b a b a b a a b a b a a b a b a a⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤+++-=++≥+=⎢⎥⎣⎦⎢⎥+--+⎣⎦⎣⎦（当且仅当3a b =时取等号），故412a a b a b +++- 9262a a ≥+≥（当且仅当32a =取等号），应选答案A 。

7．4 基本不等式及其应用1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .简记为：积定和最小．6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .简记为：和定积最大．7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b≤ ≤a ＋b2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠1.a ＋b22.ab3.2ab4.a ＋b2≥ab5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 227.ab a 2＋b22已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( )A ．1B ．14C ．12D.22解： 因为a ，b ∈R ＋，所以1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B .(2016·湖南模拟)若函数f (x )＝x ＋1x -2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4解：因为x ＞2，所以x -2＞0，则f (x )＝x ＋1x -2＝(x -2)＋1x -2＋2≥2（x -2）·1x -2＋2＝4，当且仅当x -2＝1x -2，即x ＝3时取等号．即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.故选C .设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q解：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，因为a ＋b2＞ab ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )．所以q＞p ＝r .故选C .(2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x2＋2y 2的最小值为________．解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立．故填22.(2016·鄂州一模)已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．解：因为x x 2＋4＝1x ＋4x，又x ＞0，所以x ＋4x≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号，所以0<1x ＋4x≤14，即x x 2＋4的最大值为14.故填14.类型一 利用基本不等式求最值(1)函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ＞-1)的值域为________．解：因为x ＞-1，所以x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）m ＝m ＋4m＋5≥2m ·4m＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号．故填．(2)y ＝2 400-5（60-x ）240-x＝2 400-5，当且仅当40-x ＝40040-x ，即x ＝20∈(0，30]时，y 取得最大值2 000,所以当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m 2.答略．【点拨】建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．(2016·徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？解：(1)设DQ 的长为y m ，则x 2＋4xy ＝200， 所以y ＝200-x24x.S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2(0＜x ＜102)． (2)S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2≥38 000＋24 000x 2×400 000x2＝38 000＋216×108＝118 000， 当且仅当 4 000x 2＝400 000x 2，即x ＝10时取“＝”，所以S min＝118 000(元)．故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22；③ab ≤14(a＋b )2；④⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．1．若a ＞1，则a ＋1a -1的最小值是( ) A ．2B ．aC ．3D.2a a -1解：因为a ＞1，所以a ＋1a -1＝a -1＋1a -1＋1≥2（a -1）·1a -1＋1＝2＋1＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．故选C .2．(2015·大理模拟)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.14B ．4C.12D ．2解：因为a >0，b >0，所以4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．故选C .3．(2016·西安模拟)以下函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝3x ＋3-xC ．y ＝lg x ＋1lg x (0<x <1)D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 解：因为3x>0，3-x>0，故3x ＋3-x≥2(当且仅当x ＝0时取等号)．故选B .4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s . 因为a ＜b ，所以v ＝2ss a ＋s b＝2ab a ＋b ＜2ab2ab ＝ab .又v -a ＝2ab a ＋b -a ＝ab -a 2a ＋b ＞a 2-a2a ＋b ＝0，所以v ＞a .故选A .5．(2016·重庆模拟)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B ．94C ．9D ．16解：1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·（a ＋1）＋（b ＋1）4 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4（a ＋1）b ＋1≥14(5＋4)＝94， 当且仅当b ＋1a ＋1＝4（a ＋1）b ＋1且a ＋b ＝2，即a ＝13，b ＝53时取等号．故选B .6．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0， 即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3ab＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号．故选D .7．(2015·青海模拟)点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，所以log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝-2.故填-2.8．(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx -y -m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解：易知定点A (0，0)，B (1，3)． 且无论m 取何值，两直线垂直． 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立．故填5. 9．已知0＜x ＜43，求x (4-3x )的最大值．解：已知0＜x ＜43，所以0＜3x ＜4.所以x (4-3x )＝13(3x )(4-3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4-3x 22＝43， 当且仅当3x ＝4-3x ，即x ＝23时“＝”成立．所以当x ＝23时，x (4-3x )取最大值为43.10．已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab -4a 2-b 2的最大值．解：因为a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，所以4a 2＋b2＝(2a ＋b )2-4ab ＝1-4ab .且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，所以S ＝2ab -4a 2-b 2＝2ab -(1-4ab )＝2ab ＋4ab -1≤2-12.当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．解：问题转化为求△ABC 中∠BCA 的取值范围．过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设该人距离此树的距离CD ＝x 米，看A ，B 的视角最大，即∠BCA 最大．不妨设∠BCD ＝α，∠ACD ＝β，则∠BCA ＝β-α，且tan α＝4x ，tan β＝9x ，所以tan(β-α)＝9x -4x 1＋9x ×4x＝5xx 2＋36＝5x ＋36x≤52x ×36x＝512，当且仅当x ＝36x，即x ＝6时取等号，此时∠BCA 最大．故填6.1．(2016·肇庆模拟)如果log 3m ＋log 3n ＝4，那么m ＋n 的最小值是( )A ．4B ．4 3C ．9D ．18解：log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ＝4，所以mn ＝34，而m ＋n ≥2mn ＝18，当且仅当m ＝n ＝9时等号成立．故选D .2．(2016·西安模拟)若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D.52解：因为a ＞1，b ＞1，所以lg a ＞0，lg b ＞0.lg a ·lg b ≤（lg a ＋lg b ）24＝（lg ab ）24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号．故选B .3．(2016·安康模拟)若x >1，则函数y ＝x ＋1x＋16xx 2＋1的最小值为( ) A ．16B ．8C ．4D ．2解：y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x 2＋1x ＋16xx 2＋1≥2x 2＋1x ·16x x 2＋1＝8，当且仅当x 2＋1x ＝16xx 2＋1时等号成立．故选B .4．(2016·湖南模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解：由题意知平均每件产品的生产准备费用是800x元，则800x ＋x 8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批应生产产品80件．故选B .5．(2016·郑州模拟)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ． 6D ．8解：因为(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y＝1＋ax y ＋y x＋a ≥a ＋1＋2a ，当且仅当ax y ＝y x时等号成立．要使原不等式恒成立，则只需a ＋1＋2a ≥9恒成立，所以(a -2)(a ＋4)≥0，解得a ≥4， 所以正实数a 的最小值是4.故选B . 6．(2016·重庆模拟)若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t2在t ∈(0，2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，413D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1解：t t 2＋9＝1t ＋9t，而y ＝t ＋9t在(0，2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t＝2时等号成立)．因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142-18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1.故选D .7．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．解：因为a ，b ＞0，a ＋b ＝5，所以(a ＋1＋b ＋3)2≤2(a ＋1)2＋2(b ＋3)2＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.故填32.8．(2016·湖南模拟)若直线ax ＋by -1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为________．解：因为曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心为(1，1)，所以a ＋b ＝1，1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2ab≥3＋2b a ·2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab，且a ＋b ＝1，即a ＝2-1，b ＝2-2时等号成立．故填3＋22.9．点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x＋4y的最小值．解：已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3.所以2x＋4y≥22x·4y＝22x ＋2y＝223＝4 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x＝4y，x ＋2y ＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时“＝”成立．所以当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y取最小值为4 2.10．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy .解法一：由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272.当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9-32y .因为x ＞0，所以0＜y ＜6.S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9-32y y ＝32(6-y )y .因为0＜y ＜6，所以6-y ＞0. 所以S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6-y ）＋y 22＝272. 当且仅当6-y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .解法一：因为2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， 所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy ＝24，得x ＝24y.所以l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y＋y ≥6×216y×y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．(2016·襄樊月考)已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝（1-x ）2x＋x 21-x(0<x <1)的最小值．解：(1)证明：因为a ，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.所以a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．(2)因为0<x <1，所以1-x >0，由(1)的结论，函数y ＝（1-x ）2x ＋x 21-x≥(1-x )＋x ＝1.当且仅当1-x ＝x ，即x ＝12时等号成立．所以函数y ＝（1-x ）2x ＋x21-x (0<x <1)的最小值为1.。

基础知识整合１．判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点（x，y），把它的坐标（x，y）代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都错误!相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0），由Ax0＋By0＋C的错误!符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．２．线性规划中的基本概念画二元一次不等式表示的平面区域的方法（１）直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．（２）特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取（0,１）或（１,0）来验证．１．（２0１9·山西临汾模拟）不等式y（x＋y—２）≥0在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分表示）是（）答案C解析由y（x＋y—２）≥0，得错误!或错误!所以不等式y（x＋y—２）≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项中阴影部分所表示的区域．故选Ｃ．２．已知点（—３，—１）和（４，—6）在直线３x—２y—a＝0的两侧，则实数a的取值范围为（）Ａ．（—7,２４）Ｂ．（—∞，—7）∪（２４，＋∞）Ｃ．（—２４,7）Ｄ．（—∞，—２４）∪（7，＋∞）答案A解析由题意可知（—9＋２—a）（１２＋１２—a）<0，所以（a＋7）（a—２４）<0，所以—7<a<２４．３．（２0１9·广州模拟）若实数x，y满足错误!则z＝错误!的最小值为（）Ａ．３Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析作出不等式组错误!表示的平面区域如图，z＝错误!表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点（１,１）到原点的距离最短，即z的最小值为错误!.故选Ｄ．４．（２0１7·浙江高考）若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋２y的取值范围是（）Ａ．[0,6] Ｂ．[0,４]Ｃ．[6，＋∞）Ｄ．[４，＋∞）答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝—错误!x＋错误!过点A（２,１）时，z取得最小值，即zmin＝２＋２×１＝４．所以z＝x＋２y的取值范围是[４，＋∞）．故选Ｄ．５．（２0１8·全国卷Ⅱ）若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为________．答案9解析不等式组表示的可行域是以A（５,４），B（１,２），C（５，0）为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z＝x＋y的最大值在顶点A处取得，即当x＝５，y＝４时，zmax＝9．6．（２0１9·河南新乡联考）已知z＝２x＋y，x，y满足不等式组错误!且z的最大值是最小值的４倍，则m的值是________．答案错误!解析可见A（m，m），B（１,１），所以当直线z＝２x＋y过点A时有最小值为３m，当过点B时有最大值为３，所以３＝４×３m，所以m＝错误!.核心考向突破考向一二元一次不等式（组）表示平面区域例１（１）不等式组错误!表示的平面区域的面积等于________．答案错误!解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A（１,0），B（２,0），由错误!得C（４,３）．∴S△ABC＝错误!AB·|yc|＝错误!×１×３＝错误!.（２）若不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．答案（0,１]∪错误!解析不等式组错误!表示的平面区域如图所示（阴影部分）．由错误!得A错误!；由错误!得B（１,0）．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0<a≤１或a≥错误!.触类旁通如何确定二元一次不等式（组）表示的区域（１）直线定界，特殊点定域．注意边界线是实线还是虚线．２不等式组中含有参数时，先正确作出不含参数的不等式构成的二元一次不等式组所表示的平面区域，然后转动或平移含参数直线使其满足题目要求，从而确定参数的取值范围.即时训练１．（２0１9·郑州模拟）已知不等式组错误!表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋１将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．答案错误!解析区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋１经过定点C（0,１），如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋１只要经过AB的中点即可．由方程组错误!解得A（１,0）．由方程组错误!解得B（２,３）．所以AB的中点坐标为错误!，代入直线方程y＝kx＋１得，错误!＝错误!k＋１，解得k＝错误!.２．若不等式组错误!表示的是一个对称四边形围成的区域，则k＝________.答案±１解析直线x—ky＋k＝0过定点（0,１），当k<0时，若得到对称四边形，则直线x—ky＋k＝0与直线x ＋y—错误!—１＝0一定平行，此时k＝—１，形成的四边形为等腰梯形，满足题意；当k>0时，若得到对称四边形，则直线x—ky＋k＝0与直线x＋y—错误!—１＝0一定垂直，验证（0,１）到直线x＋y—错误!—１＝0的距离d＝错误!＝１，满足题意，此时k＝１．综上可知，k＝±１．考向二求目标函数的最值问题角度错误!求线性目标函数的最值例２（２0１8·天津高考）设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝３x＋５y的最大值为（）Ａ．6 Ｂ．１9Ｃ．２１Ｄ．４５答案C解析约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示．由错误!解得错误!即A（２,３）．由图知，当直线３x＋５y—z＝0过点A时，z取得最大值，故zmax＝３×２＋５×３＝２１．故选Ｃ．触类旁通求目标函数z＝ax＋by的最大值或最小值，先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.即时训练３．（２0１8·全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件错误!则z＝３x＋２y的最大值为________．答案6解析根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z＝３x＋２y可得y＝—错误!x＋错误!z，画出直线y＝—错误!x，将其上下平移，结合错误!的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由错误!解得B（２,0），此时zmax＝３×２＋0＝6．角度错误!求非线性目标函数的最值例３（２0１9·重庆一中模拟）已知实数x，y满足错误!则z＝错误!的最大值为________．答案错误!解析画出约束条件错误!表示的可行域，如图．因为z′＝错误!表示可行域内的点P（x，y）与点A（0，—１）连线的斜率，由错误!得直线交点为B（３,４），所以当P在点B（３,４）时，z′＝错误!有最大值错误!＝错误!，因此z＝错误!的最大值为错误!.触类旁通目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：１错误!表示点x，y与原点0，0间的距离错误!，表示点x，y与点a，b间的距离.２错误!表示点x，y与原点0，0连线的斜率，错误!表示点x，y与点a，b连线的斜率.即时训练４．（２0１9·辽宁五校联考）已知a，b是正数，且满足２<a＋２b<４，那么a２＋b２的取值范围为________．答案错误!解析以a为横轴，b为纵轴建立直角坐标系，在平面直角坐标系aOb中作出不等式组错误!表示的平面区域，得到如图所示的四边形ABCD内部（不包括边界）．其中A（２,0），B（0,１），C（0,２），D（４,0）．设P（a，b）为区域内一个动点，则|OP|＝错误!表示点P到原点O的距离，所以z＝a２＋b２＝|OP|２．可得当P与D重合时，P到原点距离最大，此时z＝a２＋b２＝４２＋0＝１6；当P点在直线BA上，且满足OP⊥AB时，P到原点距离最小，为错误!＝错误!，此时z＝a２＋b２＝错误!.综上所述，可得a２＋b ２的取值范围是错误!.角度错误!求线性规划中的参数例４（２0１9·江西红色七校联考）设x，y满足约束条件错误!若z＝mx＋y的最小值为—３，则m的值为________．答案—错误!解析作出可行域如图中阴影部分所示．当m≤0时，z＝mx＋y⇒y＝—mx＋z，当直线y＝—mx＋z过点C时纵截距最小，从而z最小，由错误!得错误!∴C＝（３，—１），∴３m—１＝—３，∴m＝—错误!.当0≤m≤１时，直线y＝—mx＋z过点C时，z最小，由上面解法知不符合题意当m>１时，直线y＝—mx＋z过点B时纵截距最小，从而z最小，由错误!得错误!∴B错误!.由错误!m＋错误!＝—３得m＝—9与m>１矛盾．综上可知m＝—错误!.触类旁通错误!错误!即时训练５．（２0１9·北京模拟）若x，y满足错误!且z＝y—x的最小值为—４，则k的值为（）Ａ．２Ｂ．—２Ｃ．错误!Ｄ．—错误!答案D解析作出线性约束条件错误!的可行域．当k>0时，如图１所示，此时可行域为x轴上方、直线x＋y—２＝0的右上方、直线kx—y＋２＝0的右下方的区域，显然此时z＝y—x无最小值．当k<—１时，z＝y—x取得最小值２；当k＝—１时，z＝y—x取得最小值—２，均不符合题意．当—１<k<0时，如图２所示，此时可行域为点A（２,0），B错误!，C（0,２）所围成的三角形区域，当直线z＝y—x经过点B错误!时，有最小值，即—错误!＝—４⇒k＝—错误!.故选Ｄ．考向三线性规划中的实际应用问题例５（２0１9·安徽合肥模拟）某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为２千元/件、１千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备２小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备３小时，B设备１小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为４80小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）Ａ．３２0千元Ｂ．３60千元Ｃ．４00千元Ｄ．４４0千元答案B解析设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则错误!z＝２x＋y，作出错误!表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线２x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝２x＋y经过直线２x＋３y＝４80与直线6x＋y＝960的交点（１５0,60）（满足x∈N，y∈N）时，z取得最大值，为３60．触类旁通解线性规划应用问题的一般步骤（１）审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．２设元：设问题中起关键作用或关联较多的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.错误!错误!错误!即时训练6．某中学生在制作纸模过程中需要A，B两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A，B两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A，B两种规格的小卡纸分别为４,7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m，n（m，n为整数），则m＋n的最小值为（）A规格B规格甲种卡纸２１乙种卡纸１３Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５答案B解析由题意知错误!又不等式组错误!表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z＝m＋n在点（１,２）处取得最小值３．故选Ｂ．。

7．4 基本不等式及其应用1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .简记为：积定和最小．6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .简记为：和定积最大．7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b≤ ≤a ＋b2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠1.a ＋b22.ab3.2ab4.a ＋b2≥ab5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 227.ab a 2＋b22已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( )A ．1B ．14C ．12D.22解： 因为a ，b ∈R ＋，所以1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B .(2016·湖南模拟)若函数f (x )＝x ＋1x -2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4解：因为x ＞2，所以x -2＞0，则f (x )＝x ＋1x -2＝(x -2)＋1x -2＋2≥2（x -2）·1x -2＋2＝4，当且仅当x -2＝1x -2，即x ＝3时取等号．即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.故选C .设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q解：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，因为a ＋b2＞ab ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )．所以q＞p ＝r .故选C .(2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x2＋2y 2的最小值为________．(S元，AD的长为x计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小解：问题转化为求△ABC中∠BCA若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度设每间虎笼长为x m ，宽为，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy x ＋3y ≥22x ×3y ，得xy ≤272，即。