广义变系数KdV,mKdV方程的精确类孤子解

KdV-mKdV方程的精确解王艳红;王振辉;毛星星【摘要】KdV-mKdV equation is found in the earliest and is the most representative of nonlinear evolution e-quations in history. It has very important application in mathematics, physics, engineering and other fields. Recent years we find more and more solutions. In this paper, we construct some new exact solutions for KdV-mKdV equation by using hyperbolic function expansion method, and extended tanh method. The method of this paper can also be extended to other nonlinear partial differential equations. In addition, the obtaining of the exact solutions will provide a necessary foundation for the approximate calculation, theorem analysis and other real problems.%KdV-mKdV方程是发现最早且最具代表性的非线性发展方程,在数学、物理、工程等领域,都有十分重要的应用前景.近些年来,对它的精确解的求解问题的研究不断增多.采用双曲正切函数展开法和推广的tanh 法,对KdV-mKdV方程构造并分别求解,得到一些新的精确解.这种方法也可进一步推广用于求解其他非线性偏微分方程.另外,精确解的获得可为近似计算、定理分析等现实问题提供基础.【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(032)001【总页数】4页(P118-121)【关键词】KdV-mKdV方程;精确解;双曲函数展开法;推广的tanh法【作者】王艳红;王振辉;毛星星【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言随着科学技术的迅速发展，科学研究的主题逐步从线性向非线性转化.非线性现象(如孤子、混沌、分形等)在许多领域被发现，其对应的数学模型——非线性方程应运而生.理解并认识这些非线性现象，最主要的手段就是求解这些非线性方程的精确解析解，并对其解进行科学分析.目前，求解非线性发展方程的方法有很多，如Backlund变换、双线性法、齐次平衡法、椭圆函数法、李群法，等等.本文考虑组合KdV-mKdV方程：ut+(α+βuγ)uγux+εuxxx=0.(1)该模型可以很好地描述在具有非谐束缚粒子的一维非线性晶格中的波传播.特别是在等离子体物理中，方程描述了小振幅粒子声波的传播；在固体物理中，方程被用于解释通过氟化钠单晶的热脉冲传播.该方程也是流体力学中的重要模型.当β=0,γ=1时,方程(1)即为KdV方程ut+uux+αuxxx=0，(2)而当α=0,γ=1时,方程(1)还原为mKdV方程ut+αu2ux+uxxx=0.(3)式(1)-(3)中:α,β,γ,ε均为实常数.1 定理的证明假设γ=1，代入方程(1)得ut+(α+βu)uux+εuxxx=0,(4)做行波变换u=u(ξ),ξ=k(x-ct),(5)式中：k,c为待定常数.将式(5)带入式(4)得到-kcu′+(α+βu)uku′+εk3u‴=0,(6)又因k≠0，所以-cu′+(α+βu)uu′+εk2u‴=0.(7)1.1 精确解——双曲正切函数展开法假设方程(7)具有如下双曲正切函数多项式形式的解，即(8)式中：系数ai(i=0,…，m)为待定参数.将式(8)代入方程(7)，平衡方程(7)中线性最高阶导数项εuxxx与最高阶非线性项(α+βu)uux的幂次，线性最高阶导数项幂次为m+3,非线性项的幂次为2m+m+1.因此，根据幂次平衡，有2m+m+1=m+3，得到m=1.将m=1代入方程(7)拟解的形式为u=a0+a1f. 由u′=(a0+a1f)′=a1(1-f2)，(9)u″=(u′)′=-2a1ff′=-2a1f3,(10)u‴=(1-f2)(6a1f2-2a1).(11)将式(9)-(11)代入到方程(7)得-ca1(1-f2)+[α+β(a0+a1f)](a0+a1f)a1(1-f2)+εk2(1-f2)(6a1f2-2a1)=0.(12)整理后得(13)不妨记a=a0,b=a1,求得解为因此，方程(4)存在精确解：(14)定理1 方程(4)具有如下形式：(15)的精确解.1.2 精确解——推广的双曲正切函数展开法假设方程(8)有如下形式的解(16)式中：系数di(i=0,…,m)为待定参数；f′满足平衡方程(7)中线性最高阶导数项εuxxx与最高阶非线性项(α+βu)uux的幂次，得到r=2(n+1),(17)任给一个n，可以得到一个r与之对应.在这里我们取n=1，即(18)u(ξ)=d0+d1f.(19)方程(18)在不同情况下具有不同种类的行波解，如三角函数解、有理函数解、钟状孤立子解、扭状孤立子解、jacobi椭圆函数解,等等. 以下求解u的各阶导数：(20)(21)u‴(22)将式(20)-(22)代入到方程(7)中得化简并整理后得令各幂次系数为零，得到如下非线性代数方程组：3d1c1c3εk2=0,解该方程组后，得和d≠1为任意常数.取c1=0时，c3=c0=c1=0).引理方程当c3=c0=c1时，方程具有钟状孤子解、三角函数解和有理函数解，即定理2 方程(4)具有c2>0,c4<0(24)形式的解.定理3 方程(4)具有c2>0,c4<0(25)形式的解.定理4 方程(4)具有(26)形式的解.对u1中各个待定参数赋值，令α=β=ε=1，c=k=1.则则(27)用mathematica作图，得到图1和图2.2 结论本文利用2种方法，简洁地求得了KdV-mKdV方程的精确解析解.其最大优点是通过变量代换，分别将求解非线性偏微分方程的问题化为求解非线性代数方程组的问题和求解非线性常微分方程的问题，因而较为简洁.本文的方法也可进一步推广用于求解其他非线性偏微分方程.另外，精确解的获得将为近似计算、定理分析等现实问题提供必备的基础.参考文献：[1] 赵展辉，韩松，何晓莹.应用(G′/G)-展开法求Ostrovsky方程的精确解[J].广西工学院学报：自然科学版，2012,23(1)：74-81.[2] 王兆燕.变形Boussinesq方程组的对称、约化和精确解[J].聊城大学学报：自然科学版，2012,25(1)：8-12,56.[3] 万晖，杜凯.非线性扩散方程在广义条件对称下的精确解[J].西北大学学报：自然科学版，2012,42(1)：1-3.[4] 黄勇，尚亚东.一类非线性反应一扩散方程丰富的显式精确解[J].广州大学学报：自然科学版,2012,11(1)：1-9.[5] 曹瑞.带色散项的高阶非线性Schrodinger方程的精确解[J].纯粹数学与应用数学，2012,28(1)：92-98.[6] ZHAO SONGLIN, ZHAO DAJUN, YING SHI.Generalized cauchy matrix approach for lattice boussinesq-type equations [J]. Chinese Annals of Mathematics, 2012,33(2) :259-270.[7] DONG ZHONG ZHAO,CHEN YANG,KONG DE XING,et al. Symmetry reduction and exact solutions of a hyperbolic monge-ampere equation[J]. Chinese Annals of Mathematics, 2012,33(2) : 309-316[8] CHEN MEI,LIU XI QIANG. Symmetries and exact solutions of the breaking soliton equation[J].Communications in Theoretical Physics, 2011,56(11) : 851-855.[9] 王艳红，刘新乐，姬鹏斌.广义KdV方程与广义Burgers方程的精确解[J].大学数学，2012,28(1)：111-113.[10] 王艳红，王世勋.一类KdV方程的精确解[J].信阳师范学院学报：自然科学版，2010,23(4)：492-494.。

收稿日期：2008-02-25 Hirota 方法求解KdV-mKdV 混合方程的多孤子解吴妙仙1 张翼2（1.浙江广厦建设职业技术学院，浙江 东阳 322100, 2.浙江师范大学 数学系，浙江 金华321004）摘 要：Hirota 方法为构造非线性发展方程的精确解提供了一条有效途径。

我们利用Hirota 方法得到KdV 一mKdV 混合方程多孤子解的解析表达式，通过图形展示出多孤子的主要相互作用过程的特征，并从理论上对孤子解渐进分析证实孤子的特征。

关键词：Hirota 方法 KdV-mKdV 混合方程 多孤子解Multi-Solitary Wave Solutions of KdV-mKdV Equation through HirotaWu Miaoxian 1 Zhang Yi 2(1.Guangsha College of Applied Construction Technology, Dongyang 322100, Zhejiang; 2. Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Jinhua321004, Zhejiang)Abstract: Horita provides an effective way to find out the exact solution to Nonlinear Evolution Equation. Through Horita, we get Analytical Expressions of Multi-Solitary Wave Solutions of KdV-mKdV equation. The characteristics of Multi-Solitary Wave Solutions’ main interaction process are displayed through drawings and proved right through analyzing it theoretically. Key words: Horita methods; KdV -mKdV equation; Multi-Solitary Wave Solutions1 引言非线性科学中的许多问题都可归结为求解非线性发展方程的问题。

kdv—burgers方程的一类显式精确解KdV-Burgers方程是由荷兰物理学家法尔克（Korteweg-deVries）和美国数学家伯格斯（Burgers）提出的分析方程，它是一种非线性的抛物线方程，是一台研究流体动力学的理论模型。

它对许多背景问题，比如相互作用的局域流体，液体理想气体等问题，具有良好的数学模型特性。

KdV-Burgers方程的形式如下：$$frac{du}{dt} + ufrac{du}{dx} + frac{partial^2u}{partial x^2}=0$$其中，u为函数，t为时间变量，x为空间变量。

KdV-Burgers方程有一类显式精确解，称为KdV-Burgers求解。

通过对方程进行求解，可以得到无穷多种解，其中最显著的一类称为“KdV-Burgers波”。

KdV-Burgers波是KdV-Burgers方程的一种精确解，它以一条直线的形式出现，其实际形状类似于一个锯齿线，且沿着时间变化而变化。

它可以实现非线性模态跃变，从而形成特殊的“锯齿线”状态和非平衡状态，此时流体中的能量转换会发生变化，并且在振荡发生时会有一些具有特殊意义的空间结构形成，而这些空间结构将对流体运动产生深刻影响。

【分析】KdV-Burgers方程的一类显式精确解可以定量描述流体的动力学特性。

具体来说，它通过不同的函数（比如：KdV-Burgers波）来表示流体的能量在时间变换中的变化，而这种能量变化又反映出不同的流体运动特性。

KdV-Burgers方程的一类显式精确解可以帮助我们正确地理解和预测不同流体系统的运动特性。

例如，它可以模拟不同类型的湍流和波动，研究不同类型的涡旋湍流，并且可以分析不同类型的复杂流体动力学过程。

KdV-Burgers一类显式精确解也可以应用于工程，例如水力发电。

由于它可以模拟出水流在管道中流动时，会出现不同波形和湍流，因此可以有效地分析水力发电机组的性能。

例如，可以研究发电机组的排放形态，动力学性能，以及在不同参数下的性能等。

某类孤子方程精确解的研究【摘要】本文以求解孤子方程的诸多解法和孤子理论为依据,采用双线性法,研究孤子方程,得到了方程的多孤子解.第一章,介绍了孤子理论的研究历史与发展现状;几种求解孤子方程的方法以及这几种方法的应用和发展状况.第二章,首先,系统介绍了双线性的定义,推导出的公式及公式的基本性质;其次,引入广义五阶KdV方程,详述了广义五阶KdV方程的研究现状,利用双线性方法求出广义五阶KdV方程的精确解(单孤子解,双孤子解和三孤子解),并进步推广到N-孤子解.最后,借助计算机绘出孤子图像.第三章,进一步利用双线性法求解了(2+1)维的Zakharov-Kuznetsov模型方程.由(1+1)维推广到(2+1)维,研究新的孤子方程,得到新模型的精确解,最后也绘制出所求孤子解的图像,并对图像作了分析.第四章,总结本文的研究成果,阐述在使用双线性方法研究孤子方程过程中,我的一些看法和体会. 更多还原【Abstract】 In this paper, based on the theory of manynonlinear evolution equations and soliton solution, I used the bilinear method,do some researches on soliton equations. Solved exact solutions of the model, at the same timesmulti-soliton solutions are also obtained.The first chapter, I introduce the theory of solitons history and development, then describe several nonlinear evolution equations solvingmethod, and the application of these methods and development. At last, describes the background, the ... 更多还原【关键词】Hirota双线性法；广义五阶KdV方程；Zakharov-Kuznetsov方程；孤子方程；孤子解；对数变换；【Key words】Hirota bilinear method；the generalizedfifth-order KdV equation；Zakharov-Kuznetsov equation；nonlinear evolution equations；soliton；logarithmic transformation；摘要4-5Abstract 5第一章前言8-251.1 孤子方程及孤子发展8-121.1.1 孤子方程8-91.1.2 孤子的发现及发展9-101.1.3 孤子理论的成熟与完善10-111.1.4 孤子的应用11-121.2 若干孤子方程求解方法的介绍12-251.2.1 齐次平衡法12-141.2.2 Backlund变换14-151.2.3 变量分离法15-171.2.4 试探法17-181.2.5 Painleve检测法18-191.2.6 Hirota(广田)双线性方法19-231.2.7 孤子方程的其它解法23-25第二章广义五阶KdV模型的多孤子解及其应用25-402.1 Hirota双线性方法的基本原理25-302.1.1 D-算子定义252.1.2 基本公式25-292.1.3 双线性算子的基本性质29-302.2 广义五阶KdV的研究现状30-312.3 广义五阶KdV的精确解及其孤子图像31-392.3.1 广义五阶KdV方程312.3.2 广义五阶KdV方程的求解31-342.3.3 N-孤子解342.3.4 单孤子解及其图像34-352.3.5 双孤子解及其图像35-372.3.6 三孤子解及其图像37-392.4 结论39-40第三章Zakharov-Kuznetsov模型的多孤子解及其应用40-483.1 Zakharov-Kuznetsov模型的研究现状403.2 Zakharov-Kuznetsov模型的双线性形式40-413.3 Zakharov-Kuznetsov模型的精确解及孤子图41-473.3.1 Zakharov-Kuznetsov模型的精确解41-433.3.2 Zakharov-Kuznetsov模型的单孤子解及单孤子图43-443.3.3 Zakharov-Kuznetsov模型的双孤子解及双孤子图44-463.3.4 Zakharov-Kuznetsov模型的三孤子解及三孤子图46-473.4 结论47-48第四章结论48-49参考文献。

KdV-mKdV方程及其级数解
韦敏志;唐生强
【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》
【年(卷),期】2012(032)005
【摘要】为研究KdV-mKdV方程的级数解,运用扩展的齐次平衡法,将KdV-mKdV方程约化成线性的偏微分方程,得到B(a)cklund变换以及KdV-mKdV方程的自变换解.通过B(a)cklund变换和该偏微分方程的多种级数解,获得丰富的精确解,包括多孤立波解、三角函数解和有理级数解.
【总页数】4页(P398-401)
【作者】韦敏志;唐生强
【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林 541004;桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林 541004
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.组合KdV-mKdV方程和水波方程的新型孤立波结构 [J], 何宝钢;徐昌智
2.在加强改进演化方程方法下的(1+1)-维组合KdV-mKdV方程的精确解 [J], 刘名权
3.修正的简单方程法与sine-Godon方程和广义的变系数KdV-mKdV方程的精确解 [J], 肖玲风;斯仁道尔吉;;
4.非线性分数阶KdV-mKdV方程和mCH方程的孤波解 [J], 郭琳;斯仁道尔吉
5.Burgers方程、组合KdV-mKdV方程和Fisher方程的孤立波解 [J], 套格图桑;斯仁道尔吉
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双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解双模耦合KdV方程是一类非线性偏微分方程，其描述了波动的演化行为。

多孤子解是指在该方程中存在多个孤立波解的解析解。

双模耦合KdV方程可以写作如下形式：\begin{cases}u_t + u_x + 6uu_x + vvv_x + au_{xxx} + b(uv)_x = 0, \\v_t + v_x + 6vv_x + uuu_x + av_{xxx} + b(uv)_x = 0.\end{cases}u(x,t)和v(x,t)是随时间和空间变化的波动解；a和b是常数。

双模耦合KdV方程的多孤子解可以通过求解适当的参数和初值条件得到。

一种常见的方法是利用Miura变换，将其转化为多孤子方程。

Miura变换的形式为：u = u_0 + 2c \left(\ln\left|\frac{\phi_{t1}}{\phi_1}\right|\right)_x, \quad v = v_0 + 2c \left(\ln\left|\frac{\phi_{t2}}{\phi_2}\right|\right)_x,u_0和v_0是常数，c是与孤子波动速度相关的参数，\phi_1和\phi_2是二维线性Schrödinger方程的解，满足以下形式的方程：\mu_1和\mu_2分别是关于参数a和b的函数。

通过求解二维线性Schrödinger方程，可以得到\phi_1和\phi_2的解析形式。

将其代入到Miura变换中，可以得到双模耦合KdV方程的多孤子解。

这些多孤子解往往包含多个孤立波解，其相互作用形成一种特殊的波动现象。

需要注意的是，双模耦合KdV方程的精确解往往比较复杂，很难通过解析的方法得到。

通常情况下，人们会通过数值方法或近似方法求解该方程，从而得到其近似解或数值解。

这些解可以用于研究该方程的特性和波动行为。

kdv方程,mkdv方程及其等价方程的一类精确解
Mkdv方程及其等价方程是一类重要的非线性波动方程，在理论物理学和应用数学中拥有广泛的应用背景。

其是一个三或四阶非线性抛物型积分方程，通常用来描述小波的动力学行为。

比如在量子场论与凝聚态物理学中的对称超导的结构，以及在水动力学和湖泊模型中非线性水流的模拟。

Mkdv方程及其等价方程的一类解即精确解，由50 年代末冯—夸克—赛纳得到豪斯——马斯特解析研究，在有限时间内可解开这类积分方程，使用高精度积分法获得它们的精确解，可通过扰动参数求解精确解，根据马斯特条件建立解的一般公式，归结出一类特殊形式的精确解。

此外，目前还存在特殊的黎曼改正马斯特解，可以通过将此类分段函数拟合为指数形式，求出相应的精确解。

改正马斯特解不仅加强了对Mkdv和它们等价方程精确解之间的联系，而且增强了对任意大小参数'red'和'stability'的精确度，使得此类解的收敛性更加牢固。

综上，Mkdv方程及其等价方程的一类精确解经过冯—夸克—赛纳和豪斯——马斯特的研究，构建了整个领域的精确解，他们的精确解及其特殊形式的解的一般公式可以获得一类精确解，并通过黎曼改正马斯特解增强精确度，从而有效地解决mkdv方程及其等价方程的问题。

混合正、负阶KdV—mKdV方程精确解
陈冬冬;刘玉清
【期刊名称】《常州大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2015(027)004
【摘要】负阶KdV方程与著名的Camassa—Holm方程以及一些高维非线性发
展方程有着紧密的联系，同时负阶KdV方程本身往往还具有一些特殊性质比如具
有显式弱解。

因此负阶方程具有重要的数学和物理价值。

本文提出混合正、负阶KdV—mKdV方程，是对负阶KdV方程的一种推广，该方程有许多性质有待研究。

通过行波约化，求得方程的精确解是其中一个重要部分。

得到了孤子解，三角函数解等形式的解，了解了正、负阶方程共同作用的方式。

【总页数】3页(P113-115)
【作者】陈冬冬;刘玉清
【作者单位】常州大学数理学院,江苏常州213164
【正文语种】中文
【中图分类】O175.23
【相关文献】
1.混合正、负阶KdV-mKdV方程精确解
2.含任意次正幂项的广义五阶KdV方程
的精确解3.一类空时分数阶混合(1+1)维KdV方程的精确解4.一类广义KdV-mKdV方程新的精确解5.应用Riccati展开法求解广义KdV-mKdV方程的新精确解
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KdV方程和mKdV方程的新奇异解刘正荣;唐昊【期刊名称】《华南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(040)010【摘要】This paper deals with the singular solutions of the famous KdV and mKdV equations.In the investigation,first,the corresponding planar systems of these equations are established.Then,through some special orbits of the corresponding planar systems,some new singular solutions of these equations are obtained.Finally,by employing the singular solutions of the mKdV equation and the Miura transformations,other singular solutions of the KdV equation are presented.%研究了著名的KdV方程和mKdV方程的奇异解.首先,建立了与这两个方程相应的平面行波系统.然后,利用行波系统的一些特殊轨道,导出了新奇异解.最后,通过mKdV方程的奇异解以及Miura变换,获得了KdV方程其它的新奇异解.【总页数】6页(P96-101)【作者】刘正荣;唐昊【作者单位】华南理工大学数学系,广东广州510640;华南理工大学数学系,广东广州510640【正文语种】中文【中图分类】O175.29【相关文献】1.拓展双曲函数法和变系数mKdV方程的新精确解 [J], 陈添树;郑筱筱;2.KdV-mKdV方程的新行波解 [J], 崔文艳;尹枥3.mKdV方程的新椭圆函数解 [J], 庞成群;刘松红4.一类广义KdV-mKdV方程新的精确解 [J], 郭春晓;郭艳凤5.应用Riccati展开法求解广义KdV-mKdV方程的新精确解 [J], 欧阳坦;肖冰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

KdV方程和KP方程的新的精确孤立波解
套格图桑;斯仁道尔吉
【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》
【年(卷),期】2005(034)002
【摘要】用新的辅助方程构造了KdV方程和K-P方程的新的精确孤立波解.【总页数】6页(P145-150)
【作者】套格图桑;斯仁道尔吉
【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古呼和浩特 010022;内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古呼和浩特 010022
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.MKdV方程的新精确孤立波解 [J], 黄英;杨波;马祖彦
2.mKdV方程的一类新的精确孤立波解 [J], 李晓燕;张英;姚若侠
3.一类混合KdV方程的精确孤立波解 [J], 廖欧;舒级;曾群香
4.用(1/G)-展开法求KdV方程的精确解和孤立波解 [J], 苗宝军;李雪臣
5.mKdV方程和mKP方程组的新的精确孤立波解 [J], 套格图桑; 斯仁道尔吉
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