2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题及答案

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，{}|1A x x =<，{}|2B x x =≥，则集合=)(B A C U ( ) A 、{}|12x x ≤< B 、{}|12x x <≤ C 、{}|1x x ≥ D 、{}|2x x ≤【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得{}21|≥<=x x x B A 或 ，则{}21|)(<≤=x x B A C U . 考点：集合的运算.2．已知z 为复数，()()2311i z i -=+（i 为虚数单位），则z ＝ A 、1i +B 、1i -+C 、1i -D 、1i --【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得i ii i i i z --=-+=-+=12)1(2)1()1(23，则i z +-=1.考点：1.复数的运算；2.共轭复数.3．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三 角形。

若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0）， 则第五个顶点的坐标可能为 A 、（1，1，1） B 、（1，1C 、（1，1D 、（2，2【答案】C 【解析】试题分析：由三视图，可得：该几何体是一个正四棱锥，所给四个点都在xOy面，则第五个正视图侧视图俯视图6 7 7 58 8 8 6 84 0 9 3 甲乙点应是四棱锥的顶点，设顶点为),,(z y x P ，则1221=⨯=x ，1221=⨯=y ，3232=⨯=z ，所以第五个顶点的坐标为()3,1,1. 考点：三视图.4．甲、乙两名同学，在班级的演讲比赛中,得分情况如图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲、x 乙,则下列判断正确的是 A 、x x <甲乙，甲比乙成绩稳定 B 、x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C 、x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D 、x x >甲乙，乙比甲成绩稳定【答案】B 【解析】试题分析：由茎叶图，得()85949088767751=++++⨯=甲x ，()86938886887551=++++⨯=乙x ，且相比较乙的平均得分比较集中，较稳定；故选B.考点：茎叶图.5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为21116y x =+与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为A 、2214y x -=B 、2214x y -=C 、22128x y -=D 、22182x y -= 【答案】B考点：1.双曲线的性质；2.直线与抛物线的位置关系.6．已知多项式8.07.16.25.324)(2345-+-++=x x x x x x f ，用秦九韶算法算(5)f 时的1v 值为A 、22B 、564.9C 、20D 、14130.2【答案】A 【解析】试题分析：根据秦九韶算法，把多项式改成如下形式：8.0)7.1)6.2)5.3)24(((()(-+-++=x x x x x x f ；按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当5=x 时的值：22254,410=+⨯==v v . 考点：秦九韶算法.7．数列{}n c 为等比数列，其中4,281==c c ，)())(()(821c x c x c x x x f -⋅⋅⋅--=，)(x f '为函数)(x f 的导函数，则)0(f '＝ A 、0B 、62C 、92D 、122【答案】D 【解析】试题分析：4,281==c c ，则12482128==⋅⋅⋅c c c ；[]'821821')())(()())(()(c x c x c x x c x c x c x x f -⋅⋅⋅--+-⋅⋅⋅--=；则12821'2)0(=⋅⋅⋅=c c c f .考点：1.导数的运算法则；2.等比数列的性质.8．“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1246)，在两位的“序数”中任取一个数比36大的概率是 A 、21B 、32 C 、43 D 、54【答案】A 【解析】试题分析：从9~1中任取两个数字，组成的“序数”共有3629=C 个，不大于36的“序数”有：当十位数字为3的“序数”有34,35，36三个，当十位数字为2的“序数”有7个，当十位数字为1的有8个，共18个，则在两位的“序数”中任取一个数比36大的概率是21361836=-. 考点：古典概型.9．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0＞x 时，.2),2(2120,12)(1⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=-＞＜x x f x x f x 则关于x 的方程()[]()0162=--x f x f 的实数根个数为A 、6B 、7C 、8D 、9 【答案】B 【解析】试题分析：令)(x f t =，则0162=--t t 的两根为31,21-，由题意，得当(]2,0∈x 时，[]1,0)(∈x f ，当(]4,2∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0)(x f ，当(]6,4∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,0)(x f ，当(]0,2-∈x 时，[]0,1)(-∈x f ，当(]2,4--∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,21)(x f ；令21)(=x f ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤<=--2021121x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤<=--2021)12(211x x ，解得有三解；⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=--2031211x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=--2031)21(211x x ，解得有四解；所以共有七解.考点：1.函数的性质；2.分段函数；3.函数的零点.10．若函数()()2sin 0f x x ωω=>的图象在()0,3π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 A 、2,13⎛⎤⎥⎝⎦B 、15,26⎛⎤⎥⎝⎦C 、24,33⎛⎤⎥⎝⎦D 、35,44⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】试题分析：因为x x f ωsin 2)(=在()π3,0上恰有一个极大值和一个极小值，则ππ45343≤<T ，即 ωππωπ2453243⨯≤<⨯，解得6521≤<ω. 考点：三角函数的周期性.二、填空：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．执行如图的程序框图，若输入12x =，则输出y = ． 【答案】310 【解析】试题分析：由程序框图，得16,6,12>=-==x y y x ；12,4,6>=-==x y y x ；132,310,4<=-==x y y x ；输出310=y .考点：程序框图.12．在等比数列{}n a 中，对于任意*n N ∈都有123n n n a a +=，则126a a a ⋅⋅⋅= ．【答案】63 【解析】试题分析：令2=n ，得2433=⋅a a ；由等比数列的性质，得()63436213==⋅⋅⋅a a a a a .考点：1.赋值法；2.等比数列的性质.13．点),(y x P 在线性约束条件10102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的区域内运动，则OP 的最小值为 ．【答案】22 【解析】试题分析：作出可行域（如图所示），作AB OP ⊥,垂足为P ，此时OP 取到最小值；由点到直线的距离公式，得2221==d .考点：1.不等式组与平面区域；2.非线性规划.14．若向量n m ,的夹角为451=，102== ． 【答案】23 【解析】试题分析：由102=m ，得1044=-23=. 考点：平面向量的模长公式.15．已知b a ,为实数，则“1>>b a ”是“1111-<-b a ”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”及“充要”等）． 【答案】充分不必要 【解析】试题分析：0111111>->-⇔-<-b a b a 或101-<<-b a 或110->->b a ，即1>>b a 或b a <<1或b a >>1，则“1>>b a ”是“1111-<-b a ”的 充分不必要条件. 考点：1.不等式的解法；2.充分条件、必要条件.16．设1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且||4||321PF PF =，则双曲线的离心率为 ． 【答案】517．已知函数),(ln )(R n m nx x m x f ∈+=，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=．（1）=+n m ；（2）若1x >时，()0kf x x+<恒成立，则实数k 的取值范围是 ．【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,,21 【解析】试题分析：nx x m x f +=ln )( ,n xmx f +=∴)('；因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为121-=x y ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==21)1(21)1('f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+2121n n m ，解得21,1-==n m ；则0)(<+x k x f 可化为x x x k ln 22-<，令x x x x g ln 2)(2-=，则x x x g ln 1)('--=，令x x x h ln 1)(--=，则xx x x h 111)('-=-=；当1>x 时，0)('>x h ，)(x h 单调递增，且0)1(=h ，即当1>x 时0)('>x g ，)(x g 单调递增，即21)1()(=>g x g ，即21≤k .考点：1.导数的几何意义；2.不等式恒成立问题.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分12分）设(),R f x a b λ∈=⋅ ，其中()cos ,sin ,sin cos ,cos()2a x x b x x x πλ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ ，已知()f x 满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求不等式3)62cos(2>-πx 的解集。

数学（文科）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{1,3,4,5}A =，集合2{|450}B x Z x x =∈--<，则A B 的子集为A ．2B ．4C ．8D ．162、如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数(z i i ⋅是虚数单位)的共轭复数所对应的点为 A ．1Z B ．2Z C ．3Z D ．4Z3、给出下列四个命题，命题:"3"p x >是"5"x >的充分不必要条件；命题：:q函数2log )y x =是奇函数，则下列命题是真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ∨D ．p q ∧⌝4、若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是 A ．91 5.5 B ．91 5 C ．92 5.5 D ．92 513、已知向量AB 与AC 的夹角为60，且2AB AC ==， 若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 A ．12 B ．1 C ．2 D ．12- 6、已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y z +=的最大值为A．．2 D ．47、执行如图所示的程序框图，输出的结果是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．88、指数函数()xb y a=与二次函数22(,)y ax bx a R b R =+∈∈在同一坐标系中的图象可能的是14、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的版焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线解得的弦长是2(3e 为双曲线的离心率），则e 的值为A ．32或3 D10、若函数()421142f x x ax bx d =+++的导函数有三个零点，分别为123,,x x x ，且满足： 1232,2,2x x x <-=>，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(,3)-∞-C ．(7,)-+∞D ．(,12)-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

2015年宁夏银川市高考模拟（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，∁A B={1，3，5}，则集合B=（）A．{2，4} B．{0，2，4} C．{0，1，3} D．{2，3，4}【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，先用列举法表示集合A，进而由补集的性质，可得B=∁A（∁A B），计算可得答案．【解析】解：根据题意，集合A={x∈N|0≤x≤5}={0，1，2，3，4，5}，若C A B={1，3，5}，则B=∁A（∁A B）={0，2，4}，故选B．【点评】本题考查补集的定义与运算，关键是理解补集的定义．2．（5分）若复数z满足（1﹣i）z=4i，则复数z对应的点在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据所给的关系式整理出z的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，点的代数形式的最简形式，写出对应的点的坐标，判断出位置．【解析】解：∵复数z满足（1﹣i）z=4i，∴z===﹣2+2i∴复数对应的点的坐标是（﹣2，2）∴复数对应的点在第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的表示及其几何意义，本题解题的关键是求出复数的代数形式的表示形式，写出点的坐标．3．（5分）已知α为第二象限角，sinα=，则sin的值等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解析】解：∵α为第二象限角，sinα=，∴cosα=，则sin=sinαcos﹣cosαsin=×﹣×=，故选：C【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据两角和差的正弦公式是解决本题的关键．4．（5分）从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第四象限的概率P=．故选A．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到．5．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．π B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知：该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1，高为=，据此可计算出体积．【解析】解：由三视图可知：该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1，高为=，因此体积=2×=．故选D．【点评】本题考查由三视图计算原几何体的体积，正确恢复原几何体是计算的前提．6．（5分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2或D．或【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；分类讨论．【分析】利用双曲线的焦点所在坐标轴，根据双曲线的渐近线求得a和b的关系，进而根据求得c和b的关系，代入离心率公式，解答即可．【解析】解：①当双曲线的焦点在x轴上时，由渐近线方程，可令a=k，b=k （k＞0），则c=2k，e=2；②当双曲线的焦点在y轴上时，由渐近线方程，可令a=k，b=k （k＞0），则c=2k，e=；离心率为：2或．故选C．【点评】本题考查双曲线的离心率的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用和分类讨论．7．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A（0，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值．∴z max=3×0﹣4=﹣4．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序时，输出的S值是（）A．44 B．70 C．102 D．140【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K的值，当S=102时，满足条件S＞100，退出循环，输出S的值为102．【解析】解：模拟执行程序框图，可得K=1，S=0S=2，K=4不满足条件S＞100，S=10，K=7不满足条件S＞100，S=24，K=10不满足条件S＞100，S=44，K=13不满足条件S＞100，S=70，K=16不满足条件S＞100，S=102，K=19满足条件S＞100，退出循环，输出S的值为102．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的S，K的值是解题的关键，属于基本知识的考查．9．（5分）在△ABC中，若向量，的夹角为60°，=2，且AD=2．∠ADC=120°，则=（）A．2B．2C．2D．6【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据已知条件容易得到D为边BC的中点，△ABD为等边三角形，从而可得到AB=2，BC=4，从而要求先来求，从而得出答案．【解析】解：如图，由知，D是BC边的中点；∠ADC=120°；∴∠ADB=60°；又∠ABD=60°；∴△ABD是等边三角形，AD=2；∴AB=2，BC=4；∴；∴．故选：C．【点评】考查向量数乘的几何意义，等边三角形的概念，求向量长度的方法：先去求向量的平方，以及数量积的计算公式．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且x∈[0，2]时，f （x）=log2（x+1），则f（7）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D． 3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）的图象关于直线x=2对称且为奇函数，所以f（x）=f（﹣4﹣x）=﹣f （4+x），从而f（8+x）=f（x），即函数f（x）的周期为8，代入验证即可．【解析】解：函数f（x）的图象关于直线x=2对称且为奇函数．∴f（x）=f（﹣4﹣x）=﹣f（4+x）∴f（8+x）=f（x）即函数f（x）的周期为8∴f（7）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故选A【点评】本题考查的是函数的奇偶性及周期性的综合运用，另外利用数形结合也可得到答案．11．（5分）设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．a，b⊂α，a∩b=P，c⊥a，c⊥b，若α⊥β，则c⊂β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的几何特征及线面垂直的性质，可判断A；根据线面平行的判定定理，可判断B；根据面面垂直的几何特征，可判断C；根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，可判断D．【解析】解：A的逆命题为c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的几何特征及线面垂直的性质，可得其逆命题成立；B的逆命题为b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理，可得其逆命题成立；C的逆命题为b⊂β，若β⊥α，则b⊥α，根据面面垂直的几何特征，当b与两平面的交线不垂直时，结论不成立，故C的逆命题不成立；D的逆命题为a，b⊂α，a∩b=P，c⊥a，c⊥b，即c⊥α，若c⊂β，则α⊥β，由面面垂直的判定定理，可得其逆命题成立；故选C【点评】本题以逆命题的判定为载体考查了空间直线与平面，平面与平面位置关系的判定，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．12．（5分）一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从P o开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可设h（t）=Acosωt+B，根据周期性=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．【解析】解：设h（t）=Acosωt+B，∵12min旋转一周，∴=12，∴ω=．由于最大值与最小值分别为18，2．∴，解得A=﹣8，B=10．∴h（t）=﹣8cos t+10．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是144．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】根据杨辉三角中的已知数据，易发现：每一行的第一个数和最后一个数与行数相同，之间的数总是上一行对应的两个数的积，即可得出结论．【解析】解：由题意a=12×12=144．故答案为：144．【点评】此题主要归纳推理，其规律：每一行的第一个数和最后一个数与行数相同，之间的数总是上一行对应的两个数的积．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．14．（5分）若M是抛物线y2=4x上一点，且在x轴上方，F是抛物线的焦点，直线FM的倾斜角为60°，则|FM|=4．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由直线倾斜角求出斜率，写出直线方程，和抛物线方程联立求得M的坐标，再由抛物线焦半径公式得答案．【解析】解：如图，由抛物线y2=4x，得F（1，0），∵直线FM的倾斜角为60°，∴，则直线FM的方程为y=，联立，即3x2﹣10x+3=0，解得（舍）或x2=3．∴|FM|=3+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，若cosC=，且sinC=sinB，则△ABC的内角A=．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosC，代入已知第一个等式整理得到关系式，第二个关系式利用正弦定理化简，代入上式得出的关系式整理表示出a，再利用余弦定理表示出cosA，把表示出的a与c代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解析】解：由已知等式及余弦定理得：cosC==，即a2+b2﹣c2=2a2①，将sinC=sinB，利用正弦定理化简得：c=b②，②代入①得：a2=b2﹣b2=b2，即a=b，∴cosA===，则A=．故答案为：．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．16．（5分）已知，则使f（x）﹣e x﹣m≤0恒成立的m的范围是[2，+∞）．【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】运用参数分离的方法，分别讨论当x≤1时，当x＞1时，函数f（x）﹣e x的单调性和最大值的求法，注意运用导数，最后求交集即可．【解析】解：当x≤1时，f（x）﹣e x﹣m≤0即为m≥x+3﹣e x，可令g（x）=x+3﹣e x，则g′（x）=1﹣e x，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）递增．g（x）在x=0处取得极大值，也为最大值，且为2，则有m≥2 ①当x＞1时，f（x）﹣e x﹣m≤0即为m≥﹣x2+2x+3﹣e x，可令h（x）=﹣x2+2x+3﹣e x，h′（x）=﹣2x+2﹣e x，由x＞1，则h′（x）＜0，即有h（x）在（1，+∞）递减，则有h（x）＜h（1）=4﹣e，则有m≥4﹣e ②由①②可得，m≥2成立．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，同时考查运用导数判断单调性，求最值的方法，属于中档题和易错题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知各项都不相等的等差数列{a n}的前7项和为70，且a3为a1和a7的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n，n∈N*且b1=2，求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），通过前7项和为70、且a3为a1和a7的等比中项，可得首项和公差，计算即可；（II）通过递推可得b n=n（n+1），从而=，利用并项法即得结论．【解析】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则，解得，∴a n=2n+2；（II）∵b n+1﹣b n=a n，∴b n﹣b n﹣1=a n﹣1=2n （n≥2，n∈N*），b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=a n﹣1+a n﹣2+…+a1+b1=n（n+1），∴==，∴T n===．【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和，考查递推公式，利用并项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）已知四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，，O为AB的中点．（Ⅰ）求证：EO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到面AEC的距离．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（I）连接CO，利用△AEB为等腰直角三角形，证明EO⊥AB，利用勾股定理，证明EO⊥CO，利用线面垂直的判定，可得EO⊥平面ABCD；（II）利用等体积，即V D﹣AEC=V E﹣ADC，从而可求点D到面AEC的距离．【解析】（I）证明：连接CO∵∴△AEB为等腰直角三角形∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO=1…（2分）又∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ACB是等边三角形∴，…（4分）又EC=2，∴EC2=EO2+CO2，∴EO⊥CO，∵AB∩CO=O∴EO⊥平面ABCD…（6分）（II）解：设点D到面AEC的距离为h∵∴…（8分）∵，E到面ACB的距离EO=1，V D﹣AEC=V E﹣ADC∴S△AEC•h=S△ADC•EO…（10分）∴∴点D到面AEC的距离为…（12分）【点评】本题考查线面垂直，考查点到面距离的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，考查等体积的运用，属于中档题．19．（12分）为了比较两种复合材料制造的轴承（分别称为类型I轴承和类型II轴承）的使用寿命，检验了两种类型轴承各30个，它们的使用寿命（单位：百万圈）如下表：类型I（Ⅰ）根据两组数据完成下面茎叶图；（Ⅱ）分别估计两种类型轴承使用寿命的中位数；（Ⅲ）根据茎叶图对两种类型轴承的使用寿命进行评价．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据两组数据，即可得到茎叶图；（Ⅱ）注意到两组数字是有序排列的，中位数为第15，16两个数，即可得出结论；（Ⅲ）由中位数及标准差分析即可．【解析】解：（Ⅰ）茎叶图：（Ⅱ）由茎叶图知，类型I轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15，16位是11.8，12.2，故中位数为12；类型II轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15，16位是10.4，10.6，故中位数为10.5；（Ⅲ）由所给茎叶图知，类型I轴承的使用寿命的中位数高于对类型II轴承的使用寿命的中位数，表明类型I轴承的使用寿命较长；茎叶图可以大致看出类型I轴承的使用寿命的标准差大于类型II轴承的使用寿命的标准差，表明类型I轴承稳定型较好．【点评】本题考查了样本的数字特征，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1•x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣21nx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a=1代入，求出函数的导数，从而得到函数的单调区间；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性，求出函数的极值，从而得到a的范围．【解析】解：（Ⅰ）a=1时，函数f（x）=x﹣1﹣2lnx，定义域是（0，+∞），f′（x）=1﹣=，由f′（x）＞0解得：x＞2，由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；（Ⅱ）（1）当a≤0时，由x∈（0，1），得x﹣1＜0，﹣2lnx＞0，∴f（x）＞0恒成立，即a≤0符合题意；（2）当a＞0时，f′（x）=a﹣=（x﹣），①当a≤2时，即≥1时，由f′（x）＜0得0＜x＜，即f（x）在区间（0，1）单调递减，故f（x）＞f（1）=0，满足对∀x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，故此时f（x）在区间（0，1）上无零点，符合题意；②当a＞2时，即0＜＜1时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜，即f（x）在（0，）递减，在（，1）递增，此时f（）＜f（1）=0，令g（a）=e a﹣a，当a＞2时，g′（a）=e a﹣1＞e2﹣1＞0恒成立，故函数g（a）=e a﹣a在区间（2，+∞）递增，∴g（a）＞g（2）=e2﹣2＞0；即e a＞a＞2，∴0＜＜＜＜1，而f（）=a（﹣1）﹣2ln=+a＞0，故当a＞2时，f（）•f（）＜0，即∃x0∈（，），使得f（x0）=0成立，∴a＞2时，f（x）在区间（0，1）上有零点，不合题意，综上，a的范围是{a|a≤2}．【点评】本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查分类讨论思想，本题有一定的难度．选做题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于ΘO，且AB是的ΘO直径，过点D的ΘO的切线与BA的延长线交于点M．（1）若MD=6，MB=12，求AB的长；（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．【专题】计算题．【分析】（1）利用MD为⊙O的切线，由切割线定理以及已知条件，求出AB即可．（2）推出∠AMD=∠ADM，连接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通过AB是⊙O 的直径，四边形ABCD是圆内接四边形，对角和180°，求出∠DCB即可．【解析】选修4﹣1：几何证明选讲解：（1）因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，MD2=MA•MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，…（2分），所以MA=3，AB=12﹣3=9．…（5分）（2）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，（7分）又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°﹣∠ABD．又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，于是90°﹣∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．…（8分）又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD+∠DCB=180°，所以∠DCB=120°…（10分）【点评】本题考查圆的内接多边形，切割线定理的应用，基本知识的考查．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=1时，曲线C1上的点为A，当t=﹣1时，曲线C1上的点为B．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求A、B的极坐标；（2）设M是曲线C2上的动点，求|MA|2+|MB|2的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）当t=1时，代入参数方程可得即A，利用，即可得出点A的极坐标，同理可得及其点B的极坐标．（2）由ρ=，化为4ρ2+5（ρsinθ）2=36，利用即可化为直角坐标方程，设曲线C2上的动点M（3cosα，2sinα），可得|MA|2+|MB|2=10cos2α+16，再利用余弦函数的单调性即可得出．【解析】解：（1）当t=1时，代入参数方程可得即A，∴=2，，∴，∴点A的极坐标为．当t=﹣1时，同理可得，点B的极坐标为．（2）由ρ=，化为ρ2（4+5sin2θ）=36，∴4ρ2+5（ρsinθ）2=36，化为4（x2+y2）+5y2=36，化为，设曲线C2上的动点M（3cosα，2sinα），则|MA|2+|MB|2=+=18cos2α+8sin2α+8=10cos2α+16≤26，当cosα=±1时，取得最大值26．∴|MA|2+|MB|2的最大值是26．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数基本关系式、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【专题】计算题；证明题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即可得证；（Ⅱ）不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，运用绝对值的定义，即可解出不等式．【解析】（Ⅰ）证明：由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即有（a+b+c）2≤3，即有|a+b+c|≤；（Ⅱ）解：不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，由x≥1得，2x≥3，解得，x≥；由x≤﹣1，﹣2x≥3解得，x≤﹣，由﹣1＜x＜1得，2≥3，不成立．综上，可得x≥或x≤﹣．则实数x的取值范围是（﹣]∪[）．【点评】本题考查柯西不等式的运用，考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．。

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷 数学（文科） V=Sh 其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V=Sh ， 其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则等于（） A．B．C．D． 2．已知复数（）在复平面上对应的点为M，则“且”是“点M在第四象限”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．抛物线的准线方程是（） A．x=－2 B．x=－1 C．y=－2 D． y=－1 4．根据如下样本数据 6 8 10 12 2 3 5 6 得到的线性回归方程为，则的值为（） A．－2 B．－ 2．2 C．－2．3 D．－2．6 5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的k的值等于（） A．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 6．若实数满足不等式组则的最大值是（） A．－1 B．0 C．1 D．2 7．已知函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2－x，则不等式f(x）>0的解集为（） A．（－∞，－1）∪（0，1） B．（－∞，－1）∪（1，+∞） C．（－1，0）∪（0，1） D．（－1，0）∪（1，+∞） 8．已知若向量与垂直，则实数的值为（） A．B．C．D． 9．请在“垂直于同一①的两②平行”①和②中填入“直线”或“平面”，使之组成四个不同的命题，则其中真命题的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 11．函数的导函数的图象是如图所示的一条直线，该直线与轴的交点坐标为（1，0），则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 12．如图，所在平面上的点均满足，（其中，是以1为首项的正项数列），则等于（） A．4 B．8 C．16 D．32 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．若集合则集合=． 14．某校对100名参加“妈祖杯”知识竞赛的选手成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这100名学生中，成绩不低于80分的人数． 15．函数的一条切线与直线垂直，则该切线方程为_______． 16．定义：表示不超过的最大整数．例如：，．给出下列结论： ①函数是周期为的周期函数； ②函数是奇函数； ③函数的值域是； ④函数不存在零点． 其中正确的是_____________．（填上所有正确结论的编号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡相应位置． 17．（本小题满分12分） 已知等差数列{an}的首项为1，公差d≠0，且a1，a2，a4成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式与前n项和Sn； （Ⅱ）设（），求使不等式成立的最小正整数n． 18．（本小题满分12分） 已知函数经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下： ①0 1 0 －1 0 （Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数的单调递增区间； （Ⅱ）的内角所对的边分别为，已知，求的面积． 19．（本小题满分12分） 《聪明花开——莆仙话挑战赛》栏目共有五个项目，分别为“和一斗”、“斗麻利”、“文士生”、“讲头知尾”、“正功夫”．《聪明花开》栏目组为了解观众对项目的看法，设计了“你最喜欢的项目是哪一个 ”的调查问卷（每人只能选一个项目），对现场观众进行随机抽样调查，得到如下数据（单位：人）： 合一斗斗麻利文士生讲头知尾正功夫115 230 115 45 460 （I）在所有参与该问卷调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人座谈，其中恰有4人最喜欢“斗麻利”，求n的值及所抽取的人中最喜欢“合一斗”的人数； （II）（I）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，任选2人参加栏目组互动，求恰有1人最喜欢“合一斗”的概率． 20．（本小题满分12分） 已知四边形ABCD为平行四边形，，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面平面ABCD． (Ⅰ)求证：平面ADF； (Ⅱ)若M为CD中点，证明在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，且MN//平面BDF，并求出此时三棱锥N—ADF的体积． 21．（本小题满分12分） 如图，O为坐标原点，椭圆：（）的左、右焦点分别是F1、F2，上顶点为P，离心率e=．直线PF2交椭圆于另一点Q，△PQF1的周长为8． （I）求椭圆的方程； （II）若点R满足，求△PQR的面积； （III）若M、N为椭圆E上异于点P的两动点，试探究：是否存在点M、N，使得△PMN为正三角形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分14分） 已知函数，．，求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：对任意给定的正数，总存在实数，使函数在区间上不单调； （Ⅲ）试探究：是否存在实数，使当时，函数的值域为？若存在，试确定实数的取值范围；若不存在，说明理由． 2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷 数学（文科） 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．A2．A3．B4．C5．C6．D7．D8．C9．B10．A11．B12．C 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共4小题，每小题4分，满分16分． 13．{1，2}14．2515．4x+y+3=016．①③④ 三、本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查等差、等比数列数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）因为a1，a2，a4成等比数列，所以a1a4=a22 ．…………………………………1分 即a1(a1+3d)=(a1+d)2，解得=1或d=0（舍去）． …………………………………………2分 所以an=1+(n－1)1=n，………………………………………………………………………4分 ．………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，…………………………………………7分 所以．…………9分 解，解得n>9，…………………………………………………………………………11分 所以使不等式成立的最小正整数为10． (12)分 18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力考查化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）①处应填入．…………………1分 ……………3分 ．………………4分 T=，，，．…………5分 ，，得， 所以函数的单调递增区间为．……………7分 （Ⅱ）因为，…………8分 解法一：由余弦定理得， 得，．…………10分 所以的面积．………12分 解法二：由正弦定理得， 所以，，而，………8分 所以 ，………10分 即，因为，，所以． 因此为等边三角形，其面积． ……12分 19．本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分． 解（I）由已知得，解得n=22．…………3分 抽取的人中最喜欢“合一斗”有(人)．……………5分 （II）从（I）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，最喜欢“合一斗”的有2人，记为A1、A2，最喜欢“斗麻利”的有4人，记为B1、B2、B3、B4．…………………6分 从中随机抽取2人，所有的可能结果共有15种，它们是: (A1， A2)、(A1， B1)、(A1，B2)、(A1， B3)、(A1， B4)、(A2， B1)、(A2， B2)、(A2， B3)、(A2， B4)、 (B1， B2)、(B1， B3)、(B1， B4)、(B2， B3)、(B2， B4)、(B3， B4)．…………9分 其中，恰有1人最喜欢“合一斗”的可能结果共有8种，它们是：(A1， B1)、(A1， B2)、(A1， B3)、(A1， B4)、(A2， B1)、(A2， B2)、(A2， B3)、(A2， B4)．故所求的概率P=．…………12分 20．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分． (Ⅰ)证：正方形ABEF中，AF⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF平面ABEF， 平面ABEF平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD． 又∵BD平面ABCD，∴AF⊥BD． ……………3分 又，AFAD=A，AF、AD平面ADF，∴平面ADF．……………5分 (Ⅱ)解：当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF，且MN//平面BDF． ……………6分 证明如下：正方形ABEF中，NFBA，形ABCD中，MDBA，NFMD， 四边形NFDM为平行四边形，MN//DF． ……………7分 又DF平面ADF，MN平面ADF，∴MN//平面ADF，同理可证MN//平面BDF． ……………9分 过D作DHAB于H，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又DH平面ABCD，平面ABEF平面ABCD=AB，∴DH⊥平面ABEF． 在Rt?ABD中，AB=2，BD=AD，∴DH=1，……………10分 所以．……………12分 21．本小题主要考查平面向量、点到直线的距离、椭圆的定义与性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想．满分12分． 解法一：（Ⅰ）由已知可得，，4a=8，所以a=2，c=1．·……………2分 又由，解得，所以椭圆的方程为．……………3分 （Ⅱ）因为，所以， 所以R，O，Q三点共线，且R在椭圆E上．……………4分 直线PF2的方程为y=(x－1)，由得5x2－8x=0，解得x=或x=0，……………5分 所以P（0，），Q（，），R（，）．·……………6分 所以S△PQR=S△POR+S△POQ=|PO|·|xQ－xR|=．……………7分 （Ⅲ）存在点M，N，当其坐标为（－，），（，）时，△PMN为等边三角形．…8分 证明如下：当MN⊥x轴时，易得△PMN不可能为等边三角形． 当MN⊥y轴时，因为为等边三角形，结合椭圆的对称性，以及（Ⅱ）可得M，N的坐标为（－，），（，），符合题意．……………9分 当MN不与坐标轴垂直时，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为D（x0，y0）， 由得， 即，所以kMN=．……………10分 因为△PMN为等边三角形，所以kMN·kPD=—1，即， 解得y0=，与y0∈矛盾，此时不存在M，N使△PMN是等边三角形．·……………11分 综上，存在M，N，且其坐标为（－，），（，）时△PMN是等边三角形．……12分 解法二：（Ⅰ）同解法一； （Ⅱ）同解法一，可得|QR|=2|QO|=．………6分 因为直线QR的方程为y=x，即x+8y=0， 所以点P（0，）到直线QR的距离d=． 所以S△PMN=|QR|·d=．……………7分 （Ⅲ）存在点M，N，当其坐标为（－，），（，）时，△PMN为等边三角形．…8分 证明如下：当MN⊥x轴时，易得△PMN不可能为等边三角形． （1）当MN垂直于坐标轴时，同解法一．……………9分 （2）当MN不与坐标轴垂直时，设直线MN的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）． 由得，所以，MN的中点坐标为． 因为△PMN为等边三角形，所以kMN·kPD=—1，即， 化简得，（*） 又因为， 即，这与（*）式矛盾，M，N．……………11分 综上，存在M，N，其坐标为（－，），（，）时△PMN是等边三角形．……12分 22．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分． 解：（Ⅰ）由，（x>0）．………… 1分 令，得，f(x)，的变化情况如下表： (0，1) 1 （1，+∞）+ 0 －单调递增极大值单调递减所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．……………………………… 3分 （Ⅱ）． （1）当时，恒成立，此时函数在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…………………4分 （2）当时，令，得，，的变化情况如下表： + 0 －单调递增极大值单调递减所以函数的增区间为，减区间为．……………… 6分 要使函数在区间上不单调，须且只须，即． 所以对任意给定的正数，只须取实数，就能使得函数在区间上不单调．…………………… 7分 （Ⅲ）假设存在实数，使当时，函数f(x)的值域为． 由得．……………………… 8分 令（1）当时，均在区间（0，+∞）上单调递增， 由已知得为方程的两个不等正根．（*） 令，即． 要使（*）成立，须且只须存在两个零点． ………………………9分 因为． ①当，即时，在区间（0，+∞）上单调递增，（*）不成立． ②当，即时，令，得，此时取到最大值． 要使（*）成立，须且只须，得． 所以当时，要使（*）成立，须且只须．…………………… 10分 （2）当时，由（Ⅱ）知，在处取到最大值． 此时要使命题成立，须且只须有两个零点，结合图形可得： ①若，由均在区间上单调递增知，存在符合题意； ②若，则取符合的解为即可． 由①，②，结合（1）得．…………………… 13分 注意到，所以，且． 综上，当时，存在符合题意； 当时，存在符合是题意； 当时，满足条件的实数不存在．…… 14分。

江西省八所重点中学2015届高三4月联考数学（文）试题一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U R =，集合}{14A x x =<<，集合}{25B x x =≤<，则=)(B C A U （ ） A ．{}21x ＜x ≤ B ．{}2x ＜x C ．{}5≥x x D ．{}21＜x＜x 2．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ） A ．i 54 B ．54C ．i 4D ．43．已知O 为坐标原点，点M 坐标为(－2，1)，在平面区域x 0x +y 2y 0≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩上取一点N ，则使MN 取得最小值时，点N 的坐标是( )A.(0，0)B. (0，1)C. (0，2)D. (2，0) 4．已知抛物线)0(2a ＞ax y =的焦点到准线的距离为2，则a =（ ） A ．4 B ．2 C ．41 D ．21 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为（ ）A.4B.4-C.6D.6-6．正项等比数列{}n a 满足：3212a a a =+，若存在,m n a a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为( )A.2B.16C.83 D.327．已知函数sin cos sin cos ()2x x x xf x ++-=，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是奇函数B.()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上递增C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[]1,1-8．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. 643 B. 163C. 803D.433 10．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. (1,2]B. [2 +∞)C. (1,3]D. [3，+∞)11. 已知PC 为球O 的直径，,A B 是球面上两点，且6,4AB APC BPC π=∠=∠=若球O 的表面积为64π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）A．B．CD ．521212．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ∞（-，0）B. 12（0，） C. （0，1） D.+∞（0，）二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知实数[2,5]a ∈-，则}{2230a x R x x ∈∈--≤的概率为 .14. 已知函数⎩⎨⎧<≥+=,0,10,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围是 .15.在数列{}n a 中，已知111,(1)cos(1)nn n a a a n π+=+-=+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2015S = .16．在ABC ∆中，(2,3),(1,2)AB AC ==，则ABC ∆的面积为 . 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线:(0).l y x =≥(1)求cos()6πα+的值；(2)若点,P Q 分别是角α始边、终边上的动点，且6PQ =，求POQ ∆面积最大时，点,P Q 的坐标．18.（本小题满分12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多。

长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C 8. A 9. A 10. B 11. B 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞ð．故选A.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -=，故选B.3. 【命题意图】本小题主要考查空间线和面的位置关系，对于特殊位置要提示考生多加论证，多举反例.【试题解析】A 易知③正确，故选A.4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.5. 【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的性质和应用，对学生的数据处理能力提出一定要求.【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C .6. 【命题意图】本小题主要借助条件逻辑的判定，考查函数的性质以及对复合函数奇偶性的判定等问题.【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A 由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A =，故选A. 9. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A.10. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121a a <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B.11. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题.【试题解析】B 由题可求得，33,2M m ==，从而12b a +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e ，故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π 15. ②④⑤ 16. 203π 简答与提示：13. 【命题意图】本小题是向量的简单应用，对向量计算的掌握是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+=，故||a b +的最小值为3.14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题.【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF =O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE OE R CF OF =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-. (6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒， 45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒. (12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BD EF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面. (6分) (2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=. 1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则11132C EBD EBD V S C D -∆=⋅=1EBC ∆中，EC =EB =，1BC =1EBC S ∆=1113C EBD EBC V S h h -∆=⋅==，则4h =. (12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =. (4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得， 20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=- 根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k-， 从而20111NF AB k k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x x f x x x--'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点， 所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分) (2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x++=， 则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x +++-++-'==.再令()ln h x x x =-，则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>， 所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤. (12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴===在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ==. (5分)(2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形OADB 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点，所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=2C 的直角坐标方程为1y x =+.(5分)(2) 设(1cos2,sin 2)P αα+，则P 到2C 的距离2)|4d πα=+，当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d 1，此时P 点坐标为(1. (10分) 24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a a a -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥，从而实数4m ≥. (10分)。

长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 设全集{|0}U x x =∈>R ，函数()f x A ，则U A ð为A. (,)e +∞B. [,)e +∞C. (0,)eD. (0,]e2. 复数12,z z 满足12||||1z z ==，12||z z +=12||z z -= A. 1 B. C. 2 D.3. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题：①若l α⊥，αβ⊥，则//l β；②若//l α，//αβ，则//l β；③若l α⊥，//αβ，则l β⊥； ④若//l α，αβ⊥，则l β⊥. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为 A. 1030020(())a x a x a a x +++的值B. 3020100(())a x a x a a x +++的值C. 0010230(())a x a x a a x +++的值D. 2000310(())a x a x a a x +++的值5. 已知x 、y A. 0.95 B. 1.00 C. 1.10 D. 1.156. 已知p ：“函数()f x 为偶函数”是q ：“函数(())g f x 为偶函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为A. 163π+B. 326π+C. 6412π+D. 646π+正视图侧视图8. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若22a b -=，sin C B =，则A =A.6π B. 3π C.23π D.56π 9. 函数||()x f x x e =⋅的大致图象为10. 若等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，且11121a a <-，则当n S 取最大值时，n 的值为 A. 10B. 11C. 12D. 1311. 已知,x y 满足041x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，且12z x y =+的最大值是M ，最小值是m ，若3Ma mb +=(,a b 均为正实数)，则21a b+的最小值为A. 4B. 92C. 8D. 912. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30，则双曲线C 的离心率是A.B. 2C.D. 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 已知向量(1,2)x =-a ，(2,2)y =b ，且⊥a b ，则||+a b 的最小值为________. 14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+与()g x 的图象关于直线6x π=对称，将()g x 的图象向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后与()f x 的图象重合，则ϕ的最小值为__________.15. 给出下列5种说法： ①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小； ③回归分析研究的是两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数2R 是用来刻画回归效果的，2R 的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）. 16. 如图，在三棱锥A BCD -中，ACD ∆与BCD ∆都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的表面积为________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分） 如图，一山顶有一信号塔CD (CD 所在的直线与地平面垂直)，在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为,α沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β. (1) 求BC 的长； (2) 若24,45,75,30,l αβθ︒==︒==︒求信号塔CD 的高度. 18. （本小题满分12分）(1) 若将API 值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率； (2) API 值对部分生产企业有着重大的影响，，假设某企业的日利润()f x 与API 值x 的函数关系为：40150()15150x f x x ()⎧=⎨(>)⎩≤（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出5天，再从这5天中任取3天计算企业利润之和，求利润之和小于80万元的概率.A E DCBαβθ(2) 求点D 到平面1EBC 的距离.20. （本小题满分12分）已知点(1,0)F ，点P 为平面上的动点，过点P 作直线:1l x =-的垂线，垂足为H ，且HP HF FP FH ⋅=⋅.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 过点F 的直线与轨迹C 交于点,A B 两点，在,A B 处分别作轨迹C 的切线交于点N ，求证：NF AB k k ⋅为定值.21. （本小题满分12分） 已知函数1ln ()xf x x+=. (1) 若函数()f x 在区间1(,)2a a +上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2) 如果当1x ≥时，不等式()1kf x x +≥恒成立，求实数k 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图AB 是圆O 的一条弦，过点A 作圆的切线AD ，作BD AD ⊥，与该圆交于点E，若AD =2DE =.(1) 求圆O 的半径；(2) 若点H 为BC 中点，求证,,O H E 三点共线.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ()sin 2x y ααα⎧=⎨=⎩是参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1sin cos ρθθ=-.(1) 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2) 求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|2|f x x a a =-+.(1) 若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；(2) 在(1)条件下，若存在实数n ，使得()()f n m f n --≤恒成立，求实数m 的取值范围.长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C8. A9. A 10. B 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞ð．故选A. 2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -= B.3.【命题意图】本小题主要考查空间线和面的位置关系，对于特殊位置要提示考生多加论证，多举反例.【试题解析】A 易知③正确，故选A.4.【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.5.【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的性质和应用，对学生的数据处理能力提出一定要求.【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C .6.【命题意图】本小题主要借助条件逻辑的判定，考查函数的性质以及对复合函数奇偶性的判定等问题.【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A ，故选A.9. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A.10. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121a a <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B.11. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题.【试题解析】B 由题可求得，33,2M m ==，从而12ba +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e =，故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π 15. ②④⑤ 16. 203π简答与提示：13. 【命题意图】本小题是向量的简单应用，对向量计算的掌握是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+，故||a b +的最小值为3.14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. 【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF =O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE OE R CF OF =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-.(6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒.(12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4， 则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BDEF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面.(6分)(2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=.1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则1113C EBD EBD V S C D -∆=⋅=1EBC ∆中，EC，EB =1BC =1EBC S ∆=11132C EBD EBC V S h h -∆=⋅==，则4h =(12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =.(4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得，20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=-根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k-， 从而20111NF ABk k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x xf x x x --'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点，所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分)(2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x ++=，则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x+++-++-'==.再令()ln h x x x =-， 则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤. (12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴=== 在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB =. (5分) (2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形O AD B 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点， 所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+= 2C 的直角坐标方程为1y x =+. (5分)(2) 设(1cos 2,sin 2)P αα+，则P 到2C的距离2)|4d πα=+， 当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d1，此时P点坐标为(1.(10分) 24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a aa -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥，从而实数4m .。

2015年福建省宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（文科）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i(12i)+（为虚数单位）等于A．2i-+B．2i+C．2i--D．2i-2．已知集合{}21xM x=>，若a M∉，则实数a可以是A．B．2C．D．1-3．已知sinα=α为第二象限角，则tanα的值是A．B．C．12-D．4．如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出椭圆的面积约为A.4.7B.4.8C.1.2D.1.35．a b>>“”是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸可得该几何体的体积为 A ．36π B ．24π C ．15πD ．12π7．要得到函数3sin(2)4y x π=-的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象A ．向右平移4π个单位B ．向左平移4π个单位C ．向右平移8π个单位8. 运行如图所示的程序框图，则输出的所有 实数对(,)x y 所对应的点都在函数 A ．2()log (1)f x x =+的图像上 B ．2()22f x x x =-+的图像上 C ．4()3f x x =的图像上 D ．1()2x f x -=的图像上9. 定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=.当[0,1]x ∈时，2()2f x x =.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x ax a =--有个零点，则实数a 的取值范围是 A ．1(0,)2 B ．1(0,]2C ．1(,1)2D ．1(,1]210. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 A ． B ． C ．)+∞ D ．)+∞11.不等式组222,222x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩围成的区域为Ω，能够把区域Ω的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为A ．331y x x =-+B ．sin 2y x x =C ．2ln2x y x -=+ D ．1(e e )4x x y -=+ 12.一数字游戏规则如下：第1次生成一个数a ，以后每次生成的结果均是由上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是2x +．设前n 次生成的所有数．．．的和为n S ，若1a =，则6S = A ．63 B ．64 C ．127 D ．128第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．13．某校参加“数迷会”社团的学生中，高一年级有50名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个容量为18的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 . 14．若向量(1,2)=-a ，(3,)y =-b ，且a ∥b ，则a +b ＝ . 15．已知扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为 .16．已知函数10,0()e ,0xx x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对于任意[12,12]x a a ∈-+，不等式()(2)f x a f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n *∈N 在函数2()f x x =的图象上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）某市一水电站的年发电量y （单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x （单位：毫米）有如下统计数据：（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0(亿千瓦时)的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为ˆˆ0.004y x a =+．该水电站计划2015年的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2015年的降雨量约为1800毫米，请你预测2015年能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时?19．(本小题满分12分)如图三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为AB的中点． （Ⅰ）求证：BC 1∥平面A 1CM ；（Ⅱ）若CA=CB ，A 1在平面ABC 的射影为M ， 求证: 平面A 1CM ⊥平面ABB 1 A 1．20.（本小题满分12分）已知函数()cos cos(2)3f x x x x ωωωπ=⋅++(0)ω>的最小正周期为2π.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，当x A =时函数()f x 取到最值，且ABC ∆，5b c +=，求a 的值.21.（本小题满分12分）已知函数()e x f x x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）求函数21()e 12x g x x =--在[0,)+∞上的最小值； （Ⅲ）求证：3e ln 2x x >+.22.（本小题满分14分）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点F 与椭圆22143y x +=的一个焦点重合． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+交抛物线于A ,B 两点，过A ,B 分别作抛物线的切线交于点P ．B 1A 1ABC 1CM（ⅰ）探究PF AB ⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若直线PF 与抛物线交于C ,D2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

2015 年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项）1．（ 5 分）在复平面内，复数z=1﹣ 2i 对应的点的坐标为（）A．（1，2） B．（2，1） C．（1，﹣ 2） D．（2，﹣ 1）【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩大和复数．【剖析】：利用复数的运算法例、几何意义即可得出；【分析】：解：复数z=1﹣2i 对应的点的坐标为（1，﹣ 2），应选： C．【评论】：本题考察了复数的运算法例、几何意义，属于基础题．2．（ 5 分）双曲线的渐近线方程为（）A ．y= ±B．y= ±x C ．y= ±2x D ．y=±4x【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】：把双曲线，其渐近线方程是，整理后就获得双曲线的渐近线方程．【分析】：解：双曲线，其渐近线方程，整理得 y= ± ．应选： A．【评论】：本题考察双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．3．（ 5 分）记函数 f （x）的导函数为 f ′（ x），若 f（ x）对应的曲线在点（x0，f （ x0））处的切线方程为 y= ﹣ x+1，则（）A ． f′（x0） =2B ． f′（ x0） =1 C． f′（ x0） =0 D ． f′（ x0） =﹣1【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的观点及应用；直线与圆．【剖析】：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f （x）对应的曲线在点（ x0， f （x0））处的切线斜率为 f′（ x0），再由切线方程，即可求得切线的斜率．【分析】：解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得 f （ x）对应的曲线在点（ x0， f（ x0））处的切线斜率为 f′（ x0），曲线在点（ x0， f（ x0））处的切线方程为y=﹣ x+1，即有 f ′（ x0） =﹣1．应选 D．【评论】：本题考察导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考察直线的斜率的求法，属于基础题．4．（ 5 分）已知命题p：直线 a，b 不订交，命题 q：直线 a，b 为异面直线，则 p 是 q 的（）A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不用要条件【考点】：必需条件、充足条件与充要条件的判断．【专题】：简略逻辑．【剖析】：依据充足条件和必需条件的定义进行判断．【分析】：解：若直线a，b 不订交，则直线a， b 为异面直线或许为平行直线，故 p 是 q 的必需不充足条件，应选： B．【评论】：本题主要考察充足条件和必需条件的判断，依据空间直线的地点关系是解决本题的要点．5．（ 5 分）在区间 [0 ，2] 上随机取一个实数x，则事件“3x﹣ 1＜ 0”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【剖析】：利用几何概型求概率．先解不等式，再利用解得的区间长度与区间 [0，2] 的长度求比值即得．【分析】：解：由几何概型可知，事件“3x﹣1＜0”可得x，∴在区间 [0， 2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣ 1＜ 0”发生的概率为：P（ 3x﹣ 1＜ 0）=．应选： D．【评论】：本题主要考察了几何概型，简单地说，假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．6．（ 5 分）履行以下图的程序框图，若输出的 b 的值为 4，则图中判断框内① 处应填（）A ． 2 B． 3 C． 4 D．5【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【剖析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【分析】：解：当 a=1 时， b=1 不知足输出条件，故应履行循环体，履行完循环体后，a=2；当 a=2 时， b=2 不知足输出条件，故应履行循环体，履行完循环体后，b=4 ，a=3；当 a=3 时， b=4 知足输出条件，故应退出循环，故判断框内①处应填 a≤2，应选： A b 的值，b=2 ，【评论】：本题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（ 5 分）设会合，则以下命题中正确的选项是（）A ． ? （ x， y）∈D ， x﹣2y≤0 B． ? （ x，y）∈D， x+2y ≥﹣2 C． ? （ x， y）∈D， x≥2 D ． ? （x， y）∈D ， y≤﹣ 1【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【剖析】：作出不等式组对应的平面地区，利用二元一次不等式组表示平面地区的性质分别进行判断即可．【分析】：解：会合对应的平面地区如图：由图象知对应的地区在 x+2y= ﹣ 2 的上方， y=﹣ 1 的上方，x﹣ 2y=0 的上方和下方都有， x=2 的左右都有，故知足条件的是x+2y ≥﹣2，应选： B【评论】：本题主要考察线性规划的应用，利用数形联合是解决本题的要点．8．（ 5 分）某学校餐厅每日供给500 名学生用餐，每礼拜一有 A ， B 两种菜可供选择．检查资料表示，凡是在礼拜一选 A 种菜的学生，下礼拜一会有20%改选 B 种菜；而选 B 种菜的学生，下礼拜一会有30%改选 A 种菜．用 a n，b n分别表示在第n 个礼拜的礼拜一选 A 种菜和选 B 种菜的学生人数，若a1=300 ，则 a n+1与 a n的关系能够表示为（）A ． a n+1n+1+200=+150 B ． a=C． a n+1=n+1+180 +300 D ． a=【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【剖析】：由题意可得数列递推式，联合a n+b n=500，两式联立消去b n得数列 {a n} 的递推公式．【分析】：解：依题意得，消去 b n得： a n+1=a n+150 ．应选： A．【评论】：本题考察数列在实质问题中的应用，考察学生对数学知识的应用能力，要点是对题意的理解，是中档题二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（ 5 分）已知会合A={1} ， B={ ﹣ 1，2m﹣ 1} ，若 A ? B ，则实数m 的值为1．【考点】：子集与真子集．【专题】：会合．【剖析】：依据题意，若 A ? B，必有 1=2m ﹣ 1，注意最后进行会合元素互异性的考证．【分析】：解：若 A ? B ，必有 1=2m ﹣ 1，解可得 m=1 ，考证可得切合会合元素的互异性，故答案为： 1．【评论】：本题考察元素的互异性即会合间的关系，注意解题时要考证互异性．10．（ 5 分）把函数的图象向右平移个单位，所获得的图象的函数分析式为y=sin2x．【考点】：函数 y=Asin （ωx+ φ）的图象变换．【专题】：计算题．【剖析】：三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数分析式即可．【分析】：解：把函数的图象向右平移个单位，所获得的图象的函数解析式为：=sin2x故答案为： y=sin2x【评论】：本题是基础题，考察三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移 x 加与减，上下平移，y 的另一侧加与减．11．（ 5 分）在矩形 ABCD 中，=（ 1，﹣ 3），，则实数k= 4．【考点】：数目积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】：平面向量及应用．【剖析】：依据题意，画出图形，利用?=0，列出方程，求出k 的值．【分析】：解：以下图，在矩形 ABCD 中，=（ 1，﹣ 3），，∴=﹣=（ k﹣ 1，﹣ 2+3） =（k﹣ 1， 1），∴? =1 ×（ k﹣1） +（﹣ 3）×1=0 ，解得 k=4．故答案为： 4．【评论】：本题考察了利用平面向量的数目积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．12．（ 5 分）已知函数n1n+1n ），a41 ，f（ x）的关系如表所示，数列 {a} 足 a =3，a=f（ a=a2015= 3 ．【考点】：数列的函数特征．【】：等差数列与等比数列．【剖析】：数列 {a n} 足 a1=3 ， a n+1=f （ a n），由表格可得： a2=f （ a1） =f （ 3）=1 ， a3=f （ a2） =f （ 1） =3，⋯，可得 a n+2=a n，即可得出．【分析】：解：∵数列 {a n} 足 a1=3， a n+1=f （ a n），由表格可得：a2=f （ a1）=f （ 3） =1，a3=f （ a2） =f （ 1）=3， a4=f （ a3） =f （3） =1 ⋯，∴a n+2=a n，∴a2015=a1007×2+1=a1 =3．故答案分：1； 3．【点】：本考了函数的性、数列的周期性，考了算能力，属于基．13．（ 5 分）函数 f （x）是定在R 上的偶函数，且足 f （x+2） =f （ x）．当 x∈[0， 1] ， f（ x） =2x．若在区 [ 2，3] 上方程 ax+2a f（ x） =0 恰有四个不相等的数根，数 a 的取范是．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【】：函数的性及用．【剖析】：等价于在区 [ 2，3] 上函数 f（x）与 y=a（ x+2）的象有四个不一样的交点，由函数的性可作出它的象，由斜率公式可得界，而可得答案．【分析】：解：在区 [ 2， 3] 上方程 ax+2a f （x） =0 恰有四个不相等的数根，等价于在区 [ 2，3] 上函数 f（ x）与 y=a（ x+2）的象有四个不一样的交点，由 f （ x+2） =f （ x）可得函数的周期2，且偶函数，函数 y=a（ x+2 ）的象定点（ 2， 0）且斜率 a 的直，作出它的象可得：由可知，当直介于CB 和 CA 之切合意，而由斜率公式可得 k CB== ， k CA == ，故实数 a 的取值范围是：，故答案为：【评论】：本题考察方程根的存在性及个数的判断，数形联合是解决问题的要点，属中档题．14．（ 5 分） C 是曲线 y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A 的坐标是（﹣ 1，0）．设∠ CAO= θ（此中 O 表示原点），将 AC+CD 表示成对于θ的函数f（θ），则f（θ）= 2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，），f（θ）的最大值为．【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【剖析】：由题意作出图形，再连接 CO，从而可得点 C 的坐标为（﹣ cos（ 180°﹣2θ），sin（180°﹣ 2θ））；从而化简可得f（θ）=2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，）；再由二倍角公式化简为二次函数的形式，从而求最大值．【分析】：解：如右图，连接CO，由图可知，θ∈[，），∵∠ CAO= θ，∴∠ COA=180 °﹣ 2θ，∴点 C 的坐标为（﹣ cos（180°﹣ 2θ）， sin（ 180°﹣2θ））；即点 C 的坐标为（ cos2θ， sin2θ）；∴AC===2|cosθ|=2cosθ，CD=|cos2θ|=﹣ cos2θ，故 f （θ） =2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，）；f（θ）=2cosθ﹣ cos2θ2=﹣ 2cos θ+2cosθ+12=﹣ 2（ cosθ﹣）+，故当 cosθ=，即θ=时，f（θ）有最大值．故答案为： 2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，）；．【评论】：本题考察了三角函数的性质与应用及三角恒等变换的应用，同时考察了函数的最值的求法，属于中档题．三、解答题（共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（ 13 分）下边的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的均匀数是16.8．（Ⅰ）求x， y 的值；3 名，求恰有 2 名学生在乙组的（Ⅱ）从成绩不低于10 分且不超出20 分的学生中随意抽取概率．【考点】：列举法计算基本领件数及事件发生的概率；频次散布直方图．【专题】：概率与统计．【剖析】：（Ⅰ）依据中位数均匀数的定义求出即可；（Ⅱ）分别计算成绩不低于10 分且不超出20 分的学生中随意抽取 3 名的取法种数，和恰有 2名学生在乙组取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案【分析】：解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9， 12， 10+x ， 24，27．乙组五名学生的成绩为9，15， 10+y， 18， 24．因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的均匀数是16.8因此 10+x=13 ， 9+15+10+y+18+24=16.8 ×5因此 x=3， y=8 ；（Ⅱ）成绩不低于（10 分）且不超出（20 分）的学生中共有 5 名，此中甲组有 2 名，用 A ，B 表示，乙组有 3 名，用 a， b，c 表示，从中随意抽取 3 名共有10 种不一样的抽法，分别为（ A ，B ，a），（ A ，B， b），（ A ，B ，c），（ A ，a， b），（A ， a， c），（ A ， b， c），（ B ，a， b），（B， a， c），（ B， b， c），（a， b， c）恰有 2 名学生在乙组共有 6 种不一样抽法，分别为（ A ， a， b），（ A ， a， c），（A ， b，c），（ B，a， b），（B ， a，c），（ B， b， c）因此概率为 P== ．【评论】：本题考察了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求状况数与总状况数之比是解题的要点16．（ 13 分）在△ABC 中， a， b，c 分别为内角 A ，B ，C 所对的边，且知足 sinA+cosA=2 ．（ 1）求 A 的大小；（ 2）现给出三个条件：① a=2；② B=45 °；③ c=b．试从中选出两个能够确立△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依照求△ABC 的面积（只要写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．【考点】：正弦定理；余弦定理．【专题】：解三角形．【剖析】：（ 1）利用两角和公式对已知等式化简求得sin（A+）的值，从而求得 A ．（ 2）选择①②利用正弦定理先求得sinC 的值，从而利用三角形面积公式求得三角形的面积．【分析】：解：（1）依题意得 2sin（ A+）=2，即 sin（ A+） =1，∵ 0＜ A＜π，∴＜ A+＜，∴ A+=，∴ A=．（ 2）选择①②由正弦定理=，得 b=?sinB=2，∵ A+B+C= π，∴ sinC=sin （ A+B ） =sinAcosB+cosAsinB=+，∴ S=absinC=×2×2×=+1．【评论】：本题主要考察了正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中重要的两个定理，应娴熟掌握．17．（ 14 分）如图甲，⊙ O 的直径 AB=2 ，圆上两点C， D 在直径 AB 的双侧，且∠CBA= ∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面相互垂直（如图乙）， F 为BC的中点，E 为AO的中点．依据乙解答以下各：（Ⅰ）求：CB⊥DE ；（Ⅱ）求三棱 C BOD 的体；（Ⅲ）在劣弧上能否存在一点G，使得 FG∥平面 ACD ？若存在，确立点G 的地点；若不存在，明原因．【考点】：棱柱、棱、棱台的体；直与平面平行的性．【】：合；空地点关系与距离．【剖析】：（Ⅰ）利用等三角形的性可得DE⊥ AO ，再利用面面垂直的性定理即可得到 DE ⊥平面 ABC ，而得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ⊥平面 ABC ，利用底面的方法，即可求三棱的体；（Ⅲ）存在，G 劣弧的中点．接OG ， OF， FG，通明平面OFG∥平面ACD ，即可获得．【分析】：（Ⅰ）明：在△AOD中，∵， OA=OD ，∴△ AOD 正三角形，又∵ E OA 的中点，∴DE⊥ AO⋯（ 1 分）∵两个半所在平面ACB 与平面 ADB 相互垂直且其交AB ，∴ DE⊥平面 ABC ．⋯（3 分）又 CB ? 平面 ABC ，∴ CB⊥ DE．⋯5 分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面 ABC ，∴ DE 三棱 D BOC 的高．∵ D 周上一点，且 AB 直径，∴，在△ABD 中，由 AD ⊥BD ，， AB=2 ，得 AD=1 ，．⋯（6分）∵，∴== ．⋯（8 分）（Ⅲ）解：存在足意的点G，G 劣弧的中点．⋯（9分）明以下：接 OG， OF， FG，易知 OG⊥ BD ，又 AD ⊥BD ∴ OG∥ AD ，∵ OG? 平面 ACD ，∴ OG∥平面 ACD ．⋯（ 10 分）在△ABC 中， O，F 分 AB ， BC 的中点，∴OF∥ AC ，OF? 平面 ACD ，∴ OF∥平面 ACD ，⋯（ 11 分）∵OG ∩OF=O ，∴平面 OFG ∥平面 ACD ．又 FG? 平面 OFG，∴ FG∥平面 ACD ．⋯（ 12 分）【点】：本考、面、面面关系，考垂直的判断、面面垂直的性、面平行的判断及几何体高与体的算，考空想象能力、推理能力、运算求解能力及剖析研究和解决的能力．18．（ 14 分）已知x=1是的一个极点（Ⅰ）求 b 的；（Ⅱ）求函数f（ x）的减区；（Ⅲ）g（ x） =f （x），点（2，5）可作多少条直与曲y=g（ x）相切？明原因．【考点】：函数在某点获得极的条件；利用数研究函数的性；利用数研究曲上某点切方程．【】：合．【剖析】：（Ⅰ）先求出 f ′（ x），再由 x=1 是的一个极点，得 f ′（ 1）=0，由此能求出b．（II）由 f ′（x） =2+＜0，得，再合函数的定域能求出函数的减区．（ III ） g（ x） =f （ x）=2x+lnx，点（2，5）与曲g（ x）的切的切点坐（x0，y0），故2x0+lnx 05=（ 2+）（ x0 2），由此能推出点（2， 5）可作 2 条直与曲y=g （x）相切．【分析】：解：（Ⅰ）∵x=1是的一个极点，f′（ x）=2+，∴f′（1） =0 ，即 2 b+1=0，∴b=3 ，，合适意，∴b=3 ．（ II ）由 f ′（x） =2﹣+ ＜0，得，∴﹣，又∵ x＞0（定义域），∴函数的单一减区间为（0， 1]．（ III ） g（ x） =f （ x）﹣=2x+lnx ，设过点（ 2， 5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0， y0），∴，即 2x0+lnx 0﹣5=（2+）（ x0﹣2），∴ lnx0+﹣5=（2+）（ x0﹣ 2），∴lnx 0+ ﹣ 2=0 ，令 h（ x） =lnx+，，∴ x=2．∴ h（ x）在（ 0，2）上单一递减，在（2， +∞）上单一递加，2∵ h（）=2﹣ln2＞0，h（2）=ln2﹣1＜0，h（e）=＞0，∴ h（ x）与 x 轴有两个交点，∴过点（ 2， 5）可作 2 条直线与曲线y=g （ x）相切．【评论】：本题考察实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2， 5）可作多少条直线与曲线 y=g（ x）相切，考察运算求解能力，推理论证能力；考察化归与转变思想．综合性强，难度大，有必定的研究性，对数学思想能力要求较高，是高考的要点．解题时要认真审题，认真解答．19．（ 13 分）已知椭圆C：+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为，M 为椭圆上随意一点且△MF 1F2的周长等于 6．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 M 为圆心， MF 1为半径作圆 M ，当圆 M 与直线 l ：x=4 有公共点时，求△MF 1F2面积的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】： （ 1）依据 △MF 1F 2 的周长等于 6，再由离心率为 可求出 a 的值， 从而获得 b 的值，写出椭圆方程．（ 2）先设 M 的坐标为（ x 0， y 0）依据题意知足椭圆方程，利用圆M 与 l 有公共点可获得 M到 l 的距离 4﹣ x 0 小于或等于圆的半径 R ，整理可获得关系 2y 0 +10x 0﹣ 15≥0，再由即可消去 y 0，求出 x 0 的取值范围，再表示出 △MF 1F 2 面积即可求出最大值．【分析】： 解：（1）因为椭圆的离心率为 ， M 为椭圆上随意一点且△MF 1F 2 的周长等于 6．因此 c=1， a=2．因此 b 2=3．因此椭圆 C 的方程为．（ 2）设点 M 的坐标为（ x 0， y 0），则．因为直线 l 的方程为 x=4，圆 M 与 l 有公共点，因此 M 到 l 的距离 4﹣ x 0 小于或等于圆的半径R ．22 2 2因为 R=MF 1 =（ x 0+1） +y 0 ，因此（ 4﹣ x 0） 22 0 2，≤（x +1） +y即 y 02+10x 0﹣ 15≥0．又因为 ，因此 3﹣+10x 0﹣ 15≥0．解得 ．又﹣ 2＜x 0＜ 2，则，因此 0＜|y 0|≤因为 △MF 1F 2 面积为 |y 0||F 1F 2|=|y 0|，因此当 |y 0|= 时， △MF 1F 2 面积有最大值．【评论】： 本题主要考察椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的要点，每年必考，常常以压轴题的形式出现，要想答对本题一定娴熟掌握其基础知识，对各样题型多加练习．20．（ 13 分）已知等差数列 {a n } 中， a 1=5 ，7a 2=4a 4，数列 {b n } 前 n 项和为 S n ，且 S n =2（ b n ﹣ 1）（ n ∈N *）．（Ⅰ）求数列 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）设数列，求 {c n } 的前 n 项和 T n ；（Ⅲ）把数列 {a n } 和 {b n } 的公共 从小到大排成新数列 {d n } ， 写出 d 1， d 2，并 明 {d n } 等比数列．【考点】： 数列的乞降；等比关系确实定． 【 】： 等差数列与等比数列． 【剖析】： （ I ） 等差数列 {a n } 的公差 d ，由 a 1=5， 7a 2=4a 4，利用等差数列的通 公式解出 d ，即可得出 a n ．由数列 {b n } 前 n 和 S n ， S n =2（b n 1）（ n ∈N ）利用 推式与等比数列的通 公式即可得出 b n ．（ II ）由数列，利用等差数列与等比数列的前 n 和公式， 先求出当 n偶数 ， T n =（ a 1+a 3+⋯+a n ﹣ 1）+（ b 2+b 4+⋯+b n ）． 当 n （ n ≥3） 奇数 ，T n =T n ﹣ 1+a n ，即可得出．（ III ）由 a n =3n+2，b n =2n ．可得 d 1=8=a 2=b 3，d 2=d 2=a 10=b 5=32 ．假 d n =a m =b k =2 k （ k ∈N *）．可得 3m+2=2 k，分 研究 b k+1 ， b k+2 是不是数列 {a n } 中的 ，即可 明．【分析】： 解：（I ） 等差数列 {a n } 的公差 d ，∵ a 1=5， 7a 2=4a 4，∴ 7（ 5+d ） =4（5+3d ），解得 d=3．∴ a n =5+3（ n 1）=3n+2 ．∵数列 {b n } 前 n 和 S n ， S n =2（ b n 1）（ n ∈N *）． ∴当 n=1 ， b 1=2（ b 1 1），解得 b 1=2． b n =S n S n ﹣ 1=2b n 2b n ﹣1，化 b n =2b n ﹣1，∴数列 {b n } 是等比数列，首2，公比2，∴ b n =2n． （ II ）∵数列，∴当 n 偶数 ， T n =（ a 1+a 3+⋯+a n ﹣ 1） +（b 2+b 4+⋯+b n ）=+=．当 n （ n ≥3） 奇数 ，T n =T n ﹣ 1+a n =+3n+2=++，n=1 上式也建立．∴ T n =．（ III ）由 a n =3n+2， b n =2n．∴ d 1=8=a 2=b 3，d 2=d 2=a 10=b 5=32． k*假 d n =a m =b k =2 （ k ∈N ）．3m+2=2 k，k+1 k∴ bk+1 =2 =2 ×2 =2（ 3m+2） =3 （2m+1） +1 不是数列 {a n } 中的 ； b k+2=4×2k=4 （ 3m+2 ）=3（ 4m+2 ） +2，是数列 {a n } 中的 ．∴d n+1=a4m+2=b k+2 =2k+2，∴==4．∴数列 {d n} 为等比数列，首项为 8，公比为 4．【评论】：本题考察了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考察了分类议论思想方法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．。

长春市普通高中2015届高三质量监测（四）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C8. A9. A 10. B 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞ð．故选A. 2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -= B.3. 【命题意图】本小题主要考查空间线和面的位置关系，对于特殊位置要提示考生多加论证，多举反例.【试题解析】A 易知③正确，故选A.4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化. 【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.5. 【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的性质和应用，对学生的数据处理能力提出一定要求.【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C .6. 【命题意图】本小题主要借助条件逻辑的判定，考查函数的性质以及对复合函数奇偶性的判定等问题.【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A 由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A =，故选A. 9. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A. 10. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121a a <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B.11. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题.【试题解析】B 由题可求得，33,2M m ==，从而12ba +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e =，故选C. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π 15. ②④⑤ 16. 203π简答与提示：13. 【命题意图】本小题是向量的简单应用，对向量计算的掌握是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+=，故||a b +的最小值为3.14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF =易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE O E R CF O F =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-. (6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒.(12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4， 则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BDEF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面.(6分)(2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=.1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则1113C EBD EBD V S C D -∆=⋅=1EBC ∆中，EC =，EB =1BC =1EBC S ∆=1113C EBD EBC V S h h -∆=⋅==4h =.(12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =. (4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得，20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=-根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k-， 从而20111NF ABk k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x xf x x x --'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点，所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分)(2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x ++=，则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x +++-++-'==.再令()ln h x x x =-， 则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤. (12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴=== 在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ==. (5分) (2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形O AD B 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点， 所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+= 2C 的直角坐标方程为1y x =+. (5分)(2) 设(1cos 2,sin 2)P αα+，则P 到2C的距离2)|4d πα=+， 当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d1，此时P点坐标为(1.(10分) 24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a aa -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥， 从而实数4m ≥. (10分)。

山西省2014～2015学年度高三第四次诊断考试数 学 试 卷（文 科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}215x x A =-≥，集合x y ⎧⎫B ==⎨⎩，则A B 等于（ ）A ．()3,7B ．[]3,7C ．(]3,7D ．[)3,7 2、已知向量()2,1a m =，向量()1,8b =-，若a b ⊥，则实数m 的值是（ ）A ．4-B ．4C ．43D ．143、设sin 6a ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()(),0,0xa x f x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则21log 6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．14B ．4C ．16D ．64、若R m ∈，则“6l o g 1m =-”是“直线1:l 210x my +-=与2:l ()3110m x my ---=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）A ．1BCD 6、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220l n l n l n a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．50B ．25C ．75D ．1007、为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则m n -的最小值是（ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．53π8、已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数()()2y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是（ ） A ．14 B ．2 C ．23D ．1 9、在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若222b c a +-=，且b =，则下列关系一定不成立的是（ ）A ．a c =B ．b c =C ．2a c =D ．222a b c +=10、若实数x 、y 满足22030x y y ax y a +-≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩，且22x y +的最大值等于34，则正实数a 的值等于（ ）A ．12B ．34C ．43D ．311、已知O 为原点，双曲线2221x y a-=（0a >）上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A ，B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12、已知函数()221ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则（ ） A ．()212ln 24f x +<- B ．()212ln 24f x -< C ．()212ln 24f x +>D ．()212ln 24f x -> 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知α为锐角，且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α= ．14、若直线l 与幂函数n y x =的图象相切于点()2,8A ，则直线l 的方程为15、1by +=（其中a 、b 为非零实数）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∆AOB 为直角三角形，则2212a b +的最小值为 ．16、点A ，B ，C ，D 在同一球面上，C AB =B =C 2A =，若球的表面积为254π，则四面体CD AB 体积的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）在C ∆AB 中，已知()sin sin sin A +B =A +B ()1求角B ；()2若4tan 3A =，求sin C 的值．18、（本小题满分12分）已知命题:p 方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 双曲线2215y x m-=的离心率()1,2e ∈，若p 、q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．19、（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n -=---，2n ≥且n *∈N ．()1证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ()2设13n n b -={}n b 的前n 项和n S ．20、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 中，C//D B A ，C 1B =，D 3A =，C CD A ⊥，且平面CD P ⊥平面CD AB ． ()1求证：C D A ⊥P ；()2在线段PA 上，是否存在点E ，使//BE 平面CD P ？若存在，求PEPA 的值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）如图，分别过椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点1F 、2F 的动直线1l ，2l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、C O 、D O 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =，CD 3=． ()1求椭圆E 的方程；()2是否存在定点M 、N ，使得PM +PN 为定值？若存在，求出M 、N 点坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()()23x g x x ax e =-+-（a 为实数）．()1求()f x 在区间[],2t t +（0t >）上的最小值； ()2若存在两不等实根1x ，21,x e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使方程()()2x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围．。

广东省增城市2015届高中毕业班调研测试数学文试题试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II 卷（非选择题）答案写在答卷上。

参考公式：24R S π=球,3114,,(),333V Sh V Sh V S S h V R π'===+=柱锥台球 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P =⋅.第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算11ii+=- （A ） i （B ） i - （C ） 2i （D ） 2i -2.设集合{24},{3782},A x x B x x x =≤<=-≥-则A B ⋂= （A ） [3,4) (B) (3,4) (C) [2,3] (D) [2,4)3.下列等式中错误的是(A) sin()sin παα+=- (B) cos()cos παα-= （C ） cos(2)cos παα-= (D) sin(2)sin παα+=4.函数()f x =的定义域是（A ）2(,)3+∞ （B ） 2[,)3+∞ （C ）2(,)3-∞ （D ） 2(,]3-∞5.化简12111334424(3)(6)x x y xy ----÷-=(A) 132xy (B) -132xy (C) 2y (D) 12y -- 6. 如果函数2()21xf x a =++是奇函数，则a = （A ）1 （B ） 2 （C ） -1 （D ） -2 7.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（A ）平面α内的所有直线都与直线a 异面.（B ）平面α内存在与a 平行的直线.正视图侧视图俯视图图1（C）平面α内的直线都与直线a相交. （D）直线a与平面α有公共点.8.如图1是一个圆锥的三视图，则其侧面积是（A）π（B） 2π（C） 3π D） 4π9.已知1log1(0,1)3aa a<>≠，则实数a的取值范围是(A) (1,)+∞ (B)1(,1)3(C)1(0,3(D)1(0,(1,)3⋃+∞10.已知圆C：22(1)(2)25,x y-+-=直线l：(21)(1)740,m x m y m m R+++--=∈，当直线l被圆C截得的弦最短时的m的值是（A）34-（B）13-（C）43-（D）34第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（11～13题）11.已知(,1),(4,)a nb n==共线且方向相同，则n= .12. 如图2，是一个问题的程序框图，输出的结果是.13.已知实数,x y满足1311x yx y≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42x y+的取值范围是 .（二）选做题（14、15题）14（几何证明选讲选做题）已知圆o内的两条弦,AB CD相交于圆内一点P，且14,4PA PB PC PD===, 则CD= .15（坐标系与参数方程选做题）曲线图2ODCVAB 图32cos (02)ρθθθπ=-≤<与极轴交点的极坐标为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）将一枚质地均匀的硬币连续抛3次.（1）求三次都出现正面的概率； （2）三次中出现一次正面的概率.17（12分）已知函数()2sin (cos sin )1f x x x x =+-（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）若α为三角形的内角且(28f απ-=，求()f α的值18（14分）如图3，在三棱锥V ABC -，VO ⊥平面ABC,,3,5O CD VA VB AD BD BC ∈=====.（1)求证：VC AB ⊥;（2）当60VDC ∠=︒时，求三棱锥V ABC -的体积.19（14分）设3211()(1),32f x x b x bx x R =+--∈ （1）当1b =时,求()f x 的单调区间；（2）当()f x 在R 上有且仅有一个零点时,求b 的取值范围.20（14分）已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点坐标是1(0,1)F -,（1）求椭圆的标准方程；（2）过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆的另一个焦点,若2ABF S ∆=时,求直线AB 的方程.21（14分）在数列{}n a 中,已知12,a =对任意正整数n 都有12(1)n n na n a +=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S ;(3)如果对任意正整数n 都有(2)(n n na k S k ≥-为实数)恒成立,求k 的最大值.增城市2015届高中毕业班调研测试 文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：AABAA CDBDA二、填空题：11. 2 12. 1717 13. [2,10] 14. 10 15. （0,0），（2,0）三、解答题：16.解：（1）用i a 表示第i 次的正面,用i b 表示第i 次反面,则 1分 共有123123123123123123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a a a a b a a a b a b b b a a b b a123123(,,),(,,)b a b b b b 8种 5分三次正面的有1种123(,,)a a a 6分所以所求的概率是188分 （2）出现1次正面的有123123123(,,),(,,),(,,)a b b b a b b b a 10分 所以所求的概率是3812分 17.解：（1）2()2sin cos 2sin 1f x x x x =+- 1分sin 21cos 21x x =+-- 3分 sin 2cos 2x x =-)4x π=- 4分所以()f x 的最小正周期是π 6分（2）()sin[2()]28284f απαππ-=-- 7分)2πα=-α= 8分c o s α∴ 1c o s 3α∴=-且α为钝角 9分sin 3α∴==10分 所以()2sin (cos sin )1f αααα=+-121333=⨯-+- 11分79-=12分 18.（1）证明：,,VA VB AD BD VD AB ==∴⊥ 1分 VO ⊥平面ABC ,VO AB ∴⊥ 2分 VD 与VO 相交于V 3分 AB ∴⊥平面VCD 4分 VC AB ∴⊥ 6分 （2）解：在VAB ∆中，3VA VB AD BD ====3VD ∴= 8分 在VDO ∆中，60,90VDC DOC ∠=︒∠=︒sin 60VO VD ∴=︒=9分在VDC ∆中，4DC = 10分所以1(3V ABC ABC V S VO -∆=⋅或1)3VDC S AB ∆=⋅ 11分 1132DC VO AB =⋅⋅⋅ 12分16462=⨯⨯⨯13分= 14分 19.解(1)当1b =时,31()3f x x x =- 1分2()1(1)(1)0f x x x x '=-=+-= 2分121,1x x ∴=-= 3分因为5分 所以()f x 的单调区间是(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞ 6分 (2)21()[23(1)6]06f x x x b x b =+--= 7分 0x ∴=或223(1)60x b x b +--= 8分 当方程223(1)60x b x b +--=无解时 9分 29(1)48b b ∆=-+ 10分 3(31)(3)b b =++ 11分 <0 12分 133b ∴-<<- 13分 所以当133b -<<-时函数()f x 有且只有一个零点. 14分 或解:2()(1)(1)()0f x x b x b x x b '=+--=-+=121,x x b ∴==- 7分当1b =-时,2()(1)0f x x '=-≥,所以()f x 在(,)-∞+∞上单调增又221()(33)0,0,3303f x x x x x x x =-+=∴=-+=无解所以1b =-时函数()f x 有且只有一个零点. 8分 当1b >-时,1b -<,因为9分 及()0f x =有一解0x =()0(1)0f b f ->⎧∴⎨>⎩ 133b ∴-<<-， 113b ∴-<<- 10分 因为()f x 在(,)b -∞-上单调增，在[,)b -+∞上恒有()0f x >所以当113b -<<-时，()f x 在(,)-∞+∞上有且只有一个零点 11分当1b <-时，1b ->，因为12分 及()0f x =有一解0x = ()0(1)0f b f ->⎧∴⎨>⎩ 133b ∴-<<-， 31b ∴-<<- 因为()f x 在(,1)-∞上单调增，在[1,)+∞上恒有()0f x >所以当31b -<<-时，()f x 在(,)-∞+∞上有且只有一个零点 13分 所以()f x 在(,)-∞+∞上有且只有一个零点时,b 的取值范围是133b -<<-14分 20.解(1)由条件可设椭圆方程为22221(0)x y a b b a+=>>,则有 1分1,3c e ==33c a a =∴ 2分b ∴ 3分所以所求椭圆方程是22123x y += 4分 (2)由条件设直线AB 的方程为1y kx +=,将1y kx =-代入椭圆方程得: 5分 22(23)440k x kx +--= 6分 设1122(,),(,)A x y B x y2221616(23)48(1)0k k k ∆=++=+>7分 12122244,2123k x x x x k k ∴+==-++ 8分212121212ABF S F F x x x x ∆=-=- 9分 22121212()()4x x x x x x ∴-=+- 10分22221616(23)23k k k =+++ 22248(1)(23)k k +=+ 11分2ABF S ∆=22422248(1)(,1633450(23)9k k k k +∴=∴--=+ 12分 22(1615)(3)0k k ∴+-=23,k k ∴== 13分所以所求直线方程是1y += 即1y =- 14分 21.解(1)112(1),21n n n n a ana n a n n++=+∴=⋅+ 2分所以数列{}na n是以2为公比,首项为2的等比数列 3分 122n na n-∴=⋅ 4分 2n n a n ∴=⋅ 5分或解:12a =234234822,2432,6442a a a ∴==⋅==⋅==⋅2分 所以猜想得2n n a n =⋅ 3分 (2)23112122232(1)22n n n n n S a a a a n n --=++++=+⋅+⋅++-+⋅ 6分2341222232(1)22n n n S n n +∴=+⋅+⋅++-+⋅ 7分23122222n n n S n +∴-=++++-⋅ 8分112(21)2(1)221n n n n n ++-=-⋅=---- 1(1)22n n S n +∴=-+ 9分 (3)212(2),2(1)2,2(1)n n n n na k S n k n n k n +≥-∴⋅≥-∴≥- 10分当1n =时,k 为任意实数 11分当1n >时,222111(1)2(1)1212121n n n n k n n n -+-+≤⋅⋅=⋅--- 12分2111[(1)2]22212n n =-++=+≥-=,即2n =时等号成立 所以当1n >时,2k ≤,所以当n 为任意正整数时2k ≤, 13分 所以当n 为任意正整数时k 的最大值是2 14分 解(2)212(2),2(1)2,2(1)n n n n na k S n k n n k n +≥-∴⋅≥-∴≥- 10分当0k ≤时,上述不等式显然成立 11分 当0k >时,化为2221111111()2244n n k n n n --≥=--+≤110224k k ∴≥∴<≤,等号(2k =)成立时2n =,所以2k ≤ 13分 所以当n 为任意正整数时k 的最大值是2 14分解(3):21(2),2(1)2n n n n na k S n k n +≥-∴⋅≥-2(22)20nn k n k ∴-+≥ 2220n k n k ∴-+≥ 令2()22f n n kn k =-+ 10分222()22()2f n n k n k n k k k =-+=--+ 11分 当 220k k -+≥时,()0f n ≥02k ∴≤≤ 12分 当220k k -+<时, :(1)10,()0f f n =>=在[1,)+∞上无解的条件是1x k =≤ 13分所以2k ≤所以当n 为任意正整数时k 的最大值是2 14分 解(4):21(2),2(1)2n n n n na k S n k n +≥-∴⋅≥-2(22)20nn k n k ∴-+≥ 2220n kn k ∴-+≥ 10分令2()22f n n kn k =-+,2484(2)k k k k =-=-当0<时,02,()0,02k f n k <<>∴<< 11分当0=时,0k =或22,()0,k f n n ==>所以0k =或 2.k = 12分当0>时,0k <或2k > 此时:(1)10,()0f f n =>=在[1,)+∞上无解的条件是1x k =≤ 13分 所以2k ≤所以当n 为任意正整数时k 的最大值是2 14分。

2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i(12i)+（i 为虚数单位）等于A ．2i -+B ．2i +C ．2i --D ．2i - 2．已知集合{}21x M x =>，若a M ∉，则实数a 可以是A ．3B ．2C ．1D ．1- 3．已知3sin ,2α=α为第二象限角，则tan α的值是 A ．3- B ．33- C ．12- D ． 34．如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出 椭圆的面积约为A .4.7B .4.8C .1.2D .1.35．a b a b >>“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件锥体体积公式13V Sh = 柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积公式24S R =π 体积公式343V R =π，其中R 为球的半径C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸可得该几何体的体积为 A ．36πB ．24πC ．15πD ．12π7．要得到函数3sin(2)4y x π=-的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象A ．向右平移4π个单位B ．向左平移4π个单位C ．向右平移8π个单位 D ．向左平移8π个单位 8. 运行如图所示的程序框图，则输出的所有 实数对(,)x y 所对应的点都在函数 A ．2()log (1)f x x =+的图像上B ．2()22f x x x =-+的图像上C ．4()3f x x =的图像上D ．1()2x f x -=的图像上9. 定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=.当[0,1]x ∈时，2()2f x x =.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x ax a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是A ．1(0,)2B ．1(0,]2C ．1(,1)2D ．1(,1]210. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是A ．23(1,)3 B ．23(1,]3 C ．23(,)3+∞ D ．23[,)3+∞ 11.不等式组222,222x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩围成的区域为Ω，能够把区域Ω的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为A ．331y x x =-+B ．sin 2y x x =开始结束1,1x y ==4x <？输出),(y x1,2x x y y =+=否 是C ．2ln2x y x -=+ D ．1(e e )4x x y -=+ 12.一数字游戏规则如下：第1次生成一个数a ，以后每次生成的结果均是由上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是2x +．设前n 次生成的所有数．．．的和为n S ，若1a =，则6S =A ．63B ．64C ．127D ．128第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．某校参加“数迷会”社团的学生中，高一年级有50名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个容量为18的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .14．若向量(1,2)=-a ，(3,)y =-b ，且a ∥b ，则a +b ＝ . 15．已知扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为 .16．已知函数10,0()e ,0xx x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对于任意[12,12]x a a ∈-+，不等式()(2)f x a f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n *∈N 在函数2()f x x =的图象上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）某市一水电站的年发电量y （单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x （单位：毫米）有如下统计数据：2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 降雨量x (毫米) 1500 1400 1900 1600 2100 发电量y (亿千瓦时)7.47.09.27.910.0（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0(亿千瓦时)的概率； （Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为ˆˆ0.004yx a =+．该水电站计划2015年的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2015年的降雨量约为1800毫米，请你预测2015年能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时?19．(本小题满分12分)如图三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：BC 1∥平面A 1CM ；（Ⅱ）若CA=CB ，A 1在平面ABC 的射影为M ， 求证: 平面A 1CM ⊥平面ABB 1 A 1．20.（本小题满分12分）已知函数()23sin cos cos(2)3f x x x x ωωωπ=⋅++(0)ω>的最小正周期为2π.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，当x A =时函数()f x 取到最值， 且ABC ∆的面积为332，5b c +=，求a 的值.21.（本小题满分12分）已知函数()e x f x x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数21()e 12x g x x =--在[0,)+∞上的最小值；（Ⅲ）求证：3e ln 2x x >+.B 1A 1ABC 1CM22.（本小题满分14分）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点F 与椭圆22143y x +=的一个焦点重合．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+交抛物线于A ,B 两点，过A ,B 分别作抛物线的切线交于点P ．（ⅰ）探究PF AB ⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若直线PF 与抛物线交于C ,D ，求证：PC FD PD FC ⋅=⋅．2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。