毕节市2020届高三年级诊断性考试（二）文科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合3|07x M x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2|650N x x x =-+<，则M N ⋃=（ ） A. {}|17x x << B. {}|17x x <≤C. {}|35x x <<D. {}|35x x ≤<【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合M 和集合N ，再由并集的运算求出M N ⋃.【详解】对集合M ，307x x -≤-等价于()()37070x x x --≤⎧⎪⎨-≠⎪⎩， 解得，37x ≤<，故{}3|7x M x =≤<； 对集合N ，由2650x x -+<，解得15x <<， 故{}1|5x N x =<<； 所以M N ⋃={}|17x x <<. 故选：A【点睛】本题主要考查集合并集的运算、解分式不等式和一元二次不等式，考查学生计算能力，属于基础题.2.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()()12zi i i =-+，则z =（ ） A. 13i + B. 13i --C. 3i +D. 3i -+【答案】B 【解析】 【分析】将()()12zi i i =-+变形成()()12i i z i-+=，利用复数的乘除运算求解即可.【详解】由题意，()()12zi i i =-+， 所以()()()()()12313i i i i z ii i i -+--===---故选：B【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查学生计算能力，属于基础题.3.从某校高三年级学生中按分层抽样的方法从男、女同学中共抽取90人进行考前心理辅导，若在女同学层次中每个个体被抽到的概率为310，则高三年级总人数为( ) A. 560 B. 300C. 270D. 27【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得每个个体被抽到的概率为310，即可求解 【详解】女同学层次中每个个体被抽到的概率为310，共抽取90人，则高三年级总人数为90300310=.故选:B【点睛】本题考查分层抽样，分层抽样每个个体被抽取概率相等，抽取的样本数、个体总数、个体被抽取的概率，知二求一，属于基础题.4.函数()sin y A x b ωϕ=++在一个周期内的图象如图（其中0A >，0>ω，2πϕ<），则函数的解析式为（ ）A. 12sin 123y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的B. 2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C. 12sin 123y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭D. 2sin 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由函数的最大值和最小值求出A 和b ，由图像得函数的周期T ，进而求出ω，最后由函数图像经过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ，即可得函数解析式.【详解】由图像可知，函数的最大值为3，最小值为1-， 所以()3122A --==，()3112b +-==， 22362T πππ=-=，即T π=，所以222T ππωπ===， 函数()2sin 21y x ϕ=++，函数经过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭，代入函数方程，得12sin 216πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即0sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 即23k πϕπ+=，k Z ∈，又2πϕ<，所以3πϕ=-，所以函数的解析式为2sin 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查学生数形结合的能力，属于中档题.5.如图，在ABC ∆中，2AN NC =u u u r u u u r，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数t 的值为（ ）A.16B.23C. 12D.34【答案】C 【解析】 【分析】由题意设BP BN λ=u u u r u u u r，由向量的线性运算可得()213AB A A C P λλ-+=u u u r u u u r u u u r ，再根据13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，列等式计算即可求出t .【详解】由题意，P 是BN 上一点，设BP BN λ=u u u r u u u r， 则()()1BN AB AP AB BP AB AN AB AB AN λλλλ=+-+=+-==+u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，又2AN NC =u u u r u u u r，所以23AN AC =u u u r u u u r ，所以()21313AB AC AP t AB AC λλ-+==+u u u r u u u u u r u u u r r u u u u r ，所以12133tλλ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12t =. 故选：C【点睛】本题主要考查平面向量线性运算和平面向量基本定理及其意义，考查数形结合的思想，属于中档题.6.若sin cos 3sin cos θθθθ-=+，则sin cos cos2θθθ+的值是（ ）A. 1B. -1C. 15-D.15【答案】B 【解析】 【分析】由sin cos 3sin cos θθθθ-=+得tan 13tan 1θθ-=+，解出tan 2θ=-，再利用二倍角公式和平方关系化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1θθθθθθ+-+=+，将tan 2θ=-代入求解即可. 【详解】由题意，sin cos tan 13sin cos tan 1θθθθθθ--==++，解得tan 2θ=-，222222sin cos cos sin tan 1tan 214sin cos cos 21sin cos tan 141θθθθθθθθθθθθ+-+--+-+====-+++故选：B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式和平方关系的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题.7.函数()f x 满足()()()()()3,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，且()113f =，则()2020f =（ ） A.23B. 23-C. 13-D.13【答案】C 【解析】 【分析】 由题意()113f =，所以令1y =，化简()()()()3f x f y f x y f x y =++-，得到()()()11f x f x f x =++-，从而()()()11f x f x f x =++-，联立两式求解出()f x 的周期为6，从而()2020(4)f f =，即可求出()2020f .【详解】由题意，取1y =，则()()()()3111f x f f x f x =++-， 即()()()11f x f x f x =++-①， 所以()()()12f x f x f x +=++②， 联立①②得，()()21f x f x +=--， 所以()()3(6)f x f x f x =-+=+， 所以函数()f x 的周期为6，()2020(63364)(4)f f f =⨯+=由()()3f x f x =-+，所以1(4)(1)3f f =-=-. 故选：C【点睛】本题主要考查函数值的求法，如何利用题目中的条件求解出函数的周期是关键，属于中档题. 8.过抛物线C ：()220y px p =>的焦点，且倾斜角为6π的直线与物线交于A ，B 两点，若16AB =，则抛物线的方程为（ ） A. 22y x = B. 23y x =C. 24y x =D. 28y x =【答案】C 【解析】 【分析】由题意，设直线方程2p y x ⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线方程并整理得22704p x px -+=，利用韦达定理分别表示出12x x +和12x x ，再由弦长公式表示出AB ，求解出p ，即可得到抛物线方程.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线的斜率为tan 6π=设过抛物线焦点，倾斜角为6π的直线方程：2p y x ⎫=-⎪⎝⎭， 代入抛物线方程并整理得，22704p x px -+=，设点()11,A x y ，点()22,B x y ，则127x x p +=，2124p x x =，由弦长公式，61AB ==，解得，2p =，所以抛物线方程为：24y x = 故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的应用和弦长公式，注意韦达定理的应用，考查学生计算能力，属于中档题. 9.在三棱锥P ABC -中，AP ⊥平面PBC ，222PA PB PC ===，BC =P ABC -的外接球体积为（ ）A. B. 13C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由AP ⊥平面PBC ，得AP PB ⊥，AP PC ⊥，再由勾股定理求出PB PC ⊥，所以可得三棱锥外接球半径2R =，由球的体积公式求解即可.【详解】由题意，AP ⊥平面PBC ，所以AP PB ⊥，AP PC ⊥，又222PA PB PC ===，BC =所以222PC PB BC +=，即PB PC ⊥， 所以PA 、PB 、PC 两两垂直，三棱锥P ABC -的外接球即以PA 、PB 、PC 为长宽高的长方体的外接球，故三棱锥P ABC -外接球半径222R ===，外接球体积3344332V R ππ⎛==⨯= ⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查外接球体积的求法，考查学生转化和空间想象能力，属于基础题.10.设α，β为两个平面，命题p ：//αβ的充要条件是α内有无数条直线与β平行；命题q ：//αβ的充要条件是α内任意一条直线与β平行，则下列说法正确的是( )A. “p q ⌝∧⌝”为真命题B. “p q ∧”为真命题C. “p q ⌝∧”为真命题D. “p q ∨⌝”为真命题【答案】C 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的定义和判定定理可得命题p 为假，命题q 为真，根据复合命题间的真假关系，逐项判断，即可求出结论.【详解】若l αβ=I ，则在α中存在无数条直线与l 平行， 也平行平面β，所以命题p 为假；若//αβ，由面面平行的性质定理可知α内任意一条直线与β平行， 若α内任意一条直线与β平行，则在α内必存在两条相交的直线平行β， 根据平面与平面平行的判定定理可得，//αβ，所以命题q 为真， “p q ⌝∧⌝”为假命题，选项A 错误； “p q ∧”为假命题，选项B 错误； “p q ⌝∧”为真命题，选项C 正确； “p q ∨⌝”为假命题，选项D 错误. 故选:C.【点睛】本题考查复合命题真假的判定，涉及到平面与平面平行的判定和性质，属于基础题. 11.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos sin b a C C =+，若1a =，c =，则角C 的大小为（ ）A3π B.3π或23π C.6πD.6π或56π 【答案】B 【解析】 【分析】由边化角得到()sin sin cos sin B A C C =+，再由()sin sin B A C =+，化简得到sin cos A A =，求出4A π=，再由正弦定理求出sin C ，根据C 的范围即可求出角C 的大小.【详解】由()cos sin b a C C =+，得()sin sin cos sin B A C C =+，.在ABC ∆中，A B C π++=，所以()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦， 所以()()sin sin cos sin cos sin cos sin A C A C C A A C C +=+=+， 解得sin cos A A =，即4A π=，由正弦定理，sin 22sin 12c A C a ===， 因为4A π=，所以304C π<<， 所以角C 的大小为3π或23π. 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、诱导公式和两角和差的正弦公式，考查学生的分析转化能力，属于中档题.12.已知函数()()211x xf x e e k =---+恰有1个零点，则k 的取值集合是( )A. {}|0k k <B. 1|04k k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. {}0【答案】A 【解析】 【分析】令21,1,||x e t t y t t k -=>-=-+在(1,)-+∞只有一个零点，而函数2||y t t k =-+是偶函数，根据对称性2||y t t k =-+在[1,1]-不能有零点，所以2||y t t k =-+在(1,)+∞存在一个零点，即可求解.【详解】21,1,||xe t t y t t k -=>-=-+， 函数()()211xx f x e e k =---+恰有1个零点，2||y t t k ∴=-+在(1,)-+∞， 2||y t t k =-+是偶函数，2||y t t k ∴=-+在(1,)+∞存在一个零点，只需1,0,0t y k =<∴<.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点，换元转化是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2019年7月1，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有对垃圾分类或未投放到指定垃圾桶内都会被处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、“湿垃圾”，“干垃圾”四个垃圾桶内，则该居民会被处罚的概率为______. 【答案】34【解析】 【分析】由已知随意投放有4中，错误投放有3种，即可求解.【详解】“湿垃圾”随意地投放到楼下的“可回收物”、“有害垃圾、 “湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶内，有4种投放方法， 被处罚的投放有“可回收物”、“有害垃圾、“干垃圾”3种投法， 该居民会被处罚的概率为34. 故答案为:34. 【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.14.计算：3log 251log 0.253⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______.【答案】32【解析】 【分析】利用换底公式5log 100=，再由对数的运算性质求得5log 0.25+，最后求解出3log 213⎛⎫ ⎪⎝⎭即可.【详解】由题意，122555log 10log 10log 100===，所以()5555log 0.25log 100log 0.25log 1000.252+=+=⨯=，333log 21log log 22133132-⎛⎫ ⎪⎝⎭===， 所以原式13222=-=. 故答案为：32【点睛】本题主要考查对数的运算性质和换底公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 15.已知函数()()()()21ln 10xf x x f x f e '=-+-，则()f x 的单调递减区间为______.【答案】(]1,0- 【解析】 【分析】根据()f x 的解析式，求出(0)f ，再根据导函数()f x ¢求出()1f '，再利用导数来判断()f x 的减区间即可.【详解】由题意，1x >-，()()()()()00021ln 0100f f f e f '=-+-=-，所以(0)0f =，故()()()21ln 1f x x f x '=-+，()()2111f f x x ''=-+， 所以()()211111f f ''=-+，解得()112f '=，故()1111xf x x x '=-=++， ()0f x ¢<，即01xx +≤，解得，10x -<≤， 故()f x 的单调递减区间为(]1,0-. 故答案为：(]1,0-【点睛】本题主要考查函数值的求法、利用导数研究函数的单调性，属于基础题.16.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，l 与y 轴交于点P ，若FM MP λ=u u u u r u u u rλ的值为______.【答案】2 【解析】 【分析】，求出渐近线方程，由右焦点F 和直线l 和渐近线垂直，设直线方程，求出FM 和FP ，再由FM MP λ=u u u u r u u u r ，得到1FM FP λλ=+，从而求解出λ.，即c a a ===b a =设双曲线的一条渐近线方程为：y =，双曲线右焦点(),0F c ，又直线l 与渐近线垂直， 所以设直线l：)y x c =-， 当0x =时，2y =，即0,2P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以FP ==，3FM ==， 由FM MP λ=u u u u r u u u r，得213FM FP λλ===+， 解得2λ= 故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、直线方程的应用和点到直线距离公式，考查学生的转化能力，属于中档题.三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，4631S S +=且1a ，3a ，9a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}3n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）n a n =，*n N ∈.（Ⅱ）233312n n n n T ++-=【解析】 【分析】（Ⅰ）由1a 和d 表示出46S S +，再由等比中项的性质表示出1a ，3a ，9a 成等比数列，可以求出1a 和d ，再表示出n a 即可；（Ⅱ）由{}3n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，得到3n n b a -的通项公式，再表示出n b 的通项公式，由分组求和的方法求出n T 即可. 【详解】（Ⅰ）根据题意得：4611146615102131S S a d a d a d +=+++=+=，由1a ，3a ，9a 成等比数列可得2193a a a ⋅=， ∴()()211182a a d a d +=+，即2144a d d =，∵0d ≠，∴11a d ==， ∴()11n a n n =+-=，*n N ∈.（Ⅱ）133n n n b a --=， ∴133n n b n -=+，∴12n n T b b b =+++L()()110333312n n -=++⋅⋅⋅++++L()2311333311322n n n n n n +-++-=+=-. 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列通项公式、分组求和求数列前n 项和，考查学生的计算能力，属于基础题.18.某手机生产企业为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到单价x （单位：千元）与销量y （单位：百件）的关系如下表所示：已知51175i i y y ===∑.（Ⅰ）若变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y （百件）关于试销单价x （千元）的线性回归方程y bx a =+$$$；（Ⅱ）用（Ⅰ）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的产品销量的估计值$i y ，当销售数据(),i i x y 对应的残差满足$0.3i i y y -<时，则称(),i i x y 为一个“好数据”，现从5个销售数据中任取3个，求其中“好数据”的个数X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()1221121niii nnin i i ii i i x y nx y bn x x x x y x xy ====-=---=-∑∑∑∑$，a y bx =-$$.【答案】（Ⅰ）$ 2.812.6y x =-+（Ⅱ）见解析，95【解析】 【分析】（Ⅰ）由7y =可求出4t =，求出2x =，再分别计算出1n i ii x y =∑和21nii x=∑，代入公式可求出b $，由$ay bx =-$求出$a，从而得到线性回归方程； （Ⅱ）利用$i i y y -的值判断共有三个好数据，再计算对应的概率值，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（Ⅰ）由51175i i y y ===∑，可得4t =，()11 1.52 2.5325x =++++=， 1110 1.5827 2.563463ni ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，211 2.254 6.25922.5nii x==++++=∑，代入得1221635272.822.554ni ii ni i x y nx ybx nx==-⨯⨯=--⨯-==-∑∑$，$7 5.612.6ay bx =-=+=$， ∴回归直线方程为$ 2.812.6y x =-+.（Ⅱ）$11 2.8112.6109.8100.20.3y y -=-⨯+-=-=<， $22 2.8 1.512.688.480.40.3y y -=-⨯+-=-=>， $33 2.8212.677700.3y y -=-⨯+-=-=<， $44 2.8 2.512.66 5.660.40.3y y -=-⨯+-=-=>， $55 2.8312.64 4.240.20.3y y -=-⨯+-=-=<，共有3个“好数据”. ∴1,2,3X =，()33235k kC C P X k C -==，1,2,3k =， ∴X 的分布列为：X 的期望值为()3319123105105E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查线性回归方程、分布列和数学期望的计算，考查学生的计算能力，属于中档题. 19.如图1，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，24AD BC ==，120ABC ∠=︒，E 为AD 的中点.现分别沿BE ，EC 将ABE ∆和ECD ∆折起，点A 折至点1A ，点D 折至点1D ，使得平面1A BE ⊥平面BCE ，平面1ECD ⊥平面BCE ，连接11A D ，如图2.（Ⅰ）若M 、N 分别为EC 、BC 的中点，求证：平面1//D MN 平面1A BE ； （Ⅱ）求多面体11A BCD E 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（1）取AE 中点H ，连1,A H CH ，由已知可得1A BE ∆，BCE ∆，1ECD ∆为正三角形，11,,MD CE A H BE CH BE ⊥⊥⊥，可得1MD ⊥平面BCE ，1A H ⊥平面BCE ，CH ⊥平面1A CE ，从而有11//,//MD A H MN BE ，即可证明结论.（2）11111A BCD E D A BE D BCE V V V --=+，只需求出1D 到平面1A BE 的距离，由（1）得点1D 到平面1BEA 的距离等于点M 到平面1BEA 的距离为12CH ，即可求出结论. 【详解】（1）取BE 中点H ，连1,A H CH ， ∵N 、M 是BC 和CE 的中点，∴//MN BE ， 又∵MN ⊄平面1BEA ，BE ⊂平面1BEA ， ∴//MN 平面1BEA ，在图1等腰梯形ABCD 中，120ABC ∠=︒，//AD BC ，60CDE ∴∠=︒，24AD BC ==Q ，22cos 60AD BCCD -∴==︒，1DE CD CE BC ∴====，同理1BE =∴1A BE ∆，BCE ∆，1ECD ∆为正三角形，∴1MD CE ⊥.又∵平面1ECD ⊥平面BCE ，平面1ECD I 平面BCE CE =，1MD ⊂平面1ECD ，∴1MD ⊥平面BCE ，同理可证1A H ⊥平面BCE ，11//MD A H ∴ 又∵1A H ⊂平面1BEA ，1MD ⊄平面1BEA ， ∴1//MD 平面1BEA ，∵1MD NM M =I ，NM ⊂平面1MND ，1MD ⊂平面1MND ， ∴平面1//MND 平面1BEA ； （Ⅱ）连接1BD ，作CH BE ⊥于H ， 由（Ⅰ）得，1//MD 平面1BEA ，∴点1D 到平面1BEA 的距离d 等于点M 到平面1BEA 的距离， 等于点C 到平面1BEA 的距离的12，∴12d CH ==，则111111343422A BCD E D A BE D BCE V V V --⎛=+=⨯⨯= ⎝. 【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，证明平面与平面平行以及组合体的体积，注意空间中垂直相互转化，属于中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，过其右焦点F 与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点M ，且32MF =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ，B 不重合，直线PA ，PB 与直线4x =-分别交于点S ，T ，求证：以线段ST 为直径的圆过定点()1,0Q -，()7,0G -.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将x c =代入椭圆方程求出M 点纵坐标，得到||MF ，且等于32，再由离心率和,,a b c 关系，即可求解；（Ⅱ）设点()P m n ,，求出线PA ，PB斜率1k ，2k ，由点P 的椭圆上，得到12k k 为定值，分别求出,S T坐标，证明0,0SQ TQ SG TG ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r即可.【详解】（Ⅰ）x c =代入椭圆方程得2by a=±，由32MF =，得232b a =，又因为12c a =且222a b c =+， 得2a =，1c =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=.的（Ⅱ）设点()P m n ,，则22143m n +=得()22344m n -=， 又设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ， 则12n k m =+，22nk m =-， 所以21222133444n k k k m k ⋅==-⇒=--，∴直线PA ：()12y k x =+，直线PB ：()1324y x k =--， 所以点()14,2S k --，194,2T k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由()1193,23,9902SQ TQ k k ⎛⎫⋅=⋅-=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，所以以线段ST 为直径的圆过定点Q ， 同理，以线段ST 为直径的圆过定点G .【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线关系，考查计算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()22xf x e ax a =--，a R ∈.（Ⅰ）若函数()f x 在0x =处的切线垂直于y 轴，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：()()12111x x ++<. 【答案】（Ⅰ）()f x 的极小值为0；（Ⅱ）12a >，证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出(),(0)0f x f ''=求出a ，进而求出()0,()0f x f x ''><的解，得出单调区间，即可求出结论；（Ⅱ）12,x x 代入解析式得函数值为0，整理得()()12122114x x e x x a+=++，转化为证明122ln 2x a x <-，不妨设12ln 2x a x <<，只需证122ln 2ln 2x a x a <-<，根据函数单调性只需证212()((ln 2))2f x f x f a x =->，构造函数()()(2ln 2)g x f x f a x =--，(ln 2,)x a ∈+∞，利用单调性证明()0,(ln 2,)g x x a >∈+∞恒成立，即可证明结论. 【详解】（Ⅰ）()'2xf x e a =-，()'0120f a =-=，∴12a =，∴()'1xf x e =-， 令()'00f x x =⇒=，()'00f x x >⇒>，()'00f x x <⇒<，∴()f x 的极小值为()00f =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 有两个零点1x ，2x ， 必须有0a >且最小值()ln2ln 22ln 222ln 20a f a e a a a a a =--=-<，∴ln 20a >，∴21a >，∴12a >， 又∵当x →+∞时，()f x →+∞； 当x →-∞时，()f x →+∞，∴12a >， 此时()111220xf x e ax a =--=，()222220xf x e ax a =--=， ∴()1121xa x e =+，()2221x a x e=+，∴()()12122114x x e x x a +=++，要证：()()12111x x ++<，即证：12214x x e a+<， 即证：1224x x e a +<，即证：122ln 2x x a +<， 即证：122ln 2x a x <-，不妨设12x x <，∴12ln 2x a x <<，∴122ln 2ln 2x a x a <-<， 即证：()()122ln 2f x f a x >-， 即证：()()222ln 2f x f a x >-， 令()()()2ln 22222ln 22xa xe ax a eg a a x a x -⎡⎤=------⎣⎦()2ln244ln 2ln 2x a x e e ax a a x a -=--->，()22ln 2'444x a x xx a e e a e a e g x -=+-=+-40a ≥=， 当且仅当ln2x a =时取“=”，∴()g x 在()ln 2,a +∞上为增函数，∴()()ln 20g x g a >=，∴()()222ln 2f x f a x >-成立，∴()()12111x x ++<成立.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、函数单调性、极值、零点、不等式的证明，分析法构造函数是解题的关键，属于较难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数，0ϕπ≤≤），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是4ρ=，等边ABC ∆的顶点都在2C 上，且点A ，B ，C 按照逆时针方向排列，点A 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求点A ，B ，C 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线BC 的距离的取值范围.【答案】（Ⅰ）A 点的直角坐标为(2,，B 点的直角坐标为()4,0-，C 点的直角坐标为(2,-.（Ⅱ）2,222d ⎡∈-+⎢⎣⎦【解析】【分析】（Ⅰ）由点A 的极坐标和A ，B ，C 的排列顺序，得到点B 和点C 的极坐标，再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求出A ，B ，C 的直角坐标即可；（Ⅱ）由点B 和点C 的坐标可得直线BC 的方程40x ++=，设点)(),sin 0P ϕϕϕπ≤≤，由点到直线距离公式表示出点P 到直线BC 的距离d ，再由辅助角公式和三角函数的性质得到d 的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）由题意，等边ABC ∆的顶点都在2C 上，且点A ，B ，C 按照逆时针方向排列，点A 极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以点B 的极坐标()4,π，点C 的极坐标54,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 可得A点的直角坐标为(2,， B 点的直角坐标为()4,-0，C点的直角坐标为(2,-. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()4,0B -，(2,C -，所以得BC的直线方程为：40x ++=，设点)(),sin 0P ϕϕϕπ≤≤， 则点P 到直线BC 的距离d 为d == 因为0ϕπ≤≤，所以5444πππϕ≤+≤，所以4444πϕ⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭2222d ⎡∈-+⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查直角坐标和极坐标的相互转化、点到直线距离的应用、三角恒等变换和三角函数的性质，考查学生对极坐标的理解和计算能力，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()2311f x x x x =-+-+--. 的（Ⅰ）求不等式()0f x ≥的解集M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若,m n M ∈，求证：1m n mn +≤+.【答案】（Ⅰ）{}|11M x x =-≤≤（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）对()f x 去绝对值，分别求解1x <-、11x -≤≤、1x >时的不等式即可； （Ⅱ）将不等式两边平方并化简为()()22110m n --≥，由m 和n 的范围即可证明.【详解】（Ⅰ）①当1x <-时，不等式()0f x ≥可化为2230x x -++≥， 解得：13x -≤≤，故此时x 无解；②当11x -≤≤时，不等式()0f x ≥可化为210x -+≥，解得：11x -≤≤，故有11x -≤≤； ③当1x >时，不等式()0f x ≥可化为2230x x -+-≥，解得：31x -≤≤，故此时x 无解；综上，不等式()0f x ≥的解集{}|11M x x =-≤≤. （Ⅱ）要证1m n mn +≤+， 即证221m n mn +≤+，即证2222221m mn n m n mn ++≤++，即证22221m n m n +≤+，即证222210m n m n --+≥，即证()()22110m n --≥，∵,m n M ∈，∴210m -≤，210n -≤，∴()()22110m n --≥成立. ∴1m n mn +≤+成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，属于基础题.。
