新课预习讲义选修2-1第二章求曲线的方程(学生版)

案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一曲线方程概念的理解1.在建立了平面直角坐标系之后,平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应关系,现在要求我们进一步研究平面内的曲线与含有两个变量的方程之间的关系.平面内的曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹)也就是说:(1)曲线上的每一个点都要符合某种条件;(2)每个符合条件的点都要在曲线上既然平面内的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了对应关系,那么对应于符合某种条件的一切点,它的坐标是应该有制约的,也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些点的横坐标与纵坐标应满足怎样的约束条件的问题,含两个变量x、y的方程F(x,y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束.2.在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系(1)可知A⊆B,由关系(2)可知BCA;同时具有这两个关系,就有A=B.3.从充要条件的角度理解,即“某点在曲线上”与“点的坐标满足曲线的方程”之间是互为充要条件的.知识点二圆系方程1.曲线系:同时具有某一特征的一组曲线叫做一个曲线系;它们的共同方程叫做这个曲线系的曲线系方程2.圆系方程:(1)过两已知圆交点的圆系方程:两相交圆C:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.则过其交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).(2)过直线与圆交点的圆系方程:直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则过其交点的圆系方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. 典型例题分析题型1曲线的方程与方程的曲线 【例1】判断下列命题是否正确:①设点A(2,0)、B(0,2),则线段AB 的方程是x+y-2=0; ②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y=x -25; ③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x 2-y 2=0. 解析 根据曲线与方程的定义,逐条检验“两性”答案 命题①中方程x+y-2=0表示一条直线,坐标满足该方程的点如(-1,3)等不在线段AB 上,故命题①错误;命题②中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x 2+y 2=52,方程y=x -25表示的曲线是圆x 2+y 2=25除去x 轴下半部分的曲线,故命题②错误命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,满足x 2-y 2=0,反过来坐标满足方程x 2-y=0的点到两坐标轴的距离相等,故命题③正确规律总结 判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上【变式训练1】下列命题是否正确?若不正确,说明原因 (1)过点A(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x|=2; (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x答案(1)错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l 上,直线l 只是方程|x|=2所表示的图形的一部分(2) 错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x 和y=-x,故y=x 不是所求的轨迹方程题型2曲线的交点【例2】求通过直线2x+y+4=0及圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,并且面积最小的圆的方程 解析 利用圆系公式可求出变圆的半径,参变量取适当值时可使变圆半径最小答案 设圆的方程是(x 2+y 2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即[x+(1+λ)2+(y+24-λ)=4161652+-λλ.设该圆半径为R,由圆面积公式S=πR 2,得R 2=4161652+-λλ取最小值的面积为最小.而R 2=45（λ-58）2+54,所以当λ=58时,圆面积最小.此时圆的方程是5x 2+5y 2+26x-12y+37=0.规律总结 最值问题要先列出目标函数,再利用合适的方法求最值【变式训练2】已知直线x+y+b=0与曲线x 2-1+y=0有公共点,则b 的取值范围是 .答案 联立两曲线方程,消去y 得x 2-x-(1+b)=0.由题意得△≥0,即1+4(1+b)≥0,解得b ≥-45规律 方法 总结1.判断方程是否是曲线方程,要从两方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上2.判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价 性,否则变形的方程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分 解法等3.在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题, 而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法),而此法的关键是如何来表示出相关的点定时 巩固 检测基础训练1.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上”是不正确的,那么下列命题中正确的是 ( ) A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C 上 B.曲线C 上的点的坐标不都满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C 上,有些不在曲线C 上D.至少有一个不在曲线C 上的点,其坐标满足f(x,y)=0 【答案】D(点拨:由简易逻辑推理可得)2.已知圆C 的方程f(x,y)=0,点A(x 0,y 0)在圆外,点B(x ´,y ´)在圆上,则f(x,y)-f(x 0,y 0)+f(x ´,y ´)=0表示的曲线是 ( ) A.就是圆C B.过A 点且与圆C 相交的圆 C.可能不是圆 D.过A 点与圆C 同心的圆 【答案】D(点拨:由点B(x ´,y ´)在圆上, ∴f(x ´,y ´)=0,即方程为f(x,y)-f(x 0,y 0)=0, ∴方程过点A(x 0,y 0) 又f(x 0,y 0)为常数,∴f(x,y)-f(x 0,y 0)=0仍为圆的方程.)3.已知A(1,0),B(-1,0),动点M 满足|MA|-|MB|=2,则点M 的轨迹方程是 ( ) A.y=0(-1≤y ≤1) B.y=0(x ≥1) C.y=0(x ≤-1) D.y=0(|x|≥1) 【答案】C(点拨:由|MA|-|MB|=2可设M(x,y),则()()222211y x y x ++-+-=2整理得:y=0,又|MA|-|MB|>0,∴x ≤-1.)4.点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,则a= . 【答案】31(点拔:将点代入方程中即可.) 5.已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P 满足21=PB PA,则P 点的轨迹方程是 . 【答案】x 2+4x+y 2=0(点披：将|PA|与|PB|用距离公式表示出整理即可,)6.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l ,交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】如下图,设M 点的坐标为(x ，y),则A(2x,0),B(0,2y)∵1l ⊥2l ,2l P(2,4),∴PA ⊥PB,k PA ·k PB =-1,而k PA =x x -=-12224(x ≠1),k PB =2042--y =2-y, ∴x-12·(2-y)=-1,整理得x+2y-5=0(x ≠1). ∵当x=1时,A(2.0),B(0,4∴AB 的中点M(1，2)也满足方程x+2y-5=0,综上所述,点M 的轨迹方程为x+2y-5=07.线段AB 的长度为10.它的两个端点分别在x 轴,y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹是什么? 【答案】解法一：由题意可知AB 的中点P 恒满足到原点(0,0）的题离为5,所以点P 的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆.解法二:设P 点的坐标为(x,y),由中点坐标公式知A(2x ，0),B(0,2y),因为|AB|=10,所以2244y x +=10,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨为以原点为圆心,以5为半径的圆能力提升8.如图所示的曲线方程是 （ ）A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.y x =0D.yx -1=0【答案】B(点拔:A 中y ≥0与图形不符,C 、D 中都不满足y= 0,而图形过原点,所以排除C 、D,只有B 符合题意.) 9.(1)方程(x+y-1)1-x =0表示什么曲线?(2)方程2x 2+y 2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 【答案】(1)由方程(x+y-1)1-x =0可得⎩⎨⎧=-+≥-010,1y x x 或⎩⎨⎧=-≥-.01,01x x 即x+y-1=0(x ≥1)或x=1,表示直线x=1和射线x+y-1=0(x ≥1).(2)方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,∵2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0)1(,0)1(222y x 得⎩⎨⎧-==,1,1y x∴方程表示的图形是点A(1,-1).10.求经过两圆C 1：x 2+y 2+6x-16=0,C 2:x 2+y 2-4x-5=0的交点,且过点(2,1)的圆的方程. 【答案】 设圆的方为x 2+y 2+6x-16+λ（x 2+y 2-4x-5)=0又因为圆过点(2,1),代入方程得λ=81,所以所求圆的方程为x 2+y 2+6x-16+81(x 2+y 2-4x-5)=0.即9x 2+9y 2+44x-133=0.（点拨:过相交的两个圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0,C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1).11.设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a(a>0),试求点P 的轨迹方程,并探求点P 的轨迹 【答案】设动点P 的坐标是(x ，y),由PBPA =a(a>0)得2222)()(yc x y c x +-++=a,简得(1-a 2)x 2+2c(1+a 2)x+c 2(1-a 2)+(1-a 2)y 2=0.当a ≠1时,得x 2+221)1(2aa c -+x+c 2+y 2=0,整理得22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c a a x +y 2=2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ac ；当a=1时，化简得x=0,所以当a ≠1时,P 点的轨迹是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,1122c a a 为圆心，122-a ac为半径的圆:当a=1时,P 点的轨迹是y 轴.。

案例（二）精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一求曲线方程的步骤根据条件求曲线的方程的一般步骤可以简述为“建系、列式、变换、化简、证明”这五步这五步构成一个有机的整体,每一步都有其特点和重要性。

第一步,“建系”在具体问题中有两种情况①所研究的间题中已给定了坐标系.此时就在已给定的坐标系中求曲线的方程即可:②原题中没有确定坐标系,此时必须首先选取适当的坐标系,通常总选取特殊位置的点为原点,相互垂直的直线为坐标轴等;第二步,是求方程的重要一环,应仔细分析曲线的特征,注数)的动点P的轨迹方程意揭示隐含条件,抓住与曲线上任意点M有关的等量关系列出几何等式；第三步,在将几何条件转化为代数方程的过程中,常用到一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等；第四步,在化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免“失解”和“增解”;第五步,是证明,从理论上讲是必要的,但在实际处理上常被省略掉,这在多数情况下是没有问题的,如遇特殊情况,可适当予以说明。

知识点二求动点的轨迹求动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系,即动点坐标x,y所适合的等式f(x,y)=0,因此要分析形成轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式,建立等式,一般方法有：（1）直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确，,易于表达成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称为直接法，用直接法求动点轨迹的方程一般有:设点、列式代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略。

（2）定义法:运用解析几何中常用定义(例如圆锥曲线的定义),可以从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程（3）代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)都随另一动点Q(x´,y´)的运动而有规律地运当动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x,y表示成x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。

预习导航1．曲线方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；那么，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．2．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程．(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．3．求曲线的方程的步骤4．在求曲线方程的步骤中，最后一步有什么作用？提示：因为化方程f(x，y)＝0为最简形式时，可能进行了非等价转化，使方程的解的范围发生了变化，因此最后一步能起到验证的作用．1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，及直线l：x＋2y－2＝0，则点M(4，－1)()．A．不在圆C上，但在直线l上B．在圆C上，但不在直线l上C．既在圆C上，也在直线l上D．既不在圆C上，也不在直线l上解析：把点M(4，－1)代入圆C的方程，得22＋0＝4成立，故点M在圆C上．同理把点M(4，－1)代入直线l的方程，得4－2－2＝0也成立．答案：C2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()．解析：可讨论去绝对值作出曲线，也可用排除法，∵|y－1|≥0，∴x≤0.选B．答案：B．3．写出曲线xy－4x－3y＝0上一点的坐标________．答案：答案不惟一，如(1，－2)4．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是________．解析：由圆的定义知，点P的轨迹是以(1，－2)为圆心，以3为半径的圆．答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝95．动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．解：设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，∴00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即00232.x x y y =-⎧⎨=⎩ 又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.。

2.1.2 求曲线的方程第一课时问题探究【案例】 椭圆、双曲线及抛物线的标准方程是如何推导出来的?思路分析：推导过程分为五步:(1)建系; (2)写 出适合条件的动点的集合;(3)用动点的坐标列出方程;(4)化简方程为最简形式;(5)证明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 自学导引1.借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的_______或_______,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的_______表示曲线,通过研究_______的性质间接地来研究曲线的性质,这就是_______.数学中,用_______研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.2.平面解析几何研究的主要问题是：(1) ___________________________________；(2) ___________________________________.3.求曲线(图形)的方程,有下面几个步骤:(1) ___________________________________;(2) ___________________________________;(3) ___________________________________;(4) ___________________________________;(5) ___________________________________.一般地,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外也可以省略(2),直接列出曲线方程.答案：1.集合 轨迹 方程f(x,y)=0 方程 坐标法 坐标法2.(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程(2)通过方程,研究平面曲线的性质3.(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点的坐标(2)写出适合条件的点的集合(3)用坐标表示条件,列出方程f(x,y)=0(4)化简方程f(x,y)=0(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上疑难剖析1.利用五步法求曲线的方程求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M 有关的相等关系,结合基本公式列出等式，并进行化简.【例1】 设A 、B 两点的坐标分别是(1，0)、(-1，0)，若k MA ·k MB =-１，求动点M 的轨迹方程.解析:设M 的坐标为(x ，y)，M 属于集合P=｛M ｜k MA ·k MB =-１｝.由斜率公式，点M 所适合的条件可表示为111-=+⋅-x y x y (x≠±1)，整理后得x 2+y 2=1(x≠±1). 下面证明x 2+y 2=1(x≠±1)是点M 的轨迹方程.(1)由求方程的过程可知，M 的坐标都是方程x 2+y 2=1(x≠±1)的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程x 2+y 2=1(x≠±1)的解，即x 12+y 12=1(x 1≠±1)，y 12=1-x 12(x 1≠±1)，1111111-=+⋅-x y x y ， ∴k M1A ·k M1B =-１.由上述证明可知，方程x 2+y 2=1(x≠±1)是点M 的轨迹方程.温馨提示:(1)所求的方程x 2+y 2=１后面应加上条件x≠±１.(2)证明可以省略不写.【例2】 若点M 到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M 的轨迹方程．解析:取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如右图所示.设点M 的坐标为(x ，y)，点M 的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P=｛M ｜｜MR ｜=｜MQ ｜｝，其中Q 、R 分别是点M 到x 轴、y 轴的垂线的垂足．因为点M 到x 轴、y 轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件｜MR ｜=｜MQ ｜可写成｜x ｜=｜y ｜，即x±y=0 ①下面证明①是所求轨迹的方程．(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，那么x 1±y 1=0，即｜x 1｜=｜y 1｜，而｜x 1｜、｜y 1｜正是点M 1到纵轴、横轴的距离，因此点M 1到这两条直线的距离相等，点M 1是曲线上的点．由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如上图所示．温馨提示:建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较“简单”，所求方程的形式较“整齐”.【类题演练1】 (1)已知A(2，5)、B(3，-1)，则线段AB 的方程是( )A.6x+y-17=0B.6x+y-17=0(x≥3)C.6x+y-17=0(x≤3)D.6x+y-17=0(2≤x≤3)(2)在△ABC 中，已知顶点A(1，1)、B(3，6)且△ABC 的面积等于3，求顶点C 的轨迹方程.2.坐标法在平面几何中的应用【例3】 用坐标法证明平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和.证明:如右图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设P(x ，y)为任意点，矩形四个顶点为A(x 1，y 1)、C(x 2，y 2)、B(x 1，y 2)、D(x 2，y 1)，则有｜PA ｜2+｜PC ｜2=(x 1-x)2+(y 1-y)2+(x 2-x)2+(y 2-y)2，｜PB ｜2+｜PD ｜2=(x 1-x)2+(y 2-y)2+(x 2-x)2+(y 1-y)2.∴｜PA ｜2+｜PC ｜2=｜PB ｜2+｜PD ｜2.温馨提示:在上述证明中，若选取矩形的邻边AB 、BC 所在直线分别为y 轴和x 轴，那么矩形的四个顶点坐标为A(0，y 1)、B(0，0)、C(x 1，0)、D(x 1，y 1),这样数据更简单，运算更简便了.因此用坐标法解题，坐标系选取得适当，可以简化运算过程.【类题演练2】 若点M 到两坐标轴的距离的积为2 006,求点M 的轨迹方程.答案：1.(1)解析:∵A 、B 的横坐标分别是2、3，∴线段AB 上的点的横坐标x 应属于区间［2，3］.答案: D(2)解析:设顶点C 的坐标为(x ，y)，作CH ⊥AB 于H ，则动点C 属于集合P=｛C ｜21｜AB ｜·｜CH ｜=3｝.∵k AB =1316--=25， ∴直线AB 的方程是y-1=25(x-1)， 即5x-2y-3=0.∴｜CH ｜=22)2(5|325|-+--y x =29|325|--y x ∵｜AB ｜=22)16()13(-+-=29， ∴329|325|2921=--⨯⨯y x ，化简，得｜5x-2y-3｜=6，即5x-2y-9=0或5x-2y+3=0，这就是所求顶点C 的轨迹方程.2.xy=±2 006.拓展迁移【拓展点】已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x 2+y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解析:设切点为N,则|MN|=λ|MQ|.于是|MO|2-r 2=(λ|MQ|)2.将M(x,y)代入上式,得x 2+y 2-1=λ2(x-2)2+λ2y 2,整理得(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4λ2)=0. 当λ=1时,方程为x=45,表示一直线. 当λ≠1时,方程为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x ,表示一个圆.。

新课预习讲义选修2－1：第二章圆锥曲线与方程（一）§2.1.1曲线与方程●学习目标1.结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系．2.了解数与形结合的基本思想.●学习重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念．●学习难点：曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系．一、自学导航●知识回顾：复习1：画出函数2=(12)2y x-≤≤的图象．x复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．●预习教材：第34页——第35页的内容。

●自主梳理：曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是；(2)以这个方程的解为坐标的点都是，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．●预习检测：1．方程1－|x|＝1－y表示的曲线是()A．两条线段B．两条直线C．两条射线D．一条射线和一条线段解析：此类问题要充分考虑题目的条件．由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0.∴有y＝|x|，|x|≤1.∴曲线表示两条线段，故选A.答案： A2．如图所示，图形的方程与图中标注的方程对应正确的是()答案： D3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝±2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝±2∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点 答案： 4个点4．画方程|x |＋|y |＝1表示的曲线． 解析： ①当x ≥0，y ≥0时，x ＋y ＝1.令x ＝0，y ＝1；令y ＝0，x ＝1.②用－x 代替x ，得|－x |＋|y |＝|x |＋|y |＝1， 所以曲线关于y 轴对称．③用－y 代替y ，得|－y |＋|x |＝|y |＋|x |＝1，所以曲线关于x 轴对称．④用－x ，－y 分别代替x ，y ，得|－x |＋|－y |＝|x |＋|y |＝1，所以曲线关于原点对称．故曲线的图象如图所示. ●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．●典例导析：题型一、应用曲线与方程的概念例1、如果曲线C 上的点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，那么( ) A ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上B ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点，有些不在曲线C 上 C ．不在曲线C 上的点的坐标都不是方程f (x ，y )＝0的解D ．坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上[题后感悟] 如何应用曲线与方程的定义解题？ 对于曲线C 和方程f (x ，y )＝0有如下两条：(1)曲线C 上任意点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解；(2)以方程f (x ，y )＝0的所有解为坐标对应的点都在曲线C 上，同时成立时才能称为曲线的方程、方程的曲线．而且此时，曲线C 以外的点的坐标，一定不满足方程f (x ，y )＝0，不满足方程f (x ，y )＝0的坐标对应的点一定不在曲线C 上． 变式训练：已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．解析： (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合上述方程，即⎝⎛⎭⎫m 22＋(－m －1)2＝10， 解之得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.题型二、曲线与方程关系的应用例2、(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？[思路点拨]判断方程表示什么曲线问题，若给出的方程不易看出是什么曲线时，可对原方程变形．[解题过程] (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ＋y －1＝0或⎩⎨⎧x －1≥0x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，故方程表示直线x ＝1或射线x ＋y －1＝0(x ≥1)． (2)方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0， ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)2＝0(y ＋1)2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1. ∴方程表示的图形是坐标为(1，－1)的点．[题后感悟] 判断方程表示什么曲线，必要时可对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 变式训练：方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )答案： B题型三、曲线方程的应用例3、若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，求k 的取值范围． [思路点拨][规范作答] ∵曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 过点(a ，－a )， ∴a 2＝－a 2＋2a ＋k . ∴k ＝2a 2－2a ＝2⎝⎛⎭⎫a －122－12， ∴k ≥－12. ∴k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞.[题后感悟] (1)点在曲线上，点的坐标就是曲线方程的解，满足方程，代入后，对参数讨论求解．(2)还要注意所给曲线方程中两个变量的范围以防所求参数不正确． 变式训练：曲线4)1(22=-+y x 与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，求k 的范围．若有一个交点呢？无交点呢？解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋4x 2＋(y －1)2＝4， 得(1＋k 2)x 2＋2k (3－2k )x ＋(3－2k )2－4＝0， Δ＝4k 2(3－2k )2－4(1＋k 2)[(3－2k )2－4]＝48k －20. ∴Δ>0，即k >512时，直线与曲线有两个不同的交点；Δ＝0时，即k ＝512时，直线与曲线有一个交点；Δ<0时，即k <512时，直线与曲线没有交点．[疑难解读]如何理解曲线的方程、方程的曲线的概念？ (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解(纯粹性)； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点(完备性)． [拓展] 从集合的角度来理解曲线与方程的概念设以曲线C 上任意点的坐标为元素组成的集合为A ，以方程f (x ，y )＝0的解为元素组成的集合为B ，则集合A 的任一元素都是集合B 中的元素，即A ⊆B ；而集合B 的任一元素也都是集合A 中的元素，即B ⊆A .由A ⊆B 且B ⊆A 得A ＝B ，此等式说明代数问题与几何问题通过坐标形成了完美、和谐的统一．[误区警示]◎过点M (1,2)的直线与曲线y ＝ax 有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求实数a 的取值范围．【错解】 设过点M (1,2)的直线方程为y －2＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝a x消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0. 则由已知Δ＝(2－k )2＋4ka >0.(*)设直线与曲线y ＝ax 的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则y 1＋y 2＝2－k ，又y 1＋y 2＝a . ∴a ＝2－k ，即k ＝2－a ，代入(*)得a 2＋4a (2－a )>0. 解得0<a <83.即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，83.【错因】 没讨论k 的存在性及k 是否为零的情况．设直线的斜率时，要考虑k 是否存在；存在时要考虑是否为零的情况．【正解】 (1)当过点M (1,2)的直线斜率k 不存在或k ＝0时，直线l 与曲线y ＝ax 都只有一个交点．(2)当k ≠0时，设过点M (1,2)的直线l 方程为y －2＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)y ＝a x消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0. 依题意应有Δ＝(2－k )2＋4ka >0.(*)设直线与曲线y ＝ax 的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则y 1＋y 2＝2－k ，而已知y 1＋y 2＝a . ∴2－k ＝a ，即k ＝2－a 代入(*)式得 a 2＋4a (2－a )>0.即3a 2－8a <0， 解得0<a <83.∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2. ∴所求a 的取值范围是(0,2)∪⎝⎛⎭⎫2，83.三、巩固拓展●必做：教材第37页，习题2.1 A 组 第1、2题 ●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫15，15 C ．(1,5)D ．(4,4)解析： 代入每个点逐一验证，D 正确． 答案： D2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 答案： C3．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0的图象经过点A (0，－3)，B (0,4)，C (4,0)，D ⎝⎛⎭⎫53，－74中的( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析： 由方程x ＋2y >0，可知A ，D 两点不符合题意；对于点B (0,4)，x ＋2y ＝8＝23，则有log 2(x ＋2y )－3＝0；对于点C (4,0)，3x －4y －12＝0.故选C.答案： C4．方程y ＝|x |x2表示的曲线为图中的( )解析： y ＝|x |x 2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B.又因为当x >0时，y ＝1x >0；当x <0时，y ＝－1x >0，所以排除D.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 解析： 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12又因为0≤α＜2π， 所以α＝π3或α＝53答案：π3或5π36．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R)的交点有______个． 解析： 利用数形结合的思想方法，如图所示：答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分) 7．判断下列命题是否正确．(1)过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为|y |＝3. (2)以坐标原点为圆心，半径为r 的圆的方程是y ＝r 2－x 2. (3)方程(x ＋y －1)·x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是圆或直线．(4)点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)都在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．解析： (1)不对，过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为y ＝3，而不是|y |＝3. (2)不对．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2. 两边开平方取算术根，得x 20＋y 20＝r .即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r 的圆上的一点如点⎝⎛⎭⎫r 2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2. (3)不对．由(x ＋y －1)·x 2＋y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0或x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4≥0 所以表示的是圆和两条射线． (4)不对．把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0， 则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上． 把点B (－32，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25， ∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B 不在方程所表示的曲线上．尽管C 点坐标满足方程，但 ∵横坐标5不满足小于或等于0的条件， ∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上．8．已知曲线C 的方程为x ＝9－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解析： 由x ＝9－y 2，得x 2＋y 2＝9.又x ≥0，∴方程x ＝9－y 2表示的曲线是以原点为圆心，3为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·9＝92π.所以所求图形的面积为92π.9．已知方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)．求m ，n 的值． 解析： ∵方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－1＋1)2＋n ＝1，(m ＋1)2＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝－1.∴m ＝－1，n ＝1为所求．。

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

新课预习讲义选修2-1第⼆章双曲线（1）双曲线及其标准⽅程（学⽣版）新课预习讲义选修2－1：第⼆章§2.3双曲线（⼀）§2.3.1双曲线及其标准⽅程●学习⽬标1.了解双曲线的定义、⼏何图形和标准⽅程的推导过程．2.掌握双曲线的标准⽅程．3.会利⽤双曲线的定义和标准⽅程解决简单的应⽤问题. ●学习重点：1.本节的重点是双曲线的定义，因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点．2.定义法、待定系数法求双曲线的标准⽅程，也是重点考查的．●学习难点1. 难点是双曲线的标准⽅程的推导．2.在双曲线的定义的问题中会与三⾓函数、向量、不等式的内容相结合出现.⼀、⾃学导航●知识回顾：复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准⽅程是什么？复习2：椭圆的标准⽅程分哪两种不同形式？怎样区分？复习3：在椭圆的标准⽅程22221x y ab+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =●预习教材：第52页——第55页的内容。

●⾃主梳理：1.双曲线的定义是_________________________________________________2.双曲线的标准⽅程是_____________________________________________ ●预习检测：1．点F 1，F 2是两个定点，动点P 满⾜||PF 1|－|PF 2||＝2a (a 为⾮负常数)，则动点P 的轨迹是( ) A ．两条射线 B ．⼀条直线C ．双曲线D ．前三种情况都有可能2．已知⽅程x 24＋k －y24－k ＝1表⽰双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ．－4B ．k >0C ．k ≥0D ．k >4或k <－43．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．4．求与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)的双曲线⽅程．●问题与困惑：⼆、互动探究●问题探究：探究1：把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？探究2：根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准⽅程的？探究3：双曲线的标准⽅程与椭圆的标准⽅程在形式上有什么区别？a 、b 、c 之间的关系有何不同？探究4：怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的⽅程？它与椭圆的区分⽅法有何不同？●基础知识归纳： 1．双曲线的定义把平⾯内与两个定点F 1，F 2的距离的等于常数(⼩于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．反思（1）：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是； 2a >12F F 时，轨迹．反思（2）：双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？ 2．双曲线的标准⽅程1.焦点位置的判定：椭圆由分母常数的⼤⼩判定，双曲线由各项前⾯的符号判定2. a 、b 、c 之间的关系：椭圆是222b a c -=，双曲线是222b a c +=（记忆⽅法：椭圆的焦点在顶点之内，所有a c <；双曲线焦点在顶点之外，所有a c >）●典例导析：题型⼀、求双曲线的标准⽅程例1、根据下列条件，求双曲线的标准⽅程．(1)双曲线中⼼在原点，焦点在坐标轴上，且过点A (4，－3)，B －3，52；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． [思路点拨]1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求a 、b 的值（注意应⽤222b ac +=）；由定位条件确定焦点所在的位置.2.常⽤待定系数法.[题后感悟] 双曲线标准⽅程的求解步骤：变式训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准⽅程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上．(2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．(3)焦点分别为F 1(－10,0)、F 2(10,0)，且经过点(35，－4)． (4)焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和94，5.题型⼆、双曲线定义的应⽤例2－1、已知定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)，动点M 满⾜|MF 1|－|MF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝4时，点M 的轨迹为( )A ．双曲线和⼀条直线B ．双曲线的⼀⽀和⼀条直线C ．双曲线和⼀条射线D ．双曲线的⼀⽀和⼀条射线[题后感悟] 如何判断动点的轨迹？(1)由已知条件，判断2a 与|F 1F 2|的⼤⼩关系，⼤致确定动点的轨迹是双曲线或射线等； (2)再据|MF 1|－|MF 2|＝2a 有⽆绝对值，准确确定动点轨迹的特征．变式训练：2－1.已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹⽅程为 A ．y ＝0B ．y ＝0(x ≤－13或x ≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对例2－2、若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的⾯积． [思路点拨][题后感悟]在解决与焦点三⾓形有关的问题的时候，⾸先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应⽤．其次是要利⽤余弦定理、勾股定理等知识进⾏运算．在运算过程中要注意整体思想的应⽤和⼀些变形技巧的应⽤．变式训练：2－2.设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满⾜∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的⾯积．（想⼀想：若改为“∠F 1PF 2＝60°”呢？）题型三、求与双曲线相关的轨迹⽅程例3、求与两个定圆C1：x2＋y2＋10x－24＝0和C2：x2＋y2－10x＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆⼼的轨迹⽅程．[思路点拨][题后感悟](1)本题是利⽤定义求动点的轨迹⽅程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准⽅程，⽽⽆需⽤距离公式写出⽅程，再通过复杂的运算进⾏化简．(2)由于动点M到两定点C2，C1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线．变式训练：4．如图所⽰，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内⾓A，B，C满⾜2sin A＋sin C＝2sin B，建⽴适当的坐标系，求顶点C的轨迹⽅程．[疑难解读]1．双曲线定义中注意的三个问题(1)注意定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少．若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．(2)注意定义中的常数2a 是⼩于|F 1F 2|且⼤于0的实数．若a ＝0，则动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． (3)注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的⼀⽀．2．待定系数法求双曲线标准⽅程的步骤(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设⽅程：根据上述判断设⽅程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c 的⽅程组． (4)得⽅程：解⽅程组，将a ，b 代⼊所设⽅程即为所求．[误区警⽰]◎设F 1、F 2是双曲线x 216－y220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P到焦点F 2的距离．（上海⾼考试题）【错解⼀】双曲线的实轴长为8，由|PF 1|－|PF 2|＝8，即9－|PF 2|＝8，得|PF 2|＝1.【错解⼆】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.【错因】错解⼀是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解⼆没有验证两解是否符合题意，这⾥⽤到双曲线的⼀个隐含条件：双曲线的⼀个顶点到另⼀分⽀上的点的最⼩距离是2a ，到⼀个焦点的距离是c －a ，到另⼀个焦点的距离是a ＋c ，本题是2或10，|PF 2|＝1⼩于2，不合题意．【正解】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．所以|PF 2|＝17.三、巩固拓展●必做：教材第61页，习题2.3 A 组第1、2题，B 组第2题●补充作业：⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．双曲线⽅程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.22，0 B.52，0 C.62，0 D ．(3，0) 2．在⽅程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则⽅程表⽰的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线3．设P 为双曲线x 2－y212＝1上的⼀点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的⾯积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．244．已知双曲线⽅程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A 、B 在双曲线右⽀上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另⼀个焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2C ．a ＋mD ．2a ＋4m ⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上⼀点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．6．双曲线x 216－y 291上⼀点P 到点(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为________．三、解答题(每⼩题10分，共20分) 7．求满⾜下列条件的双曲线的标准⽅程． (1)经过点A (42，3)，且a ＝4； (2)经过点A ??2，233、B (3，－22)．8．已知⽅程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论⽅程所表⽰的曲线类型．尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)双曲线x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)满⾜如下条件：(1)ab ＝3；(2)过右焦点F 的直线l 的斜率为212，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线于点Q ，且|PQ |∶|QF |＝2∶1，求双曲线的⽅程．。

2．1．2 求曲线的方程（学案）【知识要点】1．坐标法； 2．求曲线方程的方法与步骤； 3．轨迹方程的求法． 【学习要求】1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程； 2．掌握求轨迹方程的基本方法．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 35 页～第 37 页）1．由上一节的学习得知曲线与方程之间的关系：通过曲线上的点的坐标建立起一一对应的关系，使方程成为曲线的代数表示．2．求曲线方程的一般步骤是：(1) ； (2) ; (3) ； (4) ； (5) ．3．两曲线有交点的充要条件是 ： ．4．求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等． 【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( )． (A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x ≥3) (C)6x+y-17=0(x ≤3) (D)6x+y-17=0(2≤x ≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( )． (A) 1=-y x (B) 1=-y x (C)1=-y x (D) 1=±y x ．3.设B A ,两点的坐标分别是()()7,3,1,1--,则线段AB 的垂直平分线的方程为： ．4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是()())0,2(,0,2,3,0C B A -,中线)(为原点O AO 所在直线的方程是 ．5.已知方程222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫⎝⎛35,0A 和点(),1,1B 求b a ,的值．【典型例题】例1（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．例2 （相关点法） 动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，M 和定点B(3，O)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程，并指出点P 的轨迹．例3（定义法）已知直角三角形ABC, C ∠为直角，,求满足条件的点C 的轨迹方程．例4（参数法）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点())3,1(,1,3-B A 为，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，求点C 的轨迹方程．【自我测评】1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )． (A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O) (C)y=24x --(D) y=24x --（0<x<2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3-，0)，B(3，0)，顶点C 的轨迹是( )．(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点 (C)一个点 (D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( )． (A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1) (C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC 的面积为1 6，则C 点的轨迹方程为 ．5．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，APB ∠=60，则动点P 的轨迹方程为 ．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是 ．7．经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于C B ,两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．8． 已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．9.已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程． 10．设P 为曲线1422=-yx上一动点，O 为坐标原点，M 为线段PO 的中点，求点M 的轨迹方程．11．如图，已知F(1，O)，直线l ：x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．12．定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．1.(2006重庆)已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点的轨迹方程为： ．2．（2005江苏）如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4。