一类Sine-Gordon方程整体吸引子的存在性

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理学的多个领域中有着广泛的应用，如孤立子理论、场论和统计力学等。

由于该方程具有丰富的动力学行为和复杂的解结构，因此对其数值解法的研究具有重要意义。

本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法，用于求解一维Sine-Gordon方程。

二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U) + U_xx其中，U是因变量，t是时间变量，xx表示对空间的二阶导数。

该方程具有孤立子解、周期解等多种解形式，且在物理系统中表现出丰富的动力学行为。

三、高阶紧致有限体积方法高阶紧致有限体积方法是一种基于有限体积思想的数值方法，通过将计算区域划分为一系列控制体积，并对每个控制体积应用守恒律，得到一组离散化的方程组。

该方法具有高精度、稳定性好、易于实现等优点。

在本研究中，我们将高阶紧致有限体积方法应用于一维Sine-Gordon方程的求解。

具体而言，我们将计算区域划分为一系列等距的网格，每个网格点作为一个控制体积的中心。

在每个控制体积上，我们对Sine-Gordon方程进行积分，并利用高阶紧致格式对空间导数进行离散化。

通过这种方法，我们可以得到一组离散化的方程组，用于求解Sine-Gordon方程的数值解。

四、数值实验与结果分析我们通过一系列数值实验来验证高阶紧致有限体积方法求解一维Sine-Gordon方程的有效性。

首先，我们设置了一组典型的初始条件，并利用该方法对Sine-Gordon方程进行求解。

通过对比不同时间步长下的数值解与精确解，我们发现该方法具有较高的精度和稳定性。

此外，我们还分析了该方法在不同网格尺寸下的数值误差，结果表明该方法在较粗的网格下仍能保持较高的精度。

为了进一步验证该方法的有效性，我们还对Sine-Gordon方程的孤立子解进行了数值模拟。

文章编号：1000-1506（2001）03-0041-03Neumann 边条件无电容效应Sine-gordon 系统的动力学刘迎东，何卫力（北方交通大学理学院，北京100044）摘要：证明当扩散系数适当大时Neumann 边条件下无电容效应的Sine-gordon 系统全局吸引子是一条不变曲线，系统在其上的行为类似于圆周上的保向同胚.关键词：全局吸引子；不变曲线；保向同胚中图分类号：O175.2文献标识码：ADynamics of Sine-gordon System Without CapacitanceEffect Under Neumann Boundary ConditionLIU Ying-dong ，HE Wei-li（CoIIege of Sciences ，Northern Jiaotong University ，Beijing 100044，China ）Abstract ：In this paper we prove that the gIobaI attractor for the Sine-gordon system without capacitance effect under Neumann boundary condition is an invariant curve.The behavior of the system on the curve is Iike the orientation preserving homeomorphism on a circIe.Key words ：gIobaI attractor ；invariant curve ；orientation preserving homeomorphism1问题的提出在前文［1］讨论了狄氏边条件下无电容效应的Sine-gordon 系统的动力学，本文继续讨论Neumann 边条件下它的动力行为，将证明此时全局吸引子是一条不变曲线，系统在其上的行为类似于圆周上的保向同胚.此时边条件变成了 U i n !X R+=0.记E =（L 2（!））n ， · 为E 中范数.设f i （x ，I ） C （R +，L 2（!））并且f i 关于I 以T 为周期.显然-C 是扇形算子，并且C 可生成强连续半群｛e CI ｝I 0.G （I ，U ）：R +X E E 关于U 一致Lip 连续.Lip 常数为".相应的积分方程为：U （I ）=e CI U 0+Ie C （I -#）G （#，U （#））d #.定义1积分方程的连续解称为温和解.原问题存在唯一温和解U C （R +，E ）［2］.定义S （I ）U 0=U （I ，U 0），U （I ，U 0）是初值为U 0的温和解，由周期性｛S （NT ）｝N 0构成离散半动力系统.根据不可约弱耦合拟增椭圆组的特征值性质，-C 存在主特征值［3］.因为-C 的所有特征值大于等于0，而易知0确为一个特征值，故0为主特征值，其对应主特征向量为（1，1，…，1）.由算子扰动理论易知：引理1-C 是非负自伴算子，其特征值为0=$0<$1 $2 … $m …，当m + 时，$m + 且0为主特征值.收稿日期：2000-08-24基金项目：国家自然科学基金资助项目（19971004）作者简介：刘迎东（1971—），男，河北高阳人，讲师，博士.email ：Iiuyingdong@第25卷第3期2001年6月北方交通大学学报JOURNAL OF NORTHERN JIAOTONg UNIVERSITY VoI.25No.3Jun.2001设主特征值0的主特征向量（l ，l ，…，l ）生成的线性子空间为E l ，记 U =lI !I J!E Ii =lU i （x ）c x ，记E 2=｛U E IU =0｝，则E =E l E 2.显然E l 、E 2都是C 的不变子空间，并且V U E 2〈CU ，U 〉<-"〈U ，U 〉.!吸收集定义!称B =｛p +g E I p E l ，g E 2， g <r ｝为E 中半径为r 的伪球.显然，G （I ，U ）在E 中一致有界，记为c.定理"设B 0为E 中伪球，半径为c /"l ，则V I >0，S （I ）B 0c B 0，并且B 0吸引E 中任意有界集.证明V U 0 E ，记U （I ）=S （I ）U 0，则U （I ）满足：U （I ）=e CI U 0+JIe C （I -#）G （#，U （#））c #.设E 到E l 的投影算子为P ，到E 2的投影算子为O ，则OU（I ）=e CI OU 0+JIe C （I -#）OG （#，U （#））c #，OU （I ） < e CIO OU 0 +JI0 eC（I -#）O G （#，U （#） c #<e -"l I OU 0 +c "l（l -e -"l I ），V U D （（-C ）l /2）= E ，定义 U E = U +（-C ）l /2U ，则 E 为Banach 空间.记 E l =E l E ， E 2=E 2 E.则有：定义#称集合 B =｛p +g E I p E l ，g E 2， g E <r ｝为 E 中半径为r 的伪球.定理!存在 E 中一个伪球 B 0，半径为r l ，使得对任意E 中有界集B ，存在I l =I l （B ）>0，当I >I l 时，S （I ）B c B 0.证明c Uc I=CU +G （I ，U ），用O 作用后再与OU 作内积得〈O c U c I，OU 〉=〈COU ，OU 〉+〈OG （I ，U ），OU 〉，则c c I OU 2+ （-C ）l /2OU 2<-"l OU 2+2 OG （I ，U ） OU <-"l 2OU 2+c.结合定理l 可知，任给E 中有界集B ，存在I 0=I 0（B ）>0，当I >I 0、r >0时，JI +rI（-C ）l /2OU 2c #<c .又有〈-CU ，Oc Uc I〉=〈-CU ，COU 〉+〈OG （I ，U ），-CU 〉，l 2c （-C ）l /2OU 2c I <-l 2COU 2-"l 2 （-C ）l /2OU 2+ OG （I ，U ） COU ，c （-C ）l /2OU 2c I<-"l （-C ）l /2OU 2+c.再由一致GrOnwall 不等式［4］，即得结论.#锥性质定义$称Z =｛p +g E I p E l ，g E 2， g < p ｝为E 的锥.定理#设"l >4$，则V x 0、y 0 E.（l ）如果y 0-x 0 Z ，则S （I ）y 0-S （I ）x 0 Z ，V I >0.（2）如果存在I 0>0，使得S （I 0）y 0-S （I 0）x 0 Z ，则OS （I ）y 0-OS （I ）x 0 <e -"l I /2 O （y 0-x 0） ，0<I <I 0.证明记y （I ）=S （I ）y 0，x （I ）=S （I ）x 0，p （I ）=P （y （I ）-x （I ）），g （I ）=O （y （I ）-x （I ））.于是p （I ），g（I ）分别满足：c pc I =P （G （I ，y （I ））-G （I ，x （I ））p （0）=P（y 0-x 0{），c gc I =Cg +O（G （I ，y （I ））-G （I ，x （I ）））g （0）=O（y 0-x 0{），所以c c I（ g 2- p 2）<-2"l g 2+2$（ p 2+ g 2）+4$ p g .24北方交通大学学报第25卷由条件O 1>4B 知当 p = g 时，dd t （ g 2- p 2） （-2O 1+8B ） g 2 0，这表明如果y 0-x 0 Z ，则y （t ）-x （t ） Z.若存在t 0>0，使y （t 0）-x （t 0） Z ，则y （t ）-x （t ） Z ，0<t t 0.即 g （t ） > p （t ） ，0<t t 0.因此有d d tg （t ） 2 -O 1 g （t ） 2，即 g （t ） e -O 1t /2 g （0） ，0<t t 0.!不变曲线以下记T 0=（1，1，…，1），p 0=21T 0.定义"设@是从E 1到E 2的Lip 映射，Lip 常数为1，即 p 1、p 2 E 1， @（p 1）-@（p 2） p 1-p 2，称@对应的曲线l =｛p +@（p ）I p E 1｝为E 中的水平曲线，如果@还满足@（p +p 0）=@（p ）， p E 1，则称l 为限制水平曲线.定理!N >0，S （NT ）把水平曲线映成水平曲线，把限制水平曲线映成限制水平曲线.令H =［0，21］·T 0，则H 是E 1中的有界闭集.令M =｛@I @是H E 2的连续映射，@（0）=@（p 0）｝，M 中加法和数乘按通常逐点意义下定义，范数定义为 @ =max p H @（p ） ，于是M 成为Banach 空间，记^M =｛@I @ M ， @（p 1）-@（p 2） p 1-p 2 ， @ r 1｝，r 1是伪球B 0的半径.当t 0>t 1（B 0）时，S （t 0）B 0 B 0，对充分大的N ，构造^M ^M 的映射^S （NT ）如下：^S （NT ）@=1-1S （NT ）1@，1是^M 到M 的自然的一一映射，易知^S （NT ）为紧的，由Schauder 不动点定理，^S （NT ）至少有一个不动点.定理"设O 1>4B ，则对充分大的N ，映射S （NT ）有一条不变限制水平曲线l ，即S （NT ）l =l.引理#设l 是S （NT ）的不变曲线，U 是l 的E 邻域，则存在常数M 0>0，使 y 0 B 0（半径为c /O 1的伪球），当M >M 0时，S （MNT ）y 0 U.设l 是S （NT ）的不变曲线，l'是S （（N +1）T ）的不变曲线.引理$l 即为l'.再由S （（N +1）T ）l =S （NT ）l ，得S （T ）l =l ，即S （T ）有不变曲线l ，并且由吸引性，l 唯一."保向同胚设l =｛p +@（p ）I p E 1｝，定义K ：E 1 l 为p p +@（p ），这样S （T ）在l 上的作用诱导出一个R 上的映射F ：F （T ）=G -1K -1S （T ）K G ，其中G 是由G （t ）=21t T0定义的算子，并且!F （t +1）=F （t ）+1，"F 是严格单调增加的.引理!S（T ）的旋转数V =Iim I F I（t ）I存在，且极限值与t R 无关.F （t ）可看成圆周上一个保向同胚的提升.通过旋转数V 可研究F （t ）.定义F（t ）的广义周期点如下：若存在I 、m Z ，I 1，使得F I（t ）=t +m ，其中I 取有这种性质的最小的自然数，则称t 为（I ，m ）型周期点.旋转数为有理数等价于存在广义周期点，旋转数为无理数等价于不存在广义周期点.如果l 模21T 0构成一个拓扑圆，则S （T ）在其上作用为保向同胚［5］.参考文献：［1］刘迎东，何卫力.狄氏边条件无电容效应的Sine-gordon 系统的动力学［J ］.北方交通大学学报，2001，25（1）：108-110.［2］Pazy A.Semigroup of Linear Operators and AppIications to PartiaI DifferentiaI Eguations ［M ］.BerIin ：Springer-verIag ，1983.113-121.［3］Liu Yingdong ，Li Zhengyuan.The PrincipaI EigenvaIue of PeriodicaI Reaction-diffusion System with Time DeIay ［J ］.Beijing Mathematics ，1997，3（1）：143-149.［4］Temam R.Infinite-dimensionaI DynamicaI Systems in Mechanics and Physics ［M ］.BerIin ：Springer-verIag ，1988.88-89.［5］张筑生.微分动力系统原理［M ］.北京：科学出版社，1985.27-52.34第3期刘迎东等：Neumann 边条件无电容效应Sine-gordon 系统的动力学Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学作者：刘迎东， 何卫力作者单位：北方交通大学理学院,刊名：北方交通大学学报英文刊名：JOURNAL OF NORTHERN JIAOTONG UNIVERSITY年，卷(期)：2001,25(3)1.刘迎东;何卫力狄氏边条件无电容效应的Sine-Gordon系统的动力学[期刊论文]-北方交通大学学报 2001(01)2.Pazy A Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial D ifferential Equations 19833.Liu Yingdong;Li Zhengyuan The Principal Eigenvalue of Periodical Reaction-diffusion System with Time Delay 1997(01)4.TEMAM R Infinite-dimensional Dynamical Systems in Mechanics and P hysics 19885.张筑生微分动力系统原理 1985引用本文格式：刘迎东.何卫力Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学[期刊论文]-北方交通大学学报 2001(3)。

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理、工程和数学等多个领域有着广泛的应用。

近年来，随着计算科学的发展，高阶数值方法在求解这类方程时显得尤为重要。

本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法（High-Order Compact Finite Volume Method，HOCFVM）来求解一维Sine-Gordon方程，以期提高计算精度和效率。

二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，具有丰富的物理背景和数学性质。

在物理中，它常用于描述孤立子、非线性波等现象。

该方程的一般形式为：U_t = sin(U)_x其中，U是因变量，t和x分别是时间和空间坐标。

该方程具有非线性和周期性等特点，使得其求解过程具有一定的挑战性。

三、高阶紧致有限体积方法为了求解一维Sine-Gordon方程，本文采用高阶紧致有限体积方法。

该方法通过将计算区域划分为有限个体积单元，然后在每个体积单元上应用有限体积原理进行离散化和求解。

通过选择适当的离散格式和紧致算子，可以在保证计算精度的同时，降低数值耗散和数值色散，提高计算效率。

四、HOCFVM方法的具体实现1. 离散化：将一维计算区域划分为N个等距的体积单元，每个体积单元的长度为Δx。

在每个体积单元上，因变量U的离散化值表示为U_i，其中i表示体积单元的编号。

2. 紧致算子的选择：选择适当的紧致算子来逼近空间导数和时间导数。

常用的紧致算子包括二阶、四阶等高阶差分算子。

在本方法中，我们选择四阶紧致算子来提高计算精度。

3. 离散方程的建立：根据有限体积原理，在每个体积单元上建立离散化方程。

通过将Sine-Gordon方程在时间和空间上进行离散化，得到一系列关于U_i的离散方程。

4. 求解离散方程：采用适当的数值方法（如迭代法、追赶法等）来求解离散方程，得到因变量U的数值解。

一类半线性退化抛物方程在无界区域上全局吸引子的存在性齐渊【摘要】讨论了一类带有退化算子的抛物方程当非线性项满足多项式增长条件时,在无界区域上的全局吸引子的存在性问题.【期刊名称】《陇东学院学报》【年(卷),期】2018(029)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】退化算子;无界区域;全局吸引子;尾估计方法;渐进先验估计【作者】齐渊【作者单位】陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000【正文语种】中文【中图分类】O19现代数学物理的一个重要分支是探讨动力系统的长时间渐进行为，而研究这个问题的方式之一就是考虑耗散动力系统的全局吸引子。

一大类非退化偏微分方程的全局吸引子的存在性已经被证明[1-3]。

尤其是近些年来，含有Grushin型算子：Gku=Δxu+|x|2kΔyu,k≥0的半线性抛物方程的解的长时间行为在自治和非自治的情况下都有被研究[4-8]。

该算子首次由Grushin在[9]中讨论过，注意到G0=Δ，是Laplacian算子，而当k>0时，算子Gk在与面x=0相交的区域内不再是椭圆的。

Anh,C.T.等人在文献《Global attractor for a semilinear parabolic equation involving Grushin operator》中，讨论了非线性项满足次临界增长条件和任意多项式增长条件下，含有Grushin型算子的抛物方程在有界区域上的全局吸引子的存在性问题。

在本文中，我们考虑了下列含有G算子的半线性退化抛物方程解的长时间渐进行为：(1)在这里，λ>0,u0∈L2(RN)，非线性项f和外力项g满足以下条件：(F)f:RN×R→R是连续函数，并且，f(X,u)u≥α1|u|p-C1(X)(2)|f(X,u)u|≤α2|u|p-1+C2(X)(3)fu(X,u)≥α3(4)其中，α1,α2,α3是正常数，C1(·)∈L1(RN)∩L2(RN)，C2(·)∈Lq(RN)是非负函数，且记F(X,s)=f(X,τ)dτ，并假定F满足：-C4(X)+α4|u|p≤F(X,u)≤α5|u|p+C3(X)(5)式子中的α4,α5是正常数，且C3(·),C4(·)∈L1(RN)均为非负函数。

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一个具有非线性特性的偏微分方程，在物理学和工程学等多个领域具有广泛的应用。

传统的数值求解方法往往涉及复杂的计算过程，而且有时无法保证计算精度和稳定性。

为了更有效地求解这一类方程，我们提出了一种高阶紧致有限体积方法（HOCFVM），通过此方法我们可以提高求解的效率和精度。

二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一个非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U) + U_xx其中U为因变量，t为时间，xx表示空间二阶导数。

此方程具有孤立波解等特性，广泛应用于物理中的各种现象模拟。

三、传统数值方法的问题传统的数值方法如有限差分法、有限元法等，在求解Sine-Gordon方程时，往往存在计算复杂度高、精度低、稳定性差等问题。

为了解决这些问题，我们提出了一种高阶紧致有限体积方法。

四、高阶紧致有限体积方法（HOCFVM）1. 方法概述HOCFVM是一种基于有限体积法的数值求解方法，它通过构造高阶紧致格式的离散化方案，提高了计算精度和稳定性。

该方法在离散化过程中，将空间划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上应用局部的离散化公式。

2. 方法实现（1）空间离散化：将空间划分为一系列等距或不等距的控制体积。

（2）时间离散化：采用合适的离散化格式对时间进行离散化。

（3）构造高阶紧致格式：在每个控制体积上，根据Taylor 级数展开和待求量的性质，构造高阶紧致格式的离散化公式。

（4）求解方程组：根据离散化后的方程组，采用适当的数值求解方法（如迭代法、线性代数方法等）求解。

五、HOCFVM在Sine-Gordon方程中的应用我们将HOCFVM应用于一维Sine-Gordon方程的求解中，通过与传统的数值方法进行比较，发现HOCFVM具有更高的计算精度和稳定性。

具体来说，HOCFVM能够更好地捕捉到Sine-Gordon方程的孤立波解等特性，且计算复杂度相对较低。

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是物理学中常见的非线性偏微分方程，广泛应用于描述各种物理现象，如孤立波的传播、非线性振荡等。

求解该方程对于理解这些物理现象具有重要意义。

传统的方法包括有限差分法、有限元法等，但这些方法在处理高阶导数和边界条件时可能存在一定局限性。

近年来，高阶紧致有限体积方法因其良好的数值稳定性和高精度，在求解一维Sine-Gordon方程方面展现出优越性。

本文将介绍一种一维Sine-Gordon方程的高阶紧致有限体积方法。

二、Sine-Gordon方程及其性质一维Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U_xx)其中，U为因变量，t为时间，x为空间坐标。

该方程具有孤立波解和非线性振荡等特性，是研究非线性物理现象的重要工具。

三、高阶紧致有限体积方法高阶紧致有限体积方法是一种基于有限体积的数值方法，其核心思想是将计算区域划分为有限个控制体积，通过在控制体积上对守恒律进行积分来求解偏微分方程。

该方法具有计算精度高、数值稳定性好等优点。

针对一维Sine-Gordon方程，我们采用高阶紧致有限体积方法进行求解。

首先，将计算区域划分为若干个等距的控制体积，每个控制体积的大小根据需求确定。

然后，在每个控制体积上对Sine-Gordon方程进行积分，得到一组离散的有限体积方程组。

接着，利用高阶紧致格式对空间导数进行离散化处理，得到高精度的数值解。

最后，通过时间迭代法求解该数值解。

四、数值实验与结果分析为了验证高阶紧致有限体积方法的有效性，我们进行了一系列的数值实验。

首先，我们设定了一组初始条件和边界条件，然后利用高阶紧致有限体积方法对一维Sine-Gordon方程进行求解。

通过与真实解进行比较，我们发现该方法具有较高的计算精度和良好的数值稳定性。

此外，我们还对不同控制体积大小和时间步长对计算结果的影响进行了分析，发现适当的选择控制体积大小和时间步长可以进一步提高计算精度和稳定性。

用f展开法解sine-gordon方程史特琴-戈登微分方程（Sine-Gordon equation，简称 SG方程）是一个重要的非线性微分方程，主要用于描述质子在量子场论中的行为。

SG方程可以表示为：\begin{equation} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \sin u \end{equation}在研究SG方程的求解方法时，展开方法（F-expansion method）是一种比较常用的解决方法。

基于展开方法求解SG方程的具体处理流程为：1. 首先把SG方程分解为线性偏微分方程：\begin{equation} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = f(u) \end{equation}2. 将u按指数函数定义为：\begin{equation} u=u_0+\sum_{n=1}^{\infty}\epsilon^n u_n \end{equation}3. 把每一阶的线性偏微分方程展开为：\begin{equation} \frac{\partial^2u_m}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u_m}{\partial x^2} = \sum_{k=0}^{m}f_k(u_0,u_1,...u_{k-1})u_m \end{equation}4. 利用递推法计算出每一阶的解：\begin{equation} u_k\left(x,t\right) = \int_{-\infty}^{\infty}G_k\left(x-\xi,t-\tau\right)f_k\left(u_0\left(\xi,t\right),u_0\left(\xi,t\right),...u_{k-1}\left(\xi,t\right)\right)d\xi dt \end{equation}得到 SG方程的近似解：\begin{equation} u(x,t)=u_0(x,t)+\sum_{n=1}^{\infty} \epsilon^n u_n(x,t)\end{equation}展开方法是一种经典解SG方程的技术，其简单有效，易于实现。

强阻尼随机Sine-Gordon方程的随机吸引子的存在性及其
Hausdorff维数
随机吸引子是描述无穷维随机动力系统渐进行为的中心概念。

本文主要研究具有重要物理背景的强阻尼随机sine-Gordon方程的随机吸引子的存在性与维数估计。

本文在第一章简单的介绍了随机动力系统的发展历史和跟本论文相关的一些基础知识(包括随机动力系统的定义、随机吸引子的存在性定理以及维数估计的理论等)及其所需用到的基本的函数空间和一些常用的不等式例如Young不等式、Gronwall不等式、Holder不等式,以及本文的主要工作.本文的研究工作主要由两章内容组成.第二章,主要考虑具强阻尼的随机sine-Gordon方程,通过引入加权范数与对关于时间为一阶的发展方程对应的线性算子的正性分解,证明了该方程的随机吸引子的存在性,且该随机吸引子吸引所有的缓增随机集。

第三章,考虑相同的具强阻尼的随机sine-Gordon方程,得到该方程吸引缓增随机集随机吸引子的Hausdorff维数的上界估计,得到的Hausdorff准数上界随阻尼γ的增加而变小,且在一定的条件下,该随机吸引子的Hausdorff维数为0。

特别的,该上界也是它所对应的确定性的sine-Gordon方程生成的整体吸引子的Hausdorff维数的上界,换句话说该情况下的白噪声对吸引子的Hausdorff 维数的上界是没有影响的.。

《一类神经传播型方程的整体吸引子》篇一一、引言神经传播型方程是描述神经网络中信息传播和处理的数学模型。

近年来，随着神经科学和计算科学的交叉发展，神经传播型方程的研究逐渐成为了一个重要的研究方向。

其中，整体吸引子作为神经传播型方程的一个重要概念，对于理解神经网络的动态特性和行为具有非常重要的意义。

本文将重点介绍一类神经传播型方程的整体吸引子的研究内容和方法。

二、神经传播型方程的概述神经传播型方程是一类描述神经元之间信息传播和处理的数学模型。

在神经网络中，神经元通过电化学信号进行相互连接和交流。

这些信号的传播和转换可以用数学方程进行描述，其中就包括神经传播型方程。

该类方程可以用来描述神经元的兴奋、抑制、传递等过程，对于研究神经网络的动态特性和行为具有重要的意义。

三、整体吸引子的概念和性质整体吸引子是指神经传播型方程在长时间演化下所形成的稳定状态。

在神经网络中，由于神经元之间的相互作用和反馈，信息会在网络中不断地传播和更新。

在这个过程中，神经网络会逐渐达到一种稳定状态，即整体吸引子。

整体吸引子具有以下性质：1. 稳定性：整体吸引子具有稳定性，即在网络中达到该状态后，能够保持长时间的稳定。

2. 动态性：虽然整体吸引子是稳定的，但其形成过程是动态的，涉及到神经元之间的相互作用和反馈。

3. 多样性：不同的神经网络会形成不同的整体吸引子，反映了神经网络的多样性和复杂性。

四、一类神经传播型方程的整体吸引子的研究方法研究一类神经传播型方程的整体吸引子，需要采用一系列的研究方法和技术。

其中，主要包括以下几种方法：1. 数学建模：通过建立神经传播型方程的数学模型，描述神经网络的动态特性和行为。

2. 数值模拟：通过数值模拟的方法，对神经传播型方程进行求解和分析，探究整体吸引子的形成过程和性质。

3. 实验验证：通过实验的方法，对神经网络进行实验观测和记录，验证数学模型和数值模拟的结果。

五、一类神经传播型方程的整体吸引子的研究结果通过对一类神经传播型方程的研究，我们可以得到以下结果：1. 整体吸引子的存在性：在一定的参数条件下，神经传播型方程会形成整体吸引子。

非线性光学中薛定谔型方程的整体吸引子本文以《非线性光学中薛定谔型方程的整体吸引子》为研究课题，研究了在非线性光学中薛定谔型方程的整体吸引子，在系统物理研究中发挥着重要作用。

薛定谔型方程是对激光原子及其他复杂光学系统提供分析及推导的基本方程。

整体吸引子会产生振动与放大等物理效应，可以帮助提前发现不稳定状态。

首先，本文介绍了薛定谔型方程中的整体吸引子，它具有稳定的光束参数，即吸引子的参数。

除了此基本参数外，还有激励参数，它描述了激励源对激励结果的影响。

接着，本文提出了一种计算整体吸引子的方法，即“局部线性化薛定谔型方程”，它可以有效地计算薛定谔型方程的参数，用于研究整体吸引子的形式及特性。

其次，本文讨论了整体吸引子对复杂光学系统的作用。

整体吸引子可以有效地控制及诊断复杂光学系统中的激光脉冲，以及研究复杂微结构的物理性质。

它还可以有效计算出复杂激光光场的“发生器-接收器”系统中的吸引子，进而可以研究激光信号的传输特性。

此外，整体吸引子还可以用于研究激光脉冲的放大、定向控制、衰减及椭圆态振动等物理效应，可以更好地理解及调控激光脉冲的特性。

最后，本文还对薛定谔型方程和整体吸引子应用领域的未来研究前景进行了展望。

随着研究及开发技术的进步，薛定谔型方程及整体吸引子将在物理学中发挥更大的作用，不仅可以在理论物理研究，还可以实现更大的技术应用，比如精密工具研究，精确检测及激光光源研究等。

总之，本文以薛定谔型方程中的整体吸引子为研究论题，结合前人研究结果及本文提出的计算整体吸引子方法，讨论了整体吸引子在系统物理及激光物理上的作用，并展望了薛定谔型方程及整体吸引子在未来的研究前景。

本文针对《非线性光学中薛定谔型方程的整体吸引子》这一研究课题，结合前人研究成果，综述了薛定谔型方程中的整体吸引子，提出了一种局部线性化薛定谔型方程的计算方法，讨论了整体吸引子在系统物理及激光物理上的作用，并展望了薛定谔型方程和整体吸引子应用领域的未来研究前景。

带阻尼项Sine-Gordon方程的交替方向法的开题报告一、选题背景Sine-Gordon方程具有广泛的应用，如非线性光学、理论物理、固体物理等领域。

在实际应用中，往往需要考虑带阻尼项的Sine-Gordon方程。

为了研究这种情况下方程的行为，需要使用一些有效的数值方法。

交替方向法是一种有效的求解非线性偏微分方程的数值方法。

在已有的研究中，交替方向法已被广泛应用于求解不同类型的方程，如KdV方程、Burgers方程、NLS方程等。

但是，对于带阻尼项的Sine-Gordon方程，交替方向法的应用仍然比较有限。

二、研究目的和内容本文旨在研究带阻尼项的Sine-Gordon方程的交替方向法求解。

具体内容包括：1.介绍Sine-Gordon方程及其基本性质，并分析带阻尼项对方程的影响。

2.简要介绍交替方向法的基本思想和求解过程。

3.根据交替方向法的思想，设计针对带阻尼项的Sine-Gordon方程的交替方向法求解方法，并详细介绍算法流程。

4.对所设计的求解方法进行数值实验，验证其有效性和精度。

5.总结交替方向法在求解带阻尼项的Sine-Gordon方程中的应用，分析其优缺点及未来发展方向。

三、研究方法本文将采用理论分析和数值实验相结合的方法进行研究。

具体来说，将运用交替方向法、差分格式、稳定性分析等方法进行分析。

四、研究意义带阻尼项的Sine-Gordon方程在实际应用中具有重要的意义。

本研究可以为相关领域的学者提供一个有效的数值求解方法，并为进一步研究该类方程方面提供参考。

五、研究进度规划截至目前，已完成对Sine-Gordon方程及其基本性质的分析。

下一步计划是详细介绍交替方向法的求解过程，并设计针对带阻尼项的Sine-Gordon方程的交替方向法。

随后，将进行数值实验和结果分析，并撰写全文和结论部分。

预计3个月内完成论文的撰写和修改工作。