2015长春十一高第一次联考文科数学

2015-2016学年吉林省长春十一中高一（上）期初数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．函数的值域是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）C．D．R3．设f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则=（）A． B．0 C．D．14．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]=4x+8，则f（x）=（）A．B．﹣2x﹣8 C．2x﹣8 D．或﹣2x﹣85．下列函数中，不是偶函数的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=x2+1 C．D．f（x）=|x|6．已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+1，若f（1）=2，则f （2）=（）A．5 B．7 C．9 D．117．函数的定义域为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣2，2] D．[﹣2，2）8．已知f（x）=ax2+bx+c，（a＞0），若f（﹣1）=f（3），则f（﹣1），f（1），f（4）的大小关系为（）A．f（﹣1）＜f（1）＜f（4） B．f（1）＜f（﹣1）＜f（4） C．f（﹣1）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（﹣1）＜f（1）9．若函数为奇函数，则a=（）A．1 B．2 C．D．10．已知函数，则不等式xf（x）≤0的解集为（）A．[﹣4，0）∪（0，4] B．（﹣4，4）C．[﹣4，4] D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）11．已知函数f（x）=e|x|+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．（﹣，）D．12．已知函数f（x）=x2﹣4x﹣2，则函数f（x）在[1，4]上的最大值和最小值分别是（）A．﹣2，﹣3 B．﹣3，﹣6 C．﹣2，﹣6 D．0，﹣2二、填空题（每小题5分，共20分）13．= ．14．的值域是．15．已知函数f（x）=a x（a＞1），若f（x）在[﹣2，2]的最大值为16，则a= ．16．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0：②对于定义域上任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＜0，则称f（x）为“理想函数“．给出下列四个当中：①f（x）=；②f（x）=x2；③f（x）=x3；④f（x）=，能称为“理想函数”的有（填相应的序号）．三、解答题（解答时要写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17．已知，求下列各式的值：（1）a+a﹣1；（2）a2+a﹣2．18．已知f（x）=，若f（a）=﹣，求a的值．19．已知函数f（x）=（1）求；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求．20．（2015秋•湖北校级期中）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b，（a≠0），x∈[﹣2，2]，若f （x）max=9，f（x）min=﹣9，求实数a，b的值．附加题.21．设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，求a的值．2015-2016学年吉林省长春十一中高一（上）期初数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．函数的值域是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）C．D．R【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】把已知函数解析式变形，得到，由可得函数值域．【解答】解： ===，∵，∴．∴函数的值域是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查函数的值域及其求法，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．3．设f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则=（）A． B．0 C．D．1【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】因为f（）=|﹣1|﹣||=0，再将f（）=0代入f[f（）]即可得到答案．【解答】解：∵f（）=|﹣1|﹣||=0，∴f[f（）]=f（0）=1﹣0=1．故选D．【点评】本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．这里将已知值代入即可得到答案．4．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]=4x+8，则f（x）=（）A．B．﹣2x﹣8 C．2x﹣8 D．或﹣2x﹣8【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】设f（x）=ax+b，a＞0代入f（f（x））=4x+8，得方程组，解出a，b的值即可．【解答】解：设f（x）=ax+b，a＞0∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x+8，∴，∴，∴f（x）=2x+．故选：A．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，本题属于基础题．5．下列函数中，不是偶函数的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=x2+1 C．D．f（x）=|x|【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数、偶函数的定义便可判断每个选项的函数的奇偶性，从而找出正确选项．【解答】解：A．f（x）=x3的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），∴该函数为奇函数，即该选项正确；B．f（x）=x2+1的定义域为R，且f（﹣x）=f（x），∴该函数为偶函数；C.的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=f（x），∴该函数为偶函数；D．f（x）=|x|的定义域为R，且f（﹣x）=f（x），∴该函数为偶函数．故选：A．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及函数奇偶性的判断方法和过程．6．已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+1，若f（1）=2，则f （2）=（）A．5 B．7 C．9 D．11【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由x，y为任意实数，可令x=y=1，代入函数式计算即可得到f（2）的值．【解答】解：由f（x+y）=f（x）+f（y）+1，f（1）=2，可令x=y=1，可得f（2）=2f（1）+1=2×2+1=5，故选A．【点评】本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查运算能力，属于基础题．7．函数的定义域为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣2，2] D．[﹣2，2）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解分式不等式得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，即，解得﹣2＜x≤2．∴函数的定义域为（﹣2，2]．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，是基础题．8．已知f（x）=ax2+bx+c，（a＞0），若f（﹣1）=f（3），则f（﹣1），f（1），f（4）的大小关系为（）A．f（﹣1）＜f（1）＜f（4） B．f（1）＜f（﹣1）＜f（4） C．f（﹣1）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（﹣1）＜f（1）【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出二次函数的对称轴，然后判断f（﹣1），f（1），f（4）的大小．【解答】解：f（x）=ax2+bx+c，（a＞0），若f（﹣1）=f（3），可得二次函数的对称轴为：x=1，二次函数的开口向上，可得f（1）＜f（﹣1）＜f（4）．故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力．9．若函数为奇函数，则a=（）A．1 B．2 C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，可得a=1，再利用奇函数的定义检验，可得答案．【解答】解：∵函数为奇函数，则函数的定义域关于原点对称，则=，解得：a=1，此时=，满足在定义域上f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，故a=1，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．10．已知函数，则不等式xf（x）≤0的解集为（）A．[﹣4，0）∪（0，4] B．（﹣4，4）C．[﹣4，4] D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】先求出函数的定义域，再化简解不等式即可．【解答】解：，不等式xf（x）≤0，函数的定义域为x≠0，∴x（x﹣）=x2﹣16≤0，解得﹣4≤x≤4，且x≠0，∴不等式xf（x）≤0的解集为[﹣4，0）∪（0，4]，故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集的求法，关键是注意函数的定义域，属于基础题．11．已知函数f（x）=e|x|+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．（﹣，）D．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）解析式可以判断f（x）在[0，+∞）上为增函数，在R上为偶函数，从而由f（x）＞f（2x﹣1）便可得到|x|＞|2x﹣1|，两边平方即可解出该不等式，从而得出x 的取值范围．【解答】解：x≥0时，f（x）=e x+x2，∴x增大时e x增大，x2增大，即f（x）增大；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=f（x）；∴f（x）为偶函数；∴由f（x）＞f（2x﹣1）得：f（|x|）＞f（|2x﹣1|）∴|x|＞|2x﹣1|；∴x2＞（2x﹣1）2；解得；∴x的取值范围为．故选：A．【点评】考查指数函数、二次函数的单调性，增函数的定义，偶函数的定义，以及通过两边平方解绝对值不等式的方法．12．已知函数f（x）=x2﹣4x﹣2，则函数f（x）在[1，4]上的最大值和最小值分别是（）A．﹣2，﹣3 B．﹣3，﹣6 C．﹣2，﹣6 D．0，﹣2【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值．【解答】解：∵f（x）=x2﹣4x﹣2（1≤x≤4），∴f（x）=（x﹣2）2﹣6，∴抛物线的对称轴为x=2，当x=2时y有最小值：﹣6，∵1≤x≤4，∴x=4时，f（4）=﹣2是最大值．∴函数的最大值为﹣2，最小值为﹣6．故选：C．【点评】本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．二、填空题（每小题5分，共20分）13．= 6 ．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用根式的运算性质即可得出．【解答】解：原式==2×3=6，故答案为：6．【点评】本题考查了根式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．14．的值域是{﹣2，0，2} ．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】讨论x的取值：x＜﹣2，﹣2＜x＜1，或x＞1，从而可以去掉绝对值号，并可得出y 值，这样便可得出该函数的值域．【解答】解：；∴该函数的值域为{﹣2，0，2}．故答案为：{﹣2，0，2}．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，讨论x取值要全面．15．已知函数f（x）=a x（a＞1），若f（x）在[﹣2，2]的最大值为16，则a= 4 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由指数函数的单调性可得f（x）=a x（a＞1）在[﹣2，2]递增，可得最大值，解方程可得a的值．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞1）在[﹣2，2]递增，即有f（2）取得最大值，且为a2=16，解得a=4．故答案为：4．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意指数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．16．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0：②对于定义域上任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＜0，则称f（x）为“理想函数“．给出下列四个当中：①f（x）=；②f（x）=x2；③f（x）=x3；④f（x）=，能称为“理想函数”的有④（填相应的序号）．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意得理想函数既是奇函数，又是减函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0，②对于定义域上任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＜0，则称f（x）为“理想函数”．∴理想函数既是奇函数，又是减函数．在①中：f（x）=是奇函数，但不是其定义域内的减函数，故①不是“理想函数”；在②中：f（x）=x2是偶函数，且不是其定义域内的减函数，故②不是“理想函数”；在③中：f（x）=x3是奇函数，是其定义域内的增函数，故③不是“理想函数”；在④中：f（x）=是奇函数，又是其定义域内的减函数，故④不是“理想函数”．故答案为：④．【点评】本题考查“理想函数”的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意“理想函数”的性质的合理运用．三、解答题（解答时要写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17．已知，求下列各式的值：（1）a+a﹣1；（2）a2+a﹣2．【考点】有理数指数幂的运算性质．【专题】计算题．【分析】（1）由，知=a+a﹣1+2=9，由此能求出a+a﹣1．（2）由a+a﹣1=7，知（a+a﹣1）2=a2+a﹣2+2=49，由此能求出a2+a﹣2．【解答】解：（1）∵，∴=a+a﹣1+2=9，∴a+a﹣1=7；（2）∵a+a﹣1=7，∴（a+a﹣1）2=a2+a﹣2+2=49，∴a2+a﹣2=47．【点评】本题考查有理数指数幂的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．已知f（x）=，若f（a）=﹣，求a的值．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中f（x）=，分类讨论满足f（a）=﹣的a值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：当|a|≤1，即﹣1≤a≤1时，f（a）=|a﹣1|﹣2=﹣，解得：a=，或a=（舍去），当|a|＞1，即a＜﹣1，或a＞1时，f（a）==﹣，解得：a=，或a=（舍去），解得：a=﹣2，或a=2，综上所述：a=，或a=﹣2，或a=2．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，难度不大，属于基础题．19．已知函数f（x）=（1）求；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据已知中函数f（x）=，将x=代入可得答案；（2）求出f（1﹣x）的表达式，相加可得f（x）+f（1﹣x）=1；（3）根据（2）中结论，可得．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴===；（2）∵f（1﹣x）===，∴f（x）+f（1﹣x）=+=1，（3）由（2）知： =【点评】本题考查的知识点是函数求值，其中得到f（x）+f（1﹣x）=1是解答的关键．20．（2015秋•湖北校级期中）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b，（a≠0），x∈[﹣2，2]，若f （x）max=9，f（x）min=﹣9，求实数a，b的值．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）2+b﹣a，图象关于直线x=1对称，分a大于0和小于0分别可得ab的方程组，解方程组可得．【解答】解：由题意可得f（x）=ax2﹣2ax+b=a（x﹣1）2+b﹣a，函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当a＞0时抛物线开口向上，可得f（x）max=f（﹣2）=8a+b=9，f（x）min=f（1）=b﹣a=﹣9，联立解得a=2且b=﹣7；同理可得当a＜0时抛物线开口向下，可得f（x）min=f（﹣2）=8a+b=﹣9，f（x）max=f（1）=b﹣a=9，联立解得a=﹣2且b=7．【点评】本题考查二次函数区间的最值，涉及分类讨论的思想，属基础题．附加题.21．设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，求a的值．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】设出函数的定义域D=[x1，x2]，由题意可得函数的最值，结合所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，可得关于a，b，c的等式，则答案可求．【解答】解：设定义域D=[x1，x2]，由题意可知，，由已知，∴，而，∴，即a2+4a=0，∵a＜0，∴a=﹣4．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是对题意的理解，属中档题．。

长春市十一高中2015-2016学年度高一上学期期初考试数学试题（文）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}2,1,0,1,2--=A ,集合{()()},021<+-=x x x B 则=⋂B A（ ）A.{}0,1- B.{}1,0 C. {}1,0,1- D.{}2,1,0 2.已知函数()242--=x x x f .则函数错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。

上的最大值和最小值分别为 （ ）A. B. C.5,2- D.3.函数()xxxf 2543-+-=的值域是 （ ）A.()()+∞⋃∞-,22,.B.()()+∞-⋃-∞-,22,C.⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2525,D.R 4.函数()x x xf --=1.则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f = （ ）A.21 B.0 C.21- D.1 5.已知()x f 是一次函数，且一次项系数为正数，若()[]84+=x xf f ，则()=x f（ ） A.382+x B.82--x C.82-x D.382+x 或82--x 6.下列函数中，不是偶函数的是 （ ） A.()3x x f =B.()12+=x x fC.()21x x f = D.()x x f =7.已知函数()x f 对任意实数y x ,,均有()()()1++=+y f x f y x f ，若()21=f ，则()=2f （ ）A.5B.7C.9D.118.函数()22+-=x xx f的定义域为 （ ）A.()2,2- B.[]2,2- C.](2,2- D.)[2,2- 9.已知())0(,2>++=a c bx ax x f ，若()()31f f =-，则()()()4,1,1f f f -的大小关系为 （ ）A.()()()411f f f <<-B.()()()411f f f <-< C.()()()141f f f <<- D.()()()114f f f <-< 10.若函数()()()a x x xx f -+=212为奇函数，则=a ( )A.1B.2C.21D.21-11.已知函数()xx x f 16-=，则不等式()0≤x xf 的解集为 （ ） A. )[](4,00,4⋃- B. ()4,4- C. []4,4- D. ()()+∞⋃∞-,44, 12已知函数(),2x e x f x+=则使得()()12->x f xf 成立的x 的取值范围是（ ）A.⎪⎭⎫⎝⎛1,31 B. ()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,131, C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,31 D. ⎪⎭⎫⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，3131, 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．=⨯⨯633332 14.2211+++--=x x x x y 的值域是 15.已知函数()),1(.>=a a x f x，若()x f 在[]2,2-的最大值为16,则a= ,16．函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0=-+x f x f ；②对于定义域上的任意21,x x .当21x x ≠,恒有()()02121<--x x x f x f .则称函数()x f 为“理想函数”，则下列三个函数中：（1）()x x f 1=， （2）()2x x f =，(3)()⎩⎨⎧<≥-=0022x x x x x f .称为“理想函数”的有 (填序号)三、解答题（解答时要写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤） 17.（10分）已知32121=+-a a .求下列各式的值（1）a a 1+（2）22-+a a18.（10分）已知()()()⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤--=11212122x x x x x x f ，若()56-=a f ，求a 的值19．（10分）已知函数()xxx f 424+= （1）求⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ；（2）求()x f x f -+1)(的值； （3）求.109108103102101的值⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f f f f Λ20.(10分)已知函数()[]2,2),0(,22-∈≠+-=x a b ax ax x f若()()9,9min max-==x f x f ，求实数b a ,的值.附加题. （满分10分，得分计入总分）设函数)0(ax )(2<++=a c bx x f 的定义域为D ，若所有点D)t f(t))(s,(s,∈构成一个正方形区域，求a 的值.长春市十一高中2015-2016学年度高一上学期期初考试答案（文数） 一、选择题二、填空题13.614.15. 4 16.（3） 三、解答题17.（1）由两边平方得，所以…(5分)（2）由（1）知，两边平方得----(10分)18.由题(I)…（3分）或(II)…（3分）解（I）得…（7分）解（II）得----9分故或（10分）19.（1）…(2分)（2） = ==…(8分)(3)由（2）知（10分）20.函数图象的对称轴为当时解得…（5分）当a<0时，解得…(9分)或…（10分）附加题.设定义域，易知由已知…（5分），…（10分）。

长春市十一高中2015-2016学年度高一上学期期中考试数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分为120分．答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．)310sin(π-的值等于 ( ) A ．－ 21B ．21C ．－23D ．23 2．020215cos )15tan 1(+的值等于 （ ）AB ．1C ．－21D ．12 3. 0000150sin 15sin 30cos 75sin -的值等于 ( )A ．1B ．21 C ．22 D.23 4．在直角坐标系中，一动点从点），01(A 出发,沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动23π弧长，到达点B ,则点B 的坐标为 ( ) A．12⎛- ⎝⎭ B．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．1,2⎛- ⎝⎭ D．12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 5. 若4cos()5πα-=，且α是第二象限角，则sin α的值为 （ ） A ．35-B ．35C ．15D ．15-6. 已知θθθθcos sin 1cos sin 1-+++＝21，则tan θ ＝（ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 7．已知α是第三象限角，且cos cos 22αα=-，则2α是 （ ） 体验 探究 合作 展示A .第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．下列各组函数中，是相等函数的一组是 （ ）A . )23sin(π-=x y ， x y cos = B ．x y sin =， x x y cos tan ⋅= C ．)ln(12x y -=， x y ln 21-= D ．22x y +=， 332x y +=9．下列不等式正确的是 （ ）A . 3log 4log 43>B ．7.08.03.03.0>C ． 11-->e πD ． )1,0(23≠>>a a a a 且10．若函数的()2223--+=x x x x f 一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程0223=--+x x x 的一个近似根(精确度0.1)为 ( )A.1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.511．函数()⎩⎨⎧≤+>+-=)0(12)0(2ln 2x x x x x x x f ，， 的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．已知32sin sin -=-y x ，32cos cos =-y x ，且y x ，为锐角，则=-)tan(y x ( ) A. 2145 B ．－2145 C ．± 2145 D ．± 51428第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分.13．求值=++++6tan 433sin cos 4tan 23sin 6cos 3tan 2sin 22ππππππππ. 14．不等式221250.30.3x x x x ++-+>的解集为 . 15．若f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则实数a ＝________.16．已知=-≠=+<<)32tan()0()3cos(326αππαπαπ，则，m m 三、解答题：本大题共4小题, 共40分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分） （Ⅰ）计算：161log 81008.0122131++； （Ⅱ）解方程：l g l g 3100x x ⋅=．18.（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，点)32,21(P 在角α的终边上，点)1,31(-Q 在角β的终边上，点)32cos ,32(sin ππM 在角γ终边上． （Ⅰ）求αsin ，βcos ，γtan 的值；（Ⅱ）求)sin(βα+的值．19．（本小题满分10分）在ABC ∆中，2tan 54cos ==B A ，，求)22tan(B A +的值。

2015-2016学年吉林省东北师大附中、长春十一高、松原实验中学三校联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U={x∈N|x≤8}，集合A={1，3，7}，B={2，3，8}，则（∁U A）∩（∁B）=（）UA．{1，2，7，8}B．{4，5，6}C．{0，4，5，6}D．{0，3，4，5，6}2．（5分）已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．（5分）若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或 B．或C．D．或104．（5分）函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx ﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．5．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π6．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2．则肯定进入夏季的地区有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．37．（5分）已知条件p：，条件q＜0：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π9．（5分）若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤810．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（0，2）11．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT|B．b﹣a＞|MO|﹣|MT|C．b﹣a＜|MO|﹣|MT|D．b﹣a=|MO|+|MT|12．（5分）已知函数定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）②函数有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确的命题是（）A．①③B．②③C．③④D．②④二、填空题13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．14．（5分）已知0＜θ＜π，tan（θ+）=，那么sinθ+cosθ=．15．（5分）若x，y满足条件，目标函数z=﹣3x+2y的最小值为．16．（5分）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知（Ⅰ）求证：2（a+c）=3b；（Ⅱ）若，，求b．18．（12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD 组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．19．（12分）甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：（Ⅰ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅱ）现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．20．（12分）椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．（Ⅰ）求椭圆C1与C2的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB 分别与椭圆C1交于点E，F．（1）求证：直线PA，PB斜率之积为常数；（2）直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当，x∈（1，+∞）时，求证：．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4--1几何证明选讲]22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．[选修4--4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4--5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年吉林省东北师大附中、长春十一高、松原实验中学三校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U={x∈N|x≤8}，集合A={1，3，7}，B={2，3，8}，则（∁U A）∩（∁B）=（）UA．{1，2，7，8}B．{4，5，6}C．{0，4，5，6}D．{0，3，4，5，6}【解答】解：全集U={x∈N|x≤8}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，3，7}，∴∁U A={0，2，4，5，6，8}；B={2，3，8}，∴∁U B={0，1，4，5，6，7}；∴（∁U A）∩（∁U B）={0，4，5，6}．2．（5分）已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【解答】解：∵复数z1=1+i，z2=1﹣i，∴====﹣2i．故选：D．3．（5分）若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或 B．或C．D．或10【解答】解：∵实数数列：1，a，81成等比数列，∴a2=81，解得a=9或a=﹣9，当a=9时，曲线方程为x2+=1表示焦点在y轴的椭圆，其中a=3，c==2，故离心率e==；当a=﹣9时，曲线方程为x2﹣=1表示焦点在x轴的双曲线，其中a=1，c==，故离心率e==；故选：A．4．（5分）函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx ﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．【解答】解：当x﹣1=0即x=1时，a x﹣1﹣2恒等于﹣1，故函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），由点A在直线mx﹣ny﹣1=0上可得m+n=1，由m＞0，n＞0可得=（）（m+n）=3++≥3+2=3+2当且仅当=即m=﹣1且n=2﹣时取等，故选：D．5．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与正方体的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，正方体的边长为2，∴几何体的表面积S=2×2×5+π×12+π×1×2=20+3π．故选B．6．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2．则肯定进入夏季的地区有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3【解答】解：甲地肯定进入夏季，因为众数为22°C，所以22°C至少出现两次，若有一天低于22°C，则中位数不可能为24°C；丙地肯定进入，10.2×5﹣（32﹣26）2≥（26﹣x）2，∴15≥（26﹣x）2，若x≤21，不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29．故选：C．7．（5分）已知条件p：，条件q＜0：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，可得直线y=kx+2为x+y﹣2=0，圆心（0，0）到直线的距离d==1=r，故可得直线与圆x2+y2=1相切，即p可推出q；当直线与圆x2+y2=1相切时，=1，解得k=±，不是k=﹣，即q不能推出p，故p是q的充分不必要条件．故选：A8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．9．（5分）若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=2+22+23+…+2n=126时S的值∵2+22+23+…+26=126故最后一次进行循环时n的值为6，故判断框中的条件应为n≤6故选B10．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（0，2）【解答】解：f′（x）==由图知m﹣2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，又＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2，故选C11．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT|B．b﹣a＞|MO|﹣|MT|C．b﹣a＜|MO|﹣|MT|D．b﹣a=|MO|+|MT|【解答】解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．12．（5分）已知函数定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）②函数有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确的命题是（）A．①③B．②③C．③④D．②④【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴该命题错误；②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3个零点；∴该命题错误；③（1）x＜0时，f（x）=e x（x+1）；∴﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；（2）x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴x＞1时，f（x）＞0；∴f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；∴该命题正确；④（1）x＜0时，f′（x）=e x（x+2）；∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；（2）x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；∴该命题正确；∴正确的命题为③④．故选：C．二、填空题13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为90°．【解答】解：因为||=1，||=，（+）⊥（2﹣），所以（+）•（2﹣）=2+﹣=0，则2+﹣2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90°，故答案为：90°．14．（5分）已知0＜θ＜π，tan（θ+）=，那么sinθ+cosθ=﹣．【解答】解：∵0＜θ＜π，=，∴tanθ=﹣=，再根据sinθ＞0，cosθ＜0，sin2θ+cos2θ=1，可得sinθ=，cosθ=﹣，∴sinθ+cosθ=﹣，故答案为：．15．（5分）若x，y满足条件，目标函数z=﹣3x+2y的最小值为﹣1．【解答】解：作出条件所对应的可行域（如图△ABC），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，解方程组可解得A（1，1）此时目标函数z取最小值z=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣116．（5分）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序是②④．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知（Ⅰ）求证：2（a+c）=3b；（Ⅱ）若，，求b．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由条件：，由于：acosC+ccosA=b，所以：，即：2（a+c）=3b…．（5分）（Ⅱ）∵，∴，…．（6分）∵，∴ac=8…．（8分）又∵b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB），由2（a+c）=3b，∴，∴b=4…．（12分）18．（12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD 组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）（Ⅱ）P到平面ABCD的距离d=1所以：而：，所以h=2…．（12分）19．（12分）甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：（Ⅰ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅱ）现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：（82，95）（82，75）（82，80）（82，90）（82，85）（82，95）（82，75）（82，80）（82，90）（82，85）（79，95）（79，75）（79，80）（79，90）（79，85）（95，95）（95，75）（95，80）（95，90）（95，85）（87，95）（87，75）（87，80）（87，90）（87，85）基本事件总数n=25，记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：（82，75）（82，80）（82，75）（82，80）（79，75）（95，75）（95，80）（95，90）（95，85）（87，75）（87，80）（87，85）事件A包含的基本事件数是m=12，所以，（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：=85，=85，甲乙平均分相同；又甲的标准差的平方（即方差）S甲2=31.6，乙的标准差的平方（即方差）S乙2=50，S甲2＞S乙2，甲乙平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，∴派甲去比较合适．20．（12分）椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．（Ⅰ）求椭圆C1与C2的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB 分别与椭圆C1交于点E，F．（1）求证：直线PA，PB斜率之积为常数；（2）直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．∴依题意，设C1：，C2：，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积，解得：b2=1，所以椭圆C1：，C2：…．（4分）证明：（Ⅱ）（1）设P（x0，y0），则，，，，…．（6分）∴，直线PA，PB斜率之积为常数﹣2…．（8分）解：（2）设E（x1，y1），则，，，∴，同理：…．（10分）∴，由k EA=k PA，k FB=k PB，结合（1）有…．（10分）21．（12分）设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当，x∈（1，+∞）时，求证：．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），当时，，…（3分）令f′（x）＞0，得：或，所以函数单调增区间为：，，令f′（x）＜0，得：，所以函数单调减区间为：，…（5分）（Ⅱ）若证，成立，只需证：，即：2（x﹣1）lnx+1＞2（x﹣1）当x＞1时成立…（6分）设g（x）=2（x﹣1）lnx﹣2（x﹣1）+1（x＞1），∴，显然g′（x）在（1，+∞）内是增函数，且g′（1）=﹣2＜0，，∴g′（x）=0在（1，2）内有唯一零点x0，使得：，且当x∈（1，x0），g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞），g′（x）＞0．∴g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增…（10分），g（x）min=g（x0）=2（x0﹣1）（lnx0﹣1）+1==，∵x0∈（1，2），∴，∴g（x）min＞0，∴成立…（12分）请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4--1几何证明选讲]22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．[选修4--4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4--5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥2|x+5|⇒|x﹣1|≥|x+5|⇔（2x+4）（x﹣1﹣x﹣5）≥0，解得：x≤﹣2，∴原不等式解集为{x|x≤﹣2}；（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+|x+5|≥|x﹣a﹣（x+5）|=|a+5|，若f（x）≥8恒成立，只需：|a+5|≥8，解得：a≥3或a≤﹣13．。

长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学试题卷(文科)【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）【题文】1. 已知集合{1,2,4}A =，{1,}B x =，若B A ⊆，则x = A. 1 B. 2 C. 2或4 D. 1或2或4【知识点】子集的概念；元素的互异性.A1【答案解析】C 解析：由题可得2x =或4x =才能满足集合的互异性. 故选C. 【思路点拨】利用集合的互异性即可.【题文】2. 如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则12z z = A. 1233i - B. 1233i -+C. 1255i -D. 1255i -+【知识点】复数的除法运算.L4【答案解析】D 解析：由图可知：1z i =，22z i =-，则1212255z i i z i ==-+-. 故选D. 【思路点拨】由图得到复数1z 和2z求值．【题文】3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A. 3y x =B. ln()y x =-C. xy xe -= D.2y x x=+【知识点】函数奇偶性；函数单调性与函数极值. B4 B3 B12【答案解析】D 解析：由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．【题文】4. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n，||-=m n ⋅=m nA. B. 1- C. 2-D. 4-【知识点】向量的运算；向量的几何意义.F3【答案解析】C解析：由||-=m n 222||217-=+-⋅=m n m n m n 可知，2⋅=-m n . 故选C.【思路点拨】先把已知条件||-=m n . 【题文】5. 已知4sin cos 5αα+=，则sin 2α=A. 1225-B. 925-C. 925D.1225【知识点】同角基本关系;二倍角公式. C2 C6 【答案解析】B 解析：将4sin cos 5αα+=两边平方得，1612sin cos 1sin 225ααα=+=+，可得9sin 225α=-，故选B. 【思路点拨】将已知条件两边平方即可得到结果.【题文】6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的体积为A.323πB. 8πC. 163πD.83π 【知识点】三视图；几何体体积. G2 G8【答案解析】D 解析：由题意知：该几何体体积=半球体积-圆锥体积=314182422333πππ⋅⋅-⋅⋅=，故选D. 【思路点拨】由题意知：该几何体体积=半球体积-圆锥体积，然后利用公式可求得结果. 【题文】7. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d = A. 2- B. 2 C. 4-D. 4【知识点】数列基本量的求法. D2【答案解析】B 解析：由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=， 作差可得816d =，即2d =. 故选B.【思路点拨】由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=，作差可得结果.【题文】8. 若2xa =，12log b x =，则“a b >”是“1x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【知识点】初等函数的图像；充要条件.B6 B7 A2【答案解析】B 解析：如下图可知，“1x >”⇒“a b >”，而 “a b >”/⇒ “1x >”，因此“a b >”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B.正视图侧视图俯视图【思路点拨】结合图形进行双向判断即可.【题文】9. 某圆的圆心在直线2y x =上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为 A. 22(2)(4)20x y -+-= B. 22(4)(2)20x y -+-=C. 22(2)(4)20x y -+-=或22(2)(4)20x y +++=D. 22(4)(2)20x y -+-=或22(4)(2)20x y +++= 【知识点】圆的标准方程；弦长. H3 H4【答案解析】C 解析：由题意可设圆心为(,2)a a ，半径为R ，则有2224416R a a =+=+或2221644R a a =+=+，解得2a =±，故选C.【思路点拨】由题意可设圆心为(,2)a a ，半径为R ，然后列出等式求解即可. 【题文】10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17 【知识点】程序框图. L1【答案解析】C 解析：由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.【思路点拨】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【题文】11. 函数ln ||()x f x x=的图像可能是 OyxxOyOyxxOyA B C 【知识点】绝对值函数；函数的值域、奇偶性和单调性. B4 B3【答案解析】A 解析：由条件可知，该函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且ln ||ln ||()()x x f x f x x x--==-=--，所以该函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B 、C ，当01x <<时，ln 0x <，从而排除D. 故选A.【思路点拨】先根据已知判断函数的奇偶性，排除B 、C ，再利用当01x <<时，ln 0x <，从而排除D 即可.【题文】12. 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A、B 两点，O 是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]-【知识点】抛物线的几何性质；直线与抛物线的位置关系. H7 H8【答案解析】D 解析：由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时B y ≤≤，故直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D.【思路点拨】由题可知，点B 的横坐标，结合已知条件，此时B y 的范围，即可求出直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).【题文】13. 若实数,x y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最小值为___________.【知识点】线性规划.E5【答案解析】1 解析：由题可知，可行域如右图，目标函数2z x y =+的几何意义为过区域内点的直线2y x z =-+的截距大小，故z 的最小值是1.【思路点拨】由题可知画出可行域，再结合目标函数2z x y =+的几何意义即可.【题文】14. 某渔民在鱼塘中随机打捞出60条大鱼，对它们做了标记后放回鱼塘，在几天后的又一次随机捕捞中打捞出80条大鱼，且其中包含标记后的大鱼5条，则鱼塘中大鱼的数量的估计值为___________. 【知识点】用样本估计总体. I2【答案解析】960 解析：设鱼塘中大鱼数量的估计值为M ，有56080M=，从而估算出M =960. 【思路点拨】设鱼塘中大鱼数量的估计值为M ，然后列出方程计算即可. 【题文】15. 若函数()sin()cos()f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<为偶函数，则ϕ=__________.【知识点】三角函数奇偶性；两角和差公式；诱导公式. C3 C5 C2 【答案解析】4π解析：由题意可知())(||)42f x x ππϕϕ++<为偶函数，所以()42k k Z ππϕπ+=+∈，根据||2πϕ<，有4πϕ=【思路点拨】先根据已知条件判断出函数为偶函数，再利用ϕ的范围求之.【题文】16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为a 的正三棱柱外接球的表面积为__________. 【知识点】几何体表面积. G8【答案解析】273a π，圆心到底面的距离为2a ，从而其外接圆的半径22227()212a R a =+=，则该球的表面积22743S R a ππ==. 【思路点拨】先根据已知条件求出外接圆的半径，再代入球的表面积公式即可求得结果. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.【题文】17.（本小题满分10分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，且24a =，3424a a +=. (1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n n a b 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【知识点】等比数列通项公式；等比数列前n 项和公式. D3【答案解析】(1) 2n n a = (2) 1(1)222n n n +++- 解析：(1) 设等比数列的公比为q ，有12311424a q a q a q =⎧⎨+=⎩，解得12,2a q ==，所以2n n a =；（5分）(2) 由(1)知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n +=+，从而21(1)(222)(12)222n n n n n T n ++=+++++++=+-. （10分）【思路点拨】(1)先把已知条件联立可解得12,2a q ==，然后再利用等比数列通项公式求之即可； (2) 先由(1)求出2n n n a b n +=+，再分别求等差等比数列的和然后相加化简即可. 【题文】18.（本小题满分12分）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ；(2) 若△ABC 的面积S =4=+c a ，求b 的值. 【知识点】正弦定理与余弦定理；三角形面积. C8 【答案解析】(1) 3B π=(2) 2b =解析：(1) 根据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =- 即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+- 整理得2sin cos sin CB C =，即1cos 2B =，3B π=. （6分）(2) 由面积1sin 2S ac B ==4ac =，而4a c +=， 所以2a c ==，由3B π=可得△ABC 为等边三角形，所以2b =.（12分）【思路点拨】(1) 先利用正弦定理把边转化为角，再利用三角形的内角和进行转化化简即可.(2) 由面积公式得到4ac =，与4a c +=联立可得结果.【题文】19.（本小题满分12分）每年5月17日为国际电信日，某市电50信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.【知识点】古典概型；随机抽样. K2 I1 【答案解析】(1)56 (2) 415解析：(1) 设事件A =“某人获得优惠金额不低于300元”,则1501005()501501006P A +==++(6分)(2) 设事件B =“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为112312,,,,,a b b b c c ，从中选出两人的所有基本事件如下：11a b ， 12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个，其中使得事件B 成立的为12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个，则4()15P B =. （12分）【思路点拨】(1) 直接利用概率公式即可； (2) 设事件B =“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为112312,,,,,a b b b c c ，然后列举出所有基本事件，再找出使得事件B 成立事件，利用概率公式即可.【题文】20.（本小题满分12分）如图所示几何体是正方体1111ABCD A BC D -截去三棱锥111B A BC -后所得，点M 为11AC 的中点.(1) 求证：11AC ⊥平面MBD ； (2)11D A BC -的体积. 【知识点】空间直线与平面的垂直关系；几何体体积.B4 C3 D1【答案解析】(1) 见解析(2)解析：(1) 证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得，11111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC A M C M DM BM M ⎫=⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎪⎭⎪⎪⎪ =⎭平面 ； （6分） (2)由题意知BD =M 到BD则△MBD的面积为12MBD S ∆==，由(1)知11AC ⊥平面MBD所以11111133D A BC MBD V S A C -∆=⋅= （12分）【思路点拨】(1) 直接利用线面垂直的判定死定理即可； (2)由题意知BD M 到BDMBD 的面积，然后代入体MAC 1DBCD 1A1积公式.【题文】21.（本小题满分12分）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=. (1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求12S S 的取值范围. 【知识点】椭圆的离心率；直线和椭圆的综合应用. H5 H8 【答案解析】(1)12 (2) 12S S >9 解析：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=， 即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==. （4分）(2) 由(1)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）22243(,)4343ck ck G k k -++.因为DG AB ⊥，所以223431443D ck k k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （12分）【思路点拨】(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得224a c =后即可求出离心率； (2) 先求出椭圆的方程，然后设直线AB 的方程，再联立转化为关于x 的方程，由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似可得12S S 的表达式，最后求出范围即可. 【题文】22.（本小题满分12分）已知函数2()1xe f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；(2) 当a 取正实数时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当4a =-时，直接写出函数()f x 的所有减区间.【知识点】函数与导数；导数的运算，函数的单调性、极值；函数与不等式. B3 B11 B12【答案解析】(1) 95a = (2) ()f x 的单调递增区间为(,a a--∞，)+∞，单调减区间为；(3) ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,12-，(1)++∞解析：(1)解：222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ （2分）因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+， 令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得12x x ==. 所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是单调减区间为()a a a a；当01a <≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞. （9分）(3) 当4a =-时， ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,1)22--，(1)2++∞（12分）【思路点拨】(1) 求出导数，由条件得1()03f '=，解出a ，并检验是否为极值即可； (2) 求出导数，令()0f x '=，讨论a ＞1时的两根．并求出极值，讨论它们的符号，再讨论当0＜a ≤1时，f （x ）的单调性，即可得到a 的取值范围． (3) 直接写出函数()f x 的所有减区间即可.。

长春市十一高中2014-2015学年度高一上学期期初考试数 学 试 题一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 集合*12x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭|中含有的元素个数为( ) A ．4 B.6 C.8 D.122．设集合{}260A x x x =+-≤，集合B为函数y =B ⋂A ( ） A ．()1,2 B ．[]1,2 C ．[)1,2 D ．(]1,2 3．设全集U=R ，A={x|x(x-2)<0}，B={x|y=ln(1-x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x|0<x ≤1}B ．{x|1≤x<2}C ．{x|x ≥1}D ．{x|x ≤1} 4．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=132|,430|x x N x x M ，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合N M U 的“长度”是（ ） A ．1 B ．C ．D ．5．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）A.x x f lg )(=B.()3f x x = C.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()3xf x =6．函数f(x)＝222x x--是( )A.偶函数，在(0，＋∞)是增函数B.奇函数，在(0，＋∞)是增函数C.偶函数，在(0，＋∞)是减函数D.奇函数，在(0，＋∞)是减函数7．已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为（ ） 体验 探究 合作 展示A ．81 B ．4 C ．2 D ．41 8．已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是( )9. 设函数f （x ）＝122,11log ,1x x x x -⎧≤⎨->⎩，则满足()2≤x f 的x 的取值范围是（ ）A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞）D ．[0，＋∞）10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，)3(log 2f b =，()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c << 11．设函数f(x)=若f(x)的值域为R,则常数a 的取值范围是( )A.(-∞,-1]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.(-∞,-2]∪[1,+∞)D.[-2,1] 12．若函数y=log a （x 2﹣ax+1）有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜2，a ≠1 C ．1＜a ＜2 D ．a ≥2 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．已知a＝2，函数f(x)＝a x，若实数m ，n 满足f(m)>f(n)，则m ，n 的大小关系为________． 14．若函数))(12()(a x x xx f ++=的图像关于原点对称，则=a .15．函数212()log (231)f x x x =-+的增区间是____________．16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()32log 5f -+＝ . 三．解答题：（本大题共4小题，共44分）17．( 本小题满分10分)已知1{|39}3x A x =<<，2{log 0}B x x =>. （1）求B ⋂A 和A B ；（2）定义{A B x x A -=∈且}x B ∉，求A B -和B A -. 18．( 本小题满分10分)已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[1,1]-上的最值． 19．( 本小题满分12分)已知0>a 且1≠a ，函数()()1log -=x x f a ，()()x x g a-=3log 1（1）若()()()x g x f x h -=，求函数()x h 的值域；（2）利用对数函数单调性讨论不等式()()0≥+x g x f 中x 的取值范围. 20．（本小题满分12分）已知函数[]1,1,31)(-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f x，函数[]3)(2)()(2+-=x af x f x g 的最小值为)(a h .（1） 求)(a h ；（2） 是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①;3>>n m②当)(a h 的定义域为[]m n ,时，值域为[]22,m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.2014—2015学年高一上学期初考试数学参考答案一、BDBAD BABDC AC二、13、m<n 14、21-15、⎪⎭⎫ ⎝⎛∞21- 16、95- 三、17、解：（1）A {12}x x =-<<，B {1}x x =>，B ⋂A =（1,2）， (1,)A B =-+∞．（2）(]1,1A B -=-， [)2,B A -=+∞． 18、解：设2()f x ax bx c =++,(0)a ≠则22f x 1f x (x 1(x 1c ax bx c a b +-=++++-++（）（）））（）2ax a b =++ ∴由题 c=1 ，2ax+a+b=2x 恒成立∴ 2a=2 ，a+b=0， c=1 得 a=1 b=-1 c=1 ∴2f x x x 1=-+（）（2）2213f x x x 1x 24⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭（） 在1[1]2-，单调递减，在1[1]2，单调递增 ∴f(x)min=f(12)=34，f （x ）max=f （-1）=3． 19、解：（1）()()()()()x x x x x h a aa --=---=31log 3log 1log 1由⎩⎨⎧>->-0301x x 得31<<x ，所以函数()x h 的定义域为()3,1令()()x x t --=31 而()3,1∈x 所以(]1,0∈t 当10<<a 时,0log ≥t a 即()0≥x h 当1>a 时,0log ≤t a 即()0≤x h所以当10<<a 时，函数()x h 的值域为[)+∞,0；当1>a 时，函数()x h 的值域为(]0,∞-（2） 由()()0≥+x g x f 得()()x g x f -≥即()()x x a a -≥-3log 1log ①当10<<a 时要使不等式①成立则⎪⎩⎪⎨⎧-≤->->-x x x x 310301即21≤<x当时要使不等式①成立则⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-x x x x 310301即32<≤x综上所述当10<<a 时不等式()()0≥+x g x f 中x 的取值范围为(]2,1； 当1>a 时不等式()()0≥+x g x f 中x 的取值范围为[2,3).20、解：(1)因为[]1,1-∈x ，所以,3,3131x⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=3,31,)31(t t x，则2223)(32)(a a t at t x -+-=+-=ϕ当31<a 时，32928)31()(min aa h y -===ϕ当331≤≤a 时，2min 3)()(a a a h y -===ϕ 当 3>a 时，a a h y 6-12)3()(min ===ϕ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<-=∴)3(612)331(3)31(32928)(2a a a a a aa h（2）假设满足题意的m ，n 存在， 因为;3>>n m a a h 612)(-=∴在),3(+∞上是减函数。

长春市十一高中2015-2016学年度高二上学期期初考试数 学 试 题（文 科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．若直线1=x 的倾斜角为α，则α为（ ） A.0 B.4π C.2πD.不存在2.已知0,0<>bc ab ，则直线0ax by c ++=通过（ ）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限3．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)4.从点)3,(x P 向圆1)2()2(22=+++y x 引切线,切线长的最小值为( ) A.4 B.62 C.5 D.5.55．已知直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于 A． B． C．16．若062:,0)2()1(:21=++=-+++y mx l m y m x l 的图象是两条平行直线，则m 的值是（ ）A ．m ＝1或m ＝－2B ．m ＝1C ．m ＝－2D ．m 的值不存在7.一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为A ．53-或35-B ．32-或32-C ．54-或45-D ．43-或34-8.直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-=9.在坐标平面上,不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示平面区域的面积为( ) 体验 探究 合作 展示A.2B.23 C.223 D.2 10．已知圆的方程为,08622=--+y x y x 设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD 的面积为( )A.610B.620C.630D.640 11.已知点)2,1(-和)0,33(在直线()001:≠=--a y ax l 的两侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛65,32ππ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,433,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,3ππ12．已知直线l ：50x ky --=与圆O :2210x y +=交于A 、B 两点且0=⋅→→OB OA ，则k =( )A B ．．2± D ．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．圆122=+y x 上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是____________． 14．过点(1,2)A ，且与直线230x y -+=垂直的直线方程为________________．15．若直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则b a 21+的最小值为_______.16．已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=a _____．三．解答题：（本大题共6小题，共70分）17．( 本小题满分10分)已知ABC △的顶点()()()4,1,0,1,23-C B A ，，求： （1）AB 边上的高所在直线的方程；（2）AC 边上的中线所在直线的方程；（3）ABC △外接圆的标准方程.18．( 本小题满分12分)求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

吉林省长春十一中2015届高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）【试卷综评】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。

在考查学生基础知识的同时，考查学生的能力。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设x ∈Z ，集合A 为偶数集，若命题:,2,p x x A ∀∈∈Z 则p ⌝为（ ）A. ,2x Z x A ∀∈∉B. ,2x Z x A ∀∉∈C. ,2x Z x A ∃∈∈D. ,2x Z x A ∃∈∉ 【知识点】全称命题；命题的否定．A2【答案解析】D 解析：全称命题的否定是特称命题，∴p ⌝：,2x Z x A ∃∈∉．故选：D ． 【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【题文】2．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,A B C x x b a a A b B ====-∈∈，则C 中元素的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D.6 【知识点】集合中元素个数的最值．A1【答案解析】B 解析：{}{}1,2,3,4,5,A B ==∵a ∈A ，b ∈B ，∴a=1，或a=2或a=3， b=4或b=5，则x=b ﹣a=3，2，1，4，即B={3，2，1，4}．故选：B ． 【思路点拨】根据集合C 的元素关系确定集合C 即可．【题文】3．常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】B 解析：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B ．【思路点拨】根据逆否命题的等价性和充分条件必要条件的定义进行判断． 【题文】4.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( )A ．3x y = BC ．21y x =-+ D【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合．B3B4【答案解析】B 解析：A ．3xy =在（0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立． Bx ＞0，为增函数，满足条件． C ．21y x =-+为偶函数，当x ＞0时，函数为减函数，不满足条件． D0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立． 故选：B ．【思路点拨】根据偶函数和单调性的定义分别进行判断即可．【题文】5．已知0,a >且1a ≠，函数log ,,x a y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是【知识点】函数的图象与图象变化；函数图象的作法．B8【答案解析】C 解析：∵函数xy a =与log a y x =互为反函数，∴它们的图象关于直线y x =对称．再由函数x y a =的图象过（0，1），log a y x =的图象过（1，0），观察图象知，只有C 正确．故选C ．【思路点拨】根据函数xy a =与log a y x =互为反函数，，得到它们的图象关于直线直线y x =对称，从而对选项进行判断即得．【题文】6.则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-【知识点】二次函数的性质．B5 【答案解析】Dx ﹣1）（x+3）﹣2×（﹣x ）=x 2+4x ﹣3=（x+2）2﹣7，∴f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），∴(,)m -∞⊆（﹣∞，﹣2），即m ≤﹣2， ∴实数m 的取值范围是m ≤﹣2．故选D ．【思路点拨】先根据新定义化简函数解析式，然后求出该函数的单调减区间，然后使得(,)m -∞是减区间的子集，从而可求出m 的取值范围．【题文】7 ）A D【答案解析】D f ′（x ）=﹣×cosx+，∴f ′（）=﹣×cos +=﹣，∵f （π）==﹣，﹣﹣=﹣，故选D ；【思路点拨】对()f x 进行求导，再将代入()f x ¢，进行求解，【题文】8.a ，b ，c 大小关系为（ ）A.a b c >>B.b c a >>C.c a a >>D.a c b >>【知识点】对数值大小的比较．B7【答案解析】A 1，log 3b p =∈（0，1）；0，所以a ＞b ＞c ；故选A ． 【思路点拨】利用指数与对数的运算性质，确定a ，b ，c 的值的范围，然后推出结果． 【题文】9．二次函数a bx x x f +-=2)(的部分图象如右图，则函数)()(x f e x g x '+=的零点所在的区间是（ ）A.)0,1(-B. ()1,2C. )1,0(D. )3,2( 【知识点】导数的运算；二次函数的性质；函数零点的判定定理．B5 B9 B11【答案解析】C 解析：由图象可知，0＜f （0）=a ＜1①，f （1）=0，即1﹣b+a=0②，由①②可得1＜b ＜2，g （x ）=e x+2x ﹣b ，且g （0）=1﹣b ＜0，g （1）=e+2﹣b ＞0， 又g （x ）的图象连续不断，所以g （x ）在（0，1）上必存在零点，故选C ．【思路点拨】由图象可知，0＜f （0）=a ＜1，f （1）=0，从而可得b 的范围，然后根据零点判定定理可得结论．【题文】 10.已知函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()60,1f x f x y f x ++==-的图像关于()1,0对称，且()24,f =则()2014f =（ ） A.0 B.4- C.8- D.16-【知识点】抽象函数及其应用．B10【答案解析】B 解析：()()60f x f x ++=，即f （x+6）=﹣f （x ）， 则f （x+12）=﹣f （x+6）=f （x ），则f （x ）为周期为12的函数，由于()1y f x =-的图象关于（1，0）对称，则y=f （x ）的图象关于（0，0）对称， 即有f （﹣x ）=﹣f （x ），则f （2014）=f （12×167+10）=f （10）=f （﹣2）， 由于f （2）=4，则f （﹣2）=﹣f （2）=﹣4．故选B ．【思路点拨】由()()60f x f x ++=，得到f （x+12）=﹣f （x+6）=f （x ），则f （x ）为周期为12的函数，再由()1y f x =-的图象关于（1，0）对称，得到f （﹣x ）=﹣f （x ），运用周期，化简f （2014）=f （﹣2）=﹣f （2），即可得到答案． 第II 卷（非选择题） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．已知幂函数()y f x =的图象过点．则2log (2)f 的值为____________. 【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．B8解析：设幂函数y=f （x ）=x α，f ==，∴αf （2）==，∴log 2f （2）=log 2=【思路点拨】可设幂函数y=f （x ）=x α，由题意可求得α的值，从而可得f （2），可得答案．【题文】12. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝____________.【知识点】函数的值．B1解析：∵函数2,0()2,0x x a x f x x -ì壮ï=í<ïî（a ∈R ）．f[f （﹣1）]=1，∴f （﹣1）=2，f[f （﹣1）]=f （2）=a •2•2=1，解得【思路点拨】利用分段函数的性质求解．【题文】13._______________.【知识点】函数的定义域及其求法．B1 【答案解析】[)(]4,00,1- 解析：由题意得23400x x x ì--+?ïí¹ïî，∴﹣4≤x ≤1且x ≠0．∴定义域是：[)(]4,00,1-，故答案为：[)(]4,00,1-。

2015-2016学年吉林省长春十一中高一（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列结论成立的是（）A．B．C．D．不能确定2．下列不等式中，对任意x∈R都成立的是（）A．B．x2+1＞2x C．lg（x2+1）≥lg2x D．≤13．已知等差数列{a n}中a1=20，a n=54，S n=999，则n=（）A．27 B．28 C．29 D．304．在等差数列{a n}中，a1+a15=3，则S15=（）A．45 B．30 C．22.5 D．215．已知{a n}是等差数列，且a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，则{a n}的公差d=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．等比数列{a n}的前n项和为，则实数a的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．17．在△ABC中，已知，，B=45°则A角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°8．已知△ABC的面积为，则角C的度数是（）A．45 B．60 C．120 D．1359．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为（）A．52 B．2C．16 D．410．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=（）A．B．C．D．11．已知△ABC分别为a，b，c，边长c=2，C=，若a+b=ab，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．212．设函数，a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，已知，其中角C为锐角，则sinA=（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC 中，已知，则边长b 等于 ．14．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=，（n ∈N +），则a n = ．15．先画一个边长为2的正方形，再将这个正方形的各边中点相连得到第2个正方形，依此类推，则第10个正方形的面积为 ．（用最简分数表示）16．已知等差数列{a n }的首项和公差均为，则数列的前100项和S 100= ．三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=﹣3．数列{a n }的前n 项和S n ． （1）求数列{a n }的通项公式 （2）若S k =﹣35，求k 的值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对角边分别为a ，b ，c ，B=，cosA=，b=（1）求sinC 的值（2）求△ABC 的面积．19．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1 km ．试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01 km ，≈1.414，≈2.449）．20．已知数列{b n }前n 项和S n ，且b 1=1，．（1）求b 2，b 3，b 4的值； （2）求{b n }的通项公式．[附加题]21．已知f （x ）=m x （m 为常数，m ＞0且m ≠1）．设f （a 1），f （a 2），…，f （a n ），…（n ∈N *）是首项为m 2，公比为m 的等比数列． （Ⅰ）求证：数列{a n }是等差数列； （Ⅱ）若b n =a n •f （a n ），且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m=2时，求S n ．2015-2016学年吉林省长春十一中高一（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列结论成立的是（）A．B．C．D．不能确定【考点】不等式的基本性质．【分析】由于2＞2，即可得出结论．【解答】解：由于2＞2，∴7+10+2＞3+14+2，∴，故选：A．2．下列不等式中，对任意x∈R都成立的是（）A．B．x2+1＞2x C．lg（x2+1）≥lg2x D．≤1【考点】不等式比较大小．【分析】可采用特值排除法，例如令x=0，可排除A，C，令x=1可排除B，从而可得答案．【解答】解：∵x∈R，∴令x=0，可排除A，C；再令x=1可排除B，而≤1⇔（x﹣2）2≥0，显然成立．故选D．3．已知等差数列{a n}中a1=20，a n=54，S n=999，则n=（）A．27 B．28 C．29 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知得=，由此能求出n．【解答】解：∵等差数列{a n}中a1=20，a n=54，S n=999，∴=，解得n=27．故选：A．4．在等差数列{a n}中，a1+a15=3，则S15=（）A．45 B．30 C．22.5 D．21【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1+a15=3，∴S15=（a1+a15）==22.5．故选：C．5．已知{a n}是等差数列，且a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，则{a n}的公差d=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】等差数列的通项公式．【分析】a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，可得：=（a2+2）（a6+6），化为=（a4﹣2d+2）（a4+2d+6），解出d即可．【解答】解：∵a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，∴=（a2+2）（a6+6），∴=（a4﹣2d+2）（a4+2d+6），化为（d+1）2=0，解得d=﹣1．故选：B．6．等比数列{a n}的前n项和为，则实数a的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【考点】等比数列的前n项和．【分析】由于等比数列的前n项和是，得到若，则a=3．【解答】解：由于等比数列{a n}的前n项和为，则数列的公比不为1，且=3n+1﹣a=3•3n﹣a，所以a=3．故选B．7．在△ABC中，已知，，B=45°则A角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°【考点】正弦定理．【分析】由B的度数求出sinB的值，同时根据a大于b，利用大边对大角得到A大于B，由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理=得：sinA===，∵＞，∴45°＜A＜180°，∴A的度数为60°或120°．故选C8．已知△ABC的面积为，则角C的度数是（）A．45 B．60 C．120 D．135【考点】余弦定理．【分析】根据△ABC的面积为：（a2+b2﹣c2）=ab•sinC，求得c2=a2+b2﹣2ab•sinC，再由余弦定理得tanC=1，由此求得C的值．【解答】解：∵△ABC的面积为（a2+b2﹣c2）=ab•sinC，∴c2=a2+b2﹣2ab•sinC．又根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC，∴﹣2absinC=﹣2abcosC，即sinC=cosC，∴tanC=1，∴C=45°，故选：A．9．三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的另一边长为（）A．52 B．2C．16 D．4【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】解方程5x2﹣7x﹣6=0可得cosθ=﹣，利用余弦定理求出第三边的长即可．【解答】解：解方程5x2﹣7x﹣6=0可得此方程的根为2或﹣，故夹角的余弦cosθ=﹣，∴由余弦定理可得三角形的另一边长为：=2．故选B．10．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理把等式中角的正弦转化成边，整理求得a，b和c的关系式，代入余弦定理求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：∵=，∴且=，整理得a2+c2﹣b2=ac，∵cosB==，0＜B＜π，∴B=．故选：C．11．已知△ABC分别为a，b，c，边长c=2，C=，若a+b=ab，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．2【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求a2b2﹣3ab﹣4=0，解得ab的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵c=2，C=，a+b=ab，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=a2b2﹣3ab，∴a2b2﹣3ab﹣4=0，解得：ab=4或﹣1（舍去），=absinC==．∴S△ABC故选：C．12．设函数，a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，已知，其中角C为锐角，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】首先化简函数f（x），根据f（）=﹣求出角C的正弦值，进而求出角C的大小；然后求出角B的正弦、余弦，最后根据两角和的正弦公式，求出sinA的值即可．【解答】解：f（x）=cos（2x+）+sin2x=cos2x﹣sin2x+=﹣sin2x，∴f（）=﹣sinC=﹣，∴sinC=∵C 为锐角，C=，因为在△ABC 中，cosB=，所以sinB=，所以sinA=sin （B +C ）=sinBcosC +cosBsinC=．故选：A ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC 中，已知，则边长b 等于 7 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解b 的值．【解答】解：∵，∴由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2﹣2accoB=92+（2）2﹣2×=147，∴解得：b=7．故答案为：7．14．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=，（n ∈N +），则a n =．【考点】数列递推式．【分析】a n +1=，可得=，利用“累乘求积”即可得出．【解答】解：∵a n +1=，∴=，∴a n =•…••a 1=××…×××1=，n=1时也成立．∴a n =．故答案为：．15．先画一个边长为2的正方形，再将这个正方形的各边中点相连得到第2个正方形，依此类推，则第10个正方形的面积为．（用最简分数表示）【考点】归纳推理．【分析】根据正方形的面积成等比数列求出第10个正方形的面积即可． 【解答】解：第一个正方形的面积是2，第二个正方形的面积是，第三个正方形的面积是，…，故第n个正方形的面积是：2•，故第10个正方形的面积是：2×==，故答案为：．16．已知等差数列{a n}的首项和公差均为，则数列的前100项和S100=．【考点】数列的求和．【分析】推导出==4（），由此利用裂项求和法能求出数列的前100项和．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项和公差均为，∴a n==，∴==4（），∴数列的前100项和：S100=4（1﹣）=4（1﹣）=．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．数列{a n}的前n项和S n．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若S k=﹣35，求k的值．【考点】等差数列的前n项和．【分析】（1）由题意可得公差d，代入通项公式可得；（2）由求和公式可得：S k==﹣35，解之即可．【解答】解：（1）由题意可得数列的公差d==﹣2，故数列{a n}的通项公式a n=1﹣2（n﹣1）=3﹣2n；（2）由等差数列的求和公式可得：S k==﹣35，化简可得k2﹣2k﹣35=0解之可得k=7，或k=﹣5（舍去）故k的值为：718．在△ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）运用同角的平方关系和两角和的正弦公式计算即可得到；（2）运用正弦定理和三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：（1）由cosA=，得sinA==，即有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=；（2）由正弦定理可得，a===，则ABC的面积为S=absinC=×××=．19．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△ACD 中，∠DAC=30°推断出CD=AC ，同时根据CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，判断出BD=BA ，进而在△ABC 中利用余弦定理求得AB 答案可得． 【解答】解：在△ACD 中，∠DAC=30°， ∠ADC=60°﹣∠DAC=30°， 所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线， 所以BD=BA 、在△ABC 中， =，sin 215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33km ．故B 、D 的距离约为0.33km ．20．已知数列{b n }前n 项和S n ，且b 1=1，．（1）求b 2，b 3，b 4的值； （2）求{b n }的通项公式． 【考点】数列递推式．【分析】（1）由b 1=1，．分别取n=1，2，3，即可得出．（2）利用递推关系即可得出．【解答】解：（1）∵b 1=1，．∴b 2==，b 3==．b 4==．（2）n ≥2时，b n +1﹣b n =﹣=，可得b n +1=b n ，∴数列{b n }是等比数列，公比为．∴b n =1×=．[附加题]21．已知f （x ）=m x （m 为常数，m ＞0且m ≠1）．设f （a 1），f （a 2），…，f （a n ），…（n ∈N *）是首项为m 2，公比为m 的等比数列． （Ⅰ）求证：数列{a n }是等差数列； （Ⅱ）若b n =a n •f （a n ），且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m=2时，求S n ．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（I）根据等比数列的通项公式，可得f（a n）=m2•m n﹣1=m n+1，从而可得a n=n+1，进而可证数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列；（II）当m=2时，b n=（n+1）•2n+1，利用错位相减法可求数列的和；【解答】证明：（I）由题意f（a n）=m2•m n﹣1=m n+1，即．∴a n=n+1，﹣a n=1，∴a n+1∴数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列．解：（II）由题意b n=a n•f（a n）=（n+1）•m n+1，当m=2时，b n=（n+1）•2n+1∴S n=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1①①式两端同乘以2，得2S n=2•23+3•24+4•25+…+n•2n+1+（n+1）•2n+2②②﹣①并整理，得S n=﹣2•22﹣23﹣24﹣25﹣…﹣2n+1+（n+1）•2n+2=﹣22﹣（22+23+24+…+2n+1）+（n+1）•2n+2=﹣22﹣+（n+1）•2n+2=﹣22+22（1﹣2n）+（n+1）•2n+2=2n+2•n．2016年11月3日。

长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学（文科）试题答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. D4. C5. B6. D7. B8. B 9. C10. C11. A12. D简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.【试题解析】C 由题可得2x =或4x =才能满足集合的互异性. 故选C. 2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.【试题解析】D 由图可知：1z i =，22z i =-，则1212255z i i z i ==-+-. 故选D. 3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查.【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D. 4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.【试题解析】C由||-=m n 222||217-=+-⋅=m n m n m n 可知，2⋅=-m n . 故选C.5. 【命题意图】本题考查同角基本关系以及二倍角公式.【试题解析】B 将4sin cos 5αα+=两边平方得，1612sin cos 1sin 225ααα=+=+，可得9sin 225α=-，故选B.6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体体积的运算.【试题解析】D 几何体体积=半球体积-圆锥体积=314182422333πππ⋅⋅-⋅⋅=，选D. 7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.【试题解析】B 由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=， 作差可得816d =，即2d =. 故选B.8. 【命题意图】本题考查指对两种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.【试题解析】B 如右图可知，“1x >”⇒“a b >”，而 “a b >”/⇒ “1x >”，因此“a b >”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B. 9. 【命题意图】本题考查圆的标准方程以及弦长的基本知识.【试题解析】C 由题意可设圆心为(,2)a a ，半径为R ，则有2224416R a a =+=+或2221644R a a =+=+，解得2a =±，故选C.10. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.【试题解析】C 由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.11. 【命题意图】本题通过图像考查绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性.【试题解析】A 由条件可知，该函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且ln ||ln ||()()x x f x f x x x--==-=--，所以该函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B 、C ，当01x <<时，ln 0x <，从而排除D. 故选A.12. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.【试题解析】D 由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时B y ≤≤，故直线AB （即直线FB）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 1 14. 960 15.4π16.273a π 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数2z x y =+的几何意义为过区域内点的直线2y x z =-+的截距大小，故z 的最小值是1.14. 【命题意图】本题考查用样本对总体的估计.【试题解析】设鱼塘中大鱼数量的估计值为M ，有56080M=，从而估算出M =960. 15. 【命题意图】本题考查三角函数奇偶性、两角和差公式和诱导公式运用.【试题解析】由题意可知())(||)42f x x ππϕϕ=++<为偶函数，所以()42k k Z ππϕπ+=+∈，根据||2πϕ<，有4πϕ=16. 【命题意图】.【试题解析】，圆心到底面的距离为2a，从而其外接圆的半径22227()212a R a =+=，则该球的表面积22743S R a ππ==.三、解答题17. (本小题满分10分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法.【试题解析】解：(1) 设等比数列的公比为q ，有12311424a q a q a q =⎧⎨+=⎩，解得12,2a q ==，所以2n n a =；（5分）(2) 由(1)知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n +=+，从而21(1)(222)(12)222n n n n n T n ++=+++++++=+-.（10分） 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =- 即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sinC B C =，即1cos 2B =，3B π=. （6分）(2) 由面积1sin 2S ac B ==4ac =，而4a c +=， 所以2a c ==，由3B π=可得△ABC 为等边三角形，所以2b =.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过考查随机抽样，对学生的数据处理能力提出较高要求.【试题解析】(1) 设事件A =“某人获得优惠金额不低于300元”，则1501005()501501006P A +==++.（6分） (2) 设事件B =“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为112312,,,,,a b b b c c ，从中选出两人的所有基本事件如下：11a b ，12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个，其中使得事件B 成立的为12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个，则4()15P B =.（12分） 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间直线与平面的垂直关系，简单几何体体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得，11111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC A M C M DM BM M ⎫=⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎪⎭⎪⎪⎪ =⎭平面 ； （6分）(2) 由题意知BD =M 到BD则△MBD的面积为12MBD S ∆==，由(1)知11A C ⊥平面MBD所以11111133D A BC MBD V S A C -∆=⋅==（12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=， 即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==. （4分）(2) 由(1)可知2a c =，b ==，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+， 并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）22243(,)4343ck ck G k k -++.因为DG AB ⊥，所以2223431443D ck k k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （12分）22. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1)解：222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+（2分）因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+， 令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得12x x ==.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是单调减区间为； 当01a <≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞. （9分）(3) 当4a =-时， ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,12-，(1)++∞. （12分）。