2017年秋季新版冀教版八年级数学上学期17.1、等腰三角形同步练习3

专题一等腰三角形的性质和判定的应用1.已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形2.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连结BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连结ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是．3.在等腰△ABC中，AB=AC，MN是AB的垂直平分线，MN与AB相交于D点，与AC所在的直线相交于E点，若∠AED=40°，则∠EBC的度数为______.4如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数；（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数；（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）专题二等腰（边）三角形中的动点问题5.已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M，的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论。

测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______。

6.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B，重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D运动的程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．7．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连结AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12AB•h，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____．若不存在，请说明理由．参考答案1.C 解析：根据题意得2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，所以222)))0a b c b a c-+--=（（+（，所以a=b=c，所以△ABC是等边三角形.2. 19 解析：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝10. ∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE＝CD，BD＝BE，∠EBD＝60°，∴AE＋AD＝AD＋CD＝AC＝10，∵∠EBD＝60°，BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝9，∴△AED的周长＝AE＋AD＋DE＝AC＋BD＝19．故答案为19．3. 15°或75°解析：如图①，∵E在AB的垂直平分线上，∴EA=EB，可得∠EBA=∠A=90°－40°=50°. ∵AB=AC，∴∠CBA=∠C=°1802A－∠=65°，∴∠EBC=15°；如图②，∵E在AB的垂直平分线上，∴EA=EB，可得∠EBA=∠EAB=90°−40°=50°. ∵AB=AC，∴∠CBA=∠C=21∠EAB=25°，∴∠EBC=25°+50°=75°.4.解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB.∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，理由是：∵BE=OE，CF=O F，∴EF=BE+CF．（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG.∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE-CF，理由是：∵BE=OE，CF=OF，∴EF=OE-OF=BE-CF．5. 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=21（180°-∠BAC）=45°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°.∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-30°=60°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=21（180°-∠DAC）=60°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=75°-60°=15°，答：∠EDC的度数是15°．（2）与（1）类似：∠B=∠C=21（180°-∠BAC ）=90°-21α， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°-21α+30°=120°-21α. ∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=α-30°，∴∠ADE=∠AED=21（180°-∠DAC ）=105°-21α， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=（120°-21α）-（105°-21α）=15°， 答：∠EDC 的度数是15°．（3）∠EDC 与∠BAD 的数量关系是∠EDC=21∠BAD ． 5.解： 60°，60°，60°.证明:BM=CN ；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.则⊿ABM ≌ΔBCN (SAS),∠M=∠N;所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠C =60°.6.解：（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°；从图中可以得知，点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变小；故答案为：25°；小．（2）当△ABD ≌△DCE 时．DC=AB ，∵AB=2，∴DC=2，∴当DC 等于2时，△ABD ≌△DCE ；（3）∵AB=AC ，∴∠B=∠C=40°，①当AD=AE 时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED ＞∠C ，∴此时不符合；②当DA=DE 时，即∠DAE=∠DEA=21（180°-40°）=70°， ∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=100°-70°=30°；∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；③当EA=ED 时，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE 是等腰三角形．7.解：连接AP ，BP ，CP.则=ABC BPC APC APB S S S S ++△△△△，即：12311112222BC h BC r AC r AB r ⋅=⋅+⋅+⋅，∵AB=BC=AC ，所以r 1+r 2+r 3=h （定值）． （2）存在；2.。

章节测试题1.【题文】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线交BC于点E，求证：AE⊥B C.【答案】见解析【分析】利用SSS易证△ABD≌△ACD，所以∠BAE=∠CAE，根据等腰三角形三线合一这一性质，可证得结论．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAE＝∠CAE.∵AB＝AC，∴AE⊥BC.2.【题文】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE＝DF，请说明理由．【答案】见解析【分析】连接AD，根据三线合一定理得出AD平分∠BAC，根据角平分线性质推出即可．【解答】解：连结AD.∵D为BC的中点，AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.3.【题文】已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．【答案】证明见解析【分析】逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，是真命题．【解答】：已知：如图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.求证：△ABC是等腰三角形．证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，CE.∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，∴△BDE≌△CDA(SAS)．∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∴∠BAD＝∠BED.∴AB＝BE.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．4.【题文】在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分，求三角形ABC的腰长及底边长。

【答案】腰长10cm，底边长1cm.【分析】已知腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，而没有说明哪部分是15cm，哪部分是6cm；所以应该分两种情况进行讨论：第一种AB+AD=15cm，第二种AB+AD=6cm；分别求出其腰长及底边长，然后根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去．【解答】解：如图所示：根据题意得：AB=AC，AD=CD，设BC=xcm，AD=CD=ycm，则AB=AC=2ycm，①若AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，解得：即AB=AC=10cm，BC=1cm；②若AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，解得即AB=AC=4cm，BC=13cm，∵4+4=8＜13，不能组成三角形，舍去；∴这个等腰三角形的腰长是10cm,底边的长为1cm．5.【题文】已知，如图△ABC中，AB=AC，D点在BC上，且BD=AD，DC=AC （本题6分）（1）写出图中两个等腰三角形，（2）求∠B的度数．【答案】（1）△ABC，△ACD．△ABD；（2）∠B的度数为36°．【分析】（1）根据，AB=AC，DC=AC，BD=AD可判断出等腰三角形．（2）设∠B=x°∵BD=AD∴∠DAB=∠B=x°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解题．【解答】解：（1）△ABC，△ACD．△ABD，由 AB=AC，可得△ABC是等腰三角形；由 BD=AD，可得△ABD是等腰三角形；由DC=AC得△ACD是等腰三角形．（2）设∠B=x，∵BD=AD，∴∠DAB=∠B=x，∵AB=AC，∴∠C=∠B=x，∵DC=AC，∴∠CAD=∠ADC=∠DAB+∠B=2x，在△ACD中，由∠CAD+∠ADC+∠C=180°，得2x+2x+x=180，解得x=36°，∴∠B=36°．答：∠B的度数为36°．6.【题文】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.【答案】证明见解析【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE．7.【题文】如图，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC交AC于D，求证：DE=DF【答案】DE=DF．【分析】根据CE是∠ACB的平分线和EF∥BC得到∠ACE=∠FEC，所以DE=DC，同理可得DC=DF.所以DE=DF．【解答】解：DE=DF．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵EF∥BC，∴∠FEC=∠BCE，∴∠ACE=∠FEC，∴DE=DC；∵CF平分∠ACG，∴∠ACF=∠FCG，∵EF∥BC，∠F=∠FCG，∴∠F=∠ACF，∴DF=DC，∴DE=DF．8.【题文】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB 交AD的延长线于点E．求证：CE=AB．【答案】答案见解析．【分析】由等腰三角形三线合一性质可得∠BAE=∠CAE，由CE∥AB可得∠E=∠BAE，进而可得∠E=∠CAE，所以AC=CE，又因为AB=AC，所以CE=AB 即可证明.【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAE=∠CAE，∵CE∥AB，∴∠E=∠BAE，∴∠E=∠CAE，∴CE=AC，∵AB=AC，∴CE=AB．9.【答题】如图所示，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为______．【答案】或或【分析】根据等腰三角形的判定解答即可.【解答】∵，平分，∴①若，则；②若，则；③若，则，故答案为：或或.10.【答题】如图，等腰中，，的垂直平分线交于点，，则的度数是______度．【答案】50【分析】根据等腰三角形和垂直平分线的性质解答即可.【解答】∵是的垂直平分线，∴，∴，∵等腰中，，∴，∴，解得：．故答案为：．11.【答题】如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于______cm．【答案】10【分析】根据等腰三角形和垂直平分线的性质解答即可.【解答】因为△ABC中，AB=AC，AB=6cm，所以AC=6cm，因为AB的垂直平分线交AC于P点，所以BP+PC=AC，所以△PBC的周长=(BP+PC)+BC=AC+BC=6+4=10cm．故答案为10．12.【答题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC于E，EC 的垂直平分线FM交DE的延长线于M，交EC于点F，若∠FMD＝40°，则∠C＝______．【答案】40°【分析】本题考查了线段垂直平分线的定义，等腰三角形等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．【解答】∵DE为AB的垂直平分线，FM为EC的垂直平分线，∴DE⊥AB，FM⊥EC，∴∠BED+∠B=90°，∠MEF+∠FMD=90°，∵∠BED=∠MEF（对顶角相等），∴∠B=∠FMD=40°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，故答案为：40°．13.【答题】在△ABC中AB=AC，中线BD将△ABC的周长分为12cm和15cm，则三角形底边长______ cm．【答案】7或11【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系解答即可.【解答】解：如图，∵AB=AC，BD是AC边上的中线，即AD=CD，∴|(AB+AD)−(BC+CD)|=|AB−BC|=15−12=3(cm)，AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，若AB>BC，则AB−BC=3cm，又∵2AB+BC=27cm，联立方程组并求解得：AB=10cm，BC=7cm，10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形；若AB<BC，则BC−AB=3cm，又2AB+BC=27cm，联立方程组并求解得：AB=8cm，BC=11cm，8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形；∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm.故答案为：7cm或11cm.14.【答题】如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，与交于点，连结．若，则的长为______ ．【答案】6【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．【解答】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝12cm，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，在Rt△BCD中，BC＝BD＝×12＝6cm．故答案为6．15.【答题】如图，在中，，的垂直平分线交于点，若平分，则______．【答案】36°【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．【解答】∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x+x+x+2x＝180°，解得：x＝36°，故答案为：36．16.【答题】等腰三角形中有一角为，则底角的度数是______°．【答案】50或65【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】试题分析：由题意知，当50°的角为顶角时，底角＝(180°－50°)÷2＝65°；50°的角有可能为底角．故答案为：50°或65°．17.【答题】如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=6㎝，则CD的长等于______ ．【答案】6cm【分析】本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，角平分线的定义，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边，出现角平分线和平行线容易出现等腰三角形.【解答】∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC；又∵CD∥OB，∴∠C=BOC，∴∠C=∠AOC；∴CD=OD=6cm.故答案为：6cm.18.【答题】已知：中，，，则______ °.【答案】40【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵∠B－∠A=30°，∴∠B=∠A+30°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠A+30°，∴∠A+30°+∠A+30°+∠A=180°，∴∠A=40°.故答案为40°.19.【答题】在等腰三角形中，若底角等于50°，则顶角的度数是______度【答案】80【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】由题意得，顶角的度数是：180°-50°-50°=80°.20.【答题】如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，如果∠B=20°，则∠CAD=______【答案】50°【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．【解答】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠BAD=∠B=20°，∵∠C=90°，∴∠CAD=180°-20°×2-90°=180°-40°-90°=50°，故答案为：50°．。

冀教新版八年级上学期《17.1 等腰三角形》同步练习卷一．选择题（共4小题）1．如图，∠C＝36°，∠B＝72°，∠BAD＝36°，则图中等腰三角形有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条3．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．8C．9D．104．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB ＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个二．填空题（共7小题）5．如果△ABC的三边a，b，c满足关系式|a+2b﹣54|+（b﹣18）2+|c﹣30|＝0，则△ABC是三角形．6．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t 为时，△ACP是等腰三角形．8．如图，P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA 于点C，若∠AOB＝60°，PD＝2cm，则△COP是三角形，OP＝cm．9．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是三角形．10．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC＝cm．如图2，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有个等腰三角形．11．如图，∠C＝2∠B，AD⊥BC，AC＝5，CD＝3，则BC＝．三．解答题（共33小题）12．已知等腰三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长．13．在△ABC中，AB＝AC，AB边上的中线CD把三角形的周长分成6和15的两部分，求三角形腰和底的长．14．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝65°，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，求∠EDC的度数．15．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝40°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD于F，求∠AEF的度数．16．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一点，E为线段AC 上一点，且AD＝AE．（1）若∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，求∠BAD与∠CDE的度数；（2）设∠BAD＝α，∠CDE＝β，试写出α、β之间的关系并加以证明．17．在△ABC中，AB＝8，BC＝2a+2，AC＝22．（1）求a的取值范围．（2）若△ABC为等腰三角形，求周长．18．如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°．求：∠B的度数．19．已知等腰三角形的三边长分别为a+1，2a，5a﹣2，求这个等腰三角形的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝25°，点D是边AB延长线上的一点．（1）用量角器在图中画出过点D且与BC平行的直线DE；（2）证明所画的直线DE与BC平行．21．如图：已知△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，过D作DF⊥AB，交AC 于E，交BC延长线于点F．求证：∠F＝∠A．22．已知：，如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC．求证：AD∥BC．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F、D分别是AB、AC及BC边上的点，且∠EDF＝∠C．（1）求证：∠BED＝∠FDC；（2）若BE＝CF＝3，BC＝，求DC的长是多少？24．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE＝3cm，求BF的长．25．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求∠C的度数．26．已知：如图，O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点，∠1＝∠2，求证：△ABC是等腰三角形．27．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE＝CF．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD＝∠CBE．求证：AB＝AC．29．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC求证：△ABC是等腰三角形．30．如图，已知在△ABC中，BA＝BC，点D是CB延长线上一点，DF⊥AC，垂足为F，DF和AB交于点E．求证：△DBE是等腰三角形．31．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：AG⊥EF．32．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，求证：△AFC是等腰三角形．33．已知：如图，∠C＝90°，BC＝AC，D、E分别在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB的中点．求证：△MDE是等腰三角形．34．如图，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F．试证明DE＝DF．35．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E、交AC于F．（1）请写出图中的一个等腰三角形，并说明理由；（2）若AB＝8，AC＝6，求△AEF的周长．36．如图，在△ABC中，∠ABD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．求证：△ABC是等腰三角形．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．38．已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．39．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．40．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．41．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．42．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF⊥BD于点F．求证：∠BEF＝∠DEF．43．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且PD∥AB，PE∥AC，BC＝5，求△PDE的周长．44．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．冀教新版八年级上学期《17.1 等腰三角形》2018年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，∠C＝36°，∠B＝72°，∠BAD＝36°，则图中等腰三角形有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠CAD＝36°，∠ADB＝72°，从而求出∠C＝∠CAD，∠B＝∠ADB，根据等角对等边可得AD＝CD，AD＝AB，再求出∠CAB＝∠B，根据等角对等边求出AC＝BC，然后根据等腰三角形的定义写出等腰三角形即可．【解答】解：∵∠C＝36°，∠B＝72°，∠BAD＝36°，∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣36°﹣72°﹣36°＝36°，∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠C＝∠CAD，∠B＝∠ADB，∴AD＝CD，AD＝AB，∴△ABD和△ADC是等腰三角形，∵∠CAB＝∠CAD+∠BAD＝36°+36°＝72°，∴∠CAB＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴等腰三角形有：△ABD，△ABC，△ADC．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键．2．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG 时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．3．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．8C．9D．10【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【解答】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB ＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．【解答】解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．二．填空题（共7小题）5．如果△ABC的三边a，b，c满足关系式|a+2b﹣54|+（b﹣18）2+|c﹣30|＝0，则△ABC是等腰三角形．【分析】根据非负数性质列式求出a、b、c的值，再根据等腰三角形的判定方法解答．【解答】解：根据题意得，a+2b﹣54＝0，b﹣18＝0，c﹣30＝0，解得a＝18，b＝18，x＝30，所以a＝b，所以△ABC是等腰三角形．故答案为：等腰．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式求出a、b、c的值是解题的关键．6．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为70°或40°或20°．【分析】分三种情形分别求解即可；【解答】解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t 为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．【分析】由于没有说明哪一条边是腰，故需要分情况讨论．【解答】解：∵AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可知：AB＝10，当点P在CB上运动时，由于∠ACP＝90°，∴只能有AC＝CP，如图1，∴CP＝6，∴t＝＝3，当点P在AB上运动时，①AC＝AP时，如图2，∴AP＝6，PB＝AB﹣CP＝10﹣6＝4，∴t＝＝6，②当AP＝CP时，如图3，此时点P在线段AC的垂直平分线上，过点P作PD⊥AC于点D，∴CD＝AC＝3，PD是△ACB的中位线，∴PD＝BC＝4，∴由勾股定理可知：AP＝5，∴PB＝5，∴t＝＝6.5；③AC＝PC时，如图4，过点C作CF⊥AB于点F，∴cos∠A＝＝，∴AF＝3.6，∴AP＝2AF＝7.2，∴PB＝10﹣7.2＝2.8，∴t＝＝5.4；综上所述，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．故答案为：3或6或6.5或5.4．【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据腰的情况进行分类讨论，本题属于中等题型．8．如图，P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA 于点C，若∠AOB＝60°，PD＝2cm，则△COP是等腰三角形，OP＝4 cm．【分析】先利用角平分线的性质和平行的性质求出△COP是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质即可求得．【解答】解：∵OP是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠1＝∠2＝∠AOB＝×60°＝30°．∵CP∥OB，∴∠3＝∠2．即∠1＝∠2＝∠3，OC＝PC．故△COP是等腰三角形．∵PD⊥OB，垂足为D，PD＝2cm，∠2＝30°，∴OP＝2PD＝2×2＝4cm．△COP是等腰三角形，OP＝4cm．【点评】本题把角平分线置于矩形的背景之中，与平行线组合使用，沟通了角与角之间的关系．由于角平分线、平行线都具有转化角的作用，在两者共存的图形中常会出现等腰三角形，所以命题者常将两者组合，设计出精彩的题目．9．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是等腰三角形．【分析】通过求证∠1＝∠2＝∠ABC，可得出AC＝BC，△ABC为等腰三角形．【解答】解：∵所给图形是长方形，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠ABC，∴∠1＝∠ABC，∴AC＝BC，即△ABC为等腰三角形．故答案为：等腰．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，翻折变换，平行线的性质，综合性较强，注意熟练掌握翻折不变性、平行线的性质、等腰三角形的性质．10．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC＝7 cm．如图2，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有3个等腰三角形．【分析】1．利用垂直平分线的性质得到线段相等，进行等量代换可得结果；2．由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【解答】解：1、∵DE为AB边的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝AC+CD+BD＝AC+BC＝7cm．2、∵AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C＝∠ABC＝＝72°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠A＝∠DBC＝36°，∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，∴BC＝BD，△CDB是等腰三角形，故图中共有3个等腰三角形．故填7，3．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．11．如图，∠C＝2∠B，AD⊥BC，AC＝5，CD＝3，则BC＝11．【分析】在BD取点E，使得ED＝CD＝3，连接AE，则AD垂直平分CE，依据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，即可得到BC的长．【解答】解：如图所示，在BD取点E，使得ED＝CD＝3，连接AE，则AD垂直平分CE，∴AE＝AC＝5，∴∠AED＝∠C＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠BAE，∴∠B＝∠BAE，∴BE＝AE＝5，∴BC＝BE+ED+CD＝5+3+3＝11．故答案为：11．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形，解题时也可以通过延长DC至F，使得DF＝DB，连接AF 构造等腰三角形进行求解．三．解答题（共33小题）12．已知等腰三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长．【分析】题中只给出了三角形的周长和一边长，没有指出它是底边还是腰，所以应该分两种情况进行分析．【解答】解：若底边为5，设腰长为x，则5+2x＝22，解得x＝8.5，若腰为5，设底边为xcm，则2×5+x＝22，解得x＝12，∵5+5＜12，∴不合题意．所以等腰三角形另外两边长分别为8.5和8.5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．13．在△ABC中，AB＝AC，AB边上的中线CD把三角形的周长分成6和15的两部分，求三角形腰和底的长．【分析】已知腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，而没有说明哪部分是15cm，哪部分是6cm；所以应该分两种情况进行讨论：第一种BC+BD＝15，第二种BC+BD＝6；分别求出其腰长及底边长，然后根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去．【解答】解：①情况一：AC+AD＝6，BC+BD＝15．∵AD＝BD，AB＝AC，∴2AD+AD＝6，∴AD＝2．∴AB＝4，BC＝13．∵AB+AC＜BC，∴不能构成三角形，故这种情况不成立．②情况二：AC+AD＝15，BC+BD＝6．同理①得AB＝10，BC＝1，∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC，∴能构成三角形，腰长为10，底边长为1．故这个等腰三角形的腰和底分别为10和1．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意方程思想与分类讨论思想的应用是正确解答本题的关键．14．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝65°，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，求∠EDC的度数．【分析】根据∠AED＝∠EDC+∠C，只要求出∠AED，∠C即可解决问题；【解答】解：∵∠ABC＝65°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝65°（等边对等角），∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°（三角形内角和180°），又∵∠BAD＝20°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝75°（三角形内角和180°），∵∠AED＝∠EDC+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠EDC＝75°﹣65°＝10°．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝40°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD于F，求∠AEF的度数．【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和求得∠ADE，再根据等角的余角相等，即∠AEF的度数等于∠ADE的度数．【解答】解：∵AB＝BC，∠B＝40°，∴∠BAC＝∠C＝70°，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠BAC＝35°°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°．∵AE⊥BC，EF⊥AD，∴∠AEF＝∠ADE＝75°，∴∠DAE＝90°﹣∠AEF＝15°．【点评】此题考查了三角形内角和定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一点，E为线段AC 上一点，且AD＝AE．（1）若∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，求∠BAD与∠CDE的度数；（2）设∠BAD＝α，∠CDE＝β，试写出α、β之间的关系并加以证明．【分析】（1）根据∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE，∠AED＝∠CDE+∠C，进行计算即可解决问题；（2）α＝2β，理由是：设∠BAC＝x°，∠DAE＝y°，则α＝x°﹣y°，同理求出∠ACB＝和∠AED＝，利用外角定理得：β＝∠AED ﹣∠ACB，代入可得结论；【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠DAE＝40°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝20°，∵∠AED＝∠CDE+∠C，∴∠CDE＝70°﹣60°＝10°．（2）结论：α＝2β，理由是：设∠BAC＝x°，∠DAE＝y°，则α＝x°﹣y°，∵∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝，∵∠ADE＝∠AED，∴∠AED＝，∴β＝∠AED﹣∠ACB＝﹣＝＝，∴α＝2β；【点评】此题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、外角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．17．在△ABC中，AB＝8，BC＝2a+2，AC＝22．（1）求a的取值范围．（2）若△ABC为等腰三角形，求周长．【分析】（1）根据三角形的三边关系列式求得a的取值范围即可；（2）利用等腰三角形的两边相等可以列出有关a的等式求得a值，然后根据a 的取值范围确定答案即可．【解答】解：（1）由题意得：2a+2＜30，2a+2＞14，故6＜a＜14；（2）△ABC为等腰三角形，2a+2＝8或2a+2＝22，则a＝3或a＝10，∵6＜a＜14，∴a＝10，∴△ABC的周长＝22+22+8＝52．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，属于基础题，比较简单．18．如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°．求：∠B的度数．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求出答案．【解答】解：设∠B＝x∵AC＝AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝x∴∠ADC＝∠C＝2x，∴2x+2x+80°＝180°∴x＝25°∴∠B＝25°【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，本题属于基础题型．19．已知等腰三角形的三边长分别为a+1，2a，5a﹣2，求这个等腰三角形的周长．【分析】因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰，所以要分情况讨论．【解答】解：（1）当a+1＝2a时，得a＝1，三边长分别为2，2，3；周长为7（2）当a+1＝5a﹣2时，得a＝，三边长分别为；周长为5．（3）当5a﹣2＝2a时，得a＝，三边长分别为，，；周长为．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．20．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝25°，点D是边AB延长线上的一点．（1）用量角器在图中画出过点D且与BC平行的直线DE；（2）证明所画的直线DE与BC平行．【分析】（1）画出图形解答即可；（2）根据平行线的判定证明即可．【解答】解：（1）过D点作∠EDF＝50°，如图所示：（2）∵AB＝BC，∠A＝25°，∴∠C＝∠A＝25°，∴∠CBD＝25°+25°＝50°＝∠EDF，∴DE∥BC．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据AB＝BC得出∠A＝∠C．21．如图：已知△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，过D作DF⊥AB，交AC 于E，交BC延长线于点F．求证：∠F＝∠A．【分析】过点A作AG⊥BC于点G，根据等腰三角形的两个底角相等进行证明即可．【解答】证明：过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝90°，∴∠B+∠BAG＝90°，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝∠BAG，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴∠BAG＝∠BAC，∴∠F＝∠A．【点评】此题主要考查等腰三角形的基本性质，关键是根据综合运用等腰三角形的性质来证明．22．已知：，如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC．求证：AD∥BC．【分析】由角平分线定义可得∠EAD＝∠EAC，再由三角形外角性质可得∠EAD＝∠B，然后利用平行线的判定定理即可证明题目结论．【解答】证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠EAC．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠EAC＝∠B+∠C，∴∠B＝∠EAC．∴∠EAD＝∠B．所以AD∥BC．【点评】本题主要考查角平分线的性质和三角形外角性质，也利用了平行线的判定．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F、D分别是AB、AC及BC边上的点，且∠EDF＝∠C．（1）求证：∠BED＝∠FDC；（2）若BE＝CF＝3，BC＝，求DC的长是多少？【分析】（1）根据AB＝AC，得∠B＝∠C；又∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B，得∠FDC＝∠BED；（2根据两角对应相等，两三角形相似，理由相似三角形的性质即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠BED．（2）∵∠B＝∠C，∠FDC＝∠BED，∴△BED∽△CDF，∴＝，∴＝，解得CD＝2或．【点评】此题考查了相似三角形的判定方法，注意能够根据三角形的内角和定理证明角相等．24．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE＝3cm，求BF的长．【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC ＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，又S△ABC＝AC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC ＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，∵S△ABC＝AC•BF，∴AC•BF＝3AB，∵AC＝AB，∴BF＝3，∴BF＝6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．25．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求∠C的度数．【分析】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得∠C的度数．【解答】解：设∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝72°．【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．26．已知：如图，O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点，∠1＝∠2，求证：△ABC是等腰三角形．【分析】要证明三角形是等腰三角形，只需证明∠ABC＝∠ACB即可，只要∠5＝∠6，只要三角形全等即可，作出辅助线可证明三角形全等，于是答案可得．【解答】证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴OE＝OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1＝∠2，∴OB＝OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5＝∠6．∴∠1+∠5＝∠2+∠6．即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质；作出辅助线构建全等的三角形是正确解答本题的关键．27．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE＝CF．【分析】先判断出∠ACD+∠BCD＝90°，再判断出∠A+∠ACD＝90°，进而得出∠A＝∠BCD，再用三角形的外角即可得出结论．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD为AB边上的高，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，∵∠CEF＝∠A+∠ABE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的高的意义，三角形的外角的性质，判断出∠A＝∠BCD是解本题的关键．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD＝∠CBE．求证：AB＝AC．【分析】根据三角形的内角和得到∠ABC+∠BAD＝∠C+∠CBE＝90°，由等式的性质得到∠ABC＝∠C，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∴∠ADB＝∠BEC＝90°．∴∠ABC+∠BAD＝∠C+∠CBE＝90°．又∵∠BAD＝∠CBE，∴∠ABC＝∠C．∴AB＝AC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理，直角三角形的性质，熟记等腰三角形的判定是解题的关键．29．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由AD与BC平行，根据两直线平行同位角相等及内错角相等，可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，又∠1＝∠2，等量代换可得∠B＝∠C，再根据等角对等边可得AB＝AC．【解答】证明：∵AD∥BC，（已知）∴∠1＝∠B，（两直线平行，同位角相等）∠2＝∠C，（两直线平行，内错角相等）∵∠1＝∠2，（已知）∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．（等角对等边）即△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判断，以及平行线的判定，做这类题的方法是：借助图形，运用平行线的性质，等腰三角形的判定及等量代换的方法达到解决问题的目的．30．如图，已知在△ABC中，BA＝BC，点D是CB延长线上一点，DF⊥AC，垂足为F，DF和AB交于点E．求证：△DBE是等腰三角形．【分析】首先依据等腰三角形的性质可得到∠A＝∠C，然后依据等角的余角相等可证明∠D＝∠AEF，然后结合对顶角的性质可证明∠D＝∠DEB．【解答】证明：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C．∵DF⊥AF，∴∠A+∠AEF＝90°，∠C+∠D＝90°．∴∠AEF＝∠D．∵∠D＝∠AEF，∴∠D＝∠DEB．∴BD＝BE．∴△DBE是等腰三角形．【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．31．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：AG⊥EF．【分析】只要证明AF＝AE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；【解答】证明：∵BE平分∠ABC∴∠ABE＝∠CBE∠AEF＝90°﹣∠ABE又∵∠AFE＝∠DFB＝90°﹣∠CBE∴∠AFE＝∠AEF，∴△AFE为等腰三角形又∵G为EF的中点∴AG⊥EF．【点评】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．32．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，求证：△AFC是等腰三角形．【分析】根据AAS推出△ABD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出AB＝BC，求出AE＝CD，根据AAS推出△AEF≌△CDF即可．【解答】证明：∵在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（AAS），∴AB＝BC，∵BE＝BD，∴AE＝CD，在△AEF和△CDF中，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，能求出AF＝CF是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．33．已知：如图，∠C＝90°，BC＝AC，D、E分别在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB的中点．求证：△MDE是等腰三角形．【分析】欲求△MDE是等腰三角形，需证得MD＝ME，可连接CM，证△BDM ≌△CEM即可．【解答】证明：连接CM；等腰Rt△ABC中，CM是斜边AB的中线，∴CM＝BM，∠B＝∠ECM＝45°；又∵BD＝CE，∴△BDM≌△CEM（SAS）；∴MD＝ME，即△MDE是等腰三角形．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识．能够正确的构建出全等三角形是解答此题的关键．34．如图，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F．试证明DE＝DF．【分析】利用平行线及角平分线的性质先求得CD＝ED，CD＝DF，然后等量代换即可证明DE＝DF．【解答】证明：∵CE是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2．∵CF为外角∠ACG的平分线，∴∠4＝∠5．∵EF∥BC，∴∠4＝∠F，∠2＝∠3．∴∠1＝∠3，∠F＝∠5．∴CD＝ED，CD＝DF（等角对等边）．∴DE＝DF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的性质和平行线的性质；进行等量代换是正确解答本题的关键．35．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E、交AC于F．（1）请写出图中的一个等腰三角形，并说明理由；（2）若AB＝8，AC＝6，求△AEF的周长．【分析】（1）由EF∥BC可得∠EOB＝∠OBC，由OB平分∠ABC可得∠EBO＝∠OBC，由此得到∠EOB＝∠EBO，然后即可证明△BEO是等腰三角形；（2）和（1）一样同理可得△OFC是等腰三角形，有OE＝BE，OF＝FC，由此即可证明△AEF的周长等于AB+AC，然后就可以求出其周长．【解答】解：（1）图中的等腰三角形有△BEO（或△CFO）．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∵∠EBO＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴△BEO是等腰三角形；（2）同（1）可证△OFC也为等腰三角形，∴OE＝BE，OF＝FC，∴△AEF的周长＝AE+AF+OE+OF＝AE+AF+BE+FC＝AB+AC＝6+8＝14．【点评】本题主要考查了角的平分线的性质和两直线平行的性质及等腰三角形的判定；进行角或边的等量代换是正确解答本题的关键．36．如图，在△ABC中，∠ABD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由∠ABD＝∠ACD＝60°，即可证得ABCD四点共圆，然后根据同圆中，同弧所对的圆周角相等，即可证得∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，又由∠ADB＝90°﹣∠BDC，即可证得∠ABC＝∠ACB，即可证得△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵∠ABD＝∠ACD，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，∵∠ADB＝90°﹣∠BDC，∴∠ACB＝90°﹣∠BAC，∴2∠ACB+∠BAC＝180°又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查等腰三角形的判定；证得A、B、C、D四点共圆是正确解答本题的关键．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：。

章节测试题1.【答题】如图，△ABC中，AB=AC=15，D在BC边上，DE∥BA于点E，DF∥CA交AB 于点F，那么四边形AFDE的周长是（）A. 30B. 25C. 20D. 15【答案】A【分析】因为AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，由DE∥AB，可证△CDE为等腰三角形，同理△BDF也为等腰三角形，根据腰长相等，将线段长转化，求周长．【解答】解：∵AB=AC=15，∴∠B=∠C，由DF∥AC，得∠FDB=∠C=∠B，∴FD=FB，同理，得DE=EC.∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE=AF+FB+AE+EC=AB+AC=15+15=30选A.2.【答题】已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A. 5条B. 6条C. 7条D. 8条【答案】C【分析】考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．【解答】如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC时，都能得到符合题意的等腰三角形．选C.3.【答题】如图，射线与，，，点是上一点，在射线与上分别作点、点满足：△CPD为等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形可以画（）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意分类讨论思想的运用．【解答】解：分三种情况讨论：点P为直角顶点；点C是直角顶点；点D是直角顶点，分别进行画图即可．第一种情况：使得AP＝BD，BP＝AC；第二种情况：使得AC＝AB，CE＝AP，BD＝AE；第三种情况：使得BD＝AB，DF＝BP，AC＝BF．4.【答题】在△ABC中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角的大小为（）．A. B. 或 C. 或 D.【答案】C【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，∵∠ADE＝40°，DE⊥AB，∴∠A＝90°－40°＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－∠A)＝65°；当△ABC为钝角三角形时，如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，∵∠ADE＝40°，DE⊥AB，∴∠DAB＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠C＝∠DAB，∴∠B＝25°；综上可知∠B的度数为65°或25°，选C.5.【答题】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E. 则∠EDC 的大小是（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，∴∠CAD=∠BAD=20°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°﹣∠CAD=70°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣70°=20°，选A.6.【答题】等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（）A. 40° 40°B. 80° 20°C. 50° 50°D. 50° 50°或80° 20°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】因为一个外角等于100°，所以与这个外角相邻的内角是180°﹣100°=80°，①80°角是顶角时，底角是(180°﹣80°)=50°，与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°；②80°角是底角时，顶角是180°﹣80°×2=20°，与它不相邻的两个内角的度数分别为80°，20°，综上所述，与它不相邻的两个内角的度数分别为50°，50°或80°，20°，选D.7.【答题】已知：如图，，则的度数为（）．A. B. C. D.【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：∵，∴，∵，∴，而，∴，∵，∴，∴，∴．故选．8.【答题】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（）A. D是BC中点B. AD平分∠BACC. AB＝2BDD. ∠B＝∠C【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴D是BC中点，∠B=∠C，(故A、D正确)∠BAD=∠CAD(故B正确)无法得到AB=2BD，(故C不正确).选C.9.【答题】如图，在△ABC中，是边上一点，且，，则为（）．A. B. C. D.【答案】B【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，由∠BAD＝40°得∠B＝∠ADB＝＝70°，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝∠ADB＝35°．选B.10.【答题】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，且EH=EB. 下列四个结论：①∠ABC=45°；②AH=BC；③BE+CH=AE；④△AEC是等腰直角三角形.你认为正确的序号是（）A. ①②③B. ①③④C. ②③④D.①②③④【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.本题主要利用全等三角形的对应边相等进行证明，找出相等的对应边后，注意线段之间的和差关系．【解答】解：①∵CE⊥AB，EH＝EB，∴∠EBH＝45°，∴∠ABC＞45°，故①错误；∵CE⊥AB，∠BAC＝45°，∴AE＝EC，在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（SAS），∴AH＝BC，故选项②正确；又EC＝EH＋CH，∴AE＝BE＋CH，故选项③正确．∵AE＝CE，CE⊥AB，所以△AEC是等腰直角三角形，故选项④正确．∴②③④正确．选B.11.【答题】如图，在第一个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；^，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A5为顶点的底角的度数为（）A. 5°B. 10°C. 170°D. 175°【答案】A【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝(180°−∠B)＝80°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×80°＝40°；同理可得，∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，∴第5个三角形中，以点A5为顶点的底角的度数为×10°＝5°．选A.12.【答题】如图,在等边三角形ABC中,已知点O是三个内角平分线的交点,OD∥AB,OE∥AC,则图中等腰三角形的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可.【解答】解：①∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，∴△AOB为等腰三角形；③△AOC为等腰三角形；④△BOC为等腰三角形；⑤∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED. ∵∠B=∠C，∴∠ODE=∠OED，∴△DOE 为等腰三角形；⑥∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO．∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，∴△BOD为等腰三角形；⑦△COE为等腰三角形．共有7个等腰三角形，选D.13.【答题】如图,在△ABC中,AB=AC,AD=BD=BC,则∠A的度数是（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 20°【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：设∠A=x°．∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°，∠BDC=∠A+∠ABD=2x°．∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°．在△ABC中，x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°．选B.14.【答题】如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（）A. 80°B. 100°C. 140°D. 160°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，选C.15.【答题】一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（）A. 40B. 50C. 40或50D. 不能确定【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：①当10为腰时，10+10=20，故此种情况不存在；②当20为腰时，20-10＜20＜20+10，符合题意．故此三角形的周长=10+20+20=50选B.16.【答题】已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是（）A. 22B. 19C. 17D. 17或22【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】①4为腰长时，三角形三条边长分别为4、4、9，4+4＜9，不能构成三角形；②9位腰长时，三角形三条边长分别为9、9、4，符合三角形三边关系，此时周长为22.选A.17.【答题】如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中：①AD⊥BC；②AD=BC；③∠B=∠C；④BD=CD。

第2课时等腰三角形、等边三角形的判定知识点1等腰三角形的判定1．如图17－1－13所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴________＝________，即△ABC 是______三角形．图17－1－132．由下列条件能得到△ABC是等腰三角形的是()A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4 D．AB＝3，BC＝7，周长为103．三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4．如图17－1－14，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD 的平分线，则图中的等腰三角形有()图17－1－14A．5个B．4个C．3个D．2个5．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝________时，△ABC是等腰三角形．6．如图17－1－15，D，E为△ABC的边BC上的两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：BD ＝CE.图17－1－15知识点2等边三角形的判定7．如图17－1－16所示，在△ABC中，图17－1－16①∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝________＝________，即△ABC是________三角形；②∵AB ＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是________三角形．8．有以下关于等边三角形的判定的说法：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④三个角相等的三角形是等边三角形．其中正确的是()A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④9．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则这个三角形是________三角形．10．已知：如图17－1－17，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形状，并说明理由．图17－1－17知识点3尺规作图11．如图17－1－18，已知线段a，h.画一个等腰三角形ABC，使底边长BC＝a，腰长AB为h.(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知、求作，不写作法和证明)图17－1－18已知：求作：12．如图17－1－19，CD平分∠ACB，作BE⊥CD于点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()A. 2.5B. 1.5 C．2 D. 1图17－1－19 图17－1－2013．如图17－1－20，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有() A．1个B．2个C．3个D．4个14．2018·邵阳如图17－1－21所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC 沿DE向下翻折，使点A恰好落在点C处．若AE＝3，则BC的长是________．图17－1－21 图17－1－2215．如图17－1－22，一艘海轮位于灯塔P的北偏西80°方向的A处，它以每小时45海里的速度向正南方向航行，2小时后到达位于灯塔P的南偏西20°的B处，则B处到灯塔P的距离为________海里．16．将一张长方形纸条ABCD按如图17－1－23所示的方式折叠，若∠FEC＝64°.(1)求∠1的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．图17－1－2317．已知：如图17－1－24，锐角三角形ABC的两条高CD，BE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)连接AO，判断AO与BC的位置关系，并说明理由．图17－1－2418．(1)操作实践：如图17－1－25所示，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成的两个等腰三角形底角的度数；(要求用两种不同的分割方法)(2)分类探究：在△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC能被一条直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的度数的所有可能值．图17－1－25教师详解详析1．AC BC 等腰 2.B3．C [解析] 如图，∵AD 是BC 边上的高，AD 是BC 边上的中线，∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC ，即这个三角形一定是等腰三角形．4．A [解析] 图中共有5个等腰三角形，分别是△ABC ，△BCE ，△ABD ，△CDE 和△BCD .故选A.5．80°或50°或20° [解析] ∵∠A ＝80°，∴①当∠B ＝80°时，△ABC 是等腰三角形；②当∠B ＝(180°－80°)÷2＝50°时，△ABC 是等腰三角形；③当∠B ＝180°－80°×2＝20°时，△ABC 是等腰三角形．6．证明： ∵∠1＝∠2，∴AD ＝AE . ∵∠1＋∠ADB ＝∠2＋∠AEC ＝180°， ∴∠ADB ＝∠AEC .在△ABD 和△ACE 中，∵⎩⎨⎧∠3＝∠4，∠ADB ＝∠AEC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (AAS)，∴BD ＝CE . 7．①BC AC 等边 ②等边 8．D9．等边 [解析] ∵(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，∴a ＝b ，b ＝c ，c ＝a ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．10．解：△CEB 是等边三角形．理由如下： ∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°， BE ⊥AC ，∴∠CBE ＝∠ABE ＝60°. 又∵DE ＝DB ，BE ⊥AC ，∴CB ＝CE . ∴△CEB 是等边三角形． 11．解：已知：线段a ，h.求作：等腰三角形ABC ，使底边长BC ＝a ，腰长AB 为h.等腰三角形ABC 如图所示．12．D [解析] 由已知条件可判定△BEC 是等腰三角形，且BC ＝CE.由等角对等边判定AE ＝BE ，则易求BD ＝12BE ＝12AE ＝12(AC －BC)＝1.13．D [解析] 要使△OAB 为等腰三角形，可分三种情况进行讨论：①当OB ＝AB 时，作线段OA 的垂直平分线，与直线b 的交点为B ，此时点B 有1个；②当OA ＝AB 时，以A 为圆心，OA 长为半径作圆，与直线b 的交点为B ，此时点B 有1个；③当OA ＝OB 时，以O 为圆心，OA 长为半径作圆，与直线b 的交点为B ，此时点B 有2个.1＋1＋2＝4，所以点B 共有4个．14.3 [解析] ∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠B ＝∠ACB ＝180°－36°2＝72°.∵将△ABC 沿DE 向下翻折，使点A 恰好落在点C 处，∴AE ＝CE ，∠A ＝∠ECA ＝36°，∴∠CEB ＝72°，∴BC ＝CE ＝AE ＝ 3.15．90[解析] 在图中标上字母，如图所示．∵海轮从点A往正南方向航行，∴AB∥EF，∴∠ABP＝∠BPF＝20°.∵∠APB＝180°－∠APE－∠BPF＝180°－80°－20°＝80°，∴∠BAP＝180°－∠ABP－∠APB＝80°，∴BP＝AB＝45×2＝90(海里)．16．解：(1)由题知∠GEF＝∠FEC＝64°.∵AD∥BC，∴∠1＝∠GEB＝180°－64°－64°＝52°.(2)证明：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC＝64°.由折叠可知∠GEF＝∠FEC＝64°，∴∠GEF＝∠GFE，∴△GEF是等腰三角形．17．解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵CD，BE是△ABC的两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)，∴∠DBC＝∠ECB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形．(2)AO ⊥BC.理由如下：如图，连接AO 并延长交BC 于点F.在△AOB 和△AOC 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，∴△AOB ≌△AOC ，∴∠BAF ＝∠CAF ，∴点O 在∠BAC 的平分线上．∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，即AO ⊥BC.18．解：(1)如图所示．(2)设分割线为AD ，相应角的角度如图所示：图①中最大角的度数为39°＋78°＝117°，图②中最大角的度数为24°＋180°－2×48°＝108°，图③中最大角的度数为24°＋66°＝90°，图④的最大角的度数为84°.故△ABC的最大内角的度数的可能值是117°或108°或90°或84°.。

17.1 等腰三角形1．如图17–1–15所示，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为( ) A．20° B．25° C．30° D．40°2．已知等腰△ABC的底边BC=8 cm，且(AC=BC)=2cm，那么腰AC的长为( )A．10 cm或6 cm B．10 cm C．6cm D．8 cm或6 cm3．如图17–1–16所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．4．如图17–1–17所示，在△ABC中，AB=AC，AE是∠B AC外角∠DAC的平分线．试判断AE与BC的位置关系，并说明理由．图17–1–15 图17–1–16 图17–1–17参考答案1．D 解析：∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC．∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°．设∠DCE的度数为x．∵AC=AE，∴∠AEC=∠1+x．∵BC=BD，∴∠BDC=∠2+x．在△CDE中，x+∠2+x+∠1+x=180°(三角形内角和定理)，∠1+∠2=100°－x，∴3x+100°－x=180°，∴x=40°．2．A 解析：∵BC=8 cm，∴|AC－8|=2，∴AC－8=±2，∴AC=8±2，即AC=10或AC=6．经检验都能构成三角形．3．证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∴DBE=12∠ABC=30°．∵CD=CE，∴∠CDE=∠E．∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E=60°．∴∠CDE=∠E=30°，∴∠DBE=∠DEB=30°，∴BD=DE．4．解：AE与BC的位置关系是AE∥BC．理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠DAC=∠B+∠C=2∠C，AE是∠DAC的平分线，∴2∠E AC=∠DAC，∴∠C=∠E AC，∴AE∥BC(内错角相等，两直线平行)．。

《等腰三角形》第一课时同步练习1．等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是____和______。

2．等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是_______cm.3．等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是_______cm.4．△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C=_______。

5．在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y=_____；用含y的代数式表示x，得x=_____。

1．等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）A、40°B、100°C、70°D、40°或70°2．等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半3．在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）A、100°B、75°C、150°D、75°或100°4．等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中,正确结论的个数是（）A、4B、3C、2D、15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（）A.50°B.130°C.50°或130°D.55°或130°1.如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。

请说明BD=CE的理由。

2. 如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求∠BAD。

答案和解析一．1. 30°30°2. 103 . 194. 365. 180-2x 90-0.5y二．1.D 2.C 3.D 4.A 5.C三．1. 解：证法1：做AM⊥BC于点M∵AB=AC∴BM=CM（三线合一）同理DM=EM∴BM—DM= CM—EM即BD=CE证法2：∵AB=AC,∴∠B=∠C.(等边对等角)又∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.（等边对等角）又∵∠ADE=∠B+∠BAD,∠AED=∠C+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE2. 解：∵AD=DC，∴∠DAC=∠C=20°（等边对等角）∴∠ADB=∠DAC+∠C= 40°.又∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=40°（等边对等角）∴∠BAD=180°-40°-40°=100°。

构造等腰三角形的常用方法专题类型1 利用平行线构造等腰三角形①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形．如图，若∠1＝∠2，AC∥OB，则△OAC 为等腰三角形．②作腰的平行线构造等腰三角形．如图，若AB＝AC，DE∥AC，则△BDE为等腰三角形．③作底边的平行线构造等腰三角形．如图，若AB＝AC，DE∥BC，则△ADE为等腰三角形．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC 于点F，求证：DF＝EF.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，∴∠DMB ＝∠ACB ，∠FDM ＝∠E.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB.∴∠B ＝∠DMB.∴BD ＝MD.∵BD ＝CE ，∴MD ＝CE.在△DMF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MDF ＝∠E ，∠MFD ＝∠CFE ，MD ＝CE ，∴△DMF ≌△ECF(AAS)．∴DF ＝EF.2．已知△ABC 为等边三角形，点D 为AC 上的一个动点，点E 为BC 延长线上一点，且BD ＝DE.(1)如图1，若点D 在边AC 上，猜想线段AD 与CE 之间的关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在AC 的延长线上，(1)中的结论是否成立？请说明理由．解：(1)AD ＝CE.理由：过点D 作DP ∥BC ，交AB 于点P ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠APD ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠PDA ＝60°.∴△APD 也是等边三角形．∴AP ＝PD ＝AD.∵DB ＝DE ，∴∠DBC ＝∠E.∵DP ∥BC ，∴∠PDB ＝∠DBC.∴∠PDB ＝∠E.又∵∠BPD ＝∠A ＋∠ADP ＝120°，∠DCE ＝∠A ＋∠ABC ＝120°，∴∠BPD ＝∠DCE.在△BPD 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PDB ＝∠E ，∠BPD ＝∠DCE ，DB ＝ED ，∴△BPD ≌△DCE(AAS)．∴PD ＝CE.∴AD ＝CE.(2)AD ＝CE 成立．理由：过点D 作DP ∥BC ，交AB 的延长线于点P ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠P ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠PDC ＝∠DCE ＝60°.∴△APD 也是等边三角形．∴AP ＝PD ＝AD.∵DB ＝DE ，∴∠DBC ＝∠E.∵DP ∥BC ，∴∠PDB ＝∠DBC.∴∠PDB ＝∠E.在△BPD 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PDB ＝∠E ，∠P ＝∠DCE ，DB ＝ED ，∴△BPD ≌△DCE(AAS)．∴PD ＝CE.∴AD ＝CE.类型2 角平分线＋垂线→等腰三角形如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，故可以延长CD 交AB 于点E ，则△ACE 是等腰三角形．3．如图，已知△ABC 的面积为12，BP 平分∠ABC ，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是6．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BE 是角平分线，CD ⊥BE 交BE 的延长线于点D ，求证：BE ＝2CD.证明：延长BA ，CD 相交于点Q ，∵∠CAQ ＝∠BAE ＝∠BDC ＝90°，∴∠ACQ ＋∠Q ＝90°，∠ABE ＋∠Q ＝90°.∴∠ACQ ＝∠ABE.在△ABE 和△ACQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠ACQ ，AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAQ ，∴△ABE ≌△ACQ(ASA)．∴BE ＝CQ.∵BD 平分∠ABC ，∴∠QBD ＝∠CBD.∵∠BDC ＝90°.∴∠BDC ＝∠BDQ ＝90°.在△QDB 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠QBD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∠BDQ ＝∠BDC ，∴△QDB ≌△CDB(ASA)．∴CD ＝DQ.∴BE ＝CQ ＝2CD.类型3 运用倍角关系构造等腰三角形已知在△ABC 中，∠ACB ＝12∠ABC. ①如图1，作∠ABC 的平分线BD ，则可构造等腰△BDC ；②如图2，作∠BCE ＝2∠ACB ，交BA 的延长线于点E ，则可构造等腰△BCE ；③如图3，延长CB 至点D ，使BD ＝AB ，则可构造两个等腰三角形：△ABD ，△ADC ； ④如图4，作∠BCE ＝∠ACB ，交AB 的延长线于点E ，则可构造等腰△BCE.5．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ABC ＝2∠C ，求证：AB ＋BD ＝AC.证明：方法1：在边AC 上截取AP ＝AB ，连接PD.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠PAD.在△ABD 和△APD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AP ，∠BAD ＝∠PAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△APD(SAS)．∴∠APD ＝∠B ，PD ＝BD.∵∠B ＝2∠C ，∠APD ＝∠PDC ＋∠C ，∴∠PDC ＝∠C.∴PD ＝PC.∴BD ＝PC.∴AB ＋BD ＝AP ＋PC ＝AC.方法2：延长AB 至点E ，使BE ＝BD ，连接DE ，证△AED ≌△ACD 即可．方法3：延长CB 至点E ，使BE ＝AB ，连接AE ，则∠E ＝∠C ＝∠EAB ，易证∠EAD ＝∠EDA ，∴AC ＝EA ＝ED ＝EB ＋BD ＝AB ＋BD.类型4 截长补短构造等腰三角形6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D ，且AB ＋BD ＝DC ，求∠C 的度数．(用截长法与补短法两种方法解答)解：方法1：(截长法)在CD 上取点E ，使DE ＝BD ，连接AE ，则CE ＝AB ＝AE.∴∠B ＝∠AED ＝∠C ＋∠CAE ＝2∠C.∵∠BAC ＝120°，∴∠B ＋∠C ＝3∠C ＝60°.∴∠C ＝20°.方法2：(补短法)延长DB 至点F ，使BF ＝AB ，连接AF ，则AB ＋BD ＝DF ＝CD.∴AF ＝AC ，∠C ＝∠F ＝12∠ABC. ∵∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＋∠C ＝32∠ABC ＝60°. ∴∠ABC ＝40°.∴∠C ＝20°.。

冀教版八年级数学上册第17章测试题及答案17.1等腰三角形的性质定理（1）一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是()A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°3．等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为()A．40°B．80°C．100°D．100°或40°4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个内角的度数是()A．65°，65°B．50°，80°C．65°，65°或50°，80°D．以上都不对5．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()A．180°B．220°C．240°D．300°二、填空题6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝____°.7．如图，AB∥CD，CP交AB于点O，AO＝PO，若∠C＝50°，则∠A＝____度．8．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝____．9．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝____°.三、解答题11 (1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角各是多少度？(2)等腰三角形的一个角是70°，它的另外两个角各是多少度？12．如图，已知AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.13．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连结EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC的长．14．如图，△ABC为等边三角形，且BM＝CN，AM与BN相交于点P，求∠APN的度数．15．如图所示，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数．参考答案1.B2.C3.C4.C5.C6. 1107. 258. 409. 4010. 1511.（1）35，35 （2）55，55或40，7012.略13.(1)∠ECD＝36°(2)BC＝514.∠APN＝60°15.∠A＝45°17.1等腰三角形的性质定理（2）一、选择题1．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是()A．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C ．等腰三角形是等边三角形D ．等腰三角形是轴对称图形2．如图是人字型屋架的设计图，由AB ，AC ，BC ，AD 四根钢条焊接而成，其中A ，B ，C ，D 均为焊接点，且AB ＝AC ，D 为BC 的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC 的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是( )A ．AB 和BC 及焊接点B B ．AB 和AC 及焊接点A C ．AB 和AD 及焊接点AD ．AD 和BC 及焊接点D3．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°， 则∠DEF=（ ）A.55°B.60°C.65°D.70°4．如图，△ABC 中，∠ ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形； ②DE=BD+CE ； ③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和； ④BF=CF ． 其中正确的有（ ）BA DCEA ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①5.如图，直线l 和线段AB ，点B 在直线上，在直线l 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）A.2个B.4个C.3个D.5个二、填空题6．如图所示，根据等腰三角形的性质2填空：在△ABC 中，AB ＝AC. (1)∵AD ⊥BC ，∴∠____＝∠____，____＝____； (2)∵AD 是△ABC 的中线，∴____⊥____，∠____＝∠____； (3)∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴____⊥____，____＝____．7. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是____．8．若等腰三角形的顶角为 ，则它一腰上的高与底边的夹角等于_________.9.等腰△底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ,则腰长为 。

章节测试题1.【答题】一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为（）A. 20°B. 30°C. 80°D. 120°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：设底角为x，顶角为4x．则2x+4x=180°，解得x=30°，∴4x=120°，选D.2.【答题】若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（）A. 4cmB. 6cmC. 4cm或8cmD. 8cm【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：①4cm是腰长时，底边=16-4×2=8cm，三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4cm是底边长时，腰长=×（16-4）=6（cm），三角形的三边长分别6cm、6cm、4cm，能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的底边长是4cm．选A.3.【答题】在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A＝40°，∠B＝50°B. ∠A＝40°，∠B＝60°C. ∠A＝40°，∠B＝80°D. ∠A＝20°，∠B＝80°【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定解答即可.【解答】当顶角为∠A=40°时,∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时,∠C=65°≠40°所以A选项错误。

当顶角为∠B=60°时,∠A=60°≠40°，当∠A=40°时,∠B=70°≠60°，所以B选项错误。

当顶角为∠A=40°时,∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时,∠A=50°≠40°所以C选项错误。

章节测试题1.【答题】如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于（）A. 3cmB. 4cmC. 1.5cmD. 2cm【答案】A【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：根据角平分线的性质可得：∠DOC=∠COB，根据平行线的性质可得：∠DCO=∠COB，则∠DOC=∠DCO，则CD=OD=3cm，选A.2.【题文】如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数.【答案】(1)AB=21 (cm)；(2)∠ACB=115°【分析】(1)本题利用垂直平分线的性质即可解决，(2)利用等腰三角形的性质和外角性质得出.【解答】解：(1)∵DM、EN分别垂直平分AC和BC∴AM=MC, CN=NB∵△CMN的周长= CM+CN+MN =21∴AB=AM+MN+NB=CM+MN+CN=21 (cm)(2)∵∠MCN=50°∴∠CMN+∠CNM=180°-50°=130°∵AM=MC, CN=NE∴∠A=∠ACM, ∠B=∠BCN∵∠A+∠ACM=∠CMN, ∠B+∠BCN=∠CNM∴∠ACM=∠CMN, ∠BCN=∠CNM∴∠ACM +∠BCN= ( ∠CMN+∠CNM )=65°∴∠ACB=65°+50°= 115°3.【题文】如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________.【答案】（1）4；（2）20°；（3）2α-180°.【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA，EC=EB，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B的度数，根据等腰三角形的性质求出∠DCA+∠ECB，根据题意计算即可；（3）根据（2）的方法解答．【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，∴DC=DA，EC=EB，∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4；（2）∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DCE=100°-80°=20°；（3）∵∠ACB=α，∴∠A+∠B=180°-α，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=180°-α，∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，故答案为：2α-180°．4.【题文】已知：如图， AB=AC，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．【答案】见解答。

第十七章特殊三角形17.1第1课时等腰三角形及其性质知识点1等腰三角形的有关概念1．如图17－1－1，在△ABC中，AB＝AC，其中________和________是腰，________是底边，__________是顶角，__________和________是底角，等腰三角形是__________图形，它的对称轴是________________________．图17－1－12．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为()A．11 B．16 C．17 D．16或173．在数学课上，老师请同学们思考这样一个问题：“已知一个等腰三角形的一边长为3，周长为15，求其他两边的长．”小梅回答说：“其他两边的长分别为3，9或6，6.”你认为小梅回答的结果是否正确？答：________(填“正确”或“不正确”)，你的理由是________________________________________________________________________．4．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为________．知识点2等腰三角形的性质5．如图17－1－2，在△ABC中，AB＝AC.图17－1－2(1)∵AB＝AC，∴∠B＝________．(2)①∵AD平分∠BAC，∴BD＝________，AD⊥________；②∵BD＝CD，∴AD平分________，________⊥BC；③∵AD⊥BC，∴________平分∠BAC，________＝CD.6．2018·唐山路南区期中如图17－1－3，在△ABC中，已知AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为()图17－1－3A．25°B．30°C．40°D．45°6．教材习题A组第1题变式如图17－1－4，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是()图17－1－4A．AE＝EC B．AE＝BEC．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE8．2018·成都等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为________．9．已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是边BC的中点，那么∠CAD＝________°.10．2018·吉林我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝12，则该等腰三角形的顶角为________°.知识点3等边三角形的概念及性质11．2018·湘潭如图17－1－5，在等边三角形ABC中，D是边BC的中点，则∠BAD ＝________°.图17－1－5 图17－1－612．如图17－1－6所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数为________．13．已知：如图17－1－7，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：∠DBE＝∠DEB.图17－1－714．2018·宿迁若实数m，n满足等式|m－2|＋n－4＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则等腰三角形ABC的周长是()A．12 B．10 C．8 D．615．2018·遵义如图17－1－8，在△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为________°.图17－1－816．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是________．17．2018·绥化已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为________．18．如图17－1－9，在等边三角形ABC中，D为BC延长线上一点，E为CA延长线上一点，且AE＝CD，求证：AD＝BE.图17－1－919．已知：如图17－1－10，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC 于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.图17－1－1020．2018·孝感如图17－1－11，在△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC.请你观察图形解答下列问题：(1)线段PA，PB，PC之间的数量关系是________________；(2)若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．图17－1－1121．在△ABC中，AB＝AC.(1)如图17－1－12①，若∠BAD＝30°，AD是BC上的高，E为AC上一点，且AD＝AE，则∠EDC＝________°；(2)如图②，若∠BAD＝40°，AD是BC上的高，E为AC上一点，且AD＝AE，则∠EDC ＝________°；(3)通过以上两题，你发现在△ABC中，若AD是BC上的高，E为AC上一点，且AD ＝AE，则∠BAD与∠EDC之间有什么数量关系？用式子表示为________；(4)如图③，如果AD不是BC上的高，E为AC上一点，且AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请说明理由．图17－1－12教师详解详析1．AB AC BC ∠A ∠B ∠C 轴对称 底边的垂直平分线(底边上的中线所在的直线或顶角的平分线所在的直线)2．D [解析] 当腰长为5时，周长为5＋5＋6＝16；当腰长为6时，周长为6＋6＋5＝17，所以周长为16或17.故选D.3．不正确 三角形的任意两边之和要大于第三边[解析] 当另外两条边长为3，9时，∵3＋3＜9，不能构成三角形，∴另外两条边长为3，9的说法是错误的；当另外两条边长为6，6时，6＋3＞6，能构成三角形，∴另外两条边长为6，6，不能为3，9.4．7或11 [解析] 根据题意，①当15是腰长与腰长一半的和时，AC ＋12AC ＝15，解得AC ＝10，所以底边长为12－12×10＝7；②当12是腰长与腰长一半的和时，AC ＋12AC ＝12，解得AC ＝8，所以底边长为15－12×8＝11.所以底边长为7或11.5．(1)∠C (2)①CD BC ②∠BAC AD ③AD BD6．A [解析] ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠DAB ＝∠B ＋∠C ＝50°，∴∠B ＝25°. 7．C [解析] ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB .∵以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ， ∴BE ＝BC ， ∴∠ACB ＝∠BEC ，∴∠BEC ＝∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠EBC ＝∠BAC .8．80° [解析] ∵等腰三角形的两个底角相等，∴顶角的度数为180°－50°×2＝80°. 9．50 [解析] ∵AB ＝AC ，∠B ＝40°， ∴∠C ＝∠B ＝40°.∵D 是边BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝50°.10．36 [解析] 根据题意，该等腰三角形的顶角与底角的度数之比为1∶2.设顶角为x °，则底角为2x °，x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36.11．30 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC .∵D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝30°.12．120° [解析] 因为PQ ＝AP ＝AQ ，所以△APQ 是等边三角形， 所以∠P AQ ＝∠APQ ＝∠AQP ＝60°. 因为BP ＝AP ，所以∠BAP ＝∠B . 又因为∠BAP ＋∠B ＝∠APQ ＝60°， 所以∠BAP ＝30°，同理∠QAC ＝30°，所以∠BAC ＝∠BAP ＋∠P AQ ＋∠QAC ＝120°. 13．证明： ∵△ABC 为等边三角形，D 是AC 的中点， ∴BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°. ∴∠DBE ＝12∠ABC ＝30°.∵CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝60°，且∠ACB 为△CDE 的外角，∴∠CDE ＋∠E ＝60°，∴∠CDE ＝∠E ＝30°，∴∠DBE ＝∠DEB .14．B [解析] ∵|m －2|＋n －4＝0，∴m －2＝0，且n －4＝0，解得m ＝2，n ＝4. 当m ＝2作腰时，三边长为2，2，4，不符合三角形的三边关系； 当n ＝4作腰时，三边长为2，4，4，符合三角形的三边关系， 周长为2＋4＋4＝10.15．37 [解析] ∵AD ＝AC ，E 为CD 的中点，∴∠DAC ＝2∠CAE ＝32°，∴∠ADC ＝12(180°－∠DAC )＝74°.∵BD ＝AD ，∴∠B ＝12∠ADC ＝37°.16．70°或110° [解析] 当等腰三角形为锐角三角形时，顶角为70°；当等腰三角形为钝角三角形时，顶角为110°.17．50°或80° [解析] 因为等腰三角形的一个外角为130°，所以该等腰三角形有一个内角为50°.当50°的角为顶角时，其他两角为65°，65°；当50°的角为底角时，其他两角为50°，80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°.18．证明：在等边三角形ABC 中，AB ＝CA ， ∠BAC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠EAB ＝∠DCA ＝120°.在△EAB 和△DCA 中，⎩⎨⎧AE ＝CD ，∠EAB ＝∠DCA ，AB ＝CA ，∴△EAB ≌△DCA (SAS)，∴AD ＝BE .19．证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD .又∵BE ⊥AC ，∴∠CBE ＋∠C ＝∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ，∴∠CBE ＝∠BAD .20．解：(1)∵AB ＝AC ，AM 平分∠BAC ，∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线，∴PB ＝PC .∵EF 是AB 的垂直平分线，∴P A ＝PB ，∴P A ＝PB ＝PC .(2)∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝70°，∴∠BAC ＝180°－2×70°＝40°.∵AM 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝20°.∵P A ＝PB ，∴∠ABP ＝∠BAP ＝20°，∴∠BPD ＝∠ABP ＋∠BAP ＝40°，同理，得∠CPD ＝40°，∴∠BPC ＝∠BPD ＋∠CPD ＝40°＋40°＝80°21．解：(1)∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 上的高，∴∠ADC ＝90°，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝180°－30°2＝75°，∴∠EDC ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－75°＝15°.(2)∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 上的高，∴∠ADC ＝90°，∠CAD ＝∠BAD ＝40°. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝180°－40°2＝70°， ∴∠EDC ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－70°＝20°.(3)∠BAD ＝2∠EDC (或∠EDC ＝12∠BAD )． (4)仍有上述关系．理由如下：∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠BAD ＋∠B ＝∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠AED ＋∠EDC ＝(∠EDC ＋∠C )＋∠EDC ＝2∠EDC ＋∠C .又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠BAD ＝2∠EDC .。

一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、AE ，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC ，则添加的条件不能为（ ）A ． BD=CEB ． AD=AEC ． DA=DED ． B E=CD2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ． 80°B ．80°或20° C ． 80°或50° D ． 20° 3．已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ． 以上答案均不对 4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC 的度数是（ ）A ． 60°B ． 70°C ． 75°D ． 80°5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）A ． 8B ． 9C ． 10或12D ． 11或136．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A ． 80°B ． 70°C ． 60°D ． 50°7．在等腰△ABC 中，AB=AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ． 7B ． 11C ． 7或11D ． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A ． 60°B ． 120°C ． 60°或150°D ． 60°或120° 第4题第6题二．填空题（共10小题）9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是．10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B= °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________ °．15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= cm．16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C= ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF= 度．三．解答题（共5小题）19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．21．（2009•河南）如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．参考答案一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE（AAS）．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．（其他正确证法同样给分）21、解：OE⊥AB．证明：在△BAC和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠C=∠D，∵∠AOC=∠BOD, AC=BD, ∴△AOC≌△BOD∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。

17.1 等腰三角形专题一等腰三角形的性质和判定的应用1.已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则△ABC是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形2.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连结BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连结ED、若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是、3.在等腰△ABC中，AB=AC，MN是AB的垂直平分线，MN与AB相交于D点，与AC所在的直线相交于E点，若∠AED=40°，则∠EBC的度数为______.4如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE、（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数；（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数；（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）专题二等腰（边）三角形中的动点问题5.已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM 的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M，的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论。

测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______。

6.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B，重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E、（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D运动的程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形、7、阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连结AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12AB•h，∴r1+r2=h（定值）、（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）、（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____、若不存在，请说明理由、【知识要点】1.等腰三角形的定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2.等腰三角形的性质定理（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）.3.等边三角形的性质等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.4.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等（简称“等角对等边”）.5.等边三角形的判定定理（1）三个角都相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.【温馨提示】1.等腰三角形的定义和“等角对等边”都是等腰三角形判定的依据.2. “等边对等角”和“等角对等边”都只限于在同一个三角形中.【方法技巧】1.已知等腰三角形的一个角，求另外两个角，或已知两边求周长时，常用分类讨论的思想.2.等腰三角形的性质是证明同一个三角形中的两角相等的一个重要方法，也是用来证明线段相等或垂直、角相等的常用方法.3.等腰三角形的判定定理是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”.4.在等腰三角形的有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.1.C 解析：根据题意得2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2ac －2bc =0，所以222)))0a b c b a c -+--=（（+（，所以a =b =c ，所以△ABC 是等边三角形.2. 19 解析：∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝BC ＝10. ∵△BAE 由△BCD 逆时针旋旋转 60°得出，∴AE ＝CD ，BD ＝BE ，∠EBD ＝60°，∴AE ＋AD ＝AD ＋CD ＝AC ＝10，∵∠EBD ＝60°，BE ＝BD ，∴△BDE 是等边三角形，∴DE ＝BD ＝9，∴△AED 的周长＝AE ＋AD ＋DE ＝AC ＋BD ＝19、故答案为19、5.解：60°，60°，60°.证明:BM=CN；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.则⊿ABM≌ΔBCN(SAS),∠M=∠N; 所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠C =60°.∴当∠ADB =110°或80°时，△ADE 是等腰三角形、7.解：连接AP ，BP ，CP .则=ABC BPC APC APB S S S S ++△△△△，即：12311112222BC h BC r AC r AB r ⋅=⋅+⋅+⋅，∵AB =BC =AC ，所以r 1+r 2+r 3=h （定值）、 （2）存在；2.。

冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．有下列说法：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线和高线相等；④等腰三角形是轴对称图形.其中正确的有().A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AD,CE均为△ABC的角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数为（）A．20°B．35°C．40°D．70°3．如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的中线，DE是△ABD的高线.图中与△BAD相等的角有().A．1个B．2个C．3个D．4个4．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（）A．65°B．65°或80°C．50°或65°D．40°5．已知∠AOB为一锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边上取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点C，连接CD．②以点D为圆心，DO长为半径画弧，交OB于点E，连接DE．若∠CDE=30°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°6．已知三角形的两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是().A．30°，60°B．40°，70°C．50°，60°D．100°，30°7．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1B．2C．3D．48．在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，若BE=4，CF=6，则线段EF的长为（）A．4B．6C．8D．109．如图，△ABC中∠ACB=80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB 边上，AC、ED交于点F.若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（）(用含α的代数式表示)A．80°+32αB．170°+32αC．170°−32αD．32α10．将三张三角形纸片拼成如图所示的形状，若△ADB≌△AEC，∠1=∠2，则∠ADB+∠BCE的度数为（）A．160°B．180°C．200°D．220°11．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，BM△AD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则△ABC与△C的关系为（）△CA．△ABC=2△C B．△ABC= 52C．14△ABC=△C D．△ABC=3△C12．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交D于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（）①∠CED=∠CDE；②S△AEC:S△AEG=AC:AG；③∠ADF=2∠FDB；④CE=DF．A．①②④B．①②C．①②③D．①②③④二、填空题13．已知等腰三角形的三边长分别是3x-2，4x-3，6—2x，则该等腰三角形的周长为. 14．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分△ABC，交AC于点D，AE△BD，交CB的延长线于点E.若△E=36°，则△BAC的大小为15．如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形．16．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA 、BC 边于点P 、Q ，再分别以点P 、Q 为圆心，以大于12PQ 为半径画弧，两弧交于点M ，连接BM 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D ，若AB =5，AE =3，则△ADE 的周长为 ．17．如图，已知△ABC 中AB =AC ，∠BAC =90°，直角∠EPF 的顶点是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE =CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =12S △ABC ；④BE +CF =EF ，当∠EPF在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的有 （填序号）．三、解答题18．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，BD=AD=AC ，E 为CD 的中点，若△B=35°，求△CAE 的度数．19．如图，已知AC△BC，BD△AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC＝AD；（2）△OAB是等腰三角形．20．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝10厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上以4厘米/秒由点A出发向C点运动．设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示第t秒时，BP＝厘米，CQ＝厘米．（2）如果点P与点Q分别从B，A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CPQ是否全等？请说明理由．（3）如果点P与点Q分别从B，A两点同时出发，经过几秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形？参考答案1．D2．B3．B4．C5．C6．B7．C8．D9．C10．B11．D12．A13．172或9 14．36°15．等腰16．817．①②③18．20°19．（1）解：∵AC△BC ，BD△AD∴△ADB ＝△ACB ＝90°在Rt△ABC 和Rt△BAD 中∵{AB =AB AC =BD∴Rt△ABC△Rt△BAD （HL ）∴BC ＝AD（2）解：∵Rt△ABC△Rt△BAD∴△CAB ＝△DBA∴OA ＝OB∴△OAB 是等腰三角形.20．（1）2t ；（12﹣4t ）（2）解：△BPD 与△CPQ 全等理由：当t ＝2时，BP ＝CQ ＝4，BD ＝PC ＝6 ∵AB ＝AC∴△B ＝△C在△BPD 和△CPQ 中{BP=CQ ∠B=∠C BD=PC∴△BPD△△CPQ（SAS）；（3）解：当CP＝CQ时∴10﹣2t＝12﹣4t∴t＝1．答：经过1秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形．。

章节测试题1.【答题】如图在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质解答即可.【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°-40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，∴∠BPC=180°-70°=110°．选A.2.【答题】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A 等于（）A. 30°B. 40°C. 45°D. 36°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可【解答】∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝2∠A.∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2∠A.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即∠A＝36°．选D.3.【答题】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下列结论:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD;④若点P在直线AD上,则PB=PC. 其中正确的是（）A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AD⊥BC于D，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，故①③正确；∵∠BAD=∠CAD，∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，故②正确；∵AD是BC的中垂线，∴若点P在直线AD上，则PB=PC，故④正确.选D.4.【答题】数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定解答即可【解答】作图有以下几种情况：故选：C.5.【答题】如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC 的度数为（）A. 120°B. 30°C. 60°D. 80°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质解答即可【解答】因为AB＝AC，∠BAC＝120°，所以∠B=30°.因为AB的垂直平分线交BC于点D，所以DB=DA，所以∠B=∠DAB=30°.所以∠ADC=∠B+∠DAB=30°+30°=60°.选C.6.【答题】如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A. 1+B. 1+C. 2-D. -1【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质解答即可【解答】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为，腰长为，所以周长为.故答案为B.7.【答题】已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A. 20°或100°B. 120°C. 20°或120°D. 36°【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质解答即可【解答】解：设两内角的度数为x、4x；当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．选C.8.【答题】如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（）A. 70°B. 55°C. 50°D. 40°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质解答即可【解答】解：解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝70°，∴∠C＝70°，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝40°.故应选D.9.【答题】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x 上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【分析】根据等腰三角形的判定解答即可【解答】如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，3），B（0，6），∴AB=6-3=3，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，∵OB=6，∴点B到直线y=x的距离为6×，∵＞3，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，AB的垂直平分线与直线的交点有一个所以，点C的个数是1+2=3选B.10.【答题】在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定解答即可【解答】解：∵∠ABC=∠C=2∠A，∠ABC+∠C+∠A=180°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，∵∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，∴△ACB是等腰三角形，△ADB是等腰三角形，△CDB是等腰三角形．∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=72°，∠ADE=∠C=72°，∠EDB=∠DBC=36°，∴∠AED=∠ADE，∠EDB=∠ABD，∴△BDE是等腰三角形，△DBC是等腰三角形，选D.11.【答题】如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A. ∠B=∠DB. ∠A=∠BC. OA=OBD. AD=BC【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和判定解答即可【解答】解：∵AC∥BD，∴∠A=∠D∠C=∠B∵OA=OC∴∠A=∠C∴∠A=∠B＝∠C=∠D∴OD=OB∴AD=BC故C错误12.【答题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC＝6cm，则BD＝______.（）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质解答即可【解答】根据等腰三角形的“三线合一”即可得到结果。

17.1等腰三角形知识点一：等腰三角形的有关概念及性质 概念：有两边相等的三角形交等腰三角形相等的两边叫做腰，另一边叫做底。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简称三线合一）533773131D C B A 或为（）边长，则该等腰三角形的底，其中一边长为的周长是、已知一个等腰三角形以上答案都不对或是（）形的周长的为两边长的等腰三角，则以、已知实数满足D C B A y x y x 16201620,0842=-+-︒︒︒︒∠︒=∠=∆50703040701,3D C B A BAC BC AD A AC AB ABC 是（）的大小，则，若∥作过点中，、如图，在ABEEBC D BAC EBC C BE AE BEC AE A AC BC B AC AB ABC ∠=∠∠=∠===定正确的是（）于点，则下列结论中一交腰长为半径画弧为圆心，若以，形、如图，已知等腰三角,4︒︒︒︒∠====∆150130120100,5D C B A BAC AQ AP QC PQ BP BC ABC Q P 的度数是（），则上的两个点，且的边是、已知点CB DC BD CD B BD AD A D BC AD AC AB ABC ∠=∠∠=∠==⊥=∆21,6成立的是（），则下列结论中不一定于点中，、如图，在︒︒︒︒∠︒=∠=∆7550453030,7D C B A CBD D AC l AB A AC AB ABC 的度数是（），则于点交的垂直平分线，中，、如图，在BAC ABD AC BD AC AB ABC ∠=∠=∆21,8边上的高，求证：是中，、如图，在的长。

，求）若（的度数）求（为垂足，连接，于的垂直平分线交中，、如图，BC CE ECD EC D E AB AC AC AB ABC 521,9=∠=∆知识点二：等边三角形的概念及性质概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。

冀教版数学八年级上册17.1等腰三角形练习题一、选择题（共19小题）1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（）2图 3图A．35°B．45°C．55°D．60°3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°4．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°5．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或126．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为（）.A．30° B．30°或150° C．60°或150° D．60°或120°7．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或128．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD＝CD＝CE，∠ADC+∠ACD＝114°，则∠DFC的度数为（）8图9图10图A．114 B．123 C．132 D．1479．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°10.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是( )A. ∠B=∠CB. AD⊥BCC. AD平分∠BACD. AB=2BD11．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△A CD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．312．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝40°，则∠BAD的度数为（）12图 11图13图A．80°B．40°C．30°D．20°13．在ABC△中，OB和OC分别平分ABC∠和ACB∠，过O作DE BC∥，分别交AB、AC于点D、E，若=5BD CE+，则线段DE的长为A．5 B．6 C．7 D．814．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（）14图 15图A．30°B．45°C．60°D．90°15．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝（）A．150°B．160°C．130°D．60°16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E ＝35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°17．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或1718．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝（）18图 19图 20图A．36°B．54°C．18°D．64°19．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°20．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（）.A．1个 B．3个 C．4个 D．5个21．如图，等边三角形ABC的边长为1cm，DE分别是AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A 落在点/A处，且点/A在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cmA/EDCBA21图22图22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°．如果P为三角形内一点，且∠PBC=∠PCA，PB=PC,那么∠BPC等于（）A． 110° B． 125° C． 130° D． 65°23．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=21BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°B．75° C．45°或15° D．60°24. 下列能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40º、∠B=50º B．∠A=40º、∠B=70º C．AB=AC=3，BC=6 D．AB=3、BC=8，周长为14 二、填空题（共8小题）25．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝度．26．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是．27．如图，a∥b，∠ABC＝50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α＝°（填一个即可）28．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ．29．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．30．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为．31．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是．32．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝．三、解答题（共3小题）33．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．34．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D．35. .如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连结BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连结ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是多少?36.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B，重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D运动的程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．37.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；。