第26届全国中学生高中物理竞赛预赛试题及参考答案

全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分．一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．下列说法中正确的是A．水在0℃时密度最大．B．一个绝热容器中盛有气体，假设把气体中分子速率很大的如大于v A的分子全部取走，则气体的温度会下降，此后气体中不再存在速率大于v A的分子．C．杜瓦瓶的器壁是由两层玻璃制成的，两层玻璃之间抽成真空，抽成真空的主要作用是既可降低热传导，又可降低热辐射．D．图示为一绝热容器，中间有一隔板，隔板左边盛有温度为T的理想气体，右边为真空．现抽掉隔板，则气体的最终温度仍为T．2．如图，一半径为R电荷量为Q的带电金属球，球心位置O固定，P为球外一点．几位同学在讨论P点的场强时，有下列一些说法，其中哪些说法是正确的？A．若P点无限靠近球表面，因为球表面带电，根据库仑定律可推知，P点的场强趋于无穷大．B．因为在球内场强处处为0，若P点无限靠近球表面，则P点的场强趋于0C．若Q不变，P点的位置也不变，而令R变小，则P点的场强不变．D．若保持Q不变，而令R变大，同时始终保持P点极靠近球表面处，则P点的场强不变．3．图中L为一薄凸透镜，ab为一发光圆面，二者共轴，S为与L平行放置的屏，已知这时ab可在屏上成清晰的像．现将透镜切除一半，只保留主轴以上的一半透镜，这时ab在S上的像A．尺寸不变，亮度不变．B．尺寸不变，亮度降低．C．只剩半个圆，亮度不变．D．只剩半个圆，亮度降低．4．一轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端连一小物块，小物块放在摩擦系数为μ的水平面上，弹簧处在自然状态，小物块位于O处．现用手将小物块向右移到a处，然后从静止释放小物块，发现小物块开始向左移动．A．小物块可能停在O点．B．小物块停止以后所受的摩擦力必不为0C．小物块无论停在O点的左边还是右边，停前所受的摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同，也可能相反．D．小物块在通过O点后向右运动直到最远处的过程中，速度的大小总是减小；小物块在由右边最远处回到O点的过程中，速度的大小总是增大．5．如图所示，一内壁光滑的圆锥面，轴线OO’是竖直的，顶点O在下方，锥角为2α，若有两个相同的小珠（均视为质点）在圆锥的内壁上沿不同的圆轨道运动，则有：A．它们的动能相同．B．它们运动的周期相同．C．锥壁对它们的支撑力相同．D．它们的动能与势能之比相同，设o点为势能零点．二、填空题和作图题．把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．（6分）铀238（92 U ）是放射性元素，若衰变时依次放出α，β，β，α，α，α，α，α，β，β，α，β，β，α粒子，最终形成稳定的核Pb YX ，则其中 X ＝ ， Y ＝ ．7．（10分）在寒冷地区，为了防止汽车挡风玻璃窗结霜，可用通电电阻加热．图示为10根阻值皆为3Ω的电阻条，和一个内阻力0．5Ω的直流电源，现在要使整个电路中电阻条上消耗的功率最大，i ．应选用根电阻条．ii ．在图中画出电路连线．8．（10分）已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能．若从地面上某处将一束频率为ν的光射向其正上方相距为d 的空间站，d 远小于地球半径，令空间站接收到动光的频率为ν’，则差ν’－ν＝ ，已知地球表面附近的重力加速度为g ．9．（10分）图中所示两物块叠放在一起，下面物块位于光滑水平桌面上，其质量为m ，上面物块的质量为M ，两物块之间的静摩擦系数为μ．现从静止出发对下面物块施以随时间t 变化的水平推力F ＝γt ，γ为一常量，则从力开始作用到两物块刚发生相对运动所经过的时间等于 ，此时物块的速度等于 ．10．（16分）图中K 是密封在真空玻璃管内的金属电极，它受光照射后能释放出电子；W 是可以透光的窗口，光线通过它可照射到电极K 上；C 是密封在真空玻璃管内圆筒形的收集电极，它能收集K 所发出的光电子．R 是接在电池组E （电压足够高）两端的滑动变阻器，电极K 通过导线与串联电池组的中心端O 连接；G 是用于测量光电流的电流计．已知当某一特定频率的单色光通过窗口照射电极K 时，能产生光电子．当滑动变阻器的滑动接头处在某一点P 时，可以测到光电流，当滑动头向右移动时，G 的示数增大，使滑动头继续缓慢向右不断移动时，电流计G 的示数变化情况是： ．当滑动变阻器的滑动接头从P 点缓慢向左不断移动时，电流计G 的示数变化情况是： ．若测得用频率为ν1的单色光照射电极K 时的遏止电压为V 1，频率为ν2的单色光照射电极时的遏止电压为V 2，已知电子的电荷量为e ，则普朗克常量h ＝ ，金属电极K 的逸出功W 0＝ ．三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．11．（18分）如图所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳，两端各系一个质量相等的小球A 和B ，球A 刚好接触地面，球B 被拉到与细杆同样高度的水平位置，当球B 到细杆的距离为L 时，绳刚好拉直．在绳被拉直时释放球B ，使球B 从静止开始向下摆动．求球A 刚要离开地面时球B 与其初始位置的高度差．12．（20分）一段横截面积S ＝1．0mm 2的铜导线接入直流电路中，当流经该导线的电流I ＝1．0A 时，该段铜导线中自由电子定向运动的平均速度u 为多大？已知，每个铜原子有一个“自由电子”，每个电子的电荷量e ＝ 1．6 ×10－19C ；铜的密度ρ＝8．9g ／cm 3，铜的摩尔质量μ＝64g ／mol ．阿伏枷德罗常量N 0＝6．02×1023mol －1．13．（20分）电荷量分别为q 和Q 的两个带异号电荷的小球A 和B （均可视为点电荷），质量分别为m 和M ．初始时刻，B 的速度为0，A 在B 的右方，且与B 相距L 0，A 具有向右的初速度v 0，并还受到一向右的作用力f 使其保持匀速运动，某一时刻，两球之间可以达到一最大距离．i ．求此最大距离．ii ．求从开始到两球间距离达到最大的过程中f 所做的功．14．（20分）由双原子分子构成的气体，当温度升高时，一部分双原子分子会分解成两个单原子分子，温度越高，被分解的双原子分子的比例越大，于是整个气体可视为由单原子分子构成的气体与由双原子分子构成的气体的混合气体．这种混合气体的每一种成分气体都可视作理想气体．在体积V ＝0．045m 3的坚固的容器中，盛有一定质量的碘蒸气，现于不同温度下测得容器中蒸气的压强如下：试求温度分别为1073K 和1473K 时该碘蒸气中单原子分子碘蒸气的质量与碘的总质量之比值．已知碘蒸气的总质量与一个摩尔的双原子碘分子的质量相同，普适气体常量R ＝8．31J ·mol －1·K －115．（20分）图中L 是一根通电长直导线，导线中的电流为I ．一电阻为R 、每边长为2a的导线方框，其中两条边与L 平行，可绕过其中心并与长直导线平行的轴线OO ’转动，轴线与长直导线相距b ，b ＞a ，初始时刻，导线框与直导线共面．现使线框以恒定的角速度ω转动，求线框中的感应电流的大小．不计导线框的自感．已知电流I 的长直导线在距导线r 处的磁感应强度大小为k r I ，其中k 为常量．16．（20分）一质量为m ＝3000kg 的人造卫星在离地面的高度为H ＝180 km 的高空绕地球作圆周运动，那里的重力加速度g ＝9．3m ·s －2．由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降△H＝0．50km ．已知物体在密度为ρ的流体中以速度v 运动时受到的阻力F 可表示为F ＝21ρACv 2，式中A 是物体的最大横截面积，C 是拖曳系数，与物体的形状有关．当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数C ＝l ，取卫星的最大横截面积A ＝6．0m 2．已知地球的半径为R 0＝6400km ．试由以上数据估算卫星所在处的大气密度．。

目录第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷2003年9月 (1)第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准 (6)第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷 (14)第22届全国中学生物理竞赛复赛题 (25)第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷 (45)第24届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答 (70)第24届全国中学生物理竞赛预赛试卷2007.9.2 (90)第25届全国中学生物理竞赛预赛题试卷 (104)第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷 (113)第27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 (123)第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷2003年9月一、（20分）两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示．已知L1的焦距f1=f , L2的焦距f2=—f，两透镜间距离也是f．小物体位于物面P上，物距u1＝3f．（1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的__________边，到L2的距离为_________，是__________倍（虚或实）、____________像（正或倒），放大率为_________________。

（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向____________边移动距离_______________．这个新的像是____________像（虚或实）、______________像（正或倒）放大率为________________。

二、(20分)一个氢放电管发光，在其光谱中测得一条谱线的波长为4.86×10-7m．试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级（用量子数n表示）跃迁时发出的？已知氢原子基态（n＝1）的能量为E l=一13.6eV＝－2.18×10-18J，普朗克常量为h=6.63×10－34J·s。

三、(20分)在野外施工中，需要使质量m＝4.20 kg的铝合金构件升温。

除了保温瓶中尚存有温度t ＝90.0℃的1.200 kg的热水外，无其他热源．试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t0=10℃升温到66.0℃以上（含66.0℃），并通过计算验证你的方案．已知铝合金的比热容c＝0.880×l03J·(Kg·℃)-1，水的比热容c0 =4.20×103J·(Kg·℃)-1，不计向周围环境散失的热量。

第26届全国物理竞赛决赛试题理论部分及标准答案一、填空题（每题5分，共20分）1.某光滑曲面由曲线()y f x =绕竖直y 轴旋转一周形成，一自然半径为a 、质量为m 、劲度系数为k 的弹性圆环置于该曲面之上，能水平静止于任意高度，则曲线方程为 。

参考答案：222()y C x a mgπ=--（C 为任意常数）。

2.如图所示的电阻框架为四维空间中的超立方体在三维空间中的投影模型（可视为内外两个立方体框架，对应顶点互相连接起来），若该结构中每条棱均由电阻R 的材料构成，则AB 节点间的等效电阻为 。

参考答案：712R 3.某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长为500nm 的光，它是由5000个小眼构成的复眼，小眼一个个密集排放在眼睛的整个表面上，小眼构造很精巧，顶部有一个透光的圆形集光装置，叫角膜镜；下面连着圆锥形的透明晶体，使得外部入射的光线汇聚到圆锥顶点连接的感光细胞上（入射进入一个小眼的光线不会透过锥壁进入其他小眼），从而造成一个“影像点”（像素）；所有小眼的影像点就拼成了一个完整的像。

若将复眼看作球面圆锥，球面半径1.5r mm =，则蜜蜂小眼角膜镜的最佳直径d 约为（请给出两位有效数字） 。

参考答案：30m μ4.开路电压0U 与短路电流SC I 是半导体p-n 结光电池的两个重要技术指标，试给出两者之间的关系表达式：0U = ，式中各符号代表的物理量分别为 。

参考答案：0ln 1SCS I kT U e I ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，式中e 为电子电量的绝对值，k 为波尔兹曼常量，T 为绝对温度，S I 为p-n 结的反向饱和电流。

评分标准：本题共20分。

第1、2题每题填对均得5分，第3题只要答案在27-30m μ之间即得5分，否则0分。

第4题第一空格占4分，第二空格占1分。

二、（15分）天体或微观系统的运动可借助计算机动态模拟软件直观显示。

这涉及几何尺寸的按比例缩放。

为使显示的运动对缩放后的系统而言是实际可发生的，运动时间也应缩放。

目录第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷2003年9月 (1)第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准 (6)第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷 (14)第22届全国中学生物理竞赛复赛题 (25)第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷 (45)第24届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答 (70)第24届全国中学生物理竞赛预赛试卷2007.9.2 (90)第25届全国中学生物理竞赛预赛题试卷 (104)第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷 (113)第27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 (123)第二十届全国中学生物理竞赛预赛试卷2003年9月一、（20分）两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示．已知L1的焦距f1=f , L2的焦距f2=—f，两透镜间距离也是f．小物体位于物面P上，物距u1＝3f．（1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的__________边，到L2的距离为_________，是__________倍（虚或实）、____________像（正或倒），放大率为_________________。

（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向____________边移动距离_______________．这个新的像是____________像（虚或实）、______________像（正或倒）放大率为________________。

二、(20分)一个氢放电管发光，在其光谱中测得一条谱线的波长为4.86×10-7m．试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级（用量子数n表示）跃迁时发出的？已知氢原子基态（n＝1）的能量为E l=一13.6eV＝－2.18×10-18J，普朗克常量为h=6.63×10－34J·s。

三、(20分)在野外施工中，需要使质量m＝4.20 kg的铝合金构件升温。

除了保温瓶中尚存有温度t ＝90.0℃的1.200 kg的热水外，无其他热源．试提出一个操作方案，能利用这些热水使构件从温度t0=10℃升温到66.0℃以上（含66.0℃），并通过计算验证你的方案．已知铝合金的比热容c＝0.880×l03J·(Kg·℃)-1，水的比热容c0 =4.20×103J·(Kg·℃)-1，不计向周围环境散失的热量。

第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、选择题．本题共5小题，每小题7分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的．把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得7分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．1．图中a 、b 和c 、d 分别是两个平行板电容器的极扳，E 为电池，彼此相距较远．用导线将E 的正极与a 、 c 相连，将E 的负极与b 、d相连，待电容器充电后，去掉导线．这时已知a 带的电荷量大于c 带的电荷量，称此状态为原始状态．现设想用两根导线分别都从原始状态出发，进行以下两次连接：第一次用一根导线将a 、c 相连，用另一根导线将b 、d 相连；第二次用一根导线将a 、d 相连，用另一根导线将b 、c 相连，每次连接后都随即移去导线．下面哪种说法是正确的？A ．经过第一次连接，a 、b 间的电压下降，c 、d 间的电压上升B ．经过第一次连接，a 、b 间和c 、d 间的电压都不变C ．经过第二次连接，a 、b 间的电压和c 、d 间的电压中有一个上升，一个下降D ．经过第二次连接，a 、b 间的电压和c 、d 间的电压都下降 [ ]2．两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆，串联后接在某一直流电源两端，如图所示．已知杆a 的质量小于杆b 的质量，杆a 金属的摩尔质量小于杆b 金属的摩尔质量，杆a 的电阻大于杆b 的电阻，假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电子（载流子）．当电流达到稳恒时，若a 、 b 内存在电场，则该电场可视为均匀电场．下面结论中正确的是A ．两杆内的电场强度都等于零B ．两杆内的电场强度都不等于零，且a 内的场强大于b 内的场强C ．两杆内载流子定向运动的速度一定相等D ．a 内载流子定向运动的速度一定大于b 内载流子定向运动的速度 [ ]3．一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管，竖直插在水中，管的一部分在水面上．现用手指封住管的上端，把一定量的空气密封在玻璃管中，以V 0表示其体积；然后把玻璃管沿竖直方向提出水面，设此时封在玻璃管中的气体体积为V 1；最后把玻璃管在竖直平面内转过900，使玻璃管处于水平位置，设此时封在玻璃管中的气体体积为V 2．则有A ．V 1>V 0=V 2B ．V 1>V 0>V 2C ．V 1=V 2>V 0D ．V 1>V 0，V 2>V 0 [ ]4．一块足够长的白板，位于水平桌面上，处于静止状态．一石墨块（可视为质点）静止在白板上．石墨块与白板间有摩擦，滑动摩擦系数为μ．突然，使白板以恒定的速度v 0做匀速直线运动，石墨块将在板上划下黑色痕迹．经过某一时间t ，令白板突然停下，以后不再运动．在最后石墨块也不再运动时，白板上黑色痕迹的长度可能是（已知重力加速度为g ，不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量）A ．202v g μB ．0v tC ．2012v t gt μ- D ．20v g μ [ ] 5．如图1所示，一个电容为C 的理想电容器与两个阻值皆为R 的电阻串联后通过电键K 连接在电动势为 E 的直流电源的两端，电源的内电阻忽略不计，电键K 是断开的，在t=0时刻，闭合电键K ，接通电路，在图2中给出了六种电压V 随时间t 变化的图线a 、b 、c 、d 、e 、f ，现从其中选出三种图线用来表示图l 所示电路上1、2、3、4四点中某两点间的电压随时间t 的变化，下面四个选项中正确的是A ．a 、b 、fB ．a 、e 、fC ．b 、d 、eD ．c 、d 、e [ ]二、填空题和作图题．把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．（8分）传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标，这严重影响了搜索的速度．现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”，它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成的天线阵，小天线发出相干的电磁波，其初相位可通过电子计算机调节，从而可改变空间干涉极强的方位，这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用．对下面的简单模型的研究，有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强方位的影响．图中a 、b 为相邻两个小天线，间距为d ，发出波长为λ的相干电磁波．O x 轴通过a 、b 的中点且垂直于a 、b 的连线．若已知当a 、b 发出的电磁波在a 、b 处的初相位相同即相位差为O 时，将在与x 轴成θ角（θ很小）方向的远处形成干涉极强，现设法改变a 、b 发出的电磁波的初相位，使b 的初相位比a 的落后一个小量φ，结果，原来相干极强的方向将从θ变为θ＇，则θ－θ＇等于7．（8分）He 一Ne 激光器产生的波长为6.33×10-7m 的谱线是Ne 原子从激发态能级（用E 1表示）向能量较低的激发态能级（用E 2表示）跃迁时发生的；波长为 3.39×10-6m 的谱线是Ne 原子从能级E 1向能级较低的激发态能级（用E 3表示）跃迁时发生的．已知普朗克常量h 与光速c 的乘积h c=1.24×10-6m ·eV ．由此可知Ne 的激发态能级E 3与E 2的能最差为 eV ．8．（8分）一列简谐横波沿x 轴负方向传播，传播速度v =200m/s ．已知位于坐标原点（x =0）处的质元的振动图线如图1所示．试在图2中画出，t=4Oms ，时该简谐波的波形图线（不少于一个波长）．9．（8分）图示为某一圆形水池的示意图（竖直截面）．AB得分 阅卷 复核 得分 阅卷 复核 得分 阅卷 复核为池中水面的直径，MN 为水池底面的直径，O 为圆形池底的圆心．已知ON 为11.4m , AM 、ＢＮ为斜坡，池中水深5.00m ，水的折射率为4 / 3．水的透明度极好，不考虑水的吸收．图中a 、b 、c 、d 为四个发光点，天空是蓝色的，水面是平的．在池底中心处有一凹槽，一潜水员仰卧其中，他的眼睛位于O 处，仰视水面的最大范围的直径为AB ．（i ）潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为（ii ）四个发光点a 、b 、c 、d 中，其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是三、计算题．解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的．答案中必须明确写出数值和单位．10．（19分）试分析下面两个实验操作中的误差（或失误）对实验结果的影响．（i ）用“插针法”测量玻璃的折射率时，要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平的白纸上，然后紧贴玻璃砖的两个透明面，分别画出两条直线，在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离．如果由于操作中的误差，使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离，问这样测得的折射率与实际值相比，是偏大，偏小，还是相同？试给出简要论证（ii ）在用单摆测量重力加速度g 时，由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内作圆周运动，如图所示．这时如果测出摆球作这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比，哪个大？试定量比较．11．（18分）现有以下器材：电流表一只（量程适当．内阻可忽略不计．带有按钮开关K 1，按下按钮，电流表与电路接通，有电流通过电流表，电流表显出一定的读数），阻值己知为R 的固定电阻一个，阻值未知的待测电阻R x 一个，直流电源一个（电动势ε和内阻r 待测），单刀双掷开关K 一个，接线用的导线若干．试设计一个实验电路，用它既能测量直流电源的电动势ε和内阻r ，又能测量待测电阻的阻值R x （注意：此电路接好后，在测量过程中不许再拆开，只许操作开关，读取数据）．具体要求：（i ）画出所设计的电路图．（ii ）写出测量ε、r 和R x 主要的实验步骤．（iii ）导出用已知量和实验中测量出的量表示的ε、r 和R x 的表达式．12．（18分）一静止的原子核A 发生α衰变后变成原子核B ，已知原子核A 、原子核B 和α粒子的质量分别为m A 、m B ，和m α，光速为c （不考虑质量与速度有关的相对论效应）, 求衰变后原子核B 和α粒子的动能．得分 阅卷 复核 得分 阅卷 复核 得分 阅卷 复核13．（18分）近代的材料生长和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内（二维）的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，不受杂质原子射散的影响．这种特点可望有新的应用价值．图l 所示为四端十字形．二维电子气半导体，当电流从l 端进人时，通过控制磁场的作用，可使电流从 2, 3，或4端流出．对下面摸拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动．在图 2 中， a 、b 、c 、d 为四根半径都为R 的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4，在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间（设为真空）存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸里．以B 表示磁感应强度的大小．一个质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子，在纸面内以速度v 0沿与a 、b 都相切的方向由缝1射人磁场内，设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用．试求B 为何值时，该粒子能从缝2处且沿与b 、c 都相切的方向射出．14．（20分）如图所示，M 1N 1N 2M 2是位于光滑水平桌面上的刚性U 型金属导轨，导轨中接有阻值为R 的电阻，它们的质量为m 0．导轨的两条轨道间的距离为l ，PQ 是质量为m 的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计．初始时，杆PQ 于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B ．现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F 作用于PQ 上，使之从静止开始在轨道上向右作加速运动．已知经过时间t , PQ 离开虚线的距离为x ，此时通过电阻的电流为I 0，导轨向右移动的距离为x 0（导轨的N 1N 2部分尚未进人磁场区域）．求在此过程中电阻所消耗的能量．不考虑回路的自感． 得分 阅卷 复核 得分 阅卷 复核15．（20分）图中M1和M2是绝热气缸中的两个活塞，用轻质刚性细杆连结，活塞得分阅卷复核与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的，M1是导热的，M2是绝热的，且M2的横截面积是M1的2倍．M1把一定质量的气体封闭在气缸的L1部分，M1和M2把一定质量的气体封闭在气缸的L2部分，M2的右侧为大气，大气的压强P0是恒定的．K 是加热L2中气体用的电热丝．初始时，两个活塞和气体都处在平衡状态，分别以V10和V20表示L1和L2中气体的体积．现通过K对气体缓慢加热一段时间后停止加热，让气体重新达到平衡态，这时，活塞未被气缸壁挡住．加热后与加热前比，L1和L2中气体的压强是增大了、减小了还是未变？要求进行定量论证．16．（20分）一个质量为m 1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km 高空作圆周运动，在某处和一个质量为m 2＝m 1/9的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动．碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km ，其轨道和卫星轨道在同一平面内．已知质量为m 的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和2Mm E G a=-，式中G 是引力常量，M 是地球的质量，a 为椭圆轨道的半长轴．设地球是半径R=6371km 的质量均匀分布的球体，不计空气阻力．（i ）试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上．（ii ）如果此事件是发生在北级上空（地心和北极的连线方向上），碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题．（共35分）答案：1．B , D 2．B 3．A 4．A , C 5．A , B评分标准：每小题7分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的．全部选对的得7分．选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．二、填空题和作图题．共32分，每小题8分．按各小题的答案和评分标准给分．6．答案与评分标准：2dφλπ（8分）7．答案与评分标准： 1.59（8分）8．答案：评分标准：8分．有任何错误都给0分．9．答案与评分标准：（i ）97.20 ( 4 分）（ii ）c 、d （两个都对得 4 分，只填一个且正确得2分，有填错的得0分）10．参考解答：（i ）以两条实线代表在白纸上所画出的直线，以两条虚线代表玻璃砖的两个透明面，根据题意，实线间的距离大于虚线间的距离，如图所示．根据实线位置定出的折射角为γ，按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为γ＇，由图知γ>γ＇ ( l )由折射定律 sin i=nsin γ (2 )令入射角i 相等，当折射角偏大时，测出的折射率将偏小．（ii ）以l 表示摆长，θ表示摆线与竖直方向的夹角，m 表示摆球的质量，F 表示摆线对摆球的拉力，T 表示摆球作题图所示运动的周期．有22sin sin ()F ml Tπθθ= ( l ) cos F mg θ= ( 2 )由（l ）、（2）式得cos 2l T gθπ= ( 3 ) 而单摆的周期公式为 2l T gπ'= 即使在单摆实验中，摆角很小，θ< 50，但cos θ< l ，这表示对于同样的摆长l ，摆球在水平面内作圆周运动的周期T 小于单摆运动的周期T ＇，所以把较小的周期通过（4）求出的重力加速度的数值将大于g 的实际值．评分标准：本题 19 分．第（i ）小题9分．得到（l ）式给4分，得到正确结论给5分．只有结论给0分．第（ii ）小题10分．得到（3）式给5分，得到正确结论给5分．只有结论给0分．11．参考解答：解法一（i ）电路如右图所示，（ii ）实验步骤：（1）将单向双掷开关K 置于空位，按所设计的电路图接线．（2）按下电流表上的按钮开关K 1，读下电流表的示数I 1．（3）将K 打向左侧与a 接通，读下电流表的示数12．（4）将K 打向右侧与b 接通，读下电流表的示数13 ．（iii ）由欧姆定律有11I R I r ε=+ （1）22x x RR I r I R R ε=++ （2）33x xx I R I R RR r R R ε⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪+ ⎪+⎝⎭（3）解以上三式得23121()I I I RI I ε-=- （4）1321()I I Rr I I -=- （5）323x I RR I I =- （6）评分标准：本题18分．第（i ）小题9分．若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分．第（ii ）题3分．在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分．第（iii ）题6分．（4）、（5）、（6）式各 2 分．解法二（i ）电路如右图所示．（ii ）实验步骤：（1）将单向双掷开关K 置于空位，按所设计的电路图接线．（2）按下电流表上的按钮开关K 1，读下电流表的示数I 1．（3）将K 打向左侧与a 接通，读下电流表的示数I 2．（4）将K 打向右侧与b 接通，读下电流表的示数13．（iii ）由欧姆定律有1()x I R R r ε=++ （1）2()I R r ε=+ （2）3()x I R r ε=+ （3）解以上三式得1331I I RI I ε=- （4）121323231()I I I I I I r R I I I +-=- （5）321231()()x I I I R R I I I -=- （6） 评分标准：本题18分．第（i ）小题9分．若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分．第（ii ）题3分．在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分．第（iii ）题6分．（4）、（5）、（6）式各 2 分．12．参考解答：设α粒子速度的大小为v α，原子核B 速度的大小为v B ，在衰变过程中动量守恒，有m αv α+m B v B =0 (1)衰变过程中能量守恒，有222221122A B B B m c m v m v m c m c ααα=+++ （2） 解（l ）、（2）二式得221()2B B A B Bm m v m m m c m m ααα=--+ （3）221()2B A B B m m v m m m c m m αααα=--+ （4） 评分标准：本题 18 分．（1）式4分，（2）式8分，（3）、（4）各3分．13．参考解答：解法一在图中纸面内取O xy 坐标（如图），原点在狭缝l 处，x 轴过缝1和缝3．粒子从缝1进人磁场，在洛仑兹力作用下作圆周运动，圆轨道在原点与x 轴相切，故其圆心必在y 轴上．若以r 表示此圆的半径，则圆方程为x 2+(y －r)2=r 2 （1）根据题的要求和对称性可知，粒子在磁场中作圆周运动时应与d 的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为x =2R －R sin450 （2）y=R －R cos450 （3）由（l ）、（2）、（3）式得 r=3R （4）由洛仑兹力和牛顿定律有 200v qv B m r= （5） 由（4）、（5）式得 03mv B qR= （6） 评分标准：本题 18 分．（1）、（2）、（3）式各4分，（4）、（5）、（6）式各2分．解法二如图所示，A 为a 、b 两圆圆心的连线与缝l 的交点，F 为c 、d 两圆圆心的连线与缝3的交点．从1缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱d 的表面发生弹性碰撞后，反弹进人缝2，这个过程一定对连结b 、d 两圆圆心的直线OP 对称，故直线OP 与d 圆的交点C 必是碰度点．由于粒子在磁场中做圆运动过A 点，因此这个轨道的圆心必在过A 点并垂直于AF的直线AE 上；同时这个轨道经过C 点，所以轨道的圆心也一定在AC 的垂直平分线DE 上．这样AE 与DE 的交点E 就是轨道的圆心，AE 就是轨道的半径r ．过C 点作AF 的垂线与AF 交于H 点，则AHC EDA ∆∆∽有 AC r AD HC =（1） 由图可知HC R R =- （2）22AH R R =-（3）AC =（4） 12AD AC = （5） 由以上各式得 r=3R （6）由洛仑兹力和牛顿定律有 200v qv B m r= （7） 得到 03mv B qR= （8） 评分标准：本题 18 分．（1）式8分，（2）、（3）（4）、（5）式各1分，（6）、（7）、（8）式各1分．14．参考解答：杆PQ 在磁场中运动时，受到的作用力有：外加恒力F ，方向向右；磁场的安培力，其大小F B =BIl ，方向向左，式中I 是通过杆的感应电流，其大小与杆的速度有关；摩擦力，大小为F μ，方向向左．根据动能定理，在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能，即有212B F F F W W W mv μ++= （1） 式中v 为经过时间t 杆速度的大小，W F 为恒力F 对杆做的功，W F 安为安培力对杆做的功，W Fμ为摩擦力对杆做的功．恒力F 对杆做的功W F =Fx （2）因安培力的大小是变化的，安培力对杆做的功用初等数学无法计算，但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量，若以E R 表示电阻所消耗的能量，则有－W F 安=E R （3）摩擦力F μ是恒力，它对杆做的功W Fμ=－F μx （4）但F μ未知．因U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动，若其加速度为a ，则有F μ=m 0a （5）而 a =2x 0/t 2 （6）由（4）、（5）、（6）三式得 0022F x x W m tμ=- （7） 经过时间t 杆的速度设为v ，则杆和导轨构成的回路中的感应电动势ε=Blv （8）根据题意，此时回路中的感应电流0I R ε=（9） 由（8）、（9）式得0I R v Bl= （10） 由（l ）、（2）、（3）、（7）、（10）各式得220002221(2)2R x I R E F m x m t B l=-- （11） 评分标准：本题20分．（1）式3分，（2）式l 分，（3）式4分，（7）式4分，（10）式5分，（11）式3分．15．参考解答：解法一用n 1和n 2分别表示L 1和L 2中气体的摩尔数，P 1、P 2和 V 1、V 2分别表示L 1和L 2中气体处在平衡态时的压强和体积，T 表示气体的温度（因为 M 1是导热的，两部分气体的温度相等），由理想气体状态方程有p 1V 1=n 1RT （1）P 2V 2=n 2RT （2）式中R 为普适气体常量．若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象，处在平衡状态时有p 1S 1－p 2S 1+p 2S 2－p 0S 2=0 （3）已知S 2=2S 1 （4）由（3）、（4）式得p 1+p 2=2p 0 （5）由（l ）、（2）、（5）三式得1022111222n p V n p n V V n =+ （6） 若（6）式中的V 1、V 2是加热后L 1和L 2中气体的体积，则p 1就是加热后L1中气体的压强．加热前L 1中气体的压强则为10202101102022n p V n p n V V n =+ （7） 设加热后，L 1中气体体积的增加量为△V 1，L 2中气体体积的增加量为△V 2，因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M 2的横截面积是M 1的2倍，故有△V 1=△V 2=△V （8）加热后，L 1和L 2中气体的体积都是增大的，即△V > 0 .[若△V< 0，即加热后，活塞是向左移动的，则大气将对封闭在气缸中的气体做功，电热丝又对气体加热，根据热力学第一定律，气体的内能增加，温度将上升，而体积是减小的，故L 1和L 2中气体的压强p 1和p 2都将增大，这违反力学平衡条件（5）式］于是有 V 1=V 10+△V （9）V 2=V 20+△V （10）由（6）、（7）、（9）、（10）四式得10102021101110201020222()[()]()n p V V V n p p n n V V V V V V n n -∆-=+∆++∆+ （11） 由（11）式可知，若加热前V 10=V 20，则p 1＝p 10，即加热后p 1不变，由（5）式知p 2亦不变；若加热前 V 10＜V 20，则p 1< p 10，即加热后P 1必减小，由（5）式知P 2必增大；若加热前 V 10＞V 20, 则p 1> p 10，即加热后p 1必增大，由（5）式知p 2必减小．评分标准：本题 20 分．得到（5）式得3分，得到（8）式得3分，得到（11）式得8分，最后结论得6分．解法二设加热前L 1和L 2中气体的压强和体积分别为p 10、p 20和V 10、V 20，以p l 、p 2和V 1、V 2分别表示加热后L 1和L 2中气体的压强和体积，由于M 1是导热的，加热前L 1和L 2中气体的温度是相等的，设为T 0，加热后L 1和L 2中气体的温度也相等，设为T ．因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态，注意到S 2=2S 1，力学平衡条件分别为p 10+p 20=2p 0 （1）p 1+p 2=2p 0 （2）由（l ）、（2）两式得p 1－p 10=－ (p 2－p 20) （3）根据理想气体状态方程，对L1中的气体有1110100p V T p V T = （4） 对 L ：中的气体有2220200p V T p V T = （5） 由（4）、（5）两式得112210102020p V p V p V p V = （6） （6）式可改写成11011022022010102020(1)(1)(1)(1)p p V V p p V V p V p V ----++=++ （7） 因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M 2的横截面积是M 1的2倍，故有V 1－V 10=V 2－V 20 （8）把（3）、（8）式代入（7）式得11011011011010102020(1)(1)(1)(1)p p V V p p V V p V p V ----++=-+ （9） 若V 10=V 20，则由（9）式得p 1=p 10，即若加热前，L 1中气体的体积等于L 2中气体的体积，则加热后L 1中气体的压强不变，由（2）式可知加热后L 2中气体的压强亦不变．若V 10<V 20，则由（9）式得p 1< p 10，即若加热前，L 1中气体的体积小于L 2中气体的体积，则加热后L 1中气体的压强必减小，由（2）式可知加热后L 2中气体的压强必增大．若V 10>V 20，则由（9）式得p 1> p 10，即若加热前， L 1中气体的体积大于L 2中气体的体积，则加热后 L 1中气体的压强必增大，由（2）式可知加热后L 2中气体的压强必减小．评分标准：本题 20 分．得到（l ）式和（2）式或得到（3）得3分，得到（8）式得3分，得到（9）式得8分，最后结论得6 分．16．参考解答：（i ）图1为卫星和碎片运行轨道的示意图．以v 1表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以M 表示地球E 的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有21112()Mm v G m R h R h =++ （1） 式中G 是引力常量．由（l ）式得1GM R GM v R h R h R==++ （2） 以v 2表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量22222122Mm Mm m v G G R h a-=-+ （3） 式中a 为椭圆轨道的半长轴．由（3）式得222GM GM R R GM v R h a R h a R=-=-++ （4） 卫星和碎片碰撞过程中动量守恒，有m 1v 1－m 2v 2=(m 1+m 2)v （5）这里v 是碰后二者结合成的物体（简称结合物）的速度．由（5）式得112212m v m v v m m -=+ （6） 由（2）、（4）、（6）三式并代人有关数据得0.7520GM v R= （7） 结合物能否撞上地球，要看其轨道（椭圆）的近地点到地心的距离r min ，如果r min <R ，则结合物就撞上地球．为此我们先来求结合物轨道的半长轴a '．结合物的总能量2121212()()1()22M m m M m m G m m v G a R h++-=+-'+ （8） 代人有关数据得 a '=5259km （9）结合物轨道的近地点到地心的距离r min =2 a '－（R+h ）=3347km <R （10）据此可以判断，结合物最后要撞上地球．（ii ）解法一在极坐标中讨论．取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图2所示．碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程1cos p r e θ=+ （11） 式中e 是偏心率，p 是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离r max =R+h （12）由解析几何有max min (0.3635)2r r e a-==' （13） 在轨道的近地点，r=r min ，θ=0，由（11）式得p =r min (1+e)(=4563km ) （14）或有p =r max (1－e) （15）在结合物撞击地球处；r= R ，由（11）式有1cos p R e θ=+ （16） 或 cos p R eR θ-= （17） 代人有关数据可得cos θ=－0.7807 （18）θ=141.320 （19）这是在北纬51.320 ．评分标准：本题20分．第（i ）小题12分．（1）或（2）、（3）或（4）、（5）或（6）式各2 分，（8）式3分，（10）式3分． 第（ii ）小题8分．（11）、（12）、（13）、（14）或（15）、（16）或（17）式各l 分，（19）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给l 分．解法二在直角坐标中讨论．取直角坐标系，以椭圆的对称中心为坐标原点O, x 轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点，如图3所示．结合物轨道的椭圆方程是22221x y a b +=''（20） 式中a ＇、b ＇分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴．远地点到地心的距离r max =R+h （21）根据解析几何，若c 为地心与坐标原点间的距离，c= r max －a ＇(=1912km ) （22）而 22b a c ''=- （23）注意到a ＇由（9）式给出，得b ＇=4899km （24）结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点，设该处的坐标为x p 和y p ，则有x p =R cos θ+c （25）y p =R sin θ （26）式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x 方向的夹角．因撞击点在结合物的轨道上，将（24）、（25）式代入轨道方程（20）式，经整理得222222222()cos 2cos 0R b a b cR a b a R θθ''''''-+-+= （27）引人以下符号并代人有关数据得22211()(148410)R b a km α''=-=-⨯2112(584610)b cR km β'==⨯ 22222211(546510)b c a b a R km γ''''=-+=⨯代入（27）式得2cos cos 0αθβθγ++= （28） 解得 24cos 2ββαγθα-±-= （29） 舍掉不合理的答案，得cos θ=－0.7807 （30）θ=141.320（31）这是在北纬51.320．评分标准：（20）、（21）、（22）、（23）或（24）、（27）式各l分，（31）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给1 分．。

高中物理竞赛预赛试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。

假设一个物体的质量为m，受到的力为F，其加速度a的计算公式为：A) a = F/mB) a = m/FC) a = F * mD) a = m * F2. 在静电学中，两个点电荷之间的库仑力F与它们电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。

如果两个点电荷分别为q1和q2，它们之间的距离为r，那么它们之间的库仑力F的计算公式为：A) F = k * q1 * q2 / rB) F = k * q1 / q2 * r^2C) F = k * q1 * q2 * r^2D) F = k * q1 * r / q23. 一个物体在水平面上做匀速直线运动，其速度为v，受到的摩擦力为f。

如果物体的质量为m，重力加速度为g，那么摩擦力f与物体的重力之间的关系是：A) f = m * gB) f = m * vC) f = m * g / vD) f = m * v / g4. 光在真空中的速度是恒定的，其值为c。

如果光从真空进入介质，其速度将发生变化。

假设光在介质中的速度为v，介质的折射率为n，那么光在介质中的速度v与真空中速度c之间的关系是：A) v = c / nB) v = c * nC) v = n / cD) v = n * c5. 根据能量守恒定律，在一个封闭系统中，能量既不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式。

假设一个物体从高度h自由落下，忽略空气阻力，其势能转化为动能。

当物体落地时，其动能Ek与势能Ep之间的关系是：A) Ek = EpB) Ek = Ep + m * g * hC) Ek = m * g * hD) Ek = m * g * h / 26. 电磁感应现象中，当导体在磁场中移动时，会在导体两端产生感应电动势。

如果导体的长度为L，磁场的强度为B，导体移动的速度为v，那么感应电动势E的计算公式为：A) E = L * B * vB) E = L * v / BC) E = B * v / LD) E = B * L / v7. 一个理想气体的压强P、体积V和温度T之间的关系可以用理想气体定律来描述。

第26届全国物理竞赛决赛试题理论部分标准答案参考答案：222()y C x a mgπ=--（C 为任意常数）。

参考答案：712R 参考答案：30m μ参考答案：0ln 1SC S I kT U e I ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，式中e 为电子电量的绝对值，k 为波尔兹曼常量，T 为绝对温度，S I 为p-n 结的反向饱和电流。

评分标准：本题共20分。

第1、2题每题填对均得5分，第3题只要答案在27-30m μ之间即得5分，否则0分。

第4题第一空格占4分，第二空格占1分。

参考答案1.设位矢、时间缩放分别为//,,r r t t αβ==故速度、加速度满足关系////00lim lim t t r r v v t t ααββ∆→∆→∆∆===∆∆ （1） ////2200lim lim t t v v a v t t ααββ∆→∆→∆∆===∆∆ (2) 缩放前后质点均满足牛顿运动方程，即()ma F r = (3) //()ma F r = (4) 利用（2）式及()()kF r F r αα=，（4）式化简为 12()k ma F r αβ-= （5）对照（3）式，得12k βα-= （6）2.万有引力场中，有2k =，设想轨道尺寸按/l αα= （7） 缩放，则周期按1/2τβτατ== （8）/22/33l l ττ=（9）评分标准： 本题共15分第一小题占10分，正确得出（6）式得得10分，其中正确得出（5）式得5分。

第二小题占5分。

正确得出（9）式得5分。

参考答案：两质点的相对位矢为A B r r r =- ，记其单位矢量为r re r=。

由于质点约束在管内运动，所受合力必定沿运动方向，即静电力沿运动方向的分力，两质点运动方程22()A r kq ma e i i r=-⋅22()B r kq ma e j j r=⋅（1）相减可得22r kq ma e r=（2）其中B A a a a =-为B 相对于A 的加速度。

a b E +- c d 第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷一、选择题。

本题共5小题，每小题7分。

在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的。

把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内。

全部选对的得7分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分。

1．图中a 、b 和c 、d 分别是两个平行板电容器的极板，E 为电池，彼此相距较远。

用导线将E 的正极与a 、c 相连，将E 的负极与b 、d 相连，待电容器充电后，去掉导线。

这时已知a 带的电荷量大于c 带的电荷量，称此状态为原始状态。

现设想用两根导线分别都从原始状态出发，进行以下两次连接：第一次用一根导线将a 、c 相连，用另一根导线将b 、d 相连；第二次用一根导线将a 、d 相连，用另一根导线将b 、c 相连，每次连接后都随即移去导线。

下面哪种说法是正确的？[ ]A ．经过第一次连接，a 、b 间的电压下降，c 、d 间的电压上升B ．经过第一次连接，a 、b 间和c 、d 间的电压都不变C ．经过第二次连接，a 、b 间的电压和c 、d 间的电压中有一个上升，一个下降D ．经过第二次连接，a 、b 间的电压和c 、d 间的电压都下降2．两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆，串联后接在某一直流电源两端，如图所示。

已知杆a 的质量小于杆b 的质量，杆a 金属的摩尔质量小于杆b 金属的摩尔质量，杆a 的电阻大于杆b 的电阻，假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电子（载流子）。

当电流达到稳恒时，若a 、b 内存在电场，则该电场可视为均匀电场。

下面结论中正确的是[ ]A ．两杆内的电场强度都等于零B ．两杆内的电场强度都不等于零，且a 内的场强大于b 内的场强C ．两杆内载流子定向运动的速度一定相等D ．a 内载流子定向运动的速度一定大于b 内载流子定向运动的速度3．一根内径均匀、两端开中的细长玻璃管，竖直插在水中，管的一部分在水面上。

第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷（附详细参考解答与评分标准）答辩第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷（附详细答案）一、填空（问答）题（每题5分，共25分）1．有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示。

这种分布的静电场是否可能存在？试述理由。

2．海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆，近日点到太阳中心的距离为0.914天文单位（1天文单位等于地日间的平均距离），则其近日点速率的上限与地球公转（轨道可视为圆周）速率之比约为（保留2位有效数字）。

3．用测电笔接触市电相线，即使赤脚站在地上也不会触电，原因是；另一方面，即使穿绝缘性能良好的电工鞋操作，测电笔仍会发亮，原因是。

4．在图示的复杂网络中，所有电源的电动势均为E 0，所有电阻器的电阻值均为R 0，所有电容器的电容均为C 0，则图示电容器A 极板上的电荷量为。

5．如图，给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度，使之开始运动。

一学生利用角动量定理来考察此木块以后的运动过程：“把参考点设于如图所示的地面上一点O ，此时摩擦力f 的力矩为0，从而地面木块的角动量将守恒，这样木块将不减速而作匀速运动。

”请指出上述推理的错误，并给出正确的解释：。

二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。

已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。

现于桌面中心点O 至角A 的连线OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令c OAOP=，求桌面对桌腿1的压力F 1。

三、（15分）1．一质量为m 的小球与一劲度系数为k 的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。

试问在一沿此弹簧长度方向以速度u 作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。

2．若不考虑太阳和其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统。

第26届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案一、选择题.本题共5小题，每小题7分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的.把正确选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得7分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.1.图中a、b和c、d分别是两个平行板电容器的极扳，E为电池，彼此相距较远.用导线将E的正极与a、 c相连，将E的负极与b、d相连，待电容器充电后，去掉导线.这时已知a带的电荷量大于c带的电荷量，称此状态为原始状态.现设想用两根导线分别都从原始状态出发，进行以下两次连接：第一次用一根导线将a、c相连，用另一根导线将b、d相连；第二次用一根导线将a、d相连，用另一根导线将b、c相连，每次连接后都随即移去导线.下面哪种说法是正确的？A.经过第一次连接，a、b间的电压下降，c、d间的电压上升B.经过第一次连接，a、b间和c、d间的电压都不变C.经过第二次连接，a、b间的电压和c、d间的电压中有一个上升，一个下降D.经过第二次连接，a、b间的电压和c、d间的电压都下降2.两根不同金属导体制成的长度相等、横截面积相同的圆柱形杆，串联后接在某一直流电源两端，如图所示.已知杆a的质量小于杆b的质量，杆a金属的摩尔质量小于杆b金属的摩尔质量，杆a的电阻大于杆b的电阻，假设每种金属的每个原子都提供相同数目的自由电子(载流子).当电流达到稳恒时，若a、 b内存在电场，则该电场可视为均匀电场.下面结论中正确的是A.两杆内的电场强度都等于零B.两杆内的电场强度都不等于零，且a内的场强大于b内的场强C.两杆内载流子定向运动的速度一定相等D.a内载流子定向运动的速度一定大于b内载流子定向运动的速度3.一根内径均匀、两端开口的细长玻璃管，竖直插在水中，管的一部分在水面上.现用手指封住管的上端，把一定量的空气密封在玻璃管中，以V0表示其体积；然后把玻璃管沿竖直方向提出水面，设此时封在玻璃管中的气体体积为V1；最后把玻璃管在竖直平面内转过90°，使玻璃管处于水平位置，设此时封在玻璃管中的气体体积为V2.则有A.V1＞V0=V2B.V1＞V0＞V2C.V1=V2＞V0D.V1＞V0，V2＞V04.一块足够长的白板，位于水平桌面上，处于静止状态.一石墨块(可视为质点)静止在白板上.石墨块与白板间有摩擦，滑动摩擦系数为μ.突然，使白板以恒定的速度v0做匀速直线运动，石墨块将在板上划下黑色痕迹.经过某一时间t，令白板突然停下，以后不再运动.在最后石墨块也不再运动时，白板上黑色痕迹的长度可能是(已知重力加速度为g，不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量)A. B.v0t C. D.5.如图1所示，一个电容为C的理想电容器与两个阻值皆为R的电阻串联后通过电键K连接在电动势为 E的直流电源的两端，电源的内电阻忽略不计，电键K是断开的，在t=0时刻，闭合电键K，接通电路，在图2中给出了六种电压V 随时间t变化的图线a、b、c、d、e、f，现从其中选出三种图线用来表示图l所示电路上1、2、3、4四点中某两点间的电压随时间t的变化，下面四个选项中正确的是A.a、b、fB.a、e、fC.b、d、eD.c、d、e二、填空题和作图题.把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方.只要给出结果，不需写出求得结果的过程.6.(8分)传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标，这严重影响了搜索的速度.现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”，它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成的天线阵，小天线发出相干的电磁波，其初相位可通过电子计算机调节，从而可改变空间干涉极强的方位，这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用.对下面的简单模型的研究，有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉极强方位的影响.图中a、b为相邻两个小天线，间距为d，发出波长为λ的相干电磁波.Ox轴通过a、b的中点且垂直于a、b的连线.若已知当a、b发出的电磁波在a、b处的初相位相同即相位差为O时，将在与x轴成θ角(θ很小)方向的远处形成干涉极强，现设法改变a、b发出的电磁波的初相位，使b的初相位比a的落后一个小量φ，结果，原来相干极强的方向将从θ变为θ＇，则θ－θ＇等于____.7.(8分)He-Ne激光器产生的波长为6.33×10-7m的谱线是Ne原子从激发态能级(用E1表示)向能量较低的激发态能级(用E3表示)跃迁时发生的；波长为3.39×10-6m 的谱线是Ne原子从能级E1向能级较低的激发态能级(用E3表示)跃迁时发生的.已知普朗克常量h与光速c的乘积hc=1.24×10-6m·eV.由此可知Ne 的激发态能级E3与E2的能最差为____eV.8.(8分)一列简谐横波沿x轴负方向传播，传播速度v=200m/s.已知位于坐标原点(x=0)处的质元的振动图线如图1所示.试在图2中画出，t=4Oms，时该简谐波的波形图线(不少于一个波长).9.(8分)图示为某一圆形水池的示意图(竖直截面).AB为池中水面的直径，MN为水池底面的直径，O为圆形池底的圆心.已知ON为11.4m, AM、BN为斜坡，池中水深5.00m，水的折射率为4/3.水的透明度极好，不考虑水的吸收.图中a、b、c、d为四个发光点，天空是蓝色的，水面是平的.在池底中心处有一凹槽，一潜水员仰卧其中，他的眼睛位于O处，仰视水面的最大范围的直径为AB.(i)潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为________ .(ii)四个发光点a、b、c、d中，其发出的光能通过全反射到达潜水员眼睛的是________.三、计算题.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分.有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位.10.(19分)试分析下面两个实验操作中的误差(或失误)对实验结果的影响.(i)用“插针法”测量玻璃的折射率时，要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平的白纸上，然后紧贴玻璃砖的两个透明面，分别画出两条直线，在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离.如果由于操作中的误差，使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离，问这样测得的折射率与实际值相比，是偏大，偏小，还是相同？试给出简要论证(ii)在用单摆测量重力加速度g时，由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内作圆周运动，如图所示.这时如果测出摆球作这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，问这样求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比，哪个大？试定量比较.11.(18分)现有以下器材：电流表一只(量程适当.内阻可忽略不计.带有按钮开关K1，按下按钮，电流表与电路接通，有电流通过电流表，电流表显出一定的读数)，阻值己知为R的固定电阻一个，阻值未知的待测电阻Rx一个，直流电源一个(电动势ε和内阻r待测)，单刀双掷开关K一个，接线用的导线若干.试设计一个实验电路，用它既能测量直流电源的电动势ε和内阻r，又能测量待测电阻的阻值Rx(注意：此电路接好后，在测量过程中不许再拆开，只许操作开关，读取数据).具体要求：(i)画出所设计的电路图.(ii)写出测量ε、r和Rx主要的实验步骤.(iii)导出用已知量和实验中测量出的量表示的ε、r和Rx的表达式.12.(18分)一静止的原子核A发生α衰变后变成原子核B，已知原子核A、原子核B和α粒子的质量分别为m A、m B，和mα，光速为c(不考虑质量与速度有关的相对论效应), 求衰变后原子核B和α粒子的动能.13.(18分)近代的材料生长和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内(二维)的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，不受杂质原子射散的影响.这种特点可望有新的应用价值.图l 所示为四端十字形.二维电子气半导体，当电流从l端进人时，通过控制磁场的作用，可使电流从 2, 3，或4端流出.对下面摸拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在图 2 中， a、b、c、d为四根半径都为R的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4，在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空)存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸里.以B 表示磁感应强度的大小.一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，在纸面内以速度v0沿与a、b都相切的方向由缝1射人磁场内，设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用.试求B为何值时，该粒子能从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出.14.(20分)如图所示，M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m0.导轨的两条轨道间的距离为l，PQ 是质量为m的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计.初始时，杆PQ于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B.现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上，使之从静止开始在轨道上向右作加速运动.已知经过时间t , PQ离开虚线的距离为x，此时通过电阻的电流为I0，导轨向右移动的距离为x0(导轨的N1N2部分尚未进人磁场区域).求在此过程中电阻所消耗的能量.不考虑回路的自感.15.(20分)图中M1和M2是绝热气缸中的两个活塞，用轻质刚性细杆连结，活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的，M1是导热的，M2是绝热的，且M2的横截面积是M1的2倍.M1把一定质量的气体封闭在气缸的L1部分，M1和M2把一定质量的气体封闭在气缸的L2部分，M2的右侧为大气，大气的压强P0是恒定的. K 是加热L2中气体用的电热丝.初始时，两个活塞和气体都处在平衡状态，分别以V10和V20表示L1和L2中气体的体积.现通过K对气体缓慢加热一段时间后停止加热，让气体重新达到平衡态，这时，活塞未被气缸壁挡住.加热后与加热前比， L1和L2中气体的压强是增大了、减小了还是未变？要求进行定量论证.16.(20分)一个质量为m1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km高空作圆周运动，在某处和一个质量为m2=m1/9的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动.碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km，其轨道和卫星轨道在同一平面内.已知质量为m的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和，式中G是引力常量，M是地球的质量，a为椭圆轨道的半长轴.设地球是半径R=6371km的质量均匀分布的球体，不计空气阻力.(i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上.(ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上)，碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？参考解答与评分标准一、选择题.(共35分)答案：1.BD2.B3.A4.AC5.AB评分标准：每小题7分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的.全部选对的得7分.选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分.二、填空题和作图题.共32分，每小题8分.按各小题的答案和评分标准给分.6.答案与评分标准：(8分)7.答案与评分标准： 1.59(8分)8.答案：评分标准：8分.有任何错误都给0分.9.答案与评分标准：(i)97.2°(分)(ii)c、d(两个都对得4分，只填一个且正确得2分，有填错的得0分)10.参考解答：(i)以两条实线代表在白纸上所画出的直线，以两条虚线代表玻璃砖的两个透明面，根据题意，实线间的距离大于虚线间的距离，如图所示.根据实线位置定出的折射角为γ，按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为γ＇，由图知γ＞γ＇ (l)由折射定律 sini=nsinγ (2)令入射角i 相等，当折射角偏大时，测出的折射率将偏小.(ii)以l表示摆长，θ表示摆线与竖直方向的夹角，m表示摆球的质量，F表示摆线对摆球的拉力，T表示摆球作题图所示运动的周期.有(1)Fcosθ=mg (2)由(l)、(2)式得(3)而单摆的周期公式为即使在单摆实验中，摆角很小，θ＜5°，但cosθ＜l，这表示对于同样的摆长l，摆球在水平面内作圆周运动的周期T小于单摆运动的周期T＇，所以把较小的周期通过(4)求出的重力加速度的数值将大于g的实际值.评分标准：本题 19 分.第(i)小题9分.得到(l)式给4分，得到正确结论给5分.只有结论给0分.第(ii)小题10分.得到(3)式给5分，得到正确结论给5分.只有结论给0分.11.参考解答：解法一(i)电路如右图所示，(ii)实验步骤：(1)将单向双掷开关K置于空位，按所设计的电路图接线.(2)按下电流表上的按钮开关K1，读下电流表的示数I1.(3)将K打向左侧与a接通，读下电流表的示数I2.(4)将K打向右侧与b接通，读下电流表的示数I3.(iii)由欧姆定律有ε=I1R+I1r (1)(2)(3)解以上三式得(4)(5)(6)评分标准：本题18分.第(i)小题9分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分.第(ii)题3分.在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分.第(iii)题6分.(4)、(5)、(6)式各 2 分.解法二(i)电路如右图所示.(ii)实验步骤：(1)将单向双掷开关K置于空位，按所设计的电路图接线.(2)按下电流表上的按钮开关K1，读下电流表的示数I1.(3)将K打向左侧与a接通，读下电流表的示数I2.(4)将K打向右侧与b接通，读下电流表的示数13.(iii)由欧姆定律有ε=I1(R+R x+r) (1)ε=I2(R+r) (2)ε=I3(R x+r) (3)解以上三式得(4)(5)(6)评分标准：本题18分.第(i)小题9分.若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分.第(ii)题3分.在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分.第(iii)题6分.(4)、(5)、(6)式各 2 分.12.参考解答：设α粒子速度的大小为vα，原子核B速度的大小为v B，在衰变过程中动量守恒，有mαvα+m B v B=0 (1)衰变过程中能量守恒，有(2)解(l)、(2)二式得(3)(4)评分标准：本题18分.(1)式4分，(2)式8分，(3)、(4)各3分.13.参考解答：解法一在图中纸面内取Oxy坐标(如图)，原点在狭缝l处，x 轴过缝1和缝3.粒子从缝1进人磁场，在洛仑兹力作用下作圆周运动，圆轨道在原点与x轴相切，故其圆心必在y轴上.若以r表示此圆的半径，则圆方程为x2+(y-r)2=r2 (1)根据题的要求和对称性可知，粒子在磁场中作圆周运动时应与d的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为x=2R-Rsin45° (2)y=R-Rcos45° (3)由(l)、(2)、(3)式得 r=3R (4)由洛仑兹力和牛顿定律有(5)由(4)、(5)式得(6)评分标准：本题 18 分.(1)、(2)、(3)式各4分，(4)、(5)、(6)式各2分.解法二如图所示，A为a、b两圆圆心的连线与缝l的交点，F 为c、d两圆圆心的连线与缝3的交点.从1缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱d的表面发生弹性碰撞后，反弹进人缝2，这个过程一定对连结b、d 两圆圆心的直线OP对称，故直线OP与d圆的交点C必是碰度点.由于粒子在磁场中做圆运动过A点，因此这个轨道的圆心必在过A点并垂直于AF的直线AE上；同时这个轨道经过C点，所以轨道的圆心也一定在AC的垂直平分线DE 上.这样AE与DE的交点E就是轨道的圆心，AE就是轨道的半径r.过C点作AF 的垂线与AF交于H点，则△AHC∽△EDA有(1)由图可知(2)(3)(4)(5)由以上各式得 r=3R (6)由洛仑兹力和牛顿定律有(7)得到(8)评分标准：本题18分.(1)式8分，(2)、(3)(4)、(5)式各1分，(6)、(7)、(8)式各1分.14.参考解答：杆PQ在磁场中运动时，受到的作用力有：外加恒力F，方向向右；磁场的安培力，其大小F B=BIl，方向向左，式中I是通过杆的感应电流，其大小与杆的速度有关；摩擦力，大小为Fμ，方向向左.根据动能定理，在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能，即有(1)式中v为经过时间t杆速度的大小，W F为恒力F对杆做的功，W F安为安培力对杆做的功，W Fμ为摩擦力对杆做的功.恒力F对杆做的功W F=Fx (2)因安培力的大小是变化的，安培力对杆做的功用初等数学无法计算，但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量，若以E R表示电阻所消耗的能量，则有-W F安=E R (3)摩擦力Fμ是恒力，它对杆做的功W Fμ=-Fμx (4)但Fμ未知.因U型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动，若其加速度为a，则有Fμ=m0a (5)而 a=2x0/t2 (6)由(4)、(5)、(6)三式得 (7)经过时间t杆的速度设为v，则杆和导轨构成的回路中的感应电动势ε=Blv (8)根据题意，此时回路中的感应电流(9)由(8)、(9)式得(10)由(l)、(2)、(3)、(7)、(10)各式得(11)评分标准：本题20分.(1)式3分，(2)式l分，(3)式4分，(7)式4分，(10)式5分，(11)式3分.15.参考解答：解法一用n1和n2分别表示L1和L2中气体的摩尔数，P1、P2和 V1、V2分别表示L1和L2中气体处在平衡态时的压强和体积，T表示气体的温度(因为 M1是导热的，两部分气体的温度相等)，由理想气体状态方程有p1V1=n1RT (1)P2V2=n2RT (2)式中R为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象，处在平衡状态时有p1S1-p2S1+p2S2-p0S2=0 (3)已知S2=2S1 (4)由(3)、(4)式得p1+p2=2p0 (5)由(l)、(2)、(5)三式得(6)若(6)式中的V1、V2是加热后L1和L2中气体的体积，则p1就是加热后L1中气体的压强.加热前L1中气体的压强则为(7)设加热后，L1中气体体积的增加量为△V1，L2中气体体积的增加量为△V2，因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M2的横截面积是M1的2倍，故有△V1=△V2=△V (8)加热后，L1和L2中气体的体积都是增大的，即△V > 0 .[若△V< 0，即加热后，活塞是向左移动的，则大气将对封闭在气缸中的气体做功，电热丝又对气体加热，根据热力学第一定律，气体的内能增加，温度将上升，而体积是减小的，故L1和L2中气体的压强p1和p2都将增大，这违反力学平衡条件(5)式］于是有 V1=V10+△V (9)V2=V20+△V (10)由(6)、(7)、(9)、(10)四式得(11)由(11)式可知，若加热前V10=V20，则p1＝p10，即加热后p1不变，由(5)式知p2亦不变；若加热前 V10＜V20，则p1< p10，即加热后P1必减小，由(5)式知P2必增大；若加热前 V10＞V20, 则p1＞p10，即加热后p1必增大，由(5)式知p2必减小.评分标准：本题 20 分.得到(5)式得3分，得到(8)式得3分，得到(11)式得8分，最后结论得6分.解法二设加热前L1和L2中气体的压强和体积分别为p10、p20和V10、V20，以p l、p2和V1、V2分别表示加热后L1和L2中气体的压强和体积，由于M1是导热的，加热前L1和L2中气体的温度是相等的，设为T0，加热后L1和L2中气体的温度也相等，设为T.因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态，注意到S2=2S1，力学平衡条件分别为p10+p20=2p0 (1)p1+p2=2p0 (2)由(l)、(2)两式得p1-p10=-(p2-p20) (3)根据理想气体状态方程，对L1中的气体有(4)对L：中的气体有(5)由(4)、(5)两式得(6)(6)式可改写成(7)因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M2的横截面积是M1的2倍，故有V1-V10=V2-V20 (8)把(3)、(8)式代入(7)式得(9)若V10=V20，则由(9)式得p1=p10，即若加热前，L1中气体的体积等于L2中气体的体积，则加热后L1中气体的压强不变，由(2)式可知加热后L2中气体的压强亦不变.若V10＜V20，则由(9)式得p1＜p10，即若加热前，L1中气体的体积小于L2中气体的体积，则加热后L1中气体的压强必减小，由(2)式可知加热后L2中气体的压强必增大.若V10＞V20，则由(9)式得p1＞p10，即若加热前， L1中气体的体积大于L2中气体的体积，则加热后L1中气体的压强必增大，由(2)式可知加热后L2中气体的压强必减小.评分标准：本题 20 分.得到(l)式和(2)式或得到(3)得3分，得到(8)式得3分，得到(9)式得8分，最后结论得6 分.16.参考解答：(i)图1为卫星和碎片运行轨道的示意图.以v1表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以M表示地球E的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有(1)式中G是引力常量.由(l)式得(2)以v2表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量(3)式中a为椭圆轨道的半长轴.由(3)式得(4)卫星和碎片碰撞过程中动量守恒，有m1v1－m2v2=(m1+m2)v (5)这里v是碰后二者结合成的物体(简称结合物)的速度.由(5)式得(6)由(2)、(4)、(6)三式并代人有关数据得(7)结合物能否撞上地球，要看其轨道(椭圆)的近地点到地心的距离r min，如果r min＜R，则结合物就撞上地球.为此我们先来求结合物轨道的半长轴a′.结合物的总能量(8)代人有关数据得 a′=5259km (9)结合物轨道的近地点到地心的距离r min=2a′-(R+h)=3347km＜R (10)据此可以判断，结合物最后要撞上地球.(ii)解法一在极坐标中讨论.取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图2所示.碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程(11)式中e是偏心率，p是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离r max=R+h (12)由解析几何有(13)在轨道的近地点，r=r min，θ=0，由(11)式得p=r min(1+e)(=4563km) (14)或有p=r max(1－e) (15)在结合物撞击地球处；r=R，由(11)式有(16)或(17)代人有关数据可得cosθ=-0.7807 (18)θ=141.32° (19)这是在北纬51.32°.评分标准：本题20分.第(i)小题12分.(1)或(2)、(3)或(4)、(5)或(6)式各2 分，(8)式3分，(10)式3分.第(ii)小题8分.(11)、(12)、(13)、(14)或(15)、(16)或(17)式各l分，(19)式2分(答案在141°到142°之间的都给2分)，正确指出纬度给l分.解法二在直角坐标中讨论.取直角坐标系，以椭圆的对称中心为坐标原点O, x轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点，如图3所示.结合物轨道的椭圆方程是(20)式中a＇、b＇分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴.远地点到地心的距离r max=R+h (21)根据解析几何，若c为地心与坐标原点间的距离，c=r max－a＇(=1912km) (22)而(23)注意到a＇由(9)式给出，得b＇=4899km (24)结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点，设该处的坐标为x p 和y p，则有x p=Rcosθ+c (25)y p=Rsinθ (26)式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x方向的夹角.因撞击点在结合物的轨道上，将(24)、(25)式代入轨道方程(20)式，经整理得R2(b′2-a′2)cos2θ+2b′2cRcosθ-a′2b′2+a′2R2=0 (27)引人以下符号并代人有关数据得α=R2(b′2-a′2)=(-1484×1011km)β=2b′2cR(=5846×1011km).γ=b′2c2-a′2b′2+a′2R2(=5465×1011km)代入(27)式得αcos2θ+βcosθ+γ=0 (28)解得(29)舍掉不合理的答案，得cosθ=-0.7807 (30)θ=141.32°(31)这是在北纬51.32°.评分标准：(20)、(21)、(22)、(23)或(24)、(27)式各l分，(31)式2分(答案在141°到142°之间的都给2分)，正确指出纬度给1分.。

全国中学生物理竞赛预赛题试卷本卷共九题，满分140分。

一、（15分）填空1．a．原子大小的数量级为__________m。

b．原子核大小的数量级为_________m。

c．氦原子的质量约为_________kg。

d．一个可见光光子的能量的数量级为_________J。

e．在标准状态下，1cm3气体中的分子数约为____________。

（普朗克常量h＝6.63×10－34J·s 阿伏加德罗常量N A＝6.02×1023 mol－1）2．已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80％。

试判断下列说法是否正确，并简述理由。

a．反射光子数为入射光子数的80％；b．每个反射光子的能量是入射光子能量的80％。

二、（15分）质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角α＝30︒的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的磨擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。

第一次，m1悬空，m2放在斜面上，用t表示m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间。

第二次，将m1和m2位置互换，使m2悬空，m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3。

求m l与m2之比。

三、（15分）测定电子荷质比（电荷q 与质量m 之比q ／m ）的实验装置如图所示。

真空玻璃管内，阴极K 发出的电子，经阳极A 与阴极K 之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C 、D 间的区域。

若两极板C 、D 间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O 点；若在两极板间加上电压U ，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P 点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O 点。

现已知极板的长度l ＝5.00cm ，C 、D 间的距离d ＝l.50cm ，极板区的中点M 到荧光屏中点O 的距离为L ＝12.50cm ，U ＝200V ，P 点到O 点的距离 3.0y OP ==cm ；B ＝6.3×10－4T 。

第26届全国物理竞赛决赛试题理论部分及标准答案一、填空题（每题5分，共20分）1.某光滑曲面由曲线()y f x =绕竖直y 轴旋转一周形成，一自然半径为a 、质量为m 、劲度系数为k 的弹性圆环置于该曲面之上，能水平静止于任意高度，则曲线方程为 。

参考答案：222()y C x a mgπ=--（C 为任意常数）。

2.如图所示的电阻框架为四维空间中的超立方体在三维空间中的投影模型（可视为内外两个立方体框架，对应顶点互相连接起来），若该结构中每条棱均由电阻R 的材料构成，则AB 节点间的等效电阻为 。

参考答案：712R 3.某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长为500nm 的光，它是由5000个小眼构成的复眼，小眼一个个密集排放在眼睛的整个表面上，小眼构造很精巧，顶部有一个透光的圆形集光装置，叫角膜镜；下面连着圆锥形的透明晶体，使得外部入射的光线汇聚到圆锥顶点连接的感光细胞上（入射进入一个小眼的光线不会透过锥壁进入其他小眼），从而造成一个“影像点”（像素）；所有小眼的影像点就拼成了一个完整的像。

若将复眼看作球面圆锥，球面半径1.5r mm =，则蜜蜂小眼角膜镜的最佳直径d 约为（请给出两位有效数字） 。

参考答案：30m μ4.开路电压0U 与短路电流SC I 是半导体p-n 结光电池的两个重要技术指标，试给出两者之间的关系表达式：0U = ，式中各符号代表的物理量分别为 。

参考答案：0ln 1SCS I kT U e I ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，式中e 为电子电量的绝对值，k 为波尔兹曼常量，T 为绝对温度，S I 为p-n 结的反向饱和电流。

评分标准：本题共20分。

第1、2题每题填对均得5分，第3题只要答案在27-30m μ之间即得5分，否则0分。

第4题第一空格占4分，第二空格占1分。

二、（15分）天体或微观系统的运动可借助计算机动态模拟软件直观显示。

这涉及几何尺寸的按比例缩放。

为使显示的运动对缩放后的系统而言是实际可发生的，运动时间也应缩放。

全国中学生物理竞赛预赛试题本卷共九题，满分200分一、（20分，每小题10分）1. 如图所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A 与球B 之间用线相连。

球B 与球 C 之间用弹簧S2相连。

A、B、C的质量分别为m A、m B、m C，弹簧与线的质量均可不计。

开始时它们都处在静止状态。

现将A、B 间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C 的加速度。

2. 两个相同的条形磁铁，放在平板AB 上，磁铁的N、S 极如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。

（ⅰ）现将AB 突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在A B''处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。

''''位置，结果发现两条形磁铁也碰在一（ⅱ）如果将AB 从原位置突然竖直向上平移，并使之停在A B起。

试定性地解释上述现象。

1. 老爷爷的眼睛是老花眼。

（ⅰ）一物体P 放在明视距离处，老爷爷看不清楚。

试在示意图1中画出此时P 通过眼睛成像的光路示意图。

（ⅱ）带了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2中画出P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。

图12. 有两个凸透镜，它们的焦距分别为f1和f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f3和f4。

已知，f1＞f2＞| f3 |＞| f4 |。

如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为_________的透镜作为物镜，应选焦距为________的透镜作为目镜。

1. 如图所示，电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处，电荷量为q2的正点电荷固定在x轴上，两电荷相距l 。

已知q2＝2q1。

（ⅰ）求在x轴上场强为零的P点的坐标。

（ⅱ）若把一电荷量为q0的点电荷放在P点，试讨论它的稳定性（只考虑q0被限制在沿x轴运动和被限制在沿垂直于x轴方向运动这两种情况）。

第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考解答与评分标准一、填空（问答）题.每小题5分，共25分.按各小题的答案和评分标准评分. 1. 答案与评分标淮：这种分布的静电场不可能存在.因为静电场是保守场，电荷沿任意闭合路径一周电场力做的功等于0，但在这种电场中，电荷可以沿某一闭合路径移动一周而电场力做功不为0．（5分）2．答案与评分标淮： 1.5．（5分）3．答案与评分标淮：测电笔内阻很大，通过与之串联的人体上的电流（或加在人体上的电压）在安全范围内；（2分） 市电为交流电，而电工鞋相当于一电容器，串联在电路中仍允许交流电通过．（3分） 4．答案与评分标淮： 002C E ．（5分） 5．答案与评分标淮：该学生未考虑竖直方向木块所受的支持力和重力的力矩.仅根据摩擦力的力矩为零便推出木块的角动量应守恒，这样推理本身就不正确.事实上，此时支持力合力的作用线在重力作用线的右侧，支持力与重力的合力矩不为0，木块的角动量不守恒，与木块作减速运动不矛盾．（5分）二、 参考解答：设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为1F 、2F 、3F 、4F ．因轻质刚性的桌面处在平衡状态，可推得1234F F F F F +++=． (1)由于对称性，24F F =．(2)考察对桌面对角线BD 的力矩，由力矩平衡条件可得13F cF F =+．(3)根据题意， 10≤≤c ，c =0对应于力F 的作用点在O 点，c =1对应于F 作用点在A 点.设桌腿的劲度系数为k , 在力F 的作用下，腿1的形变为1F k ，腿2和4的形变均为2F k ，腿3的形变为3F k ．依题意，桌面上四个角在同一平面上，因此满足13212F F F k k k⎛⎫+=⎪⎝⎭, 即1322F F F +=．(4)由(1)、(2)、(3)、(4)式，可得1214c F F +=， (5)3124cF F -=， (6)当12c ≥时，03≤F .30F =，表示腿3无形变；30F <，表示腿3受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故应视30F =．此时(2)式(3)式仍成立．由(3)式，可得1F cF =．(7)综合以上讨论得F c F 4121+=, 102c ≤≤ . (8)cF F =1 ， 121≤≤c . (9)评分标准：本题20分.(1)式1分，(2)式1分，(3)式2分，(4)式7分，得到由(8)式表示的结果得4分，得到由(9)式表示的结果得5分．三、 参考解答：1.否．原因是墙壁对于该体系而言是外界，墙壁对弹簧有作用力，在运动参考系里此力的作用点有位移，因而要对体系做功，从而会改变这一体系的机械能．2.因地球受月球的引力作用，月球受地球的引力作用，它们相对惯性系都有加速度，故它们都不是惯性参考系．相对非惯性参考系，牛顿第二定律不成立．如果要在非惯性参考系中应用牛顿第二定律，必须引入相应的惯性力；而这两位学生又都未引入惯性力，所以他们得到的结果原则上都是错误的．以地心为参考系来求月球的加速度.地心系是非惯性系，设地球相对惯性系的加速度的大小为e a *，则由万有引力定律和牛顿第二定律有e 2Mm GMa R*=， (1)加速度的方向指向月球．相对地心参考系，月球受到惯性力作用，其大小m ef ma **=， (2)方向指向地球，与月球受到的万有引力的方向相同．若月球相对地心系的加速度为m a ，则有m m 2Mm Gf ma R *+=． (3)由(1)、(2)、(3)三式，得m 2M ma GR+=， (4)加速度的方向指向地球．以月心为参考系来求地球的加速度.月心系也是非惯性系，设月球相对惯性系的加速度的大小为m a *，则由万有引力定律和牛顿第二定律有m 2Mm Gma R*=， (5)加速度的方向指向地球．相对月心参考系，地球受到惯性力作用，惯性力的大小mM f Ma **=， (6)方向指向月球，与地球受到的万有引力的方向相同．若地球相对月心系的加速度为e a ，则有e e 2Mm Gf Ma R *+=． (7)由(5)、(6)、(7)三式得e 2M ma GR +=， (8)加速度的方向指向月球． (4)式与(8)式表明，地球相对月心系的加速度e a 与月球相对地心系的加速度m a 大小相等(方向相反)，与运动的相对性一致．评分标准：本题15分. 第1小问5分.第2小问10分.指出不正确并说明理由，占2分；(1)至(8)式，每式1分． 四、参考解答：于火箭燃烧室出口处与喷气口各取截面1A 与2A ，它们的面积分别为1S 和2S ，由题意，21S S >>，以其间管道内的气体为研究对象，如图所示．设经过很短时间t ∆，这部分气体流至截面1B 与2B 之间，11A B 间、22A B 间的微小体积分别为1V ∆、2V ∆，两处气体密度为1ρ、2ρ，流速为1v 、2v ．气流达到稳恒时，内部一切物理量分布只依赖于位置，与时间无关．由此可知，尽管12B A 间气体更换，但总的质量与能量不变．先按绝热近似求喷气口的气体温度2T ．质量守恒给出1122V V ρρ∆=∆，(1)即22A B 气体可视为由11A B 气体绝热移动所得．事实上，因气流稳恒，11A B 气体流出喷口时将再现22A B 气体状态．对质量1122m V V ρρ∆=∆=∆的气体，利用理想气体的状态方程mp V RT μ∆∆=(2)和绝热过程方程()()1122V V VVc Rc R c c p V p V ++∆=∆， (3)可得2211V R c Rp T T p +⎛⎫= ⎪⎝⎭．(4)再通过能量守恒求气体的喷射速率2v ．由(1)式及V S t ∆=∆v ，可得2v v 22111S S ρρ=，(5)再利用(1)、(3)式，知221v v v Rc c V V p p S S S S +⎪⎪⎭⎫⎝⎛==12121122ρρ，因12S S <<， 12p p <<，故21v v <<．(6)整个体系经t ∆时间的总能量（包括宏观流动机械能与微观热运动内能）增量E ∆为22A B 部分与11A B 部分的能量差．由于重力势能变化可忽略，在理想气体近似下并考虑到(6)式，有()1221T T c m m E V -∆+∆=∆μ22v ． (7)体系移动过程中，外界做的总功为1122W p V p V =∆-∆．(8)根据能量守恒定律，绝热过程满足 E W ∆=，(9)得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+R c RV V p p T R c 12112μ2v ， (10)其中利用了(2)、(4)两式．评分标准：本题20分.(2)式1分，(3)式2分，(4)式3分，(6)式1分，(7)式6分，(8)式4分，(9)式1分，(10)式2分．五、 参考解答：旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为22g f ω=． (1)由(1)式，旋转抛物面方程可表示为24r z f=． (2)停转后液面水平静止．由液体不可压缩性，知液面上升．以下求抛物液面最低点上升的高度．抛物液面最低点以上的水银，在半径R 、高2R f 的圆柱形中占据体积为M 的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为V 的部分无水银．体M 在高度z 处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得z 处圆环面积()()()222ππ4M S z R r R fz =-=-．(3)将体V 倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体Λ，相应抛物面方程变为224R r z f-=， (4)其高度z 处的水平截面为圆面，面积为 ()()()22ππ4M S z r R fz S z Λ==-=．(5)由此可知221π24R M V RfΛ===， (6)即停转后抛物液面最低点上升22π8M R h R f==． (7)因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同．设眼长为0y ．凹面镜成像时，物距u 即所求距离，像距v 与像长y 分别为f-u fuv =， (8)00y uf f y y -=-=u v ． (9)平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为28R u u h u f'=-=-， (10)像距v '与像长y '分别为 u -v '='， (11)00y y y =''-='u v ．(12)两像视角相同要求v -u v '''=-y u y ， (13)即2211224u u f u R f=--， (14)此处利用了(8)—(12)诸式．由(14)式可解得所求距离2R u =． (15)评分标准：本题20分.(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分．六、 参考解答：1．先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．根据光速不变原理，两系中光速的大小都是c ．以θ和θ'分别表示光子速度方向在S 和S '系中与x 和x '轴的夹角，则光速的x 分量为cos x u c θ=， (1)cos x u c θ''=．(2)再利用相对论速度变换关系，得cos cos 1os c cθθθ'+='+v cv ．(3)S '系中光源各向同性辐射，表明有一半辐射分布于0π2θ'≤≤的方向角范围内，S 系中，此范围对应0θα≤≤．由上式求得cos2arccosarccos 1cos 2παπ+==+vv c v c c ． (4)可以看出，光源的速度v 越大，圆锥的顶角越小．2．S '系中，质点静止，在t '∆时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即20P t m c '∆=∆，(5)式中0m ∆为t '∆时间内质点减少的质量．S 系中，质点以速度v 匀速运动，由于辐射，其动质量减少m ∆，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为v m p ∆=∆，即201cm p 2v -v ∆=∆； (6)转化为光子的总能量为2E mc ∆=∆，即2201cc m E 2v -∆=∆． (7)S '系中光源静止，测得的辐射时间t '∆为本征时，在S 系中膨胀为21ct t 2v -'∆=∆， (8)由以上各式可得在S 系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为 p t ∆=∆2vP c ， (9)EP t∆=∆． (10)评分标准：本题20分.第1小问7分.(3)式4分，(4)式3分.第2小问13分.(5)、 (6) 、(7)式各2分，(8)式3分，(9) 、(10) 式各2分． 七、 参考解答：1．光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为 E c MV E c MV ''+=-+，(1)2222E MV E MV ''+=+．(2)其中V '为碰撞后反射镜的速度．从上两式消去V '，得21EE E V c'+=≈+．(3)11V cE EV c -'=+(4)当1V c <<时，111V c V c≈-+，可得()c V E E 21-='．(5)2.考察时刻t 位于垂直于光传播方向的截面A 左侧的长为光在1s 时间内所传播的距离c ⨯1s 、底面积为单位面积柱体内的光子，如图1所示．经过1s 时间，它们全部通过所考察的截面．若单位体积中的光子数为n ，根据光强的定义，入射光的强度ncE =Φ （6）若A 处固定一反射镜，则柱体的底面S 2处的光子在时刻t 到达位于A 处的反射镜便立即被反射，以光速c 向左移动；当柱体的底面S 1在t+1s 到达A 处被反射镜反射时，这柱体的底面S 2已到达A 左边距离A 为c ⨯1s 处，所有反射光的光子仍分布在长为c ⨯1s 、截面积为单位面积的柱体内，所以反射光的强度与入射光的强度相等．如果反射镜不固定，而是以恒定的速度V 向右移动，则在时刻t+1s 柱体的底面S 1到达A 处时，反射镜已移到A 右边距离为V ⨯1s 的N 处，这时底面S 2移到A 左侧离A的距离为c ⨯1s 处，如图2中a 所示.设再经过时间t ∆，S 1与镜面相遇，但这时镜面己来到N '处，因为在t ∆时间内，镜面又移过了一段距离t V ∆，即在时刻s 1t t ∆++，底面S 1才到达反射镜被反射．亦即原在S 1处的光子须多行进cΔt 的距离才能被反射．因此()1s c t t V ∆∆=+ 得Vc Vt -=∆ (7) 而这时，底面S 2又向左移了一段距离t c ∆．这样反射光的光子将分布在长为12c s c t ⨯+∆的柱体内．因反射不改变光子总数，设n '为反射光单位体积中的光子数，有V c V c cn V c cV c n nc -+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'=2 故有Vc Vc n n +-='． (8)根据光强度的定义，反射光的强度n cE Φ'''=． (9) 由(4)、(8)、(9)各式得2c V c V ΦΦ-⎛⎫'= ⎪+⎝⎭． (10)注意到c V <<有41V cΦΦ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭． (11) 评分标准：本题20分.第1小问9分. (1)、(2)式各2分，(4)或(5)式5分.第2小问11分.(8)式5分，(9)式3分，(10) 或(11)式3分． 八、 参考解答：两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量包括以下几部分：每个原子的负电中心振动的动能，每个原子的负电中心因受各自原子核“弹性力”作用的弹性势能，一个原子的正、负电荷与另一原子的正、负电荷的静电相互作用能.以1v 和2v 分别表示两个原子的负电中心振动速度，1x 和2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，则体系的能量2222121211112222E m m kx kx U =++++v v ， (1) 式中U 为静电相互作用能2C 12121111U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+--⎪+-+-⎝⎭， (2)C k 为静电力常量．因12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用()1211x x x -+≈-+，可将(2)式化为2C 1232k q x x U R=-， (3)因此体系总能量可近似表为222C 12123111122222k q x x E m kx m kx R=+++-v v 2212. (4)注意到()()22222a b a b a b ++-+=和 ()()2222a b a b ab +--=，可将(4)式改写为222222C C 1122331121122222k q k q E m k y m k y R R ⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u . (5)式中， ()2121v v +=u ， (6) ()221v v -=2u ，(7)(112y x x =+ (8)(212y x x =-．(9)(5)式表明体系的能量相当于两个独立谐振子的能量和，而这两个振子的固有角频率分别为1ω=(10)2ω=(11)在绝对零度，零点能为()01212E ωω=+ ， (12)两个孤立惰性气体原子在绝对零度的能量分别表示为10E 和20E ，有 1020012E E ω==， (13)式中0ω=(14)为孤立振子的固有角频率．由此得绝对零度时，所考察的两个惰性气体原子组成的体系的能量与两个孤立惰性气体原子能量和的差为()01020E E E E ∆=-+．(15)利用()1221128x x x +≈+-，可得24C 321262k qE k m R∆=- ． (16)0E ∆<，表明范德瓦尔斯相互作用为相互吸引．评分标准：本题20分.(1)式1分，(2)式3分，(4)式3分，(10)、(11)式各4分， (12)式2分， (16)式2分，末句说明占1分．。

全国中学生物理竞赛预赛试题本卷共九题，满分200分一、（20分，每小题10分）1. 如图所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A 与球B 之间用线相连。

球B 与球 C 之间用弹簧S2相连。

A、B、C的质量分别为m A、m B、m C，弹簧与线的质量均可不计。

开始时它们都处在静止状态。

现将A、B 间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C 的加速度。

2. 两个相同的条形磁铁，放在平板AB 上，磁铁的N、S 极如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。

（ⅰ）现将AB 突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在A B''处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。

''''位置，结果发现两条形磁铁也碰在一（ⅱ）如果将AB 从原位置突然竖直向上平移，并使之停在A B起。

试定性地解释上述现象。

1. 老爷爷的眼睛是老花眼。

（ⅰ）一物体P 放在明视距离处，老爷爷看不清楚。

试在示意图1中画出此时P 通过眼睛成像的光路示意图。

（ⅱ）带了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2中画出P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。

图12. 有两个凸透镜，它们的焦距分别为f1和f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f3和f4。

已知，f1＞f2＞| f3 |＞| f4 |。

如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为_________的透镜作为物镜，应选焦距为________的透镜作为目镜。

1. 如图所示，电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处，电荷量为q2的正点电荷固定在x轴上，两电荷相距l 。

已知q2＝2q1。

（ⅰ）求在x轴上场强为零的P点的坐标。

（ⅱ）若把一电荷量为q0的点电荷放在P点，试讨论它的稳定性（只考虑q0被限制在沿x轴运动和被限制在沿垂直于x轴方向运动这两种情况）。

第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题．（共35分）答案：1．B , D 2．B 3．A 4．A , C 5．A , B评分标准：每小题7分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项是正确的，有的小题有多项是正确的．全部选对的得7分．选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．二、填空题和作图题．共32分，每小题8分．按各小题的答案和评分标准给分．6．答案与评分标准：2d φλπ（8分） 7．答案与评分标准： 8分）8．答案：评分标准：8分．有任何错误都给0分．9．答案与评分标准：0 ( 4 分）（ii ）c 、d （两个都对得 4 分，只填一个且正确得2分，有填错的得0分）10．参考解答：（i ）以两条实线代表在白纸上所画出的直线，以两条虚线代表玻璃砖的两个透明面，根据题意，实线间的距离大于虚线间的距离，如图所示．根据实线位置定出的折射角为γ，按实际的玻璃砖两透明面的位置即虚线定出的折射角为γ＇，由图知γ>γ＇ ( l )由折射定律 sin i=nsin γ (2 )令入射角i 相等，当折射角偏大时，测出的折射率将偏小．（ii ）以l 表示摆长，θ表示摆线与竖直方向的夹角，m 表示摆球的质量，F 表示摆线对摆球的拉力，T 表示摆球作题图所示运动的周期．有22sin sin ()F ml Tπθθ= ( l ) cos F mg θ= ( 2 )由（l ）、（2）式得cos 2l T gθπ= ( 3 )而单摆的周期公式为 2l T g π'= 即使在单摆实验中，摆角很小，θ< 50，但cos θ< l ，这表示对于同样的摆长l ，摆球在水平面内作圆周运动的周期T 小于单摆运动的周期T ＇，所以把较小的周期通过（4）求出的重力加速度的数值将大于g 的实际值．评分标准：本题 19 分．第（i ）小题9分．得到（l ）式给4分，得到正确结论给5分．只有结论给0分．第（ii ）小题10分．得到（3）式给5分，得到正确结论给5分．只有结论给0分．11．参考解答：解法一（i ）电路如右图所示，（ii ）实验步骤：（1）将单向双掷开关K 置于空位，按所设计的电路图接线．（2）按下电流表上的按钮开关K 1，读下电流表的示数I 1．（3）将K 打向左侧与a 接通，读下电流表的示数12．（4）将K 打向右侧与b 接通，读下电流表的示数13 ．（iii ）由欧姆定律有11I R I r ε=+ （1）22x xRR I r I R R ε=++ （2） 33x x x I R I R RR r R R ε⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪+ ⎪+⎝⎭（3） 解以上三式得23121()I I I R I I ε-=- （4） 1321()I I R r I I -=- （5） 323x I R R I I =- （6） 评分标准：本题18分．第（i ）小题9分．若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分． 第（ii ）题3分．在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分．第（iii ）题6分．（4）、（5）、（6）式各 2 分．解法二（i ）电路如右图所示．（ii ）实验步骤：（1）将单向双掷开关K 置于空位，按所设计的电路图接线．（2）按下电流表上的按钮开关K 1，读下电流表的示数I 1．（3）将K 打向左侧与a 接通，读下电流表的示数I 2．（4）将K 打向右侧与b 接通，读下电流表的示数13．（iii ）由欧姆定律有1()x I R R r ε=++ （1）2()I R r ε=+ （2）3()x I R r ε=+ （3）解以上三式得1331I I R I I ε=- （4） 121323231()I I I I I I r R I I I +-=- （5） 321231()()x I I I R R I I I -=- （6） 评分标准：本题18分．第（i ）小题9分．若所设计的电路无法根据题的要求测出所有的应测电流，都得0分． 第（ii ）题3分．在电路正确的前提下，每测一个电流的步骤占1分．第（iii ）题6分．（4）、（5）、（6）式各 2 分．12．参考解答：设α粒子速度的大小为v α，原子核B 速度的大小为v B ，在衰变过程中动量守恒，有 m αv α+m B v B =0 (1)衰变过程中能量守恒，有222221122A B B B m c m v m v m c m c ααα=+++ （2） 解（l ）、（2）二式得221()2B B A B Bm m v m m m c m m ααα=--+ （3）221()2B A B B m m v m m m c m m αααα=--+ （4）评分标准：本题 18 分．（1）式4分，（2）式8分，（3）、（4）各3分．13．参考解答：解法一在图中纸面内取O xy 坐标（如图），原点在狭缝l 处，x 轴过缝1和缝3．粒子从缝1进人磁场，在洛仑兹力作用下作圆周运动，圆轨道在原点与x 轴相切，故其圆心必在y 轴上．若以r 表示此圆的半径，则圆方程为x 2+(y －r)2=r 2 （1）根据题的要求和对称性可知，粒子在磁场中作圆周运动时应与d 的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为x =2R －R sin450 （2）y=R －R cos450 （3）由（l ）、（2）、（3）式得 r=3R （4）由洛仑兹力和牛顿定律有 200v qv B m r = （5） 由（4）、（5）式得 03mv B qR= （6） 评分标准：本题 18 分．（1）、（2）、（3）式各4分，（4）、（5）、（6）式各2分．解法二如图所示，A 为a 、b 两圆圆心的连线与缝l 的交点，F 为c 、d 两圆圆心的连线与缝3的交点．从1缝中射人的粒子在磁场作用下与圆柱d 的表面发生弹性碰撞后，反弹进人缝2，这个过程一定对连结b 、d 两圆圆心的直线OP 对称，故直线OP 与d 圆的交点C 必是碰度点．由于粒子在磁场中做圆运动过A 点，因此这个轨道的圆心必在过A 点并垂直于AF 的直线AE 上；同时这个轨道经过C点，所以轨道的圆心也一定在AC 的垂直平分线DE 上．这样AE 与DE 的交点E 就是轨道的圆心，AE 就是轨道的半径r ．过C 点作AF 的垂线与AF 交于H 点，则有 AC r AD HC =（1） 由图可知22HC R R =- （2） 222AH R R =-（3） 22AC AH HC =+ （4）12AD AC = （5） 由以上各式得 r=3R （6）由洛仑兹力和牛顿定律有 200v qv B m r= （7） 得到 03mv B qR= （8） 评分标准：本题 18 分．（1）式8分，（2）、（3）（4）、（5）式各1分，（6）、（7）、（8）式各1分．14．参考解答：杆PQ 在磁场中运动时，受到的作用力有：外加恒力F ，方向向右；磁场的安培力，其大小F B =BIl ，方向向左，式中I 是通过杆的感应电流，其大小与杆的速度有关；摩擦力，大小为F μ，方向向左．根据动能定理，在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能，即有212B F F F W W W mv μ++= （1） 式中v 为经过时间t 杆速度的大小，W F 为恒力F 对杆做的功，W F 安为安培力对杆做的功，W Fμ为摩擦力对杆做的功．恒力F 对杆做的功W F =Fx （2）因安培力的大小是变化的，安培力对杆做的功用初等数学无法计算，但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量，若以E R 表示电阻所消耗的能量，则有－W F 安=E R （3）摩擦力F μ是恒力，它对杆做的功W Fμ=－F μx （4）但F μ未知．因U 型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动，若其加速度为a ，则有F μ=m 0a （5）而 a =2x 0/t 2 （6）由（4）、（5）、（6）三式得 0022F x x W m tμ=- （7） 经过时间t 杆的速度设为v ，则杆和导轨构成的回路中的感应电动势ε=Blv （8）根据题意，此时回路中的感应电流0I R ε=（9） 由（8）、（9）式得0I R v Bl= （10） 由（l ）、（2）、（3）、（7）、（10）各式得220002221(2)2R x I R E F m x m t B l=-- （11） 评分标准：本题20分．（1）式3分，（2）式l 分，（3）式4分，（7）式4分，（10）式5分，（11）式3分．15．参考解答：解法一用n 1和n 2分别表示L 1和L 2中气体的摩尔数，P 1、P 2和 V 1、V 2分别表示L 1和L 2中气体处在平衡态时的压强和体积，T 表示气体的温度（因为 M 1是导热的，两部分气体的温度相等），由理想气体状态方程有p 1V 1=n 1RT （1）P 2V 2=n 2RT （2）式中R 为普适气体常量．若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象，处在平衡状态时有p 1S 1－p 2S 1+p 2S 2－p 0S 2=0 （3）已知S 2=2S 1 （4）由（3）、（4）式得p 1+p 2=2p 0 （5）由（l ）、（2）、（5）三式得1022111222n p V n p n V V n =+ （6） 若（6）式中的V 1、V 2是加热后L 1和L 2中气体的体积，则p 1就是加热后L1中气体的压强．加热前L 1中气体的压强则为10202101102022n p V n p n V V n =+ （7） 设加热后，L 1中气体体积的增加量为△V 1，L 2中气体体积的增加量为△V 2，因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M 2的横截面积是M 1的2倍，故有△V 1=△V 2=△V （8）加热后，L 1和L 2中气体的体积都是增大的，即△V > 0 .[若△V< 0，即加热后，活塞是向左移动的，则大气将对封闭在气缸中的气体做功，电热丝又对气体加热，根据热力学第一定律，气体的内能增加，温度将上升，而体积是减小的，故L 1和L 2中气体的压强p 1和p 2都将增大，这违反力学平衡条件（5）式］于是有 V 1=V 10+△V （9）V 2=V 20+△V （10）由（6）、（7）、（9）、（10）四式得10102021101110201020222()[()]()n p V V V n p p n n V V V V V V n n -∆-=+∆++∆+ （11） 由（11）式可知，若加热前V 10=V 20，则p 1＝p 10，即加热后p 1不变，由（5）式知p 2亦不变；若加热前 V 10＜V 20，则p 1< p 10，即加热后P 1必减小，由（5）式知P 2必增大；若加热前 V 10＞V 20, 则p 1> p 10，即加热后p 1必增大，由（5）式知p 2必减小．评分标准：本题 20 分．得到（5）式得3分，得到（8）式得3分，得到（11）式得8分，最后结论得6分． 解法二设加热前L 1和L 2中气体的压强和体积分别为p 10、p 20和V 10、V 20，以p l 、p 2和V 1、V 2分别表示加热后L 1和L 2中气体的压强和体积，由于M 1是导热的，加热前L 1和L 2中气体的温度是相等的，设为T 0，加热后L 1和L 2中气体的温度也相等，设为T ．因加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态，注意到S 2=2S 1，力学平衡条件分别为p 10+p 20=2p 0 （1）p 1+p 2=2p 0 （2）由（l ）、（2）两式得p 1－p 10=－ (p 2－p 20) （3）根据理想气体状态方程，对L1中的气体有1110100p V T p V T = （4） 对 L ：中的气体有2220200p V T p V T = （5） 由（4）、（5）两式得112210102020p V p V p V p V = （6） （6）式可改写成11011022022010102020(1)(1)(1)(1)p p V V p p V V p V p V ----++=++ （7） 因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M 2的横截面积是M 1的2倍，故有V 1－V 10=V 2－V 20 （8） 把（3）、（8）式代入（7）式得11011011011010102020(1)(1)(1)(1)p p V V p p V V p V p V ----++=-+ （9） 若V 10=V 20，则由（9）式得p 1=p 10，即若加热前，L 1中气体的体积等于L 2中气体的体积，则加热后L 1中气体的压强不变，由（2）式可知加热后L 2中气体的压强亦不变．若V 10<V 20，则由（9）式得p 1< p 10，即若加热前，L 1中气体的体积小于L 2中气体的体积，则加热后L 1中气体的压强必减小，由（2）式可知加热后L 2中气体的压强必增大．若V 10>V 20，则由（9）式得p 1> p 10，即若加热前， L 1中气体的体积大于L 2中气体的体积，则加热后 L 1中气体的压强必增大，由（2）式可知加热后L 2中气体的压强必减小．评分标准：本题 20 分．得到（l ）式和（2）式或得到（3）得3分，得到（8）式得3分，得到（9）式得8分，最后结论得6 分．16．参考解答：（i ）图1为卫星和碎片运行轨道的示意图．以v 1表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以M 表示地球E 的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有21112()Mm v G m R h R h =++ （1） 式中G 是引力常量．由（l ）式得1GM R GM v R h R h R==++ （2） 以v 2表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量22222122Mm Mm m v G G R h a-=-+ （3） 式中a 为椭圆轨道的半长轴．由（3）式得222GM GM R R GM v R h a R h a R=-=-++ （4） 卫星和碎片碰撞过程中动量守恒，有m 1v 1－m 2v 2=(m 1+m 2)v （5）这里v 是碰后二者结合成的物体（简称结合物）的速度．由（5）式得112212m v m v v m m -=+ （6） 由（2）、（4）、（6）三式并代人有关数据得0.7520GM v R= （7） 结合物能否撞上地球，要看其轨道（椭圆）的近地点到地心的距离r min ，如果r min <R ，则结合物就撞上地球．为此我们先来求结合物轨道的半长轴a '．结合物的总能量2121212()()1()22M m m M m m G m m v G a R h++-=+-'+ （8） 代人有关数据得 a '=5259km （9）结合物轨道的近地点到地心的距离r min =2 a '－（R+h ）=3347km <R （10）据此可以判断，结合物最后要撞上地球．（ii ）解法一在极坐标中讨论．取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图2所示．碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程1cos p r e θ=+ （11） 式中e 是偏心率，p 是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离r max =R+h （12）由解析几何有max min (0.3635)2r r e a -=='（13） 在轨道的近地点，r=r min ，θ=0，由（11）式得p =r min (1+e)(=4563km ) （14）或有p =r max (1－e) （15）在结合物撞击地球处；r= R ，由（11）式有1cos p R e θ=+ （16） 或 cos p R eR θ-= （17） 代人有关数据可得cos θθ0 （19）这是在北纬51.320 ．评分标准：本题20分．第（i ）小题12分．（1）或（2）、（3）或（4）、（5）或（6）式各2 分，（8）式3分，（10）式3分．第（ii ）小题8分．（11）、（12）、（13）、（14）或（15）、（16）或（17）式各l 分，（19）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给l 分．解法二在直角坐标中讨论．取直角坐标系，以椭圆的对称中心为坐标原点O, x 轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点，如图3所示．结合物轨道的椭圆方程是22221x y a b +=''（20） 式中a ＇、b ＇分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴．远地点到地心的距离r max =R+h （21）根据解析几何，若c 为地心与坐标原点间的距离，c= r max －a ＇(=1912km ) （22）而 22b a c ''=- （23）注意到a ＇由（9）式给出，得b ＇=4899km （24）结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点，设该处的坐标为x p 和y p ，则有 x p =R cos θ+c （25）y p =R sin θ （26）式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x 方向的夹角．因撞击点在结合物的轨道上，将（24）、（25）式代入轨道方程（20）式，经整理得222222222()cos 2cos 0R b a b cR a b a R θθ''''''-+-+= （27）引人以下符号并代人有关数据得代入（27）式得2cos cos 0αθβθγ++= （28）解得 cos θ= （29） 舍掉不合理的答案，得cos θθ0 （31）这是在北纬51.320 ．评分标准：（20）、（21）、（22）、（23）或（24）、（27）式各l 分，（31）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给1 分．。