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du_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*z
u
x
x x2y2z2
u
z
z x2y2z2
u
y
y x2y2z2
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例 9 求下列函数的偏导数 z1 arctan( y / x);z2 x y。 解： 输入命令
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1. 学习Matlab命令
建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：
x=sym(‘x’) 建立符号变量 x；
syms x y z
建立多个符号变量 x,y,z；
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Matlab 求导命令 diff 调用格式：
diff(f(x))，
求 f (x)的一阶导数 f(x)；
diff(f(x),n)， 求 f(x)的 n阶导 f(n)(x 数 );
实验3 导数及偏导数运算
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实验目的：
1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。
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实验内容：
学习 Matlab 命令 导数概念 求一元函数的导数 求多元函数的偏导数 求高阶导数或高阶偏导数 求隐函数所确定函数的导数与偏导数
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dy_dx = sin(t)/(1-cos(t))
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4. 求多元函数的偏导数
例8 设u x2y2z2，求 u的一阶偏导
解：输入命令
syms x y z; du_dx=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),x) du_dy=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),y) du_dz=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),z) a=jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2),[x y,z])
Matlab 函数可以对矩阵或向量操作。
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a= [ 1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2), -2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x), 4^sin(x)*cos(x)*log(4), 1/x/log(x)]
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2) 参数方程确定的函数的导数
得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x).
在 matlab中，函数 lnx 用 log(x)表示， log10(x) 表示 lgx。
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例5 求y(x22x)20的导数；
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff((x^2+2*x)^20)
得结果: dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).
diff(f(x，y), x)，
求 f(x,y)对 x 的一阶偏导数 f ； x
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diff(函数f(x，y),变量名 x,n)， 求 f(x,y)对 x 的 n 阶偏导数 n f ；
x n matlab 求雅可比矩阵命令 jacobian，调用 格式：
jacobian([f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)],[x,y,z])
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例6 求下列函数的的导数： y1 x 2 2 x 5; y2 cos x 2 2 cos 2 x; y3 4sin x ; y4 ln ln x .
解： 输入指令
syms a x; a=diff([sqrt(x^2-2*x+5),cos(x^2)+2*cos(2*x), 4^(sin(x)),log(log(x))])
解:在曲线 f(x)ex 上另取一点M(h,eh) ， 则PM的方程是:
y1 eh 1 x0 h0
即
yeh 1x1 h
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取h=3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线.
h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x),'r');hold on for i=1:5; plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) end axis square
syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)
cos(x) sin(x) ------ - ------
x2
得结果:
x
dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.
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例4 求yln(sxi)n 的导数；
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff(log(sin(x)))
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f f f x y z
g g g
x y z
h x
h y
h z
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2. 导数的概念
导数为函数的变化率，其几何意义是曲线在一 点处的切线斜率。
1). 点导数是一个极限值
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例1 . 设函f(数 x)ex，用定f义 (0)； 计算
解： f(x)在某一x点 0 的导数定义为极限
limf(x0 x) f(x0)
x0
x
我们h记x，输入命令：
syms h; limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0)
ans=1 可知f结 (0)果 1。
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2). 导数的几何意义是曲线的切线斜率
例2 画出 f(x)ex 在x=0处(P(0,1))的切线及若 干条割线，观察割线的变化趋势.
作出y=exp(x)在x=0处的切线y=1+x
plot(x,x+1,’r’)
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从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接 近曲线的割线.
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3. 求一元函数的导数
1) y=f(x)的一阶导数
例3 . 求ysinx的导数； x
解： 输入指令
pretty(dy_dx)
syms x y; diff(atan(y/x),x)
设参数方程
x y
x(t) 所确定的函数 y
y(t )
f (x)，
则 y f ( x)的导数 dy y(t)。 dx x(t)
例7 设 yx a a((1t csiottn ))， s求d dx ;y
解： 输入命令
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syms a t; dx_dt=diff(a*(t-sin(t)));dy_dt=diff(a*(1-cos(t))); dy_dx=dy_dt/dx_dt.
