6.7二重积分

探索二重积分在几何问题中的应用，如面积和体积计算。
二、计算方法
1
1. 积分区域为矩形或直角梯形
学习如何计算矩形或直角梯形形状的积
2. 积分区域为一般图形
2
分区域。
掌握将一般图形的积分区域化为标准形
式来计算二重积分。
3
3. 二重积分的性质
了解二重积分的线性性质、区域可加性 质、乘性质和区域可减性质。
七、问题解答
回答大家在学习过程中遇到的问题，确保所有疑惑都得到解答。
八、结束语
恭喜您完成了本次《二重积分计算》的课程！希望本课件对您的学习有所帮 助，继续努力，探索更多数学的奥秘！
作业练习
通过练习题检验你对二重积分 计算的理解和掌握程度。
五、实践案例
工程实践中的二重积分
了解工程实践中如何应用二重积 分解决实际问题。
统计学中的二重积分
探索统计学中如何利用二重积分 分析数据和概率分布。
建筑设计中的二重积分
了解建筑设计中如何应用二重积 分计算面积和体积。
六、扩展阅读
进一步探索二重积分的相关知识和应用领域，拓宽你的数学视野。
三、应用
质心和重心
探索如何利用二重积分计算物体的质心和重心坐标。
面积和弧长
了解如何通过二重积分计算图形的面积和曲线的弧长。
积分坐标变换
学习如何应用坐 技巧
总结二重积分的计算方法，掌 握其中的技巧和要点。
小结
回顾课程的重点内容，帮助你 巩固所学知识。
《二重积分计算》PPT课 件
欢迎大家来到《二重积分计算》的课件！本课程将带您深入了解二重积分的 基本概念、几何意义和计算方法。让我们一起开始探索吧！
一、概述
什么是二重积分

二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。

在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。

下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。

一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。

加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。

二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。

乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。

三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。

换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。

四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。

3) 求和. m
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)

D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式

单击此处添加文本具体内容，简明扼要地 阐述你的观点
积分区域的可加性
该性质可以用于简 化复杂的积分区域， 将复杂区域分解为 简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则 它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二 重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边 形，然后计算每个小区域的面积并求和。 二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维 平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区 域围成的区域的面积的负值。 二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个 函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成 的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区 域上的二重积分值。
转换坐标 将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。 分层积分 将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。 逐个计算 对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。 得出结果 将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。 极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干 个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果 相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧

2 2
0
法二
先x后y
2

x2+y2
a
2
x

D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x

D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为

二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。

首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。

这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。

二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。

转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。

二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。

在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。

如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x yg xh y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()b d bdDa c a cf x y dg xh y d y d x g x d x h y d yσ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 这是二重积分计算中最简单的情况。

二重积分算法二重积分算法1. 介绍二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域内的函数值之和。

它的计算方法有多种，本文将介绍其中的三种常用算法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法和面积元法。

2. 直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最基本也是最常用的一种二重积分算法。

它将被积函数视为一个关于两个变量 x 和 y 的函数 f(x,y)，并通过两次单变量积分来计算其在指定区域内的值。

具体来说，设被积函数为 f(x,y)，要求在区域 D 内进行二重积分，则可以先固定 y 值，对 x 进行单变量积分得到一个关于 y 的函数 g(y)，再对 g(y) 在 D 内进行单变量积分即可得到 f(x,y) 在 D 内的值。

公式表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∫a∫b f(x,y) dxdy = ∫a∫b g(y) dy其中 a 和 b 分别是 x 轴方向上 D 区域边界线段对应点的横坐标。

3. 极坐标系下的累次积分法极坐标系下的累次积分法适用于计算具有旋转对称性的函数在极坐标系下的积分值。

它将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，从而简化了计算过程。

具体来说，设被积函数为 f(x,y)，要求在区域 D 内进行二重积分，则可以通过变量替换将直角坐标系下的 x 和 y 转化为极径 r 和极角θ，再通过两次单变量积分来计算其在指定区域内的值。

公式表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∫θ1∫θ2 f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ其中θ1 和θ2 分别是 D 区域边界线段对应点在极坐标系下的极角。

4. 面积元法面积元法是一种基于微小面元面积和被积函数在该面元上近似值之乘积来计算二重积分值的方法。

它适用于被积函数具有较强规律性且区域 D 的形状比较简单的情况。

具体来说，将区域D 划分为若干个微小面元，每个面元的面积为ΔS，其中心点为 (xi,yi)，则可以将被积函数在该面元上的近似值视为f(xi,yi)，从而得到二重积分的近似值：∬Df(x,y)dxdy ≈ ∑f(xi,yi)ΔS随着微小面元数量的增加，上式的近似值将越来越接近真实值。

高等数学之二重积分计算方法总结
在考研中，对于二重积分重点要掌握二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），二重积分计算公式如下：
二重积分的计算主要在于把二重积分化为累次积分计算，而在化为累次积分计算时，坐标系的选择不仅要看积分域D的形状，而且还要看被积函数的形式。

（1）适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般应具有以下形式：
f(y/x),f(x/y),f((x^2+y^2)^(1/2))
之所以适合极坐标是由于它们在极坐标下都可化为r或thetha的一元函数。

（2）适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般应具有以下形状：
中心在原点的圆域，圆环域或它们的一部分（如扇形);中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域或者它们的一部分。

有时在计算二重积分时候需要利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常用的结论有以下两条：
（1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性：
（2）利用变量的对称性：
题型一：在直角坐标下计算二重积分
例1：
解题思路：先画积分域D，不难看出该积分域关于两个坐标轴都对称，被积函数也有奇偶性，因此，应利用对称性和奇偶性。

解：
题型二：利用极坐标计算二重积分
例2：
解题思路：积分区域D关于y轴左右对称，被积函数（x+1)^2=x^2+2x+1，其中2x是x的奇函数，x^2+1是x的偶函数，先利用奇,偶性化简，然后再用极坐标计算。

解：。

归纳二重积分的计算方法摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则； 四则运算前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分，在几何\物理\力学等方面有着重要的应用。

重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外，还与积分区域的特点有关，计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分。

求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧。

1。

预备知识1。

1二重积分的定义]1[设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ，当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有()1,niiii f J ξησε=∆-<∑，则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),DJ f x y d σ=⎰⎰,其中(),f x y 称为二重积分的被积函数， ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域.1.2二重积分的若干性质1。

21若(),f x y 在区域D 上可积， k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积，且 (),Dkf x y d σ⎰⎰(),Dk f x y d σ=⎰⎰。

1。

22 若(),f x y ，(),g x y 在D 上都可积，则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积，且()()[,,]Df x yg x y d σ±⎰⎰()(),,DDf x y dg x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰。

1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点，则(),f x y 在12D D 上也可积，且()12,D D f x y d σ⎰⎰()()12,,D D f x y d f x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰1。

二重积分及其应用
1 什么是二重积分
二重积分是数学中的重要概念，它是对平面上一个有界区域内的函数值进行求和的数学方法。

在坐标系中，二重积分依据被积函数与闭区域的关系，将闭区域分割成若干个小区域，对每个小区域进行积分，然后将所有小区域的积分结果相加得到闭区域内函数的积分。

2 二重积分的计算方法
二重积分可以使用极坐标、直角坐标等方法进行计算。

其中，直角坐标方法常常适合于矩形或直线边界的计算。

而极坐标方法常常适用于中心对称或具有某种环状边界的计算。

二重积分的计算方法通常需要使用到换元法，简化被积函数的形式。

3 二重积分的应用
二重积分在实际应用中有着广泛的应用。

在物理学中，二重积分可以用于求解物理中的质心、质量等物理量。

在工程学中，二重积分可以用于求解物体的面积、体积、抗压能力等问题。

在金融学中，二重积分可以用于建模分析股票、交易指数等复杂金融问题。

总之，二重积分在科学领域中有着广泛的应用。

4 总结
二重积分是一种数学方法，可以将平面上的有界区域内的函数值进行求和。

在实际应用中，二重积分有着广泛的应用，涉及到多个领
域。

在使用二重积分进行计算时，可以根据具体问题选用相应的计算方法，从而简化计算过程。

第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d

二重积分极坐标计算公式二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算在二维区域上的一些函数的平均值、面积、质心等数值特征。

极坐标系统是一种常用的描述平面点的坐标系，由径向和角度两个坐标变量组成。

在极坐标下，二重积分有一套特定的计算公式。

一、极坐标变换在直角坐标系下，点P的坐标为(x,y)，在极坐标系下，P的坐标可以表示为(r,θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P到正半轴的角度。

我们可以通过以下公式将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标下的二重积分：∬R f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ其中，R为直角坐标系下的二维区域，D为其对应的极坐标系下的二维区域。

f(x,y)为被积函数。

二、极坐标下的积分区域在极坐标下，二重积分的积分区域通常是一个由两个角度θ1和θ2以及两个径向r1和r2确定的扇形区域，可以表示为：D={(r,θ)，r1≤r≤r2,θ1≤θ≤θ2}其中，r和θ的取值范围由具体问题决定。

三、极坐标下的积分公式在极坐标下，二重积分的计算公式包括被积函数的转换、积分区域的确定和积分的计算三个部分。

具体的计算步骤如下：（1）将被积函数f(x, y)转换为极坐标下的形式f(rcosθ, rsinθ)，并根据具体问题进行简化和化简。

（2）确定积分区域D的极坐标表达式，即确定r的取值范围和θ的取值范围。

（3）将被积函数f(rcosθ, rsinθ)乘以极坐标的雅可比行列式r，并根据r和θ的取值范围进行积分计算。

具体的计算公式如下：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(rcosθ, rsinθ) r drdθ四、极坐标下的面积计算二重积分在极坐标下的一个重要应用是计算二维区域的面积。

对于一个在极坐标下表示的简单闭合曲线，其面积可以通过以下公式进行计算：A=1/2∬Dr^2dθ其中，A为二维区域的面积，D为二维区域在极坐标下的表示，r为点到极坐标原点的距离。

二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。

理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。

首先，让我们来明确一下二重积分的定义。

二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。

简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。

接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。

直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。

当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。

假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。

如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。

极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。

在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。

如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。

穿入穿出不唯一。
01
解
02
积分区域如图
01
积分区域如图
解
01
单击此处添加大标题内容
解
原式
例4. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例5. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
例6. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X – 型域 :
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
解: 由被积函数可知,
例7．求I=
取D 为X – 型域 :
因此取D 为Y – 型域 :
先对 y 积分不行,
例8．求I=
若D为Y –型区域
则
当被积函数
单击此处添加小标题
添加标题
10%
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的
Y型区域的特点： 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点. 计算中的技巧（问题）： 、先画积分区域草图； 、有无奇偶对称性: 穿过区域且平行于x 轴的
第二节
二重积分的计算法 与直系下二次积分互化
由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域

因此，以后我们一般不就可积性问题展开讨论.
例题
注 2 在直角坐标系下，若用平行于坐标轴的 矩形网格对区域 D 作划分，那么除了包含边界点的 一些小闭区域外(这些小闭区域的面积和趋于 0)， 其他的小闭区域都是矩形闭区域，设小矩形闭区域
的长为Δxi, 宽为Δyi, 则 i =Δxi·Δyi. 因此在直
角坐标系下，常将面积元素 d 记为 dxdy
二重积分的几何意义
a)域 D 上恒有 f (x, y) 0，则曲顶柱体的体积
V f (x, y)d
D
b) 若在区域 D 上恒有 f(x, y) 0，则曲顶柱体在 xoy 平面的下方，
由 于 － f(x, y) 0 ， 此 时 曲 顶 柱 体 的 体 积 为 V [ f (x, y)]d
D
f (x, y)d V 表示该曲顶柱体体积的相反数
D
c) 若在区域 D 上函数 f (x, y)改变符号，则二重积分 f (x, y)d 表示相应的
D
曲顶柱体在 xoy 平面上方的体积减去它在 xoy 平面下方的体积.
特别，令 f (x, y)≡1，则有
1d （D 的面积）
D
二重积分的性质
并取典型小区域，
z f (x, y)
用若干个小平
顶柱体体积之 和近似表示曲
顶柱体的体积，x
曲顶柱体的体积
o
D
•
n
i
V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
例题
每个小曲顶柱体可以近似地看成是一个平顶柱体
在 i 上任取一点 (i ,i ) ，以 f (i ,i ) 为高、以 i 为底的平顶
柱体的体积为 f (i ,i ) · i ，将它作为第 i 个小曲顶柱体体积ΔVi 的近似值，即ΔVi ≈ f (i ,i ) i (i = 1, 2, …，n)..

二重积分的计算与应用哎，大家好，今天咱们聊聊二重积分。

这听起来有点高深莫测，但其实也没那么复杂，放轻松，咱们就当是在聊天。

二重积分就像在二维平面上计算一个区域的“面积”，不过这可不是简单的“长乘宽”那么简单，咱们要考虑的是更复杂的形状，比如说那些不规矩的花花草草，或者更别提那些搞得你头大的图形了。

想象一下，一个草坪上有个不规则的花坛，咱们要怎么计算这个花坛的面积呢？这就得用到二重积分了，听上去有点酷吧？先来说说二重积分的基本概念。

简单来说，它就是在一个平面区域上，对一个函数进行积分，得到的结果就是这个区域的“总量”。

有点像你在一个派对上，想知道大家喝了多少饮料，那你就得把每个人喝的量加起来。

二重积分的应用真是广泛，建筑设计、物理问题、经济学等等，都能用上这个家伙。

哦，别急，咱们可不是在上课，今天主要是给大家普及一下，顺便讲点有趣的事。

想象一下，你在一个草坪上，瞅着那块花坛，决定要用二重积分来计算。

你得给花坛设置一个坐标系，这样你就能更清楚地知道每个点的位置。

你就像是在为这块土地画地图，告诉大家，嘿，这里是哪里，那里又是什么。

然后，咱们的目标就是把这个花坛划分成小块，就像是把一个大蛋糕切成小块一样，每一小块的面积都能用简单的计算公式来算。

咱们把每一小块的面积加起来，最后得出整个花坛的面积，简直是轻松愉快，跟在家里做饭一样。

不过，二重积分可不是单靠加法就能搞定的。

这块区域形状特别复杂，就像是个巨型的拼图，怎么也拼不起来。

这个时候，咱们就得用到极坐标系统。

这就好比你在海边捡贝壳，贝壳的位置不是用直线来划分的，而是用距离和角度来描述的。

使用极坐标，二重积分的计算变得简单很多，真是大大方便了我们这些数学小白。

这就像是给了我们一把万能钥匙，打开了更复杂问题的大门。

当咱们一边算着花坛的面积，一边享受着阳光的时候，突然灵光一闪，嘿，二重积分还能帮咱们解决一些实际问题呢！比如说，农民伯伯种地的时候，想知道一块地里施了多少肥料，或者说设计师设计一个新建筑，想知道它的体积，嘿，这些都能用到二重积分。

二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。

下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。

二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。

上述就是二重积分的几何意义。

如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。

二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。

也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。

为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。