北师大版-数学-八年级上册-7.1 为什么要证明 教案

例 4：观察下列关于自然数的等式： (1)32－4×12＝5 ① (2)52－4×22＝9 ② (3)72－4×32＝13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：92－4×( )2＝( )；
(2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)，并验证其正确性．
解：(1)4,17 (2)第 n 个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝ 右边，∴第 n 个等式成立．
练习：下列问题你不能肯定的是( D )
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积的大小关系 B．三角形的内角和 C．八边形的外角和 D．三角形与矩形的面积关系
课程导入2：
代数式n2＋ n＋41的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4， 5试一试，你能否 由此得到结论：对于所有自然数n2＋ n＋41的值都是质数？与同伴进行交流.
2.在学习中，小明发现：当 n＝1,2,3 时，n2－6n 的值都是负数，于是小明猜想：当 n 为 任意正整数时，n2－6n 的值都是负数，小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
解：小明的猜想不正确．理由为：当 n＝6 时，n2－6n＝62－6×6＝0；当 n＞ 6 时，n2－6n＝n(n－6)＞0.
练习：观察下列各式的计算过程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …
请猜测，第 n 个算式(n 为正整数)应表示为 100n(n－1)＋25 .
证明的必要性
1.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是不够的，
解：小明的猜想正确，理由：因为 n 为奇数，所以可设 n＝2k+1（k 为自然数）， 所以 n2﹣1＝（2k+1）2﹣1＝（2k+1+1）（2k+1﹣1）＝（2k+2）×2k＝4k（k+1）， 因为 k 为自然数，所以 k，k+1 是相邻的自然数， 所以 k，k+1 中必有一个是偶数，一个是奇数，所以 k（k+1）必定是 2 的倍数， 所以 4k（k+1）必定是 8 的倍数，故当 n 为任意正奇数时， n2﹣1 的值一定是 8 的倍数．

7． 1为何要证明1．认识推理的意义，知道要判断一个数学结论能否正确，一定进行推理；( 要点 )2．会用实验考证、举出反例、推理等方法简单地考证一个数学结论能否正确． (难点)一、情境导入人的视觉有时遇到四周环境和自己经验的影响，会指引我们做犯错误的判断．只有经过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形仍是梯形？你能必定吗？如何来考证你的结论呢？快来学习本节知识吧！二、合作研究研究点一：数学的结论一定经过严格的论证当 n＝ 1， 2，3， 4，5 时，代数式n2－ 3n＋ 7 的值是质数吗？你能必定：关于全部的自然数，式子 n2－ 3n＋ 7 的值都是质数吗？分析：把 1，2，3，4，5 等自然数代入n2－ 3n＋ 7 中进行考证．解：当 n＝ 1，2， 3， 4，5 时， n2－3n＋7 的值分别是 5， 5，7， 11，17，全部是质数．而当 n＝ 6 时，n2－ 3n＋ 7＝ 62－ 18＋ 7＝25＝ 52. 因此关于全部自然数，式子n2－ 3n ＋ 7 的值不都是质数．方法总结：判断一个数学结论能否正确，只是依赖经验、察看是不够的，一定给出严格的证明或实验考证．研究点二：查验数学结论的常用方法【种类一】实验考证先察看再考证．(1)图①中实线是直的仍是曲折的？(2)图②中两条线段 a 与 b 哪一条更长？(3) 图③中的直线AB 与直线CD 平行吗？分析：①② 用直尺量；③ 用三角板平推．解：察看可能得出的结论是： (1) 实线是曲折的；(2)a 更长一些； (3)AB 与 DC不平行．而我们用科学的方法考证后发现： (1) 实线是直的； (2)a 与 b 同样长； (3)AB 平行于 CD.方法总结：有时视觉受四周环境的影响，常常误导我们，让我们得犯错误的结论，因此仅靠经验、察看是不够的，只有经过科学的实验进行严格的推理，才能得出最正确的结论．【种类二】举出反例当 n 为正整数时，代数式 (n 2－ 5n＋5) 2的值都等于 1 吗？分析：关于代数式 (n 2－5n＋ 5) 2，n 的取值为正整数，要判断 (n 2－5n＋ 5) 2的值能否为 1，能够先取值分别求出代数式的值．解：当 n＝1 时， (n 2－ 5n＋ 5) 2＝12＝ 1；当 n＝2 时， (n 2－5n＋ 5) 2＝( － 1) 2＝ 1；当 n ＝ 3 时， (n 2－ 5n＋5) 2＝ ( －1) 2＝ 1；当 n＝ 4 时， (n 2－5n＋ 5) 2＝12＝ 1；当 n＝ 5 时， (n 2－ 5n＋ 5) 2＝ 52＝25≠1. 因此当 n 为正整数时， (n 2－5n＋ 5) 2不必定等于 1.方法总结：考证特例是判断一个结论错误的最好方法．【种类三】推理证明如图，从点O 出发生出四条射线OA、OB、 OC、 OD，已知 OA⊥OC， OB⊥ OD.论证等．(1) 若∠ BOC＝ 30°，求∠ AOB 和∠ COD的度数；(2) 若∠ BOC＝ 54°，求∠ AOB 和∠ COD的度数；(3)由(1) 、 (2) 你发现了什么？(4)你能必定上述的发现吗？分析：图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，依据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数．经过计算发现∠AOB＝∠COD，于是能够概括∠AOB＝∠COD.解： (1) ∵OA⊥OC， OB⊥ OD，∴∠ AOC＝∠BOD＝ 90 ° . ∵∠ BOC＝ 30°，∴∠ AOB＝∠AOC－∠ BOC＝ 90°－ 30°＝ 60°，∠COD＝∠ BOD－∠ BOC＝ 90°－ 30°＝ 60° .(2) ∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝ 90 ° －54°＝ 36°，∠ COD＝∠ BOD－∠ BOC＝ 90°－54°＝ 36° .(3)由(1) 、(2) 可发现：∠ AOB＝∠ COD.(4)∵∠ AOB＋∠ BOC＝∠ AOC＝ 90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝ 90 °，∴ ∠ AOB＋∠BOC＝∠ BOC＋∠ COD∴∠. AOB＝∠ COD.方法总结：查验数学结论详细经历的过程是：察看、胸怀、实验→ 猜想概括→ 结论→ 推理→ 正确结论．三、板书设计为什么,要证明)推理的意义：数学结论一定经过严格的论证实验考证查验数学结论的常用方法举出反例推理证明经历察看、考证、概括等过程，使学生对由这些方法获得的结论产生思疑，以此激发学生的好奇心，进而认识证明的必需性，培育学生的推理意识，认识查验数学结论的常用方法：实验考证、举出反例、推理。

▪ 会用实验验证、举出反例、推理等方法简单 地验证一个数学结论是否正确。
▪ 通过观察、分析图形，体验推理的重要性。
二、情景导入
▪ 曲线幻觉：竖条似乎是弯曲的，但其实他们 是笔直的而且相互平行的。
先观察、再测量
你能判断线段a与线段b长度的大小吗?
a
通过_测__量___，发现_a__=_b___.
已知（1）,(2),(3)中只有一句是真的，苹果 在哪个箱子里？
我们发现（1）与（3）互相矛盾，可两件矛盾 的事不能都是真的，必有一假；题设真话只有一 句。这样（2）必是假话，从而苹果在黄箱子里。
本课小节
▪ 要说明一个数学结论是否正确，无论验 证多少个特殊的例子，也无法保证其正 确性。要确定一个数学结论的正确性， 必须进行一步一步、有根有据的推理。
第七章 平行线的证明
7.1 为什么要证明？
一、前置诊测
▪ 1.线段的长短比较？ 当两条线段的长度相等时，就可以说这两条 线段相等。
▪ 2.什么是质数？ 除了1和他本身外，没有其他约数的数叫做质 数。
二、展示目标
▪ 了解推理的意义，知道要判断一个数学结论 是否正确，仅仅靠经验、观察是不够的，必 须进行推理。
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五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解“为什么要证明”这一章节的内容。首先，通过导入生活中的实际问题，让学生感受到证明的必要性，这一点我觉得做得还不错，孩子们的兴趣和好奇心被成功激发。但在讲授过程中，我发现有些学生对证明的基本概念和步骤还是有些模糊，这让我意识到在接下来的教学中，需要更加关注这部分内容的讲解。
具体内容包括：
1.证明的概念和作用；
2.证明的步骤和方法；
3.举例说明证明在数学中的应用；
4.完成课本例题和习题，巩固证明方法。
本节课旨在让学生认识到证明的重要性，学会基本的证明方法，并能在实际问题中运用。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学抽象和数学建模三个方面。通过学习为什么要证明，培养学生以下能力：
北师大版八年级上册第七章7.1为什么要证明（教案）
一、教学内容
北师大版八年级上册第七章7.1《为什么要证明》主要包括以下内容：引入证明的必要性和重要性，让学生了解证明在数学学习中的应用；通过生活中的实例，使学生体会证明的过程和方法；学习基本的证明方法和步骤，包括直接证明、间接证明等；培养学生逻辑思维能力和解决问题的能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《为什么要证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明某个结论正确性的情况？”（例如：为什么三角形的内角和是180度？）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索证明的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解证明的基本概念。证明是数学中用来确认某个结论正确性的过程。它是数学逻辑推理的重要体现，帮助我们确信数学结论的正确性。

北师大版（数学）八年级上册第七章《平行线的证明》7.1《为什么要证明》教学设计说明《为什么要证明》是北师大版《数学》八年级上册第七章第一节的内容。

本节是在前面对几何结论已经有了一定直观认识的基础上编排的，本章中所涉及的很多结论在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索,学生了解这些结论。

本节课教材安排了四个数学问题，学生依据平时的观察、实验、归纳、类比等方法得到结论，但结论未必一定正确，所以需要一步一步有根有据地去验证。

此外,教学注意渗透数学思想方法,如合情推理，从特殊到一般的归纳思想，数形结合，类比、转化的思想方法等。

从本节课起,学生开始从有条理的口头表述逐渐过渡到书写自己的理由,要求证明的每一步都要有依据,进行严格的形式化证明。

因此本节课的学习对发展学生演绎推理能力是非常重要的,对培养学生的创新意识也非常有利。

四次学习探究活动：1.比较两条线短长短。

2.用一根比地球赤道长一米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？3.当n为任意自然数时，代数式n²－n+11的值是质数吗？4.三角形中位线问题。

在学生学习过程中，采用学生思考（观察、猜想、归纳等方法）——质疑、小组讨论——小组代表汇报——教师点拨方式进行，学生通过四个问题的自主解决，直观地认识到“为什么要证明”。

一、创设学生喜闻乐见的情境导入，激发学生兴趣几何证明中严格的逻辑要求使学生普遍认为几何太抽象、太难学，使学生产生了畏惧心理，学生兴趣普遍不浓。

为此，课的开始通过小游戏进行师生互动，“看老师的手，是几就说几（看手指说数）老师伸出手指一根，两根，三根，四根，接着还是伸出四根，学生中有同学可能会脱口而出说是5”，从而引发学生的思考。

课堂一开始就吸引了所有学生的注意力，激发了学生学习的兴趣和热情，并很自然地衔接引入到新课的教学。

二、问题导学贯穿课的始终“问题是数学的心脏”。

在整个教学过程中运用“问题解决”的思想，以问题情境导学，引导学生不断寻求策略，不断解决问题，让学生创造性地学习，将素质教育真正落到实处。

第七章平行线的证明7. 1 为什么要证明教学设计《为什么要证明》是北师大版《数学》八年级上册第七章第一节的内容.本节是在前面对几何结论已经有了一定直观认识的基础上编排的.本章中所涉及的很多结论在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，学生了解这些结论,这里则依据学生平时的观察、实验、归纳、类比等方法得出一种猜想，从而让学生感受这种猜想未必一定正确，所以需要我一步一步有根有据地去验证.此外，教材还注意渗透数学思想方法，如特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等.从本节课起,学生开始从有条理的口头表述逐渐过渡到书写自己的理由，要求证明的每一步都要有依据,进行严格的形式化证明.因此本节课的学习对发展学生逻辑推理能力是非常重要的，对培养学生的创新意识也非常有利.1.体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，从而认识到证明的必要性；理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例、推理证明等，理解数学的严谨性.2.通过观察、猜想、推理的过程，发展学生的探索意识与合作交流的意识.3.发展学生的探索意识以及合作交流的习惯，关注现实，培养学生进行思考的能力和质疑精神.【教学重点】理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法.【教学难点】体会数学推理的重要性和必要性.◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；教师准备课件，图片.一、创设情境，引入新知观察与思考图中的四边形是正方形吗？平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!你觉得观察得到的结论正确吗？数学的结论必须经过严格的论证判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、实验还不够.必须经过一步一步、有根有据的推理.考考你的眼力线段 a 与线段b 哪个比较长？谁与线段d 在一条直线上？◆教学过程猜想并验证活动活动内容：如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：)(16.021221m c c ≈=-+πππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.活动目的：通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材.注意事项：要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生，这样就达不到预想的要求，不能让学生留下深刻的印象.这个故事告诉我们：1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.2. 没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.3. 要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.三、运用新知验证数学结论的常用方法【类型一】实验验证例1先观察再验证.(1)图①中实线是直的还是弯曲的？(2)图②中两条线段a 与b 哪一条更长？(3)图③中的直线AB 与直线CD 平行吗？【类型二】推理证明例2 当n 为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？【类型三】举出反例例3 如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；(3)由(1)、(2)你发现了什么？(4)你能肯定上述的发现吗？四、巩固新知1. 下列结论中你能肯定的是（）A. 今天下雨，明天必然还下雨B. 三个连续整数的积一定能被6整除C. 小明在数学竞赛中一定能获奖D. 两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人2. 下列问题用到推理的是（）A. 根据a=10，b=10,得到a=bB. 观察得到三角形有三个角C. 老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘D. 由经验可知过两点有且只有一条直线3. 顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形4. 某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案时总得有A作从犯；③B不会开车.在此案中肯定的作案对象是（）A. 嫌疑犯AB. 嫌疑犯BC. 嫌疑犯CD. 嫌疑犯A和C5. 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”；（2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”；（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”；已知(1),(2),(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？五、归纳小结今天这节课你学到了什么知识？略.◆教学反思。

第七章平行线的证明1 为什么要证明教学目标【知识与技能】1.体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确,使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑,从而认识到证明的必要性.2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:试验验证、举出反例推理证明等,理解数学的严谨性.【过程与方法】通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识.【情感、态度与价值观】发展学生的探索意识以及合作交流的习惯;关注现实,培养学生进行深入思考的能力和质疑精神.教学重难点【重点】理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明,理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法.【难点】体会数学推理的重要性和必要性.教学过程一、创设情境,引入新课师:在以前的学习过程中,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?下面我们一起来感受几个例子!1.探究一:观察得到的结论正确吗?教师多媒体出示.(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗?图2中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法体验你观察到的结论.(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.学生凭着自己的观察和直观感觉说想法后,组织学生动手量一量、算一算,验证结论是否正确.(图1中的两条线段相等;图2是正方形;图3中假设地球半径是R,则赤道长2πR,铁丝长(2πR+1)米,那么这个铁丝围成的半径是(R+)米,所以铁丝与赤道之间的间隙为米≈16厘米,能放进一个拳头).然后引导学生回答下列问题:(1)由观察得到的结论正确吗?(2)你还能举出日常生活中的例子吗?2.探究二:归纳得到的结论正确吗?(1)听故事“公鸡归纳法”:某主妇养小鸡十只,公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋,公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.天天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨,其中的一只公鸡正在想:“第一天早晨有米吃,第二天早晨有米吃,……第九十九天早晨有米吃,所以今天,第一百天的早晨,一定有米吃.”这时,该主妇来了,正好把这只公鸡抓去杀了.第1天有食吃,第2天有食吃……第99天有食吃,一定能推出第100天有食吃吗?从这个故事中你明白了什么道理?同桌之间相互交流.(2)算一算验证“归纳法”:①出示代数式n2-n+11,让学生分别计算当n=1,2,3,4,5时,代数式的值是多少,提问它们的值都是质数吗?②追问学生:我们是不是可以由此得出结论,当n为任意自然数时,n2-n+11的值一定是质数呢?③让学生再多取几个数代入代数式中,验证结论是否正确.(不正确,比如当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数.)④思考:由归纳得到的结论一定正确吗?(3)再次验证“归纳法”.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC的中点,连接DE,DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗?与同伴进行交流.(DE与BC平行,且等于BC长度的一半;引导学生尝试猜想:连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边,且是第三条边长度的一半;组织学生进行归纳并验证结论,发现这样的结论对所有的三角形都成立.)小结:归纳得到的结论有的正确有的不正确.3.交流与发现.通过上述几类问题的分析,你有什么发现吗?(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?怎样判断一个结论是否正确呢?(2)总结:实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明.二、例题讲解【例1】观察图1中的两条线段a与b,你认为哪条线段长些?图1分析:观察往往会产生错觉,得出的结论不一定正确,想要判断两条线段是否一样长,最科学、合理的方式是量一量,组织学生动手操作量一量.【答案】两条线段一样长【例2】图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上?请你先观察,再用三角尺验证一下.【答案】线段b与线段d在同一直线上三、课堂小结1.通过本节课的学习,我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确,从而明白证明的意义和必要性.2.让学生反思自己在本节课学习中的优缺点、不足之处以及改进的方法,并能积极地参与与总结性的发言.。

北师大版数学八年级上册1《为什么要证明》教案1一. 教材分析《为什么要证明》是北师大版数学八年级上册第一课时，本节课主要让学生了解证明的意义和作用，培养学生初步的逻辑思维能力，为后续的证明学习打下基础。

教材通过丰富的实例，引导学生体会证明的重要性，认识证明的基本方法，同时，让学生在证明的过程中，感受数学的严谨性和美感。

二. 学情分析学生在七年级时已经接触过一些简单的证明问题，对证明有初步的认识。

但大部分学生对证明的意义和作用理解不够深入，证明方法掌握不牢固。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的特点进行引导和讲解，提高学生对证明的理解和应用能力。

三. 教学目标1.让学生了解证明的意义和作用，认识证明的基本方法。

2.培养学生初步的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.让学生感受数学的严谨性和美感，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：证明的意义和作用，证明的基本方法。

2.教学难点：证明方法的运用，逻辑思维能力的培养。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、讨论法等教学方法，引导学生主动探究，提高学生分析问题和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和实例，用于讲解和引导学生实践。

2.准备课件，辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生思考证明的意义和作用。

例如，证明勾股定理。

让学生认识到证明可以帮助我们理解和解决问题。

2.呈现（10分钟）介绍证明的基本方法，如直接证明、反证法、归纳法等。

通过具体的案例，让学生了解各种证明方法的运用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一个实例，运用所学证明方法进行证明。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）总结证明的方法和步骤，让学生加深对证明的理解。

通过练习题，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考证明在实际生活中的应用，如逻辑推理、论证等。

拓宽学生的视野，提高学生的应用能力。

第七章平行线的证明1为什么要证明典型例题题型一实验验证结论例1观察，再验证.(1)图1①中黑色的边是直的还是弯曲的？(2)图1②中两条线段a与b，哪一条更长？①②图1分析：先观察得出结论，再实验验证.解：对于(1)题，直接观察图1①可能得出结论：黑色的边是弯曲的.但实际上，黑色的边是直的.对于(2)题，直接观察图1②可能得出结论：线段b比线段a短.但实际上，这两条线段同样长.点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证.例2在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n 为任意正整数时，n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.分析：因为n2-6n＝n(n-6)，所以只要n≥6，该式子的值都表示非负数，所以猜想不正确.解：(方法1：利用反例证明)不正确.理由：例如当n＝7时，n2-6n＝7>0.(方法2)不正确.理由：n2-6n＝n(n-6)，当n≥6时，n2-6n≥0.特别提示：通过此题可说明一点：学生在解答问题时不能太片面，而要全面考虑问题.题型二推理的应用1.图形中的推理例3如图2所示，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成段.图2点拨：从简单、特殊的情况入手，运用比较、归纳的方法，探究内在的规律.2.数学式子中的推理例4观察下列关于自然数的等式：①1×7+2×9＝52；②2×8+2×10＝62；③3×9+2×11＝72；…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第4个等式；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.解题关键：观察等式左右两边的数字变化情况，找出每个式子与序号之间的关系.解：(1)根据题意得，第4个等式为4×10+2×12＝82.(2)猜想的第n个等式为n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.验证：左边＝n(n+6)+2(n+8)＝n2+6n+2n+16＝n2+8n+42＝(n+4)2＝右边，所以n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.3.假设论证例5甲、乙、丙、丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色.在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色的.”乙说：“丙的车是红色的.”丙说：“丁的车不是蓝色的.”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是()A.甲的车是白色的，乙的车是银色的B.乙的车是蓝色的，丙的车是红色的C.丙的车是白色的，丁的车是蓝色的D.丁的车是银色的，甲的车是红色的解析：∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，假设乙的车是红色的，∴乙说的是实话，∴丙的车也是红色的，和只有一个人的车是红色的矛盾.假设丙的车是红色的，∴丙说的是实话，而乙说“丙的车是红色的”，∴乙说的是实话，∴有两人说的是实话，与只有一个人说的是实话矛盾，∴只有甲的车是红色的.∴甲说的是实话，丙说的不是实话.∵丙说：“丁的车不是蓝色的”，∴丁的车是蓝色的，∴乙和丙的车一个是白色的，一个是银色的.∵甲说：“乙的车不是白色”，且甲说的是实话，∴丙的车是白色的，乙的车是银色的.综上，甲的车是红色的，乙的车是银色的，丙的车是白色的，丁的车是蓝色的.答案：C4.推理论证例6某球赛小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是()A.甲B.甲与丁C.丙D.丙与丁解析：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分为5分，1胜2平，丙得分为3分，1胜0平，丁得分为1分，0胜1平.∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平.∵丙得3分，1胜0平，乙得5分，1胜2平，∴与乙打平的球队是甲与丁.答案：B拓展资源哥德巴赫猜想两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语：“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和.”但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道：“我想冒险发表下列假定‘大于5的任何数都是三个素数的和’.”这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想.同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为‘每一个偶数都是两个素数之和’，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的.”这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-欧拉猜想.完整地说，哥德巴赫猜想是：大于1的任何数都是三个素数的和.后来，人们把它归纳为：命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和.人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念.所谓“殆素数”就是素数因子(包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数.我们知道，除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素数，都叫做这个正整数的素因子.相同的素因子要重复计算，它有多少素因子是一个确定的数.例如，从25~30这六个数中，25＝5×5有2个素因子，26＝2×13有2个素因子，27＝3×3×3有3个素因子，28＝2×2×7有3个素因子，29是素数有1个素因子，30＝2×3×5有3个素因子.于是可说25，26，29是素因子不超过2的殆素数，27，28，30是素因子不超过3的殆素数.用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A.命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和.这个命题简化为“m+n”.这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了：如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”.当然如果能证明“1+1”就基本上证明了命题A，也就基本解决了哥德巴赫猜想了.1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”.1924年，德国数学家拉代马哈证明了“7+7”.1932年，英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”.1938年，苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”.1938年，中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即几乎所有偶数“1+1”成立.1940年，苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”.1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一个很大的自然数.1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，稍后证明了“3+3”和“2+3”.1956年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”.1957年，中国数学家王元又证明了“2+3”.1962年，中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5”，这是证明了相加的两个数中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5.1962年，苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+5”.1963年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”.1965年，维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”.1965年，意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”.1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”.。

课时目标1.经历观察、归纳、验证等活动过程,在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,初步感受证明的必要性.2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:实验验证、举反例验证、推理证明等,理解数学的严谨性.3.通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识,发展学生的推理意识.学习重点了解证明的意义,知道要判断一个数学结论是否正确,必须进行证明.学习难点会用实验验证、举出反例、推理证明等方法简单地验证一个数学结论是否正确.课时活动设计情境引入通过多媒体播放视频和图片,引导学生观察,思考.通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?我们再感受几个!(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗?图2中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.图1图2图3(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝和地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.学生尝试解答,教师使用多媒体展示答案.解:画出示意图如图,设铁丝圈的半径为R ,地球的半径为r ,赤道周长为C.由题意,得R -r =C+12π-C 2π=12π≈0.16(m).所以可以放一个拳头.设计意图:由大量的现实图片引出,让学生产生视觉上的强烈冲击,激发强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.通过理性的计算,验证了很难想像到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为论证的合理性和必要性提供素材.探究新知教师引导学生思考下面问题.1.代数式n 2-n +11的值是质数吗?取n =0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有的自然数n ,n 2-n +11的值都是质数?与同伴进行交流.学生组内合作,互相讨论交流.教师通过多媒体展示成果.2.如图,在△ABC 中,点D ,E 分别是AB ,AC 的中点,连接DE ,DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.解:通过测量得出:位置关系:DE △BC ;数量关系:DE =12BC.你能肯定你的结论对所有的△ABC 都成立吗?与同伴进行交流.教师总结:通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确.要判断一个数学结论是否正确,无论验证多少个特殊例子,也无法保证其正确性,要确定其正确性,必须要进行有根有据的证明.设计意图:引导学生小组合作交流,通过第1题让学生明白,只举几个特殊例子就证明结论是正确的,这种做法不恰当.为下一步的学习提供必要的准备.在第2题中,学生通过测量得出猜想,并通过改变三角形的形状,在不同的三角形中再次得到验证,因而较为相信这个结论的正确性;但毕竟是测量结果,测量难免有误差,因此难以令人信服,还需要寻求更为可信的证明.典例精讲例我们知道2×2=4,2+2=4,试问对于任意数a与b,是否一定有结论a×b=a+b?解:3×2=6,而3+2=5,6≠5,所以不是对于任意数a与b都一定有结论a×b=a+b.设计意图:让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识,体验了证明的必要性.通过特例我们并不能直接得到结论,可以通过举出反例的方式加以证明,培养学生的严谨意识.巩固训练1.当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值都等于1吗?解:当n=1时,(n2-5n+5)2=1;当n=2时,(n2-5n+5)2=1;当n=3时,(n2-5n+5)2=1;当n=4时,(n2-5n+5)2=1;当n=5时,(n2-5n+5)2=25≠1.△当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值不一定都等于1.2.当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数吗?解:当n=1时,n2+3n+1=5;当n=2时,n2+3n+1=11;当n=3时,n2+3n+1=19;当n=4时,n2+3n+1=29;当n=5时,n2+3n+1=41;当n=6时,n2+3n+1=55.因为当n=6时,n2+3n+1=55,是个合数,不是质数,所以当n为正整数时,n2+3n+1的值不一定是质数.设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上,对现有结论进行验证,让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性,从而对不完全归纳的合理性产生怀疑,进而认识到证明的必要性.在此过程中培养学生的运算能力、表达能力和总结能力,让学生学会用数学语言表达现实世界.课堂小结1.通过实验、观察、归纳得到的结论一定正确吗?2.你有哪些证明结论是否正确的方法?设计意图:通过小结让学生复述本节课所学知识,使学生牢固掌握本节课所学内容,把所学知识内化成自己的知识.课堂8分钟.1.教材第164页习题7.1第1,2,3题.2.七彩作业.教学反思。

北师大版数学八年级上册 7.1为什么要证明名师教案课题7.1 为什么要证明单元第七单元学科数学年级八学习目标知识与技能：体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理等,发展学生的推理能力.过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心理,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识.情感态度与价值观：通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严密性,并培养与他人合作的意识.重点要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察或实验是不够的,必须一步一步、有理有据地进行推理.难点通过对一些规律的探讨和分析,养成动脑思考问题的习惯.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图新知导入师:同学们,请你们用学过的数学知识解决下面的问题。

从A地到B地有五条道路,时间紧急,张先生要从B地赶往A地乘车,此时张先生应该选择哪条路?你的依据是什么?两点之间,线段最短.你还记得我们是如何得到“两点之间,线段最短”这个结论的吗?张先生应该走第③条路.两点之间,线段最短.从学生已知的数学结论出发,感受有些结论是通过观察、实验、归纳等活动得出的,适时提出问题,通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?设置悬念,激发学生的求知欲,为新课的学习做好铺垫.新知讲解我们曾经通过观察、实验、归纳等活动得到了很多正确的结论.但是通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?如何才能得到正确的结论呢?图(1)中的两条线段a,b长度相等吗? 学生先观察,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同让学生的观察结果与实验结果产生思维上的碰撞,同时让学生明白只有实践才能出真知的道观察的结果是线段a比较长;经过测量,线段a,b长度相等.图(2)中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.观察的结果是四边形的四条边是曲线;经过直尺验证,四边形是正方形.如图,把地球看成球形,假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.解:设赤道的周长为C米,则铁丝的长为(C+1)米,那么铁丝与地球赤道间的间隙为R-r,c+1c1-=≈0.16(m)2π2π2π0.16 m=16 cm.通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.请大家解决下面问题.代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.当n=0时,n2-n+11=11. 当n=1时,n2-n+11=11. 当n=2时,n2-n+11=13. 当n=3时,n2-n+11=17. 当n=4时,n2-n+11=23. 当n=5时,n2-n+11=31. 因为当n=0,1,2,3,4,5时,代数式n2-n+11的值都是质数,所以对于所有自然数n,n2-n+11的值都是时,教师利用多媒体进行验证.学生先凭感觉想象,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行展示.学生先思考,再动手计算,然后小组交理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.通过理性的计算,验证了很难想象到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为证明的必要性提供素材.对归纳的结论进行验证,让学生通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑.检验数学结论常用的方法：主要有：实验验证、举出反例、推理证明实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．应用：检验数学结论常用的三种方法的应用：实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不是正确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．实验、观察、归纳得出的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据推的证明．手、作图验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行成果展示.得出的结论仍有不确定性,需要更合适的方法来解决问题.课堂练习 1.小刚和小明在手工制作课上,用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示.那么他们用的材料长度( A ) 学生认真做课堂练习。

几个黑点?
不 信 你 不 晕
韦德螺旋：这真是一个螺旋吗？【解析】英国视觉科学家、艺术家尼古拉 斯·韦德向我们展示了他的弗雷泽螺旋幻觉的变体形式。虽然图形看起来 像螺旋，但实际上它是一系列同心圆。
柱 子 是 圆 的 还 是 方 的
?
拓展创新
❖ 1 八(1)班有39位学生,他们每人将自己的学 号作为n的取值(n=1,2,3,…,39)代入式子 n2+n+41,结果发现n2+n+41的值都是质数，于 是他们猜想:“对于所有的自然数，式子 n2+n+41的值都是质数.”
探究新知
1.检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证法、举出反例、推理论证． (1)实验验证法：通过做实验、测量、计算等手段验证结论正确与否.实 验验证法是最基本的方法.常用于检验一些比较直观、简单的结论. (2)举出反例：举出反例说明该结论不一定成立.多用于验证某结论是不是正 确的. (3)推理论证：是最可靠、最科学的方法．主要用来进行严格的推理论证， 既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的． 2.检验数学结论的具体过程：
探究新知
4.下列判断是否正确? （1）从书架上抽出5本书，5本书都是数学书，因此书架上的书都是数学书. （2）有一条线段AB长3cm，另一条线段BC长2cm，那么AC长为5cm.
5.此次数学考试八年级九班全班65名学生没有不及格的。李妙是八年级九班
的一名学生，由此推断李妙考试
(填“及格”或“不及格”)。
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
探究新知
3.下列推理正确的是( ) A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只 大5岁了，因为弟弟明年比今年长大了1岁 B．如果a>b，b>c，那么a>c C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多 D．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角

北师大版八年级上册 7.1《为什么要证明》教学设计这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识。

三、学情分析：㈠、知识基础：在此之前，学生已经学习了很多与几何相关的知识，为今天的学习作好了知识储备；同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础．㈡、活动经验基础：八年级学生有一定的表现欲望和学习兴趣，通过一年多的初中数学学习，学生已经具备一定的观察、比较、动手操作、猜想、归纳和概括的能力，具备一定的小组合作交流的能力。

四、设计理念：本着“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”、“以教师为主导，以学生为主体”的教育理念，针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课先采用一些错觉图片，让学生对“眼见为实”产生困惑激趣引入，再以五个学生活动素材（“看一看”、“猜一猜”、“做一做”、“读一读”、“量一量”）让学生经历观察、猜想、验证、归纳等过程，通过合作交流，认识到观察、猜想、归纳、实验得到的结论不一定可靠，需要进一步计算或推理论证，从而体会证明的意义和证明的必要性。

五、教学目标：㈠、知识与技能目标：1、了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等；2、会用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论是否正确。

㈡、过程与方法目标：经历观察、猜想、验证、归纳等思维过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识。

㈢、情感态度与价值观：经历观察、猜想、验证、归纳等过程，让学生体会数学的严谨性，培养学生的质疑精神。

六、教学重点和难点：教学重点：让学生充分参与观察、猜想、归纳、实验等学生活动，进而认识到证明的必要性。

教学难点：让学生经历观察、猜想、验证、归纳等思维过程，认识到观察、猜想、归纳、实验方法得到的结论不一定可靠，从而体会证明的必要性。

1 为什么要证明1．推理证明的必要性给出两条线段a，b，判断它们是否相等，我们就需要去测量，因为有误差，所以测量的结果可能相等，也可能不相等，这说明测量所得出的结论也不一定正确．实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，必须一步一步、有根有据地进行推理．谈重点证明的必要性(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质．【例1】观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？解析：仅凭观察得到的结论不一定正确．眼睛看到的并一定可靠，眼睛有时会产生一些错觉．本例中感觉左图中间的圆圈好像比右图中间的圆圈要小一些，实际上这两个圆圈是一样大的．答案：一样大点评：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．2．检验数学结论常用的方法(1)检验数学结论常用的方法主要有：实验验证、举出反例、推理证明．实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．(2)应用检验数学结论常用的三种方法的应用：实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不正确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．【例2－1】我们知道：2×2＝4,2＋2＝4.试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b?分析：通过举反例，找出使a×b＝a＋b不成立的a，b的值，就可以得出答案．解：3×2＝6，而3＋2＝5，因为6≠5，所以不是任意数a与b，都有结论a×b＝a＋b.【例2－2】如图，在▱ABCD中，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，试问DF与BE 的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．分析：由图可知位置关系应为平行，而数量关系则为相等，用推理的方式说明理由即可．解：DF∥BE，DF＝BE.理由：由DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC＝∠BEA＝90°，故DF∥BE.由AB∥CD，得∠DCF＝∠BAE.又AB＝CD，∠CFD＝∠AEB＝90°，所以△DCF≌△BAE.所以DF＝BE.点评：观察只是猜测其结论，只有推理才能说明其结论的正确性．3．推理的应用推理的应用在数学中很多，下面给出两种较常见的应用：(1)规律探究给出形式上相同的一些代数式或几何图形，观察、猜想其中蕴含的规律，并验证或推理说明．这是规律归纳类题目的特点．解题思路：解决此类题目时，要用从特殊到一般的思想找到思路，而且必须善于猜想．代数规律题一般用式子表示其规律，对于几何规律题有时用式子表示，有时写出文字结论．(2)推理在日常生活中的应用生活中我们经常需要对有关结论的真伪作出判断，如购买货物、称重是否准确、获得的某种信息是否可靠等．我们可以根据自己的知识储备或借助外力，进行适当的推理，辨别真伪，从而作出判断．【例3－1】下列图案均由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成．依此规律，第5个图案中小正方形的个数为__________．解析：第1个图形中正方形的个数为1，第2个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1＋3＋1个，第3个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1＋3个，即为1＋3＋5＋3＋1.所以第5个图案中小正方形的个数为1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41.答案：41【例3－2】有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．”②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．”③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？分析：注意①与③互相矛盾，两件矛盾的事，不能都是真的，又不能都是假的，必有一真，这样问题就解决了．解：经分析得①③中有一句是真话，一句是假话，而已知真话只有一句，所以②必是假话，从而可知苹果在黄箱子里．点技巧巧用排除法判断数学结论正确与否，可选择“排除法”．。

______．
7.1 为什么要证明
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［解析］若 A 错，则 B 为第一，C 为第二或第三，D
重
难
题 为最后一名，符合题意；若 B 错，则 B 最后，D 也是最后
型 一名，出现矛盾；若 C 错，则C 是第一或最后一名，与 A
突
破 是第一、D 是最后一名，矛盾；若 D 错，其他都对的话，
则没有最后一名．
7.1 为什么要证明
● 考点清单解读
● 重难题型突破
7.1 为什么要证明
■考点
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推理证明的必要性
考
点
1. 推理论证的意义：实验、观察、归纳得到的结论可能
清
单
解 正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确
读 ，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据
的证明.
2. 检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证法、验


1－（−1）
a3 是 a2的差倒数，a4 是 a3 的差倒数，以此类推，则
1
3
a211＝______.
7.1 为什么要证明
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解题通法
在解决数式规律这类问题时，先猜想结论
重
难
题 或判断给出的猜想是否正确，然后再根据计算验证猜想是
型 否正确.
突
破
［答案］ 解：小明的猜想正确.理由：因为 n 为奇数
重
难
2-1=（2k+1
，所以可设
n=2k+1（k
为自然数），
所以
n
题
型 ）2-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=（2k+2）×2k=4k（k+1），

为什么要证明--教学设计（聂慧）1．为什么要证明贵阳市第十七中学聂慧内容和内容解析内容感受证明的必要性,了解检验数学结论的常用方法。

内容解析本节课是义务教育教科书数学八年级上册〔北师大版〕第七章第一节。

学生在从小学到初中的三个学段中，认识图形的要求有着明显的层次性，从〝辨认〞到〝初步认识〞，再从〝认识〞到〝探索并证明〞。

这种层次性既表达了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐步深入，循序渐进。

这节内容设置在八年级，已经是第三学段中期。

在七年级时教材已经设置了«基本平面图形»、«相交线与平行线»和«三角形»的学习，学生通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了很多正确的结论，学生也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但并没有进行严格的证明，因而容易给学生造成一些错觉，认为通过探究得到的结论都是正确的。

本节课就是让学生认识到：通过观察、实验、归纳等活动得到的结论未必可靠，就是可靠的结论也需要进行严格的证明，初步感受证明的必要性，从而为后面学习演绎推理埋下伏笔。

根据以上对教材地位和作用的分析，结合课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：知道观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识。

【二】目标和目标解析目标〔1〕经历观察、验证、归纳等过程，使学生产生认知冲突，对由这些方法所得到的结论产生怀疑，从而认识证明的必要性。

〔2〕了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举反例论证、推理论证等，并能运用这些方法来验证某些问题的结论正确与否，发展学生合情推理和演绎推理能力，培养学生的推理意识．〔3〕在积极参与数学活动的过程中，激发学生的好奇心和求知欲；通过实验和探究活动，养成合作交流、反思质疑的学习习惯，形成修正错误、严谨求实的科学态度。

2、目标解析目标〔1〕达成的标志是学生通过〝观察图片〞、〝比较线段长短〞的问题、〝铁丝围地球〞的问题、〝费马数〞的问题等，发现通过观察、猜测、归纳等活动得到的结论不一定都正确，从而认识到证明的必要性目标〔2〕达成的标志是通过学生在经历多次错误的观察、猜想判断后，不再随意猜测，而是通过测量、计算、推理、举反例等方法来有理有据地证明这些结论正确与否。