第11章 拉普拉斯变换1

f 1 ( t ) F1 ( s )
f 1( t ) sF ( s ) f 1 ( 0 )
例6：求 f(t)=coswt的象函数。
L sin w t
w
s w
2 2
cos w t (sin w t )
1
w
w sin w t s L 2 s w
st
dt

0
( t T )e
dt
11

1 s
e
sT
11.3 拉普拉斯变换反变换
在任何线性电路（定常）中，任一电量其象函数F(s)的形式都为：
F (s) N (s) D(s) a0s
m n
11.３ 拉普拉斯变换反变换1
a1 s
m 1 n1
am bm
令s=p1，则等式左边除第一项外都等于零，于是可得
k 1 ( s p 1 ) F ( s ) s p
1
同理可得：k i ( s p i ) F ( s ) s p
i
(i=1、2、…、n)
13
方法二：因为pi是D(s)=0的一个根，故ki=[(s-pi) F(s)] s=p 表达式
3

k2 s p2

将方程两边同时乘以(s-p1)3
( s p 1 ) F ( s ) ( s p 1 ) k 13 ( s p 1 ) k 12 k 11 ( s p 1 ) (
3 2 3
k2 s p2
16
)
( s p 1 ) F ( s ) ( s p 1 ) k 13 ( s p 1 ) k 12 k 11 ( s p 1 ) (
F (s)
11.1 拉普拉斯变换的定义2


f ( t )e
st
dt
0

0
Me e
e
ct
wt
e
jw t
dt
M c s jw
e
( c s jw ) t
0

s c
( c s ) t
收敛
F(s)式中积分下限值为0―，这是为了使积分能够计及时间
函数f(t)在t=0时刻可能包含的冲激。
k1 k1 e
jθ 1
k 2 k1 e
- jθ 1
f ( t ) k1e
( jw ) t
k 2e
( jw ) t
k1 e )
j 1
e
( jw ) t
k1 e
- j 1
e
( jw ) t
k1 e (et来自j( w t 1 )
e
- j( w t 1 )
s 1 j2
0 . 56 e
j 26 . 57

f(t)=2×0.56e-tcos(2t+26.57°) 三、设D(s)=0具有重根的情况。（假设D(s)中含有(s-p1)3的因式）
F (s) k 13 s p1 k 12 ( s p1 )
2

k 11 ( s p1 )
率分析，有时称为运算法。
二、拉氏变换存在的条件
<一>、在t≥ 0的任一有限区间上分段连续；
3
<二>、t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存
在常数M>0及c≥0，使得│f(t)│≤ Mec t，0≤t<∞成立，则
f(t)的拉氏变换F(s)在Re(s)>0上一定存在，此时右端积分绝 对收敛而且一致收敛。
F ( s ) L [ ( t )]

0
( t )e
st
dt


0 0
( t )e
s0
dt 1
5
11.2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质（包括齐性原理和叠加定理）
f 1 ( t ) F1 ( s )
11.2 拉普拉斯变换的基本性质1
f 2 ( t ) F2 ( s )
st
dt
1 s
e
st
0

1
例2：求 f(t)=e t(t)的象函数(为实数）。
F ( s ) L [ e ( t )]
Re[ s ] 0
t


e
0
tt
e
st
dt

1 s
e
( s ) t
0

1 s
例3：求 f(t)=(t)的象函数。
2
sin w 0 s
w
s w
2 2
1 w 1 L cos w t L sin w t s 2 s w w w
2

s s w
2 2
9
三、积分性质
f ( t ) f ( ) d F ( s ) f (t ) F ( s) 11.2 拉普拉斯变换的基本性质５
11.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
2
11.1 拉普拉斯变换的定义
一、定义
一个定义在[0，∞]，即单闭区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换
F(s)定义为：
F (s)

11.1 拉普拉斯变换的定义1

f ( t )e
0 st
dt
式中s=s +jw为复数（叫复频率）
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。拉普拉斯变 换简称为拉氏变换。 拉氏变换分析电路的方法称为电路的复频
第11章 拉普拉斯变换
第11章 拉普拉斯变换
重点内容 应用拉普拉斯方法（简称运算法）计算动态电路的响应。 注意：R、L和C的运算电路图中各个组成部分的表达式及符 号。
1
第11章主要内容
11.1 拉普拉斯变换的定义 11.2 拉普拉斯变换的基本性质
本章主要内容
11.3 拉普拉斯变换的部分分式展开 11.4 运算电路


A 2 f 2 ( t ) e
st
dt
A1
0
f 1 ( t )e
st
dt
A2
0
f 2 ( t )e
st
dt
A1 F 1 ( s ) A 2 F 2 ( s )
6
例4：求 f(t)=sinwt的象函数。
1 11.2( s拉普拉斯变换的基本性质２ F ) L [sin w t ] L [ (e e )
0

f 1( t ) e
st
dt e
st
f1 (t )
0
s
0
f 1 ( t )e
st
dt
f ( t 拉普拉斯变换的基本性质４ 11.2) F ( s ) e f ( ) 0
1 1
s
1


0
st f 1( t ) e dt sF ( s ) f 1 ( 0 )
i
11.３ 拉普拉斯变换反变换3
ki
为零分之零形，可以利用罗毕达法则来确定的值 ，即
( s pi ) N ( s ) D(s)
lim
s pi
lim
s pi
( s p i ) N ( s ) N ( s ) D ( s )

N ( pi ) D ( p i )
ki
2 k1 e
t
cos( w t 1 )
15
例10：求 F(s)=s/(s2+2s+5)的原函数f(t) 解：D(s)= s2+2s+5 =0得，p1= -1+j2， p2= -1 - j2
k1 N (s) D ( s )
s 1 j2
11.３ 拉普拉斯变换反变换5
s 2s 2
e
st
u
st
f 1( t ) dt dv
dt
du se
st
dt


0
f 1( t ) e


e
0
st
df 1 ( t )
0
0
f 1( t ) e
st
dt e
st
f1 (t )
0
s
f 1 ( t )e
st
dt
8

N ( pi ) D ( p i )
(i=1、2、…、n)
例9：求 F(s)=(2s+3)/(s2+5s+6)的原函数f(t)
F (s) 2s 3 s 5s 6
2

2s 3 ( s 3 )( s 2 )
1
s 2

k1 s 2

k2 s 3
p1=–2， p2=–3，
1 1
0 1
F1 ( s ) ? F ( s )
F1 ( s ) L f 1 ( t )

0
st f ( t ) e dt sF ( s ) f ( 0 )
F (s)
F1 ( s ) s
例7：求 f(t)=t的象函数。
F ( s ) L f ( t )
jw t jw t
2j

1
2 j s jw
(
1

1 s jw
)
w
s w
2 2
例5：求 下图所示矩形脉冲f(t)的象函数。