(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题突破练19专题五立体几何过关检测文

（第17题图）2俯视图342左视图主视图342019-2020年高考数学一轮复习 专题突破训练 立体几何 文一、选择、填空题1、（xx 年高考）若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 .2、（xx 年高考）若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．αlr3、（xx 年高考）已知圆柱的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为，则= .4、（奉贤区xx 届高三二模）如图（右上）为一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为的正三角形、俯视图轮廓是正方形， 则该几何体的侧面积为____________．5、（虹口区xx 届高三二模）） 一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为 （ ） （A ） 24 （B ）16 （C ） 12 （D ）86、（黄浦区xx 届高三二模）在空间中，下列命题正确的是 [答] ( )．A ．若两直线a ,b 与直线l 所成的角相等，那么a ∥bB ．空间不同的三点确定一个平面C ．如果直线l //平面且//平面，那么D ．若直线与平面没有公共点，则直线//平面俯视图主左7、（浦东新区xx 届高三二模）已知球的表面积为64，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是 . 8、（普陀区xx 届高三一模）如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为，则异面直线A 1A 与B 1C 所成的角的大小为 arctan ．（结果用反三角函数值表示）俯视图左视图主视图219、（徐汇、松江、金山区xx 届高三二模）一个正三棱柱的三视图如图所示（右上），则该三棱柱的体积是 ．10、（闸北区xx 届高三一模）若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为__________．11、若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、,则:=. 1:1. . 2:1. . 3:2. . 4:1.12、一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的表面积等于 （ ）A ．.B ．.C ．.D ．.13、在正方体中与异面直线,均垂直的棱有( )条.1. 2. 3. 4.14、于直线,及平面α,β,下列命题中正确的是 （ ）A ．若则B ．若则C ．若则D ．若,则 15、现有一个由长半轴为,短半轴为的椭圆绕其长轴按一定方向旋转所形成的“橄榄球面”.已知一个以主视图左视图俯视图椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面,则这个圆柱的侧面积的最大值是_____.1、【答案】4【解析】依题意，，解得.2、解答：如图：21=,=,3,arcsin 3rl r l r ππα=∴=侧面积底面积可得 3、【答案】 【解析】 4、8 5、D 6、D 7、8、解答： 解：根据已知条件知，； ∴BB 1=4； ∵BB 1∥AA 1；∴∠BB 1C 是异面直线A 1A 与B 1C 所成角； ∴在Rt △BCB 1中，tan ∠BB 1C=； ∴．故答案为：arctan ． 9、 10、 11 C 12、 B; 13、; 14、 B 15、.二、解答题1、（xx 年高考）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.2、（xx 年高考）底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积．(第20题图）D 1C 1B 1BCD A 1A3、（xx 年高考）如图，正三棱锥O-ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。

V ＝ πR 3⎪a ⊥α⎫⎪ α∩β＝b ⎪⎭ ⎭ α∥β⎫β∩γ＝b ⎭ a ∥b ⎫⎪⎭ a ∥b ⎫a ⊄α ⎭ α⊥β⎫α∥β⎫⎪⎭⎪a ⊥α⎫⎪回顾 5 立体几何[必记知识]空间几何体的表面积和体积几何体圆柱圆锥侧面积S 侧＝2πrlS 侧＝πrl表面积S 表＝2πr(r ＋l)S 表＝πr(r ＋l)体积V ＝S 底 h ＝πr 2h 1 1 V ＝3S 底 h ＝3πr 2h圆台S 侧＝π(r ＋r ′)lS表＝π(r 2＋r ′2＋rl ＋r ′l)1 V ＝3(S 上＋S 下＋1 S 上S 下)h ＝3π(r 2＋r ′2＋rr ′)h直棱柱正棱锥正棱台S 侧＝Ch(C 为底面周长) 1S 侧＝2Ch ′(C 为底面周长，h ′为斜高)1S 侧＝2(C ＋C ′)h ′(C ，C ′分别为上、下底面周长，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下 (棱锥的 S 上＝0)V ＝S 底 h1V ＝3S 底 h1V ＝3(S 上＋S 下＋h ′为斜高)球S ＝4πR 2空间线面位置关系的证明方法S 上S 下)h4 3(1)线线平行：a ∥α⎫ a ⊂β ⎬⇒a ∥b ， ⎬⇒a ∥b ，b ⊥α⎪⎪α∩γ＝a ⎬⇒a ∥b ， ⎪⎬⇒c ∥b . a ∥c ⎪⎪(2)线面平行： b ⊂α ⎬⇒a ∥α， ⎪⎪ ⎬⇒a ∥α， a ⊥β⎬⇒a ∥α. a ⊂β ⎪ ⎪ a ⊄α ⎭(3)面面平行：a ⊂α，b ⊂α ⎫ a ∩b ＝O ⎬⇒α∥β， ⎬⇒α∥β，a ∥β，b ∥β⎭⎪a⊥β⎪⎭1α∥β⎫⎪⎪⎪α∥β⎫⎪ a ∥b ⎫⎪⎪ ⎪a ⊥α⎪ a ⊥α⎪ ⎭⎬⎭a ∩b ＝O ⎬a ⊂β ⎫⎪a ∥β⎫⎪ ⎭l l l l | .⎬⇒α∥γ.γ∥β ⎪(4)线线垂直：a ⊥α⎫⎪⇒a ⊥b .b ⊂α ⎪a ⊂α，b ⊂α⎫α⊥β⎫(5)线面垂直： ⎬⇒l ⊥α，α∩β＝l ⎬⇒a ⊥β， ⇒a ⊥β， ⎬⇒b l ⊥a ，l ⊥b ⎭a ⊂α，a ⊥l ⎭⊥α.(6)面面垂直： ⎬⇒α⊥β， a ⊥α⎭⎪ ⎬⇒α⊥β.a ⊥α⎪[提醒]) 要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件 .如由 α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出 m ⊥β 的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m ⊂α 的限制条件.用空间向量证明平行垂直设直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面 α、β 的法向量分别为 μ＝(a 2，b 2，c 2)，υ＝(a 3，b 3，c 3)．则有：(1)线面平行l ∥α⇔a ⊥ μ⇔aμ ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μυ ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.用向量求空间角(1)直线 l 1， 2 的夹角 θ 有 cos θ＝|cos 〈l 1， 2〉|(其中 l 1， 2 分别是直线 l 1， 2 的方向向量)． (2)直线 l 与平面 α 的夹角 θ 有 sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中 l 是直线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量)．(3)平面 α，β 的夹角 θ 有 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉，则 α-l-β 二面角的平面角为 θ 或 π－θ(其 中 n 1，n 2 分别是平面 α，β 的法向量)．[提醒]) 在处理实际问题时，要注意异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角[必会结论]三视图的排列规则2a(正四面体高 a的 )，外接球的半径为 a(正四面体高 a 的 )．俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．平行、垂直关系的转化示意图球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 6 612 31 6 6 3 4 4 3 4[必练习题]1．设 m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，有下列四个命题：①若 m ⊂β，α⊥β，则 m ⊥α；②若 α∥β，m ⊂α，则 m ∥β；③若 n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则 m ⊥β； ④若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β.其中正确命题的序号是()A ．①③B ．①②C ．③④D ．②③解析：选 D.对于①，注意到直线 m 可能与平面 α，β 的交线平行，此时结论不成立，因此①不正确；对于②，直线 m 与平面 β 必没有公共点，因此 m ∥β，②正确；对于③，由 m⊥α，n ⊥α，得 m ∥n ，又 n ⊥β，因此 m ⊥β，③正确；对于④，平面 α，β 可能是相交平面，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是②③，选 D.2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是()3四棱锥，如图所示，则V＝1×1×(1＋2)×2×3＝3，故选A.2r，易知轴截面三角形边A B上的高为22，因此＝r，解得r＝2，所以圆锥内切球的表面积为4π×⎛2⎫＝2π，故选C.解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为，高为x的圆柱，右边是A.3C．3B．2D．4解析：选A.由几何体的三视图知，几何体是底面为直角梯形，高为3的323．已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为()A．πC．2π3πB.D．3π解析：选C.依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为22－r3122⎝2⎭4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一个标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为()A．1.2C．1.8B．1.6D．2.4124一个长、宽、高分别为5.4－x，3，1的长方体，所以组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·⎫A.222C.3⊥平面DD C C，则∠A CM就是直线A C与面DD C C所成的角．由所有棱长均为2及1A1C4⎛1⎝2⎭2×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.故选B.5．已知S，A，B、C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC ＝2，若球O的表面积为4π，则SA＝()2B．1C.23D.解析：选B.根据已知把S-ABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1，2R＝SA2＋1＋2＝2，解得SA＝1，故选B.6．棱长都为2的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为()1A.4B.D.2238解析：选C.过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1的延长线于点M，连接CM，可得A1M 111111∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin60°＝3，又A1C＝A1C21＋CC2＝（23）2＋22＝4，所以sin∠A CM＝A1M＝3，故选C.17．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝△2，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直解析：选B.若存在某个位置，使得AC⊥BD，作AE⊥BD于E，则BD⊥平面AEC，所5P ABC＝V×△S ABC PD ＝ △S P AB h ，所以 × a 2×a ＝ × ×( 2a)2×h ，解得 h ＝ a ， 所以点 C 到平面 P AB 的距离为 3a.答案： 3a9．正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，若动点 P 在线段 BD 1 上运动，则DC ·AP 的取则 D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D (0，0，1)．所以DC＝(0，1，0)，BD ＝(－1，－1，1)．所以设BP ＝λBD ＝(－λ，－λ，λ)，且 0≤λ≤1.以 BD ⊥EC △，在 ABD 中，AB 2＝BE · B D ，BE ＝ 1 ，而在△BCD 中，BC 2＝BE · B D ，BE ＝ 2，3 3两者矛盾．故 A 错误．若存在某个位置，使得 AB ⊥CD ，又因为 AB ⊥AD ，则 AB ⊥平面 ACD ，所以 AB ⊥AC ，故 AC ＝1，故 B 正确，D 错误．若存在某个位置．使得 AD ⊥BC ，又因为 AD ⊥AB ，则 AD ⊥平面 ABC ，所以 AD ⊥AC ，而斜边 CD 小于直角边 AD ，矛盾，故 C 错误．8.如图，在四棱锥 P-ACBD 中，底面 ACBD 为正方形，PD ⊥平面 ACBD ，BC ＝AC ＝a ，P A ＝PB ＝ 2a ，PC ＝ 3a ，则点 C 到平面 P AB 的距离为________．解析：根据条件可以将四棱锥置于一个正方体中进行研究，如图所示，易知 AB ＝ 2a ，设点 C 到平面 P AB 的距离为 h ，因为 VC P AB ，即131 1 1 1 3 3 3 3234 333→ →值范围是________．解析：以 DA 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，DD 1 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz.1→ → 1因为点 P 在线段 BD 上运动，1→ →16所以AP ＝AB ＋BP ＝DC ＋BP ＝(－λ，1－λ，λ)，所以DC AP ＝1－λ∈[0，1]．（ 3）2＋⎛ 3⎫ －⎛ 7⎫ ⎛ 3⎫2＝ 7，故 cos ∠PGK ＝ 12＋⎝ 2 ⎭2× 3× 的角的余弦值是2.3→ → → → →→ →答案：[0，1]10.如图，在正三角形 ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H分别为 DE ，AF 的中点，将△ABC 沿 DE ，EF ，DF 折成四面体 P-DEF ，则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为________．解析：折成的四面体是正四面体，如图连接 HE ，取 HE 的中点 K ，连接 GK ，PK ，则 GK ∥DH.故∠PGK 即为所求的异面直线所成的角．设这个正四面体的棱长为 2，在 △PGK 中， P G ＝ 3，GK ＝ 3，PK ＝22答案：2 332 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭2 ＝2，即异面直线 PG 与 DH 所成37。

专题突破练(5)立体几何的综合问题2.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，A1A＝AB＝2，BC＝1，AC＝5，若规定正视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为()45C.5 D．6答案C折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB.∠BA′C＝90°5.[2018·河南豫东、豫北十校测试]鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90度榫卯起来，若正四棱柱体的高为4，底面正方形的边长为1，则该鲁班锁的表面积为 ( )A.48 B ．60 C ．72 D ．846．如图所示，已知在多面体ABC －DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为( )A.2 B ．4 C ．6 D ．8答案 B解析 如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V ＝12×23＝4.选B.7.[2017·湖北黄冈中学二模]一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角答案 B解析 由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，点A ，M 的最短距离，即为线段AM .∵P A ＝PB ＝2，半圆锥的底面半圆的弧长为π，∴展开图中的∠BPM ＝πPB＝π2， π5π5π答案 B解析 如图所示，为组合体的轴截面，记BO 1的长度为x ，由相似三角形的比例关系，得PO 13R＝x R，则PO 1＝3x ，圆柱的高为3R －3x ，所以圆柱的表面积为S ＝2πx 2＋2πx ·(3R －3x )＝－4πx 2＋6πRx ，则当x ＝34R 时，S 取最大值，S max ＝94πR 2.选B.9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD的中心，M ，N 分别为AB ，BC 边的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的值有( )A.0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个10. [2017·东北三省三校二模]已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧棱BB 1⊥平面ABC ，AB ＝2，AC ＝3，AA 1＝14，AC ⊥BC ，将其放入一个水平放置的水槽中，使AA 1在水槽底面内，平面ABB 1A 1与水槽底面垂直，且水面恰好经过棱BB 1，现水槽底面出现一个小洞，水位下降，则在水位下降过程中，几何体露出水面部分的面积S 关于水位下降的高度h 的函数图象大致为( )答案 A1x 时，正四棱锥的体积最大，则x 为 ( )A ．0.5B ．0.8C ．0.2D ．1答案 C二、填空题13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值等于________.10514.如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________.答案6π解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以64πR315．如图，用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个巢，将半径为1的球体放入其中，则球心与巢底面的距离为__________.3＋12解析 由题意知，折起后原正方形顶点间最远的距离为1，如图中的DC ；折起后原正方形顶点到底面的距离为12，如图中的BC .由图知球心与巢底面的距离OF ＝1－122＋12＝3＋12. 16.[2017·安徽黄山第二次质检]如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′，DD ′交于点M ，N ，设BM＝x ，x ∈[0,1]．给出以下五个命题：①当且仅当x ＝0时，四边形MENF 的周长最大；17．[2017·河南洛阳月考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝4.(1)若点P为AA的中点，求证：平面B CP⊥平面B C P；值；若不存在，说明理由.解(1)证明：如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,4,4)，C1(0,0,4)，P(2，0,2)，B(0,4,0)，→→118.719.[2018·广东韶关调研]已知四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC(2)由(1)得AE，AD，AP两两垂直，连接AM，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.520.[2017·湖北黄冈期末]如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC＝60°.(1)求侧棱AA与平面AB C所成角的正弦值的大小；1故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，。

15．
点）．记直线 PB 与直线 AC 所成的角为α，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为β，二面角 P–AC–B 的平面角
为γ，则
A．β<γ，α<γ
B．β<α，β<γ
C．β<α，γ<α
D．α<β，γ<β
16．【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在
9．
的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10．
【2020 年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的
影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面
所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平
专题 05
立体几何（选择题、填空题）
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高
与底面正方形的边长的比值为
A．
5 1
4
B．
5 1
2
C．
5 1
4
D．
5 1
19．【2018 年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）
A．2
B．4
C．6
D．8
20．【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ ABC 为等边三