弧度制与角度值

弧度制的概念和换算总结要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin12. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【数学2】二、弧度制第一课时教学要求：1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换． 教学过程：1．为什么要引入新的角的单位弧度制.（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便； （2）为了让角的度量结果与实数一一对应. 2．弧度制的定义先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的. 1弧度角的规定.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度的单位符号是rad ，读作弧度.如上图，AB 的长等于半径r ，∠AOB 的大小就是1弧度的角.弧AC 的长度等于2r,则∠AOC=2rad.问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？答：半圆弧长是∴=,,πππrrr 半圆所对的圆心角是π弧度.同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2π弧度.角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.3．弧度制与角度制的互化因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 radrad radrad 01745.018011802360≈===ππποοοοο1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=οοοrad rad π例1：把.0367化成弧度'ο解：.835.671805.670367rad rad ππ=⨯=='οο例2：把rad 53π化成角度. οο1081805353=⨯=rad π 今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，比如66ππ就表示 rad ，角.2,2rad 等于就是角αα= rad 33sinππ表示角的正弦.οο360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.例3：用弧度制表示 （1）与π32终边相同的角； （2）第四象限的角的集合. 解：（1）与.,32232Z k k ∈+πππ终边也相同的角是 （2）第四象限的角的集合是},22223|{Z k k k ∈+<<+ππαππα 也可能写成},222|{Z k k k ∈<<-παππα注意两种角度制不准混合用，如写成.,2120是不对的Z k k ∈+=παο布置作业，课本P 12，1~5题.第二课时教学要求：1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R 的一一对应. 2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题. 教学过程：复习角的弧度制与角度制的转化公式.017453.01801,81.573.573.57)180(1rad rad rad ≈='==≈=πποοοο1．学生先练习，老师再总结.（1）10 rad 角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有两种方法. 第一种方法οοο21336057310+==rad ，是第三象限的角第二种方法πππππ23210),210(210<-<-+=而 ∴10 rad 的角是第三象限的角. （2）9975.07585sin 5.1sin 75855.1='=∴'=οο也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD ，再求sin1.5即可得. 2．总结角的集合与实数集R 之间的一一对应关系. 正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数， 零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角 的弧度数等于这个实数）这样就在角的集合（元素是角）与实数集R （元素是数） 之间建立了一一对应的关系.3．弧长公式，扇形面积公式的应用由弧度制的定义||αr l rld ==得弧长 例1：利用弧度制证明扇形面积公式l lR S 其中,21=是扇形弧长，R 是圆的半径. 证明：因为圆心角为1 rad 的扇形的面积是ππ22R ，而弧长为l 的扇形的圆心角为rad Rl，所以它的面积 lR R R l S 2122=⋅=ππ.若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成||21||21212ααR R R lR S =⋅==例2：半径R 的扇形的周长是4R ，求面积和圆心角. 解：扇形弧长为4R-2R=2R ，圆心角)(22rad RR==α 面积2221R R S ==θ. 例3：在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ， 求它的内切圆的面积. 解：先求得扇形的半径ππllr 22==设圆的半径为x ，圆心为C ，x OC 2||=由πlx x 22=+解得ππll x )12(2)12(2-=+=lS ⊙C ππ22)223(4l x -==4．学生课堂阅读课本P 10~11 例5、例6 并作P 11练习7、8两题.布置作业，课本P 12—13，习题4.2 6、8、9、10、11§4.2弧度制[教学目标]（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 一、自主学习1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．2．平角、周角的弧度数：平角=π rad 、周角=2π rad3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 5、角度制与弧度制的换算：（ 1）．∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ； ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad（2）．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α⋅=r l ，由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。

②扇形面积公式 lR S 21=，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

6．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系二．例题例1：把11230'化成弧度（用π表示）o R Sl例2： 把3 rad 5π化成度例3：填写下表：例4：直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长: ⑴3⑵ 165例5： 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2，求扇形中心角的弧度数．随堂练习1．下列命题中，真命题是( )A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小2．把－8π3化成角度是( )A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60° 3．把－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π64．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.。

弧度制换算角度值度分秒c语言1弧度与角度的概念弧度和角度是表示角度大小的两种不同的测度方式。

弧度的概念最早由欧拉提出，它是弧长与半径相等的圆弧所对应的角的大小。

角度则是以度为单位来表示，一个度被定义为将一个圆周分成360等份所得到的角。

弧度和角度在数学、物理学和工程学等领域都有广泛应用。

2弧度和角度的关系弧度和角度之间的换算方式是将角度值乘以π/180，即1°=π/180rad。

这个换算因子被称为弧度制的比例因子。

例如，一个角度为30°的角对应的弧度值为30°×π/180=1/6π≈0.5236rad同样地，一个弧度为1rad的角对应的角度值为1rad×180/π=57.2958°3c语言中弧度和角度之间的转换在c语言中，我们可以使用数学库函数来完成弧度和角度之间的转换。

具体而言，函数acos、asin、atan、atan2、cos、sin、tan等都是以弧度制为输入和输出的，而函数acos_deg、asin_deg、atan_deg、atan2_deg、cos_deg、sin_deg、tan_deg等则是以角度制为输入和输出的。

下面我们来看一个例子，将角度值转换为弧度值：include<stdio.h>include<math.h>int main(){double angle=30.0;//输入角度值double radian=angle*M_PI/180.0;//角度值转换为弧度值printf("angle=%lf,radian=%lf\n",angle,radian); //输出结果return0;}这个程序的输出结果为：angle=30.000000,radian=0.523599同样地，我们也可以将弧度值转换为角度值：include<stdio.h>include<math.h>int main(){double radian=1.0;//输入弧度值double angle=radian*180.0/M_PI;//弧度值转换为角度值printf("radian=%lf,angle=%lf\n",radian,angle); //输出结果return0;}这个程序的输出结果为：radian=1.000000,angle=57.2957804总结弧度和角度是几何学和三角学中常用的测度方式，它们之间有着确定的换算关系。

弧度制
定义
弧度作单位来度量角的制度。

弧度制的基本思想
使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。

那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ=0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。

从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。

其它的角也可依此类推。

解释：
我们都知道角采用的是60进制，但是我们数学中的数字都采用的十进制，由于进制不同，造成计算的困难，因此很有必要引入弧度制。

弧度制使用圆的半径来度量角，由于半径具有一定的长度，就可以与实数相对应。

规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这样规定出来的角就是确定的。

这样规定以后，为三角函数产生奠定了基础，比如正弦函数y=sinx，它的定义域用弧度制表示就是全体实数，通过弧度制它的图像可以在直角坐标系中表示出来。

在初中几何里，我们学习过角的度量,1度的角是怎样定义的呢?这种用1°角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制O/RJ 角的 丄为1度的角。

3601 •圆心角、弧长和半径之间的关系:角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧,不同的点所形成的圆弧的长度是不同的,但都对应同一个圆心角。

半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与a 的 大小有关。

込空=定值,r r设a 二沪，掘B 弧长为人半径0A 为八则I = n ・ 17ir I --- ，—=n ・ 171 360 可以看出，等式右端不含 r<i结论：可以用圆的半径作单位去度量角。

2 •定义: 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。

这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。

注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。

3.弧度制与角度制相比:(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度"为单位来度量角的单位制；］弧度工1。

;(2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是n 9周角360的所对的圆心的大小；（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。

4•公式：Q =上，表示的是在半径为/的圆中弧所对的圆心角是a rad。

，弧长为/的5.弧度制与角度制的换算①用角度制和弧度制度量角，零角既是0。

角,又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.②平角、角的弧度数:平角二冗rad、角二2兀rad>③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0・④角a的弧度数的绝对值：14 =-r a为弧长，/为半径）⑤ T 360°=2TC rad , :. 180°=7t rad——rad u 0.01745rad180(180V1 radJ兀丿= ——〜57.30° = 57°18‘J兀丿6.用弧度制表示弧长及扇形面积公式:①弧长公式：l = r ・cc由公式：^ = - => l-r- a r弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.比公式I = n7ir简单.②扇形面积公式s十R其中Z是扇形弧长，人是圆的半径。

弧度制和角度制的转换及应用一、弧度制和角度制的定义1.角度制：角度制是一种度量角度大小的制度，以一个圆的周长作为基准，将圆周分为360等分，每一等分称为1度，符号为°。

2.弧度制：弧度制是以圆的半径作为基准，将圆周分为2π等分，每一等分称为1弧度，符号为rad。

二、弧度制和角度制的转换公式1.从角度制转换为弧度制：公式：弧度 = 角度× π / 1802.从弧度制转换为角度制：公式：角度 = 弧度× 180 / π三、弧度制和角度制的应用1.在三角函数中：–三角函数的定义和计算通常使用弧度制。

–在解三角形问题时，可以利用弧度制和角度制的转换，将角度制的角度转换为弧度制，以便于运用三角函数进行计算。

2.在圆周运动中：–描述物体在圆周运动时的角度变化时，通常使用角度制。

–计算物体在圆周运动中的速度、加速度等物理量时，需要将角度制转换为弧度制，以便于使用相应的物理公式。

3.在数学分析和高等数学中：–许多公式和定理涉及角度和弧度的转换。

–在研究周期性函数和角动量等问题时，需要熟练掌握弧度制和角度制的转换。

4.在计算机科学中：–计算机图形学中，坐标系统的转换、旋转等操作涉及弧度制和角度制的转换。

–计算机算法中的循环、迭代等操作，有时也需要用到弧度制和角度制的转换。

弧度制和角度制是数学和物理中常用的两种度量角度大小的制度。

掌握弧度制和角度制的转换公式，以及它们在各个领域的应用，对于中学生来说，是学习数学和物理的基础知识。

在日常学习中，要注意理解和运用这两种制度，提高自己的数学和物理素养。

习题及方法：1.习题：将30°转换为弧度制。

方法：使用转换公式，弧度 = 角度× π / 180答案：30° × π / 180 = π / 62.习题：将π弧度转换为角度制。

方法：使用转换公式，角度 = 弧度× 180 / π答案：π × 180 / π = 180°3.习题：已知一个圆的半径为5cm，求该圆的周长（以弧度制表示）。