【精选5份合集】2018-2019年上海市闸北区九年级上学期期末经典数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为（）A．3 B．32C．33D．6【答案】D【分析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．【详解】如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=10°,∵OA=OF,∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF=1.所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1．故选D．【点睛】本题考查了正六边形的外接圆的知识,解题的关键是画出图形,找出线段之间的关系.2．如图，将一块含30°的直角三角板绕点A按顺时针方向旋转到△A1B1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】D【分析】先判断出旋转角最小是∠CAC1，根据直角三角形的性质计算出∠BAC，再由旋转的性质即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴旋转角最小是∠CAC1，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵△AB1C1由△ABC旋转而成，∴∠B1AC1＝∠BAC＝60°，∴∠CAC1＝180°﹣∠B1AC1＝180°﹣60°＝120°，故选：D ．【点睛】此题考查旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解题的关键．3．已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣5 【答案】B【分析】根据关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m ，∴-2+m=−31， 解得，m=-1，故选B ．4．在ABC ∆中，C ∠=90〫，3sin 5A =，则cos A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．34 D ．43【答案】A【分析】根据同角三角函数关系：2sin A +2cos A 1=求解．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，3sin 5A =， ∵2sin A +2cos A 1=， ∴2235co 1s A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1625= , ∴cos A =45 故选：A【点睛】本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道22sin cos 1A A +=是解题的关键．5．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，则AOB ∠的度数是( )A．83︒B．84︒C．85︒D．94︒【答案】B【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解决问题；【详解】由题意：∠AOE=108°，∠BOF=120°，∠OEF=72°，∠OFE=60°，∴∠EOF=180°−72°−60°=48°，∴∠AOB=360°−108°−48°−120°=84°，故选：B．【点睛】本题考查正多边形的性质、三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定义.6．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，AD＝12DB，若S△ADE＝3，则S四边形DBCE＝( )A．12 B．15 C．24 D．27【答案】C【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB＝1：3，因而面积的比是1：9，则可求出S△ABC，问题得解.【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB＝1：2，∴AD：AB＝1：3，∴S△ADE：S△ABC是1：9，∵S△ADE＝3，∴S△ABC＝3×9＝27，则S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝27﹣3＝24.故选：C.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°【答案】C【解析】试题分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．∴旋转角等于125°．故选C．8．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【解析】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；所以正确的有③⑥．故选A．9．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2＝3500B．2500（1+x）2＝3500C．2500（1+x%）2＝3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3500【答案】B【分析】根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015年教育经费支出额，列出方程即可．【详解】设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2＝3500，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．10．13的相反数是（）A．13-B．13C．3-D．3【答案】A【分析】根据相反数的意义求解即可．【详解】13的相反数是-13，故选：A．【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．11．如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则xy的值为（）A 51-B51+C2D21+【答案】B【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝xcm，∵四边形ABEF是正方形，∴EF ＝AB ＝ycm ，∴DF ＝EC ＝（x ﹣y ）cm ，∵矩形FDCE 与原矩形ADCB 相似，∴DF ：AB ＝CD ：AD ， 即：x y y y x -= ∴x y ＝5+12， 故选B ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．12．我们定义一种新函数：形如2y ax bx c ++＝（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4，A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】由（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数223y x x =--，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线1x = ，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当11x -≤≤或3x ≥ 时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据0y =，求出相应的的值为1x =-或3x =，因此④也是正确的；从图象上看，存在函数值大于当1x =时的223=4y x x =--，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．【详解】解：①∵（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数223y x x =--，∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线1x =，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据y ＝0，求出相应的x 的值为1x =-或3x =，因此④也是正确的；⑤从图象上看，存在函数值要大于当1x =时的223=4y x x =--，因此⑤是不正确的；故选A【点睛】理解“鹊桥”函数2y ax bx c ++＝的意义，掌握“鹊桥”函数与2y ax bx c ++＝与二次函数2y ax bx c ++＝之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数2y ax bx c ++＝与x 轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知点()11,1p a -和()22,1p b -关于原点对称，则a+b=____.【答案】1-【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a-1+2=0,b-1+1=0，再解方程即可求得a 、b 的值，再代入计算即可．【详解】∵点()11,1p a -和()22,1p b -关于原点对称，∴a-1+2=0,b-1+1=0，∴a=-1,b=0,∴a+b=-1.故答案是：-1.【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是运用了两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 14．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB ＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．【答案】60【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝12lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝12lr＝12×12π×10＝60π米2，故答案为60π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝12lr是解题的关键．15．数据2，3，5，5，4的众数是____．【答案】1【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为1．故答案为：1．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．16．如图,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在B'位置,A点落在A'位置,若AC⊥A'B',则∠BAC 的度数是__.【答案】70°【解析】由旋转的角度易得∠ACA′=20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC=∠A′，即可得解．【详解】解：由题意知：∠ACA′=20°；若AC ⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′=90°，得：∠A′=90°-20°=70°；由旋转的性质知：∠BAC=∠A′=70°；故∠BAC 的度数是70°．故答案是：70°【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．17．因式分解：334-=a b ab ____.【答案】()()2121ab ab ab +-【分析】先提取公因式ab ，再利用平方差公式分解即可得答案.【详解】4a 3b 3-ab=ab(a 2b 2-1)=ab(ab+1)(ab-1)故答案为：ab(ab+1)(ab-1)【点睛】本题考查了因式分解，因式分解的方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，根据题目的特点，灵活运用适当的方法是解题关键.18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝43，⊙A 与BC 相切于点D ，且交AB ，AC 于M ，N 两点，则图中阴影部分的面积是_____（保留π）．【答案】4433π-． 【分析】连接AD ，分别求出△ABC 和扇形AMN 的面积，相减即可得出答案.【详解】解：连接AD ，∵⊙A 与BC 相切于点D ，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∠A ＝120°，∴∠ABD ＝∠ACD ＝30°，BD ＝CD ＝12BC = ∴AB ＝2AD ，由勾股定理知BD 2+AD 2＝AB 2，即(2+AD 2＝（2AD ）2解得AD ＝2，∴△ABC 的面积＝11222BC AD ⨯=⨯= 扇形MAN 得面积＝2120243603ππ⨯=，∴阴影部分的面积＝43π．故答案为：43π． 【点睛】本题考查的是圆中求阴影部分的面积，解题关键在于知道阴影部分面积等于三角形ABC 的面积减去扇形AMN 的面积，要求牢记三角形面积和扇形面积的计算公式.三、解答题（本题包括8个小题）19．已知抛物线y=mx 2+（3–2m ）x+m –2（m≠0）与x 轴有两个不同的交点．(1)求m 的取值范围；(2)判断点P （1，1）是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点Q 的坐标．【答案】 (1)m ＜94且m≠0；(2)点P （1，1）在抛物线上；(3)抛物线的顶点Q 的坐标为（–12，–54）． 【分析】(1)与x 轴有两个不同的交点即令y=0,得到的一元二次方程的判别式△>0,据此即可得到不等式求解;(2)把点(1,1)代入函数解析式判断是否成立即可;(3)首先求得函数解析式,化为顶点式，可求得顶点坐标.【详解】(1)由题意得，（3–2m ）2–4m （m –2）>0，m≠0，解得，m<94且m≠0； (2)当x=1时，mx 2+（3–2m ）x+m –2=m+（3–2m ）+m –2=1，∴点P （1，1）在抛物线上；(3)当m=1时，函数解析式为：y=x 2+x –1=（x+12）2–54， ∴抛物线的顶点Q 的坐标为（–12，–54）． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法,如果△>0,则抛物线与x轴有两个不同的交点;如果△=0,则二次函数与x轴有一个交点;如果△<0, 则二次函数与x轴无交点.20．如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD 的面积为10，则AD的长为多少？【答案】2【分析】作辅助线构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC 和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH，得出DG和AG的长度，即可得出答案. 【详解】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，设CM=a，∵AB=AC，∴BC=2CM=2a，∵tan∠ACB=2，∴AMCM=2，∴AM=2a，由勾股定理得：5，S△BDC=12BC•DH=10，122a DH=10，DH=10a，∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°，∴四边形DHMG为矩形，∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG，∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDH，在△ADG和△CDH中，∵90AGD CHDADG CDHAD CD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△CDH （AAS ），∴DG=DH=MG=10a ，AG=CH=a+10a， ∴AM=AG+MG ，即2a=a+10a +10a， a 2=20，在Rt △ADC 中，AD 2+CD 2=AC 2，∵AD=CD ，∴2AD 2=5a 2=100，∴AD=52或52-（舍），故答案为：52【点睛】本题考查的是三角形的综合，运用到了三角函数和全等的相关知识，需要熟练掌握相关基础知识. 21．为支持大学生勤工俭学，市政府向某大学生提供了1万元的无息贷款用于销售某种自主研发的产品，并约定该学生用经营的利润逐步偿还无息贷款，已知该产品的生产成本为每件10元．每天还要支付其他费用25元．该产品每天的销售量(y 件)与销售单价(x 元)关系为40y x =-+．（1）设每天的利润为w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润为多少元？(注：每天的利润=每天的销售利润一每天的支出费用)（2）若销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过50%，则该学生最快用多少天可以还清无息贷款？【答案】（1）当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；（2）该生最快用100天可以还清无息贷款．【分析】（1）计算利润w =销量×每件的利润-支付的费用，化为顶点式，可得结论；（2）先得出每日利润的最大值，即可求解．【详解】(1)(10)(40)25w x x =--+-2-50425x x =+-2-(25)200x =-+∵1a =-＜0，∴当x=25时，日利润最大，为200元，∴当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；(2) 由题意得：101050%10x x ≥⎧⎪-⎨≤⎪⎩， 解得：1015x ≤≤，()225200w x =--+，∵1a =-＜0，∴抛物线开口向下，当25x <时，w 随x 的值增大而增大，∴当x=15时，日利润最大为()21525200w =--+=100元，∵10000÷100=100，∴该生最快用100天可以还清无息贷款．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．22．某网点尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x 天（x 为正整数）销售的相关信息，如表所示：（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？（2）求网店第几天销售额为792元？（3）求网店销售该商品30天里所获利润y （元）关于x （天）的函数关系式；这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）第10天时该商品的销售单价为25元/件；（2）网店第26天销售额为792元；（3）21155002y x x =-++；这30天中第15天获得的利润最大，最大利润是12252元. 【分析】（1）将m=25代入m=20+12x ，求得x 即可；（2）令120(50)7922x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得方程即可； （3）根据“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式，将所得函数解析式配方成顶点式后，根据二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）当25m =时，120252x +=， 解得：10x =，所以第10天时该商品的销售单价为25元/件；（2）根据题意，列方程为： 120(50)7922x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1226,16x x ==-（舍去）答：网店第26天销售额为792元.（3）(10)y n m =- 1(50)20102y x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 21155002y x x =-++； （4）21155002y x x =-++ 211225(15)22x =--+， ∴当15x =时，y 最大=12252， 答：这30天中第15天获得的利润最大，最大利润是12252元 【点睛】本题考查二次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．23．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，BC ＝3CD ，分别过点B ，D 作AD ，AB 的平行线，并交于点E ，且ED 交AC 于点F ，AD ＝3DF ．（1）求证：△CFD ∽△CAB ；（2）求证：四边形ABED 为菱形；（3）若DF ＝53，BC ＝9，求四边形ABED 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形ABED的面积为1．【分析】（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；（2）先证明四边形ABED是平行四边形，再证出AD＝AB，即可得出四边形ABED为菱形；（3）连接AE交BD于O，由菱形的性质得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性质得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；（2）证明：∵EF∥AB，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四边形ABED为菱形；（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：∵四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，∴OB＝3，由勾股定理得：OA ＝22AB OB -＝4，∴AE ＝8， ∴四边形ABED 的面积＝12AE×BD ＝12×8×6＝1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．24．如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4m ．如果小华的身高为1.5m ，求路灯杆AB 的高度．【答案】路灯杆AB 的高度是1m ．【解析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵CD ∥EF ∥AB ，∴可以得到△CDF ∽△ABF ，△ABG ∽△EFG ，∴,CD DF FE FG AB BF AB BG==， 又∵CD ＝EF ， ∴DF FG BF BG=， ∵DF ＝3m ，FG ＝4m ，BF ＝BD+DF ＝BD+3，BG ＝BD+DF+FG ＝BD+7，∴3437DB BD =++， ∴BD ＝9，BF ＝9+3＝12，∴1.5312AB =， 解得AB ＝1．答：路灯杆AB 的高度是1m ．【点睛】考查了相似三角形的应用和中心投影．只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝14x 2+kx+c 的图象经过点C （0，1），当x ＝2时，函数有最小值． （1）求抛物线的解析式；（2）直线l ⊥y 轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l 交于点A ．在x 轴上有一点B ，且AB 2l 上求异于点A 的一点Q ，使点Q 在△ABC 的外接圆上；（3）点P （a ，b ）为抛物线上一动点，点M 为坐标系中一定点，若点P 到直线l 的距离始终等于线段PM 的长，求定点M 的坐标． 【答案】（1）y ＝14x 2﹣x+1； （2）Q （1，﹣1）；（3）M （2，1） 【分析】（1）由已知可求抛物线解析式为y ＝14x 2﹣x+1； （2）由题意可知A （2，﹣1），设B （t ，0），由AB 2，所以（t ﹣2）2+1＝2，求出B （1，0）或B （3，0），当B （1，0）时，A 、B 、C 三点共线，舍去，所以B （3，0），可证明△ABC 为直角三角形，BC 为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC 的中点（32，12），10，设Q （x ，﹣1），则有（x ﹣32）2+（12+1）210）2，即可求Q （1，﹣1）； （3）设顶点M （m ，n ），P （a ，b ）为抛物线上一动点，则有b ＝14a 2﹣a+1，因为P 到直线l 的距离等于PM ，所以（m ﹣a ）2+（n ﹣b ）2＝（b+1）2，可得212n a -+（2n ﹣2m+2）a+（m 2+n 2﹣2n ﹣3）＝0，由a 为任意值上述等式均成立，有1022220n n m -⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，可求定点M 的坐标．【详解】解：（1）∵图象经过点C （0，1），∴c ＝1，∵当x ＝2时，函数有最小值，即对称轴为直线x ＝2， ∴2124k-=⨯，解得：k ＝﹣1，∴抛物线解析式为y ＝14x 2﹣x+1； （2）由题意可知A （2，﹣1），设B （t ，0），∵AB，∴（t ﹣2）2+1＝2，∴t ＝1或t ＝3，∴B （1，0）或B （3，0），∵B （1，0）时，A 、B 、C 三点共线，舍去，∴B （3，0），∴AC ＝，BC，∴∠BAC ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，BC 为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC 的中点（32，12），半径为2， 设Q （x ，﹣1），则有（x ﹣32）2+（12+1）2）2， ∴x ＝1或x ＝2（舍去），∴Q （1，﹣1）； （3）设顶点M （m ，n ），∵P （a ，b ）为抛物线上一动点，∴b ＝14a 2﹣a+1， ∵P 到直线l 的距离等于PM ，∴（m ﹣a ）2+（n ﹣b ）2＝（b+1）2， ∴212n a -+（2n ﹣2m+2）a+（m 2+n 2﹣2n ﹣3）＝0， ∵a 为任意值上述等式均成立， ∴1022220n n m -⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，∴12n m =⎧⎨=⎩， 此时m 2+n 2﹣2n ﹣3＝0，∴定点M （2，1）．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，结合圆的相关知识解题是关键． 26．某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．【答案】（1）10700y x =-+；（2）销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元；（3）44≤x≤56【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）利用w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案；（3）利用w=3640，进而解方程，再利用二次函数增减性得出答案．【详解】解：（1）y 与x 之间的函数关系式为：y kx b =+把（35，350），（55，150）代入得：由题意得：3503515055k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：10700k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的函数关系式为：10700y x =-+．（2）设销售利润为W 元则W=（x ﹣30）•y=（x ﹣30）（﹣10x+700），W =﹣10x 2+1000x ﹣21000W =﹣10（x ﹣50）2+4000∴当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．（3）令W =3640∴﹣10（x ﹣50）2+4000=3640∴x 1=44，x 2=56如图所示，由图象得：当44≤x≤56时，每天利润不低于3640元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键．27．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90º后得到△A1OB1．（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为；（3）点A1的坐标为；（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为．5【答案】（1）见解析；（2）（-3，-2）；（3）（-2，3）；（4【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据关于O点中心对称的点的坐标的特点直接写出答案即可；（3）根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；（4）利用勾股定理列式求出OB，再根据弧长公式列式计算即可得解．【详解】（1）△A1OB1如图所示；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为（-3，-2）；（3）点A1的坐标为（﹣2，3）；（4）由勾股定理得，223110+=BB1的长为：9010101802π=．考点：1．作图-旋转变换；2．弧长的计算．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知方程2231x x -=的两根为1x ，2x 则1122x x x x ++的值是（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．4 【答案】A【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得出x 1+x 232=，x 1•x 212=-，代入求出即可．【详解】∵2x 2﹣3x=1，∴2x 2﹣3x ﹣1=0，由根与系数的关系得：x 1+x 232=，x 1•x 212=-， 所以x 1+x 1x 2+x 232=+(12-)=1． 故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解答本题的关键．2．下列约分正确的是（ ） A ．632x x x= B ．0x y x y +=+ C ．222142xy x y = D ．1()a b x a b x+=+ 【答案】D 【分析】根据约分的运算法则，以及分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A 、642x x x=，故A 错误； B 、1x y x y+=+，故B 错误； C 、22242=xy y x y x，故C 错误； D 、1()a b x a b x+=+，正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，以及约分的运算法则，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质进行解题． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A．12B．11C．27D．3a【答案】B【分析】根据最简二次根式概念即可解题.【详解】解：A. 12=2,错误,B. 11是最简二次根式,正确,C. 27=33,错误,D. 3a=a a,错误,故选B.【点睛】本题考查了最简二次根式的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.4．如图，已知∠BAC=∠ADE=90°，AD⊥BC，AC=DC．关于优弧CAD，下列结论正确的是（）A．经过点B和点E B．经过点B，不一定经过点EC．经过点E，不一定经过点B D．不一定经过点B和点E【答案】B【分析】由条件可知BC垂直平分AD，可证△ABC≌△DBC，可得∠BAC=∠BDC=90°故∠BAC+∠BDC=180°则A、B、D、C四点共圆，即可得结论.【详解】解：如图：设AD、BC交于M∵AC=CD，AD⊥BC∴M为AD中点∴BC垂直平分AD∴AB=DB∵BC=BC，AC=CD∴△ABC≌△DBC∴∠BAC=∠BDC=90°∴∠BAC+∠BDC=180°∴A、B 、D 、C 四点共圆∴优弧CAD 经过B ，但不一定经过E故选 B【点睛】本题考查了四点共圆，掌握四点共圆的判定是解题的关键.5．x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣2b ＝0的解，则2a ﹣4b 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2 【答案】A【分析】先把x=1代入方程x 2+ax-2b=0得a-2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a-4b 的值即可．【详解】将x ＝1代入原方程可得：1+a ﹣2b ＝0，∴a ﹣2b ＝﹣1，∴原式＝2（a ﹣2b ）＝﹣2，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 6．如图，四边形ABCD 内接于O ，它的一个外角65EBC ︒∠=，分别连接AC ，BD ，若AC AD =，则DBC∠的度数为（ ）A ．50︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒【答案】A 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC=∠EBC=65°，再根据AC=AD 得出∠ACD=∠ADC=65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD=50°，再由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD=50°.【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC=∠EBC=65°．∵AC=AD ，∴∠ACD=∠ADC=65°，∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=50°，∴∠DBC=∠CAD=50°，故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理的推论，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．7．下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝2x+1B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2C ．y ＝1﹣x 2D ．y ＝【答案】C【解析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：A 、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误；B 、由已知函数解析式得到：y ＝－2x ＋1，属于一次函数，故本选项错误；C 、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；D 、该函数不是二次函数，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．8．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴是 （ ）A ．直线x ＝－1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝－2D ．直线x ＝2 【答案】B【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．【详解】解：∵解析式为()212y x =-+，∴对称轴是直线1x =．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．9．从1到9这9个自然数中任取一个，既是2的倍数，又是3的倍数的概率是（ ）A ．19B ．13C ．12D ．79【答案】A【分析】从1到9这9个自然数中，既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，所以既是2的倍数，又是3的倍数的概率是九分之一．【详解】解：∵既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，∴P （既是2的倍数，又是3的倍数）＝19． 故选：A ．【点睛】本题考查了用列举法求概率,属于简单题,熟悉概率的计算公式是解题关键.10．将二次函数y ＝2x 2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）A ．y ＝2（x ﹣1）2﹣3B ．y ＝2（x ﹣2）2﹣3C ．y ＝2（x ﹣1）2+3D ．y ＝2（x ﹣2）2+3 【答案】C【解析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【详解】解：提出二次项系数得，y ＝2（x 2﹣2x ）+5，配方得，y ＝2（x 2﹣2x+1）+5﹣2，即y ＝2（x ﹣1）2+1．故选：C ．【点睛】 本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2＋bx ＋c ，顶点式：y=a(x-h)2+k ；两根式：y= ()12).a x x x x --（ 11．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝10x B ．y ＝5x C ．y ＝20x D ．y ＝20x 【答案】C【解析】试题解析：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，1102xy ，∴= ∴y 与x 的函数关系式为：20y x =． 故选C ． 点睛：根据三角形的面积公式列出1102xy =，即可求出答案. 12．对于反比例函数1y x =，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点()1,1-B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大【答案】C【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可．【详解】解：A、∵当x=1时，y=1，∴函数图象过点(1，1)，故本选项错误；B、∵10k=>，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误；C、由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，故本选项正确；D、∵10k=>，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题重点考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球2个，红球3个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是________.【答案】3 10【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．【详解】画树状图图如下：∴一共有20种情况，有6种情况两次都摸到红球，∴两次都摸到红球的概率是63 2010=．故答案为：3 10．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．【答案】16:25【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：45k=，。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．已知⊙O 的半径为5，若OP=6，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法判断【答案】B【解析】比较OP 与半径的大小即可判断. 【详解】r 5=，d OP 6==，d r ∴>，∴点P 在O 外，故选B ． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种.设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>；②点P 在圆上d r ⇔=；①点P 在圆内d r ⇔<.2．已知一次函数y=kx+b 的图象如图，那么正比例函数y=kx 和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象的形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，可得k ＞1，b ＜1．因此可知正比例函数y=kx 的图象经过第一、三象限，反比例函数y=bx的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C 选项． 故选C ．考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系3．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=12BP•BQ，解y=12•3x•x=232x；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQ•BC，解y=12•x•3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=12AP•BQ，解y=12•（9﹣3x）•x=29322x x；故D选项错误．故选C．考点：动点问题的函数图象．4．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为A ．32B ．3C ．1D ．43【答案】A【解析】首先利用勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠可得△DEC ≌△D′EC ，设ED=x ，则D′E=x ，AD′=AC ﹣CD′=2，AE=4﹣x ，再根据勾股定理可得方程22+x 2=（4﹣x ）2，再解方程即可 【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3 ∴根据勾股定理得AC=5根据折叠可得：△DEC ≌△D′EC ， ∴D′C=DC=3，DE=D′E设ED=x ，则D′E=x ，AD′=AC ﹣CD′=2，AE=4﹣x ，在Rt △AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE 2，即22+x 2=（4﹣x ）2， 解得：x=32故选A.5．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是 A ．()22y x =+ B ．222y x =- C ．222y x =--D ．()222y x =-【答案】A【解析】y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A 正确； y=2x 2–2的对称轴为x=0，B 错误； y=–2x 2–2的对称轴为x=0，C 错误；y=2（x –2）2的对称轴为x=2，D 错误．故选A ． 1．6．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（ ） A ．180元 B ．200元C ．225元D ．259.2元【答案】A【解析】设这种商品每件进价为x 元，根据题中的等量关系列方程求解.【详解】设这种商品每件进价为x 元，则根据题意可列方程270×0.8－x ＝0.2x ，解得x ＝180.故选A. 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程. 7．下列各式中的变形，错误的是（（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案．【详解】A 、，故A 正确；B 、分子、分母同时乘以﹣1，分式的值不发生变化，故B 正确；C 、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C 正确；D 、≠，故D 错误；故选：D ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变．8．某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ） A ．12B ．14C ．16D ．116【答案】B【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为41=164， 故选B ． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．9．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=︒，在C 点测得60BCD ∠=︒，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．A ．25B ．253C ．10033D ．25253+【答案】B【解析】解：过点B 作BE ⊥AD 于E ．设BE=x ．∵∠BCD=60°，tan ∠BCE BECE=， 3CE x ∴=， 在直角△ABE 中，3x ，AC=50米， 3350x x =， 解得253x =即小岛B 到公路l 的距离为253 故选B.10．在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60°C ．75°D ．105°【答案】C【解析】根据非负数的性质可得出cosA 及tanB 的值，继而可得出A 和B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C 的度数． 【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C ．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果点P 1(2，y 1)、P 2(3，y 2) 在抛物线22y x x =-+上，那么 y 1 ______ y 2.（填“>”，“<”或“=”）. 【答案】>【解析】分析：首先求得抛物线y=﹣x 2+2x 的对称轴是x=1，利用二次函数的性质，点M 、N 在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小，得出答案即可．详解：抛物线y=﹣x 2+2x 的对称轴是x=﹣22-=1．∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，1＜2＜3，∴y 1＞y 2．故答案为＞．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质解决问题．12．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为_____． 【答案】12【解析】用字母A 、B 、C 、D 分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：用字母A 、B 、C 、D 分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆， 画树状图：共有12种等可能的结果数，其中抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数为6， 所以抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率61122==． 故答案为．12【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．也考查了轴对称图形．13．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB 上一点，将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，则∠ADB′等于_____．【答案】40°．【解析】∵将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处， ∴∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′， ∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°， ∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°， ∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°． 故答案为40°．14．菱形的两条对角线长分别是方程214480x x -+=的两实根，则菱形的面积为______． 【答案】2【解析】解：x 2﹣14x+41=0，则有（x-6）(x-1)=0解得：x=6或x=1．所以菱形的面积为：（6×1）÷2=2．菱形的面积为：2．故答案为2．点睛：本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系．15．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________ 【答案】m≤3且m≠2【解析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0 解得：m≤3且m≠2.16．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则列出的方程组为_____．【答案】2753x y x y +=⎧⎨=⎩【解析】根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y ，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x ，或x+3y ，故2x=3y+x ，整理得x=3y ，联立两个方程即可． 【详解】根据图示可得2753x y x y +=⎧⎨=⎩，故答案是：2753x yx y+=⎧⎨=⎩．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．17．分解因式：2a2﹣2=_____．【答案】2（a+1）（a﹣1）．【解析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】解：2a2﹣2，=2（a2﹣1），=2（a+1）（a﹣1）．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米.【答案】1【解析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得ED DCDC FD=；即DC2=ED?FD，代入数据可得答案．【详解】根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，易得：Rt△EDC∽Rt△DCF，有ED DCDC FD=，即DC2=ED×FD，代入数据可得DC2=31，DC=1，故答案为1．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．求证：△ABF≌△CDE；如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）50°．【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．20．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．【答案】（1）13；（2）59.【解析】（1）根据题意可求得2个“－2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；（2）由题意可得转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得.【详解】（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°，所以2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°，∴转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率为120360︒︒＝13； （2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均为13，所有可能性如下表所示：第一次 第二次 1－231 (1，1) (1，－2) (1，3) －2 (－2，1) (－2，－2) (－2，3) 3(3，1)(3，－2)(3，3)由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之积为正数的的有5种，其概率为9. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ；小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M 的纵坐标，请用树状图或表格列出点M 所有可能的坐标，并求出点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．【答案】（1）；（2）列表见解析，.【解析】试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，可求得结果. 试题解析：（1）P （摸出的球为标有数字2的小球）=；（2）列表如下： 小华 小丽-12-1 （-1，-1）（-1，0）（-1，2）0 （0，-1）（0，0）（0，2）2 （2，-1）（2，0）（2，2）共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，∴P（点M落在如图所示的正方形网格内）==.考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系.22．为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）万件之间的函数关系如图所示．求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？【答案】（1）当4≤x≤6时，w1=﹣x2+12x﹣35，当6≤x≤8时，w2=﹣12x2+7x﹣23；（2）最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．【解析】分析：（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC的解析式，又分两种情况，根据利润=（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．详解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，代入A（4，4），B（6，2）得：44 62 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：18kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+8，同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y=﹣12x+5，∵工资及其他费作为：0.4×5+1=3万元，∴当4≤x≤6时，w1=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35，当6≤x≤8时，w2=（x﹣4）（﹣12x+5）﹣3=﹣12x2+7x﹣23；（2）当4≤x≤6时，w1=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1，∴当x=6时，w1取最大值是1，当6≤x≤8时，w2=﹣12x2+7x﹣23=﹣12（x﹣7）2+32，当x=7时，w2取最大值是1.5，∴10 1.5=203=623，即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．点睛：本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，利用数形结合的思想，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．23．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B求证：△ADF∽△DEC；若AB=8，33AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC.（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE 的长度.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC∴∠C+∠B=110°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=110°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=1．由（1）知△ADF ∽△DEC ， ∴AD AF DE CD =， ∴AD CD 638DE 12AF 43⋅⨯=== 在Rt △ADE 中，由勾股定理得：()2222AE DE AD 12636=-=-=24．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ，已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯的高CD 的长．(结果精确到0.1 m)【答案】路灯的高CD 的长约为6.1 m.【解析】设路灯的高CD 为xm ，∵CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，∴CD ∥BN ，∴△ABN ∽△ACD ，∴BN AB CD AC=， 同理，△EAM ∽△ECD ，又∵EA ＝MA ，∵EC ＝DC ＝xm ，∴1.75 1.251.75x x =-，解得x ＝6.125≈6.1． ∴路灯的高CD 约为6.1m ．25．已知抛物线2y x bx c =++过点(0,0)，(1,3)，求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标.【答案】y=2x +2x ；（－1，－1）.【解析】试题分析：首先将两点代入解析式列出关于b 和c 的二元一次方程组，然后求出b 和c 的值，然后将抛物线配方成顶点式，求出顶点坐标.试题解析：将点（0,0）和（1,3）代入解析式得：0{13c b c =++=解得：2{0b c == ∴抛物线的解析式为y=2x +2x ∴y=2x +2x=2(1)x +－1 ∴顶点坐标为（－1，－1）.考点：待定系数法求函数解析式.26．先化简：2222421121x x x x x x x ---÷+--+，然后在不等式2x ≤的非负整数解中选择一个适当的数代入求值. 【答案】21x +；2. 【解析】先将后面的两个式子进行因式分解并约分，然后计算减法，根据题意选择x=0代入化简后的式子即可得出答案.【详解】解：原式=()()()()222121112x x x x x x x ---⋅++-- =()21211x x x x --++ =21x + 2x ≤的非负整数解有：2,1,0,其中当x 取2或1时分母等于0，不符合条件，故x 只能取0∴将x=0代入得：原式=2【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意选择数时一定要考虑化简前的式子是否有意义.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟【答案】C【解析】根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可得．【详解】根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=at2+bt+c，得：930.7 1640.8 2550.5a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：a=−0.2,b=1.5,c=−2，即p=−0.2t2+1.5t−2，当t=−1.5-0.22⨯=3.75时，p取得最大值，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键.2．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故选C．点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P 点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．【详解】由题意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t，则△PBQ的面积S＝12PB•BQ＝12（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选C．【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．4．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是()A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟B ．公园离小丽家的距离为2000米C ．小丽在便利店时间为15分钟D ．便利店离小丽家的距离为1000米【答案】C 【解析】解：A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；B ．公园离小丽家的距离为2000米，正确；C ．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；D ．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．故选C ．5．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x(x+1)=1035B ．x(x-1)=1035C ．12x(x+1)=1035D ．12x(x-1)=1035 【答案】B【解析】试题分析：如果全班有x 名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x 名学生，那么总共送的张数应该是x （x-1）张，即可列出方程．∵全班有x 名同学，∴每名同学要送出（x-1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x （x-1）=1．故选B考点：由实际问题抽象出一元二次方程．6．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠COB 内一点，且OE ⊥AB ，∠AOC=35°，则∠EOD 的度数是（ ）A ．155°B ．145°C ．135°D ．125°【答案】D 【解析】解：∵35AOC ∠=，∴35BOD ∠=，∵EO ⊥AB ，∴90EOB ∠=，∴9035125EOD EOB BOD ∠=∠+∠=+=，故选D.7．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a ，b 对应的密文为a ＋2b ，2a －b ，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是( )A ．3，－1B ．1，－3C ．－3，1D ．－1，3 【答案】A【解析】根据题意可得方程组2127a b a b +=⎧⎨-=⎩，再解方程组即可． 【详解】由题意得：2127a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得：31a b =⎧⎨=-⎩， 故选A ．8．如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝5，那么点C 的位置可以在（ ）A ．点C 1处B ．点C 2处 C ．点C 3处D ．点C 4处【答案】D【解析】如图：∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin A =, ∴54DC AC AC ==,∴5∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C 228445+=故答案为D.9．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（ ）米A ．5B ．3C ．5+1D ．3【答案】C 【解析】由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°据勾股定理则BC=2222125AC AB +=+=m ；∴AC+BC=（1+5）m.答：树高为（1+5）米．故选C.10．一元二次方程210x x --=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断【答案】A【解析】把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-，然后计算∆，最后根据计算结果判断方程根的情况. 【详解】21,1,14145a b c b ac ==-=-∴∆-=+=∴方程有两个不相等的实数根.故选A.【点睛】本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-计算是解题的突破口.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，△ABC 内接于☉O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若☉O 的半径为2，则CD 的长为_____【答案】2【解析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=22，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.【详解】解：连接OA，OC，∵∠COA=2∠CBA=90°，∴在Rt△AOC中，AC=22222222+=+=，OA OC∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=1⨯=，2222故答案为2.【点睛】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.12．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为_________海里.（结果保留根号）【答案】52【解析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．【详解】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB=10海里，∠BAH=30°，∴∠ABH=60°，BH=12AB=5（海里），在Rt△BCH中，∵∠CBH=∠C=45°，BH=5（海里），∴BH=CH=5海里，∴CB=52（海里）．故答案为:52．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．13．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________.【答案】1 4【解析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积=14S四边形，∴针头扎在阴影区域内的概率为14；故答案为：14．【点睛】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．14．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.【答案】7【解析】设树的高度为x m ，由相似可得6157262x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 15．如图，在平面直角坐标系中，点A 和点C 分别在y 轴和x 轴正半轴上，以OA 、OC 为边作矩形OABC ，双曲线6y x=（x ＞0）交AB 于点E,AE ︰EB=1︰3.则矩形OABC 的面积是 __________.【答案】1【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设E 点坐标为（t ，6t），则利用AE ：EB=1：3，B 点坐标可表示为（4t ，6t），然后根据矩形面积公式计算． 【详解】设E 点坐标为（t ，6t ）， ∵AE ：EB=1：3，∴B 点坐标为（4t ，6t）， ∴矩形OABC 的面积=4t•6t =1． 故答案是：1．【点睛】考查了反比例函数y=k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=k x（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．16．如图，点,,D E F 分别在正三角形ABC 的三边上，且DEF ∆也是正三角形.若ABC ∆的边长为a ，DEF ∆的边长为b ，则AEF ∆的内切圆半径为__________．3)a b - 【解析】根据△ABC 、△EFD 都是等边三角形，可证得△AEF ≌△BDE ≌△CDF ，即可求得AE+AF=AE+BE=a ，然后根据切线长定理得到AH=12（AE+AF-EF ）=12（a-b ）；，再根据直角三角形的性质即可求出△AEF 的内切圆半径．【详解】解：如图1，⊙I 是△ABC 的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE ，BD=BF ，CE=CF ，∴AD=AE=12[（AB+AC ）-（BD+CE ）]=12 [（AB+AC ）-（BF+CF ）]=12（AB+AC-BC ），如图2，∵△ABC ，△DEF 都为正三角形，∴AB=BC=CA ，EF=FD=DE ，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；在△AEF 和△CFD 中，13BAC C EF FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△CFD （AAS ）；同理可证：△AEF ≌△CFD ≌△BDE ；∴BE=AF ，即AE+AF=AE+BE=a ．设M 是△AEF 的内心，过点M 作MH ⊥AE 于H ， 则根据图1的结论得：AH=12（AE+AF-EF ）=12（a-b ）； ∵MA 平分∠BAC ，∴∠HAM=30°；∴HM=AH•tan30°=12（a-b ）•3)3a b - )3a b -． 【点睛】 本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，根据已知得出AH 的长是解题关键．17．将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_____．【答案】y=2x+1【解析】分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+1；故答案为y=2x+1．点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．18．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发_____小时后和乙相遇．【答案】16 5【解析】由图象得出解析式后联立方程组解答即可．【详解】由图象可得：y甲=4t（0≤t≤5）；y乙=()()2112916(24)t tt t＜⎧-≤≤⎨-≤⎩；由方程组4916y ty t⎧⎨-⎩＝＝，解得t=165．故答案为165．【点睛】此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答．三、解答题（本题包括8个小题）19．尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．。

九年级上学期期末考试数学试卷考试内容：人教版九年级上册全册。

考试时间： 100 分钟满分： 120 分一、选择题（每题 3 分，共 42 分）在以下各题中只有一个是正确的，请把答案填在下列表格中。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14答案、一元二次方程 x 2﹣ 5x=0 的根是 () 1 A ．5B ．0C ．0 或 5D ．0 或﹣52、用配方法解方程 x 2+8x+9=0 ，变形后的结果正确的选项是（ ）A .(x+4)2 =-7B.（x+4） 2=-9C.（ x+4）2=7D. （x+4）2=253、已知方程2x 2+4x-3=0 的两根分别为 x 1 和 x 2，则 x 1+x 2 的值等于（ ）C.3 D.322、假如对于 x 的一元二次方程 2 x 2 (2k 1)x 1 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的 4 k取值范围是（）A. k ＞1B. k ＞ 1且 k 0C. k ＜1D. k1且 k 044445、对于抛物线 y1( x 5)2 3 ，以下说法错误的选项是（ ）A. 对称轴是直线 x 5B.函数的最大值是 3C. 张口向下，极点坐标（，）当x 5时， y随x 的增大而增大.53 D.6、以下四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完整重合的是（）A．B．C．D．7、抛物线 y＝x2－ 2x＋ 1 与坐标轴的交点个数为 ( )A．无交点B．1个C．2个D．3个8、随机掷一枚质地平均的硬币两次，落地后至多有一次正面朝下的概率为（）A. 3B. 2C. 1D. 14 3 2 49、以下说法正确的选项是（）A．抛一枚硬币，正面必定向上；B．掷一颗骰子，点数必定不大于6；C．为认识一种灯泡的使用寿命，宜采纳普查的方法；D．“明日的降水概率为80%”，表示明日会有 80％的地方下雨．10、分别标有数字0, 2,1,3, 1的五张卡片，除数字不一样外其余均同样，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（）A．1B．2C．3D．4 5 5 5 511、一个箱子里装有8 个球，此中 5 个红球， 3 个白球，每个球除颜色外其余完整相同，从中随意摸出一个球，是白球的概率是（）A. 1B. 5C. 3D.38 8 5 812、如图12，从圆 O 外一点P引圆 O 的两条切线 PA，PB ，切点分别为 A，B ．假如APB 60，PA 8 ，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．4 3D．8 313. 如图 13，在⊙ O中，∠ ABC=50°，则∠ AOC等于（）°°°°14、如图14，角三角形ABC 两锐角极点 A，B 为圆心作等圆，⊙ A 与⊙ B 恰巧外切，若 AC＝2，那么图中两个扇形 (即暗影部分 )的面积之和为 ()ππ2πA. 4B. 2C. 2D. 2πA APO BOBC图 12图 13图 14 二、填空题：（总合 16 分）15、若 3a 2 a 2 0 ，则 5 2a 6a 2．16、时钟 上的时 针不 停地旋转 ，从上 午 8 时到上 午 11 时，时针旋转 的角度是．、二次函数 ＝ x 2＋2x － 4 的图象的对称轴是 ____ ，极点坐标是 ___。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若50OCA ∠=︒，4AB =，则BC 的长为（ ）A ．103πB ．109πC ．59π D ．518π 【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A 的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC 的度数，再利用弧长公式求出答案．【详解】解：∵∠OCA=50°，OA=OC ，∴∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵AB=4，∴BO=2，∴BC 的长为：1002181900ππ⨯= 故选B ．【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC 的度数是解题关键．2．下列说法正确的是( )A ．等弧所对的圆心角相等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．经过三点可以作一个圆D ．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．【详解】等弧所对的圆心角相等，A 正确；平分弦的直径垂直于这条弦(此弦不能是直径)，B 错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C 错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选A.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于掌握以及圆心角、弧、弦的关系3．用配方法解一元二次方程2890x x -+=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()247x -=-B ．()247x -=C ．()247x +=D ．()2425x -= 【答案】B 【解析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】2890x x -+=，∴28161690x x -+-+=，∴()247x -=，故选：B.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 4．如图,在菱形ABCD 中,AB=5,对角线AC=6.若过点A 作AE⊥BC,垂足为E,则AE 的长为( )A ．4B ．2.4C ．4.8D ．5【答案】C 【分析】连接BD ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO=12AC ，然后根据勾股定理计算出BO 长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•A E=12AC•BD 可得答案． 【详解】连接BD ，交AC 于O 点，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5， ∴1,22AC BD AO AC BD BO ⊥==，， ∴90AOB ∠=，∵AC=6，∴AO=3， ∴2594BO =-=， ∴DB=8，∴菱形ABCD 的面积是11682422AC DB ⨯⋅=⨯⨯=，∴BC⋅AE=24，245AE=，故选C.5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，32ADBD=，DE=6，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C【解析】根据相似三角形的性质可得DE ADBC AB=，再根据32ADBD=，DE=6，即可得出635BC=，进而得到BC长．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE AD BC AB=，又∵32ADBD=，DE=6，∴635 BC=，∴BC=10，故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．6．如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（）A．1 B．12C．13D．14【答案】B【分析】根据题意，先列举所有的可能结果，然后选取能组成等腰三角形的结果，根据概率公式即可求出答案．【详解】解：根据题意，在A，B，C，D四个点中任选三个点，有：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，共4个三角形；其中是等腰三角形的有：△ACD、△BCD，共2个；∴能够组成等腰三角形的概率为：2142P==；故选：B．【点睛】本题考查了列举法求概率，等腰三角形的性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是熟练掌握列举法求概率，以及正确得到等腰三角形的个数．7．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3【答案】B【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程作边写成完全平方形式即可．【详解】解：∵x1+1x﹣1＝0，∴x1+1x+1＝1，∴（x+1）1＝1．故选B．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）1=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．8．如图，菱形ABCD中，∠B＝70°，AB＝3，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为（）A．13πB．23πC．76πD．43π【答案】A【分析】连接OE，由菱形的性质得出∠D＝∠B＝70°，AD＝AB＝3，得出OA＝OD＝1.5，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝40°，再由弧长公式即可得出答案．【详解】连接OE，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠D ＝∠B ＝70°，AD ＝AB ＝3，∴OA ＝OD ＝1.5，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠D ＝70°，∴∠DOE ＝180°﹣2×70°＝40°，∴DE 的长=40 1.511803ππ⨯=. 故选:A.【点睛】此题考查菱形的性质、弧长计算，根据菱形得到需要的边长及角度即可代入公式计算弧长. 9．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（ ） A ．12 B ．1 C 5 D 5【答案】B【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1，然后把1211x x +进行通分，再利用整体代入的方法进行计算．【详解】根据题意得x 1+x 2=-1，x 1•x 2=-1， 所以1211x x +=121211x x x x +-=-=1， 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a. 10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆与y 轴( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 【答案】A【分析】先找出圆心到y 轴的距离，再与圆的半径进行比较，若圆心到y 轴的距离小于半径，则圆与y 轴相交，反之相离，若二者相等则相切故答案为A 选项【详解】根据题意，我们得到圆心与y 轴距离为3，小于其半径4，所以与y 轴的关系为相交【点睛】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键 11．A B 、两地相距90km ，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发.图中12,l l 表示两人离A 地的距离()S km 与时间()t h 的关系，结合图象，下列结论错误的是（ ）A ．1l 是表示甲离A 地的距离与时间关系的图象B ．乙的速度是30/km hC ．两人相遇时间在 1.2t h =D ．当甲到达终点时乙距离终点还有45km【答案】C【分析】根据图像获取所需信息，再结合行程问题量间的关系进行解答即可.【详解】解：A. 1l 是表示甲离A 地的距离与时间关系的图象是正确的；B. 乙用时3小时，乙的速度,90÷3=30/km h ，故选项B 正确；C.设甲对应的函数解析式为y=ax+b ，则有：9020b a b =⎧⎨+=⎩解得：4590a b =-⎧⎨=⎩ ∴甲对应的函数解析式为y=-45x+90，设乙对应的函数解析式为y=cx+d ，则有： 3.5900.50c d c d +=⎧⎨+=⎩ 解得：3015c d =⎧⎨=-⎩ 即乙对应的函数解析式为y=30x-15则有：45903015y x y x =-+⎧⎨=-⎩解得：x=1.4h ，故C 选项错误； D. 当甲到达终点时乙距离终点还有90-40×1.4=45km ，故选项D 正确；故答案为C.【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意、从图像中获取问题需要的条件以及数形结合的思想的应用是解答本题的关键.12．已知Rt △ABC ，∠ACB=90º，BC=10，AC=20，点D 为斜边中点，连接CD ，将△BCD 沿CD 翻折得△B’CD ，B’D 交AC 于点E ，则'DE EB 的值为（ ）A ．56B ．35C ．74D ．5 【答案】A【分析】如图，过点B 作BH ⊥CD 于H ，过点E 作EF ⊥CD 于F ，由勾股定理可求AB 的长，由锐角三角函数可求BH ，CH ，DH 的长，由折叠的性质可得∠BDC=∠B'DC ，S △BCD =S △DCB '=50，利用锐角三角函数可求EF=205，由面积关系可求解． 【详解】解：如图，过点B 作BH ⊥CD 于H ，过点E 作EF ⊥CD 于F ，∵∠ACB=90°，BC=10，AC=20，∴22100400105AC BC +=+=S △ABC =12×10×20=100， ∵点D 为斜边中点，∠ACB=90°，∴AD=CD=BD=5∴∠DAC=∠DCA ，∠DBC=∠DCB ，∴sin ∠BCD=sin ∠DBC=AC BH AB BC=， 10105BH =，∴BH=∴==∴DH=∵将△BCD 沿CD 翻折得△B′CD ，∴∠BDC=∠B'DC ，S △BCD =S △DCB '=50，∴tan ∠BDC=tan ∠B'DC=BH EF DH DF=，43EF DF ==， ∴设DF=3x ，EF=4x ，∵tan ∠DCA=tan ∠DAC=EF BC FC AC =， ∴41020x FC =， ∴FC=8x ，∵DF+CF=CD ，∴3x+8x=∴， ∴∴S △DEC =12×DC×EF=25011， ∴S △CEB '=50-25011=30011， ∴'56DEC B EC S DE B E S ∆∆=='， 故选：A ．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，锐角三角函数的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD ＝5：3，CF ＝6，则DE 的长为_____．【答案】1 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到53AE AD EC DB ==，证明△AED ∽△ECF ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴53AE AD EC DB ==，∠AED ＝∠C ， ∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠A ，又∠AED ＝∠C ，∴△AED ∽△ECF ， ∴5=3DE AE FC EC =，即563DE =， 解得，DE ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理， 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.14．圆锥的底面半径是4，母线长是9，则它的侧面展开图的圆心角的度数为______ ．【答案】160︒【分析】首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数．【详解】解：圆锥的底面周长是：248ππ⨯=，设圆心角的度数是n ︒，则98180n ππ=， 解得：160n =．故侧面展开图的圆心角的度数是160︒．故答案是：160︒．【点睛】此题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．已知一段公路的坡度为1:20，沿着这条公路前进，若上升的高度为2m ，则前进了________米 【答案】401【分析】利用垂直高度，求出水平宽度，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示:根据题意，在Rt△ABC中，BC=2m，1 tan20BCAAC==,解得AC=40m，根据勾股定理22224022401AB AC BC=+=+=m.故答案为：2401.【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理.理解坡度坡角的定义，由勾股定理得出AB是解决问题的关键．16．分解因式:25a a-=__________．【答案】()5a a-【分析】提取公因式a进行分解即可．【详解】解：a2−5a＝a（a−5）．故答案是：a（a−5）．【点睛】本题考查了因式分解−提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是________．【答案】1【解析】试题分析：根据折线统计图可知6名学生的体育成绩为；24，24，1，1，1，30，所以这组数据的中位数是1．考点：折线统计图、中位数．18．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为．【答案】1：1．【解析】试题分析：∵△ABC 与△DEF 的相似比为1：1，∴△ABC 与△DEF 的周长比为1：1．故答案为1：1．考点：相似三角形的性质．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知二次函数2y x x 2=--的图象与 x 轴， y 轴分别交于A B C ，， 三点，A 在B 的左侧，请求出以下几个问题：（1）求点A B ，的坐标；（2）求函数图象的对称轴；（3）直接写出函数值0y <时，自变量x 的取值范围．【答案】（1）A(10,-，) B(20，)；（2）x 12=；（3）12x -<<． 【分析】（1）令0y =则220x x --=，解方程即可；（2）根据二次函数的对称轴公式2b x a=-代入计算即可； （3）结合函数图像，取函数图像位于x 轴下方部分，写出x 取值范围即可．【详解】解：（1）令0y =则220x x --=，解得 121,2x x =-=；∴A(10,-，) B(20，)；（2）11 2212b x a -=-=-=⨯ ∴对称轴为1 2x =； （3）∵0y <，∴图像位于x 轴下方，∴x 取值范围为12x -<< ．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，对称轴求法，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键．20．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲 a 7 7 1.2乙7 b 8 c（1）a＝_____；b＝_____；c＝_____；（2）填空：（填“甲”或“乙”）．①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是_____；②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是_____；③成绩相对较稳定的是_____．【答案】（1）7，7.5，4.2；（2）①乙，②乙；③甲【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义分别计算即可解决问题；（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，从方差来看，乙的方差大于甲，所以甲的成绩相对较稳定.【详解】解：（l）a＝110（5+2×6+4×7+2×8+9）＝7（环），b＝12（7+8）＝7.5（环），c＝110[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（10﹣7）2+（9﹣7）2]＝4.2（环2）；故答案为：7，7.5，4.2；（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，乙的方差大于甲．①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是：乙；②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙；③成绩相对较稳定的是：甲．故答案为：乙，乙，甲．【点睛】本题考查了条形统计图、折线统计图、平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．解方程：2(x－3)2＝x2－9【答案】x1=3，x2=1【分析】根据平方差公式将等号右边因式分解，再移项并提取公因式，利用因式分解法即可求解．【详解】解：2(x－3)2＝x2－12(x-3)2-(x+3)(x-3)=0(x-3)(2x-6-x-3)=0x1=3，x2=1．【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．22．小明手中有一根长为5cm的细木棒，桌上有四个完全一样的密封的信封．里面各装有一根细木棒，长度分别为：2、3、4、5（单位：cm）．小明从中任意抽取两个信封，然后把这3根细木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【答案】5 6【分析】根据题意画出树状图，然后结合概率的计算公式求解即可.【详解】解：画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中能围成三角形的结果共有10种，所以能搭成三角形的概率为=．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系及概率的计算，，解题的关键是正确画出树状图，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即m Pn =.23．如图，已知AC与⊙O交于,B C两点，过圆心O且与⊙O交于,E D两点，OB平分AOC∠.（1）求证：ACD ∆∽ABO ∆（2）作EF AD ⊥交于，若//EF OC ，3OC =，求EF 的值.【答案】（1）见解析；（2）6EF =-【分析】（1）由题意可得∠BOE=12∠AOC=∠D ，且∠A=∠A ，即可证△ACD ∽△ABO ；（2）由切线的性质和勾股定理可求CD 的长，由相似三角形的性质可求AE=例可得AE EF AO OC=，即可求EF 的值． 【详解】证明：（1）∵OB 平分AOC ∠ ∴12BOE AOC ∠=∠ 又∵CE 所对圆心角是EOC ∠，所对的圆周角是D ∠ ∴12D EOC ∠=∠ ∴D BOE ∠=∠又∵A A ∠=∠∴ACD ∆∽ABO ∆（2）∵EF AD ⊥，∴090OEF ∠=∵//EF OC ，∴090DOC OEF ∠=∠=∵3OC OD ==，∴CD ==∵ACD ∆∽ABO ∆ ∴AD CD AO BO=∴622AE AE +=+，∴AE =∵//EF OC ，∴AEF ∆∽AOC ∆ ∴AE EF AO OC=2EF =∴632EF=-【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，求出AE的长是本题的关键．24．为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a=，b=，c=；（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为度；（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．【答案】（1）2、45、20；（2）72；（3）1 6【解析】分析：（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得a的值，再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值；（2）用360°乘以C等次百分比可得；（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．详解：（1）本次调查的总人数为12÷30%=40人，∴a=40×5%=2，b=1840×100=45，c=840×100=20，（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°，（3）画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）=21= 126．点睛：此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．（1）求证：△ABC∽△BDC．（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积．【答案】（1）详见解析；（2）272BDCS∆=【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切线，根据同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABC∽△BDC；（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面积，又由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面积．【详解】（1）∵BD是⊙O的切线，∴AB⊥BD，∴∠ABD=90°．∴∠A+∠D=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠BCD=90°，∴∠CBD+∠D=90°，∴∠A=∠CBD，∴△ABC∽△BDC；（2）∵△ABC∽△BDC，∴2ABCBDCS ACS BC⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵AC=8，BC=6，∴S△ABC12=AC•BC12=⨯8×6=24，∴S△BDC=S△ABC2ACBC⎛⎫÷=⎪⎝⎭24÷(86)2272=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．26．一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．【答案】4cm【解析】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm ，则围成的长方体纸盒的底面长是（32-2x ）cm, 宽是（32-2x ）cm,根据底面积等于1 cm 2列方程求解.解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm ．由题意，得 (32-2x )(22-2x )=1．整理，得 x 2 -25x + 84=2．解方程，得14x =，221x =（不符合题意，舍去）．答：剪掉的正方形的边长为4cm ．27．在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1,2,3，乙口袋中的小球上分别标有数字2,3,4，从两口袋中分别各摸一个小球.求摸出小球数字之和为5的概率 【答案】13【分析】画树状图展示所有等可能的结果，再根据概率公式求解．【详解】解：利用树状图表示为：由树状图可知，共有9种情况，每种情况的可能性相等.摸出的两个小球数字之和为5有3种情况. P ∴（数字之和为5）39=13=. 【点睛】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为（）A．1 cm B．7cm C．3 cm或4 cm D．1cm 或7cm【答案】D【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可.【详解】当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF-OE=1cm；当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF+OE=7cm．故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．2．下列四种说法：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②将1010减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15，……，依此类推，直到最后减去余下的12020，最后的结果是1； ③实验的次数越多，频率越靠近理论概率；④对于任何实数x 、y ，多项式22427x y x y +--+的值不小于1．其中正确的个数是（）A ．1B ．1C ．3D ．4【答案】C【分析】画图可判断①；将②转化为算式的形式，求解判断；③是用频率估计概率的考查；④中配成平方的形式分析可得．【详解】如下图，∠1=∠1，∠1+∠3=180°，即两边都平行的角，可能相等，也可能互补，①错误；②可用算式表示为：1232019202012342020⨯⨯⨯⨯⨯=，正确； 实验次数越多，则频率越接近概率，③正确；2222427(2)(1)2x y x y x y +--+=-+-+∵2(2)x -≥0，2(1)y -≥0∴22(2)(1)2x y -+-+≥1，④正确故选：C【点睛】本题考查平行的性质、有理数的计算、频率与概率的关系、利用配方法求最值问题，注意②中，我们要将题干文字转化为算式分析．3．下列命题中，真命题是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形不一定是平行四边形D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形【答案】D【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形和正方形的判定判断即可．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；C 、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，原命题是假命题；D 、对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形，原命题是真命题；故选：D ．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．4．如图，在Rt △ABO 中，∠AOB=90°，AO=BO=2，以O 为圆心，AO 为半径作半圆，以A 为圆心，AB 为半径作弧BD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3πB ．π+1C ．πD ．2【答案】C 【分析】根据题意和图形可以求得AB 的长，然后根据图形，可知阴影部分的面积是半圆ABC 的面积减去扇形ABD 的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：在Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，2AO BO ==，22AB ∴=，45BAO∴图中阴影部分的面积为：22180245(22)360360， 故选：C ．【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．如图，AB 为O 的直径，C 和D 分别是半圆AB 上的三等分点，连接AC AD BC BD 、、、，若2AB =，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π-B ．2323π- C ．23π- D ．3π- 【答案】B 【分析】阴影的面积等于半圆的面积减去△ABC 和△ABD 的面积再加上△ABE 的面积，因为△ABE 的面积是△ABC 的面积和△ABD 的面积重叠部分被减去两次，所以需要再加上△ABE 的面积，然后分别计算出即可.【详解】设AD BC 、相交于点,E C 和D 分别是半圆AB 上的三等分点，AB 为⊙O 的直径30ABC BAD ∴∠=∠=︒.90ACB BDA ∠=∠=︒.2AB =， 1,AC BD ∴==33,ABC ABD BC AD S S ==∴== 如图，连接OE ，则OE AB ⊥，31,AO BO OE ==∴=1332233ABE S ∴=⨯⨯= 33232222323ABC ABE S S SS ππ∴=-+=-⨯+=-阴影半圆 故选B .【点睛】 此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE 的面积是解题的关键.6．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >> 【答案】A【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：∵抛物线y=－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，而A （2，y 1）离直线x=﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x=1最近，∴123y y y >>．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．7．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx+c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个根是x ＝1D ．不存在实数根【答案】A【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．【详解】∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．8．点P （﹣2，4）关于坐标原点对称的点的坐标为（ ）A ．（4，﹣2）B ．（﹣4，2）C ．（2，4）D ．（2，﹣4）【答案】D【解析】根据关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案．【详解】点P（﹣2，4）关于坐标原点对称的点的坐标为（2，﹣4），故选D．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．9．对于函数4yx=，下列说法错误的是（）A．这个函数的图象位于第一、第三象限B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【答案】C【解析】试题分析：根据反比例函数的图像与性质，可由题意知k=4＞0，其图像在一三象限，且在每个象限y随x增大而减小，它的图像即是轴对称图形又是中心对称图形.故选C点睛：反比例函数kyx=的图像与性质：1、当k＞0时，图像在一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；2、当k＜0时，图像在二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大.3、反比例函数的图像即是轴对称图形又是中心对称图形.10．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为( )A．11sinα-m B．11sinα+m C．11cosα-m D．11cosα+m【答案】A【解析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=PCPB'，列出方程即可解决问题．【详解】设PA=PB=PB′=x，在RT △PCB′中，sinα=PC PB '， ∴1x x-=sinα， ∴x-1=xsinα，∴（1-sinα）x=1， ∴x=11sin α-． 故选A ．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型． 11．二次函数y=3(x –2)2–5与y 轴交点坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，–5)C ．(0，7)D ．(0，3)【答案】C【分析】由题意使x=0,求出相应的y 的值即可求解.【详解】∵y=3（x ﹣2）2﹣5, ∴当x=0时，y=7, ∴二次函数y=3（x ﹣2）2﹣5与y 轴交点坐标为(0,7). 故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.12．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD AE AB AC = B ．DF AE FC EC = C ．AD DE DB BC = D ．DF EF BF FC= 【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，逐项判断即得答案．【详解】解：A 、∵DE ∥BC ，∴AD AE AB AC=，故本选项正确； B 、∵DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DF EF FC FB=，故本选项错误； C 、∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD DE AB BC=，故本选项错误； D 、∵DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴F F FC D EF B =，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，弧AD=弧CD．若∠CAB＝40°，则∠CAD＝_____．【答案】25°【分析】先求出∠ABC＝50°，进而判断出∠ABD＝∠CBD＝25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝40°，∴∠ABC＝50°，∵弧AD=弧CD∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝25°，∴∠CAD＝∠CBD＝25°．故答案为：25°．【点睛】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线. 14．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠ 【答案】A【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围．【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根， 所以a 的取值范围为a≥1．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 2．某果园2017年水果产量为100吨，2019年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为（ ）A ．10%B ．20%C ．25%D ．40% 【答案】B【分析】2019年水果产量=2017年水果产量()21⨯+年平均增长率，列出方程即可.【详解】解：根据题意得， ()21001+144x =解得120.2, 2.2x x ==-（舍去）故答案为20%，选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.3．常胜村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为15000元，求人均收入的年增长率．若设人均收入的年增长率为x ，根据题意列方程为（ ）A ．()212000115000x +=B ．()120001215000x +=C ．()2150********x -=D ．()212000115000x += 【答案】D 【分析】根据“每年的人均收入=上一年的人均收入⨯（1+年增长率）”即可得．【详解】由题意得：2018年的人均收入为12000(1)x +元2019年的人均收入为212000(1)(1)12000(1)x x x ++=+元则212000(1)15000x +=故选：D ．【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等式关系是解题关键．4．小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了（ ）A ．2005mB ．500mC ．5003mD ．1000m 【答案】A【分析】根据题意作出图形，然后根据坡度为1：2，设BC=x ，AC=2x ，根据AB=1000m ，利用勾股定理求解．【详解】解：根据题意作出图形，∵坡度为1：2，∴设BC=x ，AC=2x ，∴22AB=BC AC =5x +，∵AB=1000m ，∴51000x =，解得：2005x =，故选A.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形然后求解．5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选C ．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心． 6．如图，在ACB ∆中，90C ∠=︒，则BC AB等于（ ）A ．cos AB ．sin BC ．tan BD ．sin A 【答案】D 【分析】直接根据正弦的定义解答即可．【详解】在△ACB 中，∠C=90°，BC sinA AB=， 故选：D ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦是解题的关键． 7．在反比例函数y ＝13k x -的图象上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）．若x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2则k 的取值范围是（ ）A ．k ≥13B ．k ＞13C ．k ＜﹣13D ．k ＜13【答案】D【分析】利用反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，于是得到1﹣3k＞0，然后解不等式即可．【详解】∵x1＜0＜x2，y1＜y2，∴反比例函数图象分布在第一、三象限，∴1﹣3k＞0，∴k＜13．故选：D．【点睛】此题考查反比例函数的性质，根据点的横纵坐标的关系即可确定函数图象所在的象限，由此得到k的取值范围.8．下列各数中，属于无理数的是（）A．2B．4C．0D．1【答案】A【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项进行判断即可．【详解】A、2是无理数，故本选项正确；B、4=2，是有理数，故本选项错误；C、0，是有理数，故本选项错误；D、1，是有理数，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了无理数的定义，属于基础题，掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．9．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球，其中8个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：根据列表，可以估计出m的值是（）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】B【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．【详解】∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5， ∴8m=0.5， 解得：m=1．故选：B ．【点睛】考查了利用频率估计概率，解题关键是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．10．二次函数2y ax bx c =++的图象如右图所示，若54M a c =+，N a b c =++，则（ ）A ．0M >，0N >B ．0M >，0N <C ．0M <，0N >D ．0M <，0N <【答案】A【分析】由于当x=2.5时，255042a b c ++>，再根据对称轴得出b=-2a ，即可得出5a+4c ＞0，因此可以判断M 的符号；由于当x=1时，y=a+b+c ＞0，因此可以判断N 的符号； 【详解】解：∵当x=2.5时，y=255042a b c ++>， ∴25a+10b+4c ＞0，12b a-=， ∴b=-2a ，∴25a-20a+4c ＞0，即5a+4c ＞0，∴M ＞0，∵当x=1时，y=a+b+c ＞0，∴N ＞0，故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．11．已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是( )A．－2 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－1．故选A．12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）【答案】A【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选A．【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，请补充一个条件_________：，使△ACB∽△ADE．【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AE AC AB【分析】由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AEAC AB＝时，△ADE∽△ACB．【详解】①补充∠ADE=∠C，理由是：∵∠A是公共角，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB．故答案为：∠ADE=∠C．②补充∠AED=∠B，理由是：∵A是公共角，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB．③补充AD AEAC AB=，理由是：∵∠A是公共角，AD AE AC AB=，∴△ADE∽△ACB．故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD AE AC AB=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．14．如图，已知圆周角∠ACB=130°，则圆心角∠AOB=______．【答案】100゜【分析】根据圆周角定理，由∠ACB=130°，得到它所对的圆心角∠α=2∠ACB=260°，用360°-260°即可得到圆心角∠AOB．【详解】如图，∵∠α=2∠ACB，而∠ACB=130°，∴∠α=260°，∴∠AOB=360°-260°=100°．故答案为100°．15．比较三角函数值的大小：sin30°_____cos30°(填入“＞”或“＜”)．【答案】＜【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入比较得出答案．【详解】解：∵sin30°＝12，cos30°＝32．∴sin30°＜cos30°．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题关键.16．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝kx（k＞0）的图像在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为__________________________.【答案】9yx=或16yx=【解析】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），则根据A在y=x上得m=n，由AC长的最大值为7，可知AC过圆心B交⊙B于C，进而可知AB=5，在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，根据勾股定理列方程即可求出m的值，进而可得A点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.【详解】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），∵A在直线y=x上，∴m=n，∵AC长的最大值为7，∴AC过圆心B交⊙B于C，∴AB=7-2=5，在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，AB=5，∴m2+(7-m)2=52，解得：m=3或m=4，∵A点在反比例函数y＝kx（k＞0）的图像上，∴当m=3时，k=9；当m=4时，k=16，∴该反比例函数的表达式为：9yx=或16yx=，故答案为9y x =或16y x= 【点睛】 本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC 的最长值是通过圆心的直线是解题关键. 17．两个相似三角形的面积比为9:16，其中较大的三角形的周长为64cm ，则较小的三角形的周长为__________cm ．【答案】1【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比为9:16∴两个相似三角形的相似比为3:4∴两个相似三角形的周长也比为3:4 ∵较大的三角形的周长为64cm∴较小的三角形的周长为643484cm ⨯= 故答案为：1．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．18．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD 的高度是______米．【答案】1．【详解】解：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AC ，BE CD ∴，∴△ABE ∽△ACD ，BE AB CD AC∴=， 1.82218CD ∴=+，解得：18CD =，故答案为1.点睛：同一时刻，物体的高度与影长的比相等.三、解答题（本题包括8个小题）19．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼老汉首先从鱼塘中打捞n 条鱼，并在每一条鱼身上做好记号，然后把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，让鱼儿充分游动，再从鱼塘中打捞a 条鱼，如果在这a 条鱼中有b 条是有记号的，那么养鱼老汉就能估计鱼塘中鱼的条数．请写出鱼塘中鱼的条数，并说明理由． 【答案】an b ． 【分析】设鱼塘中鱼的条数为x ，根据两次打捞的鱼中身上有记号的鱼的概率相等建立方程，然后求解即可得．【详解】设鱼塘中鱼的条数为x 由题意和简单事件的概率计算可得：n b x a = 解得：an x b= 经检验，an x b=是所列分式方程的解 答：鱼塘中鱼的条数为an b． 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、分式方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 20．如图，AB 为O 的直径，C 、F 为O 上两点，且点C 为BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D .（1）求证：DE 是O 的切线；（2）当2BD =，3sin 5D =时，求AE 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）245AE =. 【分析】（1）连接OC ，如图，由点C 为BF 的中点可得CAF BAC ∠=∠，根据OA OC =可得OCA OAC ∠=∠，可得CAF OCA ∠=∠，于是//OC AE ，进一步即可得出OC DE ⊥，进而可证得结论；（2）在Rt DCO ∆中，利用解直角三角形的知识可求得半径的长，进而可得AD 的长，然后在Rt DEA ∆中利用∠D 的正弦即可求出结果.【详解】解：（1）连接OC ，如图，∵点C 为BF 的中点，∴BC CF =，∴CAF BAC ∠=∠. ∵OA OC =，∴OCA OAC ∠=∠，∴CAF OCA ∠=∠.∴//OC AE .∵AF CD ⊥，∴90E ∠=︒.∴90DCO E ∠=∠=︒，即OC DE ⊥.∴DE 是O 的切线；（2）在Rt DCO ∆中，∵3sin 5OC D OD ==，∴设3OC x =，则5OD x ， 则532x x =+，解得：1x =.∴3OC =，5OD =，∴8AD =.在Rt DEA ∆中，∵3sin 85AE AE D AD ===，∴245AE =. 【点睛】 本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质以及解直角三角形的知识，属于中档题型，熟练掌握上述知识是解题的关键.21．如果1(2)220m m x x +-++=是关于x 的一元二次方程；（1）求m 的值;（2）判断此一元二次方程的根的情况，如果有实数根则求出根，如果没有说明理由则可．【答案】（1）m=1；（2）有两个不相等的实数根，113x =，213x =．【分析】（1）因为原方程是一元二次方程，所以x 的最高次数为2且二次项系数不为0，即m+1=2且m-2≠0，解方程即可；（2）将m=1代入原方程中，得x 2-2x-2=0，根据判别式24b ac =-△即可判断实数根的个数，然后根据求根公式求出实数根．【详解】（1）由题意得m+1=2且m-2≠0得：m=1故m 的值为1；（2）由（1）得原方程：x 2-2x-2=0其中，a= 1，b= -2，c= -2∴24b ac =-△=4+8=12>0∴有两个不相等的实数根； ∴根据求根公式24244121321b b ac x -±-±+⨯⨯===±⨯ ∴113x =+ 213x =-．【点睛】本题考察了一元二次方程的概念，利用判别式判断实数根的个数，和公式法解一元二次方程，熟练记忆判别式和求根公式是解题的关键；其中，（1）问中不要忘记二次项系数不能为0，这是易错点． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OADB 的顶点()()6,0,0,4A B -，过点()6,1C -的双曲线(0)k y k x=≠与矩形OADB 的边BD 交于点E ． (1)求双曲线k y x=的解析式以及点E 的坐标；． (2)若点P 是抛物线21522y x x t =--+-的顶点；①当双曲线k y x=过点P 时，求顶点P 的坐标； ②直接写出当抛物线21522y x x t =--+-过点B 时，该抛物线与矩形OADB 公共点的个数以及此时t 的值．【答案】（1）6y x -=，3(,4)2E -；（2）①()1,6P -；②三个， 65t = 【分析】（1）将C 点坐标代入k y x=求得k 的值即可求得反比例函数解析式，将4y =代入所求解析式求得x 的值即可求得E 点坐标； （2）①将抛物线化为顶点式，可求得P 点的横坐标，再根据双曲线解析式即可求得P 点坐标；②根据B 点为函数与y 轴的交点可求得t 的值和函数解析式，再根据函数的对称轴，与x 轴的交点坐标即可求得抛物线与矩形OADB 公共点的个数．【详解】解:(1)把点(6,1)C -代入k y x =，得6k =-， ∴6y x-= 把4y =代入6y x -=，得32x =-， ∴3(,4)2E -； (2)①∵抛物线2211352(1)5222y x x t x t =--+-=-++-∴顶点P 的横坐标1x =-，∵顶点P 在双曲线6y x =-上， ∴6y =，∴顶点()1,6P -， ②当抛物线21522y x x t =--+-过点B 时， 524t -=，解得65t =， 抛物线解析式为2211914(1)(2)(4)2222y x x x x x =--+=-++=--+， 故函数的顶点坐标为9(1,)2-，对称轴为1x =-，与x 轴的交点坐标分别为(2,0),(4,0)-所以它与矩形OADB 在线段BD 上相交于(0,4)B 和(2,4)-，在线段AB 上相交于(4,0)-，即它与矩形OADB 有三个公共点，此时65t =． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和求二次函数解析式，二次函数的性质．在求函数解析式时一般该函数有几个未知的常量就需要代入几个点的坐标，本题（2）（3）中熟练掌握二次函数一般式，交点式，顶点式三种表达式之间的互相转化是解决此题的关键．23．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y （台）和销售单价x （万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？【答案】（1）y 与x 的函数关系式为5200y x =-+；（2）该设备的销售单价应是27 万元．【分析】（1）根据图像上点坐标()()28,60,32,40,代入y kx b =+,用待定系数法求出即可.（2）根据总利润=单个利润⨯销售量列出方程即可.【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，依题意，得6028,4032.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得5,200.k b =-⎧⎨=⎩ 所以y 与x 的函数关系式为5200y x =-+．（2）依题知()()255200130x x --+=．整理方程，得26510260x x -+=．解得122738x x ==，．∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴238x =（舍），所以27x =．答：该设备的销售单价应是27 万元．【点睛】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.24．已知：如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，且30B ∠=︒，45C ∠=︒，2AB =，求AC 的长．2【分析】根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，解得AD 的长，再由等腰直角三角形的两条腰相等可得DC 的长，最后根据勾股定理解题即可．【详解】解：AD 是BC 边上的高90ADB ADC ∴∠=∠=︒30B ∠=︒12AD AB ∴=2AB =1AD ∴=45C ∠=︒45DAC ∴∠=︒1DC AD ∴== 22112AC ∴=+=【点睛】本题考查含30°的直角三角形、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25．用适当的方法解方程：2230x x +-=．【答案】13x =-，21x =【分析】根据因式分解法即可求解.【详解】解： 2x +2x-3=0(x+3)(x-1)=0x+3=0或x-1=013x =-，21x =.【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法解方程.26．某公司2019年10月份营业额为64万元，12月份营业额达到万100元，求该公司1112、两个月营业额的月平均增长率.【答案】25%【分析】设该公司1112、两个月营业额的月平均增长率为x ，根据题目中的等量关系列出方程即可求解.【详解】设该公司1112、两个月营业额的月平均增长率为x ，依题意，得:()2641100x +=， 解得:120.2525%, 2.25x x ===-(不合题意，舍去). 答:该公司1112、两个月营业额的月平均增长率为25%.【点睛】本题考查的是增长率问题，比较典型，属于基础题型，关键是掌握增长率问题数量关系及其一般做法. 27．解方程（1）x2﹣6x﹣7＝0（2）（x﹣1）（x+3）＝12【答案】（1）x＝7或x＝﹣1（2）x＝﹣5或x＝3【分析】（1）方程两边同时加16，根据完全平方公式求解方程即可．（2）开括号，再移项合并同类项，根据十字相乘法求解方程即可．【详解】（1）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴x2﹣6x+9＝16，∴（x﹣3）2＝16，∴x﹣3＝±4，∴x＝7或x＝﹣1；（2）原方程化为：x2+2x﹣15＝0，∴（x+5）（x﹣3）＝0，∴x＝﹣5或x＝3；【点睛】本题考查了解一元二次方程的问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点．若PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．3D ．2【答案】B 【分析】由切线的性质可得△OPB 是直角三角形，则PB 2＝OP 2﹣OB 2，如图，又OB 为定值，所以当OP 最小时，PB 最小，根据垂线段最短，知OP ＝3时PB 最小，然后根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP ＝90°，∴PB 2＝OP 2﹣OB 2，如图，∵OB ＝2，∴PB 2＝OP 2﹣4，即PB ＝24OP -，∴当OP 最小时，PB 最小，∵点O 到直线l 的距离为3，∴OP 的最小值为3，∴PB 的最小值为945-=．故选：B ．【点睛】此题主要考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识，属于常考题型，如何确定PB 最小时点P 的位置是解题的关键．2．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC ，CD 上的点，过点B 作BN AM ⊥于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ．若6AB =，4=AD ，则DP 的长的最小值为( )A ．2B ．1213C ．4D ．5【答案】A 【分析】由BN AM ⊥可得∠APB=90°，根据AB 是定长，由定长对定角可知P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 得中点为O ，连结DO ，DO 与半圆的交点是DP 的长为最小值时的位置，用DO 减去圆的半径即可得出最小值．【详解】解：∵BN AM ⊥，∴∠APB=90°，∵AB=6是定长，则P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 得中点为O ，连结DO ，DO 与半圆的交点P'是DP 的长为最小值时的位置，如图所示：∵6AB =，4=AD ，∴'3==P O AO ，由勾股定理得：DO=5，∴''2=-=DP DO P O ，即DP 的长的最小值为2，故选A ．【点睛】本题属于综合难题，主要考查了直径所对的角是圆周角的应用：由定弦对定角可得动点的轨迹是圆，发现定弦和定角是解题的关键．3．如图所示的两个三角形（B 、F 、C 、E 四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）A ．点CB ．点DC ．线段BC 的中点D ．线段FC 的中点【答案】D【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．【详解】解：两个三角形（B 、F 、C 、E 四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC 的中点． 故选：D ．【点睛】本题比较容易，考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sinB 的值是（ ）A ．45B ．35C ．43D ．34【答案】A【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB 的长，然后根据正弦的定义求解．【详解】如图，∵∠C =90°，AC =8，BC =6，∴AB 222268BC AC +=+10，∴sinB =84105AC AB ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理． 5．用16米长的铝制材料制成一个矩形窗框，使它的面积为9平方米，若设它的一边长为x ，根据题意可列出关于x 的方程为（ ）A ．()89x x +=B ．()89x x -=C ．()169x x -=D ．()1629x x -= 【答案】B【分析】一边长为x 米，则另外一边长为：8-x ，根据它的面积为9平方米，即可列出方程式．【详解】一边长为x 米，则另外一边长为：8-x ，由题意得：x （8-x ）=9，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽相出一元二次方程，解题的关键读懂题意列出方程式．6．下列算式正确的是（ ）A ．110--=B ．()33--=C ．231-=D ．|3|3--=【答案】B【解析】根据有理数的减法、绝对值的意义、相反数的意义解答即可.【详解】A. 112--=-，故不正确；B. ()33--=，正确；C. 231-=-，故不正确；D. |3|3--=-，故不正确；故选B.【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的减法法则、绝对值的意义、相反数的意义是解答本题的关键. 7．将点A （﹣3，4）绕原点顺时针方向旋转180°后得到点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．（3，﹣4）B ．（﹣4，3）C ．（﹣4，﹣3）D ．（﹣3，﹣4） 【答案】A【分析】根据点A （﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B ，即可得出答案．【详解】解：根据点A （﹣3，4）绕坐标原点旋转180°得到点B ，可知A 、B 两点关于原点对称， ∴点B 坐标为（3，﹣4），故选：A ．【点睛】本题考查坐标与图形变换—旋转，解题关键是熟练掌握旋转的旋转.8．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC 的高为 1.6 m ，并测得BC=2.2 m ，CA=0.8 m, 那么树DB 的高度是（ ）A ．6 mB ．5.6 mC ．5.4 mD ．4.4 m【答案】A 【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt △ACE ∽Rt △ABD ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD 的长．【详解】解：∵EC ∥AB ，BD ⊥AB ，∴EC ∥BD ，∠ACE=∠ABD=90°，在Rt △ACE ∽Rt △ABD 中，∠A=∠A ，∠ACE=∠ABD=90°，∴Rt △ACE ∽Rt △ABD ， ∴EC CA BD CA BC =+，即1.60.80.8 2.2BD =+，解得BD=6m ． 故选A ．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．9．如图，正方形AEFG 的边AE 放置在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF 与CD 交于点M ，得四边形AEMD ，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）A ．﹣2B ．2+4C ．8﹣2D 2+1【答案】A 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=15°，AD=CD=2，则S △ACD =12AD•CD=12×2×2=2； 22，则2﹣2， ∵△MEC 是等腰直角三角形，∴S △MEC =12ME•EC=12（2﹣2）2=6﹣2， ∴阴影部分的面积=S △ACD ﹣S △MEC =2﹣（6﹣2）2﹣1．故选A ．考点：正方形的性质．10．已知一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ，则一元二次方程x 2－5＝0中b 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－5 D ．5【答案】B【分析】对照一元二次方程的一般形式，根据没有项的系数为0求解即可．【详解】∵一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ，对于一元二次方程x 2－5＝0中没有一次项，故b 的值为0，故选：B ．【点睛】此题主要考查对一元二次方程的一般形式的认识，掌握住各项系数是解题的关键．11．如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B 的度数是（ ）A ．100°B ．80°C ．60°D ．50°【答案】B 【解析】试题分析：如图，翻折△ACD，点A 落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B =80°.故选：B12．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠AOC ＝80°，则∠ABC 的大小是（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°【答案】C【分析】根据圆周角与圆心角的关键即可解答.【详解】∵∠AOC ＝80°， ∴102ABCAOC 4. 故选：C.【点睛】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.二、填空题（本题包括8个小题）13．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．【答案】-1【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【详解】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 14．已知一元二次方程230x x a ++=的一个根为1，则a =__________．【答案】-4【分析】将x=1代入方程求解即可.【详解】将x=1代入方程得4+a=0，解得a=-4，故答案为：-4.【点睛】此题考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解时将解代入方程求参数即可.15．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.【答案】1【分析】由题意连接OA ，根据切线的性质得出OA ⊥PA ，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．【详解】解：连接OA ，∵PA 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥PA ，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=1，故答案为：1．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．16．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______． 【答案】72【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可. 【详解】解：∵一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,整理得，22410k k ， ∴21+22k k 2221k k k 224k k224k k当21+22k k 时，224k k142=-+72=故答案为：7 2 .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若AOC=80°，则ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°【答案】B．【解析】试题分析：根据AE是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，可以先得出∠BAD为直角．再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠B，从而得到∠ADB的度数．由题意得：∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°-∠B=50°．故选B．考点：圆的基本性质、切线的性质．18．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．【答案】k＞﹣1且k≠1．【解析】由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=1有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞1且k≠1，则可求得k的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞1，∴k＞﹣1，∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1∴k≠1，∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠1．故答案为：k＞﹣1且k≠1．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜1⇔方程没有实数根．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数13y x =-的图像与x 轴交于点A .二次函数22y x bx c=-++的图像经过点A ，与y 轴交于点C ，与一次函数13y x =-的图像交于另一点()2,B m -.（1）求二次函数的表达式；（2）当12y y >时，直接写出x 的取值范围；（3）平移AOC ∆，使点A 的对应点D 落在二次函数第四象限的图像上，点C 的对应点E 落在直线AB 上，求此时点D 的坐标.【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）2x <-或3x >；（3）()4,5D -.【分析】（1）先求出A,B 的坐标，再代入二次函数即可求解；（2）根据函数图像即可求解；（3）先求出C 点坐标，再根据平移的性质得到3EF FD ==，设点(),3E a a -，则()3,6D a a +-，把D 点代入二次函数即可求解.【详解】解：（1）令0y =，得3x =，∴()3,0A .把()2,B m -代入3y x =-，解得()2,5B --. 把()3,0A ，()2,5B --代入2y x bx c =-++， 得093542b c b c =-++⎧⎨-=--+⎩，∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式为2y x 2x 3=-++.（2）由图像可知，当12y y >时，2x <-或3x >.（3）令0x =，则3y =，∴()0,3C .。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（）A．BDCBB．CDCBC．ACABD．ADAC【答案】A【解析】根据垂直定义证出∠A=∠DCB，然后根据余弦定义可得答案．【详解】解：∵CD是斜边AB上的高，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠DCB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB，∴cosA=AC CD AD AB CB AC==故选A．【点睛】考查了锐角函数定义，关键是掌握余弦=邻边：斜边．2．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①12AFFD=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③【答案】D【详解】∵在▱ABCD中，AO=12 AC，∵点E是OA的中点，∴AE=13 CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AF AEBC CE==13，∵AD=BC，∴AF=13AD，∴12AFFD=；故①正确；∵S△AEF=4，AEFBCESS=（AFBC）2=19，∴S△BCE=36；故②正确；∵EF AEBE CE==13，∴AEFABESS=13，∴S△ABE=12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选D．3．已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB=6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE=BC，则阴影部分面积为（）A．934π-B．9942π-C．39324π-D．3922π-【答案】B【分析】连接OD、OC，根据CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据S阴影=S扇形-S△ODC 即可求得．【详解】连接OD、OC，∵AB是直径,∴∠ACB=90°，∵CE=BC，∴∠CBD=∠CEB=45°，∴∠COD =2∠DBC=90°，∴S 阴影=S 扇形−S △ODC =2903360π⋅⋅ −12×3×3=94π −92. 故答案选B .【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.4．如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是( )A ．AD=BDB ．∠ACB=∠AOEC ．弧AE=弧BED ．OD=DE【答案】D 【解析】由垂径定理和圆周角定理可证，AD ＝BD ，AD ＝BD ，AE ＝BE ，而点D 不一定是OE 的中点，故D 错误．【详解】∵OD ⊥AB ，∴由垂径定理知,点D 是AB 的中点,有AD ＝BD,＝，∴△AOB 是等腰三角形，OD 是∠AOB 的平分线，有∠AOE ＝12∠AOB ，由圆周角定理知,∠C ＝12∠AOB ，∴∠ACB ＝∠AOE ，故A 、 B 、C 正确，而点D 不一定是OE 的中点，故错误.故选D.【点睛】本题主要考查圆周角定理和垂径定理，熟练掌握这两个定理是解答此题的关键.5．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，P 是对角线BD 上任意一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F.设BP ＝x ，EF ＝y ，则能大致表示y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据图形先利用平行线的性质求出△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得出x 的取值范围和函数解析式即可解答【详解】当0≤x≤4时，∵BO 为△ABC 的中线，EF ∥AC ，∴BP 为△BEF 的中线，△BEF ∽△BAC ， ∴BP EF BO AC =，即46x y =，解得32y x =y ， 同理可得，当4＜x≤8时，3(8)2y x =-. 故选A.【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似6．把抛物线()2y x 1=+向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是A ．()2y x 22=++B ．()2y x 22=+-C ．2y x 2=+D ．2y x 2=-【答案】D【解析】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动，根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点（－1，0）→（0，－2）．因此，所得到的抛物线是2y x 2=-．故选D ．7．如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=1．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A．B． C．D．【答案】C【解析】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C．点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.三组边对应成比例，两个三角形相似.8．对于反比例函数y=1x，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣1）B．图象关于y轴对称C．图象位于第二、四象限D．当x＜0时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=1x的图象上，故本选项错误；B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误；C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误；D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的．故选B．9．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠2B．m=2C．m≥2D．m≠0【答案】A【解析】解：∵关于x的方程（m﹣1）x1+mx﹣1=0是一元二次方程，∴m-1≠0，解得：m≠1．故选A．10．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D 的坐标为（ ）A ．（1，2）B ．（2，9）C ．（5，3）D ．（–9，–4）【答案】A【解析】∵线段CD 是由线段AB 平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，∴由A 平移到C 点的横坐标增加5，纵坐标增加3，则点B(−4,−1)的对应点D 的坐标为(1,2).故选A11．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2 或x ＜－3B ．－3＜x ＜2C ．x ＞2或x ＜－4D ．－4＜x ＜2【答案】C 【分析】先根据对称轴和抛物线与x 轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y<0时，x 的取值范围．【详解】解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x= -1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（-1，0），因为抛物线开口向下，y<0时，图象在x 轴的下方，此时，x ＞2或x ＜－1．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是利用二次函数的对称性，判断图象与x 轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．12．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒【答案】C【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB =∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒故选C ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．底角相等的两个等腰三角形_________相似.(填“一定”或“不一定”)【答案】一定【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，∠E=∠F ，根据相似三角形的判定定理证明．【详解】如图：∵AB=AC ，DE=EF ，∴∠B=∠C ，∠E=∠F ，∵∠B=∠E ，∴∠B=∠C=∠E=∠F ，∴△ABC ∽△DEF ，故答案为一定．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．14．方程()222210mm x mx -+++=是关于x 的一元二次方程，则二次项系数、一次项系数、常数项的和为__________．【答案】9【分析】根据一元二次方程的定义可确定m 的值，即可得二次项系数、一次项系数、常数项的值，进而可得答案．【详解】∵方程()222210mm x mx -+++=是关于x 的一元二次方程，∴m 2-2=2，m+2≠0，解得：m=2，∴二次项系数为4，一次项系数为4，常数项为1，∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为4+4+1=9，故答案为：9【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程；一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax 2+bx+c=0（a≠0），其中ax 2叫做二次项，a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫作做常数项．注意不要漏掉a≠0的条件，避免漏解．15．如图示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3BC =，点P 在Rt ABC ∆内部，且PAB PBC ∠=∠，连接CP ，则CP 的最小值等于______.72【分析】首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，()22223323AB AC BC =+=+=根据PAB PBC ∠=∠，得出∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小，构建圆，利用勾股定理，即可得解.【详解】∵90ACB ∠=︒，3AC =，3BC =，∴()22223323AB AC BC =+=+=∴∠CAB=30°，∠ABC=60°∵PAB PBC ∠=∠，∠PAB+∠PAC=30°∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°∴定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小∴CO ⊥AB ，∠COB=60°，∠ABO=30°∴OB=2，∠OBC=90° ∴()2222237OC OB BC =+=+= ∴72CP OC OP =-=-故答案为72-.【点睛】此题主要考查直角三角形中的动点综合问题，解题关键是找到点P 的位置.16．若二次函数的图象与x 轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T 1，T 2，T 3……是标准抛物线，且顶点都在直线y=3x 上，T 1与x 轴交于点A 1(2，0)，A 2(A 2在A 1右侧)，T 2与x 轴交于点A 2，A 3，T 3与x 轴交于点A 3，A 4，……，则抛物线T n 的函数表达式为_____．【答案】)2133223n n y x --=-⨯+【分析】设抛物线T 1，T 2，T 3…的顶点依次为B 1，B 2，B 3…，连接A 1B 1，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 2，A 3B 3，A 4B 3…，过抛物线各顶点作x 轴的垂线，由△A 1B 1A 2是等边三角形，结合顶点都在直线y=33x 上，可以求出13)B ，A 2(4，0)，进而得到T 1的表达式：23(3)3y x =-【详解】解：设抛物线T 1，T 2，T 3…的顶点依次为B 1，B 2，B 3…，连接A 1B 1，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 2，A 3B 3，A 4B 3…，过抛物线各顶点作x 轴的垂线，如图所示：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴∠B 1A 1A 2=60°，∵顶点都在直线3上，设13()B m ， ∴OC 1=m ，113B C m =， ∴111113tan 3B C B OC OC ==∠， ∴∠B 1OC 1=30°，∴∠OB 1A 1=30°， ∴OA 1=A 1B 1=2=A 2B 1，∴A 1C 1=A 1B 1•cos60°=1，1111sin603B C A B =⋅︒∴OC 1=OA 1+A 1C 1=3， ∴13)B ，A 2(4，0)，设T 1的解析式为：2(3)3y a x =-+ 则20(23)3a =-+ ∴3a =∴T 1：23(3)3y x =--+同理，T 2的解析式为：23(6)232y x =--+， T 3的解析式为：2312)3y x =-+ …则T n 的解析式为：12113(32)232n n n y x ---=--⨯+，故答案为：1213(32)23n n y x --=--⨯+． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中锐角三角函数值的应用，直线表达式的应用，图形规律中类比归纳思想的应用，顶点式设二次函数解析式并求解，掌握二次函数解析式的求解是解题的关键． 17．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005 发芽频率0.8500.7450.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为___（精确到0.1）． 【答案】0.1【分析】6批次种子粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.101，所以估计种子发芽的概率为0.101，再精确到0.1，即可得出答案．【详解】根据题干知：当种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.101， 故可以估计种子发芽的概率为0.101，精确到0.1，即为0.1，故本题答案为：0.1． 【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 18．如图，矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线ky x=相交于点D ，且:5:3OB OD =，则k =________．【答案】12 【解析】试题分析：由题意，设点D 的坐标为（x ，y ）， 则点B 的坐标为（，），所以矩形OABC 的面积，解得∵图象在第一象限， ∴.考点：反比例系数k的几何意义点评：反比例系数k的几何意义是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.三、解答题（本题包括8个小题）19．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．（1）用画树状图法或列表法分析这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；（2）求一辆车向右转，一辆车向左转的概率；（3）求至少有一辆车直行的概率．【答案】（1）见解析；（2）P（一辆车向右转，一辆车向左转）2 9=．（3）P（至少有一辆汽车直行）5 9=．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案；（3）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案.【详解】解：（1）如图：可以看出所有可能出现的结果共9种，即：直左，直直，直右，左左，左直，左右，右直，右左，右右．它们出现的可能性相等．（2）一辆车向右转，一辆车向左转的结果有2种，即：左右，右左．∴P（一辆车向右转，一辆车向左转）29 =．（3）至少有一辆汽车直行的结果有5种，即：左直，直左，直直，直右，右直．∴P（至少有一辆汽车直行）59 =．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O 的切线BF，F为切点．（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB 的面积分别为S1、S2、S3，求123S SS的值．【答案】（1）CM＝53；（2）r＝22﹣2；（3）1．【分析】（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．首先证明CM＝2OD，设AO＝CO＝r，在Rt△CDO 中，根据OC2＝CD2+OD2，构建方程求出r即可解决问题．（2）证明△OEF，△ABE都是等腰直角三角形，设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝2r，根据AE＝2，构建方程即可解决问题．（3）分别求出S1、S2、S3的值即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．∵OH⊥CM，∴MH＝CH，∠OHC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠HCD＝90°，∴四边形CDOH是矩形，∴CH＝OD，CM＝2OD，设AO＝CO＝r，在Rt△CDO中，∵OC2＝CD2+OD2，∴r2＝22+（3﹣r）2，∴r＝136，∴OD＝3﹣r＝56，∴CM＝2OD＝53．（2）如图2中，∵BE是⊙O的切线，∴OF⊥BE，∵EF＝FO，∴∠FEO＝45°，∵∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝BE＝2，设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝2r，∴r+2r＝2，∴r＝22﹣2．（3）如图3中，由题意：直线AB，直线BH，直线CD都是⊙O的切线，∴BA＝BF＝2，FH＝HD，设FH＝HD＝x，在Rt△BCH中，∵BH2＝BC2+CH2，∴（2+x）2＝32+（2﹣x）2，∴x＝98，∴CH＝78，∴S1＝17213= 2816⨯⨯S2＝193272=28216⨯⨯⨯，S3＝132222⨯⨯⨯＝3，∴1232127+1616==13S SS+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．21．如图，在O中，AC CB=，CD OA⊥于点D，CE OB⊥于点E.（1）求证：CD CE=；（2）若120,2AOB OA∠=︒=，求四边形DOEC的面积.【答案】（1）见解析；（2）3四边形=CDOES【分析】（1）连接OC，先根据AC CB=得出∠AOC=∠BOC，利用角平分线的性质即可得出结论；（2）在直角三角形中利用30︒的特性结合勾股定理，利用面积公式即可求得CDO的面积，同理可求得CEO的面积，继而求得答案．【详解】（1）连接OC，∵AC BC=，∴AOC BOC∠=∠，∵,CD OA CE OB⊥⊥，∴CD CE=；（2）∵120,AOB AOC BOC∠=︒∠=∠，∴60AOC∠=︒，∵90CDO∠=︒，∴30OCD ∠=︒， ∵2OC OA ==， ∴112CD OC ==， ∴223CD OC OD =-=， ∴1322CDO S OD CD ∆=⋅=， 同理可得32CED S ∆=， ∴3CDO CDOE CED S S S ∆∆=+=四边形． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．22．某校一课外活动小组为了了解学生最喜欢的球类运动况,随机抽查了本校九年级的200名学生,调查的结果如图所示，请根据该扇形统计图解答以下问题：(1)图中x 的值是________；(2)被查的200名生中最喜欢球运动的学生有________人；(3)若由3名最喜欢篮球运动的学生(记为123A A A 、、),1名最喜欢乒乓球运动的学生(记为B ),1名最喜欢足球运动的学生(记为C )组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长(不分正副),列出所有可能情况,并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率． 【答案】（1）35；（2）190；（3）所有可能的情况见解析，310． 【分析】（1）考查了扇形图的性质，根据所有小扇形的百分数和为100%即可得； （2）根据扇形图求出最喜欢球运动的学生人数对应的百分比，从而即可得；（3）先列出所有可能的结果，再找出2人均为最喜欢篮球运动的学生的结果，最后利用概率公式求解即可．【详解】（1）由题得：%5%15%45%100%x +++= 解得：35x = 故答案为：35；（2）最喜欢球运动的学生人数为200(15%45%35%)190⨯++=（人） 故答案为：190；（3）用123,,A A A 表示3名最喜欢篮球运动的学生，B 表示1名最喜欢乒乓球运动的学生，C 表示1名喜欢足球运动的学生，则从5人中选出2人的所有可能的情况10种，即有121311232233(,),(,),(,,,)),(),(),(),(),(),(,),(,,,,A A A A A B A C A A A B A C A B A C B C ，它们每一种出现的可能性相等选出的2人均是最喜欢篮球运动的学生的情况有3种，即121323,),(,),(,)(A A A A A A 则选出2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率为310P =． 【点睛】本题考查了扇形统计图的概念及性质、利用列举法求概率，较难的是（3），依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键． 23．先化简，再求值：2111x y x y xy y⎛⎫+÷⎪+-+⎝⎭，其中x2，y2. 【答案】2xy x y - ，12【解析】试题分析：先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x 、y 的值代入求解可得． 解：原式=1[]()()()()()x y x y x y x y x y x y y x y -++÷+-+-+=2()()()x y x y x y x y ⋅++- =2xyx y-当2x =，2y =时，原式=24=12． 点睛：本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键． 24．解方程：2240x x --=； 【答案】【详解】22215,(1)5,1x x x x -+=-=-=25．小瑜同学想测量小区内某栋楼房MA 的高度，设计测量方案如下：她从楼底A 处前行5米到达B 处，沿斜坡BD 向上行走16米，到达坡顶D 处（A 、B 、C 在同一条直线上），已知斜坡BD 的坡角α为12.8°，小瑜的眼睛到地面的距离DE 为1.7米，她站在坡顶测得楼顶M 的仰角恰好为45°．根据以上数据，请你求出楼房MA 的高度．（计算结果精确到0.1米）（参考数据：sin12.8°≈1150，cos12.8°≈3940，tan12.8°≈940）【答案】楼房MA 的高度约为25.8米【分析】根据△BCD 是直角三角形，利用正弦和余弦可以求出CD ，BC 的长度，则可得到EC ，EF 的长度，再根据45MEF，EF MF =，利用四边形ECAF 是矩形，即可得到MA 的长．【详解】解：在Rt △BCD 中， 11sin12.816 3.5250CD BD 39cos12.81615.640BCBD∴ 3.52 1.7 5.22EC CD DE ，15.6520.6ACBCAB在矩形ECAF 中，AF=EC=5.22，EF=AC=20.6 在Rt △EFM 中，tan 4520.6MF EF =⋅︒= ∴20.6 5.2225.8225.8MAMFAF，答：楼房MA 的高度约为25.8米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．26．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90100x ；B 组：8090x <；C 组：7080x <；D 组：6070x <；E 组：60x <），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有______人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在______组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？【答案】（1）400，图详见解析；（2）B；（3）660人.【分析】（1）用E组的人数除以E组所占的百分比即可得出学生总人数；根据总人数乘以B组所占百分比可得B组的人数，利用A、C各组的人数除以总人数即得A、C两组所占百分比，进而可补全两幅统计图；（2）根据中位数的定义判断即可；（3）利用总人数乘以A、B两组的百分比之和求解即可．【详解】解：（1）40÷10%=400，∴抽取的学生共有400人；B组人数为：400×30%=120，A组占：100÷400=25%，C组占：80÷400=20%，补全统计图如下：故答案为：400；（2）∵A组有100人，B组有120人，C组有80人，D组有60人，E组有40人，∴400的最中间的两个数在B组，∴测试成绩的中位数落在B组．故答案为：B；（3）1200×（25%+30%）＝660，∴该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到解题的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．27．如图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象（如图）：（1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式：（2）求出所输出的y的值中最小一个数值；（3）写出当x满足什么范围时，输出的y的值满足3≤y≤1．【答案】（1）当时，y=34x+3；当时y=(x-1)2+2（2）最小值2 （3）0≤x≤5或7≤x≤2【解析】（1）当0≤x≤4时，函数关系式为y=34x+3；当x＞4时，函数关系式为y=（x﹣1）2+2；（2）根据一次函数与二次函数的性质，分别求出自变量在其取值范围内的最小值，然后比较即可；（3）由题意，可得不等式33343364xx⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩和22(6)23(6)26xx⎧-+≥⎨-+≤⎩，解答出x的值即可．【详解】解：（1）由图可知，当0≤x≤4时，y=34x+3；当x＞4时，y=（x﹣1）2+2；（2）当0≤x≤4时，y=34x+3，此时y随x的增大而增大，∴当x=0时，y=34x+3有最小值，为y=3；当x＞4时，y=（x﹣1）2+2，y在顶点处取最小值，即当x=1时，y=（x﹣1）2+2的最小值为y=2；∴所输出的y的值中最小一个数值为2；（3）由题意得，当0≤x≤4时33343364x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩， 解得，0≤x≤4；当x ＞4时，22(6)23(6)26x x ⎧-+≥⎨-+≤⎩， 解得，4≤x≤5或7≤x≤2；综上，x 的取值范围是：0≤x≤5或7≤x≤2．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列事件属于必然事件的是（）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B．掷一次骰子，向上一面的点数是6C．任意画一个五边形，其内角和是540°D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【答案】C【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【详解】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．B、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件．C、任意画一个五边形，其内角和是540°，是必然事件．D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件．故选：C．【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．如图，反比例函数1yx=的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】比例系数k=1＞0，根据反比例函数图像的特点可判断出函数图像．【详解】∵比例系数k=1＞0∴反比例函数经过一、三象限故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图像的分布，当k>0时，函数位于一、三象限．当k＜0时，函数位于二、四象限．3．使得关于x的不等式组72446x mx m>-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使分式方程1333m xx x--=--有非负整数解的所有的整数m的和是( )A．-8 B．-10 C．-16 D．-18 【答案】D【分析】根据不等式组的解集的情况，得出关于m 的不等式，求得m 的取值范围，再解分式方程得出x ，根据x 是非负整数，得出m 所有值的和．【详解】解：∵关于x 的不等式组72446x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解752m x m -<≤-， 则752m m -<-，∴4m < ， 又∵分式方程1333m x x x --=--有非负整数解， ∴104m x += 为非负整数， ∵4m <，∴m = -10，-6，-2由106218---=-，故答案选D ．【点睛】本题考查含参数的不等式组及含参数的分式方程，能够准确解出不等式组及方程是解题的关键． 4．某篮球队14名队员的年龄如表：则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）A ．18，19B ．19，19C ．18，4D ．5，4 【答案】A【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】∵这组数据中最多的数是18，∴这14名队员年龄的众数是18岁，∵这组数据中间的两个数是19、19，∴中位数是19192+＝19（岁）， 故选：A ．【点睛】本题考查众数和中位数，将一组数据从小到大的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数；熟练掌握定义是解题关键．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，A ∠、B 、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果a=3b ，那么∠A 的余切值为（ ）A ．13B ．3C ．4D ．10【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA=b a ，即可得出答案． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a=3b ， ∴1cot 3b a A ==； 故选择：A.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．6．已知函数()22y x =--的图像上两点()1,A a y ，()21,B y ，其中1a <，则1y 与2y 的大小关系为（ ） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法判断【答案】B 【分析】由二次函数()22y x =--可知，此函数的对称轴为x ＝2，二次项系数a ＝−1＜0，故此函数的图象开口向下，有最大值；函数图象上的点与坐标轴越接近，则函数值越大，故可求解．【详解】函数的对称轴为x ＝2，二次函数()22y x =--开口向下，有最大值，∵1a <，A 到对称轴x ＝2的距离比B 点到对称轴的距离远，∴12y y <故选：B ．【点睛】本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象性质． 7．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为( )A ．1B ．12C ．14D ．15 【答案】B【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面， 所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12， 故选B ．【点睛】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=1．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣91255，）B．（﹣12955，）C．（﹣161255，）D．（﹣121655，）【答案】A【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【详解】过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠1，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=1，∴OA1=5，A1M=1，∴OM=4，∴设NO=1x，则NC1=4x，OC1=1，则（1x）2+（4x）2=9，解得：x=±35（负数舍去），则NO=95，NC1=125，故点C的对应点C1的坐标为：（-95，125）．故选A．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．9．若点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝kx（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．2y ＜3y ＜1yC ． 1y ＜3y ＜2yD ． 3y ＜2y ＜1y 【答案】D【分析】先根据反比例函数中k ＞1判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y ＝xk 中k ＞1， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵﹣2＜1，∴点C （﹣2，y 2）位于第三象限，∴y 2＜1，∵1＜1＜2，∴点A （1，y 1），B （2，y 2）位于第一象限，∴y 1＞y 2＞1．∴y 1＞y 2＞y 2．故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数图象所在象限及增减性是解答此题的关键． 10．若23a b =，则a b a+=（ ） A ．32 B ．52 C ．23 D ．53【答案】B【解析】根据合并性质解答即可，对于实数a ，b ，c ，d ，且有b≠0，d≠0，如果a cb d =，则有a bcd b d ++=. 【详解】23a b =， 32b a ∴=， 23522a b a ++∴==， 故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握合比性质是解答本题的关键.合比性质：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比. 11．反比例函数图象的一支如图所示,POM ∆的面积为2,则该函数的解析式是（ ）A ．2y x =B ．4y x =C ．2y x =-D ．4y x=- 【答案】D【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义, 由△POM 的面积为2, 可知12|k|=2, 再结合图象所在的象限, 确定k 的值, 则函数的解析式即可求出.【详解】解:△POM 的面积为2, ∴S=12|k|=2,4k ∴=±, 又图象在第四象限,∴k<0,∴k=-4,∴反比例函数的解析式为:4 y x=-. 故选D.【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k 与其图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、 向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系, 即S= 12|k|. 12．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．15πB ．20πC ．24πD ．30π 【答案】A【解析】试题分析：∵圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，∴这个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5.∴这个圆锥的侧面积=1523152ππ⋅⋅⋅=． 故选A ．考点：1.简单几何体的三视图；2.圆锥的计算．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，已知反比例函数y=2x 与一次函数y=x+1的图象交于点A （a ，﹣1）、B （1，b ），则不等式2x≥x+1的解集为________．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点P的坐标为(2,2)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且90APB∠=，下列结论：=①PA PB=时四边形OAPB是正方形②当OA OB③四边形OAPB的面积和周长都是定值>，其中正确的有（）④连接OP，AB，则AB OPA．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】A【分析】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，易得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=1，证得△APM≌△BPN，可对①进行判断，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM=2，当OA=OB时，OA=OB=1，然后可对②作出判断，由△APM≌△BPN可对四边形OAPB的面积作出判断，由OA+OB=2，然后依据AP 和PB的长度变化情况可对四边形OAPB的周长作出判断，求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断．【详解】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，∵P(1，1)，∴PN=PM=1．∵x轴⊥y轴，∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，则四边形MONP是正方形，∴OM=ON=PN=PM=1，∵∠MPN=∠APB=90°，∴∠MPA=∠NPB．在△MPA≌△NPB中，MPA NPB PM PN PMA PNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△MPA ≌△NPB ，∴PA=PB ，故①正确．∵△MPA ≌△NPB ，∴AM=BN ，∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2．当OA=OB ，即OA=OB=1时，则点A 、B 分别与点M 、N 重合，此时四边形OAPB 是正方形，故②正确．∵△MPA ≌△NPB ，∴PNB PMA PMON OAPB AONP AONP 4S S S S S S =+=+==正方形四边形四边形四边形．∵OA+OB=2，PA=PB ，且PA 和PB 的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误．∵∠AOB+∠APB=180°，∴点A 、O 、B 、P 共圆，且AB 为直径，所以AB≥OP ，故④错误．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，圆周角定理，关键是推出AM=BN 和推出OA+OB=OM+ON2．若14b a b =-，则a b的值为( ) A ．5 B ．15 C ．3 D ．13【答案】A 【分析】根据比例的性质，可用b 表示a ，根据分式的性质，可得答案． 【详解】由14b a b =-，得 4b ＝a−b ．，解得a ＝5b ，55a b b b== 故选：A ．【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b 表示a 是解题关键．3．如图，在直线l 上有相距7cm 的两点A 和O （点A 在点O 的右侧），以O 为圆心作半径为1cm 的圆，过点A 作直线AB l ⊥.将O 以2cm /s 的速度向右移动（点O 始终在直线l 上），则O 与直线AB 在______秒时相切.A ．3B ．3.5C ．3或4D ．3或3.5 【答案】C【分析】根据O 与直线AB 的相对位置分类讨论：当O 在直线AB 左侧并与直线AB 相切时，根据题意，先计算O 运动的路程，从而求出运动时间；当O 在直线AB 右侧并与直线AB 相切时，原理同上.【详解】解：当O 在直线AB 左侧并与直线AB 相切时，如图所示1O ∵1O 的半径为1cm ，AO=7cm ∴O 运动的路程1OO =AO －1AO =6cm ∵O 以2cm /s 的速度向右移动∴此时的运动时间为：1OO ÷2=3s ；当O 在直线AB 右侧并与直线AB 相切时，如图所示2O∵2O 的半径为1cm ，AO=7cm∴O 运动的路程2OO =AO ＋2AO =8cm ∵O 以2cm /s 的速度向右移动∴此时的运动时间为：2OO ÷2=4s ；综上所述：O 与直线AB 在3或4秒时相切 故选：C.【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系：相切和动圆问题，掌握相切的定义和行程问题公式：时间=路程÷速度是解决此题的关键.4．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．180 【答案】C【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π， ∴42180n ππ⨯= 解得：90n =，即其圆心角度数是90︒故选C．【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．5．下列方程中没有实数根的是（）A．210x x--=B．2320x x++=C．2201911200x x+-=D．220x x++=【答案】D【分析】分别计算出判别式△＝b2−4ac的值，然后根据判别式的意义分别判断即可．【详解】解：A、△＝21411＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；B、△＝32−4×1×2＝1＞0，方程有两个不相等的实数根；C、△＝112−4×2019×（−20）＝161641＞0，方程有两个不相等的实数根；D、△＝12−4×1×2＝−7＜0，方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac的意义，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6．已知函数kyx=的图象过点(1,-2)，则该函数的图象必在（）A．第二、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第三、四象限【答案】B【解析】试题分析：对于反比例函数y=，当k>0时，函数图像在一、三象限；当k<0时，函数图像在二、四象限.根据题意可得：k=－2.考点：反比例函数的性质7．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )A．q<16 B．q>16C．q≤4D．q≥4【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82-4q>0，∴q<16，故选 A.8．关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x+1＝0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．1B ．﹣4C ．3D ．4 【答案】D【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】由题意可知：△＝16﹣4a≥0且a≠0，∴a≤4且a≠0，所以a 的最大值为4，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.9．在 Rt ABC 中，90C ∠=，5AB =，3BC =，则 sin A 的值是（ ）A ．35B ．53C ．45D ．34【答案】A【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：sinA=BC AB =35．故选A ．【点睛】本题考查了锐角正弦函数的定义.10．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：A ．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A 选项错误；B ．∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B 选项正确．C ．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C 选项错误；D ．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B 选项错误．考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．11．在一个不透明的袋子中共装有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有3个红球，5个黄球，若随机摸出一个红球的概率为14，则这个袋子中蓝球的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．12个【答案】B【分析】设蓝球有x个，根据摸出一个球是红球的概率是14，得出方程即可求出x．【详解】设蓝球有x个，依题意得31 354x= ++解得x=4，经检验，x=4是原方程的解，故蓝球有4个，选B.【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．12．若锐角α满足cosα＜2且tanαα的范围是()A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【答案】B【详解】∵α是锐角，∴cosα>0，∵，∴0<cosα<2，又∵cos90°=0,cos45°=2，∴45°<α<90°；∵α是锐角，∴tanα>0，∵∴又∵tan0°=0,tan60°=3， 0<α<60°；故45°<α<60°. 故选B.【点睛】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键二、填空题（本题包括8个小题）13．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90N 和0.3m ，则动力1F （单位：N ）与动力臂1L （单位：m ）之间的函数解析式是__________．【答案】1127F L = 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而代入已知数据即可得解．【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴11900.3F L ⨯=⨯∴1127F L = 故答案为：1127F L =． 【点睛】本题考查的知识点是用待定系数法求反比例函数解析式，解此题的关键是要知道阻力×阻力臂=动力×动力臂．14．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A,E,F 在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E,F. 若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．10【详解】设直线AE 的解析式为:y=kx+21.2.把E （20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,∴k=-0.6,∴y=-0.6x+21.2.把y=6.2代入得，-0.6x+21.2=6.2，∴x=25,∴F(25,6.2).设抛物线解析式为：y=ax 2+bx+1.2,把E （20,9.2）, F(25,6.2)代入得，40020 1.29.262525 1.2 6.2a b a b ++=⎧⎨++=⎩ ，解之得：0.041.2a b =-⎧⎨=⎩， ∴y=-0.04x 2+1.2x+1.2，设向上平移0.4m ，向左后退了hm, 恰好把水喷到F 处进行灭火由题意得y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,把F(25,6.2)代入得，6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4，整理得：h 2+20h-10=0,解之得：110x =-,210x =-（舍去）.∴向后退了10)m10【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE 的解析式为:y=kx+21.2.把E （20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F 的坐标.把E （20,9.2）, F(25,6.2)代入y=ax 2+bx+1.2求出二次函数解析式.设向左平移了hm ，表示出平移后的解析式，把点F 的坐标代入可求出k 的值. 15．若扇形的半径为3，圆心角120︒，为则此扇形的弧长是________.【答案】2π 【解析】根据弧长公式可得：1203180π⨯⨯=2π， 故答案为2π.16．在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为_______千米.【答案】1【解析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．【详解】根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：A，B两地的实际距离为2.6×1000000＝100000（cm）＝1（千米）．故答案为1．【点睛】本题考查了线段的比．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．17．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D两点分别在反比例函数y＝﹣3x（x＜0）与y＝kx（x＞0）的图象上，若▱ABCD的面积为4，则k的值为：_____．【答案】2【分析】连接OA、OD，如图，利用平行四边形的性质得AD垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△ODE，所以S△OAD＝32+2k，，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABCD的面积＝2S△OAD＝2，即可求出k的值．【详解】连接OA、OD，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD垂直y轴，∴S△OAE＝12×|﹣3|＝32，S△ODE＝12×|k|，∴S△OAD＝32+2k，∵▱ABCD的面积＝2S△OAD＝2．∴3+|k|＝2，∵k＞0，解得k＝2，故答案为2．【点睛】此题考查平行四边形的性质、反比例函数的性质，反比例函数图形上任意一点向两个坐标轴作垂线构成的矩形面积等于k ，再与原点连线分矩形为两个三角形，面积等于2k.18．若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则a _____0（填“＝”或“>”或“<”）．【答案】<【解析】由二次函数2y ax bx =+图象的开口向下，可得0a <．【详解】解：∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，∴0a <．故答案是：<．【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线y ＝a （x+3）（x ﹣1）（a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求点A 与点B 的坐标；（2）若a ＝13，点M 是抛物线上一动点，若满足∠MAO 不大于45°，求点M 的横坐标m 的取值范围． （3）经过点B 的直线l ：y ＝kx+b 与y 轴正半轴交于点C ．与抛物线的另一个交点为点D ，且CD ＝4BC ．若点P 在抛物线对称轴上，点Q 在抛物线上，以点B ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A （﹣3，0），B （1，0）；（2）M （4，7）；﹣2≤m ≤4；（3）点P 的坐标为P （﹣1，4）或（﹣1，2677）． 【分析】（1）y ＝a （x+3）（x ﹣1）,令y ＝0,则x ＝1或﹣3,即可求解;（2）分∠MAO=45°,∠M′AO =45°两种情况,分别求解即可;（3）分当BD 是矩形的边, BD 是矩形的边两种情况,分别求解即可．【详解】（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,则x＝1或﹣3, 故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）,（1，0）;（2）抛物线的表达式为:y＝13（x+3）（x﹣1）①,当∠MAO＝45°时,如图所示,则直线AM的表达式为:y＝x②,联立①②并解得:m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3）,故点M（4,7）;②∠M′AO＝45°时,同理可得:点M（﹣2,﹣1）;故:﹣2≤m≤4;（3）①当BD是矩形的对角线时,如图2所示,过点Q作x轴的平行线EF,过点B作BE⊥EF,过点D作DF⊥EF,抛物线的表达式为:y＝ax2+2ax﹣3a,函数的对称轴为:x＝1,抛物线点A、B的坐标分别为:（﹣3,0）、（1，0）,则点P的横坐标为:1,OB＝1, 而CD＝4BC,则点D的横坐标为：﹣4,故点D（﹣4,5a）,即HD＝5a,线段BD的中点K的横坐标为:41322-+=-,则点Q的横坐标为:﹣2,则点Q（﹣2,﹣3a）,则HF＝BE＝3a,∵∠DQF+∠BQE＝90°,∠BQE+∠QBE＝90°,∴∠QBE＝∠DQF,∴△DFQ∽△QEB,则DF FQQE BE=,8233aa=,解得:a＝12±（舍去负值）,同理△PGB≌△DFQ（AAS）,∴PG＝DF＝8a＝4,故点P（﹣1,4）;②如图3,当BD是矩形的边时,作DI⊥x轴,QN⊥x轴,过点P作PL⊥DI于点L, 同理△PLD≌△BNQ（AAS）,∴BN＝PL＝3,∴点Q的横坐标为4,则点Q（4,21a）,则QN＝DL＝21a,同理△PLD∽△DIB,∴PL LDDI BI=,即32155aa=,解得:a＝7±（舍去负值），LI＝26a＝267,故点P（﹣1,267）;综上,点P的坐标为:P（﹣1,4）或（﹣1, 267）．【点睛】本题主要考查的是二次函数综合运用,涉及到矩形的性质、图形的全等和相似等,其中（2）、（3）,要注意分类求解,避免遗漏．20．如图，已知AB是O的一条弦，请用尺规作图法找出AB的中点D．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作线段AB的垂直平分线即可得到AB的中点D.【详解】如图，作线段AB的垂直平分线即可得到AB的中点D.【点睛】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，掌握画图方法是解题的关键.21．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．【答案】（1）∠BDC=12α；（2）∠ACE=β；（3）DE=92．【分析】（1）连接AD，设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，证明∠DAB＝β−γ，β＝90°−γ，∠ABD ＝2γ，得出∠ABD＝2∠BDC，即可得出结果；（2）连接BC，由直角三角形内角和证明∠ACE＝∠ABC，由点C为弧ABD中点，得出∠ADC＝∠CAD＝∠ABC ＝β，即可得出结果；（3）连接OC，证明∠COB＝∠ABD，得出△OCH∽△ABD，则OHBD＝OCAB＝12，求出BD＝2OH＝10，由勾股定理得出AB22AD BD+26，则AO＝13，AH＝AO＋OH＝18，证明△AHE∽△ADB，得出AH AD＝AEAB，求出AE＝392，即可得出结果．【详解】（1）连接AD，如图1所示：设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，∵点C为弧ABD中点，∴AC CD=，∴∠ADC＝∠CAD＝β，∴∠DAB＝β﹣γ，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴γ+β＝90°，∴β＝90°﹣γ，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝12∠ABD＝12α；（2）连接BC，如图2所示：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∵点C为弧ABD中点，∴AC CD=，∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，∴∠ACE＝β；（3）连接OC，如图3所示：∴∠COB＝2∠CAB，∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，∴∠COB＝∠ABD，∵∠OHC＝∠ADB＝90°，∴△OCH∽△ABD，∴OHBD＝OCAB＝12，∴BD＝2OH＝10，∴AB26，∴AO＝13，∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，∴△AHE∽△ADB，∴AHAD＝AEAB，即1824＝AE26，∴AE＝392，∴DE＝AD﹣AE＝24﹣392＝92．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键．22．（1）计算：2sin 60tan 452cos60︒︒︒-+；（2）解方程：2450x x -=+．【答案】（1）34；（2）11x =，25x =- 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原式=23133(12112244-+⨯=-+= （2）原方程可变形为(5)(1)0x x +-=50x +=或10x -=125,1x x ∴=-=【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值及因式分解法是解题的关键．23．在△ABC 中， AB=12，AC=9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 与相似，如果AE=6，那么线段AD 的长是______．【答案】8或92； 【分析】分类讨论：当ADE ABC ∆∆∽，根据相似的性质得AD AE AB AC =；当AED ABC ∆∆∽，根据相似的性质得AE AD AB AC=，然后分别利用比例性质求解即可． 【详解】解：DAE BAC ∠=∠，∴当ADE ABC ∆∆∽，则AD AE AB AC =，即6129AD =，解得8AD =； 当AED ABC ∆∆∽，则AE AD AB AC =，即6129AD =，解得9 2AD =， 综上所述，AD 的长为8或92． 故答案为：8或92． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键.24．为测量观光塔高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，请根据以上观测数据求观光塔的高．【答案】135【分析】根据“爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°”可以求出AD 的长，然后根据“在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°”求出CD 的长即可.【详解】∵爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt △ABD 中，AD= 30AB tan ︒，∴AD=45 3m ， ∵在一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，∴在Rt △ACD 中，CD=AD•tan60°=45 3×3=135m.故观光塔高度为135m ．【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.25．如图，点A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AD 是⊙O 的直径，过点C 的切线与AB 的延长线垂直于点E ，连接AC 、BD 相交于点F ．（1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）若⊙O 的半径为72，AC ＝6，求DF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）713． 【分析】（1）连接OC ，先证明OC ∥AE ，从而得∠OCA ＝∠EAC ，再利用OA ＝OC 得∠OAC ＝∠OCA ，等量代换即可证得答案；（2）设OC 交BD 于点G ，连接DC ，先证明△ACD ∽△AEC ，从而利用相似三角形的性质解得6137CE =，再利用DC DG DF DC=＝cos ∠FDC ，代入相关线段的长可求得DF ． 【详解】（1）证明：如图，连接OC∵过点C 的切线与AB 的延长线垂直于点E ，∴OC ⊥CE ，CE ⊥AE∴OC ∥AE∴∠OCA＝∠EAC∵OA＝OC∴∠OAC＝∠OCA∴∠OAC＝∠EAC，即AC平分∠BAD；（2）如图，设OC交BD于点G，连接DC∵AD为直径∴∠ACD＝90°，∠ABD＝90°∵CE⊥AE∴DB∥CE∵OC⊥CE∴OC⊥BD∴DG＝BG∵∠OAC＝∠EAC，∠ACD＝90°＝∠E∴△ACD∽△AEC∴CE CD AC AD=∵⊙O的半径为72，AC＝6∴AD＝7，227613CD=-=∴13 67 CE=∴613 CE=易得四边形BECG为矩形∴DG＝BG＝613 CE=∵DC DGDF DC=＝cos∠FDC=解得：6DF =∴DF 的长为6. 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，借助辅助线，判定△ACD ∽△AEC ，再根据相似三角形的性质求解. 26．请回答下列问题．（1）计算：()()2018012cos302tan 601-+︒+-︒- （2）解方程：2320x x --=【答案】（1）-4；（2）1x =，2x =. 【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算乘方，再进行二次根式的运算即可；（2）用公式法解方程即可.【详解】解：（1）原式= 12212+++= 123-=-4；（2）2(3)41(2)∆=--⨯⨯-=17∴1x =，2x =， 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算、一元二次方程的解法，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，点P 从点A 出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C 的方向运动；同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D 的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t 秒．（1）当t ＝ 时，两点停止运动；（2）设△BPQ 的面积面积为S （平方单位）①求S 与t 之间的函数关系式；②求t为何值时，△BPQ面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）1；（2）①当0＜t＜4时，S＝﹣t2+6t，当4≤t＜6时，S＝﹣4t+2，当6＜t≤1时，S＝t2﹣10t+2，②t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为3【分析】（1）求出点Q的运动时间即可判断．（2）①的三个时间段分别求出△PBQ的面积即可．②利用①中结论，求出各个时间段的面积的最大值即可判断．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∴BC+AD＝14cm，∴t＝14÷2＝1，故答案为1．（2）①当0＜t＜4时，S＝12•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t．当4≤t＜6时，S＝12•（6﹣t）×8＝﹣4t+2．当6＜t≤1时，S＝12（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2．②当0＜t＜4时，S＝12•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+3，∵﹣1＜0，∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为3．当4≤t＜6时，S＝12•（6﹣t）×8＝﹣4t+2，∵﹣4＜0，∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，当6＜t≤1时，S＝12（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2＝（t﹣5）2﹣1，t＝1时，△PBQ的面积最大，最大值为3，综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为3．【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，涉及了分类讨论的数学思想，灵活的利用二次函数的性质求三角形面积的最大值是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一元二次方程3x 2＝8x 化成一般形式后，其中二次项系数和一次项系数分别是（ ）A ．3，8B ．3，0C ．3，－8D ．－3，－8【答案】C【分析】要确定二次项系数，一次项系数，常数项，首先要把方程化成一般形式．【详解】解：238x x = 2380x x -=∴二次项系数是3，一次项系数是8-．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】D【解析】由m≤x≤n 和mn ＜0知m ＜0，n ＞0，据此得最小值为1m 为负数，最大值为1n 为正数．将最大值为1n 分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m 时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n 求出，最小值只能由x=m 求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x ﹣1）1+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n ＜1时，当x=m 时y 取最小值，即1m=﹣（m ﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=n 时y 取最大值，即1n=﹣（n ﹣1）1+5， 解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，1m=-（n-1）1+5，n=52，∴m=11 8，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣1+52=12．3．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放篮球比赛B．守株待兔C．明天是晴天D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球.【答案】D【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【详解】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，A不符合题意；守株待兔是随机事件，B不符合题意；明天是晴天是随机事件，C不符合题意在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件，D符合题意.故选：D．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．下列图形中是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的性质对各项进行判断即可．【详解】根据中心对称图形和轴对称图形的性质，只有下图符合故答案为：A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义和性质是解题的关键．5．丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：平均数中位数众数方差8.5 8.3 8.1 0.15如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数【答案】D【解析】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选D.6．如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（）A．1 B．12C．13D．14【答案】B【分析】根据题意，先列举所有的可能结果，然后选取能组成等腰三角形的结果，根据概率公式即可求出答案．【详解】解：根据题意，在A，B，C，D四个点中任选三个点，有：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，共4个三角形；其中是等腰三角形的有：△ACD、△BCD，共2个；∴能够组成等腰三角形的概率为：2142P==；故选：B．【点睛】本题考查了列举法求概率，等腰三角形的性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是熟练掌握列举法求概率，以及正确得到等腰三角形的个数．7．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=【答案】C【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．8．化简8的结果是（）A．22B．42C．2 D．4【答案】A【解析】根据最简二次根式的定义进行化简即可.【详解】84222=⨯=故选：A.【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是关键.9．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【答案】C【详解】解:由图可知，点B 在第四象限．各选项中在第四象限的只有C ．故选C ．10．已知x ＝2是一元二次方程x 2+mx+2＝0的一个解，则m 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．0D ．0或3 【答案】A【分析】直接把x ＝2代入已知方程就得到关于m 的方程，再解此方程即可．【详解】解：∵x ＝2是一元二次方程x 2+mx+2＝0的一个解，∴4+2m+2＝0，∴m ＝﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可.11．如图，将ABC ∆绕点()0,2C 旋转180°得到A B C ∆''，设点A 的坐标为(),a b ，则点A '的坐标为（ ）A ．(),a b --B ．(,2a b --C ．(,2a b --+D ．(,22a b --+ 【答案】D 【分析】点A 与点A '关于点C 对称，C 为点A 与点A '的中点，根据中点公式可以求得.【详解】解：设A '点坐标为(),x y点A 与点A '关于点C 对称，∴C 为点A 与点A '的中点, 即0222x a y b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 解得,22x a y b =-=-+故选D【点睛】本题考查了坐标与图形变换,得出点A 、点A '与点C 之间的关系是关键.12．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),判断即可.【详解】解:根据左视图的定义可知:该几何体的左视图为:故选:B.【点睛】此题考查的是判断一个几何体的左视图,掌握左视图的定义: 由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线),是解决此题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）13112x-x的取值范围是_____．【答案】x≤1【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．1 12x-∴1﹣12x≥0，解得：x≤1．故答案为：x≤1．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．14．在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入x个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，则x=______.【答案】1【分析】根据用频率估计概率即可求出摸到白球的概率，然后利用概率公式列出方程即可求出x的值．【详解】解：∵经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右∴摸到白球的概率为0.95∴30.9513x x+=++ 解得：x =1 经检验：x =1是原方程的解．故答案为：1．【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求数量问题，掌握概率公式是解决此题的关键．15．已知抛物线的对称轴是y 轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为_____．【答案】y ＝x 1+1【分析】根据抛物线的对称轴是y 轴，得到b ＝0，设出适当的表达式，把点（1，3）、（1，6）代入设出的表达式中，求出a 、c 的值，即可确定出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线的对称轴是y 轴，∴设此抛物线的表达式是y ＝ax 1+c ，把点（1，3）、（1，6）代入得：346a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：a ＝1，c ＝1， 则此抛物线的表达式是y ＝x 1+1，故答案为：y ＝x 1+1．【点睛】本题考查代定系数法求函数的解析式，根据抛物线的对称轴是y 轴，得到b ＝0，再设抛物线的表达式是y ＝ax 1+c 是解题的关键.16．如图，菱形的ABCD 边长为4，60DAB ∠=︒，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使PBE ∆的周长最小，则PBE ∆的周长的最小值为__________．【答案】3【分析】连接DE ，因为BE 的长度固定，所以要使△PBE 的周长最小，只需要PB+PE 的长度最小即可．【详解】解：连结DE ．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．59 B ．49 C ．56 D ．13【答案】B【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49． 【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1.以下结论：①2a ＞－b ；②4a ＋2b ＋c ＞0；③m （am ＋b ）＞a ＋b （m 是大于1的实数）；④3a ＋c ＜0其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】根据图象得出函数及对称轴信息，分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系的大小关系．【详解】解：由图象可得：12b x a=-=，则2a+b=0，故①2a ＞－b 错误； 由图象可得：抛物线与x 轴正半轴交点大于2，故4a+2b+c ＜0，故②4a ＋2b ＋c ＞0错误；∵x=1时，二次函数取到最小值，∴m （am+b ）=am 2+bm ＞a+b ，故③m （am ＋b ）＞a ＋b （m 是大于1的实数）正确；∵b=-2a，∴当x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，故④3a＋c＜0错误．综上所述，只有③正确故选：A【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键．3．把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（）A．2:1 B．4:1 C．3:1 D．2:1【答案】A【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，对折后所得的矩形与原矩形相似，则2a b b a=【详解】设原矩形的长为2a，宽为b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，∵对折后所得的矩形与原矩形相似，∴2a bb a=，2：1；故选A．【点睛】理解好：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.4．4的平方根是（）A．2 B．–2 C．±2 D．±1 2【答案】C【分析】根据正数的平方根的求解方法求解即可求得答案．【详解】∵（±1）1=4，∴4的平方根是±1．故选：C．5．（11·大连）某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，则( ) A．甲比乙的产量稳定B．乙比甲的产量稳定C ．甲、乙的产量一样稳定D ．无法确定哪一品种的产量更稳定【答案】A 【解析】方差是刻画波动大小的一个重要的数字.与平均数一样，仍采用样本的波动大小去估计总体的波动大小的方法，方差越小则波动越小，稳定性也越好.【详解】因为s 2甲＝0.002<s 2乙＝0.03，所以，甲比乙的产量稳定.故选A【点睛】本题考核知识点：方差. 解题关键点：理解方差意义.6．用配方法解方程x 2+4x+1＝0时，原方程应变形为( )A ．(x+2)2＝3B ．(x ﹣2)2＝3C ．(x+2)2＝5D ．(x ﹣2)2＝5 【答案】A【分析】先把常数项移到方程右侧，然后配一次项系数一半的平方即可求解．【详解】x 2+4x ＝﹣1，x 2+4x+4＝3，(x+2)2＝3，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握在二次项系数为1的前提下，配一次项系数一半的平方是关键． 7．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 【答案】C【分析】根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形．【详解】解：如图，矩形ABCD 中， ,AC BD ∴=,,,E F G H 分别为四边的中点，1//,,2EF BD EF BD ∴=1//,,2GH BD GH BD = 1,2FG AC = //,,EF GH EF GH ∴=∴ 四边形ABCD 是平行四边形， 11,,,22AC BD EF BD FG AC === ,EF FG ∴=四边形EFGH 是菱形．故选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．8．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】设方程的另一个实数根为x ，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x ＋1=－1，解得x=－1． 故选A ．9．若反比例函数y=k x 的图象经过点（2，﹣1），则k 的值为（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣12D ．12 【答案】A【解析】把点（1，-1）代入解析式得-1=2k ， 解得k=-1．故选A ．10．已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( )A ．2：3B ．4：9C ．3：2D 23 【答案】A【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．【详解】∵两个相似三角形的面积之比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为2：1，∴这两个相似三角形的周长之比为2：1．故选A本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE 是直角三角形时，t的值为（）A．4或5 B．4或7 C．4或5或7 D．4或7或9【答案】D【解析】由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵D为BC中点，∴BD=2cm，∵0≤t＜12，∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm，当∠EDB=90°时，则有AC∥ED，∵D为BC中点，∴E为AB中点，此时AE=4cm，可得t=4；当∠DEB=90°时，∵∠DEB=∠C，∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BE BDBC AB=，即8248t-=，解得t=7；②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9；综上可知t的值为4或7或9，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t 表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t 的方程是解决这类问题的基本思路．12．在△ABC 与△DEF 中，60A D ∠=∠=，AB AC DF DE =，如果∠B=50°，那么∠E 的度数是（ ）． A ．50°；B ．60°；C ．70°；D ．80°． 【答案】C【分析】根据已知可以确定ABCDFE △△；根据对应角相等的性质即可求得C ∠的大小，即可解题． 【详解】解：∵60A D ∠=∠=，AB AC DF DE =， ∴ABC DFE △△B ∴∠与F ∠是对应角，C ∠与E ∠是对应角，故180()180(6050)70E C A B ∠=∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，本题中得出C ∠和E ∠是对应角是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 ．【答案】7【解析】试题分析：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC ．∴CD=BC －BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC ．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD ∽△DCE ．∴AB DC BD CE =，即96CE 23CE=⇒=． ∴AE AC CE 927=-=-=．14．如图，△ABC 和△A′B′C 是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm ．三角板A′B′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A′落在AB 边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为_______cm ．【答案】53π 【分析】根据Rt △ABC 中的30°角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知△AA′C 是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA′旋转所构成的扇形的弧长．【详解】解： ∵在Rt △ABC 中，∠B=30°，AB=10cm ，∴AC=12AB=5cm ． 根据旋转的性质知，A′C=AC ，∴A′C=12AB=5cm ． ∴点A′是斜边AB 的中点，∴AA′=12AB=5cm ． ∴AA′=A′C=AC ，∴∠A′CA=60°．∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为：60551803ππ⨯⨯=（cm ）． 故答案为：53π． 15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝43，⊙A 与BC 相切于点D ，且交AB ，AC 于M ，N 两点，则图中阴影部分的面积是_____（保留π）．【答案】4433π-． 【分析】连接AD ，分别求出△ABC 和扇形AMN 的面积，相减即可得出答案.【详解】解：连接AD ，∵⊙A 与BC 相切于点D ，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠ABD＝∠ACD＝30°，BD＝CD＝123 2BC=，∴AB＝2AD，由勾股定理知BD2+AD2＝AB2，即()223+AD2＝（2AD）2解得AD＝2，∴△ABC的面积＝1143243 22BC AD⨯=⨯⨯=，扇形MAN得面积＝2120243603ππ⨯=，∴阴影部分的面积＝4433π-．故答案为：4433π-．【点睛】本题考查的是圆中求阴影部分的面积，解题关键在于知道阴影部分面积等于三角形ABC的面积减去扇形AMN的面积，要求牢记三角形面积和扇形面积的计算公式.16．如图1，点M，N，P，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，我们称四边形MNPQ是矩形ABCD的内接四边形．已知矩形ABCD，AB＝2BC＝6，若它的内接四边形MNPQ也是矩形，且相邻两边的比为3：1，则AM＝_____．【答案】3 8【分析】证明△AMQ∽△DQP，△PCN∽△NBM，设MA＝x，则DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，PC＝9x﹣3，NB＝27x﹣9，表示出NC，由BC长为3，可得方程，解方程即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形MNPQ为矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∠DQP＝∠QMA，∴△AMQ∽△DQP，同理△PCM∽△NBM，设MA＝x，∵PQ：QM＝3：1，∴DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，PC ＝6﹣（9﹣9x ）＝9x ﹣3，NB ＝3PC ＝27x ﹣9，BM ＝6﹣x ，∴NC ＝1(6)3x -， ∴1(6)2793x x -+-＝3，解得x ＝38． 即AM ＝38． 故答案为：38．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程的思想方法．17．若二次函数24y ax x a =++（a 为常数）的最大值为3,则a 的值为________．【答案】-1【分析】根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解．【详解】由题意得，22444344ac b a a a a--==， 整理得，2340a a --=，解得：1241a a ==-，，∵二次函数有最大值，∴0a <，∴1a =-．故答案为：1-．【点睛】本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a 的正负情况．18．如图，抛物线211322y x x =+-与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点,D E 分别是直线1x =-与抛物线上的点，若点,,,A B D E 围成的四边形是平行四边形，则点E 的坐标为__________.【答案】()4,3-或()2,0或()2,2--【分析】根据二次函数211y=x x 322+-与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B .直接令x=0和y=0求出A ，B 的坐标.再根据平行四边形的性质分情况求出点E 的坐标.【详解】由抛物线的表达式求得点,A B 的坐标分别为()()3,0,0,3--.由题意知当AB 为平行四边形的边时，//AB DE ，且AB DE =，∴线段DE 可由线段AB 平移得到.∵点D 在直线1x =-上，①当点B 的对应点为1D 时，如图，需先将AB 向左平移1个单位长度， 此时点A 的对应点1E 的横坐标为4-，将4x =-代入211322y x x =+-， 得3y =，∴1(4,3)E -.②当点A 的对应点为2D 时，同理，先将AB 向右平移2个单位长度，可得点B 的对应点2E 的横坐标为2， 将2x =代入211322y x x =+-得0y =，∴2(2,0)E 当AB 为平行四边形的对角线时，可知AB 的中点坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵3D 在直线1x =-上，∴根据对称性可知3E 的横坐标为2-，将2x =-代入211322y x x =+- 得2y =-，∴3(2,2)E --.综上所述，点E 的坐标为()4,3-或()2,0或()2,2--.【点睛】 本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是分情况解决问题的思想．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2315344y x x =-+；（2）9；（3）存在点M 的坐标为（315,28）或（1212,77）使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形【分析】(1)根据抛物线经过A 、B 两点，带入解析式，即可求得a 、b 的值.（2）根据PA=PB ，要求四边形PAOC 的周长最小，只要P 、B 、C 三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.（3）首先根据△BQM 为直角三角形，便可分为两种情况QM ⊥BC 和QM ⊥BO ，再结合△QBM ∽△CBO ，根据相似比例便可求解.【详解】解：（1）将点A （1,0），B （4,0）代入抛物线23y ax bx =++中，得： 3016430a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得：34154a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为2315344y x x =-+.（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线52x =.连接BC ，交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC 的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9. (3) 当QM ⊥BC 时，易证△QBM ∽△CBO 所以QM BM OC OB =, 又因为△CQM 为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x, 则BM=5- x所以534x x -= 所以157x .所以QM=CM=157，BM=5- x=207,所以BM:CM=4:3. 过点M 作NM ⊥OB 于N ，则MN//OC, 所以 NM BM BN OC CB OB==, 即4374NM BN == ，所以1216,77MN BN ==, 127ON OB BN =-= 所以点M 的坐标为（1212,77） 当QM ⊥BO 时, 则MQ//OC, 所以 QM BQ OC OB =, 即34QM BQ = 设QM=3t, 则BQ=4t, 又因为△CQM 为等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t又因为QM 2+QB 2=BM 2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得58t =MQ=3t=158,32OQ OB BQ =-=, 所以点M 的坐标为（315,28）. 综上所述，存在点M 的坐标为（315,28）或（1212,77）使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形 【点睛】本题是一道二次函数的综合型题目，难度系数较高，关键在于根据图形化简问题，这道题涉及到一种分类讨论的思想，这是这道题的难点所在，分类讨论思想的关键在于根据直角三角形的直角进行分类的. 20．如图，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交AB 于点C ，交弦AB 于点D .已知12AB =cm ，4CD = c m.（1）求作此残片所在的圆;(不写作法，保留作图痕迹)（2）求（1）中所作圆的半径.【答案】（1）作图见解析；（2）（1）作图见解析；（2）132cm ； 【分析】（1）.由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，因为CD 垂直平分AB ，故作AC 的中垂线交CD 延长线于点O ，则点O 是弧ACB 所在圆的圆心；（2）.在Rt △OAD 中，由勾股定理可求得半径OA 的长即可．【详解】（1）如图点O 即为所求圆的圆心.（2）连接OA ，设OA=xcm ，根据勾股定理得：x 2=62+（x-4）2解得：x=132cm ，故半径为：132cm. 【点睛】 本题考查垂径定理，垂直于弦的直径，平分弦且平分这条弦所对的两条弧，熟练掌握垂径定理是解题关键. 21．如图，在ABC 中，,40=∠=︒AB AC A ，求B 的度数.【答案】70°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求得.【详解】AB AC=B C∴∠=∠180,40A B C A∠+∠+∠=︒∠=︒402180B∴︒+∠=︒70B∴∠=︒故B的度数为70︒.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出B C∠=∠是解题关键.22．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝mx的图象恰好同时经过P、Q两点，求这个反比例函数的解析式．【答案】（1）t＝2s时，△PBQ的面积为1；（2）t为125s或3211s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（3）y＝144 5x【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程求出t即可解决问题．（2）分两种情形分别利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．（3）求出P，Q两点坐标，利用待定系数法构建方程求出t的值即可解决问题．【详解】（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，∵PA＝2t，BQ＝t，∴PB＝8﹣2t，∵△BPQ的面积为1cm2，∴12•（8﹣2t）•t＝1，解得t＝2，∴t＝2s时，△PBQ的面积为1．（2）①当△BPQ∽△BAC时，PBAB＝BQBC，∴828-t＝6t，解得t＝125．②当△BPQ∽△BCA时，BPBC＝BQBA，∴826-t＝8t，解得t＝32 11，∴t为125s或3211s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），∵反比例函数y＝mx的图象恰好同时经过P、Q两点，∴12t＝8（6﹣t），解得t＝125，∴P（245，6），∴1445=m，∴反比例函数的解析式为y＝1445x．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数的性质，属于综合性比较强的题.23．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．【答案】电动扶梯DA的长为2【分析】作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到FC=DE，DF=EC，根据直角三角形的性质求出FC，得到AF 的长，根据正弦的定义计算即可．【详解】作DE⊥BC于E，则四边形DECF 为矩形，∴FC＝DE ，DF ＝EC ，在Rt△DBE 中，∠DBC＝30°， ∴DE 12=BD ＝84， ∴FC＝DE ＝84，∴AF＝AC ﹣FC ＝154﹣84＝70， 在Rt△ADF 中，∠ADF＝45°，∴AD 2=AF ＝702（米）， 答：电动扶梯DA 的长为702米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24．计算:(12)-12cos45° -(2020+π)0+3tan30° 3.【分析】根据负指数次幂的性质、45°的余弦值、任何非0数的0次幂都等于1和30°的正切值计算即可.【详解】解：(12)-12cos45° -(2020+π)0+3tan30° 222-1+33 3=3【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握负指数次幂的性质、45°的余弦值、任何非0数的0次幂都等于1和30°的正切值是解决此题的关键.25．某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y （件）与销售单价x （元）满足函数20100y x =-+，设销售这种饰品每天的利润为W （元）.（1）求W 与x 之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？（3）在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？【答案】（1）221201000=-+-W x x ；（2）销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元；（3）单价定为25元【分析】（1）利用利润=每件的利润×数量即可表示出W 与x 之间的函数表达式；（2）根据二次函数的性质即可求出最大值；（3）令750W =,求出x 值即可.【详解】解：（1）2(2100)(10)21201000W x x x x =-+-=-+-（2）由（1）知，22212010002(30)800W x x x =-+-=--+∵20-<，∴当30x =时，W 有最大值,最大值为800元即销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元.（3）令750W =，即221201000750x x -+-=解得25x =或35x =因为要确保顾客得到优惠所以35x =不符合题意，舍去所以在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为25元【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.26．已知抛物线y ＝x 2﹣bx+2b （b 是常数）．（1）无论b 取何值，该抛物线都经过定点 D ．请写出点D 的坐标．（2）该抛物线的顶点是(m ，n)，当b 取不同的值时，求n 关于m 的函数解析式．（3）若在0≤x≤4的范围内，至少存在一个x 的值，使y ＜0，求b 的取值范围．【答案】（1）(2，1)；（2）n ＝﹣m 2+2m ；（3）1＜b ＜8或0＜b ＜1【分析】（1）当x ＝2时，y ＝1，即可确定点D 的坐标；（2）根据抛物线的顶点坐标即可得n 关于m 的函数解析式；（3）根据抛物线开口向上，对称轴方程，列出不等式组即可求解．【详解】解：（1）当x ＝2时，y ＝1﹣2b+2b ＝1，∴无论b 取何值，该抛物线都经过定点 D ．点D 的坐标为（2，1）；（2）抛物线y ＝x 2﹣bx+2b＝（x ﹣2b ）2+2b ﹣24b 所以抛物线的顶点坐标为（2b ，2b ﹣24b ） ∴n ＝2b ﹣24b ＝﹣m 2+2m ． 所以n 关于m 的函数解析式为：n ＝﹣m 2+2m ．（3）因为抛物线开口向上，对称轴方程x ＝2b ， 根据题意，得 2＜2b ＜1或0＜2b ＜2 解得1＜b ＜8或0＜b ＜1．【点睛】 本题考查二次函数的性质,关键在于牢记基础性质.27．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海.上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度.如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭到达点A 处时，海岸边处的雷达站测得点N 到点A 的距离为8千米，仰角为30.火箭继续直线上升到达点B 处，此时海岸边处的雷达测得点N 的仰角增加15，求此时火箭所在点B 处与A 处的距离． (保留根号)【答案】火箭所在点B 处与A 处的距离()434km ．【分析】在RT △AMN 中根据30°角的余弦值求出AM 和MN 的长度，再在RT △BMN 中根据45°角的求出BM 的长度，即可得出答案.【详解】解：在Rt AMN ∆中，8,30AN km ANM =∠=cos30AM AN∴= 4,cos3043AM km MN AN km ∴===在Rt BMN ∆中，301545MNB ∠=+=BM MN ∴==,()4AB km ∴=答：火箭所在点B 处与A 处的距离()4km .【点睛】本题考查解直角三角形，难度适中，解题关键是根据题目意思构造出直角三角形，再利用锐角三角函数进行求解.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若点M 在抛物线2(3)4y x =+-的对称轴上，则点M 的坐标可能是（ ）A ．（3，-4）B ．（-3，0）C ．（3，0）D ．（0，-4） 【答案】B【解析】试题解析:22(3)4y x =+-， ∴对称轴为x=-3，∵点M 在对称轴上,∴M 点的横坐标为-3，故选B.2．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y=k x（x ＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（ ）A ．4B ．2C ．2D 2【答案】A 【解析】作BD ⊥AC 于D ，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到22，2，再利用AC ⊥x 轴得到C 22），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k 的值．【详解】作BD ⊥AC 于D ，如图，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴22∴2∵AC ⊥x 轴，∴C 2，2，把C 2，2y=k x得22， 故选A ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k 是解题的关键.3．用配方法解一元二次方程2210x x +-=，可将方程配方为A ．()212x +=B ．()210x +=C ．()212x -=D ．()210x -= 【答案】A【解析】试题解析：2210,x x +-= 221,x x +=22111,x x ++=+()21 2.x ∴+=故选A.4．对于二次函数()212y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴1x =C ．顶点坐标是()1,2D ．与x 轴有两个交点 【答案】C【分析】根据抛物线的性质由a=2得到图象开口向上，再根据顶点式得到顶点坐标，再根据对称轴为直线x=1和开口方向和顶点，从而可判断抛物线与x 轴的公共点个数．【详解】解：二次函数y=2（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴没有公共点．故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，其顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下． 5．在反比例函数1m yx 的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1mB ．m 1≥C ．1m <D ．1m【答案】C【分析】根据反比例函数的性质，可得出1-m ＞0，从而得出m 的取值范围． 【详解】∵反比例函数1m yx 的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小， ∴1-m ＞0，解得m ＜1，故答案为m ＜1．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k ＞0时，在每个象限内，y 都随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 都随x 的增大而增大．6．从某多边形的一个顶点出发，可以作4条对角线，则这个多边形的内角和与外角和分别是（ ） A ．900︒；360︒B ．1080︒；360︒C ．1260︒；720︒D ．720︒；720︒ 【答案】A【分析】根据n 边形从一个顶点出发可引出()3n -条对角线，求出n 的值，再根据n 边形的内角和为()2180n -︒，代入公式就可以求出内角和，根据多边形的外角和等于360︒，即可求解．【详解】∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，∴34n -=，解得：7n =，∴内角和()72180900=-︒=︒；任何多边形的外角和都等于360︒．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的对角线，多边形的内角和及外角和定理，是需要熟记的内容，比较简单．求出多边形的边数是解题的关键．7．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90 m ，EC ＝45 m ，CD ＝60 m ，则这条河的宽AB 等于( )A ．120 mB ．67.5 mC ．40 mD ．30 m【答案】A 【解析】∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE, ∴AB BE CD CE=. ∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ， ∴()906012045AB m ⨯== 故选A.8．如图，11OA B ∆，122A A B ∆、233A A B ∆，…是分别以1A 、2A 、3A ，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点()111,C x y ，()222,C x y ，()333,C x y ，…均在反比例函数4y x=（0x >）的图象上.则1210y y y ++⋅⋅⋅的值为（ ）A ．210B ．6C ．42D ．27【答案】A 【分析】过点123C C C ⋯，，分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D ⋯，，，得出△11OA B 为等腰直角三角形，进而求出1y ，再逐一求出2y ，3y …的值，即可得出答案.【详解】如图，过点123C C C ⋯，，分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D ⋯，，∵△11OA B 为等腰直角三角形，斜边1OB 的中点1C 在反比例函数4y x =的图像上 ∴1C (2,2)，即12y =∴1112OD D A ==设21D A a =，则22D C a =此时2C (4+a,a)将2C (4+a,a)代入4y x=得a(4+a)=4 解得222a =或222-(负值舍去)即2222y =同理32322y =-，42423y =-，…，∴12102222232221029210y y y ++⋯+=+-+-+⋯+-=故答案选择A.【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质以及反比例函数上点的特征，难度系数较大，解题关键是根据点在函数图像上求出y 的值.9．若关于x 的方程20x m -=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <B ．0m ≤C ．0m >D ．0m ≥【答案】D【分析】用直接开平方法解方程，然后根据平方根的意义求得m 的取值范围.【详解】解：20x m -= 2x m =∵关于x 的方程20x m -=有实数根∴0m ≥故选：D【点睛】本题考查直接开平方法解方程，注意负数没有平方根是本题的解题关键.10．如图所示的两个三角形（B 、F 、C 、E 四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）A ．点CB ．点DC ．线段BC 的中点D ．线段FC 的中点【答案】D 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．【详解】解：两个三角形（B 、F 、C 、E 四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC 的中点． 故选：D ．【点睛】本题比较容易，考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．11．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，则∠D 的度数为( )A ．140°B ．135°C ．130°D ．125°【答案】C 【分析】根据圆周角定理可知90ACB ∠=︒，再由三角形的内角和可得50B ∠=︒，最后根据圆内接四边形的性质即可得. 【详解】 AB 是半圆O 的直径90ACB ∴∠=︒（圆周角定理）9050B BAC ∴∠=︒-∠=︒180130D B ∴∠=︒-∠=︒（圆内接四边形的对角互补）故选：C.【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、圆内接四边形的性质，掌握灵活运用各定理和性质是解题关键.12．已知AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝6，CD ＝8，⊙O 的半径为5，则AB 与CD 的距离是（ ） A ．1B ．7C ．1或7D ．无法确定【答案】C【分析】由于弦AB 、CD 的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.【详解】解：①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 于点E ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∵AB ＝8，CD ＝6，∴AE ＝4，CF ＝3，∵OA ＝OC ＝5，∴由勾股定理得：EO ＝2254-＝3，OF ＝2253-＝4，∴EF ＝OF ﹣OE ＝1；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，反向延长OE 交AD 于点F ，连接OA ，OC ，EF ＝OF+OE ＝1，所以AB 与CD 之间的距离是1或1．故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 也考查了勾股定理及分类讨论的思想的应用.二、填空题（本题包括8个小题）13．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________【答案】x=±1【解析】移项得x 1=4，∴x=±1．故答案是：x=±1．14．可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg ，将数据0.000085用科学记数法表示为____．【答案】8.1×10-1【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000081=8.1×10-1．故答案为：8.1×10-1．【点睛】。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的周长比为（）A．1:3 B．1:4 C．1:8 D．1:9【答案】A【分析】以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，可得△A′B′C′与△ABC的位似比，然后由相似三角形的性质可得△A′B′C′与△ABC的周长比．【详解】∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，，∴△A′B′C′与△ABC的位似比为：1：1，∴△A′B′C′与△ABC的周长比为：1：1．故选：A．【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意三角形的周长比等于相似比．2．在开展“爱心捐助”的活动中，某团支部8名团员捐款的数额（单位：元）分别为3，5，6，5，6，5，5，10，这组数据的中位数是（）A．3元B．5元C．5.5元D．6元【答案】B【分析】将这组数据从小到大的顺序排列，最中间两个位置的数的平均数为中位数．【详解】将这组数据从小到大的顺序排列3，5，5，5，5，6，6，10，最中间两个位置的数是5和5，所以中位数为（5+5）÷2=5（元），故选：B．【点睛】本题考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．3．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（）A ．150B ．100C ．50D ．200【答案】A 【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，设有草鱼x 条，根据题意得： 10050++x x ＝0.5， 解得：x ＝150，故选：A ．【点睛】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼出现的频率可以计算出鱼的数量． 4．如图，已知等边ABC ∆的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，以C 为圆心，CF 为半径作圆，D 是C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ）A ．23B ．25C ．4D ．6【答案】B 【分析】点E 在以F 为圆心的圆上运动，要使AE 最大，则 AE 过F ,根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F 是BC 的中点，从而得到EF 为△BCD 的中位线，根据平行线的性质证得CD BC ⊥ ,根据勾股定理即可求得结论．【详解】点D 在C 上运动时，点E 在以F 为圆心的圆上运动，要使AE 最大，则AE 过F,连接CD , ∵△ABC 是等边三角形，AB 是直径，∴EF BC 丄 ,∴F 是BC 的中点，∴E 为BD 的中点，∴EF 为△BCD 的中位线，∴ // CD EF ,∴CD BC ⊥ ,4BC = ， 2CD = ，故2216425BD BC CD =+=+= ，故选B ．【点睛】本题考查了圆的动点问题，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、中位线定理、平行线的性质和勾股定理是解题的关键．5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．abc ＜0B ．－3a ＋c ＜0C ．b 2－4ac≥0D ．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c【答案】B 【解析】解：A ．由开口向下，可得a ＜0；又由抛物线与y 轴交于负半轴，可得c ＜0，然后由对称轴在y 轴右侧，得到b 与a 异号，则可得b ＞0，故得abc ＞0，故本选项错误；B ．根据图知对称轴为直线x=2，即2b a-=2，得b=﹣4a ，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a ﹣4a+c=﹣3a+c ＜0，故本选项正确；C ．由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2﹣4ac ＞0，故本选项错误；D ．y=ax 2+bx+c=224()24b ac b a x a a -++，∵2b a - =2，∴原式=224(2)4ac b a x a --+，∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为224ac b y ax 4a -=+，故本选项错误； 故选B ．6．下列函数中，图象不经过点（2，1）的是（ ）A ．y=﹣x 2+5B ．y=2xC ．y=12xD ．y=﹣2x+3【答案】D【分析】根据题意分别计算出当2x=时的各选项中的函数值，然后进一步加以判断即可. 【详解】A：当x=2时，y=−4+5=1，则点（2，1）在抛物线y=−x2+5上，所以A选项错误；B：当x=2时，y=2 2=1，则点（2，1）在双曲线y=2x上，所以B选项错误；C：当x=2时，y=12×2=1，则点（2，1）在直线y=12x上，所以C选项错误；D：当x=2时，y=−4+3=−1，则点（2，1）不在直线y=−2x+3上，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数图像上点的坐标的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.7．如图，ACB∆和ECD∆都是等腰直角三角形，CA CB=，CE CD=，ACB∆的顶点A在ECD∆的斜边DE上，AB、CD交于F，若6AE=，8AD=，则AF的长为（）A．5B．407C．285D．6【答案】B【分析】连接BD，自F点分别作FG AD⊥，FH BD⊥交AD、BD于G、H点，通过证明ECA DCB≅，可得45,6E CDB AE BD︒∠=∠===，根据勾股定理求出AB 的长度，再根据角平分线的性质可得FG FH=，根据三角形面积公式可得34BF AF=，代入10AF BF AB+==中即可求出BF的值．【详解】如图，连接BD，自F点分别作FG AD⊥，FH BD⊥交AD、BD于G、H点∵ACB∆和ECD∆都是等腰直角三角形∴90,45ECD ACB EDC E︒︒∠=∠=∠=∠=90ECA ACD DCB︒∴∠=-∠=∠在△ECA和△DCB中CA CBECA DCBCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ECA DCB∴≅45,6E CDB AE BD︒∴∠=∠===45EDC︒∠=90 ADB EDC CDB︒∴∠=∠+∠=在Rt△ADB中，22AB AD BD=+8,6AD BD==228610AB∴=+=45CDB EDC︒∠=∠=∴DF是∠ADB的角平分线,FG AD FH BD⊥⊥FG FH∴=18421632ADFBDFAD FGS ADS BDBD FH∆⨯∴====⨯∵△ADF底边AF上的高h与△BDF底边BF上的高h相同142132ADFBDFAF hS AFS BFBF h∆∆⨯∴===⨯34BF AF∴=10AF BF AB+==3104AF AF∴+=407AF∴=故答案为：B．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．8．若ABC ∆∽DEF ∆，相似比为1: 2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为（ ）A ．2:1B ．1: 2C ．4:1D ．1:4 【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：周长之比等于相似比解答即可.【详解】解：∵ABC ∆∽DEF ∆，相似比为1: 2，∴ABC ∆与DEF ∆的周长比为1: 2.故选：B.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键. 9．下列式子中最简二次根式是（ ）A B C D 【答案】A【解析】根据最简二次根式的定义：被开方数是整数或整式，且不含开得尽方的因数或因式进行判断即可.【详解】是最简二次根式，符合题意；B. ，不是最简二次根式，不符合题意；C. 被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意；D.故选A.【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.10．已知关于x 的一元二次方程kx 2－2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是( )．A ．k<1B ．k≤1C ．k≤1且k≠0D ．k<1且k≠0【答案】C【解析】分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．关于x 的一元二次方程kx 2-2x+1=1有实数根，则△=b 2-4ac≥1．详解：∵a=k ，b=-2，c=1，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×k×1=4-4k≥1，k≤1，∵k 是二次项系数不能为1，k≠1，即k≤1且k≠1．故选C ．点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．11．若△ABC ∽△ADE ，若AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，则EC 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE 的长，EC=AC-AE ，即可计算DE 的长；【详解】∵△ABC ∽△ADE ， ∴AB AC AD AE=， ∵AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，∴AE=2，即EC=AC-AE=6-2=4；故选C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.12．如图，水平地面上有一面积为30πcm 2的灰色扇形OAB ，其中OA=6cm ，且OA 垂直于地面.将这个扇形向右滚动(无滑动)至点B 刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O 移动的距离是( )A ．10πcmB ．20πcmC ．24πcmD ．30πcm【答案】A 【解析】如下图，在灰色扇形OAB 向右无滑动滚动过程中，点O 移动的距离等于线段A 1B 1的长度，而A 1B 1的长度等于灰色扇形OAB 中弧的长度l ，∵S 扇形=113022l r l OA π⋅=⨯=，OA=6， ∴10l π=（cm ），即点O 移动的距离等于：10πcm.故选A.点睛：在扇形沿直线无滑动滚动的过程中，由于圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以此时圆心作的是平移运动，其平移的距离就等于扇形沿直线滚动的路程.二、填空题（本题包括8个小题）13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________． 【答案】45 【分析】先根据勾股定理求的BC 的长，再根据余弦的定义即可求得结果. 【详解】由题意得224BC AB AC =-=则4cos 5BC B AB == 故答案为：45 点睛：勾股定理的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.14．一元二次方程()()320x x --=的根是_____．【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．【详解】解：30x -=或20x -=，所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．15．如图，假设可以在两个完全相同的正方形拼成的图案中随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______．【答案】37【分析】先设一个阴影部分的面积是x，可得整个阴影面积为3x，整个图形的面积是7x，再根据几何概率的求法即可得出答案．【详解】设一个阴影部分的面积是x，∴整个阴影面积为3x，整个图形的面积是7x，∴这个点取在阴影部分的概率是37xx=37，故答案为：3 7【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．16．如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为______．【答案】3【解析】根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，设扇形半径为x，从而列出关于x的方程，求出答案. 【详解】由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，设扇形半径为x，故阴影部分的面积为πx2×80360＝29×πx2＝2π，故解得：x1＝3，x2＝－3（不合题意，舍去），故答案为3.【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x的方程，从而得到答案.17．在△ABC中，∠ABC = 30°，AB = 3AC =1，则∠ACB 的度数为____________.【答案】60°或120°.【分析】作AD⊥BC于D，先在Rt△ABD中求出AD的长，解直角三角形求出∠ACD，即可求出答案．【详解】如图，作AD⊥BC于D，如图1,在Rt△ABD中, ∠ABC = 30°，AB = 3AC =1，∴AD=123在Rt△ACD中，sinC=33212 ADAC==，∴∠C=60°，即∠ACB=60°，同理如图2,同理可得∠ACD=60°，∴∠ACB=120°.故答案为60°或120°.【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意分情况作出图形求解.18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为23，那么盒子内白色乒乓球的个数为_____．【答案】1．【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为x，根据摸到白色乒乓球的概率为23列出关于x的方程，解之可得．【详解】解：设盒子内白色乒乓球的个数为x，根据题意，得：2 23xx=+，解得：4x=，经检验：4x=是原分式方程的解，∴盒子内白色乒乓球的个数为1，故答案为1．【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率()P A=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．三、解答题（本题包括8个小题）19．在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：类别家庭藏书m本学生人数A 0≤m≤2520B 26≤m≤50 aC 51≤m≤7550D m≥7666根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查的样本容量为，a＝；（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是；（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．【答案】（1）200，64；（2）0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．【分析】（1）根据类别C的人数和所占的百分比即可求出样本容量，用样本容量减去A,C,D所对应的人数即可求出a的值；（2）用类别A所对应的人数除以样本容量即可求出抽到A类学生的概率；（3）用2000乘以藏书不少于76本的概率即可得出答案.【详解】（1）调查的样本容量为50÷25%＝200（人），a＝200﹣20﹣50﹣66＝64（人），故答案为200，64；（2）刚好抽到A类学生的概率是20÷200＝0.1，故答案为0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：2000×66200＝660（人）．答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．【点睛】本题主要考查随机事件的概率，用样本估计总体等，能够对统计表和扇形统计图结合是解题的关键.20．如图，反比例函数2myx-=的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在第________象限；在每个象限内，y随x的增大而________，常数m的取值范围是________；（2）若此反比例函数的图象经过点()2,3-，求m 的值．【答案】（1）故答案为四；增大；2m <；（2）4m =-．【分析】（1）根据反比例函数的图象特点即可得；（2）将点()2,3-代入反比例函数的解析式即可得.【详解】（1）由反比例函数的图象特点得：图象的另一支在第四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大由反比例函数的性质可得：20m -<，解得2m <故答案为：四；增大；2m <；（2）把()2,3-代入2m y x-=得到：232m -=-，则4m =- 故m 的值为4-.【点睛】本题考查了反比例函数的图象特点、反比例函数的性质，熟记函数的图象特点和性质是解题关键. 21．平安超市准备进一批书包，每个进价为40元．经市场调查发现，售价为50元时可售出400个；售价每增加1元，销售量将减少10个．超市若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少【答案】60元【分析】设定价为x 元，则利用单个利润×能卖出的书包个数即为利润6000元，列写方程并求解即可．【详解】解：设定价为x 元，根据题意得（x-40）[400-10(x-50)]=6000 2x -130x+4200=0解得：1x = 60，2x = 70根据题意，进货量要少，所以2x = 60不合题意，舍去．答：售价应定为70元．【点睛】本题考查一元二次方程中利润问题的应用，注意最后的结果有两解，但根据题意需要舍去一个答案． 22．如图，平行四边形ABCD 中，AB BE =，F 是AB 上一点，FB CE =，连接DF ，点G 是FD 的中点，且满足AFG ∆是等腰直角三角形，连接,,GC GE BG .（1）若3AF =，求AD 的长；（2）求证：2GD GE =.【答案】（1）35；（2）见解析【解析】（1）延长AG 交CD 于H ，根据平行四边形的性质可证AGF HGD ∆≅∆，再运用勾股定理可求出AD 的值；（2）延长BG 交CD 的延长线于M ，可证明BGF MGD ∆≅∆，得到BF DM =，由此可得BC CM =，进一步证明ABG EBG ∆≅∆得到EG AG =，根据勾股定理即可得到结论.【详解】（1）如图，延长AG 交CD 于H .∵四边形ABCD 是平行四边形，AFG ∆是等腰直角三角形，∴90,FAG DHG AGF HGD ︒∠=∠=∠=∠，又∵FG DG =，∴AGF HGD ∆≅∆，∴3AG GH AF ===，在Rt AHD ∆中，2235AD AH DH =+=；（2）如图，延长BG 交CD 的延长线于M ，∵FG DG =，∴BGF MGD ∆≅∆，∴BF DM =，又∵,AB BE CD CE BF ===，则BC CM =∴M CBM ABM ∠=∠=∠∵,AB BE BG BG ==，∴ABG EBG ∆≅∆，∴EG AG =，∵AFG ∆是等腰直角三角形，∴DG FG ===.【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．23．分别用定长为a 的线段围成矩形和圆．（1）求围成矩形的面积的最大值；（用含a 的式子表示）（2）哪种图形的面积更大？为什么？ 【答案】（1）矩形面积的最大值为2a 16；（2）圆的面积大． 【分析】（1）设矩形的一边长为b ，则另外一边长为2a -b ，由S 矩形=b （2a -b ）=﹣（b 4a -）2216a +可得答案；（2）设圆的半径为r ，则r 2a π=，知S 圆=πr 224a π=，比较大小即可得． 【详解】（1）设矩形的一边长为b ，则另外一边长为2a -b ，S 矩形=b （2a -b ）=﹣（b 4a -）2216a +，∴矩形面积的最大值为216a ； （2）设圆的半径为r ，则r 2a π=，S 圆=πr 224a π=． ∵4π＜16，∴22416a a π＞，∴S 圆＞S 矩，∴圆的面积大．【点睛】本题考查了列代数式与二次函数的最值，用到的知识点是圆的面积公式、矩形的面积公式、二次函数的最值，关键是根据题意列出代数式．24．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD 是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）2．【解析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE•FG，再判断出3，继而求出FG•FE=8，即可得出结论．【详解】（1）由图1知，55ABC=90°，AC=5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴12AC ABCD BC==或2AC BCCD AB==，∴CD=10或CD=2.5同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10，（2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=40°，∴∠A+∠ADB=140°∵∠ADC=140°，∴∠BDC+∠ADB=140°，∴∠A=∠BDC ，∴△ABD ∽△BDC ，∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（3）如图3，∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∴△EFH 与△HFG 相似，∵∠EFH=∠HFG ，∴△FEH ∽△FHG ， ∴FE FH FH FG=， ∴FH 2=FE•FG ，过点E 作EQ ⊥FG 于Q ，∴3， ∵123 ∴12FG×323 ∴FG•FE=8，∴FH 2=FE•FG=8，∴2．【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.25．（1）计算：22cos 45(sin 60)-2tan45︒+︒︒（2310)30α-︒-=，求α的度数【答案】（1）34；（2）70α=︒【分析】（1）利用特殊角的三角函数值分别计算每一项，再把结果相加减；（2）先求出tan(10)α-︒的值，再根据特殊角的三角函数求出10α-︒的度数，即可求出α的度数.【详解】解：（1）原式=22122⨯+=2212⨯+34- =34；（210)30α-︒-=，∴tan(10)α-︒=∴1060α-︒=︒，∴70α=︒.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算. 熟记各种特殊角的三角函数值是解决此题的关键. 26．某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗.公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元.（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗.【答案】（1）这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元；（2）这所中学购买了80棵树苗.【分析】（1）由题意按照每棵120元进行计算；（2）设设购买了()60100x x <≤棵树苗，根据单价×数量=总价列方程，求解.【详解】解：（1）∵50<60，∴120506000⨯=（元），∴答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元.（2）∵购买60棵树苗时所需支付的树苗款为120607200⨯=元8800<元，∴该中学购买的树苗超过60棵.又∵120100601000.5-+=， ∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好降至100元.∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价仍为100元，此时所需支付的树苗款超过10000元，而100008800>，∴该中学购买的树苗不超过100棵.设购买了()60100x x <≤棵树苗，依题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦，化简，得2300176000x x -+=，解得1220100x =>（舍去），280x =.答：这所中学购买了80棵树苗.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意弄清题目中的等量关系是本题的解题关键.27．每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏．(1)写出月销售利润y(单位：元)与销售价x(单位：元/盏)之间的函数表达式；(2)当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？【答案】（1）y ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000；（2）销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．【分析】(1)根据“总利润＝单件利润×销售量”可得；(2)利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．【详解】解：(1)设售价为x 元/盏，月销售利润y 元，根据题意得：y ＝(x ﹣30)[200+10(80﹣x)]＝﹣10x 2+1300x ﹣30000；(2)∵y ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000＝﹣10(x ﹣65)2+12250，∴当销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是( )A．－2 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－1．故选A．2．下列方程中是一元二次方程的是（）A．xy+2=1 B．2190 2xx+-=C．x2=0 D．ax2+bx+c=0【答案】C【解析】分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是1；（1）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．详解：A．是二元二次方程，故本选项错误；B．是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；C．是一元二次方程，故本选项正确；D．当a、b、c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．3．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（）A．18°B．24°C．30°D．26°【答案】B【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．【详解】解：如图，连接CO,∵CE ＝OB ＝CO=OD ，∴∠E ＝∠1，∠2＝∠D∴∠D=∠2＝∠E+∠1＝2∠E ．∴∠3＝∠E+∠D ＝∠E+2∠E ＝3∠E ．由∠3＝72°，得3∠E ＝72°．解得∠E ＝24°．故选：B ．【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．4．如图，在△ABC 中，∠C=90︒，∠B=30︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于P ，作射线AP 交BC 于点D ，下列说法不正确的是（ ）A ．∠ADC=60︒B ．AD=BDC ．13ACD ABD S S =：： D ．CD=12BD 【答案】C【分析】由题意可知AD 平分CAB ∠，求出DAB ∠，CAD ∠，利用直角三角形30角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可．【详解】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，903060CAB ∴∠=︒-︒=︒，由作图可知：AD 平分CAB ∠ 1302DAB CAB B ∴∠=∠=︒=∠， 60ADC DAB B ∴∠=∠+∠=︒，故A 正确DA DB =，故B 正确30CAD ∠=︒，2AD BD CD ∴==，13CD BC ∴=， :1:3ADC ABC S S ∆∆∴=，:1:2ADC ABD S S ∆∆∴=，故C 错误，设CD a =，则2AD BD a ==，12CD BD ∴=，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是25. 故选B.考点：概率.6．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ；B 、E 是半圆弧的三等分点，BD 的长为43π，则图中阴影部分的面积为（ ）A．4633π-B．8933π-C．33223π-D．8633π-【答案】D【分析】连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAD＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵BD的长为43π，∴604 1803Rππ=解得：R＝4，∴AB＝ADcos30°＝43，∴BC＝12AB＝3∴AC3＝6，∴S△ABC＝12×BC×AC＝12×236＝3∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝26048 63633603ππ⨯=故选：D．【点睛】本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.7．若x=2y，则xy的值为（）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】A 【解析】将x=2y 代入x y 中化简后即可得到答案. 【详解】将x=2y 代入x y得： 22x y y y ==， 故选：A.【点睛】此题考查代数式代入求值，正确计算即可.8．如果用线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =，那么下列作图正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用比例式a ：b =c ：x ，与已知图形作对比，可以得出结论．【详解】A 、a ：b =x ：c 与已知a ：b =c ：x 不符合，故选项A 不正确；B 、a ：b =c ：x 与已知a ：b =c ：x 符合，故选项B 正确；C 、a ：c =x ：b 与已知a ：b =c ：x 不符合，故选项C 不正确；D 、a ：x =b ：c 与已知a ：b =c ：x 不符合，故选项D 不正确；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．9．已知关于x 的方程x 2+ax ﹣6＝0的一个根是2，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．利用方程解的定义将x ＝2代入方程式即可求解．【详解】解：将x ＝2代入x 2+ax ﹣6＝2，得22+2a ﹣6＝2．解得a ＝2．故选C ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．圆【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：A 、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误；B 、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B 错误；C 、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 错误；D 、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故D 正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦. 若∠BAD=24°， 则C ∠的度数为（ ）A ．24°B ．56°C ．66°D ．76°【答案】C 【分析】先求出∠B 的度数，然后再根据圆周角定理的推论解答即可.【详解】∵AB 是⊙O 的直径∴90BDA ∠=︒∵ ∠BAD=24°∴180902466ABD ∠=︒-︒-︒=︒又 ∵AD AD =∴C BAD ∠=∠=66°故答案为：C.【点睛】本题考查了圆周角定理的推论:①在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等；②直径所对圆周角等于90°。