必修4第一章同步练习(九)：正、余弦函数的图象和性质

3
3
【答案】
4
2 ，则 ω 的值为__________．
【解析】
试题分析：根据函数 y sin x 的单调性知，当 x
时，函数取得最大值，
3
.
3
34
4
14.已知函数
f
x
sin
kx
5
的最小正周期是
3
，则正数
k
的值为_________．
【答案】 6
【解析】
试题分析:由题设T 2 ,则 k 6 ,故应填答案 6 . k3
2
3
2
2
2
1
0
1
18.函数
的部分图象如图所示．
（1）写出 f (x) 的最小正周期及图中 x0 , y0 的值；
（2）求
f
(x)
在区间 π2，π-
12
上的最大值和最小值．
【答案】（1） ， 7 ， 3 ；（2） 0 ， 3 ．
6
19.设函数 f (x) sin(2x ) ( 0), y f (x) 图像的一条对称轴是直线
4
4
3
，故选 C
4
11.设 a 0 且 a 1.若 loga x sin 2x 对
恒成立,则 a 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析： a
1 时显然不成立.当 0
a
1时，结合图象可知： loga
4
sin(2
) 4
1
loga
a, a
4
.
12. 函数 y ln sin(2x ) 的单调递减区间为 (
2
2

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666y x x y x x ππππ=-∈=+∈-例2 求下列函数的定义域和值域(1)lgsin ;(2)y x y ==练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。

例3 已知函数()y f x =的定义域是1[0,]4，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2f x f x -例4 求下列函数的最大值与最小值22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33y x y x x y x x πππ=--=+-=-+∈例5 设1sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值例6 求下列函数的值域2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x xy y x x ==++例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例8 求下列函数的周期。

(1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π=+==--例9 判断函数7()3)2f x x π=+的奇偶性例10 判断函数2()lg(sin 1sin )f x x x =+的奇偶性例11求函数1sin 2x y π-=的单调区间提升训练题1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ）.sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2A y xB y xC y xD y x π==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ）3.[2,2]();.[2,2]()2222.[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππ-+∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π=-的单调减区间是（ ）55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________6．函数|sin|2x y =的最小正周期____________________7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________8．函数3cos 1cos 2x y x +=+的值域是____________________9.若α是第二象限的角，且sin 43,m α=-则m 的取值范围是__________________10.不通过求值，指出下列各式大于0还是小于02317(1)sin()sin();_______(2)cos()cos()181054ππππ------_____________11．求下列函数的单调区间12(1)sin();(2)|sin()|.2434x y y x ππ=-=-+12（1）已知f(x)的定义域为[0,1]，求(cos )f x 的定义域；(2)求函数lgsin(cos )y x =的定义域。

正弦、余弦函数的图象与性质（习题） ➢ 例题示范 例1：已知定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当[0]2x π∈，时，()sin f x x =，则()3f 5π的值为（ ） A ．12- B ．12C ．3-D ．3 思路分析：要求()3f 5π，根据题目条件，考虑利用()sin f x x =来求解； 结合函数的周期性和奇偶性，将35π转化到区间[0]2π，上， 再利用解析式求解． ∵函数()f x 的最小正周期是π，∴()()()()()33333f f f f f 5π5π2π2ππ=-π==-π=-， ∵函数()f x 是偶函数， ∴3()()sin 3332f f πππ-===，故选D ．例2：已知函数ππ2π()2sin(2)()663f x x x =+∈-，，，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．ππ()66-， B ．π7π()1212， C ．π2π()33， D ．ππ()63-， 思路分析： ∵函数=sin y x 在ππ(2π2π)22k k k -++∈Z ，（）上单调递增， ∴当πππ2(2π2π)622x k k k +∈-++∈Z ，（）时，原函数单调递增， 即当ππ(ππ)36x k k k ∈-++∈Z ，（）时，原函数单调递增． 综合各个选项，当0k =时，πππ2π()()3663x ∈--，，，即ππ()66x ∈-，时原函数单调递增，故选A ．➢ 巩固练习1. 函数lg(sin )y x =的定义域为（ ）4.函数ππ()sin()36f x x =+的最小正周期是（ ） A ．3 B ．6 C ．3π D ．6π 5.函数2()3cos()56f x x π=-的最小正周期是（ ） A ．52π B ．52π C ．2π D ．5π 6. 函数2()7sin()32f x x 15π=+是（ ） A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为43π的偶函数7. 函数()cos f x x x =（ ）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数8. 若()f x 是以π为周期的奇函数，且π()=14f --，则9π()4f 的值为（） A ．π4 B ．π4- C ．1 D ．1-A ．(0)2，B ．(π)2，22，212. 方程cos x x =在R 上（ ）A ．没有根B ．有且仅有1个根C ．有且仅有2个根D ．有无穷多个根13. 已知函数()sin()2f x x π=-，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 在区间[0]2π，上是增函数C ．()f x 的图象关于直线x =0对称D ．()f x 是奇函数14. 设M 和m 分别表示函数cos 13y x 1=-的最大值和最小值，则M m +=（）A ．23 B ．23- C ．43- D ．-2【参考答案】➢ 巩固练习1. B2. C3. A4. B5. D6. A7. A8. C9. C10.A11.B12.C13.D14.D。

1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x 或y 在变化而非ωx .4．运用整体代换的思想，令ωx ＋φ＝t ，借助y ＝sin t ，y ＝cos t 的图象和性质研究函数y ＝sin(ωx ＋φ)，y ＝cos(ωx ＋φ)的图象和性质．第1课时 正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的图象相同．( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一 用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x ＋12，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． 【解析】 (1)按五个关键点列表：(2)列表：作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线． 方法归纳作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y ＝3＋2cos x 的简图． 解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．类型二 正、余弦函数曲线的简单应用 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3＋2k π，5π3＋2k π]，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B 4．点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)8．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：(2)10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0成中心对称，可得y ＝2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 13．利用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，52π的图象．解析：列表如下：14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。