高中物理奥林匹克竞赛专题-振动(共55张)PPT课件
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高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)2
10m， vo =0.
0 -vm -A 0
O 3
2
B 2
0 vm A0
第四章 机械振动
m
x
x
X
x Acos
v A sin
4 – 1 简谐运动
第四章 机械振动
C
0
B
XV
B 0 A O 最低处时：
O
2
X=A, V=0;
0 -vm 0
C -A 0
再次到达平衡位置
x
O 3
2
B 2
0 A
vm 0
X=0,
Tt
4 – 1 简谐运动
三、描述谐振动的物理量
1.振幅
x
A xmax
A
2.周期、频率
o
x Acos(t ) A
第四章 机械振动
xt 图
Tt
T 2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
弹簧振子周期
注意
T 2π m
k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期(或者角频率)由系统本身 性质决定，振幅和初相由初始条件决定.三要素
4 – 1 简谐运动
第四章 机械振动
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
第二篇 机械振动 和机械波
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
第四章 机械振动
高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)
微观振动: 如晶格点阵上原子的振动。 振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A，由初始条件决定，描述振动的空间范围。
广义地说,任何一物理量在某个定值附近周期性变化的现象称振动。
广义地说,任何一物理量在某个定值附近周期性 变化的现象称振动。
振动的分类:
振动
受迫振动 自由振动
共振 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
设两个同频率的简谐振动 x2A 2cots(2)0
相位差 (t2)0 (t1)0
2010
1）同相位和反相位
2kπ (k0， 1， 2, )
两振动步调完全一致，称两个振动同相位。
(2k1)π (k0， 1,2 )
两振动步调完全相反，称两个振动反相位。 2）超前和落后
0 第二个简谐振动比第一个超前
(1) 频率关系：频率相同,均为 两振动步调完全相反，称两个振动反相位。
设两个同频率的简谐振动 物体在单位时间内发生完全振动的次数，称振动的频率.
（1）矢量端点在x轴上的投影为简谐振动
v A a A 二、简谐振动的三个特征量
(2) 振幅关系： 相位关系：v比x超前 /2,a比v超前 /2。
m
2 m
解微分方程可得 第二个简谐振动比第一个超前
比较a、b两点：位移相同，速度不同，相位不同.
二、简谐振动的三个特征量
x A cos(t 0 )
简谐振动运动学方程
二、简谐振动的三个特征量
1.振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A， 由初始条件决定，描述振动的空间范围。
2.周期 振动状态重复一次所需要的时间,描述振 动的快慢.
A co ( t T s ) [ 0 ] A co t 0 s ) (
高二物理竞赛课件：简谐振动
简谐振动
01 简谐振动的特征
第
02 研究简谐振动的意义
一
03 简谐振动的动力学方程
讲
简
04 简谐振动的物理量
谐
振
05 振幅和初相的确定
动
06 简谐振动的矢量图示法
07 单摆和复摆
01/ 49
振动 —— 一个物理量在某一个值的附近作周期性变化 机械振动 —— 物体在稳定平衡位置作往返运动
傅科摆 —— 1851年在巴黎物理学家傅科用长67米的摆做了 实验。摆的周期T＝16.5 秒, 相对地球摆面转过0.05° 经过32小时，摆面转动一周，证明地球自转
振荡电荷
P P0 sin(t )
LC 振荡电路
U U0 sin(t )
简谐振动的特征
物体坐标按余弦函数变化
x Acos(t )
简谐振动 —— 物体运动的位置与时间关系按余弦规律变化
05 / 49
02 研究简谐振动的意义
振动是研究波动的基础
驻波
机械波 —— 各向均匀介质中质点共同振动形成
晶体中原子在平衡位置做微小振动 —— 简谐振动 晶格振动形成格波
电荷的振荡 —— 空间电场和磁场发生变化 电场和磁场相互激发，相互作用形成电磁波
微观粒子的物质波 —— 几率波 波函数 —— 粒子在空间出现几率
经典物理眼中的电子运动
量子物理眼中的电子运动
复杂振动 —— 用傅立叶变换展开为 若干个不同频率简谐振动的叠加
10 / 49
简谐振动的动力学方程
一维弹簧振子 —— 物体m做一维运动
弹性力
F kx
动力学方程
m
d2x dt 2
kx
x 2x 0
2 k —— 圆频率
01 简谐振动的特征
第
02 研究简谐振动的意义
一
03 简谐振动的动力学方程
讲
简
04 简谐振动的物理量
谐
振
05 振幅和初相的确定
动
06 简谐振动的矢量图示法
07 单摆和复摆
01/ 49
振动 —— 一个物理量在某一个值的附近作周期性变化 机械振动 —— 物体在稳定平衡位置作往返运动
傅科摆 —— 1851年在巴黎物理学家傅科用长67米的摆做了 实验。摆的周期T＝16.5 秒, 相对地球摆面转过0.05° 经过32小时，摆面转动一周，证明地球自转
振荡电荷
P P0 sin(t )
LC 振荡电路
U U0 sin(t )
简谐振动的特征
物体坐标按余弦函数变化
x Acos(t )
简谐振动 —— 物体运动的位置与时间关系按余弦规律变化
05 / 49
02 研究简谐振动的意义
振动是研究波动的基础
驻波
机械波 —— 各向均匀介质中质点共同振动形成
晶体中原子在平衡位置做微小振动 —— 简谐振动 晶格振动形成格波
电荷的振荡 —— 空间电场和磁场发生变化 电场和磁场相互激发，相互作用形成电磁波
微观粒子的物质波 —— 几率波 波函数 —— 粒子在空间出现几率
经典物理眼中的电子运动
量子物理眼中的电子运动
复杂振动 —— 用傅立叶变换展开为 若干个不同频率简谐振动的叠加
10 / 49
简谐振动的动力学方程
一维弹簧振子 —— 物体m做一维运动
弹性力
F kx
动力学方程
m
d2x dt 2
kx
x 2x 0
2 k —— 圆频率
高二物理竞赛第6章振动与波课件
方向：竖直向下
莫斯科：
度 物体的落下可以看作自由落体运动。
注意：没有特别说明，都按g =9.
升 处理：根据位移公式可计算出直尺下落的时间。
注意后者要紧盯着前者的手，且在捏的过程
高 物体的落下可以看作自由落体运动。
再将h=-15m代入，得
g=9.816m/s
2
5s后听到石块击水的声音，估算井口到水面的距离。
测反应 时间
h 1 gt 2 2
t 2h g
如何测量悬崖、测峡高谷度的高度
实验装置
打点计时器
纸带
夹子 重物
v ······ t
·
· v6
· v5
· v4
· v3
···
vv12
A(0cm) B(0.8cm) C(3.2cm) D(7.1cm)
E(12.5 G
时间t/s 0
V/ （m·s-1）
/
0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.40 0.79 1.16 1.56 1.98 /
再将h=-15m代入，得
1520t5t2
解t得 32 7(s)t,42 7(s)显 , t然 3是石子 通过抛出 1m 5处 点所 以需 下的 t40时 ，间 无， 意义。
综上，石子经过离抛出点15m处所需的时间可能是1s，3s, 2 7s
关于自由落体运动说法正确的是（ BDE ）
A、物体从静止下落的运动就叫自由落体运动 B、铁球从三楼无初速度下落是自由落体运动 C、物体只在重力作用下的运动就叫自由落体运动
尤其注意到位移可以是15m，也可能是-15m。
物体的落下可以看作自由落体运动。 特征：（1）具有竖直向上的初速度；
振动 物理竞赛课件
0 同步
π 反相
超前
落后
x
x
x
o
t
o
t
o
t
r 旋转矢量 A 与谐振动的对应关系 r 简谐振动 符号或表达式 旋转矢量 A A 模 振幅 角速度 角频率 r 0 初相 t=0时，A 与ox夹角
旋转周期 r t时刻，A 与ox夹角
振动周期 相位
r A 在 ox 上的投影 r A 端点速度在ox 上的投影 r A 端点加速度在ox 上的投影
T=2/ t+ 0
位移
速度
x =Acos(t+ 0)
v =- Asin(t+ 0) a =- 2Acos(t+ 0)
加速度
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点： 便于解题, 特别是确定初相位
便于振动合成 r 由x、v 的符号确定 A 所在的象限：
14－4 单摆和复摆
相差 2nπ (n 为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位
0 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
或
由初始条件决定 (
取 [ π π]
[0 2π] )
四
常数 A 和 的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
一 单摆
A
转动 正向
5
时 , sin
M mgl sin mgl
d m gl J 2 dt 2 g d g 2 令 2 l dt l 2 d 2 得 2 dt
2
l
m
o
J ml
2
π 反相
超前
落后
x
x
x
o
t
o
t
o
t
r 旋转矢量 A 与谐振动的对应关系 r 简谐振动 符号或表达式 旋转矢量 A A 模 振幅 角速度 角频率 r 0 初相 t=0时，A 与ox夹角
旋转周期 r t时刻，A 与ox夹角
振动周期 相位
r A 在 ox 上的投影 r A 端点速度在ox 上的投影 r A 端点加速度在ox 上的投影
T=2/ t+ 0
位移
速度
x =Acos(t+ 0)
v =- Asin(t+ 0) a =- 2Acos(t+ 0)
加速度
直观地表达谐振动的各特征量 旋转矢量法优点： 便于解题, 特别是确定初相位
便于振动合成 r 由x、v 的符号确定 A 所在的象限：
14－4 单摆和复摆
相差 2nπ (n 为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位
0 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
或
由初始条件决定 (
取 [ π π]
[0 2π] )
四
常数 A 和 的确定
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t 0 x x0 v v0
一 单摆
A
转动 正向
5
时 , sin
M mgl sin mgl
d m gl J 2 dt 2 g d g 2 令 2 l dt l 2 d 2 得 2 dt
2
l
m
o
J ml
2
高二物理竞赛振动和波动课件
(特别是相位)的物理意义及相互关系。
了解波的衍射。
比位移的相位超前 。
加速度的相位比速度的相位超前
，
3．掌握简谐振动的基本特征，
单位时间内振动的次数称为频率。
自由运动的物体所组成的振动系统，
这样的振动称为简谐振动。
绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
10．理解机械波产生的条件。
了解波的能量传播特征及能流、能流密度的概念。
，
并理解其物理意义。
M mgLsin 7．了解不同频、相互垂直的两个简谐振动的合成结果。
能够作简谐振动的物体，称为谐振子。 绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
ft
另一端连结一个可以视为质点的
m
理解惠更斯原理和波的叠加原理。
(1)同方向、同频率的两简谐振动的合成，仍为简谐振动。
加速度的相位比速度的相位超前
圆频率 k / m 周期 T 2 / 2 m / k
单摆
一个可以看做质点的小球系于不可伸长、 质量可以忽略不计的细绳的下端，
绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
如果物体振动的位移随时间按正(余)弦函数规律变化 了解波的衍射。 单位时间内振动的次数称为频率。
L T
加速度的相位比速度的相位超前
☆
能够作简谐振动的物体，称为谐振子。
这个物体连同对它施加回复力的物体组成振动系统。
弹簧振子
k
f
一个质量可忽略不计的弹簧一端固定，
m
另一端连结一个可以视为质点的 自由运动的物体所组成的振动系统， 便是一个弹簧振子。
x
O
x
f
d2x kx ma m
m 2 x
dt2
d2 dt
x
2
了解波的衍射。
比位移的相位超前 。
加速度的相位比速度的相位超前
，
3．掌握简谐振动的基本特征，
单位时间内振动的次数称为频率。
自由运动的物体所组成的振动系统，
这样的振动称为简谐振动。
绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
10．理解机械波产生的条件。
了解波的能量传播特征及能流、能流密度的概念。
，
并理解其物理意义。
M mgLsin 7．了解不同频、相互垂直的两个简谐振动的合成结果。
能够作简谐振动的物体，称为谐振子。 绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
ft
另一端连结一个可以视为质点的
m
理解惠更斯原理和波的叠加原理。
(1)同方向、同频率的两简谐振动的合成，仍为简谐振动。
加速度的相位比速度的相位超前
圆频率 k / m 周期 T 2 / 2 m / k
单摆
一个可以看做质点的小球系于不可伸长、 质量可以忽略不计的细绳的下端，
绳的上端固定，这样的系统叫做单摆。
如果物体振动的位移随时间按正(余)弦函数规律变化 了解波的衍射。 单位时间内振动的次数称为频率。
L T
加速度的相位比速度的相位超前
☆
能够作简谐振动的物体，称为谐振子。
这个物体连同对它施加回复力的物体组成振动系统。
弹簧振子
k
f
一个质量可忽略不计的弹簧一端固定，
m
另一端连结一个可以视为质点的 自由运动的物体所组成的振动系统， 便是一个弹簧振子。
x
O
x
f
d2x kx ma m
m 2 x
dt2
d2 dt
x
2
高中物理奥林匹克竞赛——第20章-振动
1 2
mv 2
1 2
m 2 A2
sin 2 (t
)
势能： E p
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 (t
)
2 k m
Ek
1 2
kA2
sin 2 (t
)
总机械能：
E
Ek
Ep
1 2
kA2
结论：简谐运动的总能量不随时间改变，即机械能守恒。
能量随时间变化曲线
1 kA2 2
O
E
Ek
Ek
Ep
1 4
kA2
Ep t
3
这样，此简谐振动的表式为
x
0.12
cos(t
3
)m
o
0
0
A
利用旋转矢量法求解 0 是 很方便的。
根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位
置，如图所示，从而得
0
3
t
T 4
（2）由（1）中简谐振动的表式得
v
dx dt
0.12
sin(t
3
)m
s
1
a
dv dt
0.12
2
cos(t
3
)m
s 2
t
T 4
circular frequency
2 , 1
T
T
3. 相位（或位相/相） t 时刻的相位：t
phase
t = 0时刻的相位 —— 初相：
A，， 被称为简谐运动的三个特征量。
简谐运动的表示法
1. 解析法 x(t) Acos(t )
实例：弹簧振子
如果满足： 原点取在平衡位置； 忽略摩擦和空气阻尼； 弹簧为理想轻质。
高中物理竞赛 振动和波55页PPT
高中物理竞赛 振动和波
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高二物理竞赛课件振动
CVV
Nk (V )2 eV / T
T
在常温范围，振动自由度对热容量的贡献接近
于零，其原因可以这样理解，在常温范围双原子 分子的振动能级 kV 远大于 kT 。由于能级分 立，振子必须取得 能量才有可能跃迁到激发 态。在 T V 的情形下，振子取得 的热运动 能量而跃迁到激发态的概率是极小的。因此平均
Z1rO
l (l 1)r
(2l 1)e T
l 1,3,
Z1rP
l (l 1)r
(2l 1)e T
l 0,2,4,
氢的转动配分函数的对数可表为
ln Z1r
3 4
ln
Z1rO
1 4
ln
Z1rP
氢的转动特征温度 r 85.4K
在常温下
T r
有近似
1
l 0,2,
l 1,3,
2 l 0,1,2,
N
2
Ne
1 e
N
2
N
e 1
CVV
U V ( T )V
Nk( )2
kT
e (e kT
kT
1) 2
引入振动特征温度 V kV 则内能和热容量表述为
U V NkV
2
NkV
V T
e 1
CVV
Nk(V
T
)2
eV T (eV T 1)2
在常温下有 T V ，因此内能和热容量近似为
U V NkV 2 NkV e V / T
2I 2l 1
因此转动配分函数为
Z1r
l (l 1)2
(2l 1)e 2IkT
l 0
引入转动特征温度 r kr 2 2I
配分函数
Z1r
高二物理竞赛简正振动PPT(课件)
2
3
ν (cm ) （l）1300——900 cm-1
这一区域包括C—CO=、OC—N、C—F、-1C—P、C—S1、P7—1O5、Si—O等键的伸缩振动和1C8=S1、5S=_O1、7P=8O5等双键的伸缩振动吸收。
影响基本振动频率的直接原因是相对原子质量和化学键的力常数。化学 键的力常数k越大，折合相对原子质量越小，则化学键的振动频率越高， 吸收峰将出现在高波数区；反之，则出现在低数区。
qUq
1,2之间的恢复力常数与2,3之间是相同的，记为f.
U的矩阵元
uik
( 2V qiqk
)e
f
m
-f mM
0
U
-
f mM
2f M
-
f
mM
0
-f mM
f m
2、分子中基团的基本振动形式
偶极距变有红外活性
质量计权位移坐标(mass-weighted displacement coordinates)
极化率变有拉曼活性 极化率不变无拉曼活性
5. 多原子分子的振动
影响基本振动频率的直接因素是相对原子质量和化学键的力常数。 谐振子的振动频率和原子的质量有关，而与外界能量无关，外界能 量只能使振动振幅加大（频率不变）。
2、分子中基团的基本振动形式
1）伸缩振动 2）变形振动
例１ 水分子
例２ CO2分子
指纹区可分为两个波段
（l）1300——900 cm-1 这一区域包括C—O、C—N、C—F、C—P、 C—S、P—O、Si—O等键的伸缩振动和C=S、S=O、P=O等双键的伸 缩振动吸收。
（2）900—600 cm-1 这一区域的吸收峰是很有用的。例如,可以指 示—（CH2）n—的存在。实验证明，当 n ≥ 4时，— CH2—的平面摇摆 振动吸收出现在 722 cm-1,随着n的减小，逐渐移向高波数。此区域内的 吸收峰，还可以为鉴别烯烃的取代程度和构型提供信息。
高中物理奥林匹克竞赛专题---简谐振动
§9—1 简谐运动
一）何谓简谐振动
Shockwave Flash
平衡位置为原点建立坐标OX。
Ob jec t
X o
（回复力）
令：
解此微分方程：
A ：初始条件决定 简谐振动的运动方程（振动方程）
定义:符合1、2、3式特征的振动－－简谐振动
二）简谐振动的速度 加速度 图 图
图
三）描述简谐振动的物理量 1）振幅 : 离开平衡位置最大位移的绝对值
角速度
圆频率
初始时刻矢量与X轴夹角 任意时刻矢量与X轴夹角
初相 相位
Y
能把三要素一目了然地表示出来。
X
优点：形象化，便于振动的合成。
v
同样：
在X轴上的投影 在X轴上的投影
3）用复数表示 欧拉公式
对一谐振动
~ 为一复数 A
的实部
~
把谐振动用复数代表：
优点：便于谐振动的计算。
五）简谐振动的能量
动能： 势能： 系统总能：
类似的 速度振幅 加速度振幅
2）周期 完成一次全振动所经历的时间。 一周期T后，振动状态就重复一次
t+T时刻 t时刻振动状态完全一样
3）频率
单位时间完成振动的次数 单位： 赫兹 HZ
4）角（圆）频率
秒内完成的振动次数
单位（弧度/秒）
对弹簧谐振子
固有周期 固有频率
决定于振动 系统本身
用周期，频率 振动方程 可以表示为：
振幅 周期，频率，圆频率
描述振动强度的物理量 描述振动快慢的物理量
描述的都是振动的总体情况，无法描述振动 的细节情况，下面介绍其它的物理量
5）相位： 决定振动状态及进程的物理量。
高二物理竞赛课件：振动
在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角
速度 与振动频率
相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
5
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的 运动为简谐运 动.
注意 运用旋转矢量法求相位（举例略）
6
三、简谐运动的能量
（1） 动能
Ek
1 mv2 2
• 建立简谐运动的动力学方程 即通过牛顿第二定律得出物体满足
d2 x 的动2力x 学微分方程
dt 2
建立简谐运动的运动方程
即求
x Acos(t )
旋转矢量法的运用
10
例：将m向左移动到x0自静止释放，此时开始计时。求振
动方程。
k1x k2x mx
k1
k2
m
x0
o F1 m F2
x
ox
2 A1
A2
cos(2
1
)
tan
A sin A sin
1
1
2
2
A cos A cos
1
1
2
2
8
（1）相位差
2
1
2k
π
(k 0，1，)
A A1 A2
加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
主要题目类型
t0
A A2 0 A x
t 7.5s
0
2 3
7.5
速度 与振动频率
相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
5
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的 运动为简谐运 动.
注意 运用旋转矢量法求相位（举例略）
6
三、简谐运动的能量
（1） 动能
Ek
1 mv2 2
• 建立简谐运动的动力学方程 即通过牛顿第二定律得出物体满足
d2 x 的动2力x 学微分方程
dt 2
建立简谐运动的运动方程
即求
x Acos(t )
旋转矢量法的运用
10
例：将m向左移动到x0自静止释放，此时开始计时。求振
动方程。
k1x k2x mx
k1
k2
m
x0
o F1 m F2
x
ox
2 A1
A2
cos(2
1
)
tan
A sin A sin
1
1
2
2
A cos A cos
1
1
2
2
8
（1）相位差
2
1
2k
π
(k 0，1，)
A A1 A2
加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
主要题目类型
t0
A A2 0 A x
t 7.5s
0
2 3
7.5
高二物理竞赛课件：振动动力学
mm
ox x
E 1 mv2 1 kx2 常量 22x 2x 0Fra bibliotekk m
x Acost
推导
能量守恒
简谐运动方程
E 1 mv2 1 kx2 常量 22
d (1 mv2 1 kx2 ) 0
dt 2
2
mv dv kx dx 0 dt dt
d2x k x 0 dt 2 m
（2）单摆
Ep
C
E
B
Ek
Ep
A
Ox
A x
单摆的势能Ep = mgl(1-cos) mgl2/2
保守系统/简谐振子的能量特征
保守系统： 无内部耗散（阻尼）无外界驱动
能量守衡
E
E = Ek + Ep H=T+V
o
E Ek Ep
Ek Ep
t
势能形式 Ep = (1/2)kx2
2、动力学特征
(1)弹簧振子:
E 1 m(l)2 mgl(1 cos )
2
1 J2 mgl(1 cos )
转
A
动
l
正 向
2
FT m
g sin 0
l 5 时，sin
2 0
o
J ml 2
P
g l
m cos(t )
（3）复摆 ( 5 )
E 1 J2 mgl(1 cos )
2 mgl sin 0
J
分析：
vC (R r) r
Ek
1 2
mvC2
1 2
J C 2
R r
Ep mg (R r)(1 cos )
能量解法：
E
1 2
vC
高中物理奥林匹克竞赛专题--简谐振动作业题(共55张PPT)
T 2
弹
簧 k
振
m
1 2
T 2
T 2 2 m 1 1 k
k
T 2 m
子2019/5/19
2
求 圆
(1) 建立振动系统的微分方程
d2 x Bx0
dt2
频 率 的 方
x前的系数的动 开系 方统 就的 是固 振
（2）利用公式求 2 2 T
解： x2 = 3×10-2 sin(4t - /6) = 3×10-2cos[/2-(4t - /6)]
= 3×10-2cos(4t - 2/3)．
作两振动的旋转矢量图，如图所示
A1
A
由图得： A = (5-3)cm = 2 cm， = /3． O / x
那么，合振动方程为
（2） 未完待做
2019/5/19
11
4、一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其
振动方程用余弦函数表示．如果t=0时质点的状态分别是：
(1)x0=-A；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过x=A/2处向负向运动； (4)过 x=-A/ 2 处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振
掌握证明一种振动是简谐振动的一般步骤
2019/5/19
1
二、描述简谐振动的物理量 xA co t s ( )
1.振幅： （A） （1）已知初始位速
A
x02
(v0
)2
求振幅有 三种方法
（2）已知任意位速
A x2 ( v )2
（3）已知总机械能 A 2E/k
2.周期（T）： [ 频率（γ)、圆频率（ω）]
(2) 当t一定
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2 k
Ek
m
m2 k
o
t
Ek1 2kA 2si2n (t)
Ek1 2kA 2si2n (t)
二、谐振动的势能
Ep
1 kx2 2
1k[Acost ()2]
2
Ek E p
1kA 2co2(st)
2
o
t
Ek 最大时， Ep最小，
Ek 、Ep交替变化。周期均为 T / 2
Ek1 2kA 2si2n (t) Ep1 2kA 2co 2( st)
因为 t
繁复的三角函数的运算用匀速 圆周运动的一个运动关系求得
得
t
7π
6
7π 6k
m
§5 简谐振动的能量
简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交 替变化。
一、谐振动的动能
Ek
1mv2 2
x oA
1m [Asi nt ()2]
2
1m2A 2si2n (t)
2
E k1 2m 2A 2si2(n t)
ox P x
在 x 轴上投影速度
v A si tn ) (
3. M 点的加速度
aA2
在x轴上投影加速度
a A 2co t s) (
结论：
y
M a
AA2 tM 0
ox P x
M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。 M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。 M点加速度在x轴投影，为谐振动的加速度。
圆频率 k
m
单位：rad/s
只与弹簧振子性质有关。
四、振动速度
v dx A si tn ( ) dt
v dx A si tn ( ) dt 五、振动加速度
a dv A 2co ts ()
dt
速度与加速度也都 是周期变化的。
六、振动曲线
x,v,a
2A
a
Ax
o A
v
x A co t s )(
v A si tn ) (
a A 2co t s) (
2
3
4 t
§2 简谐振动的振幅 周期 频率和相位 一、振幅A
物体离开平衡位置的最大距离。
单位：米，m 二、周期 T
物体完成一次全振动所用的时间。
单位：秒，s
三、频率
1秒内物体完成全振动的次数。 单位：赫兹，Hz
令 2 mglc
J
d2
dt2
2
0
谐振动微分方程
圆频率 mglc
J
周期 T 2 2 J
mgl c
频率 1 T
1 mglc
2 J
o
lc
c
mg
例：均匀细杆长为l、质量为m，绕一端作 小角度摆动，求周期T。
解：由 T 2 J
mglc
l
J 1 ml 2, lc l/2
3
mg
T 2 ml2 /3 2 2l
0Acos y
x
cos0
/2,3 /2
A
2
A
xo
t
v0Asin0,
sin0 取 /2
3.初始条件
t 0
x0 A v0 0
x
l
o A
AAco s y
x
cos1
A
A
o
xo
t
A
4.初始条件
t 0
x
l
x0 0 v0 0
yo
0Acos
3 2
x
cos0
o
A
xA
/2,3 /2
o
t
v 0 Asi n 0 ,
mgl/2
3g
§4 旋转矢量
一、旋转矢量
y
将物理模型转变成数学模型。
M
矢量 A 以角速度 逆时
针作匀速圆周运动，
At
ox P x
研究端点 M 在 x 轴上
投影点的运动，
初相
1. M 点在 x 轴上投 影点的运动
x A co t s )(
为简谐振动。
2. M 点的运动速度
vA
y
AM
A v tM 0
g
与质量无关。
频率 1 1 g
T 2 l
l
T
mg
三、复摆
质量为 m 的任意物体，绕 o 点作小角
度摆动，质心 c 到轴的距离为 lc。
重力矩 M mcg siln
“ – ”表示力矩与 张
角方向相反。
o
lc
c
MJ
J
d 2
dt 2
mg
Jdd22t mgcslin
当 5 时
sin
dd2t2 mJgcl0
F弹 x
ox
三、振动位移
振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力： F弹kx
一维振动
F弹kxma
a d 2x F 弹 k x
dt 2 m
m
d2x dt2
k x m
0
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d2x dt2
2x
0
简谐振动微分方程
解微分方程 x A co t s )(
其中A为振幅，为圆频率，为初相位。
sin0
取 3/2
例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧 组成的弹簧谐振子 t = 0时 质点过平衡位置且向正方向运动
求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间
解：设 t 时刻到达末态
由已知画出t = 0 时刻的旋矢图
再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢
o
x
设始末态位矢夹角为
t 0
l
T
M msgiln
mg
“ – ”表示力矩与 张角方向相反。
M msgiln
MJ
J
d 2
dt 2
Jdd2t2 mgslin
当 5 时
sin
dd2t2 mJgl 0
l
T
mg
d2
dt2
mgl
J
0
J m2l
d2
dt2
g
l
0
令 2 g
l
d2
dt2
2
0
谐振动微分方程
圆频率 g
l
周期 T 2 2 l
第1章 振动 §1 简谐振动的描述
世界上有各种各样的振动，简谐振动是最 简单的振动。
一、简谐振动的条件
1.在平衡位置附近来回振动。 2.受回复力作用。
二、弹簧的振动 特点：
F弹 x
1.弹簧质量不计。
ox
2.所有弹力都集中在弹簧上。
3.质量集中于物体上。 4.不计摩擦。
建立坐标系，o点选在
弹簧平衡位置处。
A x02 v0 2
②/①有
tgv0 / A v 0
x0 / A
x0
§3 弹簧、单摆、复摆 一、弹簧
F弹 x
1.圆频率 k
m
ox
2.周期 T 2 2 m
k
3.频率 1 1 k
T 2 m
二、单摆
质量集中于小球 上，不计悬线质量。
取逆时针为 张角正
向，以悬点为轴，只 有重力产生力矩。
T 2 1
1 T
2
四、相位与初相
由
x A co t s )(
相位 t
初相
五、振幅与初相的确定
初始条件 由
t 0
x x0 v v0
x A co t s )(
v A si tn ) (
t 0 时
x0Acos ①
v0Asin ②
t 0 时
x0Acos ①
v0Asin ②
①2+(②/)2 有 x0 2(v0/ )2A 2
二、物理模型与数学模型比较
A
t+
T
谐振动 振幅 初相 相位 圆频率 谐振动周期
旋转矢量 半径
初始角坐标 角坐标 角速度
圆周运动周期
三 、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相
1.初始条件
t 0
x
x0 A
oA
v0 0
AAcos
y
x
cos1
A
0
A 0
o
xo
l
t
2.初始条件
t 0
x
x0 0
o
l
v0 0