3-1-2 复数的几何意义

虚数不能比较大小，但它们的模表示非负实数，可以比较大小． (2)几何角度理解：表示复数的点 Z 到原点的距离．|z1－z2|表示复数
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.

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例6 已知正三角形的两个顶 点为 z1 1 和z2 2 i ,
求它的另一个顶点 .
y
解
如图所示,
o
z3
z2 2 i
3
x
将表示 z2 z1 的向量
z1 1 z 3 绕 z1 旋转 (或 )就得 3 3 到另一个向量, 它的终点即为所求顶点z3 (或 z ). 3
x
z 3
3 3 1 3 3 3 1 3 所以 z3 i , z i. 3 2 2 2 2
23
三、复球面
取一个与复平面切于原 z 0 的球面, 点 球面上一点S 与原点重合, 通过 S 作垂直于复平面的
N P
直线与球面相交于另一 N , 点 我们称 N 为北极, S 为南极.
3 i 10
5 i 6
.
9
例2 把复数 z 1 cos i sin , 0 π 化为 三角表示式与指数表示 , 并求 z 的辐角的主值. 式
解 z 1 cos i sin 2 sin 2i sin cos 2 2 2 2 sin sin i cos 2 2 2
第二节
复数的几何表示
一、复数的几何意义 二、复数四则运算的几何意义 三、复球面
四、复数的幂和方根
一、复数的几何意义
z x iy
( x, y )
平面上的点(或向径)
1. 复数的几何意义 在平面上建立了直角坐标系以后，复数 z x iy可以看成平面上的点或向径( x, y ). 复平面
11
故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 )

1．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2[答案] A[解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A.2．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.3．已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、1＋2i 、3－2i ，则向量AB→的模|AB →|等于( ) A. 5B ．2 5C ．4 D.13 [答案] D[解析] 由于OABC 是平行四边形，故AB→＝OC →， 因此|AB→|＝|OC →|＝|3－2i|＝13，故选D. 4．已知m 、n ∈R ，若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，复数z ＝m ＋n i 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，求|z |.[解析] 由纯虚数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0log 2(m －2)≠0， 解得m ＝4.∴z ＝4＋n i∵z 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，∴4＋n －2＝0，∴n ＝－2.∴z ＝4－2i ，∴|z |＝42＋(－2)2＝2 5.5．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)．消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．。

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．已知：z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a 、b 、c 、d ∈R )，若z 1＋z 2是纯虚数，则有( )A ．a －c ＝0且b －d ≠0B ．a －c ＝0且b ＋d ≠0C ．a ＋c ＝0且b －d ≠0D ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0[答案] D[解析] z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，又z 1＋z 2为纯虚数所以a ＋c ＝0且b ＋d ≠0.2．[(a －b )－(a ＋b )i ]－[(a ＋b )－(a －b )i ]等于( )A ．－2b －2biB ．－2b ＋2biC ．－2a －2biD ．－2a －2ai [答案] A[解析] 原式＝[(a －b )－(a ＋b )]＋[(a －b )－(a －b )]i ＝－2b －2bi .3．若|z －1|＝1，则|z －2i －1|的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] |z －1|＝1表示以(1,0)为原心，半径为1的圆，而|z －2i －1|表示圆上的点到点(1,2)的距离故最大距离为(1－1)2＋22＋1＝3故选C.4．设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i [答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1 ∴a ＋bi ＝－2－i5．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[答案] C[解析] 本题考查了复数与复平面上点的对应关系及中点坐标公式．由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4， ∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.6．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)是( )A ．1－5iB ．－2＋9iC ．－2－iD ．5＋3i [答案] D[解析] ∵z 1－z 2＝(3＋4i )－(－2－i )＝5＋5i∴f (z 1－z 2)＝5＋5i －2i＝5＋3i7．若z ∈C 且|z ＋2－2i |＝1，则|z －2－2i |的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] ∵|z ＋2－2i |＝1，∴z 在以(－2,2)为圆心，半径为1的圆上，而|z －2－2i |是该圆上的点到点(2,2)的距离，故最小值为3，如图8．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1、z 2、z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心[答案] D[解析] 由几何意义知，z 到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应点是△ABC 的外心．二、填空题9．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝______.[答案] ±23－2i[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i (a ∈R )，由|z |＝4得a 2＋4＝16∴a 2＝12，∴a ＝±23，∴z ＝±23－2i .10．(2010·徐州高二检测)在复平面内，O 是原点，O A →，O C →，A B →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么B C →对应的复数为______．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i )＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i11．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i (a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝______.[答案] 3[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i ]－[－33b ＋(b ＋2)i ] ＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝4 3 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43a －b ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1∴a ＋b ＝3 12．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是______．[答案] 1[解析] 解法一：设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R )则|(a －1)＋bi |＝|(a ＋1)＋bi |∴(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2＋b 2即a ＝0∴z ＝bi ，b ∈R ∴|z －1|min ＝|bi －1|min ＝(－1)2＋b 2故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1.解法二∵|z －1|＝|z ＋1|，∴z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示，y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.三、解答题13．计算：(1)(3＋5i )＋(3－4i )；(2)(－3＋2i )－(4－5i )；(3)(5－6i )＋(－2－2i )－(3＋3i )．[解析] (1)(3＋5i )＋(3－4i )＝(3＋3)＋(5－4)i ＝6＋i .(2)(－3＋2i )－(4－5i )＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i .(3)(5－6i )＋(－2－2i )－(3＋3i )＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i .14．(2010·株洲高二检测)已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i ，2＋i ，求点D 对应的复数．[解析] 方法一：设D 点对应复数为x ＋yi (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为(32，2)，BD 中点为(x 2，y －12)． ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5 即点D 对应的复数为3＋5i .方法二：设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R )．则A D →对应的复数为(x ＋yi )－(1＋3i )＝(x －1)＋(y －3)i ，又B C →对应的复数为(2＋i )－(－i )＝2＋2i .由已知A D →＝B C →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i .15．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i .求复数z .[分析] 常规解法为：设出z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a 、b .[解析] 解法一：设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2代入方程得：a ＋bi ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，，⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝8解得： ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝8，即z ＝－15＋8i . 解法二：原式可化为：z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实数，于是|z |＝(2－|z |2)＋82即：|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17代入z ＝2－|z |＋8i ，得：z ＝－15＋8i .16．(2010·徐州高二检测)已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[分析] 由题目可获取以下主要信息：①|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1；②求|z 1＋z 2|.解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或利用“数形结合”的思想求解．[解析] 方法一：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1①(a －c )2＋(b －d )2＝1②由①②得2ac ＋2bd ＝1∴|z1＋z2|＝(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.方法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的复数分别为A、B、C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.。