2020-2021学年高考总复习数学高考模拟仿真题一(不分文理,通用)

参考公式： 台体的体积公式V=)(312211S S S S h ++ 其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 锥体的体积公式Sh V 31=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式3π34R V =其中R 表示球的半径最新普通高等学校招生全国统一考试理科数学仿时卷 选择题部分 (共40分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

柱体的体积公式Sh V =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．设全集U R =，集合1{|()2}2x A x =≥和2{|lg(1)}B y y x ==+，则( )A B =I （ ） A ．{|1x x ≤-或0}x ≥B ．{(,)|1,0}x y x y ≤-≥C ．{|0}x x ≥D ．{|1}x x >-2、 设a ∈R ，则“a=－32”是“直线l 1: ax+2y －1=0与直线l 2: x+a(a+1)y+4=0垂直”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是 （ ）A.m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥nB. m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nC. m ⊥α， n ⊂β， m ⊥n ，则α⊥βD.m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β4、某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A. 32cm B. 33cmC. 333cm D . 33cm5、已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x （ ）A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±6、等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若2132112364(...),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ） A ．27 B ．81 C ．243 D.7297、在平面直角坐标系中，不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00a (为常数)表示的平面区域的面积为8，则32+++x y x 的最小值为 （）A ．1028-B ．246-C ．245-D ．328．如图，A 、B 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两渐近线上的点，A 、B 在y 轴上的射影分别为A 1、B 1，M 、N 分别是A 1A 、B 1B 、的中点，若AB 中点在双曲线上，且2,OM ON a ⋅≥-u u u u r u u u r则双曲线的离心率的取值范围为( )A.31,2⎛⎤⎥⎝⎦B.3[,)2+∞C. D.)+∞ 非选择题部分 (共110分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

最新高三下学期考前模拟数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的.1．复数i i -+1)1(2等于( )A ．i +-1B ．i +1C ．i -1D ．i --12．若集合12{|,01}A y y x x ==<≤，1{|2,01}B y y x x==-<≤，则A B I 等于( )A. (],1-∞B. (]0,1C. φD. {1}3. 阅读右面的程序框图，若输出的12y =，则输入的x 的值可能为 ( ) A ．1- B ．0 C ． 1 D ．5 4. 给出两个命题:命题:p 不等式0απ<<成立是不等式sin 0α>成立的必要不充分条件；命题q ：函数()22log 1y x x =+-是奇函数.则下列命题是真命题的是( ) A. p q ∧B. p q ∨⌝C. p q ∨D. p q ∧⌝5. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线， 垂足为M ，若||4,PF = 则PFM ∆的面积为（ ）A. 33B. 43C. 6D.86．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），则891011,,,∏∏∏∏中值最大的是（ ） A ．8∏B ．9∏C ．10∏D ．11∏7．在同一个坐标系中画出函数xa y =，ax y sin =的部分图象，其中0>a 且1≠a ，则下 列所给图象中可能正确的是 ( )A B C D8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且2z x y =+的最小值为1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．14D ．12否开始输出y结束x 输入整数是2x y =2x ≤sin()6y x π=22主视图22 左视图俯视图9. 已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2,3AB AC AO AB OA +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则 CA CB ⋅u u u r u u u r的值是 ( )A ．3B ．3C ．32D ．110. 已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) A ．14B ．12C ． 1D ． 211. 已知()sin(2015)cos(2015)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ,使得 对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 ( ) A ．2015πB ．22015π C ．42015π D ．4030π12．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 ( ) A ．()ln f x x = B ．12)(2－x x f = C ．()21xf x =+D ．()sin()2f x x π= 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中的横线上.13．已知实数n m ,满足,1,0-=+>⋅n m n m 则nm 11+的最大值为 ．14. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的 四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．15．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3331373152,39,4, (5171119)⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩ 仿此，若3m 的“分裂”数中有一个是73， 则m 的值为 ________ .16. 巳知函数'(),'()f x g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数， 它们在同一坐标系内的图象如右图所示.①若(1)1f =，则(1)f -= .O 1D1A D 1B 1②设函数()()()h x f x g x =-，则(1),(0),(1)h h h -的大小关系为 ．(用“<” 连接）三.解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）2015年“五一”期间，高速公路车辆较多。

高考仿真模拟试题 数学试题(二)（理科）1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息.3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。

第一卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数iz 11-=，则z 的共轭复数是（ ）A ．11i+ B ．1i + C ．11i- D ．1i -2．已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∧⌝是假命题 3．执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）， 则输出的S 值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7OyxC ．OyxD ．4．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是（ ）5．将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能的值为（ ）A ．4π-B ．4πC ．43π D ．43π-6．若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．120B ．180C ．45D ．907．已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ） A ．yx 82= B ．yx 162=C ．y x 3382=D ．y x 33162=8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．364π B ．348π C ．316πD ．38πOyxA ．OyxB ．9．已知131<≤k ，函数k x f x --=|12|)(的零点分别为,1x 2x)(21x x <，函数|12|)(-=x x g 12+-k k的零点分别为,3x 4x )(43x x <，则)()(1234x x x x -+-的最小值为（ ）A ．3log 2B ．6log 2C ．3D ．110．已知,x y R ∈且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+0034y y x y x ,则存在R θ∈,使得(4)cos sin 20x y θθ-++=的概率为（ ）A ．18π- B ．24π- C ．8π D ．4π第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。

最新局考数学模拟卷.填空题（每小题4分。

共56分）1.函数2. ，则x y3. 不等式lo g 24.5.6. 0的解集为方程| lg x | x 3在极坐标系中，直线3 m 一,——，则x 2 20实数解的个数(2cos sin7.若多面体的各个顶点都在同一球面上.（结果用反三角函数表示））2与直线cos 1的夹角大小为，则称这个多面体内接于球.如图，设长方体ABCD AB1GD1内接于球。

，且AB BC 2 , AA 2虹则A、两点之间的球面距离为8.已知x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，又知1、5、1 、…，，一，—、y这四个数据的x5 59、设x a1(x 4)a2(x2)4a3(x 4)3a4(xa〔，a2,L ,a6均为实数, ,则a〔a2a3 a4 a5a6a11a12a1310.在三行三列的方阵a21a22a23中有9个数aa31a32a33平均数为3 ,则x y最小值为数，则三个数中任两个不同行不同列的概率是2)2 a5(xij(i 1,2,3; j4) a6,其中1,2,3）,从中任取三个.（结果用分数表示）11 .在空间四边形ABCD中，点E,F分别是AC,BD 的中点AB=CD=6 , AB与CD 所成的角为60度，贝U EF的长为12.定义点P对应到点Q的对应法贝U ：m、f : P(m,n) Q( V n,------------ ),23(m 0,n 0),则按定义的对应法则f ,当点P 在线段AB 上从点A(4,0)开始运动到点B(0,4)时，可得到P 的对应点Q 的相应轨迹，记为曲线E ,则曲线E 上 的点与线段AB 上的点之间的最小距离为13.已知函数f (x) v'3 | cos — x | (x 0),图象的最高点2则 lim 一Sn —n n 1 ( 2)14 .把a n 4n 1中所有能被3或5整除的数删去，剩下的数自小到大排成一个数列则烷013二.选择题(每小题 5分，共20分)各数中也为定值的是(B. S15若 |f(X 1) f(X 2)| | f( ) f(三.解答题.已知函数 f (x) sin — cos — 、.33 3从左到右依次记为R, P 3, P 5,，函数y f(x)图象与x 轴的交点从左到右依次记为P 2,P 4,P 6,，设& RP 2 P 2P 3 (P 2P 3 P 3P 4)2 (P 3P 4 P 4P 5)3 (P 4P 5 P 5P 6)4(P n P n 1 P n1P n2)L15 .等差数列(a n ｝的前n 项和为S n ,当a 〔，d 变化时，若a ? a 8a,是一个定值, 那么下列知集合A (z bi z bi z 2 0,b R,z C)B (zz 1,zAI B,则b 的取值范围是(A. 1,1B. 1,1 C . 1,0 0,1 D. 1,0 0,117.已知为三角形的一个内角，且sincos1…2 .一,则万程X sin 2y 2 cos =1 表示A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦在点 y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线18 .已知y f (x)是定义域为R 的单调函数，且x 〔 x 2,1,X 2 x 2 为1(A)(B)(C) 0(D)19.(本题满分12分，每小题各 6分)2x cos —(1)将f(x)写成Asin( x ) h ( A 0 )的形式，并求其图像对称中心的横坐标;(2)若函数f (x)的定义域为D (0,亍，求函数f(x)的值域.20.(本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，已知PA 平面ABC , AC AB , AP BC 2, CBA 30 , D , E分别是BC , AP的中点.(1)求异面直线AC与ED所成的角的大小；(2)求PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积.21 .(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)已知函数f (x) 3x k(k为常数)，A( 2k,2)是函数y f 1(x)图像上的点.(1)求实数k的值及函数y f 1(x)的解析式；(2)将y f 1(x)的图像按向量a (3,0)平移得到函数y=g(x)的图像.若2f1(x 后3) g(x) 1对任意的x 0恒成立，试求实数m的取值范围.22 .(本题满分16分，第1小题5分，第2小题5+6分)已知两点A( 1,0)、B(1,0)，点P(x,y)是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标- - uuur uuur保持不变、纵坐标扩大到J2倍后得到点Q(x,j2y)满足AQ BQ 1.1求动点P 所在曲线C 的轨迹方程;①求点H , G 的坐标;明理由.n 1a n x ，则称数 A 可以表示成x 进制形式，简记为:A x~ (81)(82)(83).....(a n 〔)(a n )。

最新高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x∈N|x2﹣5x﹣6＜0}，N={x∈Z|2＜x＜23}，则M∩N=（）A．（2，6）B．{3，4，5} C．{2，3，4，5，6} D．[2，6]2．“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列函数中既是奇函数又是周期函数的是（）A．y=x3B．y=cos2x C．y=sin3x D．4．已知数列{a n}是正项等比数列，满足a n+2=2a n+1+3a n，且首项为方程x2+2x﹣3=0的一个根．则下列等式成立的是（）A．a n+1=2S n+1 B．a n=2S n+1 C．a n+1=S n+1 D．a n=2S n﹣1﹣15．△ABC中，AB=5，BC=3，CA=7，若点D满足，则△ABD的面积为（）A．B．C．D．56．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π））的部分图象如图所示，则的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．7．过双曲线=1（a，b＞0）的右焦点F，且斜率为2的直线l与双曲线的相交于点A，B，若弦AB的中点横坐标取值范围为（2c，4c），则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（3，4）B．（2，3）C．D．8．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），g（x）=log3x．若函数f（x）的定义域与值域均为[1，a]，且对于任意的x1，x2∈[1，a+1]，恒成立，则满足条件的实数t的取值范围是（）A．[﹣2，8] B．[0，8] C．[0，+∞）D．[0，8）二、填空题（本大题共7小题，其中9-12题每小题两空，每题6分，13-15题每小题一空，每题4分，合计36分.请将答案填在答题纸上）9．已知等差数列{a n}的前n项和为，则首项a1= ；该数列的首项a1与公差d满足的= ．10．若实数x，y满足不等式组，则该不等式表示的平面区域的面积为；目标函数z=4x+3y的最大值为．11．已知函数，则= ；该函数在区间上的最小值为．12．已知直线l过点P（2，1），Q（1，﹣1），则该直线的方程为；过点P与l垂直的直线m与圆x2+y2=R2（R＞0）相交所得弦长为，则该圆的面积为．13．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1与底边AB，AC所成的角均为60°．若顶点A1在下底面的投影恰在底边BC上，则该三棱柱的体积为．14．已知正数a，b满足a+2b=2，则的最小值为．15．如图所示，△ABC中，AB⊥AC，AB=6，AC=8．边AB，AC的中点分别为M，N．若O为线段MN上任一点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°．点A在边BC上的投影为点D．（1）试求线段AD的长度；（2）设点D在边AB上的投影为点E，在边AC上的投影为F，试求线段EF的长度．17．已知正项递增等比数列{a n}的首项为8，其前n项和记为S n，且S3﹣2S2=﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，其前n项和为T n，试求数列的前n项和B n．18．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，Q，M分别为PA，BC的中点．（1）证明：直线QM∥平面PCD；（2）若二面角A﹣BD﹣Q所成角正切值为2，求直线QC与平面PAD所成角的正切值．19．已知抛物线C：y2=4x．直线l：y=k（x﹣8）与抛物线C交于A，B（A在B的下方）两点，与x轴交于点P．（1）若点P恰为弦AB的三等分点，试求实数k的值．（2）过点P与直线l垂直的直线m与抛物线C交于点M，N，试求四边形AMBN的面积的最小值．20．设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x∈N|x2﹣5x﹣6＜0}，N={x∈Z|2＜x＜23}，则M∩N=（）A．（2，6）B．{3，4，5} C．{2，3，4，5，6} D．[2，6]【考点】交集及其运算．【分析】分别求出M与N中不等式的解集，找出解集中的正整数解及整数解确定出M与N，求出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣6）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜6，x∈N，即M={0，1，2，3，4，5}，由N中不等式变形得：2＜x＜23=8，x∈Z，即N={3，4，5，6，7}，则M∩N={3，4，5}，故选：B．2．“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“该几何体为球”⇒“某几何体的三视图完全相同”，反之不成立，例如取几何体正方体，即可判断出．【解答】解：“该几何体为球”⇒“某几何体的三视图完全相同”，反之不成立，例如取几何体正方体，∴“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的必要不充分条件．故选：B．3．下列函数中既是奇函数又是周期函数的是（）A．y=x3B．y=cos2x C．y=sin3x D．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的判断．【分析】根据基本初等函数奇偶性和周期性进行判断即可．【解答】解：A．函数y=x3为奇函数，不是周期函数；B．y=cos2x是偶函数，也是周期函数，但不是奇函数；C．y=sin3x是奇函数且是周期函数；D．是周期函数，既不是奇函数也不是偶函数，综上只有C符合题意，故选：C．4．已知数列{a n}是正项等比数列，满足a n+2=2a n+1+3a n，且首项为方程x2+2x﹣3=0的一个根．则下列等式成立的是（）A．a n+1=2S n+1 B．a n=2S n+1 C．a n+1=S n+1 D．a n=2S n﹣1﹣1【考点】等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列数列{a n}的公比为q，0，满足a n+2=2a n+1+3a n，且首项为方程x2+2x﹣3=0的一个根．可得q2=2q+3，a1=1．再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列数列{a n}的公比为q，0，满足a n+2=2a n+1+3a n，且首项为方程x2+2x﹣3=0的一个根．∴q2=2q+3，a1=1．解得q=3．∴a n=3n﹣1，a n+1=3n，S n=，则2S n+1=3n=a n+1．故选：A．5．△ABC中，AB=5，BC=3，CA=7，若点D满足，则△ABD的面积为（）A．B．C．D．5【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】先求出∠B的度数，从而求出sinB，根据三角形的面积公式求出△ABD的面积即可．【解答】解：如图示：，cosB==﹣，∴∠B=120°，∴sinB=，∴S△ABD=×5×2×=，故选：A．6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π））的部分图象如图所示，则的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象和性质求出A，ω和φ的值进行求解即可．【解答】解：由图象知函数的最大值为1，最小值为﹣3，则，得A=2，B=﹣1，=﹣=，即T=π=，即ω=2，则f（x）=2sin（2x+φ）﹣1，∵f（）=2sin（2×+φ）﹣1=1，∴sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，则φ=2kπ﹣，∵φ∈（0，π），∴当k=1时，φ=2π﹣=，∴f（x）=2sin（2x+）﹣1，则f（）=2sin（2×+）﹣1=2sin（π+）﹣1=﹣2×﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故选：A7．过双曲线=1（a，b＞0）的右焦点F，且斜率为2的直线l与双曲线的相交于点A，B，若弦AB的中点横坐标取值范围为（2c，4c），则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（3，4）B．（2，3）C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点F（c，0），直线l的方程为y=2（x﹣c），代入双曲线的方程可得（b2﹣4a2）x2+8ca2x﹣4a2c2﹣a2b2=0，运用韦达定理和中点坐标公式，再由条件可得2c＜＜4c，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设右焦点F（c，0），直线l的方程为y=2（x﹣c），代入双曲线的方程可得（b2﹣4a2）x2+8ca2x﹣4a2c2﹣a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有AB的中点的横坐标为，由题意可得2c＜＜4c，化简可得2a2＜b2＜3a2，即有3a2＜c2＜4a2，即a＜c＜2a，可得e=∈（，2）．故选：D．8．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），g（x）=log3x．若函数f（x）的定义域与值域均为[1，a]，且对于任意的x1，x2∈[1，a+1]，恒成立，则满足条件的实数t的取值范围是（）A．[﹣2，8] B．[0，8] C．[0，+∞）D．[0，8）【考点】函数恒成立问题．【分析】根据二次函数的对称轴判断出函数单调性，得出a=f（1），求出a=2，进而求出只需4t+2t﹣2≥0，得出答案．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]∴函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]∴a=f（1）∴a=2∴f（x）=x2﹣4x+5，g（x）=log3x．∵对于任意的x1，x2∈[1，3]，1≤f（x）≤2，0≤g（x）≤1，∴4t+2t﹣2≥0，∴t≥0．故选：C．二、填空题（本大题共7小题，其中9-12题每小题两空，每题6分，13-15题每小题一空，每题4分，合计36分.请将答案填在答题纸上）9．已知等差数列{a n}的前n项和为，则首项a1= ﹣2 ；该数列的首项a1与公差d满足的= 16 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列{a n}的前n项和求出a1，a2，a3；再根据等差中项的概念列出方程求出c的值，从而得出a1和公差d，即可得出的值．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为，∴a1=S1=2﹣4+c=c﹣2，a2=S2﹣S1=（8﹣8+c）﹣（c﹣2）=2，a3=S3﹣S2=（18﹣12+c）﹣c=6；又2a2=a1+a3，∴4=（c﹣2）+6，解得c=0；∴a1=﹣2，数列{a n}的公差为d=a3﹣a2=6﹣2=4，∴=（﹣2）4=16．故答案为：﹣2，16．10．若实数x，y满足不等式组，则该不等式表示的平面区域的面积为；目标函数z=4x+3y的最大值为 6 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，得到三角形的面积，目标函数z=4x+3y 可化为：y=﹣x+，显然直线过A时，求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（1，），由，解得：B（1，﹣4），而C到AB的距离是2，∴S△ABC=|AB|•2=，目标函数z=4x+3y可化为：y=﹣x+，显然直线过A时，z最大，z的最大值是6，故答案为：，6．11．已知函数，则= +；该函数在区间上的最小值为﹣+．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用三角函数的诱导公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：=sinxcosx+cos2x=sin2x+×（1+cos2x）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，则=sin（2×+）+=sin（+）+=cos+=+，∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=﹣时，f（x）取得最小值，此时最小值为sin（﹣）+=﹣+，故答案为：+，﹣+．12．已知直线l过点P（2，1），Q（1，﹣1），则该直线的方程为2x﹣y﹣3=0 ；过点P与l垂直的直线m与圆x2+y2=R2（R＞0）相交所得弦长为，则该圆的面积为5π．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由两点式写出直线方程，化为一般式得答案；求出圆心到直线的距离，结合垂径定理求得半径，则圆的面积可求．【解答】解：由直线方程的两点式得l：，化为一般式，2x﹣y﹣3=0；直线l的斜率为2，则过点P与l垂直的直线m的斜率为，直线m的方程为y﹣1=，整理得：x+2y﹣4=0．圆x2+y2=R2的圆心到m的距离d=，∴R2=．则圆的面积为πR2=5π．故答案为：2x﹣y﹣3=0；5π．13．三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1与底边AB，AC所成的角均为60°．若顶点A1在下底面的投影恰在底边BC上，则该三棱柱的体积为3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出示意图，由AA1与AB，AC所成的角相等可知AA1在底面的射影为角BAC 的角平分线，利用勾股定理和余弦定理求出棱柱的高，代入体积公式计算．【解答】解：设A1在底面ABC的投影为D，连结AD，A1B，∵AA1与AB，AC所成的角均为60°，∴AD为∠BAC的平分线，∵△ABC是等边三角形，∴D为BC的中点．∴BD=1，AD==．设三棱柱的高A1D=h，则AA1==，A1B==．在△AA1B中，由余弦定理得cos60°=，即=1，解得h=．∴三棱柱的体积V==3．故答案为：3．14．已知正数a，b满足a+2b=2，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】解法一：数a，b满足a+2b=2，可得a=2﹣2b＞0，解得0＜b＜1．于是=+=f（b），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．解法二：由于（1+a）+（2+2b）=5，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解法一：∵正数a，b满足a+2b=2，∴a=2﹣2b＞0，解得0＜b＜1．则=+=f（b），f′（b）=﹣=，可知：当时，f′（b）＜0，此时函数f（b）单调递减；当b∈时，f′（b）＞0，此时函数f（b）单调递增．当b=，a=时，f（b）取得最小值，=+=+=，解法二：∵（1+a）+（2+2b）=5，∴=[（1+a）+（2+2b）]=≥=，当且仅当b=，a=时取等号．∴f（b）取得最小值．故答案为：．15．如图所示，△ABC中，AB⊥AC，AB=6，AC=8．边AB，AC的中点分别为M，N．若O为线段MN上任一点，则的取值范围是[] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，设O（m，n），由把O的坐标用λ表示，再把转化为关于λ的二次函数求解．【解答】解：如图，分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，∵AB=6，AC=8，边AB，AC的中点分别为M，N，∴A（0，0），B（0，6），C（8，0），M（0，3），N（4，0），设O（m，n），，则（m，n﹣3）=λ（4，﹣3）（0≤λ≤1），∴，则，∴O（4λ，3﹣3λ），则，，∴=4λ（8﹣4λ）+（3λ+3）（3λ﹣3）﹣4λ•4λ+（3λ+3）（3λ﹣3）﹣4λ（8﹣4λ）+（3λ﹣3）2=11λ2﹣18λ﹣9（0≤λ≤1）．对称轴方程为，∴当时，有最小值为，当λ=0时，有最大值为﹣9．故答案为：[]．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°．点A在边BC上的投影为点D．（1）试求线段AD的长度；（2）设点D在边AB上的投影为点E，在边AC上的投影为F，试求线段EF的长度．【考点】解三角形．【分析】（1）根据余弦定理求出BC的长，再根据勾股定理求出AD的长；（2）根据三角形面积相等求出DE和DF的长，根据余弦定理求出EF的长即可．【解答】解：（1）在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°，∴BC2=16+36﹣2×4×6×=28，∴BC=2，S△ABC=AB•AC•sin∠BAC=BC•AD，∴AD=；（2）依题意，DE=，DF=，由∠EDF=180°﹣60°=120°，∴EF2=++××=，∴EF=．17．已知正项递增等比数列{a n}的首项为8，其前n项和记为S n，且S3﹣2S2=﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，其前n项和为T n，试求数列的前n项和B n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）通过设a n=8q n﹣1（q＞1），代入S3﹣2S2=﹣2计算可知公比q=，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知b n=2n+1，利用等比数列、等差数列的求和公式计算可知T n=n（n+2），进而裂项可知=（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：（1）依题意，a n=8q n﹣1（q＞1），∵S3﹣2S2=﹣2，即（8+8q+8q2）﹣2（8+8q）=﹣2，∴4q2﹣4q﹣3=0，解得：q=或q=﹣（舍），故数列{a n}的通项公式a n=8•；（2）由（1）可知=2+1=2n+1，故数列{b n}的前n项和为T n=2•+n=n（n+2），∴==（﹣），∴B n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）．18．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，Q，M分别为PA，BC的中点．（1）证明：直线QM∥平面PCD；（2）若二面角A﹣BD﹣Q所成角正切值为2，求直线QC与平面PAD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD的中点N，连结QN，MN．可通过证明平面QMN∥平面PCD得出QM∥平面PCD；（2）在平面ABCD内过C作CE⊥AD交延长线于E，连结QE，则CE⊥平面PAD，设菱形边长为1，利用勾股定理，二面角的大小，菱形的性质等计算AC，AE，AQ，得出CE，QE，于是tan∠CQE=．【解答】证明：（1）取AD的中点N，连结QN，MN．∵底面ABCD为菱形，M，N是BC，AD的中点，∴MN∥CD，∵Q，N是PA，AD的中点，∴QN∥PD，又QN⊂平面QMN，MN⊂平面QMN，QN∩MN=N，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，∴平面QMN∥平面PCD，∵QM⊂平面QMN，∴QM∥平面PCD．（2）连结AC交BD于O，连结QO．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AD=AB，QA为公共边，∴Rt△QAD≌Rt△QAB，∴QD=QB，∵O是BD的中点，∴AO⊥BD，QO⊥BD，∴∠AOQ为二面角A﹣BD﹣Q的平面角，∴tan∠AOQ=2．在平面ABCD内过C作CE⊥AD交延长线于E，连结QE．则CE⊥平面PAD，∴∠CQE为直线QC与平面PAD所成的角．设菱形ABCD的边长为1，∵∠DAB=60°，∴AO=，AC=，∴QA=2AO=，CE==，AE=CE=，∴QE==．∴tan∠CQE==．∴直线QC与平面PAD所成角的正切值为．19．已知抛物线C：y2=4x．直线l：y=k（x﹣8）与抛物线C交于A，B（A在B的下方）两点，与x轴交于点P．（1）若点P恰为弦AB的三等分点，试求实数k的值．（2）过点P与直线l垂直的直线m与抛物线C交于点M，N，试求四边形AMBN的面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设=2，求出A的坐标，利用斜率公式，求实数k的值．（2）直线l：y=k（x﹣8）与抛物线方程联立得：k2x2﹣（16k2+4）x+64k2=0，由弦长公式求出|AB|、|MN|，由四边形AMBN的面积S=|AB||MN|，利用基本不等式能求出四边形AMBN面积最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设=2，∵P（8，0），∴（8﹣x2，﹣y2）=2（x1﹣8，y1），∴8﹣x2=2x1﹣8，﹣y2=2y1，∴8﹣x2=2x1﹣8，x2=4x1，∴x1=，x2=4x1=∴A（，﹣），∴k==，根据对称性，k=﹣，满足题意；（2）直线l：y=k（x﹣8）与抛物线方程联立得：k2x2﹣（16k2+4）x+64k2=0，∴x1+x2=16+，x1x2=64，由弦长公式|AB|=，同理由弦长公式得|MN|=，所以四边形AMBN的面积S=|AB||MN|=8≥8=144，当k=±1时，取“=”．故四边形AMBN面积最小值为144．20．设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．【考点】分段函数的应用；函数的值域．【分析】（Ⅰ）原不等式即为﹣a|a|≥1，考虑a＜0，解二次不等式求交集即可；（Ⅱ）将函数f（x）改写为分段函数，讨论当a≥0时，①﹣a≤﹣2，②﹣a＞﹣2，当a＜0时，①≤﹣2，②＞﹣2，运用二次函数的单调性，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；（Ⅱ）函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|=，当a≥0时，①﹣a≤﹣2即a≥2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=4﹣4a﹣a2；②﹣a＞﹣2即0≤a＜2时，f（x）在[﹣2，﹣a]上单调递减，在[﹣a，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣2a2；当a＜0时，①≤﹣2即a≤﹣6时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=12+4a+a2；②＞﹣2即﹣6＜a＜0时，f（x）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以f（x）min=f（）=，综上可得，f（x）min=2016年6月20日。

最新全国名校大联考高考数学仿真试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．D．2．若sinθ+cosθ=，θ∈[0，π]，则tanθ=（）A．﹣B．C．﹣2 D．23．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A．B．C．D．5．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间t h间的关系为．若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为（）小时．（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）A．26 B．33 C．36 D．427．如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是边BD上任一点（包括点B、D），则|+|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．28．设函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）的图象为C，则下列表述正确的是（）A．点（，0）是C的一个对称中心B．直线x=是C的一条对称轴C．点（，0）是C的一个对称中点D．直线x=是C的一条对称轴9．如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n=n+1 B．i＞100，n=n+2 C．i＞50，n=n+2 D．i≤50，n=n+2 10．（2+x+x2）（1﹣）3的展开式中常数项为（）A．﹣2 B．5 C．4 D．211．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（）A． B．C．5 D．12．已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f （x0）成立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）A．（，）B．（0，）C．（，）D．（0，）二、填空题:本大题共4小题。

最新高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）2．设平面向量，若，则等于（）A．B． C． D．3．设集合A={{x|＜2x＜16}，B={x|y=ln（x2﹣3x）}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是（）A．B．C．D．4．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：π5．函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．6．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数7．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4 B．5 C．6 D．78．函数的部分图象如图所示，则=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．109．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．10．已知函数g（x）=x﹣1，函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，对于∀x1∈（1，2]，∀x2∈R，则（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为．12．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2016= ．13．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是．14．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则= ．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知=（sinx，2），=（2cosx，cos2x），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求边c．17．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．18．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．19．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设{b n﹣（﹣1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算分钟化简复数为：a+bi的形式，即可得答案．【解答】解：∵复数===2+i．∴复数在复平面内对应的点的坐标为（2，1）．故选：A．2．设平面向量，若，则等于（）A．B． C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；向量的模．【分析】由向量平行的到b=﹣4，从而得到=（﹣3，6），由此能求出．【解答】解：∵平面向量，，∴，解得b=﹣4．∴=（2，﹣4），=（﹣3，6），∴==3．故选：D．3．设集合A={{x|＜2x＜16}，B={x|y=ln（x2﹣3x）}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先根据集合A，B，求出A∩B，再利用长度型的几何概型的意义求解即可．【解答】解：∵集合A={x|＜2x＜16}=（﹣2，4），B={x|y=ln（x2﹣3x）}=（0，3），∴A∩B={x|0＜x＜3}，∴事件“x∈A∩B”的概率是=故选：C．4．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，甲几何体为球体，乙几何体为圆锥，结合体积公式进行比较即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，甲几何体为球体，球的半径为1，故V1=，乙几何体为圆锥，底面半径为2，高为3，故V2=×π×22×3=，∴V1：V2=1：3，故选：B．5．函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的表达式得出函数的奇偶性，根据奇函数图象关于原点对称，再利用特殊值法排除D选项即可．【解答】解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且函数为奇函数，∴图象关于原点对称，排除A，C，当x为无穷大时，显然函数值为正，故排除D，故选：B．6．设f（x）=x+sinx（x∈R），则下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增C．f（x）的值域为R D．f（x）是周期函数【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判断f（x）为奇函数，从而A正确；利用f′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数f（x）在R上单调递增，B正确；根据f（x）在R上单调递增，可得f（x）的值域为R，故C正确；由f（x）不是周期函数，可得D错误．即可得解．【解答】解：因为f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣（x+sinx）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故A正确；因为f′（x）=1﹣cosx≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，故B正确；因为f（x）在R上单调递增，所以f（x）的值域为R，故C正确；f（x）不是周期函数，故选：D．7．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．【解答】解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．故选：C．8．函数的部分图象如图所示，则=（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【考点】正弦函数的图象；平面向量数量积的运算．【分析】根据根据函数的部分图象，求得A、B的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得要求式子的值．【解答】解：根据函数的部分图象，可得sin x=0，由五点作图法知x=π，故x=2，∴A（2，1）．令y=2sin x+1=﹣1，求得sin x=﹣1，求得x=3，故B（3，﹣1）．∴=（8，﹣1）•（1，﹣2）=8+2=10，故选：D．9．设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A．B． C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（m﹣1，m），化z=x+3y，得．由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．故选：C．10．已知函数g（x）=x﹣1，函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，对于∀x1∈（1，2]，∀x2∈R，则（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为（）A．B．C．D．【考点】全称命题．【分析】函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，∀x1∈（1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f（x1）=﹣2f（x1﹣1）﹣1﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=0，解得m．利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣2f（x）﹣1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，∀x1∈（1，2]，x1﹣1∈[0，1]，则f（x1）=﹣2f（x1﹣1）﹣1=﹣2﹣1=+6x1﹣5．设直线y=x+m与抛物线y=﹣2x2+6x﹣5相切，化为2x2﹣5x+5+m=0，令△=25﹣8（5+m）=0，解得m=．∴两条平行线y=x﹣1与y=x﹣的距离d==．∴（x1﹣x2）2+（f（x1）﹣g（x2））2的最小值为．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）18 13 10 ﹣1用电量（度）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为68 ．【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得，为：（10，40），又在回归方程上且b=﹣2∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴y=﹣2x+60．当x=﹣4时，y=﹣2×（﹣4）+60=68．故答案为：68．12．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2016= ．【考点】数列的求和；二次函数的性质．【分析】通过向量相等、求导并解方程可知b=，进而裂项可知=﹣，并项相加即得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，∴f′（0）=0+2b=1，即b=，∴f（x）=x2+x，==﹣，∴S2016=1﹣+﹣+…+﹣=，故答案为：．13．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是7+4．【考点】基本不等式．【分析】log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵log4（3a+4b）=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．14．已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则= ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin =所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线，根据准线和双曲线相交的弦长关系建立方程，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．【解答】解：∵抛物线y2=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的左焦点，∴当x=﹣c时，﹣=1，即=﹣1==，即y=±，即准线被双曲线C截得的弦长为：，∵抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是，∴=be2，即：c2=3ab，∴2c4=9a2（c2﹣a2），∴2e4﹣9e2+9=0∴e=或，又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，∴渐近线y=x的斜率＜1，即b＜c，则b2＜c2，即c2﹣a2＜a2，则c2＜2a2，c＜a，则e=＜∴e=．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知=（sinx，2），=（2cosx，cos2x），函数f（x）=•，（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求边c．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）根据向量的坐标运算以及二倍角公式，化简求出f（x），根据三角函数的性质求出值域；（2）先求出A的大小，再根据正弦余弦定理即可求出．【解答】解：（1）∵=（sinx，2），=（2cosx，cos2x），∴f（x）=•=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣1≤2sin（2x+）+1≤3，∴函数f（x）的值域为[﹣1，3]；（2）∵f（A）=2，∴2sin（2A+）+1=2，∴sin（2A+）=∴2A+=2kπ+，或2A+=2kπ+，k∈Z，∴A=kπ，（舍去），A=kπ+，k∈Z，∵0＜A＜π，∴A=，∵sinB=2sinC，由正弦定理可得b=2c，∵a=2，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴3c2=4，解得c=．17．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）利用频率分布直方图计算分数在[110，130）和[130，150）的人数分别予以编号，列举出随机抽出2人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可．【解答】（1）设初赛成绩的中位数为x，则：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x﹣70）=0.5…解得x=81，所以初赛成绩的中位数为81；…（2）该校学生的初赛分数在[110，130）有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P=…18．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．19．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设{b n﹣（﹣1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，结合a1=2，且a2，a4，a8成等比数列列式求出公差，则数列{a n}的通项可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项代入b n﹣（﹣1）n a n，由{b n﹣（﹣1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71列式求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，则数列{b n}的通项可求，然后分n为奇数和偶数利用分组求和得答案．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a1=2且a2，a4，a8成等比数列，∴（3d+2）2=（d+2）（7d+2），解得d=2，故a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．（Ⅱ）令，设{c n}的公比为q，∵b2=7，b5=71，a n=2n，∴c2=b2﹣a2=7﹣4=3，c5=b5+a5=71+10=81，∴，故q=3，∴，即，∴．T n=b1+b2+b3+…+b n=（30+31+…+3n﹣1）+[﹣2+4﹣6+…+（﹣1）n2n]当n为偶数时，；当n为奇数时，=．∴．20．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由求得a=b，代入原函数求得则f′（1），再求出f（1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用导数求得g（x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函数f（x）=lnx﹣ax+的导函数，分析可知当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上递增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，结合，f（1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a=b．则f（x）=lnx﹣ax+，∴，则f′（1）=1﹣2a，又f（1）=0，∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切线上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；（2）证明：∵f（x）=lnx﹣ax+，∴=，令g（x）=（0＜x＜1），则=＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1时，；（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．当a=0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＜0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△=1﹣4a2＞0，得0．则当x∈（0，），（）时，f′（x）＜0；当x∈（）时，f′（x）＞0．设，则x1＜1，x2＞1，∵f（x）在（x1，1）上递增，∴f（x1）＜f（1）=0，又，∴存在，使得f（x0）=0，又，f（1）=0，∴f（x）恰有三个不同的零点．综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1•k2为定值即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得，a2=b2+c2，…又因为点在椭圆C上，所以，…解得a=2，b=1，，所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r＞0）．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．…由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1．…由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，…则．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，，…设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以=，…将m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值．…当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=±2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足．综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值．…2016年6月14日。

最新高考仿真模拟卷·新课标Ⅰ数学·（文卷一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集U R =，{}0x x A =≤，{}1x x B =≥，则集合()U A B =U ð（ ）A ．{}0x x ≥ B ．{}1x x ≤ C ．{}01x x ≤≤ D ．{}01x x <<2．设i 为虚数单位，复数 123,12z ai z i =-=+，若12z z 是 纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32-B ．32C ．- 6D ．63．具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如右表所示．若y 与x 的回归直线方程为233ˆ-=x y，则m 的值是（ ）A ．4B ．92C ．5D ．64．在区间[]5,5-内随机取出一个实数a ，则()0,1a ∈的概率为（）A ．0.5B ．0.3C ．0.2D ．0.15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16C ．1112D ．2524x 01 2 3 y -11m86．已知△ABC 为锐角三角形，且A 为最小角，则点 (sin cos ,3cos 1)P A B A --位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（ ）A ．ο90B ．ο60C ．ο45D ．ο308．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（）A ．1B ．1或2C ．2或-1D ．-19．给出下列命题：①“若2x >，则3x >”的否命题； ②“()0,a ∀∈+∞，函数xy a =在定义域内单调递增”的否定；③“π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数sin 2y x =的一个周期”；④“220x y +=”是“0xy =”的必要条件． 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．若 1(0,)2x ∀∈，均有 9log (0,1)xa x a a <>≠且，则实数a 的取值范围是（ ）A ．132,1-⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．130,2-⎛⎤⎥⎝⎦C ．132,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．131,2⎛⎫⎪⎝⎭11．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩若关于x 的方程[]25()(56)()60f x a f x a -++=（a R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5014a a <<=或B ．5014a a ≤≤=或 C ．5014a a <≤=或 D ．514a <≤或0a = 12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,abc ，且BC，则c bb c+取得最大值时，内角A 的值为（）A ．2π B ．6π C ．23π D ．3π 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知函数()f x 的定义域为[]2,3-，则()1f x -的定义域是．14．已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y -=，则14x y+的最小值为． 15．已知圆22:20(0)C x ax y a -+=>与直线:30l x +=相切，则a =． 16．已知数列 {}n a 的通项公式为 2n a n n λ=+，若此数列为单调递增数列，则实数λ的取值范围是____________．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos 0b C B =．（1）求tan B ；（2）若7b =，求ABC ∆的周长的最大值．18．（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足5532S a =-，1a ，2a ，5a 依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19．（本小题满分12分）如图，已知⊙O 的直径AB=3，点C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC=2，点M 为线段VB 的中点． （1）求证：BC ⊥平面VAC ； （2）若直线AM 与平面VAC 所成角为4π．求三棱锥B-ACM 的体积．20．（本小题满分12分）国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”，方案要求以学校为单位组织实施，某校对高三某班同学按照“国家学生体质健康数据测试”项目按百分进行测试，并对50分以上的成绩进行统计（最低分均超过50分），其频率分布直方图如图所示，若90100:分数段的人数为2人． （1）请求出7080:分数段的人数；（2）请根据测试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组．第二组．⋅⋅⋅．第五组）中任意选出两人，形成搭档小组，若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“搭档组”，试求选出的两人为“搭档组”的概率．21．（本小题满分13分）已知 12,F F 是椭圆等22143x y +=的左，右焦点，以线段 12F F 为直径的圆与圆C 关于直线x+y-2=0对称． （l ）求圆C 的方程；（2）过点P （m ，0）作圆C 的切线，求切线长的最小值以及相应的点P 的坐标．22．（本小题满分13分）已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式()1f x ≥在(]0,x e ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．数学·（文卷一）参考答案及解析1．D【命题立意】本题考查了集合运算，属于基础题.【解析】根据题意可得，{}|01A B x x x =≤≥U 或，所以{}|01U C A B x x =<<U . 2．B【命题立意】本题旨在考查复数 【解析】由题可知()()()()12312332612121255ai i z ai a a i z i i i ----+===-++-，又已知是纯虚数，则33202a a -=∴=，所以B 正确． 3．A【命题立意】本题旨在考查线性回归方程． 【解析】012331188,4244m m x y +++-++++====，利用(,)x y 在直线233ˆ-=x y 上，带入得m=4． 4．D【命题立意】本题旨在考查几何概型，关键是分清几何概型的几何度量． 【解析】因为所求事件对应的区间长度为1，所以()0,1a ∈的概率为10.110=，则选D ． 5．C【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．【解析】由程序框图知：第一次循环：s=0+12，n=2+2=4； 第二次循环：s=12+14=34，n=4+2=6； 第三次循环：s=34+16=1112，n=6+2=8； 不满足条件n ＜8，程序运行终止，输出s=1112． 6．A【命题立意】本题旨在考查三角函数 【解析】由题意可知角A小于3π，cos cos sin sin cos 02222A B A B B A A A B ππππ⎛⎫+>∴-<<∴<-=∴-> ⎪⎝⎭，又因为1cos 3cosA 1032A A π∠<∴>∴->，所以P 点的横纵坐标都为正值，所以A 正确． 7．C【命题立意】本题旨在考查随机抽样中的随机数概念和几何概型． 【解析】连接交于点，连接,．因为为中点，所以∥，所以 即为异面直线与 所成的角．因为四棱锥 为正四棱锥，所以 ，所以为在面 内的射影，所以 即为与面所成的角，即，因为，所以，．所以在直角三角形 中 ，即面直线与所成的角为． 8．C【命题立意】本题旨在考查等比数列．等差数列．可利用等比数列的通项公式及1324,,2a a a 成等差数列得到关于q 的方程，解答即可．【解析】因为23121,22a a q a a q ==，则有2111242a q a a q =+，解得q=1或q=－2，则选C ． 9．B【命题立意】本题考查简易逻辑的有关知识，考查命题的否定和否命题的区别，考查充分必要条件和三角函数的周期的求法，考查判断能力，属于基础题和易错题．【解析】对于①，“若x ＞2，则x ＞3”的否命题为“若x ≤2，则x ≤3”，为真命题； 对于②，若a=1，则y=1为常数函数，则命题“∀a ∈（0，+∞），函数y=a x 在定义域内单调递增”为假命题，故其否定为真命题；对于③，y=sinx 的最小正周期为2π，y=sin2x 的最小正周期为π，则命题“π是函数y=sinx 的一个周期”或“2π是函数y=sin2x 的一个周期”为真命题； 对于④，“x 2+y 2=0”可推出“xy=0”，反之，不一定推出，故为充分条件，则为假命题． 则真命题的个数为3．10．A【命题立意】本题旨在考查指数函数与对数函数．【解析】由指数函数与对数函数的图像可知01a <<，再11133219log 2212a a a --<∴≥∴≤<且a<1，所以A 正确．11．C【命题立意】本题旨在考查根的存在及根的个数判断；函数零点与方程根的关系，各种思想的综合运用，譬如转化，分类讨论，数形结合等，难度较大． 【解析】函数f （x ）图像如图：设t=f （x ）,有两种情况符合情况：原方程化为1216665()(56)0,,.(1,),5554t a t t a -⋅-==∈Q解得t =当t =， 4此时方程有个根;由题意知，当t=a 时，方程应有两个根，54≤结合图像知道，0<a 1或a=.【易错易误警示】本题作图容易出现问题问题，一定要考虑到图像与直线y=1逐渐逼近，但是不能达到；还有讨论的时候，第一种情况易漏． 12．D【命题立意】本题旨在考查解三角形问题，结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理把c bb c+转化为关于角A 的三角函数问题，再进行解答即可． 【解析】因为131sin 22a bc A ⨯=，得223sin a bc A=，则2222cos 23sin 2cos 3sin 2cos 4sin 6c b c b a bc A bc A bc A A A A b c bc bc π+++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭，所以当,623A A πππ+==时c bb c+取得最大值，则选D ． 13．[]1,4-【命题立意】本题考查了抽象函数的单调性.【解析】根据题意可得，213x -≤-≤，解得14x -≤≤. 14．3【命题立意】本题旨在考查指数运算和均值不等式求最值，要用到转化和化归思想． 【解析】312()2,3,32x y y x y x y --==∴-=-∴+=Q 利用均值不等式，1411414114114143()3()()()(5)3333y x x y x y x y x y x y x y x y+=⨯⨯++=⨯⨯+=⨯+⨯+=⨯++ 15)3,3≥=当且仅当4y x x y =时，,(0,)x y ∈+∞，即y=2x 取等号． 故14x y +的最小值为3． 15．3【命题立意】本题旨在考查直线与圆位置关系,可利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到关于a 的方程，求解即可．【解析】因为圆的方程为()222x a y a -+=，则有32a a +=，解得a=3． 16．λ＞﹣3【命题立意】本题旨在考查数列的性质 【解析】∵a n =n 2+λn ，∴a n+1=（n+1）2+λ（n+1）∵a n 是递增数列，∴（n+1）2+λ（n+1）﹣n 2﹣λn ＞0化简可得2n+1+λ＞0 ∴λ＞﹣2n ﹣1，对于任意正整数n 都成立，∴λ＞﹣3．17．（1；（2）21【命题立意】本题旨在考查解三角形，在解三角形时，若遇到边角混合条件，通常利用正弦定理或余弦定理先转化为角的关系或转化为边的关系再进行解答．【解析】（1）因为sin cos 0,sin sin cos 0b C B B C C B -=∴=sin 0C ≠因为,cos 0B ≠∴3tan =B（2）由（1）知，3B π=由22272cos a c ac B =+-,得2249a c ac =+-， 所以223()349()494a c ac a c +=+≤++所以14==7a c a c +≤（当且仅当时取等号），所以ABC ∆周长的最大值为21．18．（1）a n =2n-1．（2）21n n + 【命题立意】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．【解析】（1）设等差数列{a n }的公差这d ，则S 5=5a 1+10d ，∴5a 1+10d=3（a 1+4d ）-2，整理，得a 1=d-1，∵a 1，a 2，a 5依次成等比数列，∴a 22＝a 1a 5，即（a 1+d ）2＝a 1（a 1+4d ），整理，得d=2a 1，解得a 1=1，d=2，∴a n =2n-1．（2）b n =1111122121n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭， ∴T n =1111232121n n n ⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭L ． 19．（1）略（2）3B ACM V -=【命题立意】本题旨在考查立体几何中的线面垂直关系和利用空间向量求二面角的方法． 要求学生要有丰富的空间想象能力，严谨的逻辑推理能力和较强的运算能力．【解析】（1）证明：因为VC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以VC ⊥BC ，又因为点C 为圆O 上一点，且AB 为直径，所以AC ⊥BC ，又因为VC ，AC ⊂平面VAC ，VC ∩AC=C ，所以BC ⊥平面VAC ．（2）如图，取VC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥BC ，由（I ）得BC ⊥平面VAC ，所以MN ⊥平面VAC ，则∠MAN 为直线AM 与平面VAC 所成的角．即∠MAN=4π，所以MN=AN ；令AC=a,则，MN=2；因为VC=2，M 为VC 中点，所以,解得a=1因为MN ∥BC,所以133ABC B ACM M ABC N ABC S NC V V V ---====V g20．（1）18（2）815【命题立意】本题考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，考查等可能事件的概率，考查用列举法来数出事件数，这是一个概率与统计的综合题目．【解析】（1）由频率分布直方图可知：50～60（分）的频率为0.1，60～70（分）的频率为0.25，80～90（分）的频率为0.15，90～100分的频率为0.05；∴70～80（分）的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45，∵90～100分数段的人数为2人，频率为0.05；∴参加测试的总人数为40人． ∴70～80（分）数段的人数为40×0.45=18．（2）∵参加测试的总人数为40人，∴50～60（分）数段的人数为40×0.1=4人．设第一组50～60（分）数段的同学为A 1，A 2，A 3，A 4；第五组90～100分数段的同学为B 1，B 2，则从中选出两人的选法有：（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，A 4），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（B 1，B 2）共15种；其中两人成绩差大于20的选法有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2）共8种；则选出的两人为“搭档组”的概率为P=815． 21．（1）()()22221x y -+-=（2【命题立意】本题旨在考查直线与椭圆．【解析】由题意可知()()121,0,1,0F F -，线段12F F 的中点为坐标原点O ，设点O 关于直线20x y +-=对称的点C 的坐标为()00,x y ，则()000000122,222022x x y C y x y ⎧=⎪=⎧⎪⇒∴⎨⎨=⎩⎪+-=⎪⎩半径为1212F F =，所以圆C 的方程为()()22221x y -+-=（2）切线长=当PC 最小时，切线长取得最小值，当PC 垂直于X 轴，即点P位于()2,0处时，取min 2PC =22．（1）当0a ≤时，在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，单调递增区间：(,)a +∞，单调递减区间：(0,)a ；（2）1a ≥【命题立意】本题旨在考查导数的应用,可通过判断导数的符号求函数的单调区间，遇到不等式恒成立求参数范围问题，可先分离参数转化为求函数的最值问题进行解答．【解析】（1）定义域为221(0,),()a x a f x x x x-'+∞=-+=， ①当0a ≤时，0,0,()0x x a f x '>∴->∴>Q ，∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，当x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．∴函数()f x 的单调递增区间：(,)a +∞，单调递减区间：(0,)a（2）()1ln 1ln 1ln a a f x x x a x x x x x≥⇔+≥⇔≥-+⇔≥-+对任意(]0,x e ∈恒成立 令()ln ,g x x x x =-+(]0,x e ∈，所以()ln 0g x x '=-=由得x=1 ∴()g x 在(0,1]x ∈上单调递增，在(]1,x e ∈上单调递减∴max ()(1)1g x g ==，∴1a ≥．。

最新高考数学全真模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣2≤x ＜0}，B={x|x ＜﹣1}，则A ∩B=（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） B ．[﹣2，﹣1） C ．（﹣∞，﹣1） D ．（﹣2，+∞） 2．等差数列{a n }中，a 4+a 8=﹣2，则a 6（a 2+2a 6+a 10）的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．﹣4 D ．﹣8 3．定义：=ad ﹣bc ，若复数z 满足=﹣1﹣i ，则z 等于（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣iD ．3﹣i4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b ，则“不是整数”的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．5．设命题p ： =（m ，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q ：关于x 的函数y=（m ﹣1）log a x （a ＞0且a ≠1）是对数函数，则命题p 成立是命题q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不重充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不不要条件6．执行如图所示程序图，若N=7时，则输出的结果S 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上过F 的两个端点，设线段AB 的中点M 在l 上的摄影为N ，则的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．28．已知函数f （x ）=，则f （f （））=（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣39．△ABC 中，，，D 是BC 边中垂线上任意一点，则的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．﹣1 10．已知F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 1=60°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A．B．4 C．2 D．11．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12π C．πD．3π12．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+1，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数为奇函数，则实数a=_______．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为_______cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）15．若实数x，y满足，则的最大值是_______．16．已知数列{an }的前n项和为Sn，若2Sn+3=3an（n∈N*），则数列{an}的通项公式an=_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．（1）求角A；（2）若a是b，c的等比中项，判断△ABC的形状，并说明理由．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥CD；（2）求三棱锥A﹣CDM的体积．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率；（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率．20．过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线相交于不同的两点M、N．当|PM|=|PN|时，求实数m的值．21．已知函数f（x）=4lnx+a（1﹣x）．（1）若f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于a﹣4时，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣a|+m．（1）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|x＜﹣1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）B．[﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A=[﹣2，0），B=（﹣∞，﹣1），∴A∩B=[﹣2，﹣1），故选：B．2．等差数列{an }中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列性质得a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an }中，a4+a8=﹣2，∴a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，∴a6（a2+2a6+a10）=a6×4a6=4．故选：A．3．定义： =ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用新定义直接化简=﹣1﹣i，则iz=1，求出复数z，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案．【解答】解：根据定义=﹣zi﹣i=﹣1﹣i，则iz=1，∴．故选：C．4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出“不是整数”包含的基本事件个数，由此能求出“不是整数”的概率．【解答】解：∵在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，∴基本事件总数n=4×3=12，“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，∴“不是整数”的概率p==．故选：C．5．设命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）x（a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）logaA．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件 D．既不充分也不不要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥，利用向量共线定理即可得出mx（a＞0且a≠1）是对数函数，可得m﹣1=1，的值．命题q：关于x的函数y=（m﹣1）logax＞0，解得m．即可判断出结论．【解答】解：∵命题p： =（m，m+1），=（2，m+1），且∥，∴2（m+1）﹣m（m+1）=0，和化为（m+1）（m﹣2）=0，解得m=﹣1或2；x（a＞0且a≠1）是对数函数，∴m﹣1=1，x＞0，解命题q：关于x的函数y=（m﹣1）loga得m=2．则命题p成立是命题q成立的必要不充分条件．故选：B．6．执行如图所示程序图，若N=7时，则输出的结果S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】该算法的功能是求S=…的值，由裂项法即可求得S的值．【解答】解：由程序框图知：该算法的功能是求S=…的值，跳出循环时的k值为7，输出的S=…=1﹣++…+=1﹣=．故选：C．7．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质和梯形的中位线定理可得出|MN|=（|AF|+|BF|）=|AB|．【解答】解：过A作AP⊥l于P，过B作BQ⊥l于Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|．∵M为AB的中点，∴|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|．∴=．故选：A．8．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】利用分段函数的解析式，由里及外逐步求出函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（））=f（ln）=f（﹣1）=﹣1﹣2=﹣3．故选：D．9．△ABC中，，，D是BC边中垂线上任意一点，则的值是（）A．1 B．C．D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意作图辅助，设BC的中点为E，从而可得=（﹣）•=•=（+）•（﹣），从而解得．【解答】解：由题意作图如右图，设BC的中点为E，则=（﹣）•=•﹣•=•=（+）•（﹣）=（﹣）=1，故选：A ．10．已知F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 1=60°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．B ．4C ．2D ．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意可得F 2（，0），F 1（﹣，0），由余弦定理可得 PF 1•PF 2=16，由S=PF 1•PF 2sin60°，即可求得△F 1PF 2的面积． 【解答】解：由题意可得F 2（，0），F 1（﹣，0），在△PF 1F 2中，由余弦定理可得F 1F 22=16+4a 2=PF 12+PF 22﹣2PF 1•PF 2cos60° =（PF 1﹣PF 2）2+PF 1•PF 2=4a 2+PF 1•PF 2， 即有PF 1•PF 2=16． 可得S △=PF 1•PF 2sin60°=×16×=4．故选：B ．11．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（ ） A ．8π B ．12π C ．πD ．3π【考点】球的体积和表面积．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为， ∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长， ∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr 2=4=3π．故选：D ．12．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+1，则（）A．B．C．D．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】由题意可得：T==，可得ω，由图象可知：y的最大值为5，sin（ωx+φ）=1时取得最大值，可得5=A+1，解得A．故选：A．【解答】解：由题意可得：T==，可得ω=，由图象可知：y的最大值为5，sin（ωx+φ）=1时取得最大值，∴5=A+1，解得A=4．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数为奇函数，则实数a= 1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质得f（﹣x）=﹣f（x），代入解析式化简后求出a的值．【解答】解：因为函数为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即，化简得，，则a=1，故答案为：1．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50故此四棱锥的表面积为cm2．故答案为：15．若实数x，y满足，则的最大值是 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出其最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），而的几何意义表示平面区域内的点到原点0的斜率，显然OA的斜率最大，故的最大值是2，故答案为：2．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S n +3=3a n （n ∈N *），则数列{a n }的通项公式a n = 3n ．【考点】数列递推式．【分析】通过2a n+1=2S n+1﹣2S n 整理得a n+1=3a n ，进而可知数列{a n }是首项、公比均为3的等比数列，计算即得结论．【解答】解：∵2S n +3=3a n （n ∈N *），∴2S n+1+3=3a n+1（n ∈N *），两式相减得：2a n+1=3a n+1﹣3a n ，整理得：a n+1=3a n ，又∵2S 1+3=3a 1，即a 1=3，∴数列{a n }是首项、公比均为3的等比数列，∴a n =3n ，故答案为：3n ．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2acosB=2c ﹣b ．（1）求角A ；（2）若a 是b ，c 的等比中项，判断△ABC 的形状，并说明理由．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知等式及正弦定理，结合两角和的正弦函数公式化简可得2cosAsinB=sinB ，又sinB ≠0，可得cosA=，结合范围0＜A ＜π，即可求得A 的值．（2）由（1）知，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣bc ．又a 是b ，c 的等比中项，可得bc=b 2+c 2﹣bc 即解得b=c ，从而得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2acosB=2c ﹣b ，由正弦定理，得2sinAcosB=2sinC ﹣sinB …而sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB …∴2cosAsinB=sinB ，在△ABC ，sinB ≠0，故cosA=，∵0＜A ＜π，∴A=…（2）△ABC 是等边三角形，…理由如下：由（1）可知，在△ABC 中，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣bc ． … 由a 是b ，c 的等比中项，得a 2=bc ，所以bc=b 2+c 2﹣bc 即（b ﹣c ）2=0，从而b=c … 故△ABC 是等边三角形． …18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PDC 是正三角形，底面ABCD 是边长为的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC 与底面垂直，M 为PB 的中点．（1）求证：PA ⊥CD ；（2）求三棱锥A ﹣CDM 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知结合面与面垂直的性质可得CD⊥平面APO，再由线面垂直的定义得到PA⊥CD；（2）由题意求得P到底面的距离，然后把三棱锥A﹣CDM的体积转化为三棱锥M﹣ACD的体积求解．【解答】（1）证明：取DC的中点O，连接OP，OA，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC．在菱形ABCD中，由于∠ADC=60°，，，有AO⊥CD．又PO⊥CD，OA∩OP=O，则CD⊥平面APO，PA⊂平面APC，即CD⊥PA；（2）解：∵PO⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∵PDC是正三角形，且PD=，∴PO=．∵M是PB的中点，∴M到底面ABCD的距离，．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率；（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率．【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．【分析】先由茎叶图求出：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标，记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．从而可求从6天抽取2天的情况的事件数（Ⅰ）求出6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标的事件数，代入等可能事件的个数即可求解（Ⅱ）记至多有一天空气质量超标为事件B，2天都超标”为事件C，利用对立事件的概率P （B）=1﹣P（C）可求【解答】解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．…记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．从6天抽取2天的情况：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．∴；…（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，…故，…∴．…20．过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线相交于不同的两点M、N．当|PM|=|PN|时，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆定义可得：4a=，离心率计算公式，及其，即可得出．（2）直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式、等腰三角形的性质即可得出．【解答】解：（1）由椭圆定义知，，由，得c=， =1．椭圆C的方程为．（2）由方程组，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为E（x，y），则．∴∴由|PM|=|PN|得PE⊥MN，又P（0，﹣1）∴，∴m=1．满足△=12m2﹣24（m2﹣1）＞0．综上m=1．21．已知函数f（x）=4lnx+a（1﹣x）．（1）若f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于a﹣4时，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导得…①当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0时，，若，f'（x）＞0，f（x）单调递增．若，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减…（2）由（1）a＞0且时，f（x）取得最大值故．…＞a﹣4得，，解得0＜a＜4，又由f（x）max故所求a的取值范围为（0，4）．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）取BD的中点为O，连接OE，由角平分线的定义和两直线平行的判定和性质，结合圆的切线的定义，即可得证；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，运用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性质，即可得到所求EC的长．【解答】解：（1）证明：取BD的中点为O，连接OE，由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠OBE，又DE⊥EB，即有OB=OE，可得∠OBE=∠BEO，可得∠CBE=∠BEO，即有BC∥OE，可得∠AEO=∠C=90°，则直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，在△AOE 中，OA 2=OE 2+AE 2， 且即（r+2）2=r 2+62，解得r=2，OA=4，由OA=2OE ，可得∠A=30°，∠AOE=60°，可得∠CBE=∠OBE=30°，BE=2rsin60°=r ，则EC=BE=•r=××2=3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C 1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=﹣4cos θ．（1）求曲线C 1和C 2交点的直角坐标；（2）A 、B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB|最大时，求△OAB 的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由得，两式平方作和可得直角坐标方程，由ρ=﹣4cos θ可得：ρ2=ρcos θ，把ρ2=x 2+y 2，x=ρcos θ，代入可得直角坐标方程，联立解得交点坐标．（2）由平面几何知识可知，当A 、C 1、C 2、B 依次排列且共线时|AB|最大，此时，O 到直线AB 的距离为，即可得出．【解答】解：（1）由得两式平方作和得：x 2+（y ﹣2）2=4，即x 2+y 2﹣4y=0．①由ρ=﹣4cos θ⇒ρ2=ρcos θ，即x 2+y 2=﹣4x ②②﹣①：x+y=0，代入曲线C 1的方程得交点为（0，0）和（﹣2，2）．（2）由平面几何知识可知，当A 、C 1、C 2、B 依次排列且共线时|AB|最大，此时，O 到直线AB 的距离为，∴△OAB 的面积为：．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x|，g （x ）=﹣|x ﹣a|+m ．（1）解关于x 的不等式g[f （x ）]+2﹣m ＞0；（2）若函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象的上方，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；分段函数的应用．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）若函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象的上方，等价为f （x ）＞g （x ）恒成立，利用绝对值的运算性质进行求解即可．【解答】解：（1）由g[f （x ）]+2﹣m ＞0得||x|﹣a|＜2，∴﹣2＜|x|﹣a ＜2，∴a ﹣2＜|x|＜a+2故：当a ≥2时，不等式的解集为{x|﹣a ﹣2＜x ＜﹣a+2或a ﹣2＜x ＜a+2}当﹣2＜a ＜2时，不等式的解集为{x|﹣a ﹣2＜x ＜a+2}当a ≤﹣2时，不等式的解集为空集． …（2）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣a|+|x|恒成立…∵|x﹣a|+|x|≥|（x﹣a）﹣x|=|a|．∴m的取值范围为（﹣∞，|a|）．…2016年9月9日。

最新普通高等学校招生全国统一考试文科数学仿真卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共40分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式24S R π=V Sh=球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高334R V π= 棱台的体积公式其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥的体积公式 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，13V Sh =h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a ∈R ，则“a=－32”是“直线l 1: ax+2y －1=0与直线l 2: x+a(a+1)y+4=0垂直”的 （） A. 充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是 （）A. m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βB. m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nC. m ⊥α， n ⊂β， m ⊥n ，则α⊥βD. m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n3．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 （） A ．2716- B ．1516 C ．89D ．184．()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（） A.关于点(,0)12π对称 B.关于点5(,0)12π对称 C.关于直线512x π=对称 D.关于直线12x π=对称 5．设实数列{a n }和{b n }分别为等差数列与等比数列，且a 1=b 1=8，a 4=b 4=1，则以下结论正确的是（） A ． a 2＞b 2 B ． a 3＜b 3C ． a 5＞b 5 D ． a 6＞b 66．设4,a b ⋅=r r若a r 在b r 方向上的投影为2，且b r 在a r 方向上的投影为1，则a r 与b r 的夹角等于 （ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列结论错误．．的是（ ） A 、当0＜CQ ＜时，S 为四边形 B 、截面在底面上投影面积恒为定值C 、存在某个位置，使得截面S 与平面A 1BD 垂直D 、当CQ=34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R=8．在等腰梯形ABCD 中，//,2,1,2AB CD AB AD CD x ===且 其中(0,1)x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意(0,1)x ∈不等式12t e e <+恒成立，则t 的最大值为（）A.2B.3C. 2D.5第II 卷(非选择题，共l10分)二、填空题：本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分。

第4题图第2题图最新高三年级模拟考试（一）数学（理）试卷本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．复数i1i+在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．右面的程序框图输出S 的值为A ．16B ．32C ．64D ．1283．若非空集合,,A B C 满足A B C =I ，且A 不是B 的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．24 B ．20+42 C ．28 D ．24+ 425．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前k ≤4 开始 k =1，S =1 S =S ·2kk =2k9项和等于A ．26B ．30C ．36D ．406．若不等式组3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．37 B ．73 C ．34 D.437．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，||||PB PA =，则cos APB ∠的值为A ．12 B ．13C ．12-D ．13-8．若定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：x D ∀∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”．已知()21g x x =-，()3f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是A ．(10-∞，B ．1010⎡-⎣， C ．310⎡-⎣， D ．)10⎡+∞⎣，第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．261()x x+的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答）10．在△ABC 中，60A ∠=︒，1AC =，△ABC 的面积为3，则BC 的长为． 11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若30ABC ∠=︒，则AD 的长为______.12．若a ,b ,c 是单位向量，且0⋅=a b ，则()()-⋅-a c b c 的最大值为．13．已知函数2()log f x x =.若0b a ＜＜,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是． 14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．.................................1.....................第2行 (3)……………………………我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为，第n (n ∈N *)行中白圈与黑圈的“坐标”为________． 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．（本小题13分）已知函数()()cos sin cos f x x x x =-． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的最大值和最小值．16．（本小题13分）中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性； （Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在[8:00，23:00]内每个整点．．时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t 1，t 2，t 3，…，t 16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率． 17．（本小题14分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，90AED ∠=︒，AE ED =，H 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EH ∥平面FBD ； （Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角--B FD P 的大小为3π？若存在求出BP甲 乙的长，若不存在请说明理由.18．（本小题13分）已知函数21()()ax f x x x e a=--(a ≠0)． （Ⅰ）当12a =时，求函数()f x 的零点； （Ⅱ）求f (x )的单调区间； （Ⅲ）当0a >时，若02)(≥+ax f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围．19．（本小题14分）已知椭圆M :2222x y +=.（Ⅰ）求椭圆M 的离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，,,A B C 为椭圆M 上的三个动点，若四边形OABC 为平行四边形，判断ABC ∆的面积是否为定值，并说明理由．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数.（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()Nm m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．理科数学参考答案一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9. 20；11.1；13.()3+∞，；14.()1314，,-1-1313+122n n-（，）．三、解答题（共6个小题，共80分）15. 解：（Ⅰ）因为()()cos sin cos f x x x x =-()11sin 2cos212x x =-+……………………………………………4分12242x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．………………………………………………6分 所以函数)(x f 的最小正周期22T ππ==．……………………………7分（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， (8)分所以当244x ππ-=，即4x π=时，函数)(x f 取得最大值0， (10)分当242x ππ-=-，即8x π=-时，函数)(x f 取得最小值12． (12)分所以()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为0和12． ……………………………13分16. 解：（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高． ……………………………3分（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差． (7)分分由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：（800:，900:），（900:，1000:），（1000:，1100:）， （1100:，1200:），（1200:，1300:），（1300:，1400:）， （1400:，1500:），（1500:，1600:），（1600:，1700:）， （1700:，1800:），（1800:，1900:），（1900:，2000:）， （2000:，2100:），（2100:，2200:），（2200:，2300:）． 其中满足条件 “恰好有一个时刻的温差不小于3︒”的事件（记为A ）共有3个： （1100:，1200:），（1500:，1600:），（2000:，2100:）． 所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率31()155P A ==． ……………………………13分17.（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结HO ，FO ．因为四边形ABCD 为正方形， 所以O 是BD 的中点， 又H 是AD 中点，所以//OH AB ，12OH AB =．而//EF AB ，12EF AB =，所以//EF OH 且EF OH =，所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FBD ，EH ⊄平面FBD ， 所以//EH 平面FBD ．……………………………5分 （Ⅱ）证明：因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EHAD ⊥．因为//AB EF ，EF EA ⊥， 所以AB EA ⊥． 因为AB AD ⊥， 所以AB⊥平面AED ，CA因为EH ⊂平面AED ， 所以AB EH ⊥，所以EH⊥平面ABCD ．9分（Ⅲ）解：HE ，AD ，OH 两两垂直，如图．建立空间直角坐标系H －xyz ．则 ()100A ，，，0()10D -，，，()011F ，，()010O ，，，0()12C -，，设点()20()02P m m <≤，，，于是有()1,1,1DF =u u u r，(),1,1FP m =-u u u r．设平面PDF 的法向量(),,x y z =n ，则00n n DF FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur ，，即00x y z mx y z ++=⎧⎨+-=⎩，． 令1z =，得21x m =-，11m y m --=-．所以21,,111n m m m --⎛⎫=⎪--⎝⎭． 平面BDF 的法向量()1,1,0OA =-u u u r．所以cos 3n n OA OA π⋅=⋅u u u r u u u r，即12=．所以1m =-．所以点P 的坐标为()120-，，，与点C 的坐标相同． 所以2BP BC ==．……………………………14分18.解：(Ⅰ)令0)(=x f ， 即0)1(2=--axe ax x ． ……………………………1分因为0>axe,所以012=--ax x ． ……………………………2分ya41+=∆,因为0>a ,所以0>∆. 所以方程012=--ax x 有两个不等实根：12a x a +=，22a x a -=所以函数)(x f 有且只有两个零点1x =和2x = (3)分(Ⅱ)()()21axf x a x x e a ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭． …………………………4分 令()0f x '=，即()210a x x a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2x a =-或1x =． ………………5分当a6分7分8分综上，当0a >时，()f x 单调递增区间为2(,)a -∞-，(1,)+∞，单调递减区间为2(,1)a-； 当2a <-时，()f x 单调递增区间为2(,1)a -，单调递减区间为2(,)a-∞-，(1,)+∞； 当20a -<<时，()f x 单调递增区间为21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),1-∞，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． (9)分(Ⅲ)因为0a >，所以当2x a <-时，有20x >，2x a->，0a >， 所以210x x a-->，从而()0f x >． ……………………………10分当2x a ≥-时，由（Ⅱ）可知函数在1x =时取得极小值1(1)0a f e a=-<． 所以，()11a f e a=-为函数()f x 在R 上的最小值． ……………………………11分由题意，不等式02)(≥+ax f 对x R ∈恒成立，所以得021≥+-ae a a ，解得2ln 0≤<a ．所以a 的取值范围是(]0,ln 2．…………………………………………13分19.解：（Ⅰ）椭圆M 的标准方程为：2212x y +=所以a =1b =，1c =．所以椭圆M 的离心率2c e a ==.……………………4分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC 垂直平分OB ．所以A ，C ，B ．AC =OB =所以OAC ∆的面积1122OAC S AC OB ∆=⋅22411=. …………6分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得 222(21)4220k x kmx m +++-=，()()222216421220k m k m ∆=-+->，122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，122221my y k +=+．……………………9分 因为四边形OABC 为平行四边形，所以()12122242211,2kmm k OB OA OC x x y y k ⎛⎫=+=++= ⎪+⎝+⎭-u u u r u u u r u u u r ，．所以22422121kmm B k k -⎛⎫ ⎪⎝++⎭，，代入椭圆方程，化简得22214k m +=. …………………10分因为AC=====2m. …………………11分 点O 到AC 的距离d=. …………………12分所以OAC ∆的面积2OAC S AC d ∆1=⋅224m 1=⨯=综上，OAC ∆ ……………………………13分因为OAC ∆的面积等于ABC ∆的面积，所以ABC ∆的面积为定值4. …………………………………………14分xy20. 解：(Ⅰ)因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=. ……………1分由于11a =，所以21a p =+，231a p p =++.假设数列{}n a 是等差数列，那么1a ，2a ，3a 成等差数列.所以2132a a a =+，因而20p p -=，解得1p =或0p =.……………………2分由已知1p ≠，当0p =，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故p 的值不存在. 所以数列{}n a 不可能是等差数列.………………………………………………3分 (Ⅱ) 因为{}n a 是递减数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.因为11a =，所以21a p =-，231a p p =--.因为数列{}n a 是等比数列，所以22(1)1p p p -=--，得12p =或0p =（舍去）. 则212a =，公比1q 2=，故11()2n na -=. ……………………4分设12m n n n n <<<<…，那么11n n +≤，22n n +≤，…，m n m n +≤（1m ≥）．因为111122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (1122)n mn +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1212111111222222mn n n n n n m+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭......． (5)分因为12111(11111121122222212mn n n mn n m ++++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-)……6分 而11111111022222n m n m n a -+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即11122n m n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12111222n n n mn a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….即:数列{}n a 中的每一项大于其后任意()m m N *∈个项的和. (7)分(Ⅲ)由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以 2122210n n n n a a a a +--+->． ① 因为22122nn ->，所以212221n n n n a a a a +-->-. ②由①②知，2120n n a a +->，因此()2221222nnn n a a +-==-. ③ (9)因为{}2n a 是递减数列，同理得，2210n n a a --<， 故()212122122n n n n a a ----=-=-. ④由③④可知，()12nn n a a +-=-. ……………………11分 因此()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L()()()211222n -=+-+-++-L()()()()112122112333nn n⎡⎤⋅-----⎣⎦===---. 所以数列{}n a 的通项公式为()()2133nn a n N *-=-∈. ………………………13分。

最新高考仿真模拟考试文科数学试卷一、单选题（共12小题）1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A．①④B．②③C．③④D．①②3．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．11B．3C．2D．5．一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（）A．B．C．D．6．一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中x的值为（）A．5B．4C．3D．27．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O的等差数列{}，若a 3 =8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A．13，12B．13，13C．12，13D．13，148．曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．10．若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．B．C．D．11．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=l，BC=，则球O的表面积等于（）A．4B．3C．2D．12．若函数，并且，则下列各结论正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.数列的首项为3，为等差数列且，若，，则．14.已知向量，若，则16x+4y的最小值为．15.已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是．16.如图甲，在中，，，为．垂足，则，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，探究、、这三者之间满足的关系是三、解答题（共8小题）17.已知向量（1）当时，求的值；（2）已知在锐角ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，函数，求的取值范围．18.某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知，CD＝4，。

第三部分 高考模拟考场仿真测1时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2015·上饶市三模)已知i 是虚数单位，若(－1－2i)z ＝1－i ，则z －在复平面上所代表的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] 由(－1－2i)z ＝1－i 得， z ＝1－i －1－2i ＝(1－i )(－1＋2i )(－1－2i )(－1＋2i ) ＝1＋3i 5，∴z －＝15－35i ， ∴z －在复平面内对应点为(15，－35)，在第四象限．(理)当23<m<1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] D[解析] 取m ＝34∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，1，y ＝14－14i ， ∴选D ．2．(文)将函数y ＝sin(x ＋π6)(x ∈R)的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋5π12)(x ∈R)B ．y ＝sin(x 2＋5π12)(x ∈R)C ．y ＝sin(x 2－π12)(x ∈R)D ．y ＝sin(x 2＋5π24)(x ∈R)[答案] B[解析] y ＝sin(x ＋π6)――→左移π4个单位y ＝sin(x ＋5π12)――→各点横坐标扩大到2倍y ＝sin(12x ＋5π12)． (理)(2015·太原市一模)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12，0对称[答案] B[解析] 由已知得，ω＝2，平移后其解析式为f(x)＝sin2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －2π3＋φ，由题意得：－2π3＋φ＝－π，φ＝－π3，结合选项知，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象关于直线x ＝512π对称，选B ． 3．(2015·昆明市调研)给出下列四个命题：①∃m ∈R ，使f(x)＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数； ②∀x ∈R ，使e x －1>0；③∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β； ④∀φ∈R ，函数f(x)＝cos(x ＋φ)都不是奇函数． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] 当m ＝2时，f(x)＝x －1是幂函数，①正确；由指数函数的性质知②正确；当α＝π3，β＝－π3时，cos(α＋β)＝1＝cos α＋cos β，③正确；当φ＝π2时，f(x)为奇函数，④不正确，故选D ．4．(文)(2015·广州市测试)已知函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3，若在[－4,4]上任取一个实数x 0，则使f(x 0)≥0成立的概率为( )A ．425B ．12C．23D．1[答案] B[解析]由－x20＋2x0＋3≥0得－1≤x0≤3，所以在[－4,4]上任取一个实数x0，使f(x0)≥0的概率为3－(－1)4－(－4)＝12，故选B．(理)(2015·郑州市质量监测)某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．3种B．6种C．9种D．18种[答案] C[解析]共有两类选法，A选1门、B选2门和A选2门、B 选1门，因此共有C12C23＋C22C13＝9种不同选法．5．(文)若方程x2k－4－y2k＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为( )A．(2k,0)，(－2k,0) B．(0，－2k，)(0，－－2k) C．(2|k|，0)，(－2|k|，0) D．由k值确定[答案] D[解析]由(k－4)(k＋4)>0得k<－4或k>4，当k<－4时，焦点在y轴上；当k>4时，焦点在x轴上．故选D．(理)(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y28＝1D ．x 212＋y24＝1[答案] A[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y22＝1.6．(2014·乌鲁木齐地区5月诊断)已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥22x ＋y ≤44x －y ≥－1，若a ＝(x ，y)，b ＝(3，－1)，设z 表示向量a在b 方向上的投影，则z 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－1,6]C ．[－3210，610]D ．[－110，610][答案] C[分析] a 在b 方向上的投影z 是关于x 、y 的表达式，故脱去向量外衣后本题转化为线性规划问题，关键是准确应用概念“a 在b 方向上的投影”．[解析] 画出约束条件表示的平面区域如图所示．a 在b 方向上的投影为|a|cos 〈a ，b 〉＝a ·b 10＝3x －y 10，作直线l 0：3x －y ＝0，平移直线l 0，当直线l 0经过点(2,0)时，3x －y 取最大值6，当l 0经过点(12，3)时，3x －y 取最小值－32，∴a 在b 方向上的投影的取值范围为[－3210，610]．[方法点拨] 使用概念要准确、运用定理要规范数学中有大量的概念、公理、定理，只有准确地把握理解和运用，才能高效准确的解答数学问题．7．(文)已知数列{a n }中a n ＝n 2－kn(n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C．(－∞，2) D．(－∞，3][答案] B[分析] {a n}单调递增的含义是，对∀n∈N*，有a n＋1>a n成立，这是恒成立问题，本题易错之处是忽视n∈N*的限制条件，用二次函数对称轴求解误为k2≤1.[解析]a n＋1－a n＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，由于{a n}单调递增，故应有a n＋1－a n>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．(理)(2014·乌鲁木齐市诊断)在(x－ax)5的展开式中x3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为( )A．5 B．10C．15 D．20[答案] B[分析] 运用二项展开式的通项公式，易错点有二：一是项数和C r n的对应关系，二是项数与a、b的指数的对应关系，T r＋1＝C r n a n－r b r为展开式的第r＋1项而不是第r项．[解析]T r＋1＝C r5x5－r(－1)r a r x－r＝(－1)r a r C r5x5－2r，令5－2r＝3，∴r＝1，∴x3的系数为－5a＝－5，∴a＝1，∴(x－1x)5＝C05x5＋C15x4(－1x)＋C25x3(－1x)2＋C35x2(－1x)3＋C45x(－1x)4＋C55(－1x)5，∴各项的系数中最大值为C25＝10.[方法点拨] 考虑问题要全面，思考过程要严谨在审题过程中，要边读题边翻译，同时把特殊情形、细节问题、注意事项等记录下来，在解题过程中要予以关注，例如研究函数就要注意函数的定义域．8．(文)(2014·唐山市二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．1136B． 3C．533D．433[答案] B[解析]由三视图知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，设E为AD的中点，则BE⊥AD，PE⊥平面ABCD，△PAD 为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积V＝13×[12×(1＋2)×2]×3＝3，故选B．(理)(2014·吉林市质检)已知α、β为两个平面，且α⊥β，l为直线．则l⊥β是l∥α的( )A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] D[解析]如图①所示，α⊥β，l⊥β，但l⊂α；如图②所示，α⊥β，l∥α，但l⊂β，故l⊥β是l∥α的既不充分也不必要条件．9．(2015·福州市质检)执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为( )A．(8,2) B．(8,3)C．(16,3) D．(16,4)[答案] D[解析]开始→x＝1，y＝0，判断y≤3成立，第一次循环，x＝2，y＝1；再次判断y≤3仍然成立，第二次循环，x＝4，y＝2；第三次循环，x ＝8，y ＝3；第四次循环，x ＝16，y ＝4，此时y ≤3不成立，输出有序实数对(16,4)后结束，故选D ．10．(文)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x>1的图象和函数g(x)＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[分析] 不能准确作出两函数在相应区间的图象，以及分不清两函数图象的相应位置关系是造成失误的主要原因．[解析] 分别在同一坐标系内作出两函数的图象．如图所示，观察易知两函数图象有且仅有3个交点．[点评] 在判断函数图象交点的个数或利用函数图象判断方程解的个数时，一定要注意函数图象的相对位置关系，可以取特殊值验证一下，如取x ＝12时，4x －4<log 2x ，即此时对应函数图象上的点应在相应直线的上侧，因此我们可以通过取特殊值的方法相对准确地确定两函数图象的相对位置关系．(理)已知函数f(x)＝|x ＋1x |－|x －1x |，若关于x 的方程f(x)＝2m有四个不同的实根，则实数m 的取值m 范围是( )A ．(0,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[答案] D[解析]f(x)＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2xx ≥1，2x 0<x<1，－2x －1<x<0，－2xx ≤－1.f(x)＝2m 有四个不同的实数根，由数形结合法得0<m<1.[点拨] 作图要准确，用图要严密要抓住关键点(最高、最低点，与坐标轴的交点、端点、两图象的交点、极值点、对称中心等)，变化趋势(增减性、增长或减少的快慢)，正负值、对称性等．11．(文)(2015·福建质量检查)若直线ax ＋by －1＝0(a>0，b>0)过曲线y ＝1＋sin πx(0<x<2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．2＋1B ．4 2C ．3＋2 2D ．6[答案] C[解析] ∵曲线y ＝1＋sin πx(0<x<2)的对称中心是点(1,1)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b)＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2a ＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b 的最小值是3＋22，故选C ．[易错分析] 本题容易造成如下错解：由直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)可得a ＋b ＝1.又a>0，b>0，所以a ＋b ＝1≥2ab ，则0<ab ≤14，1ab ≥4，所以1a ＋2b≥22ab ≥42，选择B ．在上面的解题过程中，两次运用了基本不等式，但两次等号成立的条件不同，第一次是a ＝b ，第二次是2a ＝b ，在a>0，b>0时不能同时满足，所以42取不到．所以在求最值时，如果多次运用基本不等式，一定要检验各次等号成立的条件是否能够同时成立．(理)(2015·杭州市第一次质检)设对任意实数x>0，y>0，若不等式x＋xy≤a(x＋2y)恒成立，则实数a的最小值为( )A．6＋24B．2＋24C．6＋24D．23[答案] A[分析] 本题乍一看会感到无从着手，从分离参数的角度得到a≥x＋xyx＋2y，往下又不知如何进行，但如果仔细观察，就会发现不等式的两边对于字母x、y来说都存在二次关系(x与x、y 与y)，因此可考虑采用化归的思想将已知不等式转换为一元二次不等式或基本不等式的形式求解．[解析]原不等式可化为(a－1)x－xy＋2ay≥0，两边同除以y得(a－1)xy －xy＋2a≥0，令t＝xy，则(a－1)t2－t＋2a≥0，由不等式恒成立知a－1>0，从而相应二次函数的对称轴t＝12(a－1)>0，∴Δ＝1－4(a－1)·2a≤0，解得a≥2＋64，∴a min＝2＋64，故选A．[易错分析] 二元不等式恒成立问题的处理具有很大的难度，对于由双元到单元的转换大多数考生容易出现错误，此类问题解决的关键在于明确转化目标及整体意识．12．(2014·郑州市质检)等差数列{a n }中的a 1、a 4027是函数f(x)＝13x 3－4x 2＋12x ＋1的极值点，则log 2a 2014( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] A[解析] 令f ′(x)＝x 2－8x ＋12＝0则x 1＝2，x 2＝6，即a 1＝2，a 4027＝6或a 1＝6，a 4027＝2，a 2014＝a 1＋a 40272＝4∴log 2a 2014＝2，故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(文)若sinx ＋siny ＝13，则siny －cos 2x 的最大值为________．[答案] 49[分析] 本题易将siny －cos 2x 转化为(13－sinx)－cos 2x ＝sin 2x－sinx －23，误认为sinx ∈[－1,1]，致使问题转化不等价而导致解题错误．[解析] 由已知条件有siny ＝13－sinx ，且siny ＝(13－sinx)∈[－1,1]，结合sinx ∈[－1,1]，得－23≤sinx≤1，而siny －cos 2x ＝13－sinx －cos 2x ＝sin 2x －sinx －23，设t ＝sinx(－23≤t ≤1)，则原式＝t 2－t －23＝(t －12)2－1112(－23≤t ≤1)，因为对称轴为t ＝12，故当t ＝－23，即sinx ＝－23时，原式取得最大值49.[点拨] 1.简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．2．直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观具体的问题．3．特殊化策略对于某个在一般情况下成立的结论或恒成立问题，可运用一般与特殊相互转化的化归思想，将一般性问题特殊化、具体化，使问题变得简便．4．换元化归思想形如y ＝f(g(x))的表达式，可通过设t ＝g(x)得到新的函数关系y ＝f(t)，换元后要注意新元的取值范围．5．在研究直线与圆锥曲线位置关系，公共点个数时，常常要通过消元化为一元二次方程用根的判别式来判断，但此时一定要注意是否为完整曲线，否则应数形结合以确定正确答案．6．在进行某些变形时(如不等式两边同乘以一个代数式，等式两边平方，两等式(或不等式)的两边相乘等等)一定要考虑取值范围的变化是否影响题目结果的变化．7．用换元法解题，换元后一定要考虑新元的取值范围． (理) (2015·洛阳市期末)如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos C＝________.[答案] 79[解析] 由已知得：cos ∠ABC ＝1－2sin 2∠ABC 2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝13，过C 作CE ∥AB ，交BD 的延长线于E ，则DE BD ＝CE AB ＝DC AD ＝12，∴CE ＝1，DE ＝233，BE ＝23，cos ∠BCE ＝－cos ∠ABC ＝－13，在△BCE 中，由余弦定理得：cos ∠BCE ＝BC 2＋CE 2－BE 22BC ·CE ，即BC 2＋1－122BC ＝－13，∴3BC2＋2BC －33＝0，解得BC ＝3(负根已舍)，在△ABC 中，由余弦定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BCcos ∠ABC ＝4＋9－2×2×3×13＝9，再由余弦定理得：cosC ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝9＋9－42×3×3＝79.14．(2015·乌鲁木齐地区三诊)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰三角形，e 为双曲线的离心率，则e 2＝________.[答案] 5－2 2[解析] 设|AF 2|＝m ，∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝2a ＋m ，又|AF 1|＝|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|＝m ＋|BF 2|，∴|BF 2|＝2a ，又|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|BF 1|＝4a.依题意|BF 1|＝2|AF 1|，即4a ＝2(2a ＋m)，∴m ＝2(2－1)a ，在Rt △F 1AF 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2，即8a 2＋(22a －2a)2＝4c 2，整理得c 2＝5a 2－22a 2，∴e 2＝5－2 2.[方法点拨] 高考对运算能力要求很高，它要求运算过程合理，计算准确，逻辑严密，平时做练习题时，有些题目可以审审题、梳理一下思路即可，但一定要保证有足量的题目严格规范写出解答过程，以养成周密答题的良好习惯，以免手生，眼高手低．15．(2015·河南省高考适应性测试)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ＋1，x ＋y ＋k ≤0.(k 为常数)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是113，则实数k 的值是________． [答案] －3[解析] 由题意可得，直线x ＋y ＋k ＝0经过y ＝2x ＋1与2x＋y ＝113的交点A ，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73，23， ∴k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73＋23＝－3.16．(文)(2015·长沙市模拟)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，OP→＝OA→＋tAB →.若点P 在x 轴上，则实数t 的值为________． [答案] －23[解析] 因为点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，所以OA →＝(1,2)，AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)，设P(x ，y)，OP→＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，令y ＝2＋3t ＝0得t ＝－23，则x ＝－1，所以当t ＝－23时，点P(－1,0)在x 轴上． (理)(2015·河南八市质量监测)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋ax 6的展开式中含x 2项的系数为12，则展开式的常数项为________．[答案] 160[解析] 由T T ＋1＝C r6·x 6－r 2·a r ·x －r 2＝a r ·C r 6·x 3－r ，当r ＝1时，x2的系数为a ·C 16＝6a ＝12，∴a ＝2.所以当r ＝3时，常数项为23·C 36＝8×6×5×43×2×1＝160. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(文)(2015·河北衡水中学一模)在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n .(1)证明：数列{b n }是等差数列，并求S n ； (2)比较a n 与S n ＋7的大小．[解析](1)证明：∵b n＝1a n－1，a n＋1＝2－1a n，∴b n＋1＝1a n＋1－1＝1a n－1＋1＝b n＋1，∴b n＋1－b n＝1.∴数列{b n}是公差为1的等差数列．由a1＝35，b n＝1a n－1得b1＝－52，∴S n＝－5n2＋n(n－1)2＝n22－3n.(2)解法1：由(1)知：b n＝－52＋1×(n－1)＝n－72，由b n＝1a n－1得a n＝1＋1b n ＝1＋1n－72.∴a n－S n－7＝－n22＋3n－6＋1n－72.∵当n≥4时，－n22＋3n－6是减函数，1n－72也是减函数，∴当n≥4时，a n－S n－7≤a4－S4－7＝0.又∵a1－S1－7＝－3910<0，a2－S2－7＝－83<0，a3－S3－7＝－72<0，∴∀n∈N*，a n－S n－7≤0.∴a n≤S n＋7.解法2：由(1)知，b n＝n－7 2，又b n＝1a n－1，∴a n＝2n－52n－7，S n＝n22－3n.当n>3时，易知{a n}是递减数列，S n是递增数列．又a1＝35，S1＋7＝92，a1<S1＋7；a2＝13，S2＋7＝3，a2<S2＋7；a3＝－1，S3＋7＝52，∴a3<S3＋7；a4＝3，S4＋7＝3，∴a4＝S4＋7.当n>4时，a n<3，S n＋7>3，从而a n<S n＋7.综上对任意n∈N*有，a n≤S n＋7.(理)(2014·湖南理，20)已知数列{a n}满足a1＝1，|a n＋1－a n|＝p n，n∈N*.(1)若{a n}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝12，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．[分析] 第(1)问常因忽视{a n}是递增数列致误；第(2)问常因变换欠严密致误．[解析](1)因为数列{a n}为递增数列，所以a n＋1－a n≥0，则|a n ＋1－a n|＝pn⇒a n＋1－a n＝p n，分别令n＝1、2可得a2－a1＝p，a3－a 2＝p 2⇒a 2＝1＋p ，a 3＝p 2＋p ＋1，因为a 1,2a 2,3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3⇒4(1＋p)＝1＋3(p 2＋p ＋1)⇒3p 2－p ＝0⇒p ＝13或0.当p ＝0时，数列a n 为常数数列不符合数列{a n }是递增数列，所以p ＝13. (2)∵{a 2n －1}是递增数列，∴a 2n ＋1－a 2n －1>0，∴(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0，①∵122n <122n －1，∴|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|，② 由①②知a 2n －a 2n －1>0，∴a 2n －a 2n －1＝(12)2n －1＝(－1)2n 22n －1，③ ∵{a 2n }是递减数列，同理得a 2n ＋1－a 2n <0，∴a 2n ＋1－a 2n ＝－(12)2n ＝(－1)2n ＋122n ，④ 由③④得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋(－1)n2n －1 ＝1＋12×[1－(－12)n －1]1＋12＝43＋13·(－1)n 2n －1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝43＋(－1)n3·2n－1.[方法点拨] 数学思维、证明要求严谨，步步有据，条理清楚，在数列、不等式、立体几何、解析几何大题的解答过程中，对逻辑严密都有一定的要求，解题过程中要注意条件充分，推理有据，语言准确，书写规范．18．(本题满分12分)(文)(2014·安徽文，19)如图，四棱锥P －ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G、E、F、H分别是棱PB、AB、CD、PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．[审题要点] (1)欲证GH∥EF，因为BC∥平面GEFH，所以由线面平行的性质定理和公理4可获证．(2)由四条侧棱长相等及底面是正方形可知四棱锥为正四棱锥，P在底面射影为正方形ABCD的中心，欲求四边形的面积，由(1)知四边形GEFH为梯形，由于平面GEFH⊥平面ABCD，交线EF，故过G作GK⊥EF，则GK为梯形的高，且GK∥PO，于是问题转化为由相似关系求GK的长度和GH的长度．[解析]∵BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，∴GH∥BC．同理可证EF∥BC，∴GH∥EF.(2)连接AC、BD交于一点O，BD交EF于K，连接OP、GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可证PO⊥BD，又∵BD∩AC＝O，且AC、BD都在底面内，∴PO⊥平面ABCD，又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，∴PO∥平面GEFH.又∵平面GEFH∩平面PBD＝GK，∴PO∥GK，且GK⊥平面ABCD，∴GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．∵AB＝8，EB＝2，∴EB AB＝KB DB＝14，∴KB＝14DB＝12OB，即k为OB的中点，又∵PO∥GK，∴GK＝12 PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.又由已知得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6. ∴GK＝3.∴四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.[易错警示] 1.应用线面平行的性质定理时交待不清，步骤不完整，不规范．2．不能从已知条件中发现正四棱锥关系，因而找不到棱锥高PO∥平面GEFH，打不通思路．3．比例关系不清，计算错误．(理)(2015·柳州市模拟)已知平行四边形ABCD(图1)中，AB＝4，BC＝5，对角线AC＝3，将△ACD沿AC折起至△PAC位置(图2)，使二面角P－AC－B为60°，G，H分别是PA，PC的中点．(1)求证：PC⊥平面BGH；(2)求二面角P－BG－H的余弦值．[解析](1)过C作CE∥AB且CE＝AB，连BE，PE.∵AC2＋AB2＝BC2，∴AC⊥AB，所以四边形ABEC是矩形．又AC⊥CE，PC⊥AC，∴AC⊥面PEC，所以∠PCE是二面角P－AC－B的平面角，∴∠PCE＝60°.∵PC＝CE＝4，∴△PCE为正三角形．∵BE∥AC，∴BE⊥面PEC，∴BE⊥PE，∴PB＝PE2＋BE2＝5＝BC．而H是PC的中点，∴BH⊥PC，∵G、H是△PAC的中位线，∴GH⊥PC，∵GH∩BH＝H，∴PC⊥平面BGH.(2)以CE的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，－2,0)，P(0,0,23)，C(0，－2,0)．易求得面PAB 的法向量为n ＝(23，0,3)，而平面BGH 的法向量为PC→＝(0，－2，－23)， 所以|cos 〈n ，PC →〉|＝3714. 故二面角P －BG －H 的余弦值是3714. 19．(本题满分12分)(文)(2015·洛阳市期末)如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中用m(m ∈N)表示．(1)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；(2)当m ＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率．[解析](1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，由14(87＋89＋91＋93)＝14[85＋90＋91＋(90＋m)]，得m＝4，设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有：0,1,2，…，9时共有10种可能．当m＝4时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，∴当a＝5,6,7,8,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有5种可能．∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P(A)＝510＝12.(2)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分”为事件B．当m＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有16种，分别是：(87,85)，(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,90)，(89,91)，(89,93)，(91,85)，(91,90)，(91,91)，(91,93)，(93,85)，(93,90)，(93,91)，(93,93)．事件B的结果有8种，它们是：(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,93)，(91,85)，(93,85)，(93,90)．∴两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率P(B)＝816＝1 2.(理)(2015·石家庄市二模)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图．若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计(2)将频率视为概率．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0) 0.100.050.0250.010.001k02.7063.8415.0246.63510.828[解析](1)2×2列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55 女20 25 45 合计60 40 100K2＝100(40×25－15×20)260×40×55×45≈8.2498．249>6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．(2)视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为25.由题意可知X～B⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，25，P(x＝i)＝C i3⎝⎛⎭⎪⎪⎫25i⎝⎛⎭⎪⎪⎫353－i(i＝0,1,2,3)从而分布列为X 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125E(X)＝np ＝65，D(X)＝np(1－p)＝1825.20．(本题满分12分)(文)已知函数f(x)＝x 3＋3|x －a|(a>0)． (1)当a ＝1时，曲线y ＝f(x)上P 点处的切线与直线x －3y －2＝0垂直，求P 点的坐标；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析] (1)∵直线x －3y －2＝0的斜率为13，∴切线的斜率为－3. 由f(x)＝x 3＋3|x －1|得：当x ≥1时，f(x)＝x 3＋3x －3，f ′(x)＝3x 2＋3＝－3不成立，∴切线不存在；当x<1时，f(x)＝x 3－3x ＋3，f ′(x)＝3x 2－3＝－3， ∴x ＝0，∴P 点的坐标为(0,3)．(2)当x ≥a 时，f(x)＝x 3＋3x －3a ，f ′(x)＝3x 2＋3>0， ∴f(x)单调递增．当x<a 时，f(x)＝x 3－3x ＋3a ， f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，若0<a ≤1，f ′(x)＝0时，x ＝－1；f ′(x)>0时，x<－1；f ′(x)<0时，－1<x<a ；若a>1，f ′(x)＝0时，x ＝±1；f ′(x)>0时，x<－1或1<x<a ；f ′(x)<0时，－1<x<1.综上可得：当0<a≤1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(a，＋∞)，单调递减区间为(－1，a)；当a>1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)．[方法点拨] 1.含参数的数学问题，参数变化时，往往会导致结果的不同，这时要注意分类讨论，并且要注意与恒成立问题加以区分．2．有些数学问题，依据条件可以得到不同位置状态的图形，这时要根据其不同位置进行分类讨论．3．许多数学概念本身都是涉及分类的，如绝对值、指对函数、直线斜率、圆锥曲线定义等等．这类问题要注意是否需要分类讨论．4．把分类定义的数学概念，或涉及概念中有限定范围的单独找出来，弄清它们的本质，遇到相关题目时，首先看是否涉及分类，就能有效提高解题正确率．5．熟练掌握高中教材中有关的几何图形的性质中涉及分类讨论的内容，才能在解题中立于不败之地．(理)设函数f(x)＝x－2x－alnx(a∈R)．(1)当a＝3时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[分析] 第(2)问，由于f(x)解析式中含参数a，f(x)的单调性受a的值的制约，需要分类讨论，关键是分类标准的确定要明确．[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝3时，f ′(x)＝1＋2x 2－3x＝x 2－3x ＋2x 2＝(x －1)(x －2)x 2， 令f ′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. f ′(x)与f(x)随x 的变化如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)递增极大值递减极小值递增所以f(x)在x ＝1处取得极大值f(1)＝－1； 在x ＝2处取得极小值，f(2)＝1－3ln2. (2)f ′(x)＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x2. 令g(x)＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8，①当|a|≤22时，Δ≤0，f ′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a<－22时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；③当a>22时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0，f ′(x)与f(x)随x 的变化如下表： x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)递增极大值递减极小值递增故f(x)在(0，a －a 2－82)，(a ＋a 2－82，＋∞)上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减．综上，当a ≤22时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>22时，f(x)在(0，a －a 2－82)，(a ＋a 2－82，＋∞)上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减．21．(本题满分12分)(文)(2015·昆明市质检)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)经过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，12，离心率为32. (1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 相切于点T ，且交两坐标轴的正半轴于A ，B 两点，求|AB|的最小值及此时点T 的坐标．[解析] (1)由题可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，则a 2＝4b 2，∵椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2＝4b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为x m ＋yn＝1(m>0，n>0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x m ＋yn＝1，消去x 得，(m 2＋4n 2)y 2－2m 2ny ＋n 2(m 2－4)＝0.∵直线l 与C 相切，∴Δ＝4m 4n 2－4n 2(m 2＋4n 2)(m 2－4)＝0，化简得m 2＋4n 2－m 2n 2＝0，∵m>2，∴n 2＝m 2m 2－4.∵m 2＋n 2＝m 2＋m 2m 2－4＝5＋m 2－4＋4m 2－4≥9，当且仅当m 2－4＝4m 2－4时“＝”成立，即m ＝6，n ＝ 3.∴|AB|＝m 2＋n 2≥3，故|AB|的最小值为3.此时由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x 6＋y3＝1，解得切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫263，33.(理)(2015·杭州市质检)在直角坐标系xOy 中，设点A(－1,0)，B(1,0)，Q 为△ABC 的外心．已知CG→＋2OG →＝0，QG ∥AB ． (1)求点C 的轨迹Γ的方程；(2)设经过F(0，2)的直线交轨迹Γ于点E ，H ，直线EH 与直线l ：y ＝322交于点M ，点P 是直线y ＝2上异于点F 的任意一点．若直线PE ，PH ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在实数t ，使得1k 1＋1k 2＝tk 3？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设C(x ，y)，∵CG →＋2OG →＝0，∴G(x 3，y 3)，设Q(x 1，y 1)，∵Q 为△ABC 的外心， ∴Q 在线段AB 的中垂线上， ∴x 1＝0，又QG∥AB，∴y1＝y′3，∴Q(0，y3 )，根据|QA|＝|QC|，得x2＋y23＝1(y≠0)．(2)当直线EF的斜率不存在时，t＝2.设直线EF的斜率为k，则直线EH的方程为y＝kx＋2，点M坐标为(22k，322)．把直线方程代入椭圆方程3x2＋y2＝3并整理，得(k2＋3)x2＋22kx－1＝0，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，P(a，2)(a≠0)，则有x1＋x2＝－22kk2＋3，x1x2＝－1k2＋3，所以1k1＝x1－ay1－2＝x1－akx1，1k2＝x2－akx2，1k3＝1k－2a.又因为1k1＋1k2＝x1－akx1＋x2－akx2＝2k－22a，故存在常数t＝2符合题意．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本题满分10分)(2015·东北三校二模)如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O 于点A ，CD 是∠ACB 的平分线，交AE 于点F ，交AB 于点D ．(1)求证：CE ·AB ＝AE ·AC ； (2)若ADDB ＝12，求证：CF ＝DF.[解析] (1)证明：由CA 为切线知，∠CAE ＝∠CBA ，又∠C 为公共角，∴△ACE ∽△BCA ，得CE AC ＝AEAB ，CE ·AB ＝AE ·AC ．(2)证明：∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACF ＝∠BCD ， ∵AC 为圆的切线，∴∠CAE ＝∠CBD ，∴∠ACF ＋∠CAE ＝∠BCD ＋∠CBD ，即∠AFD ＝∠ADF ， 所以AF ＝AD ， ∵△ACF ∽△BCD ，∴CF CD ＝AF BD ＝AD BD ＝12，∴CF ＝DF. 23．(本题满分10分)(文)(2015·云南省统考)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求证：曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0； (2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值．[解析] (1)证明：∵ρ＝21－cos θ，∴ρ－ρcos θ＝2，即ρ＝ρcos θ＋2，∴ρ2＝(ρcos θ＋2)2. ∴x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0， ∴曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，∴2x ＋y ＋4＝0.∴曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＋4＝0. ∵M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，∴|M 1M 2|的最小值等于M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值．设M 2(r 2－1,2r)，M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ， 则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫r ＋122＋345≥325＝3510.∴|M 1M 2|的最小值为3510.(理)(2015·昆明市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝4t 2－6，(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，l 与C 相交于A ，B 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)设线段AB 的中点为M ，求点M 的极坐标．[解析] (1)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12t ，y ＝32t ，(t 为参数)，曲线C 的普通方程为y ＝x 2－6. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12t ，y ＝32t ，代入y ＝x 2－6，得t 2－23t －24＝0， ∴Δ＝108>0，t 1＋t 2＝23，∴t 1＋t 22＝ 3.即点M 所对应的参数为 3. ∴点M的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，π3. 24．(本题满分10分)(2015·太原市一模)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x －a|，a ∈R.(1)当a ＝3时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)＝|x －1＋a|，求x 的取值范围．[解析] (1)当a ＝3时，f(x)＝|2x －1|＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4，x ≥3，x ＋2，12<x<3，4－3x ，x ≤12，其图象如图所示，与直线y ＝4相交于点A(0,4)和B(2,4)，∴不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x ≤2}；(2)∵f(x)＝|2x －1|＋|x －a|≥|(2x －1)－(x －a)|＝|x －1＋a|. ∴f(x)＝|x －1＋a|⇔(2x －1)(x －a)≤0，①当a<12时，x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|a ≤x ≤12； ②当a ＝12时，x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12； ③当a>12时，x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪12≤x ≤a .。

最新高考仿真考试理数试卷第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2lg,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭,则 R M N ⋂=ð( ) A ()0,2 B ()0,2 C [)1,2 D ()0,+∞2．已知复数z 满足()311z i i +=-, 则复数z 对应的点在（ ）上 A 直线12y x =-B 直线12y x =C 直线12x =-D 直线 12y =- 3．下列命题中为真命题的是（ ） A ． 若x ≠0，则x+≥2B ． 命题：若x 2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠﹣1，则x 2≠1C ． “a=1”是“直线x ﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D ． 若命题p ：∃x ∈R ，x 2﹣x+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0 4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm 的概率是( ) A.B.25 C.38 D.355．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A.12 B.24 C.30 D.486．已知{}n a 为正项等比数列，S n 是它的前n 项和.若116a =，且 a 4与a 7的等差中项为98，则5S 的值 ( ) A ．29 B ．31 C ．33 D ．35 7．已知某程序框图如图所示，则输出的i 的值为 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10俯视图左视图正视图32458．函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像与函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像（ ） A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B 有相同的对称中心但无相同的对称轴C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴9.从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有 A.180 B.220 C.240 D.26010．已知函数f （x ）=e x ﹣mx+1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ）． A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. （，+∞） C.1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (),e +∞ 11.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点．将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为( )A ．86πB ．66πC ．64πD ．62π12.已知双曲线()22*214x y b N b-=∈的两个焦点12,F F ，点P 是双曲线上一点，11225,,,OP PF F F PF <成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）A 2B 3 C53D 52第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

最新高考仿真考试文数一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U =A U B ，则集合［u （A I B ）中的子集个数为A ．4B ．7C ．8D ．9 2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是A ．AB ．BC ．CD ．D3．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为A.（35，－45）B.（45，－35） C ．（－35，45）D ．（－45，35）4．若函数225,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩是奇函数，则实数a 的值是Ａ．10- Ｂ．10 Ｃ．5- Ｄ．55．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a nn}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 46．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π7. 已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点 （x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是A.(1－3，2)B.(0，2)C.(3－1，2)D.(0，1+3)8．如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数1a ，2a ，…，N a ， 输出A ，B ，则A .A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和B .2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C .A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数 D .A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数9.将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增10．已知函数f (x )＝x x xx ee e e --+-＋1，则f (lg 2)＋f （lg 12）＝ A ．－1 B ．0C ．1 D ．211.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，联结AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为A.35B.67C.45D.5712.在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图像不可能是B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 14.若一个球的表面积为100π，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为124,3r r ==．则两截面间的距离为________．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =________.16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

最新高三第二次模拟考试数学试题（文）第Ⅰ卷 （共50分）1.复数z 满足i z i +=-7)21(，则复数=z(A)i 31+(B)i 31- (C) i +3(D)i -32.已知全集U R =，集合{}{}()3021,log 0,x U A x B x x A C B =<<=>⋂=则 (A){}1x x > (B){}0x x >(C){}01x x << (D){}0x x <3.命题“存在R x ∈，使a ax x 42-+≤0为假命题”是命题“016≤≤-a ”的(A)充要条件 (B)必要不充分条件(C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件4.若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为 ( ) (A) 22(2)(2)3x y -+±=(B) 22(2)(3)3x y -+±= (C)22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(3)4x y -+±=5.在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若22241c b a +=，则cBa cos 的值为 (A)41(B)45(C)85(D)836.已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是（） (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④7.函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图像大致是(A) (B) (C) (D) 8.已知数列{}{},n n a b 满足*11111,2,n n n nb a b a a n N b ++==-==∈，则数列{}n a b 的前10项和为 (A)()101413- (B)()104413- (C)()91413- (D)()94413-9.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若0＜k ＜31, 则椭圆的离心率的取值范围是 (A)⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31(C)⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 (D)⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3210. 定义在实数集R 上的函数)(x f ，对定义域内任意x 满足0)3()2(=--+x f x f ，且在区间]4,1(-上x x x f 2)(2-=，则函数)(x f 在区间]2015,0(上的零点个数为(A) 403 (B)806 (C) 1209 (D)1208第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二.填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）11.某校400名学生的体重（单位：kg ）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg 以上的人数为.12.阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是13.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x =-.那么不等式(2)5f x +<的解集是____________ 14.实数,x y 满足⎩⎨⎧≤-≥+023y x y x ,若(2)y k x ≥+恒成立，则实数k 的最大值是．15.定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①⊗=⊗a b b a ，②()()λλ⊗=⊗a b a b ，③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ，④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1221x y x y ⊗=-a b . 恒成立的是（写上所有正确的序号）.三.解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16.(本小题满分12分)函数)20,0,0,R )(sin()(πϕωϕω<<>>∈+=A x x A x f 的部分图象如图所示:(Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)设2)12()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πx f x g ,求函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 上的最大值,并确定此时x 的值.17.(本小题满分12分)在一次射击考试中，编号分别为4321,,,A A A A 的四名男生的成绩依次为6,8,8,9环，编号分别为321,,B B B 的三名女生的成绩依次为7,6,10环，从这七名学生中随机选出二人． （Ⅰ）用学生的编号列出所有的可能结果；（Ⅱ）求这2人射击的环数之和小于15的概率．18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且k ABAE=，点F 为PD 中点. （Ⅰ）若21=k ，求证：直线AF //平面PEC ； （Ⅱ）是否存在一个常数k ，使得平面PED ⊥平面PAB . 若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)已知函数,157)(++=x x x f 数列{}n a 满足： .002211≠=+-++n n n n n a a a a a 且数列{}n b 中,)0(1f b =且).1(-=n n a f b(Ⅰ)求证:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列; (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）已知函数x axxx f ln 1)(+-=. （Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）试比较)N (1*1∈⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n 与e （e 为自然对数的底数）的大小.21（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点为)1,0(B ，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，直线l 交椭圆1C 于NM ,两点.（Ⅰ） 求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）若BMN ∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程；（Ⅲ）直线l 与椭圆)1R,(:22222>∈=+λλλby a x C 交于Q P ,两点（如图），求证||||NQ PM =.参考答案选择题: 1-5 BDCDC 6-10DBADC 填空题：11.100 12.5<n 13.（-7,3）14.32 15. ①④16.解：(1)由图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32.……………………………3分又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0，∵0<φ<π2，－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，………………………………………5分∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.……………………………6分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，2)12()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πx f x g ＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，…………………………9分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4， ∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.……………12分17.(1){}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}3222124232312111413121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B A B A B A A A A A B A B A B A A A A A A A{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}32312134241433231343,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B B B B B B B A B A B A B A B A B A A A …5分(2)以上21个结果对应的射击环数之和依次为14,14,15, 13,12,16,16,17,15,14,18,17,15,14，18,16,15,19,13,17,16． ……………………………………………………………………8分 其中环数之和小于15的结果为{}{}{}{}{}{}{}21232221113121,,,,,,,,,,,,,B B B A B A B A B A A A A A 共7个 ……………………10分所以这2人射击的环数之和小于15的概率为31217= …………………………………12分18.(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . …………………2分 ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∵21=k ，∴FM AB AE ==21，…………4分 ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM .∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ………………………………………6分(Ⅱ)存在常数22=k ，使得平面PED ⊥PAB . ………………………………7分 ∵k AB AE =，1AB =，22=k ，∴AE =. ………………………8分 又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE .又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . ……………………10分 又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE .∵PAB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面PAB . …………………………………12分19.(1)证明 由2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0得1a n ＋1－1a n ＝12，………………………4分所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以21为公差的等差数列．………………………5分(2)b 1＝f (0)＝5，所以7(a 1－1)＋5a 1－1＋1＝5，7a 1－2＝5a 1，所以a 1＝1，……………………6分1a n ＝1＋(n －1)12，所以a n ＝2n ＋1.……………7分 b n ＝7a n －2a n＝7－(n ＋1)＝6－n .………………………8分当n ≤6时，T n ＝n 2(5＋6－n )＝n (11－n )2；当n ≥7时，T n ＝15＋n －62(1＋n －6)＝n 2－11n ＋602.所以，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (11－n )2，n ≤6，n 2－11n ＋602，n ≥7.………………………12分20解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为），（∞+0， 当1=a 时，x x x x f ln 1)(+-=，22'111)(x x x x x f -=+-=.……………………1分 在)1,0(上，0)('<x f ，)(x f 单调递减；在),1(+∞上，0)('>x f ，)(x f 单调递增. ……………………3分 函数0)1()(min ==f x f .……………………4分（Ⅱ）22'111)(axax x ax x f -=+-=，函数)(x f 在),1[+∞上为增函数 等价于0)('≥x f 在),1[+∞上恒成立，……………………5分当0<a 时，0)('≥x f ，)(x f 在),1[+∞上单调递增，满足题设条件.当0>a 时，因为02>ax ，令1)(-=ax x g ，等价于0)(≥x g 在),1[+∞上恒成立，1)(-=ax x g 在),1[+∞上为增函数，所以01)1()(≥-=≥a g x g ， 综上所述：所求实数a 的取值范围是0<a 或1≥a .……………………8分（Ⅲ）因为0,011>>⎪⎭⎫⎝⎛++e n n n ，比较11+⎪⎭⎫⎝⎛+n n n 与e 的大小，等价于比较11ln +⎪⎭⎫⎝⎛+n n n 与e ln 的大小，……………………9分即比较⎪⎭⎫⎝⎛++n n n 1ln )1(与1的大小，即比较⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1ln 与11+n 的大小. ……………………10分 由（1）得在),0(+∞上，当1≠x 时，0)1(ln 1)(=>+-=f x x x x f ，即xx x 1ln ->，------11分 令n n x 1+=，则0>x ，且1≠x ，得>⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1ln 11+n ，……………………12分由此得11+⎪⎭⎫⎝⎛+n n n e >（*N ∈n ）. ……………………13分21解：(I)22,12==ab b ，解得2=a .……………………………………2分 所求椭圆1C 的方程为1222=+y x .……………………………………3分 （II ）设),,(),,(2211y x N y x M )1,0(),0,1(B F Θ，根据题意031,132121=++=+y y x x ，即1,32121-=+=+y y x x .……………………………………4分 由122121=+y x ，①,122222=+y x ,②① - ②得0)(2)(21212121=--+++x x y y y y x x . ,23)(221212121=++=--=y y x x x x y y k MN ……………………………………6分设MN 的中点为（),00y x ），则212,232210210=+==+=y y y x x x ，直线l 的方程为)23(2321-=-x y ，即0746=--y x .……………………………………8分法二：设)23(21:-=-x k y l .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)23(211222x k y y x ， 消去y 得0369)412()42(222=--+-++k k x k k x k ， 设),,(),,(2211y x N y x M则222142412kkk x x +--=+……………………………………4分 )1,0(),0,1(B F Θ，根据题意031,132121=++=+y y x x ，即1,32121-=+=+y y x x . 3424122221=+--=+kkk x x ，解得23=k .……………………………………6分 设MN 的中点为（),00y x ），则212,232210210=+==+=y y y x x x ， 直线l 的方程为)23(2321-=-x y ，即0746=--y x .……………………………………8分（III ）当直线l 斜率不存在时，MN ，PQ 的中点同为直线l 与x 轴的交点， 易知||||NQ PM =.……………………………………9分 当直线l 斜率存在时，设l ：)1(-=x k y .⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(1222x k y y x ，消去y 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k ， 2221214k k x x +=+. 设),,(),,(2211y x N y x M MN 的中点),(00y x G ，222102122k k x x x +=+=，2021)1(k k x k y +-=-=.……………………………………11分 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(222x k y y x λ，消去y 得，0224)21(2222=-+-+λk x k x k ,2221214k k x x +=+ 设),,(),,(4433y x Q y x P PQ 的中点),('0'0'y x G ，2243'02122k k x x x +=+=，2'0'021)1(kk x k y +-=-=.……………………………………13分 所以MN 的中点G 与PQ 的中点'G 重合，由此得||||NQ PM =.…………………14分。

最新高考考前仿真训练（一）数学试题（理） （满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 60分） 一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 设全集,U R =集合},12161|{Z x x A x ∈<≤=-，},0)1)(3(|{Z x x x x B ∈≥+-=，则()U C B A =I A .}4,32,10{，， B .}32,1{， C .}2,10{， D. }2,1{2. 复数z 为纯虚数，若(3)i z a i -=+(i 为虚数单位)，则实数a 的值为A . 13-B . 13C . 3- D. 3 3. 已知双曲线12222=-a x y 过点)2,1(-，则该双曲线的渐近线方程为 A.x y 225±= B.x y ±= C.x y 2±= D.x y 22±= 4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A.4B.3C.2D.15. 把函数)2|(|)2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 的图象关于)0,3(π-对称，则=-)2(πf 23- A. 21- B. 21 C. D.23 6. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是A. 61B. 21C. 32D. 65 7. 在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为1的正三角形，⊥SC 面ABC ,2=SC ,则三棱锥ABC S -外接球的表面积为A. π6B.316π C. 940π D. 38π 8. 已知)4,0(),0,2(πβπα∈-∈，ββα22tan 1tan 2sin 21+=-，则有A. 22παβ=-B. 22παβ=+C. 22παβ-=-D. 22παβ-=+9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中长度最长的是A.5 B.6 C.7 D. 2210. 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F 、，点221),(PF F F b a P =满足， 设直线2PF 与椭圆交于M 、N 两点，若MN =16，则椭圆的方程为A. 110814422=+y xB. 17510022=+y x C. 1273622=+y x D. 1121622=+y x 11. 已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =A.1212--n B. 2214--n C. n 212- D. 1214--n 12. 设函数x ex x g x x x f ==)(,ln )(2，若存在],[21e e x ∈,]2,1[2∈x ,使得 )()()2(1223x kf x g k e ≥-成立（其中e 为自然对数的底数），则正实数k 的取值范围是A . 20≤<kB . 2≥kC . 28063++≤<e e k D. 2863++≥e e k 第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. ()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 的展开式中4x 的系数是. 14. 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0003042y x y x y x ，则目标函数x y z 23-=的最大值为.15.已知，43,0===⋅BC AB M 为线段BC 上一点，且),||||R AC AB ∈+=μλμ, 则λμ的最大值为.16. 在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，)cos 724(B a -)5cos 72(-=A b ，则C cos 的最小值为.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.（本题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差⎰-=22cos ππxdx d ，562224=-a a ；等比数列}{n b 满足：11=b ，512642=b b b ，*N n ∈（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，令⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数n b n S c n n n ,,2，求n c c c c 2321++++Λ.18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=o ，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值.F EC 1B 1A 1CBA19.（本题满分12分）某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：（1（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y 表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y 的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率. (注：以上计算所得概率值用小数表示)20. (本题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，过焦点且斜率为1的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为72.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点）（2,0P 的直线l 交抛物线C 于F 、G 两点，交x 轴于点D ，设,,21λλ==试问21λλ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.21. (本题满分12分)已知函数11ln )(+-+-=xa ax x x f （1）当41=a 时，求函数()y f x =的极值； （2）当)1,31（∈a 时，若对∀[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，求a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ．C ，APC ∠的平分线分别交AB ．AC 于点D ．E ．（1）证明：ADE AED ∠=∠.（2）若AC=AP ,求PC PA的值. 23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为)(sin cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x ，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==)(54453为参数t t y t x .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）若),(y x P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值和最小值.24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集是[0,4]（1）求m 的值；（2）若,a b 均为正实数，且a b m +=，求22a b +的最小值.P B数学试题答案（理）一、选择题1-5: DBCDC 6-10: CBADB 11-12: BB二、填空题:13．-2014．915．415 16．21- 17．解：（1）公差2cos 22==⎰-ππxdx d ，5622))((324242224=⋅=-+=-d a a a a a a a 73=a ………2分∴721=+d a ∴31=a∴12)1(23+=-+=n n a n ………4分设等比数列}{n b 的公比为q∵51234642==b b b b ∴84=b 即1b 83=q ∴2=q 即1112--==n n n q b b ………6分（2）由12,31+==n a a n 得：)2(+=n n S n ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=-为偶数，为奇数n 2,)2(21n n n n n c 即⎪⎩⎪⎨⎧+-=-为偶数，为奇数n 2,21n 11n n n n c ………8分∴n c c c c 2321Λ+++=)()(2421231n n c c c c c c ΛΛ+++++-………10分=)222()]121121()5131()311[(123-++++--++-+-n n n ΛΛ =)14(3212241)41(21211-++=--++-n n n n n ………12分 18.（1）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥.又Θ三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴面ABC ⊥面11BB C C ，∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥.……… 2分设11AB AA ==，则1132B F EF B E ===. ∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥.………4分又AF EF F =I ，∴1B F ⊥平面AEF .………6分（2）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则11(0,0,0),((0,(0,)2222F A B E -，1(,)222AE =--u u u r，1(22AB =-u u u r. CC………8分由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ，∴可取平面AEF的法向量1m FB ==u r u u u r . 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =r ，由110,0,0,222020,022x y z n AE z n AB z x y z ⎧--+=⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩-++=⎪⎩r u u u r g r u u u r g∴可取(3,1,n =-r .………10分设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则03(1)1cos |cos ,|||||m n m n m n θ⨯+-+⨯=<>===u r r u r r g u r r . ∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为6.………12分 19．解：（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200随机变量X 可以取：4000,3000.，2200 ………1分P(X=4000)=0.6×0.5=0.3 P(X=2200)=0.4×0.5=0.2P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ………4分 ∴X 的分布列为:EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140 ………6分(2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8∴Y ～)8.0,3(B ………8分∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 ………10分至少有2天利润不少于3000的概率为：896.02.08.08.0223333=⋅⋅+⋅=C C P ………12分 20.解：（1）由已知:直线m 的方程为1-=x y ，代入px y 22= 得：01)1(22=++-x p x 设),(),,(2211y x B y x A ，则),2(121p x x +=+ 23|AB |21+=++=p p x x 且线段AB 的中点为),1(p p +，………3分由已知222)223(17+=++p p ）（）（， 解得2=p 或514-=p （舍去） 所以抛物线C 的方程为：x y 42=………6分（2）设直线l ：y=kx+2(k ≠0)，则)0,2(kD -，与.42x y =联立得04)1(422=+-+x k x k由0>∆得21>k ,设),(),,(4433y x G y x F 则24322434,4-4k x x k k x x ==+………8分 );,2()2,();,2()2,(442442331331y x ky x y x k y x ---=-⇒=---=-⇒=λλλλ 所以2,2244233331+-=+-=--=kx kx kx kx x kx λλ………10分 则4(2)(22224343243432443321+++++-=+-+-=+）x x k x x k x x k x x k kx kx kx kx λλ 将24322434,4-4k x x k k x x ==+代入上式得.121-=+λλ 即21λλ+为定值1-………12分21.解：（1）由已知14341ln )(++-=xx x x f ， 则224)3)(1(43411)('x x x x x x f ---=--=………1分 所以当)1,0(∈x 和),3(+∞∈x 时，)(,0)('x f x f <单调递减；当），,10(∈x 时，)(,0)('x f x f >单调递增；………2分 所以当1=x 时，)(x f 有极小值为23， 当3=x 时，)(x f 有极大值为213ln +. ………4分 （2）由已知22)1)(1(11)('xa a x x a x a a x x f ----=---=. ①当)21,31（∈a 时，11210a a a a ---=>，于是(0,1)x ∈和1(,)a x a -∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(1,)a x a-∈时，'()0,()f x f x >单调递增；又因为21<-a a ，要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要(2)(1)f f ≤，即1ln 22122a a a --++≤-，解得2ln 21a ≥-，因为12ln 212≥-所以12ln 21;2a -≤<………7分②当12a =时，11a a -=，221(1)2'()x f x x--=，在(0,)x ∈+∞上，恒有'()0f x ≤，且仅有'(1)0f =，故()f x 在(0,)+∞上单调递减.显然成立. ………8分③当112a <<时，11120,10a a a a a a --->-=<，于是1(0,)a x a-∈和(1,)x ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(,1)a x a-∈时，'()0,()f x f x >单调递增； 要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要1(2)()a f f a -≤，即11ln (1)12ln 420;a a a a a a a a----+-≤-⇔+-≤……10分 令11()ln 42,(,1)2a g a a a a -=+-∈，21(21)'()40(1)(1)a g a a a a a -=+=<--，所以()g a 在1(,1)2上单调递减，1()()02g a g <=，所以此时1(,1)2a ∈ 综上所述：)1,12ln 2[-∈a ………12分22．解：(1)∵ PA 是切线，AB 是弦，∴∠BAP=∠C ，………2分又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE,∴∠ADE=∠AED ．………5分(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又∵∠APC=∠BPA,∴△APC ∽△BPA, ∴PC CA PA AB=, ………7分 ∵ AC=AP, ∴∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC 是圆O 的直径，∴∠BAC=90°, ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°． 在Rt △ABC 中，CA AB∴PC CA PA AB=10分 23．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为1422=+y x ………2分 直线l 的直角坐标方程为4x-3y+12=0则其极坐标方程为012sin 3cos 4=+-θρθρ………5分(2)01234),sin ,cos 2(=+-y x l P 为直线设αα 则512)cos(73512sin 3cos 8++=+-=ϑαααd 所以最大值为57312+，最小值为57312-。

年高考仿真模拟考试文科数学试卷一、单选题（共12小题）1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A．①④B．②③C．③④D．①②3．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．11B．3C．2D．5．一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（）A．B．C．D．6．一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中x的值为（）A．5B．4C．3D．27．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O的等差数列{}，若a3 =8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A．13，12B．13，13C．12，13D．13，148．曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．10．若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．B．C．D．11．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=l，BC=，则球O的表面积等于（）A．4B．3C．2D．12．若函数，并且，则下列各结论正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.数列的首项为3，为等差数列且，若，，则．14.已知向量，若，则16x+4y的最小值为．15.已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是．16.如图甲，在中，，，为．垂足，则，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，探究、、这三者之间满足的关系是三、解答题（共8小题）17.已知向量（1）当时，求的值；（2）已知在锐角ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，函数，求的取值范围．18.某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知，CD＝4，。