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2020年高考全国三卷理科数学试卷2020年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合$A=\{(x,y)|x,y\in N^*,y\geq x\}$，$B=\{(x,y)|x+y=8\}$，则$A\cap B$中元素的个数为A。
2B。
3C。
4D。
62.复数$\frac{1}{1-3i}$的虚部是A。
$-\frac{3}{10}$B。
$-\frac{1}{3}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{3}{10}$3.在一组样本数据中，1、2、3、4出现的频率分别为$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，且$\sum\limits_{i=1}^4 p_i=1$，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A。
$p_1=p_4=0.1$，$p_2=p_3=0.4$B。
$p_1=p_4=0.4$，$p_2=p_3=0.1$C。
$p_1=p_4=0.2$，$p_2=p_3=0.3$D。
$p_1=p_4=0.3$，$p_2=p_3=0.2$4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。
有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数$I(t)$（$t$的单位：天）的Logistic模型：$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中$K$为最大确诊病例数。
当$I(t^*)=0.95K$时，标志着已初步遏制疫情，则约为$\ln 19\approx 3$。
则$t^*$约为A。
60B。
63C。
66D。
695.设$O$为坐标原点，直线$x=2$与抛物线$C:y^2=2px(p>0)$交于$D$、$E$两点，若$OD\perp OE$，则$C$的焦点坐标为A。
$(1,\frac{1}{2})$B。
$(2,1)$C。
$(1,-\frac{1}{2})$D。
2020年高三三诊模拟考试理科综合试题可能用到的相对原子质量：C-12 N-14 O-16 S-32 C1-35.5 Ba-137 Cu-64 Na-23第I卷选择题（126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关生物学实验的叙述，不正确的是A．观察植物细胞的质壁分离及其复原的实验中，为遵循对照原则需设置空白对照B．观察DNA、RNA在细胞中的分布实验，可选洋葱鳞片叶内表皮细胞做材料C．提取绿叶中色素和检测花生子叶切片中脂肪时均需酒精，但使用目的不同D．观察线粒体和叶绿体的形态和分布时，要确保被观察细胞保持生活状态2．膜蛋白对质膜功能的实现非常重要，下列不属于膜蛋白功能的是A．控制某些分子和离子的出入B．催化化学反应的进行C．构成细胞膜结构的基本骨架D．识别细胞外化学物质3．科研人员为探究生长素对根尖生长的影响，以琼脂块和水稻根尖为材料进行了如下实验。
下列有关叙述正确的是A．第2组与第4组说明单侧光照引起根尖生长素分布不均匀B．第3组实验的目的是确定琼脂块对根尖生长无影响C．第5组根尖的生长状况应该是“向贴琼脂块对侧生长”D．根尖背光弯曲生长说明生长素对根尖生长的抑制作用4．下面有关A TP与酶的叙述，错误的是A．有些酶的元素组成与A TP相同B．酶在催化反应前后化学性质不变。
C．ATP水解所释放的能量和A TP合成所吸收的能量，两者在数值上相等，在形式上相同D．不是所有的一种酶都是只能催化一种底物的反应，还可能催化少数几种相似底物的反应5．20世纪初莱文和琼斯发现DNA由六种小分子组成：脱氧核糖、磷酸和四种碱基（A、G、T、C），如图表示四种碱基的分子结构。
下面相关叙述不正确的是A．四种碱基的元素组成不全相同B．在DNA分子的一条链中，碱基A与T以2个氢键相连，G与C以3个氢键相连C．四种碱基都位于DNA双螺旋结构的内侧D．嘧啶都只有一个六环，而嘌呤都由一个六环和一个五环构成6．下列古诗与生物学原理不符的是古诗生物学原理A “停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花。
2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。
2020普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测试卷(一)理科综合能力测试可能用到的相对原子质量：Mg24Mn55Br80I127一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关生物体内元素和化合物的叙述，正确的是A.人体细胞干重中含量最多的化学元素是氧B.淀粉是植物细胞壁的主要组成成分之一C.蛋白质空间结构的改变不会改变其功能D.抗体、受体和神经递质都具有特异性2.下列有关真核细胞结构与功能的叙述，正确的是A.同一生物体不同细胞内细胞器种类不同是细胞分化的结果B.玉米种子萌发长成植株的过程体现了植物细胞的全能性C.有丝分裂中期联会的同源染色体着丝点排列在细胞中央D.磷脂双分子层是细胞膜基本支架和细胞骨架的主要组成成分3.匈牙利科学家拜尔将燕麦胚芽鞘尖端放在去除尖端的胚芽鞘的一侧，结果胚芽鞘向对侧弯曲生长。
有关该实验的叙述正确的是A.产生实验现象的原因是尖端产生了生长素并在其下部分布不均匀B.该实验能够证明生长素在植物体内能进行极性运输C.该实验的对照组应设为将燕麦胚芽鞘尖端放在去除尖端的胚芽鞘的正中，单侧光照射D.该实验的对照组应设为将燕麦胚芽鞘尖端放在去除尖端的胚芽鞘的正中，遮光处理4.在寒冷环境中机体通过体温调节维持体温恒定，下列相关叙述正确的是A.感受温度变化的感受器和体温调节中枢都在下丘脑中B.皮肤汗腺分泌减少，毛细血管舒张可以减少散热C.甲状腺激素和肾上腺素通过促进细胞代谢增加产热D.寒冷环境中骨骼肌战栗可以增加无氧呼吸的强度5.下列关于洋葱根尖细胞内基因表达的叙述，正确的是A.基因表达过程可以发生在该细胞的线粒体和叶绿体中B.转录终止时肽链从mRNA上的终止密码子处脱离C.参与该细胞中转录和翻译两个过程的酶的种类相同D.在基因的表达过程中会形成DNA－RNA的杂交区段6.下列有关变异与育种的叙述，正确的是A.某植物经X射线处理后若未出现新的性状，则没有新基因产生B.经低温处理的幼苗体内并非所有细胞的染色体数目都会加倍C.二倍体植株的花粉经脱分化和再分化后便可得到稳定遗传的可育植株D.发生在水稻根尖细胞内的基因重组常常通过有性生殖遗传给后代7.化学与生活密切相关。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合*{()|}A x y x y y x =∈N ，，，，{()|8}B x y x y =+=，，则A B 中元素的个数为（ ） A.2 B.3C.4D.62.复数113i-的虚部是（ ） A.310-B.110-C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234p p p p ，，，，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A.140.1p p ==，230.4p p == B.140.4p p ==，230.1p p == C.140.2p p ==，230.3p p ==D.140.3p p ==，230.2p p ==4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1e t K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数.当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）（ ） A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线22(0)C y px p =>：交于D E ，两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A.(14)0， B.(12)0， C.(10)， D.(20)，6.已知向量a b，满足||5||66===-a b a b，，⋅，则cos+=a a b，（）A.3135- B.1935- C.1735D.19357.在ABC中，2cos3C=，4AC=，3BC=，则cos B=（）A.19B.13C.12D.238.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.62+ B.442+ C.623+ D.423+9.已知π2tan tan()74θθ-+=，则tanθ=（）A.2-B.1-C.1D.210.若直线l与曲线y x=和圆2215x y+=都相切，则l的方程为（）A.21y x=+ B.122y x=+ C.112y x=+ D.1122y x=+11.设双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的左、右焦点分别为1F，2F5.P是C上一点，且12F P F P⊥.若12PF F的面积为4，则a=（）A.1B.2C.4D.812.已知5458<，45138<.设5log3a=，8log5b=，13log8c=，则（）A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．22．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．33．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．34．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．102410246．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．18．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣21012．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．2【分析】推导出3是方程x2﹣x+m＝0的一个根，从而32﹣3+m＝0，由此能求出结果．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜8}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，所以32﹣3+m＝0，解得m＝﹣6，故选：A．2．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得a 值．解：∵（2+i）（a+i）＝2a﹣1+（a+2）i＝5+4i，∴，解得a＝3，故选：D．3．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解a，即可求解双曲线的离心率．解：椭圆的焦点坐标为（2，4），（﹣2，0），所以4＝a+a﹣2，解得a＝5，离心率，故选：A．4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）【分析】先判断括号内的大小关系，再借助于单调性即可得到结论．解：由题意知，函数f（x）在定义域R上单调递增，由可得，故选：C．5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．10241024【分析】根据乘法原理解题．解：每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，根据乘法原理可得表示出不同图案的个数为2×2×…×2＝21024，故选：B．6．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．【分析】利用等差数列的求和公式、不等式的解法即可得出．解：∵S5＝5a2+d＝5a1+10d＝2（2﹣d）+10d＝10+5d，∴15＜5d+10＜25，解得1＜d＜3．故选：C．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可．解：由题意建立如图所示直角坐标系，，设，所以，解得．所以解得故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由程序框图可知，n＝1，；n＝7；；n＝5，，n＝7，S＝0；n＝9，；所以周期为8，又2020＝8×252+4，故选：D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，得出的坐标，代入数量积公式运算，可得两个向量互相垂直，进一步确定异面直线EF与BG所成角的大小．解：如图，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD＝1，则E（1，0，1），F（0，2，2），G（0，0，1），B（1，4，0），，所以，故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故选：D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣210【分析】先把原式化简，再根据二项式的特点，求解即可．解：因为，a4即为（x﹣1）7展开式中x4的系数，故选：C．12．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，方程方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，等价于y＝f （x）与y＝mx+m﹣恰有4个交点，求出直线y＝mx+m﹣与y＝lnx相切时m的值及过原点时m的值，即可求出m的取值范围．解：画出函数f（x）的图象如图中实线部分所示，方程恰有四个不相等的实数根，而是斜率为m，过定点的直线，设切点坐标为（a，ln（a+1）），＝，又点在切线上，代入可解得a＝﹣2，当直线过原点，即图中l2，所以当时，两函数的图象有4个不同的交点．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：作出不等式组表示的可行域如图所示，表示可行域内的点与原点连线的斜率，，k OB＝3，点B不在可行域内，故的取值范围为．故答案为：．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为±1．【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式，两角和的正弦函数公式，正弦函数的性质即可求解．解：因为，其中，所以f（x）的最大值为，解得a＝±1．故答案为：±1．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝n2．【分析】由S n+1＝4S n+2，可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2，两式相减可得a n+1＝4a n（n ≥2）．利用等比数列的通项公式可得a n，进而得出b n，利用等差数列的求和公式即可得出T n．解：由S n+1＝4S n+2①可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2②，①﹣②得S n+1﹣S n＝4•（S n﹣S n﹣1），即a n+3＝4a n（n≥2）．又a1＝5，所以a2＝3S3+2＝3a1+2＝8，则a5＝4a1，所以，b n＝log3a n＝2n﹣1，故答案为：n2．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为﹣1；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆的半径，利用二次函数求最值可得圆的半径的最大值，即可得到圆面积最大时的a值；再由圆心在直线上可得关于m与n的等式，然后利用基本不等式求最值．解：圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+8a2＝0的方程可化为[x+（a﹣1）]2+（y﹣6）2＝﹣a8﹣2a+37，当a＝﹣1时，﹣a2﹣2a+37取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大；∵圆C关于直线l：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞8）对称，又m＞0，n＞0，当且仅当时，即时取等号，即的最大值为．故答案为：﹣1；．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，再根据余弦定理即可求出BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．在△BCD中，由正弦定理可求BC，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BCD＝sin（2θ+30°）﹣，结合范围0°＜θ＜60°，利用正弦函数的性质可求S△BCD的最大值，即可求出四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）在△ABD中，因为AB＝3，AD＝2，∠BAD＝60°，则：BD8＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝9+7﹣2×3×2×＝2在△BCD中，因为BD＝，CD＝1，∠BCD＝120°，即7＝BC8+1+BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．所以S△BCD＝BD•BC•sin∠CBD＝sin（60°﹣θ）sinθ＝（cosθ﹣sinθ）sinθ＝（sin2θ+cos2θ﹣）＝sin（7θ+30°）﹣，∴S△BCD≤，∴四边形ABCD面积的最大值为+＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）取BD中点O，证明BD⊥平面POA，从而可得BD⊥PA；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（1）证明：设BD的中点为O，连接OP，OA．因为△ABD，△PBD为等边三角形，所以BD⊥AO，且BD⊥PO．所以BD⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，（2）解：因为△ABD，△PBD的边长为2，所以，又因为PO⊥BD，AO⊥BD，故OA，OB，OP两两垂直，则，，B（0，1，0），D（0，﹣1，8），C（﹣1，0，0），，设平面BMD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，设平面BMD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，∴cos＜＞＝＝＝，所以平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．【分析】（1）设A，B的坐标分别为，．利用抛物线方程求解函数的导数，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化证明即可．（2）设P点坐标为（x，y），求出切线PA的方程，切线PB的方程，求出|AB|，点P 到直线AB的距表示三角形的面积，求解S△PAB的最小值．（1）证明：因为A，B两点在曲线x2＝4y上，故设A，B的坐标分别为，【解答】．因为，所以，则，．所以，所以k1k2为定值．由（1）知切线PA的方程为①①﹣②得；①×x2﹣﹣②×x1得．由（1）知x＝2k，y＝﹣2，所以P点坐标为（2k，﹣2），因为点P到直线AB的距离．因为k2+3≥2，所以当k＝0时，S△PAB的最小值为．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（2）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（3）先求出前7种情况，总结规律，得出结论．解：（1）设一轮中三人全回答正确为事件M，则．（2）甲在第一轮胜出的概率为；故甲在第二轮胜出的概率为×（××）×＝＝；（3）由（2）知；＝；P3＝×＝．…．当n＝3k+1（k∈N*）时，；同理可得，当n＝3k（k∈N*）时，；当n＝3k+2（k∈N*）时，．当n＝3k+2（k∈N*）时，P n＜Q n．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．【分析】（1）代入a的值，求出f（0），f′（0），求出切线方程即可；（2）结合a，b的范围，问题转化为可证e x＞ln（x+2）成立，设h（x）＝e x﹣ln（x+2），根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝e x．因为f'（x）＝e x，所以f'（0）＝1，f（2）＝1．即x﹣y+1＝0．当b≤2时，ln（x+b）≤ln（x+2），设h（x）＝e x﹣ln（x+2），则，又因为，，即．当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．又因为，ln（x0+2）＝﹣x0，所以当x∈（﹣2，+∞）时h（x）＞0，即e x＞ln（x+7）．所以当a≥1，b≤2时，f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x﹣3y﹣8＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，曲线C2的直角坐标方程为y2＝2x（x≠0）．所以点P在曲线C1上．将曲线C6的参数方程（t为参数）代入y2＝2x，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则，．所以．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据f（x）≤2，利用零点分段法，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）max＞|a+2|，得到关于a的不等式，解出即可．解：（1）由题意得|x﹣1|﹣2|x+2|≤2．①当x≥1时，不等式|x﹣2|﹣2|x+1|≤2可化为x﹣1﹣2x﹣4≤2，解得x≥﹣5，所以x≥1．②当﹣1≤x＜1时，不等式|x﹣1|﹣5|x+1|≤2可化为1﹣x﹣2x﹣2≤7，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜1．③当x＜﹣1时，不等式|x﹣1|﹣2|x+3|≤2可化为1﹣x+2x+2≤2，解得x≤﹣2，所以x＜﹣1．（2）由（1）知，对于任意x∈R，f（x）≤2，且当x＝﹣1时取等号，关于x的不等式f（x）＞|a+7|的解集不是空集，所以实数a的取值范围为（﹣4，0）．。
安徽省合肥市2020届高三高考数学（理科）三模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则()R C A B =（ ）A.{}23x x << B.{}23x x ≤<C.{}023x x x <≤<或D.{}023x x x ≤≤<或2.若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，z 1＝1+i ，则12z z ⋅＝（ ） A.﹣2B.﹣2iC.2D.2i3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为（ ） A.59B.49C.445D.21354.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个顶点到一条渐近线的距离为2a ，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.35.“关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是（ ） A.113a << B.12a ≥C.213a << D.112a ≤<6.已知tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝（ ）A.19C.137.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（ ）A.10101010887⨯-斗B.9101010887⨯-斗C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +b ＝2c cos B ，则2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A. B.3C. D.49.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（ ）A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝6，AA 1＝2，M 为棱BC 的中点，动点P 满足∠APD ＝∠CPM ，则点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线长等于（ ）A.23πB.πC.43π11.已知不等式e x ﹣x ﹣1＞m [x ﹣ln （x +1）]对一切正数x 都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.（﹣∞，1]D.（﹣∞，e ]12.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝G ，H 分别为直线BC ，CD 上的动点，AH 交DG 于点P .若2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），矩形ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是点N ，则PMN 的周长为（ ）A.12B.16C.24λD.32λ第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．14.在544x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 2的系数为______. 15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16.已知三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c .点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为S A ，S B ，S C ，S D .在下列所给的命题中，正确的有______.（请写出所有正确命题的编号） ①三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为（a 2+b 2+c 2）π； ②S A •S △BCO ＝S D 2； ③S A 3＜S B 3+S C 3+S D 3；④若三条侧棱与底面所成的角分别为α1，β1，γ1，则sin 2α1+sin 2β1+sin 2γ1＝1； ⑤若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为α2，β2，γ2，则cos 2α2+cos 2β2+cos 2γ2＝1.三、解答题（题型注释）17.已知函数()cos (sin )f x x x x ωωω=+（ω＞0）. （1）求函数f （x ）的值域；（2）若方程f （x [0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围. 18.如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，11AC ，M 为线段AC 的中点.（1）求证：平面1BMC ⊥平面11A BC ； （2）求点C 到平面11A BC 的距离.19.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.20.已知函数()x x f x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R. （1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：2214x y +=上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点.（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，直线l 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线P A 的位置关系，并说明理由.22.在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23.已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1.D【解析】1.先求得集合{|0R C A x x =≤或2}x ≥，再结合集合的交集运算，即可求解. 由题意，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<， 则{|0R C A x x =≤或2}x ≥，所以()R C A B ={0x x ≤或23}x ≤<.故选：D. 2.B【解析】2.首先求2z ，再根据运算法则求12z z ⋅的值. 由条件可知21z i =--()()12112z z i i i ∴⋅=+--=-，故选：B 3.C【解析】3.基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=，每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区的概率.解：从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，每个小区安排2人，则基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=， 每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为：849045m P n ===， 故选：C 4.D【解析】4.写出其中一条渐近线方程by x a=，整理成一般式0bx ay -=，顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离公式即可求解.渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， 所以顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离2a d ==即12b c =，所以a c =离心率c e a ==故选：D 5.C【解析】5.首先根据题意得到221xxa =+，令2x t =，()111f t t =-+，再根据()f t 的范围结合选项即可得到答案.由题知：()212xxa +=，221xxa =+，令21x t =≥，()1111t f t t t ==-++， 因为1t ≥，11012t <≤+，所以()1,12f t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是213a <<. 故选：C 6.B【解析】6.到1tan 3πα⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而注意到2tan tan 333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并利用两角和差的正切公式计算.11tan 3πα-⎛⎫⎪⎪=-=-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2tan tan 333πππαα+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-==- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,故选：B. 7.B【解析】7.直接根据等比数列的求和公式求解即可． 由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10 项和为10； 设首项为a ；则1071810718a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭-；∴910101010110108878718a ⨯⨯==--. 故选：B ． 8.B【解析】8.应用余弦定理化角为边，然后变形后应用基本不等式可得最小值．由余弦定理得2222cos 22a c b a b c B c ac +-+==⨯，21c ab b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2113b a b c b a b a =+⎛⎫+ ⎭+⎝⎪≥=，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立，所以2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为3．故选：B ． 9.D【解析】9.先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可.3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故349982.48v =≈米/小时350km /h ≈，故选：D 10.A【解析】10.根据∠APD ＝∠CPM ，求出在平面11DCC D 内P 点性质，确定其轨迹后可计算出交线长． 显然在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11DCC D ，PD ⊂平面11DCC D ，∴AD PD ⊥，同理MC PC ⊥，tan tan AD CMAPD CPM PD PC∠==∠=， 因为M 是BC 中点，所以1122CM BC AD ==，∴2PD PC =，在平面11DCC D 内以DC 中x 轴，棱DC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图，则(3,0),(3,0)D C -，设(,)P x y ，由2PD PC =得2222(3)4(3)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得22(5)16x y -+=，所以P 为在以(5,0)H 为圆心，4为半径的圆上，由于14HC =<，因此该圆与11C D 交点，设交点为Q ，圆与CD 交于点K ，则P 点在侧面11DCC D 的轨迹就是圆弧QK ，作QN CD ⊥于N ，则12QN CC ==， 又4HQ =，∴6QHN π∠=，QK 的长度为2463ππ⨯=， 故选：A ．11.C【解析】11.设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，求出函数的导数，通过讨论m 的取值范围，结合函数的单调性判断.由题意可知，当0x >时，()1ln 10xe x m x x ----+>⎡⎤⎣⎦恒成立，设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，则()1111xf x e m x ⎛⎫'=--- ⎪+⎝⎭，()()21x m f x e x ''=-+， ①当0m ≤时，()0f x ''>恒成立，()f x '∴单调递增，()00f '=，0x ∴>时，()()00f x f ''>=，()f x ∴单调递增，又()00f =，0x ∴>时，()()00f x f >=，符合题意，②0m >时，()()321x mf x e x '''=++，()0f x '''∴>恒成立，()f x ''单调递增，()01f m ''=- ，（ⅰ）当10m -≥，即01m <≤时，与①同理，符合题意； （ⅱ）当10m -<，即1m 时，()00f ''<， 当x →+∞时，()0f x ''>，且()f x ''连续，∴由零点存在性定理可知，存在()00x ∈+∞,，使得()00f x ''=00x x ∴<<时，()0f x ''<，()f x '递减，又()00f '=，00x x ∴<<时，()0f x '<，()f x 递减，()00f =，00x x ∴<<时，()0f x <，不合题意，综上，m 的范围是(],1-∞. 故选：C 12.A【解析】12.分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用点斜式可写出直线AH 的方程和直线DG 的方程，然后将其联立成方程组求出点P 的坐标，进一步得到点P 的坐标满足2211612x y +=，最后结合椭圆的定义，求得PMN 的周长.解：分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,(0,(2,0),(2,0)A D M N --,因为2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），所以(8,(4,))H G λλ-， 所以直线AH的方程为82y x x λλ=-=- 直线DG的方程为y x =+=+，联立这两条件直线方程可得点28(1P λλ+ 所以2222224222222222228()6412(1)412(1)111161216(1)12(1)(1)(1)λλλλλλλλλλλλ-+-+++++=+===++++即点P 的坐标满足2211612x y +=，所以点P 的轨迹是以O 为对称中心，,N M分别为左右焦点的椭圆，其中4,2a b c ===，则椭圆的定义可知，28PM PN a +==所以PMN 的周长为8412PM PN MN ++=+= 故选：A 13.480；【解析】13.根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =， 故答案为：480. 14.﹣960【解析】14.把式子化为二项式，然后写出二项展开式通项公式，令x 的指数为2，求得项数后得系数．10544x x =⎛⎫ ⎪⎝-+⎭，10511010(2)rr r r r rr T C C x --+⎛==- ⎝，令52r ，3r =，所求系数为3310(2)960C -=-．故答案为：960-． 15.4【解析】15.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n nb -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论. 由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 16.①②④⑤【解析】16.建立空间直角坐标系，利用坐标法可以得到⑤正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得到④正确；由'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，进而可得②正确；构造长方体，可得①正确；特殊排除可知③错误.如图所示建立空间直角坐标系，设(),,M x y z ,并构造如图所示的长方体.ABFC DGHE - 连接DO 并延长交BC 于O',则'AO BC ⊥，则AM =222222222222cos cos cos 1x y z AM AM AM αβγ⎛⎫⎪++=++= ⎪⎝⎭,故⑤正确； 当M 与O 重合时，结论仍然正确，由于各侧棱与底面所成的角与侧棱与AO 所成的角互为余角，故④正确；由于'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，∴2'O A O O O D '=⨯',∴2A BCOD S S S ⋅＝,故②正确；三棱锥A ﹣BCD 外接球的的直径是长方体ABFC DGHE -的对角线2222,,AH AH a b c =++外接球的表面积为()()2222242R R a b c πππ==++,故①正确；当1a b c ===时，33331128BCDS S S ⎛⎫==== ⎪⎝⎭， 可得33338B C D S S S ++=，而33A S ==⎭3333A B C D S S S S >++,故③错误， 综上，正确的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤.17.（1）；（2）5463ω≤<．【解析】17.（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）解方程()2f x =，由第二小的正数解[0,]π∈，第三小的正数解大于π可得出ω的范围．（1）2()cos (sin )sin cos f x x x x x x xωωωωωω==+)1sin 2cos 2122x x ωω=++sin(2)32x πω=++， 因为sin(2)[1,1]3x πω+∈-，所以()f x的值域是22,]22． （2）()sin(2)3f x x πω=+=，sin(2)03x πω+=，23x k πωπ+=，显然0x ≠，32k x ππω-=，k Z ∈，因为方程在[0,]π上只有两个解，又0>ω，所以232332πππωπππω⎧-⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪>⎪⎩，解得5463ω≤<．18.（1）证明见解析；（2【解析】18.（1）首先根据四边形11A ACC为菱形，11AC 得到1ACC ∠△为等边三角形，从而易证1AC C M ⊥，AC BM ⊥，得到AC ⊥平面1BMC ，又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC ，再利用面面垂直的判定即可得到平面1BMC ⊥平面11A BC .（2）首先根据平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥得到1C M ⊥平面ABC .再以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到面的距离即可.（1）因为四边形11A ACC 为菱形，所以11A C AC ⊥.又因为11AC =，所以160ACC ∠=，即1ACC ∠△为等边三角形. 因为11AC CC =，M 为线段AC 的中点，所以1AC C M ⊥. 因为AB BC =，M 为线段AC 的中点，所以AC BM ⊥.又因为1C M BM M =，所以AC ⊥平面1BMC .又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC .又11A C ⊂平面11A BC ，所以平面1BMC ⊥平面11A BC . （2）因为平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥， 所以1C M ⊥平面ABC .以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：()0,1,0C，)B，(1C，(10,A -，则()110,2,0AC =，(1BC =-，(10,CC =-，设平面11A BC 的法向量(),,n x y z =，则1112030n AC y n BC ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()1,0,1n = 所以点C到平面11A BC 的距离1322CC n d n⋅===. 19.（1）28天；（2）①分布列见解析，25；②56750000.【解析】19.（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数； （2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；②甲不适宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，然后求解概率即可.解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(]90,110的天数为2天，所以估计空气质量指数在(]90,100的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴()224230920145C P X C ===，()11624230481145C C P X C ⋅===，()262301229C P X C ===， ∴X 的分布列为∴2()012145145295E X =⨯+⨯+⨯=. ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310， ∴2223219375671010101050000P C C ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎝⎭. 20.（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】20.（1）求导后，对a 分类讨论，利用导数符号可得函数的单调性； （2）根据1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数，可得当*n N ∈且2n ≥时，111ln 11n n n n >--+，再利用裂项求和可证不等式. （1）因为()x xf x e e a -'=+-，且2x x e e -+≥，所以当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上为增函数，当2a >时，由()0f x '>，得0x x e e a-+->，所以2()10x xe ae -+>，所以22()124x a a e ->-，所以22x ae ->或22xa e -<-，所以xe >xe <所以24ln2aa x 或24ln2aa x ，由()0f x '<，得0x x e e a -+-<，解得2244ln22a a aa x，所以()f x 在⎛⎝⎭上递减，在,ln ⎛-∞ ⎝⎭和⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增. （2）由（1）知，当2a =时，()2x xf x e e x -=--在R 上为增函数，所以1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数， 所以当*n N ∈且2n ≥时，13()(2)22ln 2ln 422g n g ≥=--=-=32ln 04e >，即12ln 0n n n-->，所以212211ln 1(1)(1)11n n n n n n n >==---+-+， 所以211111ln 2ln 23ln 34ln 4ln ni i i n n==++++∑ 1111111121213131414111n n >-+-+-++--+-+-+-+ 111121n n =+--+2322(1)n n n n --=+， 所以22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.（1）证明详见解析；（2）动点Q 的轨迹方程是2241x y +=，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.【解析】21.（1）根据对称性设点,A B 的坐标，再设()00,P x y ，代入斜率公式，化简即可；（2）由条件可知2OP OQ =-，利用点()00,P x y 的坐标满足220014x y +=，代入可得点Q 的轨迹方程，设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则由条件可知22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后分类讨论两种情况，当20y ≠和20y =，分别求直线PA 的方程，判断直线与曲线的位置关系.（1）设()00,P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --1010PA y y k x x -=-，1010PB y y k x x --=-- ()()()()()222210101010222210101101144PA PB x x y y y y y y k k x x x x x x x x ------⋅=⨯===------， 所以直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值14-； （2）设(),Q x y ，()00,P x y0OA OB OP ++=，∴点O 是ABP △的重心，且2OA OB OQ +=，2OP OQ ∴=-，即02x x =-，02=-y y ，220014x y +=，即2241x y +=， ∴动点Q 的轨迹方程是2241x y +=设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，①当20y ≠时，220022111414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减得：()()22221010104x x y y -+-=，化简得1010210102144y y x x x x x y y y -+=-⋅=--+，1021024PAy y x k x x y -∴==--， ∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，整理得2224x x y y +=-，将2224x x y y +=-代入动点Q 的轨迹方程得()()2222222244410x y x x x y +++-=，（Δ） 将222214x y +=代入（Δ），整理得2222440x x x x ++= ，222216160x x ∆=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切；②当20y =时，()2,0B 或()2,0-，且PA k 不存在，即直线PA ⊥x 轴， 若()2,0B ，则()00,P x y ，()00,A x y -，002,22x y Q +⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 2OP OQ =-，00222x x +∴=-⨯，解得：01x =-， 同理可得，若()2,0B -，解得01x =，因此直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切，综上所述，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.22.（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】22.（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=，因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<） 所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα． 由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=，当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．23.（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】23. （1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．。
2020届高三理综三模考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．ATP合酶是一种结构复杂的蛋白质，位于生物膜上，能催化ATP的合成。
下列叙述错误的是A．ATP和ATP合酶都含有核糖B．ATP合酶可催化高能磷酸键的合成C．真核细胞中ATP合酶分布于线粒体内膜和叶绿体类囊体膜上D．ATP合酶在温和的条件下发挥作用2．胰岛素可通过调节细胞膜上葡萄糖转运蛋白GLU4的数量来稳定血糖，GLU4转运葡萄糖时会发生构象的改变。
葡萄糖进入细胞后发生磷酸化，从而降低细胞内葡萄糖的浓度，有利于葡萄糖持续进入细胞。
下列叙述错误的是A．GLU4构象的改变有利于葡萄糖与其结合和分离B．GLU4将葡萄糖运入细胞的方式为主动运输C．正常情况下，血糖升高可使胰岛素靶细胞膜上GLU4数量增加D．GLU4由附着在内质网上的核糖体合成3．细菌是生物学常用的实验材料，下列相关叙述错误的是A．恩格尔曼以水绵和好氧细菌为实验材料证明叶绿体是进行光合作用的场所B．赫尔希和蔡斯以大肠杆菌和噬菌体为实验材料证明DNA是噬菌体的遗传物质C．格里菲思以小鼠和肺炎双球菌为实验材料证明DNA是R型菌的转化因子D．科学家以大肠杆菌为实验材料通过同位素标记法证明DNA复制为半保留复制4．甲状腺功能减退的致病原因有：缺碘、甲状腺病变、下丘脑病变或垂体病变。
为探究甲、乙两只甲状腺功能减退小鼠的致病原因，科研人员测定了甲、乙及健康小鼠体内促甲状腺激素释放激素(TRH)、促甲状腺激素(TSH)和甲状腺激素(TH)的含量，结果见下表。
2020年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知（1+i）z＝i（i为虚数单位），在复平面内，复数z的共轭复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝{x||x﹣a|＝1}，B＝{﹣1，0，b}（b＞0），若A⊆B，则对应的实数（a，b）有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则（）A．m e＝m0＝x B．m e＝m0＜x C．m e＜m0＜x D．m0＜m e＜x 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．9πC．12πD．36π5．在△ABC中，D为线段AB上一点，且BD＝3AD，若CD→=λCA→+μCB→，则λμ=（）A．13B．3C．14D．46．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c a+b+b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（）A．△ABC可能为正三角形B．角A，B，C为等差数列C．角B可能小于π3D．角B+C为定值7．已知函数f（x）＝2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于x=π3对称，则实数m的最小值为（）A．π4B．π3C．3π4D．π8．函数f（x）＝（x−1x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.17410．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝011．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+1212．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a+x−2(x≥0)a−x−2(x＜0)，若存在a∈[n，n+1]（n∈Z）使得方程f（x）＝g（x）有四个实根．则n的最大值为（）A．2B．1C．0D．﹣1二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)=．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=32，AD=2，AA1=2√3，已知P是矩形ABCD内一动点，PA1与平面ABCD所成角为π3，设P点形成的轨迹长度为α，则tanα＝；当C1P的长度最短时，三棱锥D1﹣DPC的外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n＝P1（910）n﹣1+n−110（n＝1，2，3），其中P i表示第i个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立．①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望．20．在直角坐标系xOy上取两个定点A1（−√6，0），A2（√6，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若RP→=λRQ→（λ＞1），求证：NF→=λFQ→．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转π3得到曲线C′．（Ⅰ）求曲线C’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C与曲线C′的公共部分面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知（1+i ）z ＝i （i 为虚数单位），在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 解：由（1+i ）z ＝i ， 得z =i 1+i =i(1−i)2=12+12i ， ∴复数z 的共轭复数z 对应的点是(12，−12)，在第四象限． 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．设集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}，B ＝{﹣1，0，b }（b ＞0），若A ⊆B ，则对应的实数（a ，b ）有（ ） A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【分析】解方程得集合A 有两元素，由A ⊆B 得A 中元素属于B ，可解出a ，b ． 解：∵集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}＝{a ﹣1，a +1}⊆{﹣1，0，b }（b ＞0），若a ≤0，则a ﹣1＝﹣1，即a ＝0，所以b ＝1；若a ＞0，a ﹣1＝﹣1或a ﹣1＝0，则a ＝1，所以b ＝2， 则{a =0b =1或{a =1b =2则对应的实数（a ，b ）有2对． 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系及应用，属于基础题．3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数231063222设得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x ，则（ ）A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜xC ．m e ＜m 0＜xD ．m 0＜m e ＜x【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可． 解：由图知，众数是m 0＝5；中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6， 所以中位数是m e =5+62=5.5； 平均数是x =130×（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10）≈6； ∴m 0＜m e ＜x ． 故选：D ．【点评】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解． 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4． ∴该几何体的体积为14×13π×32×4=3π．故选：A ．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．在△ABC 中，D 为线段AB 上一点，且BD ＝3AD ，若CD →=λCA →+μCB →，则λμ=（ ）A ．13B ．3C ．14D ．4【分析】由已知结合向量的线性运算可分别求出λμ，从而可求． 解：因为BD ＝3AD ，所以CD →=CB →+BD →=CB →+34BA →=CB →+34(CA →−CB →)=34CA →+14CB →，由CD →=λCA →+μCB →可得λ=34，μ=14，则λμ=3．故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，c a+b +b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（ ） A ．△ABC 可能为正三角形 B ．角A ，B ，C 为等差数列 C ．角B 可能小于π3D ．角B +C 为定值【分析】化简ca+b+b a+c=1，利用余弦定理求出A 的值，再判断选项中的命题是否正确．解：△ABC 中，ca+b+b a+c=1，（a +c ）c +（a +b ）b ＝（a +b ）（a +c ）， c 2+b 2﹣a 2＝cb ，cos A =c 2+b 2−a 22cb =cb 2cb =12，A ∈（0，π）， A =π3， B +C ＝2A =2π3， 所以B 、A 、C 成等差数列，B 错误． 当a ＝b ＝c 时，△ABC 是正三角形，A 正确； 由B +C =2π3知，选项C 、D 正确． 故选：B ．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是中档题．7．已知函数f （x ）＝2sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象关于x =π3对称，则实数m 的最小值为（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．π【分析】先利用降幂公式将函数式化简为y ＝A cos （ωx +φ）+k 的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值．解：f （x ）＝﹣cos2ωx +1，由其最小正周期为π，∴ω＝1，所以f （x ）＝﹣cos2x +1， 将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象对应函数为y ＝﹣cos （2x ﹣2m ）+1，因为其图象关于x =π3对称，则有cos(2π3−2m)=±1，∴2π3−2m =kπ，k ∈Z ，解得m =π3−kπ2， 由m ＞0，实数m 的最小值为π3． 故选：B ．【点评】本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况．考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换．考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力． 8．函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由条件可得函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x 趋向于0时，f （x ）＞0，结合所给的选项，得出结论．解：对于函数f（x）＝（1x−x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝（−1x+x）cos x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x＝π，f（x）＜0，故排除C，但是当x趋向于0时，f（x）＜0，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.174【分析】先列出甲以3：1取得胜利的所有情况，再利用相互独立事件的乘法运算求解每种情况的概率，最后利用互斥事件概率的加法公式计算即可．解：甲以3：1取得胜利的所有情况为：赢赢输赢，赢输赢赢，输赢赢赢，对应的概率分别为：0.5×0.6×0.3×0.6＝0.054，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，所以甲以3：1取得胜利的概率为：0.054+0.06+0.06＝0.174．故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率，考查运算求解能力和分析问题，解决问题的能力．10．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝0【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n ＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b=√3a．所以双曲线的渐近线方程为：√3x±y＝0．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用圆的切线长相等，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．11．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+12【分析】先写出数列{f（3n）}（n∈N+）的前几项，根据前几项归纳出：f（32k﹣1）＝3k ﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f（32k）＝3k﹣3k＝0，再求出其前100项和．解：根据题意，知：f（3）＝3﹣1＝2，f（32）＝3﹣3＝0，f（33）＝32﹣3＝6，f（34）＝32﹣32＝0，…，f（32k﹣1）＝3k﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f （32k ）＝3k ﹣3k ＝0．∴数列{f （3n ）}（n ∈N +）的前100项和S 100为2×30+0+2×31+0+…+2×349+0＝2（30+31+32+…+349）＝2×1−3501−3=350﹣1． 故选：B ．【点评】本题主要考查等比数列、及其数列的求和，属于中档题． 12．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a +x −2(x ≥0)a −x −2(x ＜0)，若存在a ∈[n ，n +1]（n ∈Z ）使得方程f （x ）＝g （x ）有四个实根．则n 的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【分析】依题意，转化可得函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，且易发现函数F （x ）为偶函数，利用导数研究函数F （x ）的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a 的取值范围，进而得到n 的最大值．解：令h(x)=f(x)−g(x)={ln(e 2x−4+1)−(x −2)−a ，x ≥0ln(e −2x−4+1)+(x +2)−a ，x ＜0，则h(x)={ln(e 2x−4+1e x−2)−a =ln(e x−2+e 2−x )−a ，x ≥0ln[(e −2x−4+1)(e x+2)]−a =ln(e −x−2+e x+2)−a ，x ＜0， 依题意，函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，易知函数F （x ）为偶函数，故先研究x ≥0时的情况， 当x ≥0时，F′(x)=e x−2−e 2−xe x−2+e 2−x，令F ′（x ）＜0，解得0≤x ＜2，令F ′（x ）＞0，解得x ＞2，故函数F （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，且F （x ）极小值＝F （2）＝ln 2，由偶函数的对称性，可作出函数F （x ）的图象，如下图所示，由图可知，a∈（ln2，ln（e﹣2+e2）），又0＜ln2＜1，2＜ln（e﹣2+e2）＜3，∴n的最大值为2．故选：A．【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想，将问题转化为函数F（x）的图象与直线y＝a有且仅有四个不同的交点，进而通过数形结合确定实数a的取值范围是解题的关键，属于中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝5．【分析】模拟程序的运行过程可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，可得s＝0﹣1+2﹣3+…+10＝（2+4+…+10）﹣（1+3+…+9）＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查伪代码（算法语句）的应用，属于基础题．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是p＞m＞n．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：∵f（x）＝2|x|+x2，则f（﹣x）＝2|﹣x|+（﹣x）2＝f（x），即f（x）为偶函数，因为x＞0时，f（x）＝2x+x2单调递增，m ＝f （log213）＝f （log 23），n ＝f （0.7﹣0.1），p ＝f （log 425）＝f （log 25），因为log 25＞2＞log 23＞1＞7﹣0.1＞0， 故p ＞m ＞n 故答案为：p ＞m ＞n【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)= −13 ． 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．解：已知sin(α+π6)=13．故：cos(α−5π6)tan(π3−α)=−cos[π−(α+π6)]1tan(α+π6)=−sin(α+π6)=−13．故答案为：−13．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =32，AD =2，AA 1=2√3，已知P 是矩形ABCD内一动点，PA 1与平面ABCD 所成角为π3，设P 点形成的轨迹长度为α，则tan α＝ ﹣3√7 ；当C 1P 的长度最短时，三棱锥D 1﹣DPC 的外接球的表面积为 17π ． 【分析】因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，所以可得AP ＝2，即P 点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆与矩形ABCD 的交点即DÊ，由矩形的边长可得DE ̂的值，进而求出它的正切值，当C 1P 的长度最短时，而C 1P =√CC 12+CP 2，所以当CP 最小时，C 1P 最小，而当A ，P ，C 1三点共线时，CP 最小，求出CP 的值，进而由余弦定理求出DP ，求出三角形DCP 的外接圆的半径，由DD 1⊥面CDP ，所以三棱锥D 1﹣DCP 的外接球的球心为过底面三角形DCP 的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，由外接球的半径，和高的一半，由勾股定理可得R 的值，进而求出外接球的表面积． 解：在长方体的底面矩形ABCD 内一动点P ，连接AP ，因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，AA 1＝2√3，所以tan θ=AA 1AP =2√3AP =√3，所以AP ＝2，所以P点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆，与底面矩形BC的交点为E，D，即P的轨迹为圆弧DÊ，连接AE，在△ABE中，cos∠EAB=ABAE =322=34，所以sin∠DAE＝cos∠EAB=34，所以arcsin∠DAE=3 4，所以α=DÊ=2•∠DAE，可得α为钝角，所以sinα＝sin（2arcsin∠DAE）＝2•34⋅√74=3√78，∴cosα=−18，所以tanα＝﹣3√7；当C1P的长度最短时，而C1P=√CC12+CP2，所以当CP最小时，C1P最小，而当A，P，C1三点共线时，CP＝AC﹣AP=√22+(32)2−2=12最小，连接DP，由于cos∠DCP=CDAC=32√2+(32)2=35，所以在三角形CDP中，由余弦定理可得DP=√CD2+CP2−2CD⋅CP⋅cos∠DCP=√9 4+14−2×32×12×35=4√1010，而sin∠DCP=45，设三角形CDP的外接圆的半径为r，则2r=DPsin∠DCP=4√101045=√102，所以r=√104，由DD1⊥面CDP，所以三棱锥D1﹣DCP的外接球的球心为过底面三角形DCP的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2＝r2+（DD12）2=1016+3=174，所以外接球的表面积S＝4πR2＝17π．故答案为：﹣3√7，17π．【点评】本题考查求点的轨迹，及三棱锥的棱长与外接球的半径的关系和球的表面积公式，属于难题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a2和a4，然后由﹣a1，12a2，a4成等差数列，得到关于p的方程，再求出p即可；（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，可知数列的首项和公比均为正数，然后根据条件求出{a n}前n项和S n即可．解：（Ⅰ）∵a n a n+1＝2pn+1（p为常数），∴a n+1a n+2=2pn+p+1∴当n＝1时，a1a2=2p+1，∵a1＝2，∴a2=2p，∴a n+2a n=2p，∴a4=2p a2=(2p)2，∵a4=2p a2=(2p)2，∴a4﹣2＝a2，∴（2p）2﹣2＝2p，∴p＝1．（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，∴数列的首项和公比均为正数，设其公比为q，则q=2p2，∴2p2=a2a1=2p2，∴p＝2，∴a1＝2，q＝2，∴a n=2n故a n a n+1=22n+1，而2pn+1＝22n+1，∴p＝2时，{a n}为等比数列，∴{a n}的前n项和S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2．【点评】本题考查了等比数列和等差数列的性质，等比数列的前n项和公式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．【分析】（Ⅰ）取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，由已知可得OA⊥BB1，再由BB1∥CC1，AC⊥CC1，得AC⊥BB1，得到BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO，求解三角形证明CO⊥AO．可得AO⊥平面BB1C1C，进一步得到平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量m→，再求出BB1上的单位向量n→．由m→与n→所成角的余弦值可得BB1与平面ABC的夹角正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，在菱形ABB1A1中，∠ABB1＝60o，故三角形ABB1是等边三角形，则OA⊥BB1，OB＝1，OA=√3．又BB1∥CC1，AC⊥CC1，∴AC⊥BB1，又AO⊥BB1，且AO∩AC＝A，∴BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO．在Rt△BOC中，CO=√BC2−BO2=1，∴CO2+AO2＝AC2，故CO⊥AO．又CO∩BB1＝O，∴AO⊥平面BB1C1C．∵AO⊂平面ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则A（√3，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），BA →=(√3，−1，0)，BC →=(0，−1，1)． 设平面ABC 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)．由{m →⋅BA →=√3x −y =0m →⋅BC →=−y +z =0，取x =√3，得m →=(√3，3，3)． 设BB 1上的单位向量为n →=(0，1，0)．则BB 1与平面ABC 的夹角正弦值为|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√217．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n ＝P 1（910）n ﹣1+n−110（n ＝1，2，3），其中P i 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且P 1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立． ①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望．【分析】（1）由甲解密成功所需时间的中位数为47，利用频率分布直方图的性质能求出a，b，由此能求出甲在1分钟内解密成功的频率．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，由此能求出该团队挑战成功的概率．②根据题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列和E（X）．解：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，∴0.01×5+0.014×5+b×5+0.034×5+0.04×（47﹣45）＝0.5，解得b＝0.026，∴0.04×3+0.032×5+a×5+0.010×10＝0.5．解得a＝0.024．∴甲在1分钟内解密成功的频率是f＝1﹣0.01×10＝0.9．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，∴该团队挑战成功的概率为p＝0.9+0.1×0.91+0.1×0.09×0.929＝0.999361．②由①知按P i从小到大的顺序的概率分别为p1，p2，p3，根据题意知X的可能取值为1，2，3，则P（X＝1）＝0.9，P（X＝2）＝（1﹣0.9）×0.91＝0.091，P（X＝3）＝（1﹣0.9）（1﹣0.91）＝0.009，∴团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列为：X 1 2 3 P0.90.0910.009E （X ）＝1×0.9+2×0.091+3×0.009＝1.109．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1（−√6，0），A 2（√6，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn ＝2．（Ⅰ）求直线A 1N 1与A 2N 2交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过R （3，0）的直线与轨迹C 交于P ，Q ，过P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →=λRQ →（λ＞1），求证：NF →=λFQ →．【分析】（I ）由直线方程的点斜式列出A 1N 1和A 2N 2的方程，联解并结合mn ＝2化简整理得方程，再由N 1、N 2不与原点重合，可得直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹C 的方程； （II ）设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0，利用分析法进行证明．【解答】（I ）解：依题意知直线A 1N 1的方程为：y =6（x +√6）…①； 直线A 2N 2的方程为：y =n√6（x −√6）…②设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①、②相乘，得y 2=−mn6（x 2﹣6） 由mn ＝2整理得：x 26+y 22=1∵N 1、N 2不与原点重合，可得点A 1，A 2不在轨迹M 上， ∴轨迹C 的方程为x 26+y 22=1（x ≠±√6）．（Ⅱ）证明：设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 1，﹣y 1），可得y 1+y 2=−6t t 2+3且y 1y 2=3t 2+3， RP →=λRQ →，可得（x 1﹣3，y 1）＝λ（x 2﹣3，y 2），∴x 1﹣3＝λ（x 2﹣3），y 1＝λy 2， 证明NF →=λFQ →，只要证明（2﹣x 1，y 1）＝λ（x 2﹣2，y 2），∴2﹣x 1＝λ（x 2﹣2）， 只要证明x 1−3x 2−3=−x 1−2x 2−2，只要证明2t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）＝0，由y1+y2=−6tt2+3且y1y2=3t2+3，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，∴NF→=λFQ→．【点评】本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，通过①当a≥1时，②当0＜a＜1时，③当a≤0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，求出导函数，令h(x)=lnx−x2−2x2，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明g（x）在（0，+∞）上单调递减．得到g（x1）+mx1＞g（x2）+mx2恒成立，设φ（x）＝g（x）+mx，则φ（x）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，然后转化求解m的范围即可．解：（Ⅰ）f′(x)=ax +(a−1)x=(a−1)x2+ax（x＞0）．①当a≥1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，f′(x)=(a−1)(x+√−aa−1)(x−√−a a−1) x，所以当x＞√−aa−1时，f'（x）＜0，当0＜x＜√−aa−1时，f'（x）＞0，所以f（x）在(0，√−aa−1)上单调递增，在(√−a a−1，+∞)上单调递减；③当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，得g′(x)=lnx−x2−2x2，令h(x)=lnx−x2−2x2，h′(x)=5−2lnxx3，则x∈(0，e52)时，h'（x）＞0，x ∈(e 52，+∞)时，h '（x ）＜0，所以h （x ）在区间(0，e 52)上是单调递增函数，在区间(e 52，+∞)上是单调递减函数．故g′(x)≤g′(e 52)=12e5−1＜0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减． 从而g （x 1）＞g （x 2），即f(x 2)x 2＜f(x 1)x 1，故f(x 1)x 1−f(x 2)x 2＞m(x 2−x 1)，所以f(x 1)x 1+mx 1＞f(x 2)x 2+mx 2，即g （x 1）+mx 1＞g （x 2）+mx 2恒成立，设φ（x ）＝g （x ）+mx ，则φ（x ）在（0，+∞）上恒为单调递减函数， 从而φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤0恒成立，故φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤12e 5−1+m ≤0， 故m ≤1−12e 5． 【点评】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ，以极点O 为旋转中心，将曲线C 逆时针旋转π3得到曲线C ′．（Ⅰ）求曲线C ’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 与曲线C ′的公共部分面积．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）设极点（ρ，θ）旋转之后的极点为（ρ′，θ′），故：{ρ′=ρθ′=θ+π3，代入ρ＝4cosθ，得到ρ′=4cos(θ′−π3)，得到ρ=4cos(θ−π3)．（Ⅱ）如图，两圆相交于点O和A，连接OA，AC，OC′，AC′．由于极径没有变，旋转的角为π3．显然四边形OC′AC为菱形，故∠OCA=2π3．所以S＝2S弓形OC′A＝2（S扇形OC′A﹣S△OC′A）=8π3−2√3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．一、选择题23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）k＝2时，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．然后分x＜0，0≤x ＜1，x≥1三类去绝对值求解，取并集得答案；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，分离参数k，可得k≤|x+1|+|x−1||x|在x∈[12，2]上恒成立，再由|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2，即可得到实数k的取值范围．解：（Ⅰ）若k＝2，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．当x＜0时，有﹣2x﹣（x﹣1）≤5，即x≥−43，∴−43≤x＜0；当0≤x＜1时，有2x﹣（x﹣1）≤5，即x≤4，∴0≤x＜1；当x≥1时，有2x+（x﹣1）≤5，即x≤2，∴1≤x≤2．故原不等式的解集为[−43，2]；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，即k |x |≤|x +1|+|2x ﹣2|﹣|x ﹣1|在x ∈[12，2]上恒成立，∴k ≤|x+1|+|x−1||x|在x ∈[12，2]上恒成立， ∵|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2|x||x|=2，等号在x +1，x ﹣1同号或其中一项为0时成立．∴k 的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论与数学转化思想方法，训练了绝对值不等式的应用，是中档题．。
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）. 1．设集合A ＝{x |x−1x+2＞0}，集合B ＝{x |﹣5≤2x +1≤3}，则集合A ∩B ＝（ ）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．∅2．已知直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（ ） A ．−23B ．−43C ．25D ．453．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣1+√3i |的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．√3D ．√24．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β5．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（ ） A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2 B ．f （x ）=e x +e −x2 C ．f （x ）＝x sin xD ．f （x ）=13x 2+cos x6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√27．已知函数f （x ）＝sin x +cos x 的导函数为g （x ），则下列结论中错误的是（ ） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的值域和周期 B ．函数g （x ）的零点都是函数f （x ）的极值点C ．把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g （x ）的图象D ．函数f （x ）和g （x ）在区间（−π4，π4 ）上都是增函数8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N （1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9973． A ．2.718 B ．6.827C ．8.186D ．9.5459．（2x +1）（x 3√x）5的展开式中x 3系数为（ ） A ．180B ．90C ．20D ．1010．已知锐角三角形△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（ ） A ．（0，√3] B ．（1，√3] C ．（√32，32）D ．（12，√32）11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，P在双曲线E 的右支上，且PF 1⊥PF 2，Q 为线段PF 1，与双曲线E 左支的交点，若∠PQF 2＝30°，则e 2＝（ ） A ．7﹣2√3B ．1+√3C ．2√3−1D ．72√312．已知函数f （x ）={3x −x 3，x ≤0xe x +lnx+1x，x ＞0，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，1e +1 ）B ．（﹣2，0 ）∪（ 0，1e+1 ） C ．(−32，2e+1e 2+e) D ．（ −32，0 ）∪（ 0，2e+1e 2+e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →，b →满足：a →=（1，√3），|b →|=√2，（a →−b →）⊥b →，则向量a →，b →的夹角为 ．14．已知非负实数x ，y 满足{x −y −1≥02x +y −4≤0，则z =y+1x+1的最大值是 ．15．已知直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若AF →=2FB →，则直线l 的斜率为 ．16．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝BD =√3，BC ＝AD =√5，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若用一个与直线EF 垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC ，AD ，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且满足S n+1＝2S n+n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）令b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√2，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．19．已知平面内动点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为−3 4．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过点F（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆恒过定点．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．21．设函数f（x）＝lnx，g（x）＝a（x﹣1）．（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值集合；（2）设x n＝n2（n∈N*），点A n（x n，f（x n）），点A n+1（x n+1，f（x n+1）），直线A n A n+1的斜率为k n，求证：k1+k2+…+k n＜2（n∈N*）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π6）=12．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点A（2，1），点B为曲线C上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值．并求此时点B的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c是正实数，且a+b+2c＝1．（1）求1a +1b+1c的最小值；（2）求证：a2+b2+c2≥16．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A ＝{x |x−1x+2＞0}，集合B ＝{x |﹣5≤2x +1≤3}，则集合A ∩B ＝（ ）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．∅【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |x ＜﹣2，或x ＞1}，B ＝{x |﹣3≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝[﹣3，﹣2）． 故选：A ．2．已知直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（ ） A ．−23B ．−43C ．25D ．45【分析】根据两直线垂直求出sin α与cos α的关系，计算tan α的值，再求tan2α的值． 解：直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0， 若l 1⊥l 2，则sin α﹣2cos α＝0， 即sin α＝2cos α， 所以tan α＝2， 所以tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43． 故选：B ．3．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣1+√3i |的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．√3D ．√2【分析】满足|z |＝1的复数z ，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z ﹣1+√3i |表示复数z 在复平面内对应的点Z 到点A （1，−√3）的距离，再利用数形结合法即可求出结果． 解：满足|z |＝1的复数z ，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z ﹣1+√3i |表示复数z 在复平面内对应的点Z 到点A （1，−√3）的距离，如图所示：由OA ＝2，利用点圆的位置关系，|z ﹣1+√3i |的最小值为2﹣1＝1， 故选：B ．4．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案． 解：对于A ，若α∥β，m ∥α，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或α与β相交，只有加上条件m 与n 相交时，才有结论α∥β，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α∥β或α与β相交，故C 错误； 对于D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，又α∥β，则n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．5．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（ ） A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2 B ．f （x ）=e x +e −x2 C ．f （x ）＝x sin xD ．f （x ）=13x 2+cos x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间（0，+∞）上的单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝x 4﹣2x 2，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝x 4﹣2x 2＝f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）＝4x 3﹣4x ＝4x （x 2﹣1），在区间（0，1）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，不符合题意；对于B ，f （x ）=e x +e −x 2，其定义域为R ，有f （﹣x ）=e x +e −x2=f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）=e x −e −x2，在区间（0，+∞）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，符合题意；对于C ，f （x ）＝x sin x ，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝（﹣x ）sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），是偶函数，有f （π2）=π2＞0，但f （3π2）=−3π2＜0，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D ，（x ）=13x 2+cos x ，其定义域为R ，有f （﹣x ）=13（﹣x ）2+cos （﹣x ）=13x 2+cos x＝f （x ），是偶函数，有f （0）＝1，f （π3）=π227+12＜1，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意； 故选：B ．6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√2【分析】根据题意，分析圆C 的半径，由直线与圆的位置关系可得圆心C 到直线x ﹣y +2√2−2＝0的距离，由平行线间的公式计算直线x ﹣y +2√2−2＝0与x ﹣y ﹣4＝0之间的距离，分析可得圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4的半径r ＝2，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆心C 到直线x ﹣y +2√2−2＝0的距离为2，直线x ﹣y +2√2−2＝0与x ﹣y ﹣4＝0平行，两条平行直线的距离d =√2−2−(−4)|1+1=2+√2，又由圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交，则圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离d ′=√2，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为2×√4−2=2√2； 故选：D ．7．已知函数f （x ）＝sin x +cos x 的导函数为g （x ），则下列结论中错误的是（ ） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的值域和周期 B ．函数g （x ）的零点都是函数f （x ）的极值点C ．把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g （x ）的图象D ．函数f （x ）和g （x ）在区间（−π4，π4 ）上都是增函数【分析】求出函数f （x ）的导函数g （x ），再分别判断f （x ）、g （x ）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．解：函数f （x ）＝sin x +cos x ，∴g （x ）＝f '（x ）＝cos x ﹣sin x ，对于A ，f （x ）=√2sin （x +π4），g （x ）=−√2sin （x −π4），两函数的值域相同，都是[−√2，√2]，周期也相同；A 正确；对于B ，若x 0是函数g （x ）的零点，则x 0−π4=k π，k ∈Z ； 解得x 0＝k π+π4，k ∈Z ；，f （x 0）=√2sin （k π+π4+π4）＝±√2， ∴x 0也是函数f （x ）的极值点，B 正确； 对于C ，把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，得f （x +π2）＝sin （x +π2）+cos （x +π2）＝cos x ﹣sin x ＝g （x ），∴C 正确； 对于D ，x ∈（−π4，π4）时，x +π4∈（0，π2），f （x ）是单调增函数，x −π4∈（−π2，0），g （x ）是单调递减函数，D 错误． 故选：D ．8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N （1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9973．A ．2.718B ．6.827C ．8.186D ．9.545【分析】先根据已知数据，求出P （500＜X ≤1500）和P （0＜X ＜2000），然后利用正态分布曲线的特点得P （500＜X ＜2000）＝P （500＜X ≤1500）+P （1500＜X ＜2000）＝0.8186，而随机变量ξ～B （10，0.8186），最后由二项分布的数学期望求解即可． 解：∵X ～N （1000，5002），∴P （500＜X ≤1500）＝0.6827，P （0＜X ＜2000）＝0.9545，∴P （500＜X ＜2000）＝P （500＜X ≤1500）+P （1500＜X ＜2000）＝0.6827+0.9545−0.68272=0.8186， 而随机变量ξ～B （10，0.8186）， ∴E （ξ）＝10×0.8186＝8.186． 故选：C ． 9．（2x +1）（x √x ）5的展开式中x 3系数为（ ） A ．180B ．90C ．20D ．10【分析】求出（x x ）5展开式的含x 2与x 3项的系数，再计算（2x +1）（x x）5的展开式中x 3的系数． 解：（x x）5展开式的通项公式为 T r +1=∁5r •x r•（√x）5﹣r ＝35﹣r •∁5r •x3r−52；令3r−52=2，解得r ＝3； 令3r−52=3，解得r 不存在；故（2x +1）（x √x）5的展开式中x 3系数为：2×∁53•35﹣3＝180． 故选：A ．10．已知锐角三角形△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（ ） A ．（0，√3]B ．（1，√3]C ．（√32，32）D ．（12，√32）【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求sin A ，进而可求A ，结合锐角三角的条件可求B 的范围，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解．解：因为b ＝2a sin B ，由正弦定理可得，sin B ＝2sin A sin B ， 因为sin B ≠0， 故sin A =12，因为A 为锐角，故A =π6， 由题意可得，{0＜B ＜12π0＜5π6−B ＜12π， 解可得，13π＜B ＜12π，则cos B +sin C ＝cos B +sin （5π6−B ）=√32sinB +32cosB=√3sin （B +13π）∈(√32，32)．故选：C ． 11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，P在双曲线E 的右支上，且PF 1⊥PF 2，Q 为线段PF 1，与双曲线E 左支的交点，若∠PQF 2＝30°，则e 2＝（ ） A ．7﹣2√3B ．1+√3C ．2√3−1D ．72√3【分析】设PF 2＝m ，根据条件得PQ =√3m ，QF 2＝2m ，结合双曲线性质PF 1﹣PF 2＝2a ，QF 2﹣QF 1＝2a ，进行整理可得m ＝2（√3−1）a ，再由勾股定理PF 12+PF 22＝F 1F 22，得到（7﹣2√3）a 2＝c 2即可．解：因为PF 1⊥PF 2，∠PQF 2＝30°，所以PQ =√3PF 2，QF 2＝2PF 2， 不妨设PF 2＝m ，则PQ =√3m ，QF 2＝2m ， 根据双曲线定义：PF 1﹣PF 2＝2a ，QF 2﹣QF 1＝2a ， 由PF 1﹣PF 2＝2a 得PF 1＝2a +m ，由QF 2﹣QF 1＝2a ，得QF 1＝2m ﹣2a ，又因为QF 1＝PF 1﹣PQ ， 即有2m ﹣2a ＝2a +m −√3m ， 所以m ＝2（√3−1）a ，在Rt △PF 1F 2中，PF 12+PF 22＝F 1F 22，即（2a +m ）2+m 2＝4c 2，代入得[2a +2（√3−1）a ]2+4（√3−1）2a 2＝4c 2， 整理得（7﹣2√3）a 2＝c 2，则e 2=c 2a2=7﹣2√3，故选：A ．12．已知函数f （x ）={3x −x 3，x ≤0xe x+lnx+1x ，x ＞0，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，1e +1 ）B ．（﹣2，0 ）∪（ 0，1e+1 ） C ．(−32，2e+1e 2+e) D ．（ −32，0 ）∪（ 0，2e+1e 2+e）【分析】利用导数得到函数f （x ）的单调性和极值，画出函数f （x ）的大致图象，令t ＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0，由△＞0可知方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2，由函数f （x ）的图象可知：0＜t 1＜1+1e，﹣2＜t 2＜0，设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，再利用二次函数的图象和性质列出不等式组即可求出实数m 的取值范围． 解：当x ≤0时，f （x ）＝3x ﹣x 3，则f '（x ）＝3﹣3x 2＝3（1﹣x ）（1+x ）， 令f '（x ）＝0得：x ＝﹣1，∴当x ∈（﹣∞，﹣1）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（﹣1，0）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，且f （﹣1）＝﹣2，f （0）＝0， 当x ＞0时，f （x ）=x e x +lnx+1x ，则f '（x ）=1−x e x +−lnx x2，显然f '（1）＝0， ∴当x ∈（0，1）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＜0，f（x ）单调递减，且f （1）=1e+1， 故函数f （x ）的大致图象如图所示：，令t ＝f （x ），则关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0化为关于t 的方程t 2﹣mt ﹣1＝0， ∵△＝m 2+4＞0，∴方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2， 由韦达定理得：t 1+t 2＝m ，t 1t 2＝﹣1＜0，不妨设t 1＞0，t 2＜0， ∵关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根， ∴由函数f （x ）的图象可知：0＜t 1＜1+1e，﹣2＜t 2＜0， 设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，则{ g(−2)＞0g(0)＜0g(1+1e )＞0，解得：−32＜m ＜2e+1e 2+e， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →，b →满足：a →=（1，√3），|b →|=√2，（a →−b →）⊥b →，则向量a →，b →的夹角为π4．【分析】根据平面向量的数量积，求出向量a →、b →夹角的余弦值，再求夹角大小． 解：a →=（1，√3），所以|a →|=√12+(√3)2=2，又|b →|=√2，（a →−b →)⊥b →⊥b →，所以a →•b →−b →2=0， 所以a →•b →=b →2=2， 设向量a →，b →的夹角为θ，则cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=2×2=√22， 又θ∈[0，π]， 所以θ=π4． 故答案为：π4．14．已知非负实数x ，y 满足{x −y −1≥02x +y −4≤0，则z =y+1x+1的最大值是 58．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z =y+1x+1的几何意义进行求解即可． 解：z =y+1x+1的几何意义是可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知PA 的斜率最大，由{x −y −1=02x +y −4=0，解得A （53，23）则PA 的斜率k =23+153+1=58，k 的最大值为58， 故答案为：58．15．已知直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若AF→=2FB→，则直线l的斜率为﹣2√2．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线l的方程为x＝my+1，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得y1，y2的关系，消去y1，y2，可得m的值，进而得到所求直线的斜率．解：y2＝4x的焦点F（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2（y1＜0，y2＞0），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，①又AF→=2FB→，可得﹣y1＝2y2，即y1＝﹣2y2，②由①②可得m＜0，y1＝8m，y2＝﹣4m，﹣32m2＝﹣4，解得m=−√24，则直线l的斜率为﹣2√2，故答案为：﹣2√2．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD=√3，BC＝AD=√5，E，F分别是AB，CD的中点．若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC，AD，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为√32．【分析】把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得|PN|+|PQ|＝|AB|＝2．求出PN与PQ所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值．解：把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，如图，∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且平面MNPQ ⊥EF ， 可知MN ∥PQ ，PN ∥QM ，则四边形MNPQ 为平行四边形， 再由平行线截线段成比例，可得|PN |+|PQ |＝|AB |＝2．由已知可求得作侧面两条对角线所成锐角为60°，则∠NPQ ＝60°．∴S 四边形MNPQ ＝|PN |•|PQ |•sin60°≤√32⋅(|PN|+|PQ|2)2=√32．当且仅当PN |＝|PQ |＝1时上式等号成立． ∴四边形MNPQ 面积的最大值为√32． 故答案为：√32． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }的首项a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足S n +1＝2S n +n +1． （1）求证：数列{a n +1}是等比数列；（2）令b n ＝n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）先由S n +1＝2S n +n +1⇒S n ＝2S n ﹣1+n ，两式相减得a n +1＝2a n +1，进而证明结论；（2）由（1）可得a n +1＝2n ，∴b n ＝n •2n ，再利用错位相减法求出T n 即可． 解：（1）证明：∵S n +1＝2S n +n +1①， ∴当 n ≥2 时，S n ＝2S n ﹣1+n ②， 由①一②得，a n +1＝2a n +1，n ≥2，∴a n +1+1＝2a n +1+1，n ≥2，即a n +1+1＝2（a n +1），n ≥2． 又a 1+a 2＝2a 1+2，a 1＝1，∴a 2＝3，则a 2+1＝2（a 1+1）也适合，∴数列{a n+1}是以a1+1＝2为首项，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知a n+1＝2n，∴b n＝n•2n．∴T n＝1×21+2×22+3×23+4×24+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n③，∴2T n＝1×22+2×23+3×24+4×25+（n﹣1）•2n+n•2n+1④，由③﹣④得：﹣Tn＝1×21+1×22+1×23+…+1×2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√2，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．【分析】（1）先根据勾股定理可得BE⊥B1E，结合长方体的性质可得BE⊥B1C1，进而可证BE⊥平面B1C1E，再由线面垂直的性质得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CB1E及平面B1C1E的一个法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：∵AE＝1，A1E＝2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1E=√A1E2+A1B12=√6，BE=√AE2+AB2=√3，∴B1B2=B1E2+BE2，即BE⊥B1E，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面A1ABB1，BE⊂平面A1ABB1，∴BE⊥B1C1，又B1E∩B1C1＝B1，∴BE⊥平面B1C1E，又无论点F位置如何，EF⊂平面B1C1E，∴BE ⊥EF ；（2）如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B 1（√2，√2，3），E （√2，0，1），C （0，√2，0），B （√2，√2，0），CB 1→=（√2，0，3），EB 1→=（0，√2，2），设平面CB 1E 的法向量为n →=（x ，y ，z ），∴{n →⋅CB 1→=0n →⋅EB 1→=0，即{√2x +3z =0√2y +2z =0，令z =√2，则x ＝﹣3，y ＝﹣2，可得平面CB 1E 的一个法向量为n →=(−3，−2，√2)， 由（1）可知，BE ⊥平面B 1C 1E ，所以平面B 1C 1E 的一个法向量BE →=(0，−√2，1)， ∴cos ＜BE →，n →＞=BE →，⋅n→|BE →|⋅|n →|=3√23×√15=√105，即二面角C ﹣B 1E ﹣C 1的余弦值√105．19．已知平面内动点P 与点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率之积为−34． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点F （1，0）的直线与曲线E 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆恒过定点．【分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由k PA ⋅k PB =−34可得关于x ，y 的关系式，得到动点P 的轨迹E 的方程；（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1），与曲线E 的方程联立，得到关于x 的一元二次方程，写出根与系数的关系，再写出直线APD 方程，求得M ，N 的坐标，结合根与系数的关系得到|MN |，求出线段MN 中点的坐标，可得以MN 为直径的圆的方程，求出以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．验证当PQ ⊥x 轴时成立，可得以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）． 解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由k PA ⋅k PB =−34，得y x+2⋅yx−2=−34，整理得x 24+y 23=1（ x ≠±2）， 即动点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1（ x ≠±2）；证明：（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 与曲线E 的方程联立，消去y 得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x ﹣4k 2﹣12＝0． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=8k23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k2．直线AP 的方程为y y 1=x+2x 1+2，令x ＝4，得y =6y 1x 1+2，即M(4，6y 1x 1+2)，同理N(4，6y 2x 2+2)． ∴|MN|=6y2x 2+2−6y1x 1+2 ＝6|k[(x 2−1)(x 1+2)−(x 1−1)(x 2+2)]x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|=18|k(x 2−x 1)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|，|x 2﹣x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√64k2(3+4k 2)2−4×4k 2−123+4k2=12√1+k 23+4k 2|x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|=|4k 2−123+4k 2+2×8k 23+4k 2+4|=36k 23+4k 2． ∴|MN |=6√1+k 2|k|．线段MN 中点的纵坐标为12（6y 1x 1+2+6y 2x 2+2）=3k ⋅(x 1−1x 1+2+x 2−1x 2+2）=−3k．故以MN 为直径的圆的方程为：（x ﹣4）2+(y +3k )2=9(1+k 2)k2． 令y ＝0得：（x ﹣4）2＝9，解得x ＝1或x ＝7． 此时以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．当PQ ⊥x 轴时，P(1，32)，Q(1，−32)，M(4，3)，N(4，−3)． 则以MN 为直径的圆的方程为（x ﹣4）2+y 2＝9，也过点D ，E ． ∴以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．【分析】（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．然后求解概率即可．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，求出概率得到分布列，然后求解期望．通过比较E（X），E（Y），推出选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．解：（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．则P(A)=16，P(B)=16×16+16×16=118，P(C)=16×16×16=1216，游戏结束时朝上点数之和为5，即事件A+B+C，其概率为P（A+B+C）=16+118+1216=49216．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，P（x＝3）=18，P（x＝1）=78，则X的分布列为：X31P187 8E（X）＝3×18+1×78=54．方案二：设获得奖励畅销书的本数为YP（X＝5）=18，P（x＝0）=78，则Y的分布列为：Y 5P1878E （Y ）＝5×18+0×78=58，∵E （X ）＞E （Y ），∴选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励． 21．设函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝a （x ﹣1）．（1）若对任意x ∈（0，+∞），f （x ）≤g （x ）恒成立，求a 的取值集合；（2）设x n ＝n 2（n ∈一、选择题*），点A n （x n ，f （x n ）），点A n +1（x n +1，f （x n +1）），直线A n A n +1的斜率为k n ，求证：k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．【分析】（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到a 的取值即可； （2）求出k n ，结合ln （1+2n+1n 2）＜2n+1n 2，得到k 1+k 2+⋯+k n ＜112+122+⋯12n ，不等式放缩证明即可．解：（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）， F （x ）＝lnx ﹣a （x ﹣1），F ′（x ）=1x −a =1−axx，……（1分） 若a ≤0时，当x ＞1 时，lnx ﹣a （x ﹣1）＞0，不符合题意…… 若a ＞0，F ′（x ）＞0得0＜x ＜1a，F ′（x ）＜0得x ＞1a， ∴F （x ）在(0，1a)上递增，在（1a，+∞）上递减……∴F （x ）max ＝F （1a）＝ln 1a−a(1a−1)=−lna +a −1≤0⋯⋯令ϕ（x ）＝﹣ln x +x −1，ϕ′(x)=−1x +1=x−1x， ∴ϕ（x ）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增 ∴ϕ（x ）≥ϕ（1）＝0，∴ϕ（a ）≥0…… ∴ϕ（a ）＝0，a ＝1， 故a 的取值集合为{1}……（2）由题意知，点A n （n 2，lnn 2），点A n +1（（（n +1）2，ln （n +1）2）， k n =ln(n+1)2−lnn 2(n+1)2−n 2=ln(1+2n+1n2)2n+1⋯⋯由（1）知，当a ＝1时，lnx ≤x ﹣1（x ＞0），∴ln （1+2n+1n 2）＜2n+1n 2⋯⋯ ∴k n ＜2n+1n 22n+1=1n 2，∴k 1+k 2+⋯+k n ＜112+122+⋯12n ⋯⋯ 而112+122+132+⋯+1n 2≤11+11×2+12×3+⋯+1(n−1)n＝1+（1−12）+（12−13）+…+（1n−1−1n）＝2−1n ＜2，……∴k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π6）=12． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点A （2，1），点B 为曲线C 上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =√3cosαx =sinα（α为参数），可得x3=cosαy =sinα两边平方相加得：(3)2+y 2＝1，即曲线C 的普通方程为：x 23+y 2＝1．由ρsin(θ+π6)=12可得√32ρsinθ+12ρcosθ=12即直线l 的直角坐标方程为x +√3y −1=0．（2）A （2，1），设点B (√3cosα，sinα)，则点M (2+√3cosα2，1+sinα2)，点M 到直线l 的距离d =|2+√3cosα2+√3(1+sinα)2−1|2=|√32cosα+√32sinα+√322=|√62sin(α+π4)+√32|2． 当sin(α+π4)=1时，的最大值为√6+√34． 即点M 到直线l 的距离的最大值为√6+√34，此时点的坐标为(√62，√22）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1． （1）求1a +1b+1c的最小值；（2）求证：a 2+b 2+c 2≥16．【分析】（1）根据a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1，可得1a +1b+1c=（1a+1b+1c）（a +b +2c ），然后利用基本不等式求出1a+1b+1c的最小值即可；（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +2c ）2，再结合a +b +2c ＝1，即可证明a 2+b 2+c 2≥16成立．解：（1）∵a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1． 所以1a +1b+1c=（1a+1b+1c）（a +b +2c ）=b a +a b +2c a +a c +2c b +bc+4≥6+4√2， 当且仅当a =b =√2c ，即a =b =2−√22，c =√2−12时等号成立，∴1a+1b+1c的最小值为6+4√2．（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +2c ）2＝1， 即a 2+b 2+c 2≥16，当且仅当1a=1b=2c，即a =b =16，c =13时等号成立，∴a 2+b 2+c 2≥16成立．。
