教案 一元二次方程的应用——利润问题

《一元二次方程的应用-—利润问题》教学设计魏县车往中学李海良内容出处：人教课标版九年级数学上册第二十二章第三节.一、教学目标：a、知识与技能目标（1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法。

(2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究,让学生体验数学建模的过程,从而学会利用一元二次方程来解决有关利润问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程。

b、过程与方法目标通过自主探索、合作交流等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识，激发学生学习热情。

C、情感态度与价值观目标使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造,让他们在学习活动中培养合作协助精神，增强国情教育，从而使学生获得成功的体验，建立自信心，更加热爱数学、热爱生活。

二、教学重点：培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力,学习数学建模思想。

三、教学难点:将同类题对比探究，培养学生分析、鉴别的能力。

四、教学内容：问题1：如果每束玫瑰盈利10元,平均每天可售出40束.为扩大销售,经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利432元,那么每束玫瑰应降价多少元？分析：本题是商品利润问题.解决这类问题必须明确几个关系：利润＝（售价－进价）×销售数量；点评:这是一个常规性的问题,只要结合生活常识稍加引导,学生不难找出等量关系，然后列方程解答.但是类似问题中，有时我们要对某些关键语句加以斟酌，或者讨论，才能得出结论。

如：问题2:情急之下，小新家准备零售这批玫瑰。

如果每束玫瑰盈利10元,平均每天可售出40束.为扩大销售，经调查发现,若每束降价1元，则平均每天可多售出8束. 如果小新家每天要盈利432元,同时也让顾客获得最大的实惠.那么每束玫瑰应降价多少元？说明：此题上面我们已经做了解答,有些同学对答案也提出了质疑。

这一点是我们数学学习应该具有的思维品质。

也要求同学们在解题时，要认真审题，理解每一句话的涵义，在找出等量关系列方程后，要注意结果是否符合题意,对不符合题意的答案进行舍弃。

一元二次方程应用题利润问题XXX九年级数学导学案课题：一元二次方程利润问题授课时间：课型：新授课主备人：XXX审核：数学组教学目标：1.学生能够根据利润问题中蕴含的基本等量关系，列出一元二次方程。

2.学生能够运用一元二次方程解决实际问题，并理解方程的模型思想和解题方法。

3.学生能够在小组合作研究中，培养积极思考、团结合作精神和团结合作的意识。

教学重点：列一元二次方程解利润问题应用题。

教学难点：发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题。

教学过程：一）交流预一、探索规律问题1、某商品每件进价10元，售价15元，可得利润5元。

1）若涨价1元，则售价16元，利润6元。

2）若涨价2元，则售价17元，利润7元。

3）若涨价X元，则售价15+X元，利润5+X元。

4）若降价1元，则售价14元，利润4元。

5）若降价2元，则售价13元，利润3元。

6）若降价X元，则售价15-X元，利润5-X元。

小组总结：一件商品的利润=售价-进价。

问题II、某商品原来每天可销售100件，后来进行价格调整。

1、市场调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件。

1）如果降价2元，则多卖4件，每天销售量为104件。

2）如果降价3元，则多卖6件，每天销售量为106件。

3）如果降价x元，则多卖2x件，每天销售量为100+2x 件。

2、市场调查发现，该商品每涨价3元，商场平均每天可少销售6件。

1）如果涨价1元，则少卖2件，每天销售量为98件。

1）如果涨价4元，则少卖8件，每天销售量为92件。

2）如果涨价6元，则少卖12件，每天销售量为88件。

3）如果涨价x元，则少卖2x件，每天销售量为100-2x 件。

小组总结：价格调整后商品的销售量=100+2x-2x=100.二）确定目标本节课的目标是研究如何列一元二次方程解决利润问题。

三）分组合作1、某品牌服装每件进价a元，售价b元，降价x元后则每件利润为c元。

2、商场销售某品牌服装，每天售出a件。

一元二次方程的应用解决成本与利润问题在实际生活中，成本与利润问题是许多企业和个体经济活动中常遇到的挑战。

为了能够科学地做出经济决策，我们可以运用一元二次方程来解决成本与利润问题。

本文将从几个具体案例出发，演示一元二次方程的应用过程。

案例一：生产成本与利润之间的关系假设某企业制造产品的生产成本为C，每件产品的销售价格为P，该企业预计在某一时期内能够销售出x件产品。

我们希望通过一元二次方程来分析生产成本与利润之间的关系。

首先，我们假设单位成本为a，表示每件产品的生产成本。

那么，总成本C可以表示为C = ax。

其次，我们假设单位利润为b，表示每件产品的利润。

那么，总利润可以表示为利润 = P * x - C。

将C代入到这个表达式中，我们可以得到利润 = P * x - ax。

这个表达式可以转化为一元二次方程 Profit = -ax + Px。

如果我们已知a、P的值，就可以利用这个方程来求解利润与销售量之间的关系。

案例二：最大化利润问题在某些情况下，我们希望通过一元二次方程来解决最大化利润的问题。

假设某企业的生产成本方程为C = ax^2 + bx +c，其中a、b、c为常数，x为销售量。

企业销售价格方程为P = mx + n，其中m、n为常数。

我们的目标是确定一个销售量x，使得利润最大化。

利润可以表示为 Profit = Px - C，将C和P的表达式代入，可以得到 Profit = (m-a)x^2 + (n-b)x -c。

为了找到利润最大值，我们可以求解这个二次方程的顶点坐标。

顶点的横坐标即为销售量x，纵坐标即为利润。

通过求解方程 Profit' =2(m-a)x + (n-b) = 0，我们可以得到顶点坐标。

然后，我们就能确定一个销售量x，使得利润最大化。

案例三：利润的平衡点问题另一个常见的问题是找到利润的平衡点，即销售量使得利润为零的点。

假设某企业的生产成本方程和销售价格方程分别为C = ax^2 + bx + c和P = mx + n。

学会列一元二次方程解决有关销售利润问题教学设计
一复习回顾
1我们学过的有关销售利润问题中常见的量有哪些？它们之间有怎样的数量关系？
常见的几个量有：进价，售价，销售量、利润，利润率.
数量关系：单件利润 =单件售价-单件进价
商品总利润=总收入-总成本
※=单件利润*销售量
利润率= 售价−进价
*100%
进价
2根据题意填空
（1）某种电器，每件进价a元，售价b元，则销售这种电器每件的利润为元 .
（2）某种月饼，每盒进价a元，原售价b元，如果每盒降价c元销售，则降价后这种月饼每盒的利润为元.
（3)某种月饼，每盒进价a元，原售价b元，如果每盒升价c元销售，则升价后这种月饼每盒的利润为元.
(4)某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，则1件利润是
____元 ;若每天可销出100件,则一天的总利润是______元.
二新课讲授
例1：某超市将购进一批单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少？
解：设每个商品涨价x元
由题意，得 (50+x－40)(500－10x)=8000，
整理得 x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30。

课题：一元二次方程的应用——利润问题教学目标：1.知识与技能目标（1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. （2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程.2.过程与方法目标通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。

3.情感态度与价值观目标使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活.教学重点：列一元二次方程解利润问题应用题.教学难点：发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题.关键：建立一元二次方程的数学模型教法：创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新.学法：自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新.教学过程：一、回顾旧知王慧同学为了锻炼自己社会实践能力，在暑假期间批发一些小玩具在人民广场销售。

一批玩具每件进价是5元，她以8元销售，则每件利润是元。

若她一共批发了20件且全部卖完，则总利润是元。

【设计意图】创设情境，为新授课知识埋下伏笔，同时为解决利润问题做好衔接，借此引导学生探究。

二、探索新知例1、新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。

市场调研表明：当售价2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。

商场要想使这种冰箱的销售利润每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？思考：1）分析：本题的主要等量关系是：（2）若设每台冰箱的定价为x元，则降了元，降了个50元，多卖了台，实际卖台，降价后每台的利润是元。

（3）根据上表的分析及等量关系，列方程解答：解：设每台冰箱的定价为x元，则：（x﹣2500）×【8+4×（2900-x）÷50】=5000（4）就刚才分析销售量与有直接关系。

一元二次方程的应用—利润问题教学目标：1.知识与技能以一元二次方程解决实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法，使学生学会分析问题，找出题目中的等量关系。

2.过程与方法通过自主探索，合作交流等活动，培养学生的数学思维，合作意识，动脑习惯，激发学生学习热情。

3.情感态度与价值观使学生认识到数学与生活的紧密联系，让他们在学习活动中获得成功的体验，增强信心，使他们热爱数学。

教学重点:列一元二次方程解利润问题教学难点：找出题目的等量关系教学过程：一、引入某个聪明的人以20元每件的价格购进100件商品，再以每件30元的价格全部售出，求此人最后可以获得的利润是多少？（30-20）x100=1000（元）分析：指出其中的：进价、售价、每件利润、销量、总利润。

以及它们之间的关系。

二、例题1.好又多超市销售一批产品，平均每天可售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现，如果每件产品每降价1元商场平均每天可多售2件（1）若每件利润是36元，求此时的总利润。

（2）若超市要达到平均每天1200元的利润，求每件产品降价多少元分析：原销量，原每件利润分别是多少，变化后的销量又是多少，新的销量是多少。

解：（1）[20+(40-36)x2]x36=1008（元）（2）设每件产品降价x元，则销量为（20+2x）件，每件利润为（40-x）元得（20+2x）（40-x）=1200解得x1=10，x2=20超市为了减少库存，所以x1=10舍去所以x=20答：……2.某商店以2400元购进一种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，全部售完后共盈利350元，求每盒茶叶的进价分析：分析题目，第一个月的销量是多少，售价是多少。

第二个月销量是多少，售价又是多少。

解：设每盒茶叶的进价为x元,由题意得50[(1+20%)x-x]+(2400/x-50)(x-5-x)=350解得x1=-30，x2=40经检验x1=-30，x2=40均是原方程的根又因为进价不可能是负数，所以x=40答：……三、练习1、某人以2元每千克的价格购进一批西瓜，以3元每千克的价格售出，每天可卖200千克，为了促销，他决定降价销售，他发现每降价0.1元每千克，每天可以多售40千克。

人教版九年级上册——利润问题教学目的1. 使学生能快速利用利润问题的公式算出利润和数量。

2.使学生掌握如何用一元二次方程解决利润问题。

教学重点销售量的计算。

教学过程一、复习公式利润问题的数量关系：①利润=售价—进价②利润=利润率x进价③总利润=单件利润x总销量二、新授1．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．〔1〕当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为万元；〔2〕假设该店方案平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】〔1〕根据销售价减去进价等于利润，单件的利润乘以销售量即可求解；单件利润=22-15=7，销售量=8+〔25-22〕x2=14,总利润=7x14=98〔2〕根据销售利润等于单件利润乘以总销售量即为总利润．设售价为x万元，那么单件利润=x-15，销售量=8+2〔25-x〕,所以总利润=〔x﹣15〕［8+2〔25-x〕］解：〔1〕根据题意，得〔22﹣15〕X ［8+2X〔25-22〕］＝98．〔2〕设每辆汽车售价为x万元，根据题意，得〔x﹣15〕［8+2〔25-x〕］＝90整理，得x2﹣44x+480＝0，即〔X-22〕2=4解得x1＝24，x2＝20．为了尽快减少库存，x＝20．答：每辆汽车的售价为20万元．2．某商场销售一批衬衫，每件本钱为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫应提价多少元？〔1〕设这种衬衫应提价x元，那么这种衬衫的销售价为元，销售量为件．〔2〕列方程并完成此题的解答．【分析】〔1〕根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；〔1〕设这种衬衫应提价x元，那么这种衬衫的销售价为〔60+x〕元，销售量为〔800﹣5xX100〕＝〔800﹣20x〕件．〔2〕根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．解：〔1〕设这种衬衫应提价x元，那么这种衬衫的销售价为〔60+x〕元，销售量为〔800﹣5xX100〕＝〔800﹣20x〕件．故答案为〔60+x〕、〔800﹣20x〕．〔2〕根据〔1〕得：〔60+x﹣50〕〔800﹣20x〕＝12000整理，得x2﹣30x+200＝0解得：x1＝10，x2＝20．为使顾客获得更多的优惠，所以x＝10，60+x＝70，800﹣20x＝600．答：这种衬衫应提价10元，那么这种衬衫的销售价为70元，销售量为600件．。

用一元二次方程解决利润类问题教学案例要想了解市场经济中的作用，学习一元二次方程绝对是必不可少的知识点。

为了帮助学生更好地掌握一元二次方程和利润问题，本文将采用一个实际的教学案例，结合数学知识探究如何用一元二次方程解决利润问题。

一、一元二次方程的概念一元二次方程是指一个二次未知数的方程，即一元多项式F(x)在给定的范围内有两个不同的实数解，这就是一元二次方程的概念。

一元二次方程的标准形式为：ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a不能等于0， x是未知数。

二、用一元二次方程解决利润问题在计算经济中，我们可以用一元二次方程来解决利润问题。

这一内容也是一元二次方程解题的重要内容。

下面以教学案例来讲解用一元二次方程解决利润类问题的方法：案例：企业从一家供应商购买某产品，售价为x元，支付给供应商的费用为450元，以及20元的运输费用，问企业的利润有多少？解：据题意，企业的利润可以用公式表示为：利润=售价-购买费用-运输费用即：P=x-450-20由此可得一元二次方程：P=x-470解得：x=470+P，即售价为470元加上利润P元。

结论：根据一元二次方程，当售价达到470元时，企业的利润P即为零；售价超过470元时，利润就大于零；售价小于470元时，利润就是负数。

三、教学意义以上就是关于一元二次方程和利润计算的一个教学案例，旨在通过案例的讲解帮助学生更好地掌握一元二次方程，深入理解利润计算的原理和方法。

从上述案例可以看出，一元二次方程在经济学中有着非常重要的地位，它不仅可以用来解决利润问题，而且可以用来解决一些收入、支出、财务成本等问题，这对经济管理有着重要的意义。

综上所述，一元二次方程在解决利润类问题方面有着非常重要的作用，但教学方法也很重要，不同的案例会使学生更好地理解一元二次方程的使用，帮助他们更好地应用。

因此，在未来的数学教学中，倡导学生运用一元二次方程解决利润计算问题，会更有利于他们学习数学知识，为未来的经济管理提供支持。

（完整版）一元二次方程应用题之利润问题问题描述：某公司生产和销售某种商品，已知该商品的定价为每件x元，每件商品的制造成本为200元，销售每件商品所需的费用为10元。

该公司希望通过调整销售价格来最大化利润。

现在需要确定一个一元二次方程，以确定的销售价格为自变量，利润为因变量。

请求解这个问题。

解决方法：设销售价格为p元，销售商品的数量为q件。

由此可得以下关系：收入 = 销售价格 ×销售数量 = p × q成本 = 制造成本 ×销售数量 = 200 × q总费用 = 成本 + 销售费用 = 200 × q + 10 × q = 210 × q利润 = 收入 - 总费用 = p × q - 210 × q = q(p - 210)根据问题描述可知，一元二次方程的自变量是销售价格p，因变量是利润。

设方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为待确定的系数。

由上述推导可得：y = q(p - 210)即 y = q(p - 210) = q(210 - p)将y与x对应：y表示利润，x表示销售价格p。

根据问题描述，已知a=0，b=q，c=q×210，因此方程可以写成：y = q(210 - p)这是一个一元二次方程，通过求导可以找到该方程的极值点。

方程的极值点对应的销售价格就是能够使利润最大化的价格。

因为a=0，所以只需要求二次项的系数b即可。

结论：根据上述分析，该公司应将销售价格定为210元时，利润最大化。

注意事项：本文档中所述方程为一种简化模型，只考虑了制造成本和销售费用，没有考虑其他因素对利润的影响。

在实际情况中，可能还需要考虑市场需求、竞争对手的定价等因素，并进行综合分析来确定最优销售价格。

因此，读者在实际应用中应谨慎对待该模型的结果，结合具体情况做出决策。

一元二次方程的应用——利润问题教学设计（江西省赣州市安远县第三中学胡周明 342100）教学目标：1.知识与技能目标（1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.（2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程.2.过程与方法目标通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。

3.情感态度与价值观目标使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点：列一元二次方程解利润问题应用题.教学难点：发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题.关键：建立一元二次方程的数学模型教法：创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新.学法：自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新.教学过程：一、复习回顾，引入新知1、提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题？①列一元一次方程解应用题；②列二元一次方程组解应用题；③列分式方程解应用题提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样①审（审题）；②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）；③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）；④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；⑤列（列方程）；⑥解（解方程）；⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________．3. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?二、探索新知1、问题3分析：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，•则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+0.1x ×100） 解：设每张贺年卡应降价x 元，则（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元．2、例2：2010年4月30日，龙泉山旅游度假区正式对外开放后，经过试验发现每天的门票收益与门票价格成一定关系.门票为40元/人时，平均每天来的人数380人，当门票每增加1元，平均每天就减少2人。