解三角形中的边角互换导学提纲讲解学习

解三角形中的边角互换导学提纲

解三角形中的边角互换导学提纲 班级: 姓名: 小组: 评价:

学习目标：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。

2．在解三角形时，要注意正弦定理和余弦定理的本质就是揭示了三角形角与边的

关系，利用正余弦定理可将将角换成边，边换成角。

重点：利用正（余弦）定理实现角边互换。

难点：正（余）弦定理的角边互换的灵活运用。

导学流程：

例1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=( )

（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150

【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

【规范解答】选A ，根据正弦定理及sin 23sin C B =得：23c b =（角换边）

2222222()33cos 2222

b c a c a c c bc A bc bc bc +----====Q ，0000180,30A A <∴=Q 。 【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。 例2在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且

2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++

（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。

【思路点拨】（I ）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定

理求角

（II ）由（I ）知角C ＝60°-B 代入sinB+sinC 中，看作关于角B 的函数，进而求出最值

【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++

即 222a b c bc =++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+- 故 1cos 2

A =-，A=120°

（Ⅱ）由（Ⅰ）得： sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-31cos sin 22

sin(60)

B B B =+=︒+ 故当B ＝30°时，sinB+sin

C 取得最大值1。

【方法技巧】

(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换sinA ，用b 替换sinB,用c 替换sinC 。sinA,sinB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用，象本例中B+C ＝60° 例3. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用。

【思路点拨】此题事实上比较简单,但学生不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而做不出来.

【规范解答】法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理

有:222222

3,22a b c b c a a c ab bc

+-+-=g g ⇒（实现角边互换,从而找到解题突破口） 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 法二：由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠.

所以2cos 2b c A =+ ① 又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

∴sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b B C c

=，故4cos b c A = ② 由①，②解得4b =.

评析：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.

当堂练习：1.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．

（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若33a =5c =，求b ．

=A cos _________________。

3.在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为( ) A. 6π B. 3π C.6π或56π D. 3π或23π