(完整版)高一上学期期中考试数学试题及答案(哈师大附中),推荐文档

师大附中— 度高一上学期期中考试试题〔数学〕本试卷分第一卷、第二卷．本试卷共4页．第一卷和第二卷总分值150分，考试时间120分钟．考前须知：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}A =,{1,3}B =，那么()U A C B ⋂等于A.{4,5}B.{2,4,5}C.{1}D.{3} 2、以下函数与函数||y x =为相等函数的是A．2y = B．y C ．{,(0),(0)x x y x x >=-< D ．log a xy a=3、集合{1,2}A =,{3,4}B =，那么从A 到B 的映射共有A.1个B.2个C.3个D.4个 4、函数()log (43)a f x x =-过定点A.〔1，0〕B.〔3,04〕C.〔1，1〕D.〔3,14〕5、设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是 A ．{|23}x x << B ．{|3}x x < C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤6、幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)，那么(9)f 的值为A. 3B. 3±C. 81D.81± 7、以下大小关系正确的选项是A. 30.440.43log 0.3＜＜B. 30.440.4log 0.33＜＜ C. 30.44log 0.30.43＜＜ D. 0.434log 0.330.4＜＜8、函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D.25,2(9、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x =，那么满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1)(0,1)-∞-⋃h 和时间t 之间的关系，其中正确的有B.2个二、填空题：本大题有3小题，每题4分，共12分，把答案填在答卷的相应位置.11、函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域是 *** ；12、．计算：52log 232851ln log 16e ⨯+= *** ；13、设函数22 1 (0)()+1 (02)3 1 (2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，假设()3f x =，那么x = *** .三、解答题：本大题有3题，共38分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、〔本小题总分值12分〕设2{|560}A x x x =-+=，}01|{=-=ax x B . 〔I 〕假设13a =，试判定集合A 与B 的关系；〔II 〕假设A B ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .15、〔本小题总分值12分〕函数112)(++=x x x f .〔I 〕用定义证明函数在区间[)+∞,1是增函数； 〔II 〕求该函数在区间[]2,4上的最大值与最小值.16、〔本小题14分〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．〔I 〕求(0)f ，(1)f ； 〔II 〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅲ〕假设(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．第II 卷 共50分一、填空题：本大题有2小题，每题4分，共8分，把答案填在答卷的相应位置.17、如果函数()22f x x ax =-+在区间11[,]24-上是单调函数，那么实数a 的取值范围是 *** ; 18、设函数22)(k x x x f --=，以下判断：①存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有一个零点； ②存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有两个零点； ③存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有三个零点； ④存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有四个零点．其中正确的选项是 *** 〔填相应的序号〕．二、选择题：本大题有2小题，每题4分，共8分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.||()xx a f x =(01)a <<A ．B ．C ．D ． 20、假设函数()log (1)a f x ax =+在区间(3,2)--上单调递减，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)3 B ．1(0,]3 C ．1(0,]2 D ．(0,1)三、解答题：本大题有3题，共34分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.21、(本小题总分值10分)函数1()4226x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈. 〔I 〕求函数()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.22、(本小题总分值12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．〔I 〕设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f 〔x 〕的表达式； 〔II 〕当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是多少元？ 〔服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-本钱〕 23、〔本小题总分值12分〕设二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2满足以下条件：①当R x ∈时，)(x f 的最小值为0，且图像关于直线1-=x 对称；②当()5,0∈x 时，()112+-≤≤x x f x 恒成立．〔I 〕求()1f 的值； 〔II 〕求()x f 的解析式；〔Ⅲ〕假设()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围.附加题：本大题有2小题，每题5分，共10分，把答案填在答卷的相应位置. 说明：得分计入总分，超过150分， 总分计为150分.1、设函数()f x x x a =-，假设对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式)()(2121>--x x x f x f恒成立，那么实数a 的取值范围是 *** . 2、函数)(x f y =定义域为D ，假设满足:①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[]D n m ⊆,使()f x 在[]n m ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2n m ，那么就称)(x f y =为“减半函数〞.假设函数)0,1,0)((log )(≥≠>+=t a a t a x f xa 是“减半函数〞，那么t 的取值范围为 *** .参考答案 第I 卷11、()()1,22,⋃+∞ 12、83-13三、解答题: 14、〔本小题总分值12分〕 解：A ＝{2,3}〔I 〕假设13a =,那么B={3}，∴B ⊆A〔II 〕∵B ⊆A ， ∴B =Φ或{2}B =或{3}B =∴0a =或12a =或13a = ∴11{0,,}32C =15、〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：任取[)+∞∈,1,21x x ，且12x x <，112112)()(221121++-++=-x x x x x f x f )1)(1()(2121++-=x x x x∵120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <,∴函数()f x 在[)+∞,1上是增函数.〔II 〕由〔I 〕知函数()f x 在[]2,4上是增函数.∴max 2419[()](4)415f x f ⨯+===+, min[()]f x =2215(2)213f ⨯+==+. 16、〔本小题总分值14分〕 解：〔I 〕()00f = (1)(1)1f f =-=-〔II 〕令0x >，那么0x -<12()log (1)()f x x f x -=+=∴0x >时，12()log (1)f x x =+∴1212log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩〔Ⅲ〕∵12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为减函数 ∵(1)1(1)f a f -<-= ∴11a -> ∴2a >或0a <第II 卷 共50分 一、填空题：17、(,2][1,)-∞-⋃+∞ 18、 ②③. 二、选择题：三、解答题：19 20 DB21、(本小题总分值10分) 解：〔I 〕 2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤∴22()46(2)10h t t t t =--=--〔18t ≤≤〕∴当[1,2]t ∈时，()h t 是减函数；当(2,8]t ∈时，()h t 是增函数；min ()(2)10f x h ∴==-，max ()(8)26f x h ==〔II 〕()0f x a -≥恒成立，即()a f x ≤恒成立，∴min ()10a f x ≤=-∴a 的取值范围为(,10]-∞- 22、(本小题总分值12分) 解：〔I 〕当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，600.02(100)6250xP x =--=-∴**60,0100,62,100500,50x x N P x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩〔II 〕设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，那么*2*(40)20,0100,22,100500,50P x x x x N L x x x x N ⎧-=<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩当0＜x≤100时，L 单调递增，此时当x=100时，Lmax=当100＜x≤500时，L 单调递增, 此时当x=500时，Lmax=6000 综上所述，当x=500时，Lmax=6000答：当销售商一次订购500件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是6000元. 23、〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕在②中令1=x ，有()111≤≤f ，故()11=f ．〔II 〕当R x ∈时，)(x f 的最小值为0且二次函数关于直线1-=x 对称， 故设此二次函数为()()()012>+=a x a x f ．∵()11=f ，∴41=a ．∴()()2141+=x x f ．〔Ⅲ〕()()222111144424x x f x x x -=+-=+， 由()214x f x -≤即11||124x +≤，得5322x -≤≤∵()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤∴只须51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤∴实数m 的取值范围为33[,]22-．附加题：每题5分，共10分 1、3a ≤ 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0。

2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。

哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。

哈师大附中2018级高一上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.已知全集{|2}U x x =≥，集合M {|3}x x =≥，则U M =ð（ ）A ．{|23}x x ≤≤B ．{|23}x x ≤<C ．{|3}x x ≤D ．{|2}x x < 2. .设集合={|23}xM x >，{|(1)(3)0}N x x x =-+<，则（ ） A. M N = B. M N ⊆ C. N M ⊆ D. M N =∅3.下列函数是偶函数，且在0+∞（，）是增函数的是（ ） A.2()2f x x x =+ B. 2()f x x -= C. ()||f x x = D. ()ln f x x =4.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ） A. 0k ≠ B. 04k ≤≤ C. 04k ≤< D. 04k <<5.已知函数()f x 为偶函数，当[0,)x ∈+∞时，()1f x x =-，则()0f x <的解集是（） A. 0,1（） B.,1（-1） C.1,0（-） D.∞（-，-1）（0，1）6.若1122(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围是（ ）A.12(,)23 B. 2(,2)3 C. 23(,)32 D. 3(,)2+∞7.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别 位于区间（ ）A ．(,b)a 和(b,c)内B ．(,)(,)a a b -∞和内C ．(,)(c,)b c +∞和内D ．(,)(,)a c -∞+∞和内8.已知函数()f x 的定义域为()1,1-，则函数1()()(1)g x f f x x=+-的定义域为（ ） A. ()1,2 B. ()0,2 C. ()0，1 D. ()1,1-9.已知1322412,log ,log 3,log 53a b c d -====.则( ) A ．a c d b ><> B ．b a c d <<< C ．b a d c <<< D ．c a d b >>> 10.函数243()log (4)f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,4)-∞D ． (4,)+∞ 11.若方程24||3x x m -+=有四个互不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A.[1,3]- B.()1,3- C.(3,)+∞ D.[1,3)- 12.对于函数4()(|2|1)f x x =-+，给出如下三个命题：①(2)f x +是偶函数；②()f x 在区间(,2)-∞上是减函数，在区间(2,)+∞上是增函数；③()f x 没有最小值.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 0 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知函数y =的定义域是___________；14.函数221()2x x f x a-+=+01)a a >≠（且的图像过定点___________； 15.已知函数1(),4()2(1),4xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(log 3)f =___________；16.已知函数()()2x xf x a e e -=-+，若(lg3)3f =,则1(lg )3f =___________．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)计算下列各式：21023213(1)(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+7log 29(2)log lg 252lg 27+++18.(本小题满分12分)已知集合22{|20},{|(21)(1)0}A x x x B x x a x a a =--<=-+++<，且B A ⊆,求实数a 的取值范围.19. (本小题满分12分)已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足:(0)2,(1)()21f f x f x x =+-=-. (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-的两个零点分别在区间(1,2)-和(2,4)内，求m 的取值范围.20. (本小题满分12分)已知函数22(),21x x a af x a R ⋅-+=∈+． (1)当2a =时，判断函数()f x 的单调性,并证明； (2)若()f x 为定义域上的奇函数，求函数()f x 的值域．21. (本小题满分12分)已知函数2()log f x x =的定义域是[2,16].设2()(2)[()]g x f x f x =-. (1)求函数g()x 的解析式及定义域； (2)求函数)(x g 的最值．22. (本小题满分12分)定义在R 上的函数()y f x =.对任意的,a b R ∈.满足:()()()f a b f a f b +=⋅, 当0x >时，有()1f x >，其中12f =（）.(1)求(0)f ，(1)f -的值； (2)判断该函数的单调性，并证明； (3)求不等式(1)4f x +<的解集.哈师大附中2018级高一上学期期中考试数学答案一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1-6：BDCDBC 7-12：AACDBB二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.34(,]55 14.(1,3) 15.12416.1 三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. (本小题10分)计算：21023213(1)(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+12= …… 5分7log 29(2)log lg 252lg 273+++318= …… 10分 18.(本小题12分)已知集合22{|20},{|(21)(1)0}A x x x B x x a x a a =--<=-+++<，且B A ⊆.求实数a 的取值范围.解：A={|1x 2}x -<< …… 2分{|1}B x a x a =<<+ …… 6分112B Aa a ⊆≥-⎧∴⎨+≤⎩ …… 10分11a ∴-≤≤ …… 12分19.(本小题12分)已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)2,(1)f f x f x x=+-=- (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-的两个零点分别在区间(1,2)-和(2,4)内，求m 的取值范围.(1)(0)22f c =∴=解： …… 2分22(1)()(1)(1)2(2)2f x f x a x b x ax bx ax a b+-=++++-++=++ …… 4分22112a ab a b ∴=+=-∴==- …… 6分2()22f x x x ∴=-+ …… 7分2(2)()(2)2g x x m x =-++ …… 8分(1)505(2)22m 012(4)1040g m g m g m -=+>⎧⎪=-<⇒<<⎨⎪=->⎩…… 12分 20.(本小题12分)已知函数22(),21x x a af x a R ⋅-+=∈+． (1)当2a =时，判断函数()f x 的单调性,并证明. (2)若()f x 为定义域上的奇函数，求函数()f x 的值域． 解:由已知得: 1(1)()2(1)21xf x =-+定义域为R …… 2分 12,x x R ∈任取 12x x <且 121211()()2[(1)(1)]2121x x f x f x -=---++ 121222(21)(21)x x x x -=++ …… 4分 2xy R =在上单调递增 12x x <且 12022xx ∴<<12220x x ∴-<12210210x x ∴+>+>，()()122+12+10x x ∴>12()()f x f x ∴< ()f x ∴-∞+∞在（，）上单调递增 …… 6分 2(2)2(2)2,()()002121x x x xa a a a x R f x f x --⋅+-⋅+-∀∈-+=⇔+=++（）对 (22)(21)01xa a ⇔-+=⇔= …… 8分2112211x x x y y y -+==+-由得， 20x > 101yy+∴>- …… 10分 11y ∴-<< ()f x ∴的值域为(-1,1). …… 12分21.(本小题12分)已知函数2()log f x x =的定义域是[2,16].设2()(2)[()]g x f x f x =-.(1)求函数g()x 的解析式及定义域. (2)求函数)(x g 的最值． 解： （1）2216216x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 28x ∴≤≤ …… 3分 222()log (2)log 28g x x x x =-≤≤2221log log x x=+-…… 6分（2） 2log [1,3]t xt =∈令…… 8分max 12()1t x g x ∴===即时， …… 10分 min 38()5t x g x ===-即时， …… 12分22.(本小题12分) 定义在R 上的函数()y f x =.对任意的,a b R ∈.满足()()(f a b f a f b +=⋅ 当0x >时，有()1f x >，其中12f =（） (1)求(0)f ,(1)f -的值； (2)判断该函数的单调性,并证明； (3)求不等式(1)4f x +<的解集.解：（1） 1a =令，0b =，(1)(0)(1)f f f =则(1)1f > (0)1f ∴= …… 2分1a =令，-1b =， 则(0)(1)(-1)f f f =⋅12f =（）1(-1)=2f ∴ …… 4分（2）()(,)f x -∞+∞在上单调递增 …… 5分任取1212,(,)x x x x ∈-∞+∞<且210x x ⇒->由题设得21()1f x x ->0x <对任意()()(0)1f x f x f -== 0x ∴-> ()1f x ∴-> ()0f x >x R ∴∈对任意 ()0f x > 1()0f x ∴> ……7分22112111()[()]()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-⋅>()(,)f x ∴-∞+∞在上单调递增 …… 9分（3）(2)(11)(1)(1)4f f f f =+=⋅= ……10分 (1)4(2)121f x f x x +<=+<∴<，1∴-∞不等式的解集为（，） …… 12分。

哈师大附中2021级高三第三次调研考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（共8个小题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分）1.已知复数2i z =-，则()iz z -的虚部为（）A.2- B.1- C.6D.2【答案】A 【解析】【分析】根据共轭复数的概念可得z ，根据复数的乘法运算求出()i z z -，即可得答案.【详解】复数2i z =-，则2i z =+则()(2i)(2i i)=42i i z z =---+-，则()i z z -的虚部为-2，故选：A2.下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（）A.sin 1y x =+B.1y x=C.[]()31,2y x x =-∈- D.y x x=-【答案】D 【解析】【分析】利用定义域关于原点对称，()f x -与()f x -关系，判断函数的奇偶性.【详解】A 选项：令()()sin 1R f x x x =+∈，则()()sin 1sin 1f x x x -=-+=-+，()f x 不具有奇偶性，所以不符合题意；B 选项：令()()10f x x x =≠，则()1f x x-=-，()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，但在定义域内不具有单调性，所以不符合题意；C 选项：令()[]()31,2f x x x =-∈-，因为[]1,2x ∈-定义域不关于坐标原点对称，所以()f x 不具有奇偶性，所以不符合题意；D 选项：令()()R f x x x x =-∈，()()f x x x x x -=---=，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，又()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，所以0x ≥时，()f x 单调递减，0x <时，()f x 单调递减，满足题意.故选：D3.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a bB.//a b ，a c ⊥则b c⊥C.若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b⊥r rD.若a αβ⋂=，//b a ，则//b α【答案】B 【解析】【分析】利用长方体模型，举例说明排除ACD ，B 结合异面直线所成角即可判断..【详解】在长方体1111ABCD A B C D -，令平面ABCD 是平面α，对于A ，若平面1111D C B A 为平面β，直线BC 为直线a ，直线11A B 为直线b ，显然//αβ，a α⊂，b β⊂，此时直线,a b 是异面直线，,a b 不平行，故A 错误；对B ，//a b ，a c ⊥，则直线a 与直线c 的夹角为π2，由异面直线所成角的定义知直线b 与直线c 的夹角也为π2，故b c ⊥，B 正确；对于C ，若平面11CDD C 为平面β，直线AB 为直线a ，直线DC 为直线b ，显然αβ⊥，a α⊂，b β⊂，此时直线,a b 平行，,a b 不垂直，故C 错误；对于D ，若平面11CDD C 为平面β，则DC αβ⋂=，直线DC 为直线a ，直线AB 为直线b ，显然//a b ，但b α⊂，此时直线b 不与平面α平行，故D 错误；故选：B.4.在数列{}n a 中，若11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2024a =（）A.1-B.2- C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据数列递推式求出数列的前面一些项，推出数列的周期，由此即可求得答案.【详解】由题意知数列{}n a 中，若11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，故3211a a a =-=，4321a a a =-=-，5432a a a =-=-，6541a a a =-=-，7658761,2a a a a a a =-==-=，则{}n a 为周期为6的周期数列，故20243376222a a a ⨯+===，5.已知向量a ，b 的夹角为π3，且1a = ，2b = ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.bB.12bC.13b r D.14b【答案】D 【解析】【分析】根据投影向量的定义即可求得向量a 在向量b 上的投影向量为14b.【详解】易知πcos 13a b a b ⋅== ，由投影向量的定义可得向量a 在向量b上的投影向量为12241a b bb b b b =⋅⋅⋅=.故选：D.6.已知两个非零向量a 与b ，定义sin a b a b θ⋅⨯=⋅ ，其中θ为a 与b的夹角，若(2,3)a =- ，(1,1)b = ，则a b ⨯的值为（）A.5B.7C.2D.【答案】A 【解析】【分析】先利用平面向量夹角余弦的坐标表示求得cos θ，从而求得sin θ，进而利用定义即可得解.【详解】因为(2,3)a =- ，(1,1)b =，则|||a b ==21311a b ⋅=-⨯+⨯=，则,c s ||o ||a b a b a b ===⋅⋅，又[0,π]θ∈，则sin θ===5，则||a b ⨯==55.故选：A7.已知正项等比数列{}n a 中，320224a a =，则212222024log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.1012B.2024C.10122 D.20242【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合对数的运算，即可求得答案.【详解】由题意知正项等比数列{}n a 中，320224a a =，则1120131202420230124a a a a a a =⋅⋅===⋅，故()()10122122220242122024232022log log log log log a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅=1012202422log lo 4g 4202===，故选：B8.如图正方体的棱长为1，A ，B 分别为所在棱的中点，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为（）A.16πB.32πC.41π16D.414π【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设外接球球心为(,,)x y z ，列方程组求解球心，验证后可得外接球半径，即可求得答案.【详解】以C 为坐标原点，以,CD CS 所在直线为,x z 轴，以与,CD CS 垂直的棱为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,1,)(01,)(001)(00),,,,,,1,2,2C A B SD ,设四棱锥S ABCD -的外接球球心为(,,)x y z ，半径为R ，则()()()()()22222222222222222211111221112x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧⎛⎫⎛⎫-+-+-=+-+-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪++-=++⎨⎪⎛⎫⎪+-+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得123812x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即外接球球心为131(,,282，8R ==，验证8OD ==，符合题意，即四棱锥S ABCD -的外接球8R =，其表面积为24141π4π4π6416R =⨯=，故选：C二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）9.已知向量()1,1a =-，()2,b n =- ，则下列说法正确的是（）A.若1n =，则a b -=B.若//a b，则2n =C.“2n >-”是“a 与b的夹角为钝角”的充要条件D.若()a b a +⊥，则0n =【答案】ABD 【解析】【分析】由向量的坐标表示可求得a b -=，A 正确；由向量平行的坐标表示可得B 正确；利用向量数量积的坐标运算可知“2n >-”是“a 与b的夹角为钝角”的必要不充分条件，C 错误；由向量垂直的坐标表示可求得0n =，D 正确.【详解】对于A ，由1n =可得()3,2a b -=- ，所以可得a b -== ，即A 正确；对于B ，由向量平行的坐标表示可得120n ⨯-=，解得2n =，可知B 正确；对于C ，若2n >-可得20a b n ⋅=--<r r，即a 与b的夹角为90180θ<≤ ，当2n =时，2b a =- 可得a 与b反向，充分性不成立；若a 与b的夹角为钝角可得20a b n ⋅=--<r r且2n ≠，解得2n >-且2n ≠，即必要性成立，所以“2n >-”是“a 与b的夹角为钝角”的必要不充分条件，C 不正确；对于D ，由()a b a +⊥ 可得()0a b a +⋅=，即()1110n -⨯--=，解得0n =，故D 正确；故选：ABD10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，5100a a +<，则下列选项正确的是（）A.数列{}n a 为递减数列B.80a <C.n S 的最大值为7SD.140S >【答案】ABC 【解析】【分析】由已知条件结合等差数列性质可判断B ；判断出数列的公差小于0，可判断A ；根据数列各项的正负情况以及单调性可判断C ；利用前n 项和公式结合等差数列性质判断D.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由于70a >，5100a a +<，故571080a a a a +=+<，则80a <，B 正确；870d a a =-<，则数列{}n a 为递减数列，A 正确，由以上分析可知127,,,0a a a > ，8n ≥时，0n a <，故n S 的最大值为7S ，C 正确；5101141414()14()202S a a a a ++==<，D 错误，故选：ABC11.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =（其中a 、b 、c 、S 为三角形的三边和面积）表示．在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若3b =cossin CC =，则下列命题正确的是（）A.ABCB.c =C.b =D.ABC【答案】AB 【解析】【分析】cossin CC=，利用两角和的正弦公式可得sin C A =，结合正弦定理角化边可判断B ；利用S =B 的结论化简并结合二次函数性质可得ABC 面积的最大值，判断A ，D ；假设b =正确，结合面积公式推出矛盾，判断C.cossin CC=，得sin sin cos C B C B C =，即sin cos cos sin ))C B C B C B C =+=+,即sin C A =，结合正弦定理得c =，B 正确；由S =S ==，当29a =，即3a =时，ABC 面积取到最大值是4=，A 正确，D 错误，对于C ，假设b =，由于3b =，c =，故1c a ==，则22222223191331()2024c a b c a =⎛⨯⎫+-⎭+--=--⎪⎝< ，这与三角形面积S =有意义不相符，C 错误，故选：AB12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（）A.AM 与11D B所成角的余弦值为10B.过三点A 、M 、1D 的截面面积为112C.四面体11A C BD 的内切球的表面积为π3D.E 是1CC 边的中点，F 是AB 边的中点，过E 、M 、F 三点的截面是六边形．【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解；对于B ，作出过三点A 、M 、1D 的截面，即可求其面积；对于C ，利用等体积法求出内切球的半径，即可求解；对于D ，利用几何作图，作出过E 、M 、F 三点的截面，即可判断.【详解】对于A ，以1A 为坐标原点，以11111,,A D A B A A 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，11(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ，则()()11120220,,,,,B A D M ==-,则111111cos ,10||||D B D B AM D B AM AM ⋅〈〉==，AM 与11D B 所成角的范围为π(0,]2，故AM 与11D B 所成角的余弦值为1010，A 正确；对于B ，设N 为1CC 的中点，连接MN ，则11MN BC AD ∥∥，且111122MN BC AD ==，则梯形1AMND 即为过三点A 、M 、1D 的截面，11MN AD AM D N ====322=，故梯形面积为为19222S =⨯=，B 错误；对于C ，如图，四面体11A C BD 的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积，即33118242323V =-⨯⨯⨯=，该四面体的棱长为，其表面积为1π4sin 23S =⨯⨯=设四面体内球球半径为r ，则18,333r r ⨯=∴=，故四面体11A C BD 的内切球的表面积为24π4π3r =，C 错误；对于D ，如图，延长ME 和11B C 的延长线交于J ，则MCE △≌1JC E ，则1JC MC =，设H 为11A D 的中点，则11JC D H =，连接HJ ，则1JC G ≌1HD G ，则11C G D G =，故G 为11D C 的中点，故11HG A C AC FM ∥∥∥，同理延长,MF DA 交于L ，连接LH ，交1AA 于K ，K 即为1AA 的中点，则K ，E 在,FM HG 确定的平面内，则六边形FMEGHK 即过E 、M 、F 三点的截面，是六边形，D 正确，故选：AD【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间几何中的线线角、截面、以及内切球问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，结合空间向量以及等体积法和几何作图解决问题.三、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）13.函数()tan(6f x x π=-的定义域为___________.【答案】}2{|+3x x k k Z ππ≠∈，【解析】【分析】根据函数有意义列不等式，求函数()tan(6f x x π=-的定义域.【详解】∵()tan()6f x x π=-有意义，∴62x k πππ-≠+，Z k ∈，∴23x k ππ≠+,Z k ∈，∴函数()tan()6f x x π=-的定义域为}2{|+3x x k k Z ππ≠∈，，故答案为：}2{|+3x x k k Z ππ≠∈，，14.(2,1)a =- ，b = ，且()10a b a +⋅= ，则a ，b 的夹角为______．【答案】0##0︒【解析】【分析】求出向量(2,1)a =- 的模长，根据()10a b a +⋅= 求出a b ⋅ 的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由题意知(2,1)a =- ，b = ，且()10a b a +⋅= ，故a == ，则()210a b a a a b +⋅=+⋅= ，则5a b ⋅=，故cos ,1||||a b a b a b ⋅〈〉== ，由于,[0,π]a b 〈〉∈ ，故,0a b 〈〉= ，故答案为：015.在三棱锥O ABC -中，60AOB BOC AOC ︒∠=∠=∠=，则直线OA 与平面BOC 所成角的正弦值为_______.【答案】63【解析】【分析】构建正四面体模型，从而可求直线OA 与平面BOC 所成角的正弦值.【详解】如图，在射线OB 上截取OB OA '=，在射线OC 截取OC OA '=，得到如下图所示的几何体.因为OA OB '=，π3B OA '∠=，故B OA ' 为等比三角形，故OA OB AB ''==，同理OA OC AC ''==，而π3B OC '∠=，故OB C ''△为等比三角形，故OB OC B C ''''==，故几何体A B OC ''-为正四面体.过A 作平面B OC ''的垂线，垂足为S ，则S 为OB C ''△的中心，连接OS ，则AOS ∠为OA 与平面B OC ''（即平面BOC ）所成的角，设2OA a =，则23232323OS a =⨯⨯=，故3AS ==，故6sin 3AOS ∠=.所以线OA 与平面BOC 所成角的正弦值为63.故答案为：3.16.若{}n a 是公差不为0的等差数列，2a ，4a ，8a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前n （N n *∈）项和，则12101113412S S S ++⋅⋅⋅+的值为______．【答案】65132【解析】【分析】设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，根据题意，求得1d =，得到(1)2n n n S +=，进而化简得到1211(2)(1)(2)(1)(1)(2)n n S n n n n n n n ==-++++++，结合裂项法求和，即可求解.【详解】设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为248,,a a a 成等比数列，11a =，可得2111(3)()(7)a d a d a d +=++，即2(13)(1)(17)d d d +=++，解得1d =，所以1(1)1n a n n =+-⨯=，则(1)2n n n S +=，所以12(1)n S n n =+，则1211(2)(1)(2)(1)(1)(2)n n S n n n n n n n ==-++++++，所以1210111()111111122323341011111((2)3412S S S ---⨯⨯⨯⨯++⋅⨯⋅⋅=++⨯++ 1165121112132-=⨯⨯=.故答案为：65132.四、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）17.在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =-+-．（1）求A 的大小；（2）若ABC 是锐角三角形，求cos cos B C +的取值范围．【答案】（1）π3A =（2）(2【解析】【分析】（1）应用正弦定理的边角互化结合余弦定理即可求解;（2）设ππ,B C αα=+=-33，ππ(,)α∈-66，代入结合两角和与差的余弦即可求解.【小问1详解】由()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =-+-，由正弦定理得()()2222a b c b c b c =-+-，即222bc b c a =+-，则2221cos 22b c a A bc +-==，因为(0,π)A ∈，则π3A =【小问2详解】由（1）得2π3B C +=，设ππ,B C αα=+=-33，因为π,(0,)2B C ∈，则ππ(,)α∈-66，则ππcos cos cos()cos()33B C αα+=++-πcos cos cos (]αα==∈2132，则cos cos B C +的取值范围是(,1]2.18.已知数列{}n a 中，13a =，()12N 12,n n a n n a *-≥∈=-（1）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设()213n n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和nT【答案】（1）证明见解析；*21,N 21n n a n n +=∈-（2）13n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）由递推公式112n n a a -=-可得111111n n a a --=--，即可证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，由等差数列定义即可求得*21,N 21n n a n n +=∈-；（2）由（1）可得()213n n b n =+⋅，利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和13n n T n +=⋅.【小问1详解】当2n ≥时，由112n n a a -=-可得1111111n n n n a a a a -----=-=，易知10n a -≠；两边同时取倒数可得11111111111111n n n n n n a a a a a a ------==-+-=-+-，即111111n n a a --=--，由等差数列定义可得11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以11112a =-为首项，公差1d =的等差数列，所以()211111212n n n a -=+⨯=--，即2121n a n -=-，可得2121n n a n +=-，显然1n =时，13a =符合上式，即{}n a 的通项公式为*21,N 21n n a n n +=∈-；【小问2详解】由（1）可得()()213213n n n n b n a n =-⋅=+⋅，所以()()1213353213213n n n T n n -⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅，()()23133353213213n n n n T n +⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅=⋅+-，两式相减可得()1231332323232132n n n n T +-⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅-+⋅=()()11313322132313n n n n n ++-=+⨯-+⋅=-⋅-，所以13n n T n +=⋅19.{}n a ，{}n b 是正项等比数列．且3n n n b a =-，且221210a a +=，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设100n n c a =-，求数列{}n c 的前n 项和nT 【答案】（1）13n n a -=；（2）31100,6231100758,62n n n n n T n n ⎧--+<⎪⎪=⎨-⎪-+≥⎪⎩.【解析】【分析】（1）利用3212b b b b =，和221210a a +=建立方程组，求出113a q =⎧⎨=⎩，写出通项公式即可；（2）表示出数列100n n c a =-，在求数列{}n c 的前n 项和n T 时，进行分类讨论即可.【小问1详解】因为{}n a ，{}n b 是正项等比数列．且3nn n b a =-，所以3212b b b b =，即32322123333a a a a --=--，所以2111192739a q a q a a q--=--，又因为221210a a +=，所以21111222119273910a q a q a a q a a q ⎧--=⎪--⎨⎪+=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以{}n a 的通项公式为：1113n n n a a q--==.【小问2详解】结合题意:13100n n a -=<,得到6n <，所以100,6100100,6n n n n a n c a a n -<⎧=-=⎨-≥⎩，当6n <时，()()()12312100100100n n n T c c c c a a a =++++=-+-++- ，()()()121331100100100100100132n n n n T a a a n n --=-+-++-=-=-+- ;当6n ≥时，()()()()()()12312567100100100100100100n n n T c c c c a a a a a a =++++=-+-++-+-+-++- ，()()()()()()121251001001002100100100n n T a a a a a a ⎡⎤=-+-++-+-+-++-⎣⎦ ，13311002379100758132n n n T n n --=-+⨯=-+-，综上所述：31100,6231100758,62n n n n n T n n ⎧--+<⎪⎪=⎨-⎪-+≥⎪⎩.20.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，AM PB ⊥，PD BD ⊥，M 为BC的中点，AD =，1DC =.（1）证明：PD ⊥底面ABCD（2）若1PD =，求二面角A MP B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7014【解析】【分析】（1）先证明AM BD ⊥，即可证明AM ⊥平面PBD ，从而证明AM PD ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面AMP 和平面PBM 的法向量，根据空间角的向量求法，结合同角的三角函数关系，即可求得答案.【小问1详解】设,AM BD 交于E ，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，AD =，1DC =,M 为BC的中点，则AD AB AB BM==故Rt DAB ∽Rt ABM ，则ADB BAM ∠=∠,而π2ADB ABD ∠+∠=，则π2BAM ABD ∠+∠=，故π2AEB ∠=，故AM BD ⊥，又AM PB ⊥，且,,BD PB B BD PB ⋂=⊂平面PBD ，故AM ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，故AM PD ⊥，又PD BD ⊥，,,AM BD E AM BD =⊂ 平面ABCD ，所以PD ⊥底面ABCD ；【小问2详解】以点D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则((0,0,1)2A B M P ，则(,1,0),(1),(222AM PM BM =-=-=- ，设平面PAM 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则00n AM n PM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0202x y x y z ⎧-+=⎪⎪+-=⎩，令1y =，则2)n = ，设平面PBM 的一个法向量为(,,)m a b c = ，则00m BM m PM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0202a abc ⎧-=⎪⎪+-=⎩，令1b =，则(0,1,1)m = ，则314cos ,14||||n m n m n m ⋅〈〉=== ，由于二面角A MP B --的取值范围为[0,π]14=.21.已知双曲线C ：22221x y a b -=(),0a b >过点()，右焦点F为()，左顶点为A （1）求双曲线C 的方程（2）动直线12y x t =+交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上．【答案】（1）22144x y -=（2）联立直线（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据双曲线过的点以及双曲线的焦点坐标，列方程求出a 2，即可求得答案；12y x t =+与双曲线C 的方程，可得根与系数关系式，过点A 作MN 的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为H ，结合根与系数的关系式化简AN MH k k ，从而证明H 为AMN 的高线,AH MH 的交点，即可证明结论.【小问1详解】由题意知双曲线C ：22221x y a b -=(),0a b >过点()，右焦点F为()，故228c a b =∴+=，即228b a =-，则222148a a -=-，解得24a =，故双曲线C 的方程为22144x y -=；【小问2详解】联立2212144y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22344(4)0x tx t --+=，满足264(3)0t ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y ,则2121244(4)3,3t x x t x x ++==-，又(2,0)A -，过点A 作MN 的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为H，则直线AH 的方程为y x =--24，由22424x y y x ⎧-=⎨=--⎩，可得2316200x x ++=，解得2x =-（舍）或103x =-，则108(,)33H -，则()11222122121811813223210201022333AN MHy y x t x t x t k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭-++++()2121221122233344084236()2x x t x x t x t x x x x x ++--+++++=2222222222(4)2348448414(4)84204844t t t x t t x t t t x t t x -+++-----===--++++-+++，故MH AN ⊥，即H 为AMN 的高线,AH MH 的交点，即H 为AMN 的垂心，故AMN 的垂心在双曲线C 上.【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系中的证明问题，综合性强，难点在于证明AMN 的垂心在双曲线C 上，解答时要通过证明H 为AMN 的高线,AH MH 的交点来证明，计算过程较为复杂，需要计算十分细心.22.已知0a >，函数()2ln 12f x x x x ax =+-．（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程：（2）证明()f x 存在唯一的极值点（3）若存在a ，使得()f x a b ≥-+对任意,()0x ∈+∞成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）4230--=x y （2）证明见解析；（3）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出其在()()1,1f 处的斜率，利用直线的点斜式方程即可求出结果；（2）令导函数()0ln 1f x x x a '=++-=，构造函数()1ln g x x x =++，求得其单调性可知当0a >时，导函数()f x '有唯一变号零点，即可得出证明；（3）将不等式恒成立问题转化成求()f x a +的最小值问题，构造函数()()21ln 1,0,2h x x x x -+∈=++∞，依题意可得()max 12b h x =≤，即可得出实数b 的取值范围．【小问1详解】当0a =时,可得()2ln 12f x x x x =+，即()1ln f x x x '=++，所以切线斜率为()12k f '==，又()112f =，所以切线方程为()1212y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】易知()l 1n f x x x a '=++-，令()0f x '=可得1ln a x x =++，令()()1,0,ln g x x x x =++∈+∞，则()1110x g x x x+'=+=>在()0,∞+上恒成立，即可得()g x 在()0,∞+单调递增，当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞；其图象如下图所示：所以当0a >时，y a =与()g x 的图像仅有一个交点，令()0g x a =，则当()00,x x ∈时，()a g x >，即()0ln 1f x x x a '=++-<，()f x 在()00,x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()a g x <，即()0ln 1f x x x a '=++->，()f x 在()0,x +∞单调递增，所以可知0x x =为()f x 的极小值点，即()f x 存在唯一的极值点；【小问3详解】由（2）可知()()0min f x f x =，此时001ln a x x =++，所以()f x a +的最小值为()()22000000000001111ln 1n 2ln l 2ln f x x x x x x x x x x x a =+-++++++=-++，令()()21ln 1,0,2h x x x x -+∈=++∞，则()211x h x x x x--+=='，当()0,1x ∈时，()0h x '>，即()h x 在()0,1上单调递增，()1,x ∈+∞时，()0h x '<，即()h x 在()0,1上单调递减；所以()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值()()max 121h x h ==若存在a ，使得()f x a b ≥-+对任意,()0x ∈+∞成立，即存在a 使得()f x b a +≥在(0,)+∞成立，即()max 12b h x =≤，所以实数b 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：在求解函数不等式恒（能）成立问题时，往往根据题意通过构造函数并利用导数求出函数单调性得出函数的最值，即可得出结论.。

高一上学期数学期中考试试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}220A x x x =->，{B x x =<<，则A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆2.如图所示，曲线1234,,,C C C C 分别为指数函数,,x xy a y b ==,x x y c y d ==的图象， 则d c b a ,,,与1的大小关系为A ．d c b a <<<<1B ．c d a b <<<<1C ．1b a c d <<<<D ．c d b a <<<<13.函数()f x =A.(]3,0-B.(]3,1-C.()(],33,0-∞--D.()(],33,1-∞--4.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 Ａ.1- Ｂ.0 Ｃ.1 Ｄ.25.已知0.80.80.70.7, 1.1, 1.1a b c ===，则c b a ,,的大小关系是Ａ.c b a << Ｂ.c a b << Ｃ.a c b << Ｄ.a c b << 6.已知函数)(x f 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，则()f x 的解析式为A.()33xxf x -=- B.33()2x x f x --= C.()33x xf x -=- D.33()2x x f x --=7.已知函数221,1,(),1,xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))f f =4a ，则实数a =A.12 B. 45C. 2D. 9 8.关于x 的方程22230x x a a -+--=的两个实根中有一个大于1，另一个小于1，则实数a 的取值范围为A ．13a -<<B ．31a -<<C ．3a >或1a <-D ．132a -<< 9.函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是A ．02k <<B ．04k ≤≤C ．04k <<D ． 04k ≤<10.函数()f x =A ．(),2-∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,+∞ 11.若函数()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是减函数，又(3)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为 A ．()3,3- B ．()(),33,-∞-+∞ C ．()()3,03,-+∞D ．()(),30,3-∞-12.已知函数()(1)(0)f x x ax a =-≠，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若33,44A ⎛⎫-⊆ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是 A.()1,20,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.(]1,20,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.()()2,01,-+∞D.[)[)2,01,-+∞第Ⅱ卷 （非选择题90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算：1100.532131(4)(3)(2)(0.01)284--⨯+=_______________．14.函数224x x y x-+=([1,3])x ∈的值域为_______________．15.已知函数()y f x =是偶函数，当0x <时，()(1)f x x x =-，那么当0x >时，()f x =_____________．16.对实数a 和b ，定义新运算,2,, 2.a ab ab b a b -≤⎧=⎨->⎩设函数22()(2)(2)f x x x x =--，x R ∈．若关于x 的方程()f x m =恰有两个实数解，则实数m 的取值范围是______________．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）求值：2lg10lg 5--.18.（本小题满分12分）若集合{}21|21|3,2,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭求（1）A B ；（2）()RA B ð.19．（本小题满分12分）已知函数1010()1010x xx xf x ---=+．（1）判断()f x 的奇偶性； （2）求函数()f x 的值域． 20．（本小题满分12分）已知函数()f x 满足：对任意的实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x >．（1）证明：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若(3)mf f <，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()423xxf x a =+⋅+,a R ∈.（1）当4a =-时，且[]0,2x ∈，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,+∞上有两个不同实根，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数()()2f x x a x =--，()22xg x x =+-，其中a R ∈.（1）写出()f x 的单调区间（不需要证明）；（2）如果对任意实数[]0,1m ∈，总存在实数[]0,2n ∈，使得不等式()()f m g n ≤成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案一、选择题：BBABC DCADB CB二、填空题：13．110；14．[2,3]；15．(1)x x -+；16．{|3,m m <-或2,m =-或10}m -<<． 三、解答题： 17．原式=()211lg 21lg512lg 222⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=()()2211lg 21lg 222+-=1． (10)分18．{|3213}{|12}A x x x x =-<-<=-<<，455{|0}{|,34x B x x x x -=<=<-或3}x >．……4分（1）5{|1}4AB x x =-<<； …………7分（2）5{|3}4R B x x =≤≤ð，∴(){|13}R A B x x =-<≤ð．…………12分19．（1）()f x 的定义域为R ，∵1010()()1010x x xxf xf x ----==-+，∴()f x 是奇函数． …………4分（2）令10x t =，则0t >，∴2221121111t t t y t t t t--===-+++ …………8分 ∵0t >，∴211t +>，∴21011t <<+，即221111t -<-<+．∴函数()f x 的值域为(1,1)-． …………12分 20．（1）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，有21()0f x x ->． ∴22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-+>，即12()()f x f x <． ∴函数()f x 在R 上单调递增． …………6分（2）由（1）知，3m <3233m<，解得32m <． ∴实数m 的取值范围3(,)2-∞． …………12分21．（1）当4a =-时，令2xt =，则[1,4]t ∈，2243(2)1y t t t =-+=--当2t =时，min 1y =-；当4t =时，max 3y =．∴函数()f x 的值域为[1,3]-． …………6分 （2）令2x t =，由0x >知1t >，且函数2x t =在(0,)+∞单调递增． ∴原题转化为方程230t at ++=在(1,)+∞上有两个不等实根．设2()3g t t at =++，则012(1)0a g ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩，即2120240a a a ⎧->⎪<-⎨⎪+>⎩，解得4a -<<-∴实数a的取值范围是(4,--． …………12分 22．（1）()(2),2,()()(2), 2.x a x x f x x a x x --≥⎧=⎨---<⎩①当2a =时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，()f x 无减区间； …………1分②当2a >时，()f x 的递增区间是(,2)-∞,2(,)2a ++∞；()f x 的递减区间是2(2,)2a +；………3分 ③当2a <时，()f x 的递增区间是2(,)2a +-∞,(2,)+∞，()f x 的递减区间是2(,2)2a +．………5分 （2）由题意，()f x 在[0,1]上的最大值小于等于()g x 在[0,2]上的最大值．当[0,2]x ∈时，()g x 单调递增，∴max [()](2)4g x g ==． …………6分 当[0,1]x ∈时，2()()(2)(2)2f x x a x x a x a =---=-++-． ①当202a +≤，即2a ≤-时，max [()](0)2f x f a ==-． 由24a -≤，得2a ≥-．∴2a =-； …………8分②当2012a +<≤，即20a -<≤时，2max 244[()]()24a a a f x f +-+==． 由24444a a -+≤，得26a -≤≤．∴20a -<≤； …10分③当212a+>，即0a>时，max[()](1)1f x f a==-．由14a-≤，得3a≥-．∴0a>．综上，实数a的取值范围是[2,)-+∞．…………12分。

2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={y|y≥0}，N={y|y=−x2+1}，即M∩N=()A. (0,1)B. [0,1]C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.下列式子正确的是()A. 3a√a=√a(a>0)B. lg6lg2=lg6−lg2C. a−2=√a(a>0) D. lg[(−3)⋅(−5)]=lg(−3)+lg(−5)3.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是()A. y=√x+1B. y=(x−1)2C. y=2−xD. y=log0.5(x+1)4.函数的图象恒过的定点是()A. (0,−3)B. (0,−2)C. (1,0)D. (0,0)5.已知a=log32，b=(log32)2，c=log423，则()A. a<c<bB. c<b<aC. a<b<cD. b<a<c6.函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是()A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (4,+∞)7.若函数f(x)=1−2x，g[f(x)]=x2−1x2(x≠0)，则g(3)=()A. 1B. 0C. 89D. 24258.若函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)的解析式是f(x)=x(1−x)，则当x>0时，f(x)的解析式是f(x)=()A. −x(1−x)B. x(1−x)C. x(1+x)D. −x(1+x)9.设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上是增函数，则f(−2)与f(a2−2a+3)(a∈R)的大小关系为()A. f(−2)<f(a2−2a+3)B. f(−2)≥f(a2−2a+3)C. f(−2)>f(a2−2a+3)D. f(−2)=f(a2−2a+3)10.函数y=log3|x−1|的图象是()A. B. C. D.11. 已知函数y =√ax 2−ax +1的定义域R ，则实数a 的取值范围为( )A. a ≤0或a ≥4B. 0<a <4C. 0≤a ≤4D. a ≥412. 设函数f(x)={x 2+bx +2,x ≤0|2−x|,x >0，若f(−4)=f(0)，则函数y =f(x)−ln(x +2)的零点个数有( )A. 6B. 4C. 5D. 7 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式3x−42x+5>0的解集为______ ．14. 若3a =2，b =log 23，则ab =________，2b +2−b =________．15. 若幂函数y =(m 2−2m −2)x −4m−2在x ∈(0,+∞)上为减函数，则实数m 的值是______．16. 已知函数f(x)=ax 2−12x −34(a >0)，若在任意长度为2的闭区间上总存在两点x 1、x 2，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥14成立，则a 的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={x|x 2−3x +2=0}，B ={x|ax +1=0}．(1)若A ∩B ={2}，求实数a 的值；(2)若B ⊆A ，求实数a 的值．18. 求值：(1)(√23×√3)6−4×(1649)−12−(−2008)0(2)2log32−log3329+log38−52log5319.已知函数f(x)=√2−x+lg(3x−13)的定义域为M．(Ⅰ)求M；(Ⅱ)当x∈M时，求g(x)=4x−2x+1+2的值域．20.已知a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．(1)当a=4时，求f(x)的定义域；(2)若关于x的方程f(x)−log2[(a−3)x+2a−4]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值集合；(3)设a>0，若对任意t∈[1,2]，函数f(x)在区间[t,3t−1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．21.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)，对于任意正实数a、b，都有f(a⋅b)=f(a)+f(b)−1，f(2)=0，且当x>1时，f(x)<1．)的值；(1)求f(1)及f(12(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是减函数．22.已知函数f(x)=−2x+b(x∈R)是奇函数．2x+1+a(1)求实数a，b的值;(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集运算，考查计算能力，属于基础题．可求出集合N ={y|y ≤1}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：N ={y|y ≤1}，且M ={y|y ≥0}；∴M ∩N =[0,1]．故选B ．2.答案：A解析：解：∵a >0，∴3a √a =(a ⋅a 12)13=(a 32)13=a (32×13)=a 12=√a ，故A 正确；对于B ，lg6lg2≠lg6−lg2，故B 错误；对于C ，a −2=1a 2≠√a ，故C 错误；而D ，lg(−3)与lg(−5)无意义，故D 错误；故选A ．利用指数幂的运算性质与对数的性质即可得到答案．本题考查不等关系与不等式，考查有理数指数幂的化简求值与对数的运算性质，属于基础题． 3.答案：A解析：利用函数的单调性或函数的图像逐项验证.A.函数y =√x +1在[−1,+∞)上为增函数，所以函数在(0,+∞)上为增函数，故正确；B.函数y =(x −1)2在(−∞,1)上为减函数，在[1,+∞)上为增函数，故错误；C.函数y =2−x =(12)x 在R 上为减函数，故错误；D.函数y =log 0.5(x +1)在(−1,+∞)上为减函数，故错误． 4.答案：A解析：【分析】本题主要考查了对数函数及其性质，属于基础题．根据对数函数图象恒过定点(1,0)求出对应x ，y 的值，点(x,y)即为函数所过定点．解析：解：令x+1=1，得x=0，此时，故函数的图象恒过定点(0,−3)，故选A．5.答案：B解析：解：∵0=log31<a=log32<log33=1，∴0<b=(log32)2<a=log32，<log41=0，∵c=log423∴c<b<a．故选：B．本题考查对数函数比较大小，利用对数函数性质求解即可，属于中档题．6.答案：D解析：【分析】本题考查复合函数的单调区间以及对数函数的性质，属于基础题．令t=x2−2x−8>0，则y=lnt，在定义域内单调递增，根据复合函数的单调性，就是求t=x2−2x−8>0的单调增区间，由此即可得到答案．【解答】解：由x2−2x−8>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=x2−2x−8，则y=lnt，在定义域内单调递增，而x∈(−∞,−2)时，t=x2−2x−8为减函数；x∈(4,+∞)时，t=x2−2x−8为增函数；故函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D．7.答案：B解析：本题考查函数的表示法，利用函数的解析式求值.要求g(3)，只要令f(x)=1−2x=3，求出x，再代入g[f(x)]的解析式即可．【解答】解：令f(x)=1−2x=3，得：x=−1，∴g(3)=g[f(−1)]=(−1)2−1=0．(−1)2故选B．8.答案：C解析：【分析】本题考查利用奇函数的性质求解析式，属于基础题．利用奇函数的性质即可求出f(x)的解析式是解题的关键．【解答】解：当x>0时，−x<0，则f(−x)=−x[1−(−x)]=−x(1+x)，由函数f(x)为奇函数可得f(x)=−f(−x)=x(1+x)，故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的大小比较，属于基础题．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在(0,+∞)上为减函数，进而分析可得f(2)≥f(a2−2a+3)，可得f(−2)=f(2)≥f(a2−2a+3)，即可得出答案．【解答】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上是增函数，则f(x)在(0,+∞)上为减函数，因为a2−2a+3=(a−1)2+2≥2，所以f(2)≥f(a2−2a+3)，又由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−2)=f(2)≥f(a2−2a+3)，故选：B．10.答案：B解析：解：当x−1≥0时，即x≥1时，函数y=log3(x−1)，此时为增函数，当x−1<0时，即x>1时，函数y=log3(1−x)，此时为减函数，故选：B．根据函数的单调性即可判断．本题考查了复合函数的单调性和函数图象的识别，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】根据根式函数的性质将定义域转化为ax 2−ax +1≥0恒成立即可．本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对a 进行讨论．【解答】解：要使函数y =√ax 2−ax +1的定义域R ，则ax 2−ax +1≥0恒成立，若a =0，则不等式ax 2−ax +1≥0等价为1≥0恒成立，此时满足条件．若a ≠0，要使ax 2−ax +1≥0恒成立，则{a >0△=a 2−4a ≤0, 即{a >00≤a ≤4，解得0<a ≤4， 综上0≤a ≤4．故选C ．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点的个数判断，函数图象的应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 先求出b ，再画出f(x)与y =ln(x +2)的图象，即可得出结论．【解答】解：∵函数f(x)={x 2+bx +2,x ≤0|2−x|,x >0，f(−4)=f(0)， ∴b =4，∴f(x)={x 2+4x +2,x ≤0|2−x|,x >0， f(x)={x 2+4x +2,x ≤0|2−x|,x >0与y =ln(x +2)的图象如图所示，∴函数y =f(x)−ln(x +2)的零点个数有4个，故选：B ．13.答案：{x|x >43或x <−52}解析：解：不等式3x−42x+5>0化为(3x −4)(2x +5)>0，所以不等式的解集为{x|x >43或x <−52}；故答案为：{x|x >43或x <−52}.将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可．本题考查了分式不等式的解法，关键是转为整式不等式，然后解之． 14.答案：1;103解析：【分析】本题考查了对数的运算和指数幂的运算，属于基础题．根据对数的运算和指数幂的运算法则表示出a ，b ，即可求出ab 的值和2b +2−b 的值．【解答】解：3a =2，则a =log 32∵b =log 23，∴ab =log 32·log 23=1，，故答案为1;103． 15.答案：m =3解析：解：因为函数y =(m 2−2m −2)x −4m−2既是幂函数又是(0,+∞)的减函数，所以{m 2−2m −2=1−4m −2<0，⇒{m =3或m =−1m >−12，解得：m =3． 故答案为：m =3．根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m 2−m −1=1，再根据函数在(0,+∞)上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m 值应满足以上两条．本题考查了幂函数的概念及性质，解答此题的关键是掌握幂函数的定义，此题极易把系数理解为不等于0而出错，属基础题．16.答案：14解析：【分析】要使函数f(x)在任意长度为2的闭区间上总存在两点x 1，x 2，使|f(x 1)−f(x 2)|≥14成立，只需要|f(14a −1)−f(14a )|≥14恒成立，从而可求实数a 的最小值．本题以新定义为素材，考查对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将问题转化为恒成立．【解答】解：要使函数f(x)=ax 2−12x −34(a >0)在任意长度为2的闭区间上总存在两点x 1，x 2，使|f(x 1)−f(x 2)|≥14成立，只需要|f(14a −1)−f(14a )|≥14恒成立，∵f(x)=ax 2−12x −34=a(x −14a )2−116a −34，∴|f(14a −1)−f(14a )|=|a|≥14，∵a >0，∴a ≥14，∴实数a 的最小值为14，故答案为：14． 17.答案：解：(1)因为A ∩B ={2}，所以2∈B ，则2a +1=0，解得a =−12，(2)由x 2−3x +2=0得，x =1或x =2，则A ={1,2}，因为B ⊆A ，所以B =⌀或{1}或{2}，当B =⌀时，则a =0，当B ={1}时，则a +1=0，得a =−1，当B ={2}时，则2a +1=0，得a =−12，综上得，实数a 的值是0或−1或−12．解析：(1)由A ∩B ={2}得2∈B ，把2代入ax +1=0代入求出a 的值；(2)由x 2−3x +2=0求出集合A ，由子集的定义和B ⊆A 求出B 所有的情况，再依次代入求出a 的值．本题考查交集及其运算，子集的定义，以及一元二次方程的解法，属于基础题．18.答案：解：(1)(213×312)6−4×[(47)2]−12−1=22×33−4×74−1=100 (2)2log 32−log 3329+log 38−52log 53=log 34−log 3329+log 38−5log 59=log 3(4×932×8)−9=log 39−9=−7解析：本题考查了对数与指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用指数的运算性质即可得出；(2)利用对数的运算性质即可得出．19.答案：解：(Ⅰ)要使f(x)有意义，则{2−x ≥03x −13>0，∴−1<x ≤2，∴M =(−1,2]，(Ⅱ)g(x)=4x −2x+1+2=(2x )2−2⋅2x +2=(2x −1)2+1；∵x ∈(−1,2]；∴2x ∈(12,4]； ∴2x =1，即x =0时，g(x)min =1；2x =4，即x =2时，g(x)max =10；∴g(x)的值域为[1,10]．解析：本题考查函数的定义域、值域的概念及求法，指数函数的单调性，是基础题．(Ⅰ)要使得函数f(x)有意义，则需满足{2−x ≥03x −13>0，从而得出定义域M =(−1,2]；(Ⅱ)变形g(x)=(2x −1)2+1，根据x ∈M 即可得出2x ∈(12,4]，从而可求g(x)的最大和最小值，从而得出g(x)的值域．20.答案：解：(1)函数f(x)=log 2(1x +4)，由4+1x >0，即x(1+4x)>0，解得x >0或x <−14，可得f(x)的定义域为{x|x >0或x <−14}；(2)由f(x)−log 2[(a −3)x +2a −4]=0得log 2(1x +a)−log 2[(a −3)x +2a −4]=0．即log 2(1x +a)=log 2[(a −3)x +2a −4]，即1x +a =(a −3)x +2a −4>0，①则(a −3)x 2+(a −4)x −1=0，即(x +1)[(a −3)x −1]=0，②，当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立；当a =2时，方程②的解为x =−1，代入①，成立当a ≠3且a ≠2时，方程②的解为x =−1或x =1a−3，若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1，若x =1a−3是方程①的解，则1x +a =2a −3>0，即a >32，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤32．综上，若方程f(x)−log 2[(a −3)x +2a −4]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是(1,32]∪{2，3}；(3)函数f(x)在区间[t,3t −1]上单调递减，由题意得f(t)−f(3t −1)≤1，即log 2(1t +a)−log 2(13t−1+a)≤1，即1t +a ≤2(13t−1+a)，即a ≥1t −23t−1=t−1t(3t−1)，设r =t −1，则0≤r ≤1，可得t−1t(3t−1)=r (r+1)(3r+2)=r 3r 2+5r+2，当r =0时，r 3r 2+5r+2=0；当0<r ≤1时，r 3r +5r+2=13r+2r +5在(0,√63)递增，在(√63,1)递减， 可得r =√63处r3r 2+5r+2取得最大值5−2√6， 可得a 的取值范围是a ≥5−2√6．解析：本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大(1)由对数的真数大于0，结合分式不等式的解法，可得所求定义域；(2)根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可；(3)根据f(x)的单调性得到f(t)−f(3t −1)≤1恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．21.答案：解：(1)令a =b =1得f(1)=f(1)+f(1)−1，得f(1)=1，∵f(2)=0，∴f(2×12)=f(2)+f(12)−1=f(1)，则0+f(12)−1=1，得f(12)=2(2)证明：设0<x 1<x 2，可得x 2x 1>1， 可得f(x2x 1)<1， 由f(x 2)=f(x 1⋅x 2x 1)=f(x 1)+f(x 2x 1)−1<f(x 1)，可得函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．解析：(1)令a =b =1，a =2，b =12，即可求得f(1)及f(12)的值；(2)当x >1时，f(x)<1，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性；本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义进行转化是解决本题的关键． 22.答案：解：(1)因为函数f(x)=−2x +b 2x+1+a (x ∈R)是奇函数，所以f(0)=0，得b =1，所以f(x)=−2x +12x+1+a ，又函数的定义域为R ，所以f(−1)=−f(1)，可得：−12+11+a =−−2+14+a ，解得a =2，所以a =2，b =1;(2)由(1)可得f(x)=−2x +12x+1+2=−12+12x +1，易得f(x)在(−∞,+∞)是减函数，又f(x)是奇函数，所以f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0可化为f(t 2−2t)<−f(2t 2−k)=f(k −2t 2)，所以t 2−2t >k −2t 2，即3t 2−2t −k >0恒成立，所以Δ=4+12k <0，解得k <−13．解析：本题考查函数的奇偶性和函数的单调性，属于中档题．(1)根据函数是奇函数，可得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，即可解得；(2)先判断函数的单调性，结合函数的奇偶性，转换为3t 2−2t −k >0恒成立，从而解答即可．。

一、选择题1．(0分)[ID ：11825]设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．(0分)[ID ：11810]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：11806]已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．30a -≤< B ．0a < C ．2a ≤-D ．32a --≤≤4．(0分)[ID ：11805]三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．(0分)[ID ：11797]关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③6．(0分)[ID ：11780]设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，7．(0分)[ID ：11775]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．(0分)[ID ：11757]设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则AB =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，9．(0分)[ID ：11752]已知函数()245f x x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥10．(0分)[ID ：11794]已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-11．(0分)[ID ：11788]已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]12．(0分)[ID ：11770]已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（）A ．3B ．2-C ．3-D ．213．(0分)[ID ：11731]已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-14．(0分)[ID ：11803]设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>15．(0分)[ID ：11781]函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．(0分)[ID ：11928]若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.17．(0分)[ID ：11921]函数232x x --的定义域是 .18．(0分)[ID ：11903]若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．19．(0分)[ID ：11902]设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____20．(0分)[ID ：11898]已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________. 21．(0分)[ID ：11892]若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________22．(0分)[ID ：11882]函数6()12log f x x =-__________． 23．(0分)[ID ：11872]已知()21f x x -=，则()f x = ____.24．(0分)[ID ：11867]已知函数1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.25．(0分)[ID ：11864]已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：11999]计算下列各式的值：（Ⅰ)22log lg25lg4log (log 16)+- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+27．(0分)[ID ：11998]已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．28．(0分)[ID ：11981]已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域29．(0分)[ID ：11968]已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.30．(0分)[ID ：11930]已知函数()3131-=+x x f x ，若不式()()2210+-<f kx f x 对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．D4．A5．C6．D7．A8．A9．B10．C11．A12．A13．C14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：17．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域18．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))19．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则20．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为21．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填22．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(423．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力24．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点25．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1aa a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32．故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．6．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.7．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .8．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．9．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.10．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.11．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.12．A解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q的等比数列，故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.13．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2021 学年高一上学期期中考试数学一、选择题：共12 题1．全集,集合,那么A. B. C. D.【答案】 A【解析】此题考查了交、并、补集的混合运算；∵全集 ,集合∴∴.2．以下函数是偶函数并且在区间上是增函数的是A. B.C. D.【答案】 D【解析】此题考查命题真假的判断；在 A 中，是偶函数，在区间上是减函数，故 A 错误；在 B 中，是非奇非偶函数，在区间上是增函数，故 B 错误；在 C 中，是非奇非偶函数，在区间上是增函数，故 C 错误；在 D 中，是偶函数并且在区间上是增函数，故 D 正确 .3．不等式的解集为A. 或B. 或C.或D. 或【答案】 B【解析】此题考查了高次不等式的解法；不等式等价于∴将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图：由图可看出不等式的解集为或.4．函数且恒过定点A. B. C. D.【答案】 D【解析】此题考查指数函数的图象和性质，考查恒过定点问题的求解方法;由得此时∴函数且恒过定点5．以下各组函数中不表示同一函数的是A.B.C.D.【答案】 C【解析】此题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题；A.的定义域是 ,的定义域为定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数B.的定义域都是R ，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；C.的定义域为的定义域为，定义域不同，∴不是同一函数D. 的定义域都是R ，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数.6．函数,那么函数的解析式为A. B. C. D.【答案】 A【解析】此题考查了函数解析式的求法；令,那么∴∴.7．,那么A. B. C. D.【答案】 B【解析】此题主要是考查对数值、指数值比拟大小；∵，，．.8．函数的定义域为,那么函数的定义域为A. B. C. D.【答案】 C【解析】此题考查了求函数的定义域问题，考查不等式问题;∵函数的定义域为∴解得 .9．为定义在实数集R 上的奇函数,且在区间(0,＋∞)上是增函数,又,那么不等式的解集是A. B.C. D.【答案】 D【解析】此题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识;∵为定义在实数集R 上的奇函数,且在区间(0,＋∞)上是增函数又∴在内是增函数∵∴或∴10．函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】 C【解析】此题考查的知识点是复合函数的单调性;函数的定义域为令，那么，∵为增函数，在上为减函数，在上为增函数，故函数的单调递增区间为.11．函数的图象是【答案】 B【解析】此题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用;由得或∴函数的定义域为所以选项 A 、 D 不正确 ;当时 ,是增函数∴是增函数，排除 C.12．定义函数,假设存在常数,对于任意的,存在唯一的,使,那么称函数在上的“均值〞为,,那么函数在上的“均值〞为A. B. C. D.【答案】 B【解析】这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型；由题意，令当时，选定∴.二、填空题：共 4 题13．函数,那么= ________.【答案】 10【解析】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、 y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者；令，那么，由，得所以，所以14．函数的值域为________.【答案】【解析】此题主要考查函数值域的求解，根据根式的性质是解决此题的关键;∵∴则,∴∴∴函数的值域是15．关于的方程有两个不相等的实数解,那么实数的取值范围是 ________.【答案】【解析】此题主要考查方程根的存在性以及个数判断;∵关于的方程有两个不相等的实数解，∴的图象和直线有 2 个交点，当时，，在R 上单调递增，不满足条件，故a＞ 0．当趋于时，的值趋于；当趋于时，的值趋于，故有，那么实数的取值范围为.16．函数在区间上的最大值为,最小值为 ,那么________.【答案】 4【解析】此题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题;∵ 是奇函数，∴而在时取最大值，时取最小值，∴，∴三、解答题：共 6 题17．计算：.【答案】===0【解析】此题考查对数的运算性质; 直接利用对数的运算性质化简得答案.18．集合.(Ⅰ )求集合及；(Ⅱ )假设 ,求实数的取值范围.【答案】 (Ⅰ ),(Ⅱ ),且由 .【解析】此题主要考查了不等式的计算能力和集合的根本运算;(Ⅰ )根据题意化简求出集合，集合．根据集合的根本运算即可求，(Ⅱ )先求出，在根据，建立条件关系即可求实数 a 的取值范围 .19．函数是定义在上的奇函数,当时 ,.(Ⅰ )求；(Ⅱ )求在上的解析式；(Ⅲ )求不等式的解集.【答案】 (Ⅰ )(Ⅱ )当时 ,,.(Ⅲ )①当时 ,,且 .②当时 ,且 .综上：解集为 .【解析】此题考查函数的奇偶性的应用，函数的解析式的求法，不等式的解法; (Ⅰ )利用函数的奇偶性即可求；(Ⅱ )利用函数的奇偶性的性质即可求的解析式；(Ⅲ )利用函数的解析式，列出不等式求解即可.20．函数是奇函数.(Ⅰ )求实数的值；(Ⅱ )用定义证明函数在上的单调性；(Ⅲ )假设对任意的 ,不等式恒成立 ,求实数的取值范围.【答案】 (Ⅰ )∵函数的定义域为R,且是奇函数,∴,解得,此时 ,满足 ,即是奇函数 ,∴.(Ⅱ ) 任取 ,且 ,那么 ,于是 =,即,故函数在上是增函数.(Ⅲ )由及是奇函数 ,知又由在上是增函数,得 ,即对任意的恒成立∵当时 ,取最小值 ,∴ .【解析】此题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性; (Ⅰ )函数的定义域为，且是奇函数，故，解得值；(Ⅱ ) 任取，作差判断与的大小，根据函数单调性的定义，可得函数在上的单调性；(Ⅲ )根据函数的单调性和奇偶性得,即对任意的恒成立，求出的最小值即可.21．二次函数,且.(Ⅰ )求函数的解析式；(Ⅱ )假设函数 ,求函数的最值.【答案】 (Ⅰ )∴∴∴ ,∴ .(Ⅱ )①当时 ,即时 ,当时 ,当时；②当时 ,即时 ,当时 ,当时；③当时 ,即时 ,当时 ,当或 2 时；④当时 ,即时 ,当时 ,当时；⑤当时 ,即时 ,当时 ,当时 .【解析】此题考查的知识点是二次函数的图象和性质；(Ⅰ ) 由中，求出的值，可得函数f〔 x〕的解析式 .(Ⅱ )的图象开口朝上，且以直线为对称轴，由，对对称轴的位置进行分类讨论，可得函数的最值 .22．f ( x)当点在的图象上运动时,点在函数的图象上运动 (). log 2 x ,(Ⅰ )求和的表达式；(Ⅱ )关于的方程有实根,求实数的取值范围；(Ⅲ )设 ,函数的值域为 ,求实数的值 .【答案】 (Ⅰ )由得 ,.由得 ,.(Ⅱ )方程有实根 ,,别离得 .设.(Ⅲ )下面证明在上是减函数任取 ,那么即在上递减 ,故在在上递减,即解得 ,故.【解析】此题主要考查了求函数的解析式以及求利用函数的单调性求函数的值域；(Ⅰ )当点在的图象上运动可得，点在函数的图象上运动可得故再用代即可求出的表达式. (Ⅱ )由 (Ⅰ )可得要使关于的方程有实根，，可得：在有实根, 设，求出的取值范围即可. (Ⅲ )在上是减函数，即可求出的值.。

哈师大附中— 度上学期期中考试高一数学试题〔时间：120分钟，总分值150分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.〕1. )4,2(P 为角β的终边上的一点，那么βsin 的值为 〔 〕A ．55B ．2C ． 21D ． 5522. 以下函数中既是奇函数 ，又在定义域上是增函数的是 〔 〕 A ．31y x =+ B ．1y x =C ．11y x =- D ． 3y x =U =R，集合{|A x y ==，{}2|1B y y x ==-，那么集合()UC A B 等于〔 〕A ．(],0-∞ B ．()0,1C ．(]0,1D ．[)0,14. 函数)2(13)(≥+=x x x f 的反函数是 〔 〕A ．31-=x y B ．)2(13≥-=x x y C ．)7(31≥-=x x y D ．x y = 5. 当0x >时，函数2()(1)xf x a =-的值总大于1，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A ．12a << B ．1a < C ．a >．a <6. 与函数lg(1)10x y -=的图象相同的函数是 〔 〕A ．1y x =-B ．1y x =-C ．211x y x -=+ D．2y = 7. 函数 3log ,0(),02x x x f x x >⎧=⎨≤⎩， 那么1()9f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 〔 〕A.4B.14C.4-D.14-8. 假设4log 3,a = 3log 4,b =344log 3c =，那么a 、b 、c 的大小顺序是〔 〕A ．b a c >>B ． b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>9. 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++〔b 为常数〕，那么(1)f -=〔 〕 A. 3-B. 3C.1-D. 110. 函数)1lg()(-=kx x f 在［10,+∞)上单调递增，那么k 的取值范围是 〔 〕A ．0>k B. 1010<<k C.101≥k D ．101>k11.函数2()2x f x x =-的零点的个数为〔 〕 A. 1B. 2C. 3D. 412. 为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点〔 〕A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13. 238log =x ，那么x 的值是___________．14.=+⋅+)3log 3(log )2log 2(log 8493___________．15. 扇形的周长是6cm ，面积是2cm2，那么扇形的中心角α〔0>α〕的弧度数是________．()lg 1f x x =-〔1〕函数()f x 的定义域和值域均为R ；〔2〕函数()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增； 〔3〕函数()f x 的图象关于y 轴对称；〔4〕函数(1)f x +为偶函数；〔5〕假设()0f a >那么0a <或2a >.三、解答题〔本大题共6小题，17题10分，18—22题每题12分，共70分〕 17.〔本小题共10分〕 函数42)(542+=++-x x x f .〔1〕求函数)(x f 的定义域； 〔2〕求函数)(x f 的值域.18.〔本小题共12分〕函数)2(22log )(2>-+=x x x x f .〔1〕证明函数)(x f 在),2(+∞为减函数； 〔2〕解关于x 的不等式)5()(f x f <.19．〔本小题共12分〕集合}04)2()1(|{2≥+-+=x x x x A ，集合}0)12)((|{≤+--=a x a x x B〔1〕求集合A ；〔2〕假设A B A = ，求实数a 的取值范围.20. 〔本小题共12分〕函数2()f x x ax =+的最小值不小于1-, 且13()24f -≤-. 〔1〕求函数()f x 的解析式;〔2〕函数()f x在[],1m m+的最小值为实数m的函数()g m，求函数()g m的解析式.21. 〔本小题共12分〕函数xabxf⋅=)(〔其中ba,为常量且1,0≠>aa〕的图像经过点)32,3(),8,1(BA.〔1〕试求ba,的值；〔2〕假设不等式)1()1(≥-+mbaxx在]1,(-∞∈x时恒成立，求实数m的取值范围.22. 〔本小题共12分〕函数)()14(log)(4Rkkxxf x∈++=是偶函数.(1)求k的值；(2)设)342(log)(4aaxg x-⋅=，假设函数)(xf与)(xg的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．参考答案 选择题DDCCC DBAAD CC 填空题13.4 14。

2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜45．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f （x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点；15．已知函数，则f（log23）＝．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}【分析】根据补集的定义，写出∁U M．【解答】解：全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝{x|2≤x＜3}．故选：B．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅【分析】由2x＞3，得x＞log23，由（x﹣1）（x+3）＜0，得﹣3＜x＜1即M＝（log23，+∞），N＝（﹣3，1），得M∩N＝∅．【解答】解：∵2x＞3∴x＞log23，即M＝（log23，+∞）又∵（x﹣1）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜1∴N＝（﹣3，1），又∵log23＞1，∴M∩N＝∅故选：D．【点评】本题考查了指数不等式与二次不等式的解法，属简单题．3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝x2+2x，不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x﹣2＝，是偶函数，在（0，+∞）是减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝|x|＝，是偶函数，且在（0，+∞）是增函数，符合题意；对于D，f（x）＝lnx，不是偶函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜4【分析】根据f（x）的定义域为R，即可得出不等式kx2+kx+1≥0的解集为R，显然k＝0时满足题意，而当k≠0时，则满足，解出k的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为R；∴不等式kx2+kx+1≥0的解集为R；①k＝0时，1≥0恒成立，满足题意；②k≠0时，；解得0＜k≤4；综上得，0≤k≤4．故选：B．【点评】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集和判别式△取值的关系．5．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【分析】由已知得f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，结合简图易得结果．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）图象关于y轴对称，∵当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，∴f（x）＜0的解集是（﹣1，1）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】用a＝1排除A、D，由底数大于0，排除B．【解答】解：a＝1时，2＜1成立，排除A、D又3﹣2a＞0得a＜，排除B，故选：C．【点评】本题考查了其它不等式的解法，属基础题．7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）【分析】根据f（x）的定义域，可看出，要使得函数g（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，1）；∴要使g（x）有意义，则；解得1＜x＜2；∴g（x）的定义域为（1，2）．故选：A．【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域，求f[g（x）]定义域的方法．9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b【分析】直接利用对数的运算性质进行大小比较．【解答】解：∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log23＞1，d＝log45＞1．且．∴b＜a＜d＜c．故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）【分析】先求得函数的定义域，本提即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：由函数f（x）＝log（x2﹣4x），可得x2﹣4x＞0，求得x＜0，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞4 }，本题即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t＝x2﹣4x在定义域内的增区间为（4，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）【分析】作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象，根据图象得出m的范围．【解答】解：作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象如图所示：∵程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，∴直线y＝m与y＝x2﹣4|x|+3的函数图象有4个交点，∴﹣1＜m＜3．故选：B．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，属于中档题．12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f （x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】由奇偶性的定义可判断①；讨论x＞2，x＜2，求得f（x），以及导数，判断符号，即可判断②；由f（x）的单调性可判断③．【解答】解：函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，设g（x）＝f（x+2）＝（|x|+1）4，g（﹣x）＝g（x），可得g（x）是偶函数，故①正确；x＞2时，f（x）＝（x﹣1）4的导数为f′（x）＝4（x﹣1）3＞0；x＜2时，f（x）＝（3﹣x）4递，导数为f′（x）＝4（x﹣3）3＜0，可得f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，故②正确；由②可得f（x）在x＝2处取得最小值1，故③错误．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、最值的求法，考查导数的运用和奇偶性定义的应用，考查运算能力，属于基础题．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．【分析】函数y＝有意义，可得0＜5x﹣3≤1，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数y＝有意义，可得，即为0＜5x﹣3≤1，解得＜x≤，则定义域为．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0，以及偶次根式被开方数非负，考查运算能力，属于基础题．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3）；【分析】令幂指数等于零，求得x，y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1），令x2﹣2x+1＝0，求得x ＝1，y＝3，可得函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3），故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．15．已知函数，则f（log23）＝．【分析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用进行求解．【解答】解：由已知得，，且1＜log23＜2，∴f（log23）＝f（log23+1）＝f（log23+2）＝f（log23+3）＝f（log224）＝＝．故答案为：．【点评】本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，此题利用了恒等式进行求值．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝1．【分析】f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，从而a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，进而f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，f（lg3）＝3，∴f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，∴a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，∴f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣+＝，（2）原式＝﹣+lg100+2＝﹣+2+2＝．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】先确定A、B，由B⊆A得，得﹣1≤a≤1．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|a＜x＜a+1}，∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤1．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f（0）＝2，得c＝2，又f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1得2ax+a+b＝2x﹣1，故解得：a＝1，b＝﹣2，所以f（x）＝x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各（1分），解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，对称轴为x＝1∈[﹣1，2]，故f min（x）＝f（1）＝1，又f（﹣1）＝5，f（2）＝2，所以f max（x）＝f（﹣1）＝5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）g（x）＝x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．【分析】（1）f（x）是增函数，利用单调性的定义进行证明；（2）先求出a，再求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）是增函数．证明如下：函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则．∵y＝2x在R上单调递增，且x1＜x2，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数．（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即对任意实数x恒成立，化简得，∴2a﹣2＝0，即a＝1．（也可利用f（0）＝0求得a＝1）∴，∵2x+1＞1，∴，∴，∴．故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【分析】第一步得到解析式和x的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础．【解答】解：（1）由题意可得g（x）＝，且，进一步得：，且定义域为【2，8】，（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，h（t）＝﹣t2+t+1，∵h（t）在【1，3】递减∴h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【﹣5，1】，∴当x＝8时，g（x）有最小值﹣5，当x＝2时，g（x）有最大值1．【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．【分析】（1）根据题意，用特殊值法分析：令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），可得f（0）的值，令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），分析可得f（﹣1）的值；（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，进而有f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），结合单调性的定义分析可得结论；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，据此分析可得f（x+1）＜4⇒f （x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，对任意的a，b∈R，满足f（a+b）＝f（a）•f（b）；令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），又由f（1）＞1，则f（0）＝1；令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），又由f（1）＝2，则；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），则f（x2）﹣f（x1）＞0，即函数f（x）为增函数；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，则f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得：x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）．【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的证明与综合应用，注意用赋值法分析．。

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则 A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆ C ．R P C Q ⊆ D ．R Q C P ⊆【答案】B【分析】24222x x x <⇒<⇒-<<，即{|22}Q x x =-<<.Q P ∴⊆【详解】24222x x x <⇒<⇒-<<，即{|22}Q x x =-<<.Q P ∴⊆.故B 正确.【解析】集合间的关系.2．幂函数()211m y m m x -+=--在(0,)+∞上为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2或1-B ．2-C ．1D ．2【答案】D【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得m 的值.【详解】由于函数是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，11y x x-==，在()0,∞+上递减，符合题意. 当1m =-时，2yx ，在()0,∞+上递增，不符合题意.综上所述，m 的值为2. 故选：D3．命题“存在实数0x 满足200220x x ++≥”的否定为（ ）A ．任意实数x 满足2220x x ++<B ．任意实数x 满足2220x x ++≥C ．任意实数x 满足2220x x ++≤D ．存在实数0x 满足200202x x +<+【答案】A【分析】特称命题的否定为：改量词，否结论，据此解答即可.【详解】因为命题“存在实数0x 满足200220x x ++≥”，所以改量词：“存在实数0x ”改为“任意实数x ”；否结论：200220x x ++≥否为2220x x ++<；故命题“存在实数0x 满足200220x x ++≥”的否定为“任意实数x 满足2220x x ++<”.故选：A.4．函数()212log 2y x x =--的增区间为（ ）A ．1(,)2-∞-B ．1(2,)2--C ．1(,)2-+∞D ．1(,1)2-【答案】D【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】由220x x -->得()()22210x x x x +-=+-<，解得2<<1x -，22y x x =--+的开口向下，对称轴为12x =-，函数12log y x=在()0,∞+上递减，根据复合函数单调性同增异减可知，()212log 2y x x =--的增区间为1(,1)2-.故选：D5．下列函数中图像关于y 轴对称的是（ ） A ．2x y -=- B ．|ln |y x =C ．lg |1|y x =+D ．e 1x y =-【答案】D【分析】画出函数图像即可【详解】对A 选项：如图所示，A 错误对B 选项：如图B 错误对C 选项： 如图C 错误对D 选项：如图D 正确故选：D.6．用二分法求方程383x x =-在()1,2内的近似解时，记()338x f x x =+-，若(1)0f <，(1.25)0f <，(1.5)0f >，(1.75)0f >，据此判断，方程的根应落在区间（ ） A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,1.75) D ．(1.75,2)【答案】B【分析】由零点存在定理及单调性可得()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点，从而得到方程的根应落在(1.25,1.5)上.【详解】因为3x y =与38y x =-在R 上单调递增，所以()338x f x x =+-在R 上单调递增，因为(1.25)0f <，(1.5)0f >，所以()f x 在(1.25,1.5)上有唯一零点0x ，即003380xx +-=，故00383x x =-，所以方程的根落在区间(1.25,1.5)上，且为0x x =，对于ACD ，易知选项中的区间与(1.25,1.5)没有交集，故0x 不在ACD 选项中的区间上，故ACD 错误； 对于B ，显然满足题意，故B 正确. 故选：B.7．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．2()e ex x xf x -=+B ．2e e ()x xf x x -+=C ．2()e ex x x f x -=-D ．2e e ()x xf x x --=【答案】B【分析】根据函数图象知()f x 定义域为(,0)(0,)-∞+∞且为偶函数，确定各选项函数定义域，判断奇偶性，应用排除法确定答案.【详解】根据函数图象可知，()f x 定义域为(,0)(0,)-∞+∞且为偶函数， 对于A ，0020(0)0e e f ==+，即()f x 在0x =处有定义，故A 错误；对于C ，因为()2e ex x x f x -=-，所以()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，又()()()22e e e e x x x x x xf x f x ----==-=---，故2()e e x x x f x -=-是奇函数，故C 错误； 对于D ，因为2e e ()x xf x x--=，所以()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 又22e e e e ()()()x x x x f x f x x x -----==-=--，故2e e ()x xf x x --=是奇函数，故D 错误. 对于B ，因为2e e ()x xf x x -+=，所以()f x 定义域为(,0)(0,)-∞+∞，又22e e e e ()()()x x x x f x f x x x --+-==-+=，故3e e ()x xf x x -+=是偶函数， 由于选项ACD 已然排除，而选项B 中的解析式又满足图像的性质，故B 正确. 故选：B8．当21a b a >>>时，log a b ，log b a ，log a ab ，log b b a 的大小关系是（ ） A ．log log log log a b b a a ba b b a <<< B ．log log log log ba b a b aa b a b<<< C ．log log log log ab b a a ba b b a<<< D ．log log log log a ab b a bb a b a<<< 【答案】C【分析】根据对数函数的性质判断出大小关系. 【详解】依题意21a b a >>>，所以01a bb b a<<<<， 20,b a b ba a a a a --=>>，所以01ab a b b a <<<<<，log log 1,log log 1a a b b b a a b >=<=，log log 10aa ab <=，0log 1log log log 1b b b b ba b a=<<<=， 所以log log log log a b b a a ba b b a<<<. 故选：C二、多选题 9．若函数3()f x x x=+，则（ ）A ．()f x 在区间(,3)-∞-上递增B ．()f x 在区间上递减C ．()f x 在x =-D ．()f x 在x =【答案】AB【分析】由对勾函数的性质对选项逐一判断，【详解】由3x x=得x =()f x 在(和上单调递减，在(,-∞和+)∞上单调递增，故A ，B 正确，当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，故C ，D 错误， 故选：AB10．已知0a >，0b >，22a b +=，则（ ）A ．abB ．ab 最大值为12C ．112a b +最小值为2D ．224a b +最小值为2【答案】BCD【分析】利用基本不等式的相关知识计算判断即可.【详解】对于A ，因为0a >，0b >，22a b +=，所以22212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，则12≤ab ， 当且仅当2a b =且22a b +=，即21a b ==时，等号成立， 所以ab 最大值为12，故A 错误； 对于B ，由选项A 的分析易知，B 正确；对于C ，因为()111111212222222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当22b aa b=且22a b +=，即21a b ==时，等号成立， 所以112a b+最小值为2，故C 正确；对于D ，因为()()2222244b a a b ≥+=+，则2242a b +≥，当且仅当2a b =且22a b +=，即21a b ==时，等号成立， 所以224a b +最小值为2，故D 正确. 故选：BCD.11．若不等式22log 0a x x -<在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，则a 的值可以是（ ）A ．164 B ．132C ．116D ．1【答案】BC【分析】先由220log a x x >≥与2log a y x =的性质得到102a <<，再由函数单调性的加减性质得到()f x 的单调性，从而求得132a ≥，由此得到a 的取值范围，从而得解. 【详解】因为22log 0a x x -<在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，而20x ≥，所以220log a x x >≥在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，故021a <<，即102a <<，则2log a y x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，令()22log a f x x x =-，又因为2y x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()12f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则102f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2211log 022a ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得132a ≥，所以11322a ≤<， 由此易得AD 错误，BC 正确. 故选：BC.12．设函数()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，集合()(){}220,M x f x f x k k R =++=∈，则下列命题正确的是（ ）A ．当0k =时，{}0,5,7M =B ．当1k >时M =∅C ．若{},,M a b c =，则k 的取值范围为()15,3--D ．若{},,,M a b c d =（其中a b c d <<<），则2214a b c d +++= 【答案】ABD【分析】A 解一元二次方程直接求解集即可；B 由题设易知集合中方程无解即可判断；C 、D 画出()f x 的图象，令()()22y f x f x k =++根据二次函数的性质及所得()f x 的图象判断正误即可.【详解】A ：0k =时，{|()0M x f x ==或()2}f x =-，结合()f x 解析式：()0f x =时有0x =或5x =，()2f x =-时有7x =，所以{0,5,7}M =，正确；B ：1k >时，方程()()220f x f x k ++=无解，则M =∅，正确；由()f x 解析式可得其函数图象如下图示：令()()22y f x f x k =++，开口向上且对称轴为()1f x =-，若{},,M a b c =，则440k ∆=->，即1k <，有以下情况： 1、()f x m =(13)m ≤<，()f x n =(0)n <：此时，令2()2g x x x k =++，则()g x 在[1,3)x ∈上有一个零点，∴(1)(3)(15)(3)0(3)01g g k k g k =++≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩，可得153k -<≤-， 2、()0f x =，()2f x =-，由A 知：0k =. 综上：(15,3]{0}k ∈--⋃，故C 错误；若{},,,M a b c d =，由函数y 的性质及()f x 图象知：必有()f x m =(01)m <<，()f x n =(23)n -<<-.此时，()2121a b-=--，()()()552f c f d c d +=-++-+=-，所以222a b +=，12c d +=，所以2214a b c d +++=，故D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：C 、D 选项中，画出()f x 大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合M 对应的()f x 的可能取值，再结合图象判断正误.三、填空题13．若函数()2x f 的定义域为[]0,2，则函数()14xf -的定义域为____________.【答案】[]0,1【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.【详解】对于()2xf ，因为02x ≤≤，所以由2x y =的单调性得02222x ≤≤，即124x ≤≤，所以对于()14xf -，有1144x -≤≤，即011444x -≤≤，由4x y =的单调性得011x ≤-≤，解得01x ≤≤，所以()14xf -的定义域为[]0,1.故答案为：[]0,1.14．()f x 为R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21f x x =-，则(5.5)=f ______________. 【答案】0【分析】根据条件可得()()()1.50.50.5f f f =--=，然后可得答案.【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21f x x =-， 所以()()()()(5.5) 3.5 1.50.50.520.510f f f f f =-==--==⨯-=， 故答案为：015．设函数()31,1,()log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是______________.【答案】11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数()f x 是(,)-∞+∞上的减函数， 所以()31001311log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⋅+≥⎩，解得1143x ≤<,所以a 的取值范围为11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．函数y =A ，关于x 的不等式222ax a x +<的解集为B ，若A B A =，则a 的取值范围是_______. 【答案】2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据函数定义域，指数函数单调性，不等式解法，求得{}|12A x x =<≤，{}|(21)B x a x a =-<，然后对a 分类讨论，由A B A =解决即可. 【详解】由题知，y = 所以201xx -≥-，解得12x <≤，即{}|12A x x =<≤，因为2x y =是R 上的增函数， 所以由222ax a x +<得2ax a x <+， 所以{}|(21)B x a x a =-< 当210a ->，即12a >时，21a x a <-， 又因为A B A =，即A B ⊆， 所以221a a >-，解得1223a <<； 当210a -=，即12a =时，x R ∈，满足A B A =； 当210a -<，即12a <时，21a x a >-，又因为A B A =，即A B ⊆，所以121aa ≤-，解得12a <或1a ≥， 所以12a <‘ 综上可得，a 的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题 17．计算：(1)3log 2lg1.253lg23lg 2lg2lg5lg5++++⋅+；(2)11124211310.7562)4300---⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)6 (2)18-【分析】利用对数与指数幂运算法则及对数的换底公式求解即可. 【详解】（1）原式3log 43lg 2(lg 2lg 5)lg 5lg1.25lg8=+++++lg(1.258)4lg 2lg10lg5⨯+++= lg104lg 2lg5+++=1416=++=； （2）原式11112423271030044-⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1241023⎫=⨯-+⎝⎭43201832=⨯-=-. 18．已知()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，当[]1,0x ∈-时，函数解析式1()()42x xaf x a R =-∈． （1）写出()f x 在0,1上的解析式； （2）求()f x 在0,1上的最大值． 【答案】（1）()24x x f x =-；（2）0.【解析】（1）根据函数为奇函数即可求出解析式； （2）令2(0)x t t =>，转换为二次函数求最值即可. 【详解】（1）∵()f x 为奇函数，且()f x 在0x =处有意义，∴(0)0f =， 即001(0)1042a f a =-=-=． ∴1a =．设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-， ∴11()4242x x x x f x ---=-=-； 又∵()()f x f x -=-，∴()42x x f x -=-；所以()24x x f x =-．（2）当[]0,1x ∈时，2()242(2)x x x x f x =-=-∴设2(0)x t t =>，则2()f t t t =-∵[]0,1x ∈∴[]1,2t ∈，当1t =时，取最大值，所以最大值为110-=19．对数的运算性质是数学发展史上的伟大的成就．(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果0a >，且1a ≠，0M >，那么()log log n a a M n M n =∈R ；(2)因为()10342102410,10=∈，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数），试判断220219的位数；（注：lg 219 2.34≈）(3)围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏，围棋复杂度的上限约为3613=M ，二阶魔方复杂度上限约为85603N =⨯，甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是16010，乙认为是16510．现有一种定义：若实数x ，y 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ，试判断哪个同学的近似值更接近M N ，并说明理由．（注：lg 20.30≈，lg30.48≈，lg 70.85≈）【答案】(1)答案见解析；(2)515；(3)乙同学的近似值更接近M N，理由见解析.【分析】（1）由对数的概念与指数的运算性质证明，（2）由对数的运算性质求解，（3）由对数的运算性质求解M N的近似值后判断， 【详解】（1）法一：设log a M m =，m a M ∴=，()n m n mn M a a ∴==，log log ,n a a M mn n M ∴==法二：()m n mn a a =，设m a M =，则log log log log n mn n n a a a a M a mn M m M n M M =∴==∴=，log log n a a M n M ∴=.（2）220lg 219220lg 219220 2.34514.8=≈⨯=，220514.8514220515219101021910∴≈∴<<，220219∴的位数为515.（3）36135336188333,5603,5603560M M N N ==⨯==⨯ ， 353lglg3lg560353lg3lg 73lg 213530.480.850.91166.69M N =-=---≈⨯---=， 166.6910,M N∴≈ 165166.69160166.6910101010-<-，∴乙同学的近似值更接近M N. 20．已知函数()()221x x a f x a -=∈+R 是奇函数. (1)求a 的值，并判断()f x 的单调性（不必说明理由）；(2)若存在(1,2)x ∈，使不等式()(21)0x f x b -+>成立，求实数b 的取值范围.【答案】(1)1a =，()f x 为增函数 (2)18b <【分析】（1）由(0)0f =求得a ，再检验即可；由1a =得到212()12121x x x f x -==-++，再利用指数函数的单调性判断；（2）将()(21)0x f x b -+>转化为21221(21)x x b <-++成立，再令121x t =+求解. 【详解】（1）0021(0)0212a a f --===+ ，1a ∴=， 检验：21()21x x f x ，定义域为R ， 2112()()2112x x x x f x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数，故1a =.∴212()12121x x x f x -==-++， ∴()f x 为增函数.（2）()(21)0x f x b -+> ，2222121212(21)(21)21(21)x x x x x x b -+-∴<==-++++， 设121xt =+， 因为()1,2x ∈，即存在11,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使b 22112248t t t ⎛⎫<-=--+ ⎪⎝⎭成立， 当14t =时，2max 1(2)8t t -=， 18b ∴<. 21．定义在R 上的函数()y f x =，当0x >时()1f x >，且对任意的,R a b ∈，有()()()f a b f a f b +=．(1)证明：(0)1f =；(2)证明：对任意的x ∈R 恒有()0f x >；(3)证明：()f x 是增函数；(4)若2()(2)1f x f x x ->，求x 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析(4)(0,3)【分析】（1）利用赋值法求得正确答案. （2）通过证明0x <时，()()()10,1f x f x =∈-，进而证得结论成立.（3）由12x x >，证得()()12f x f x >，从而证得结论成立.（4）根据已知条件化简不等式2()(2)1f x f x x ->，结合一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】（1）令1,0a b ==，(1)(0)(1)f f f =，(1)1f >，(0)1f ∴=.（2）令,==-a x b x ，(0)()()1f f x f x =-=，由已知，当0x >时，()1f x >， 0x ∀<，0x ->，()1f x ∴->，1()()f x f x =-，0()1f x ∴<<， (0)1f =， R x ∴∀∈，()0f x >.（3）12,R x x ∀∈，且12x x >，112212212222()()()()()1()()()f x f x x x f x x f x f x x f x f x f x -+-===-> 2()0f x >，12()()f x f x ∴>，∴()f x 是增函数.（4）22()(2)(3)f x f x x f x x -=-， (0)1f =，∴2(3)(0)f x x f ->，∴230x x ->，即()30x x ->，解得03x <<.∴x 的取值范围是(0,3).22．函数()|2|||2(0)f x ax a x x a a =-+-->，方程()0f x =有三个互不相等的实数根，从小到大依次为123,,x x x .(1)当2a =时，求123x x x +的值； (2)求符合题意的a 的取值范围；(3)若对于任意符合题意的a ，2310x x x λ-<恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)0(2)()1,3(3)(),1-∞【分析】（1）代入2a =，令()0f x =，求得123x x x ===（2）结合（1）中结论，分类讨论2a =、2a >与02a <<三种情况，结合图像即可得到a 的取值范围；（3）分类讨论2a =、23a <<与12a <<三种情况，结合图像分析得到3x λ<-与3x -的范围，从而得到λ的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()226,224222,2x x f x x x x x x ⎧-≥=-+--=⎨-<⎩， 令()0f x =，1232,2,6x x x =-==， 所以1230x x x +=. （2）因为0a >，所以()22f x a x x x a =-+--①当2a =时，由（1）知，()0f x =有三个相异实根；.②当2a >时，()22222,222,222,2x a x a f x x ax a x a x a x ⎧--≥⎪=-+--<<⎨⎪-+-≤⎩，.所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，则(0)220,(2)260f a f a =->=-<，所以13a <<，则23a <<；③当02a <<时，()22222,2222,222,x a x f x x ax a a x x a x a ⎧--≥⎪=-+-<<⎨⎪-+-≤⎩，.所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，2(0)220,()220f a f a a a =->=-+-<，所以1a >，则12a <<；由①②③知：符合题意的a 的取值范围是()1,3.（3）由（1）与（2）①知，当2a =时，23126(2)0x x x λλ-=⨯--<，所以6λ<-； 由（2）②知，当23a <<时，因为()2260f a =-<，所以12,x x 是方程2220x a -+-=的两根，210x x =->，因为2312320x x x x x x λλ-=+<，所以3x λ<-，(i)当()0f a ≥，即313a +≤<时，3x 为方程22220x ax a -+--=较小根，所以2322x a a a =---，因为23231(1)3111(1)3x a a a a =----+=+-+--在[31,3)+单调递减，所以3(2,31]x ∈+，则)331,2x ⎡-∈---⎣，所以31λ<--；(ii)当()0f a <，即231a <<+时，3x 为方程2220x a --=较大根，∴322(6,31)x a =+∈+，3(31,6)x -∈---，31λ∴≤--； 由（2）③知，当12a <<时，(2)220()f f a a =<-<，.因为12,x x 是方程2220x a -+-=的两根，210x x =->，所以2312320x x x x x x λλ-=+<，所以3x λ<-，又因为3x 为方程2220x a --=较大根，3x ，则3(2)x -∈-，所以λ≤综上：实数λ的取值范围是(),1-∞.【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。

2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{|0}M x x =…，{|24}x N x =<，则(M N = )A ．[0，2]B ．(0,2)C ．[0，2)D ．(0，2]2．对于0a >，1a ≠，下列说法中，正确的是( ) A ．若M N =，则log log a a M N =B ．若22M N =，则M N =C ．若22log log a a M N =，则M N =D ．若M N =，则1122MN--=3．下列函数中，在区间(2,)+∞上为增函数的是( ) A ．3x y =-B ．12log y x =C ．2(2)y x =--D ．12y x=- 4．若函数()log (1)(0a f x x a =->，1)a ≠的图象恒过定点，则定点的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(1,1)D ．(2,1)5．已知13241(),log 3,log 72a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<6．函数2()(2)f x lg x x =+-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．1(,)2-+∞C ．1(,)2-∞-D ．(,2)-∞-7．已知()12g x x =-，221[()](0)x f g x x x -=≠，则1()2f 等于( )A ．15B ．1C ．3D ．308．已知函数()f x 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3x f x g x +=，则()f x 的解析式为( ) A ．()33xxf x -=- B ．33()2x xf x --=C ．()33xx f x -=-D ．33()2x xf x --=9．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(-∞，0]上是减函数，且f （2）0=，则()()0f x f x x+-<的解集为( )A ．(2,2)-B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)10．函数1()()f x ln x x=-的图象是( )A ．B ．C ．D ．11．函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．02k <<B ．04k 剟C ．04k <<D ．04k <…12．已知21,0()||,0x x f x lnx x +⎧=⎨>⎩… 则方程[()]3f f x =的根的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若不等式2123x x+<-的解集为A ，则R A =ð ． 14．若4log 3a =，则22a a -+= ．15．幂函数253(1)m y m m x -=-+在(0,)x ∈+∞时为减函数，则m 的值为 ． 16．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-，若对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12|()|()f x g x …成立，则实数a 的值为 ．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知集合2{A a =，1a +，3}-，{3B a =-，21a -，21}a +，{3}A B =-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求满足()()A B M A B ⊆⊆的集合M 的个数．18．计算：（Ⅰ）43425log ln lg lg e ++；（Ⅱ）410.2503216)4()8201949--⨯-．19．已知函数11()()()142x x f x =-+．（Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值； （Ⅱ）求[2x ∈-，3]时函数()f x 的值域．20．已知1a >，函数131()log (1)log ()222a a f x x x =++-．（1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在[1-，5]2上的最小值为2-，求a 的值．21．定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时，()0f x <．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）证明()f x R 上为减函数；（Ⅲ）若(1)(13)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．22．已知定义在R 上的奇函数13()3x x af x b +-+=+，（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()g x 满足1()[()2](33)(0)3x x f x g x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x -…恒成立，求实数m 的最大值．2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{|0}M x x =…，{|24}x N x =<，则(M N = )A ．[0，2]B ．(0,2)C ．[0，2)D ．(0，2]【解答】解：{|0}M x x =…，{|2}N x x =<， [0MN ∴=，2)．故选：C ．2．对于0a >，1a ≠，下列说法中，正确的是( ) A ．若M N =，则log log a a M N =B ．若22M N =，则M N =C ．若22log log a a M N =，则M N =D ．若M N =，则1122MN--=【解答】解：0a >，1a ≠．A ．若0M N =<，则log log a a M N =不成立；B ．若22M N =，则M N =，正确；C ．若22log log a a M N =，则||||M N =，因此不正确；D ．若0M N =<，则12M-，12N-没有意义．故选：B ．3．下列函数中，在区间(2,)+∞上为增函数的是( ) A ．3x y =-B ．12log y x =C ．2(2)y x =--D ．12y x=- 【解答】解：3x y =-，12y log x =和2(2)y x =--在(2,)+∞上都为减函数，12y x=-在(2,)+∞上为增函数． 故选：D ．4．若函数()log (1)(0a f x x a =->，1)a ≠的图象恒过定点，则定点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(1,1)D ．(2,1)【解答】解：log 10a =， ∴当11x -=，即2x =时，0y =，则函数log (1)a y x =-的图象恒过定点(2,0)． 故选：B ．5．已知13241(),log 3,log 72a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<【解答】解：13241(),log 3,log 72a b c ===，103110()()122a ∴<=<=，2444log 3log 9log 7log 41b c ==>=>=，a ∴，b ，c 的大小关系为a c b <<．故选：D ．6．函数2()(2)f x lg x x =+-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．1(,)2-+∞C ．1(,)2-∞-D ．(,2)-∞-【解答】解：函数2()(2)f x lg x x =+-，220x x ∴+->，求得2x <-，或1x >， 故函数的定义域为{|2x x <-，或1x >}．函数()f x 的增区间，即0y >时，22y x x =+-的增区间，利用二次函数的性质可得，0y >时，22y x x =+-的增区间为(1,)+∞， 故选：A ．7．已知()12g x x =-，221[()](0)x f g x x x -=≠，则1()2f 等于( )A ．15B ．1C ．3D ．30【解答】解：令1()2g x =，得1122x -=，解得14x =． 221511()11164()[()]151124()416f f g -∴====． 故选：A ．8．已知函数()f x 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3x f x g x +=，则()f x 的解析式为( ) A ．()33xxf x -=- B ．33()2x xf x --=C ．()33xx f x -=-D ．33()2x xf x --=【解答】解：函数()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数， ()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=又()()3x f x g x +=，⋯①()()3x f x g x -∴-+-=， ()()3x f x g x -∴-+=，⋯②由①②得33()2x xf x --=；故选：D ．9．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(-∞，0]上是减函数，且f （2）0=，则()()0f x f x x+-<的解集为( )A ．(2,2)-B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数且在(-∞，0]上是减函数， 则()f x 在[0，)+∞上为增函数，又由f （2）0=，则在区间(0,2)上，()0f x <，在(2,)+∞上，()0f x >，又由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则在区间(2,0)-上，()0f x <，在(,2)-∞-上，()0f x >， ()()0f x f x x +-<⇒()0()00f x f x x x <⎧<⇒⎨>⎩或()00f x x >⎧⎨<⎩， 则有2x <-或02x <<，即x 的取值范围为(,2)-∞-或(0,2)； 故选：D ．10．函数1()()f x ln x x=-的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为10x x->，解得1x >或10x -<<， 所以函数1()()f x ln x x=-的定义域为：(1-，0)(1⋃，)+∞．所以选项A 、D 不正确． 当(1,0)x ∈-时，1()g x x x=-是增函数， 因为y lnx =是增函数，所以函数1()()f x ln x x=+是增函数．故选：B ． 11．函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．02k <<B ．04k 剟C ．04k <<D ．04k <…【解答】解：函数y =的定义域为R ，∴对于任意x R ∈，都有210kx kx ++>成立，当0k =时，对于任意x R ∈，都有210kx kx ++>成立； 当0k ≠时，需要2040k k k >⎧⎨-<⎩，解得：04k <<．综上，04k <…． ∴使函数y =R 的实数k 的取值范围是04k <…．故选：D ．12．已知21,0()||,0x x f x lnx x +⎧=⎨>⎩… 则方程[()]3f f x =的根的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：由题意得， 2()13f x +=或|()|3lnf x =，即()1f x =（舍去）或3()f x e =或3()f x e -=； 若3()f x e =，则321x e +=或3||lnx e =，故312e x -=（舍去）或3e x e =或3e x e -=；若3()f x e -=，则321x e -+=或3||lnx e -=，故312e x --=或3e x e -=或3e x e --=；故方程[()]3f f x =共有5个解， 故选：B ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若不等式2123x x +<-的解集为A ，则R A =ð 5[,3]4． 【解答】解：因为2123x x+<-， 所以216203x x x +-+<-，所以450(45)(3)03x x x x ->⇔-->-，所以54x <或3x >，所以5{|4A x x =<或3}x >， 所以5{|3}4R A x x =剟ð．故答案为：5[,3]4．14．若4log 3a =，则22a a -+ 【解答】解：4log 3a =，可知43a =，即2a =所以22a a -+==15．幂函数253(1)m y m m x -=-+在(0,)x ∈+∞时为减函数，则m 的值为 0 ． 【解答】解：因为函数253(1)m y m m x -=-+既是幂函数又是(0,)+∞的减函数， 所以211530m m m ⎧-+=⎨-<⎩，解得：0m =． 故答案为：0．16．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-，若对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12|()|()f x g x …成立，则实数a 的值为 3．【解答】解：2()23f x x x a =-+在1[0x ∈，3]上先减后增故当1x =时，函数有最小值f （1）31a =-，当3a =时，函数有最大值f （3）33a =+ 故1()[31f x a ∈-，33]a +， 2()1g x x =-在2[2x ∈，3]上单调递减，故()[1g x ∈，2]， 对任意1[0x ∈，3]，总存在2[2x ∈，3]，使得12|()|()f x g x …成立， 12|()|()max max f x g x ∴…，∴|(0)||3|2|(1)||31|2|(3)||33|2f a f a f a =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩………， 解可得，13a =-故答案为：13-三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知集合2{A a =，1a +，3}-，{3B a =-，21a -，21}a +，{3}A B =-．（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）求满足()()AB M A B ⊆⊆的集合M 的个数．【解答】解：（Ⅰ）{3}AB =-，3B ∴-∈，33a ∴-=-或213a -=-，若33a -=-，则0a =，{3AB ∴=-，1}，不符合题意； 若213a -=-，则1a =-，{3}AB ∴=-，满足题意；1a ∴=-； （Ⅱ）{3}A B =-，{4A B =-，3-，0，1，2}，且()()A B M A B ⊆⊆， ∴集合M 的个数为4216=个．18．计算：（Ⅰ）43425log ln lg lg e ++；（Ⅱ）410.2503216)4()8201949--⨯-． 【解答】解：（Ⅰ）原式331001422lg =+--=-． （Ⅱ）原式314132234472422184⨯⨯=-⨯-⨯-=-． 19．已知函数11()()()142x x f x =-+． （Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值；（Ⅱ）求[2x ∈-，3]时函数()f x 的值域．【解答】解：（Ⅰ）11()()()1342x x f x =-+=， ∴11()()2042x x --=， ∴11[()2][()1]022x x -+=， ∴1()22x =，解得1x =-； （Ⅱ）令1()2x t =，则22131()24y t t t =-+=-+， [2x ∈-，3]，∴1[,4]8t ∈， ∴当12t =时，34min y =；当4t =时，13max y =， ()f x ∴的值域为3[,13]4． 20．已知1a >，函数131()log (1)log ()222a a f x x x =++-． （1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在[1-，5]2上的最小值为2-，求a 的值．【解答】解：（1）131()log (1)log ()222a a f x x x =++-， 必有110231022x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解可得23x -<<， 即函数的定义域为(2,3)-；（2）21313()log (1)log ()log ()222442a a a x x f x x x =++-=-++， 设23()442x x g x =-++，[1x ∈-，5]2，其对称轴为12x =， 则()g x 的最小值为59()216g =， 又由1a >，则当()g x 取得最小值时，()f x 也取得最小值 ，此时59()log [()]log ()2216min a a f x g ===-， 解可得：43a =； 故43a =． 21．定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时，()0f x <．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）证明()f x R 上为减函数；（Ⅲ）若(1)(13)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）令0x y ==，则(0)(0)(0)(0)0f f f f =+∴=， 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-且(0)0f =，()()0f x f x ∴+-=，且定义域为R ，()f x ∴为奇函数．（Ⅱ）证明：任取1x ，2x R ∈，且12x x >，1212()()()f x f x f x x -=-， 12x x >，120x x ∴->，12()0f x x ∴-<，12()()0f x f x ∴-<，12()()f x f x ∴<，()f x R ∴上为减函数．（Ⅲ）(1)(13)0f a f a -+-<，(1)(13)(31)f a f a f a ∴-<--=-，()f x R 上为减函数，131a a ∴->-，得42a <， ∴12a <， ∴实数a 的取值范围为1(,)2-∞． 22．已知定义在R 上的奇函数13()3x x a f x b+-+=+， （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数()g x 满足1()[()2](33)(0)3x x f x g x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x -…恒成立，求实数m 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）()f x 是R 上的奇函数，∴(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩， ∴113319a a a b b =⎧⎪⎪⎨--⎪=-⎪++⎩， ∴13a b =⎧⎨=⎩， 当1a =，3b =时，13()3(31)xx f x -=+． 此时1331()()3(31)3(13)x x x x f x f x -----===-++， ()f x ∴是奇函数成立．1a ∴=，3b =．（Ⅱ）任取1x ，2x R ∈，且12x x <，∴12211211121131312(33)()()()0333131(31)(31)x x x x x x x x f x f x ----=-=>++++， ，12()()0f x f x ∴->，12()()f x f x ∴>，()f x R ∴上为减函数．若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，则2222t t t k ->-有解．22k t t ∴>+，当1t =-时，2(2)1min t t +=-，1k ∴>-． （Ⅲ）1()[()2](33)(0)3x x f x g x x -+=-≠， ∴213113[()2]3(31)33x xx xg x --+=+， ∴2(13)()23323x x x x g x -++==++， ()33(0)x x g x x -∴=+≠，且(0)2g =也适合，()33x x g x -∴=+，x R ∈．任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x -…恒成立2233(33)11x x x x m --∴++-… 令3x t =，x R ∈，0t ∴>，令∴133x x u t t-=+=+， 任取1t ，2t R ∈，且12t t <，∴211212121212121212111()()()()t t t t u t u t t t t t t t t t t t t t ---=+--=-+=-， 当1t ，2(1,)t ∈+∞时，12()()u t u t <，()u t ∴上为增函数．当1t ，2(0,1)t ∈时，12()()u t u t >，()u t ∴上为减函数．1t ∴=时()2min u t =即2u …， 2233(33)11x x x x m --++-…，221121()11()2()11t t m t t t t m t t ----∴++-∴+-+-厖，2211u m u ∴--…，且2u …． ∴9u m u+…， 同理∴9y u u=+在(3,)+∞上是增函数，在(2,3)上是减函数． 3u ∴=时9()6min u u+=， 6m ∴…，m ∴的最大值为6．。

黑龙江省哈尔滨市师范大学附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N ⋂（ ） A. []0,2 B. ()0,2 C. [)02， D. (]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出集合N ，然后根据交集的定义求解即可.【详解】解：{}{}24|2xN x x x =<=<，又{}0M x x =≥，所以{}|02M N x x ⋂=≤<.故选：C.【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题. 2.对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） A. 若M N =，则log log a a M N =B. 若22M N =，则M N =C. 若22log log a a M N =，则M N =D. 若M N =，则1122M N --=【答案】B 【解析】 【分析】对数函数真数大于0，所以A 不成立；平方相等，M 、N 不一定相等，所以C 不成立；当M N =0≤时，12x -没有意义，所以D 不对；指数函数单调且定义域为R ，则B 成立，从而得出结果. 【详解】解：A ：当0M N =≤时，对数无意义，故A 不正确；B ：因为指数函数单调且定义域为R ，所以若22M N =，则M N =成立，故B 正确；C ：比如当 ()22222=-2M N =，,时，有22log log a a M N =，但M N ¹；故C 不正确；D ：当M N =0≤时，12x -没有意义，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题考查指对函数的定义域和运算性质，解题的关键是熟练掌握指对函数的基础知识，属于基础题.3.下列函数中，在区间()2,+∞上为增函数的是 （ ） A. 3x y =-B.12log y x =C. ()22y x =--D.12y x=- 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对函数的性质可排除A 、B ，根据二次函数的性质可排除C ，从而得出结果. 【详解】解：A ：3xy =-在R 上单调递减，故A 不正确； B ：12log y x =定义域为()0,∞+且单调递减，故B 不正确；C ：()22y x =--对称轴为2x =，且开口向下，在()2,+∞上单调递减，故C 不正确；D ：12y x=-在()2,+∞上单调递增，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的判断，解题的关键是牢记基本初等函数的单调性，属于基础题.4.若函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠ 的图象恒过定点，则定点的坐标为 （ ） A. ()1,0 B. ()2,0C. ()1,1D. ()2,1【答案】B 【解析】 【分析】因为对数函数恒过定点()1,0，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠可以看成由函数()log a f x x =向右平移一个单位得到，故而得到答案.【详解】解：因为函数log ay x =的图像恒过定点()1,0，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠可以看成由函数()log a f x x =向右平移一个单位得到，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠的图像恒过定点()2,0. 故选：B.【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质，以及函数图像间的平移变换，属于基础题. 5.已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c a b <<D.a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】容易得出01,a <<12,12b c <<<<，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大小.【详解】解：1312a ⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，01a ∴<<，244log 3log 9log 71b c ==>=>，所以b c a >>. 故选：A.【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.6.函数()2lg 2y x x =+-的单调递增区间是（ ） A. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. (,2)-∞-D. (1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】首先考虑对数的真数取值大于0；其次将函数22lg xx y +-=拆成外层函数lg uy =和内层函数22u x x =+-，根据求复合函数单调性的法则：同増异减，判断出单调增区间；最后即可求得()2lg 2y x x =+-的单调增区间.【详解】由220x x +->可得2x <-或1x >∵22u x x =+-在(1,)+∞单调递增，而lg y u =是增函数，由复合函数的同增异减的法则可得，函数()2lg 2y x x =+-的单调递增区间是(1,)+∞， 故选D.【点睛】复合函数单调性的判断方法：同増异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.7.已知函数g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝221x x-(x≠0)，则f(12)等于( ) A. 1 B. 3C. 15D. 30【答案】C 【解析】令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f(12)＝1116116-＝15，故选C.8.已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，则（ ） A. ()33xxf x -=-B. 33()2x xf x --=C. ()33x xf x -=-D.33()2x xf x --=【答案】D 【解析】 【分析】函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，可得()()3x f x g x --+-=，即()()3x f x g x --+=，与()()3xf xg x +=联立求解即可解出()f x .【详解】解：因为函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上奇函数、偶函数，所以()()()()3xf xg x f x g x --+-=-+=，即：()()3()()3x xf xg x f x g x -⎧-+=⎨+=⎩，解得：()33()2332x x x xf xg x --⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩. 故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 9.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是减函数，且(2)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为（ ）A. ()2,2-B. ()(),22,-∞-+∞UC. ()()2,02,-+∞UD. ()(),20,2-∞-U【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，又()f x 在(],0-∞上是减函数可得()f x 在()0,∞+上是增函数，因为(2)0f =，所以(2)0f -=，结合函数的单调性可知()0f x <的解为()2,2-；()0f x >的解为()(),22,-∞-+∞U ，()()0f x f x x +-<等价于()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩，结合分析可得出结果. 【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，又()f x 在(],0-∞上是减函数，则()f x 在()0,∞+上是增函数，且(2)0f =，所以有(2)0f -=，所以()0f x <的解为()2,2-；()0f x >的解为()(),22,-∞-+∞U .()()0f x f x x +-<等价于2()0f x x <，等价于()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩ 所以不等式的解集为：()(),20,2-∞-U . 故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性分析出函数的符号，属于中档题. 10.函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f （x ）的单调性，问题得以解决．【详解】因为x ﹣1x＞0，解得x ＞1或﹣1＜x ＜0， 所以函数f （x ）=ln （x ﹣1x）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A 、D 不正确．当x ∈（﹣1，0）时，g （x ）=x ﹣1x是增函数， 因为y=lnx 是增函数，所以函数f （x ）=ln （x+1x）是增函数．故选：B ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 11.函数21y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ） A. 02k <<B. 04k ≤≤C. 04k ≤<D.04k <<【答案】D 【解析】【分析】 函数y =的定义域为R ，等价于210kx kx ++>恒成立.该函数为二次型的函数，考虑0k =和0k ≠两种情况，∆<0，分情况求解即可求出结果. 【详解】解：因为函数y =的定义域为R ，所以210kx kx ++>恒成立.令()21g x kx kx =++，当0k =时，()10g x =>恒成立，符合题意. 当0k ≠时，00k >⎧⎨∆<⎩，即2040k k k >⎧⎨-<⎩解得：04k <<.故选：D.【点睛】本题考查函数定义域为R 的问题，考查分类讨论的思想和二次函数的性质，属于基础题.12.已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =等价于()213f x +=，()3f x e =或()3f x e -=.再根据21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩分析函数的单调性和值域，分析每一段上的解的个数，进而得出结果.【详解】解：因为函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩, 当()0f x ≤时，[]()()213f f x f x =+=，即()1f x =不符合()0f x ≤，舍去； 当()0f x >时，方程[]()3f f x =等价于()|ln |3f x =，解得：()3f x e =或()3f x e -=，0x ≤Q ，211x ∴+≤，又()ln f x x =在()0,1上单调递减，且()[)0,f x ∈+∞；在()1,+∞上单调递增，且()[)0,f x ∈+∞.若()3f x e =1>，则321x e +=无解，3ln x e =有两个解；若()3f x e -=，则321x e -+=有一解，3ln x e -=有两解，所以共有5解.故选：D.【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查学生的分析与计算求解能力，解题的关键是对函数分段讨论求解，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若不等式2123x x+<-的解集为,A 则 A =R ð ___________． 【答案】5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对不等式移项、通分、化简、得到4503x x-<-，求解不等式然后对解集求补集即可得到答案. 【详解】解：2123x x +<-等价于2121624520333x x x x x x x++-+--==<---， 即()()4530x x -->，解得：3x >或54x <，则A =R ð5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查分式不等式求解集，以及补集的运算，解题的关键是对不等式进行正确的变形，属于基础题.14.若4log 3a =，则22a a -+= ．【解析】【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=222a-+==考点：对数的计算15.幂函数()2531m y m m x -=-+在()0+∞，上为减函数，则m 的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可知211m m -+=，又函数在()0+∞，上为减函数，可知530m -<，对m 求解即可.【详解】解：因为函数()2531m y m m x-=-+为幂函数，所以211m m -+=，解得：0m =或1m =.又53m y x-=在()0+∞，上为减函数，所以530m -<，即35m <，所以0m =. 故答案为：0.【点睛】本题考查根据幂函数的定义和单调性求参数，解题的关键是熟记幂函数的定义和单调性，属于基础题.16.已知函数()223f x x x a =-+，()21g x x =-．若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的值为____． 【答案】13- 【解析】 【分析】将问题转化为()()max max f x g x ≤，根据二次函数和分式的单调性可求得()f x 在[]0,3上的最小值和最大值及()g x 在[]2,3上的最大值；分别讨论()f x 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到()f x 每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.【详解】不等式()()12f x g x ≤恒成立可转化为：()()max max f x g x ≤ 当[]0,3x ∈时，()()min 113f x f a ==-+，()()max 333f x f a ==+ 当[]2,3x ∈时，()()max 22g x g ==①若330a +≤，即1a ≤-时，()max 1313f x a a =-+=-132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）②若13033a a -+≤<+，即113a -<≤时，()()(){}max max 1,3f x f f =- 又()113f a -=-，()333f a =+ 当1333a a ->+，即113a -<<-时，()max 13f x a =- 132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）当1333a a -≤+，即1133a -≤≤时，()max 33f x a =+332a ∴+≤，解得：13a ≤- 13a ∴=-③若130a -+>，即13a >时，()max 3333f x a a =+=+332a ∴+≤，解得：13a ≤-（舍）综上所述：13a =-本题正确结果：13-【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知集合{}{}{}22,1,3,3,21,1,3A a a B a a a A B =+-=--+=-I .（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求满足()()A B M A B ⊆⊆I U 的集合M 的个数． 【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）16个. 【解析】 【分析】（Ⅰ）{}3,3A B B =-∴-∈Q I ，逐个分析集合B 中的元素求解a ，然后代入检验即可. （Ⅱ）因为{}3A B =-I ，{}4,3,0,1,2A B =--U ，()()A B M A B ⊆⊆I U ，所以集合M 中必有-3，只需考虑剩余4个元素即可得到答案.【详解】（Ⅰ）{}3,3A B B =-∴-∈Q I 显然213a +≠-,若33,a -=-则0a =，{}3,1A B ∴=-I ，不符合题意,若213,a -=-则1a =-，{}3A B ∴=-I ，满足题意,所以1a =- .（Ⅱ）{}3A B =-I ，{}4,3,0,1,2A B =--U ，因为()()A B M A B ⊆⊆I U ，所以集合M 中必有-3，剩余4个元素：-4,0,1,2都有在与不在两种情况，所以个数为42=16个.【点睛】本题考查了交集、并集的定义和运算，元素与集合的关系，考查了子集的定义，子集个数的求法，属于基础题.18.计算：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log 3e ++-； （Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.【答案】（Ⅰ）32-；（Ⅱ）8- . 【解析】【分析】 （Ⅰ）根据对数和指数的运算性质和运算律化简计算即可.（Ⅱ）根据指数的运算性质和运算律化简即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log 3e ++- =323lg100log 314+-- =3252+- =32- . （Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.=34237414⋅-⨯-=271-=2721---=8-【点睛】本题考查指数、对数的运算性质和运算律，考查学生的计算能力，属于基础题.19.已知函数11()142x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值；（Ⅱ）求[]2,3x ∈-时函数()f x 的值域．【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】 （Ⅰ）将12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭看成一个整体，对()3f x =进行化简得到1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦先求解12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再根据对数的运算解x 即可. （Ⅱ）12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，化简()f x 可得21y t t =-+，然后配方即可求出21y t t =-+在1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大最小值，进而求得值域. 【详解】（Ⅰ）11()1342x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q , 112042x x⎛⎫⎛⎫∴--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 122x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或112x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍）122x⎛⎫∴= ⎪⎝⎭, 1x ∴=- .（Ⅱ）12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[]12,3,,48x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦Q . 则2213124y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 当12t =时，min 34y =；当4t =时，max 13y =, 所以()f x 的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦ . 【点睛】本题考查二次型函数已知值求自变量，以及二次函数已知自变量的范围求值域，考查了换元法的应用以及二次函数配方法求值域，考查了学生的计算能力，属于基础题.20.已知1a >，函数()131log 1log 222a a f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值. 【答案】（1）()2,3- ； （2）43. 【解析】【分析】 （1）由题意，函数()f x 的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；（2）由题意，化简得()()21log 64a f x x x =-++，设()2164u x x =-++，根据复合函数的性质，分类讨论得到函数()f x 的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解。

哈师大附中2020级高一上期中考试数学试卷第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|0}1x A x x -=≥+，集合{|20}B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{|21}x x -<<-B ．{|21}x x -≤<-C ．{|21}x x -<≤-D ．{|10}x x -≤≤2.函数0()f x =的定义域为（ ）A ．{|3}x x ≤B ．{|3}x x <C ．{|3,1}x x x ≤≠且D ．{|3,1}x x x <≠且 3.若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b <B ．22a b >C ．||||a c b c >D ．2211a bc c >++ 4.设a ∈R ，则“38a <”是“11a -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知,a b R ∈，且0ab >，则下列结论恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．222a b ab +>C ．2a bb a +≥D ．11a b +>6.函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[1,2]D ．[2,3]7.已知函数()||2f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数，单调递增区间是[0,)+∞B ．()f x 是偶函数，单调递减区间是(,1]-∞C ．()f x 是奇函数，单调递减区间是[1,1]-D ．()f x 是奇函数，单调递增区间是(,0]-∞8.已知31()f x x x=+，则函数()f x 的图象的是( )9.如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园，则其边长x (单位：m )的取值范围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10.已知定义域(1,1)-的奇函数()y f x =，当[0,1)x ∈时，函数()f x 为增函数，若(3)f a -+2(9)0f a -<，则实数a 的取值范围为（ ）A.（22,3） B ．（3,10） C ．（22,4） D ．(2,3)-11.已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.2332a << B.213a <≤ C.9a ≥ D.293a <≤12.若函数()f x 同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠时，恒有11122122()()()()x f x x f x x f x x f x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数：①2()f x x =；②3()f x x =；③21()21x f x x -=+；④224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，其中被称为“理想函数”的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上的相应位置.13.幂函数)(x f y =的图像过点(8,22)，则(9)f =________________．14.函数2()(21)5f x x a x =+-+在区间,1]-∞（单调递减，则实数a 的取值范围为____________ ． 15. 函数()21f x x x =-+的值域为______________________．16．设函数211()231x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，，,①若()2f x =，则x =____________；②若()(1)2f x f x +->，则x 取值范围是_____________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知集合2{|}A x a x a =<<，2{|540}B x x x =-+->．（Ⅰ）若1A ∉，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x x=+．（Ⅰ）求当0x ≤时，()f x 的解析式；（Ⅱ）用定义法证明：函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增．19.（本小题满分12分）已知函数2()6f x x ax =-+(0)a >.（Ⅰ）关于x 的不等式()0f x <的解集为}32|{<<x x ，求()f x y x=在区间[2,4]的最小值； （Ⅱ）关于x 的不等式1()5f x x a<+. 20.（本小题满分12分）若二函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1,3]x ∈时，不等式()(2)f x m x <+恒成立，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数2()1mx nf x x+=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）已知0,0a b >>，且128a b +=，若存在,a b 使()2bf t a >+成立，求实数t 的取值范围.22．（本小题满分12分）在函数()f x 定义域内的某个区间D 上，任取两个自变量12x x 、，若都有（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的凹凸性，并证明你的结论； （Ⅱ）若对任意的(0,1)x ∈，都有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围．。

哈师大附中2020级高一上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.已知全集{|2}U x x =≥，集合M {|3}x x =≥，则U M =ð（ ）A ．{|23}x x ≤≤B ．{|23}x x ≤<C ．{|3}x x ≤D ．{|2}x x < 2. .设集合={|23}xM x >，{|(1)(3)0}N x x x =-+<，则（ ）A. M N =B. M N ⊆C. N M ⊆D. M N =∅I 3.下列函数是偶函数，且在0+∞（，）是增函数的是（ ） A.2()2f x x x =+ B. 2()f x x -= C. ()||f x x = D. ()ln f x x =4.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ） A. 0k ≠ B. 04k ≤≤ C. 04k ≤< D. 04k <<5.已知函数()f x 为偶函数，当[0,)x ∈+∞时，()1f x x =-，则()0f x <的解集是（） A. 0,1（） B.,1（-1） C.1,0（-） D.∞U （-，-1）（0，1）6.若1122(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围是（ ）A.12(,)23 B. 2(,2)3 C. 23(,)32 D. 3(,)2+∞7.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别 位于区间（ ）A ．(,b)a 和(b,c)内B ．(,)(,)a a b -∞和内C ．(,)(c,)b c +∞和内D ．(,)(,)a c -∞+∞和内8.已知函数()f x 的定义域为()1,1-，则函数1()()(1)g x f f x x=+-的定义域为（ ）A. ()1,2B. ()0,2C. ()0，1D. ()1,1-9.已知1322412,log ,log 3,log 53a b c d -====.则( ) A ．a c d b ><> B ．b a c d <<< C ．b a d c <<< D ．c a d b >>> 10.函数243()log (4)f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,4)-∞D ． (4,)+∞ 11.若方程24||3x x m -+=有四个互不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A.[1,3]- B.()1,3- C.(3,)+∞ D.[1,3)- 12.对于函数4()(|2|1)f x x =-+，给出如下三个命题：①(2)f x +是偶函数；②()f x 在区间(,2)-∞上是减函数，在区间(2,)+∞上是增函数；③()f x 没有最小值.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 0 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知函数y =的定义域是___________；14.函数221()2x x f x a-+=+01)a a >≠（且的图像过定点___________； 15.已知函数1(),4()2(1),4xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(log 3)f =___________；16.已知函数()()2x xf x a e e -=-+，若(lg3)3f =,则1(lg )3f =___________．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)计算下列各式：21023213(1)(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+7log 29(2)log lg 252lg 27+++18.(本小题满分12分)已知集合22{|20},{|(21)(1)0}A x x x B x x a x a a =--<=-+++<，且B A ⊆,求实数a 的取值范围.19. (本小题满分12分)已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足:(0)2,(1)()21f f x f x x =+-=-. (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-的两个零点分别在区间(1,2)-和(2,4)内，求m 的取值范围.20. (本小题满分12分)已知函数22(),21x x a af x a R ⋅-+=∈+． (1)当2a =时，判断函数()f x 的单调性,并证明； (2)若()f x 为定义域上的奇函数，求函数()f x 的值域．21. (本小题满分12分)已知函数2()log f x x =的定义域是[2,16].设2()(2)[()]g x f x f x =-. (1)求函数g()x 的解析式及定义域； (2)求函数)(x g 的最值．22. (本小题满分12分)定义在R 上的函数()y f x =.对任意的,a b R ∈.满足:()()()f a b f a f b +=⋅, 当0x >时，有()1f x >，其中12f =（）.(1)求(0)f ，(1)f -的值； (2)判断该函数的单调性，并证明； (3)求不等式(1)4f x +<的解集.哈师大附中2020级高一上学期期中考试数学答案一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1-6：BDCDBC 7-12：AACDBB二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.34(,]55 14.(1,3) 15.12416.1 三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. (本小题10分)计算：21023213(1)(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+12= …… 5分7log 29(2)log lg 252lg 273+++318= …… 10分 18.(本小题12分)已知集合22{|20},{|(21)(1)0}A x x x B x x a x a a =--<=-+++<，且B A ⊆.求实数a 的取值范围.解：A={|1x 2}x -<< …… 2分{|1}B x a x a =<<+ …… 6分112B Aa a ⊆≥-⎧∴⎨+≤⎩Q …… 10分11a ∴-≤≤ …… 12分19.(本小题12分)已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)2,(1)()21f f x f x x =+-=-(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-的两个零点分别在区间(1,2)-和(2,4)内，求m 的取值范围.(1)(0)22f c =∴=Q 解： …… 2分22(1)()(1)(1)2(2)2f x f x a x b x ax bx ax a b+-=++++-++=++ …… 4分22112a ab a b ∴=+=-∴==- …… 6分2()22f x x x ∴=-+ …… 7分2(2)()(2)2g x x m x =-++ …… 8分(1)505(2)22m 012(4)1040g m g m g m -=+>⎧⎪=-<⇒<<⎨⎪=->⎩…… 12分 20.(本小题12分)已知函数22(),21x x a af x a R ⋅-+=∈+． (1)当2a =时，判断函数()f x 的单调性,并证明. (2)若()f x 为定义域上的奇函数，求函数()f x 的值域． 解:由已知得: 1(1)()2(1)21xf x =-+定义域为R …… 2分 12,x x R ∈任取 12x x <且 121211()()2[(1)(1)]2121x x f x f x -=---++ 121222(21)(21)x x x x -=++ …… 4分 2xy R =Q 在上单调递增 12x x <且 12022xx ∴<<12220x x ∴-<12210210x x ∴+>+>，()()122+12+10x x ∴>12()()f x f x ∴< ()f x ∴-∞+∞在（，）上单调递增 …… 6分 2(2)2(2)2,()()002121x x x xa a a a x R f x f x --⋅+-⋅+-∀∈-+=⇔+=++（）对 (22)(21)01xa a ⇔-+=⇔= …… 8分2112211x x x y y y -+==+-由得， 20x >Q 101yy+∴>- …… 10分 11y ∴-<< ()f x ∴的值域为(-1,1). …… 12分21.(本小题12分)已知函数2()log f x x =的定义域是[2,16].设2()(2)[()]g x f x f x =-.(1)求函数g()x 的解析式及定义域. (2)求函数)(x g 的最值． 解： （1） 2216216x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩Q 28x ∴≤≤ …… 3分222()log (2)log 28g x x x x =-≤≤2221log log x x=+-…… 6分（2） 2log [1,3]t xt =∈令…… 8分max 12()1t x g x ∴===即时， …… 10分 min 38()5t x g x ===-即时， …… 12分22.(本小题12分) 定义在R 上的函数()y f x =.对任意的,a b R ∈.满足()()()f a b f a f b +=⋅当0x >时，有()1f x >，其中12f =（） (1)求(0)f ,(1)f -的值； (2)判断该函数的单调性,并证明； (3)求不等式(1)4f x +<的解集.解：（1） 1a =令，0b =，(1)(0)(1)f f f =g 则(1)1f >Q (0)1f ∴= …… 2分1a =令，-1b =， 则(0)(1)(-1)f f f =⋅12f =Q （）1(-1)=2f ∴ …… 4分（2）()(,)f x -∞+∞在上单调递增 …… 5分任取1212,(,)x x x x ∈-∞+∞<且210x x ⇒->由题设得21()1f x x ->0x <对任意()()(0)1f x f x f -==g 0x ∴-> ()1f x ∴-> ()0f x >x R ∴∈对任意 ()0f x > 1()0f x ∴> ……7分22112111()[()]()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-⋅>Q()(,)f x ∴-∞+∞在上单调递增 …… 9分（3）(2)(11)(1)(1)4f f f f =+=⋅= ……10分 (1)4(2)121f x f x x +<=+<∴<Q ，1∴-∞不等式的解集为（，） …… 12分。