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高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲一. 本周教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系 ［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y ba b F c 22222100+=>>()()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。
解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。
说明：<1> 对上述方程（1）消参即<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
4. 补充5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离②求椭圆上动点P （x ，y ）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l '∥l 且l '与椭圆相切） ③关于直线的对称椭圆。
（2）相切 ①弦长公式：例1. 已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612122|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
分析：结合图形，用椭圆的第二定义可得|||||||||'|MA MF MA MP AA +=+≥2 这里|MP|、|AP|分别表示点A 到准线的距离和点M 到准线的距离。
解：设直线是椭圆的右准线，⊥，垂足为，则，l MP l P MF MP e MP e||||||==1例2. 椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当∠为钝角x y F F P F PF 221212941+= 时，点P 横坐标的取值范围是_______________。
§2.1直线和椭圆的位置关系
预习案
1直线y=mx+1与椭圆x 2+4y 2=1有且只有一个交点，则m 2=(A)21(B)32(C)43(D)5
4
题型一：直线与椭圆的位置关系：
例1：（1）直线y=x+m 和椭圆4x 2+y 2=1，当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围。
（2）若直线m x y +-=与曲线)0(15
202
2≥=+y y x 有一个公共点，求m 的取值范围变式：若直线1+=kx y 与焦点在x 轴上的椭圆152
2=+m
y x 总有公共点，求实数m 的范围.
题型二：弦长问题：
例2：（1）已知斜率为1的直线l 过椭圆14
22
=+y x 的右焦点交椭圆与A 、B 两点.，求弦AB 的长.2）过点P （0,2）的直线与椭圆12
22=+y x 相交于A 、B 两点，且弦长314=AB ，求直线方程.变式：12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角3π的直线与椭圆交于,P Q 两点，求PQ F 2∆的面积.。
直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。
1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。
2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。
3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。
题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。
解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。
另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。
因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。
解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。
因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。
另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。
直线和椭圆的位置关系一、要点精讲1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 判定方法——代数法。
将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：△＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； △＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； △＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．2．直线与椭圆相交所得的弦长公式：设直线b kx y +=交椭圆于()111,y x P ，()222,y x P， 则()()()()()2221221212212212212111k x x x x y y x x y y x x P P +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=-+-=所以221211k x x P P +-=，或()01122121≠+-=k ky y P P ． 4．研究直线与椭圆位置关系的通性通法解决直线与椭圆位置关系时，一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式，根与系数的关系，求根公式等来处理问题，还要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性帮助分析、解决间题． 三、基础自测1. 椭圆13422=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离是 A.21 B. 23 C. 1 D.32. 直线032:=++by x l 过椭圆1010:22=+y x C 的一个焦点，则b 的值为（ ） A. 1- B.21 C. 1-或1 D. 21-或21 3. 方程221y x -=表示的是椭圆的（A ）上半部分 （B ）下半部分 （C ）左半部分 （D ）右半部分4.（2012四川）椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
解: 当x m =过右焦点时FAB ∆的周长最大，1m ∴=；将1x =带入解得32y =±；132322FAB S ∆=⨯⨯=.5. 直线0=--m y x 与椭圆1922=+y x 只有一个公共点，则=m . 6. 已知椭圆12122=+y x 和椭圆外一点()2,0，过这点任意引直线与椭圆交于A,B 两点，求弦AB 的中点P 的轨迹方程．四、典例精析题型一：直线与椭圆的交点问题1. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=.⑴ 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； ⑵ 求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．2. 已知定点A(-2, -1)，B(1, 2)，线段AB 与椭圆222x y a +=有公共点，求a 的取值范围．题型二：求椭圆方程问题3.（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.4．（2011天津）已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的离心率e =得到的菱形的 面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -．若5AB =,求直线l 的倾斜角;5.（2012陕西）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。
《直线与椭圆的位置关系》的教学设计濮阳市第一高级中学任素巧【教学目标】（一）知识目标1、能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题2、学会判断直线与椭圆公共点的方法3、在计算直线与椭圆相交弦长或弦中点等有关问题时能够运用一元二次方程根与系数的关系简化运算（二）能力目标1、培养学生数形结合思想与逻辑推理能力，运算能力2、培养学生将直线与椭圆问题化归为方程问题来解决的能力（三）德育目标1、体会事物之间既有联系又有区别的辨证观点2、学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法【教学重点】直线与椭圆的位置关系、弦长问题、弦的中点问题【教学难点】学生解题综合能力的培养【教学过程】一、复习引入回忆初中学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？法一：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系判断，即当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交。
法二：判别式法，即将已知直线方程与圆方程联立，消去（x或y）得一元二次方程，再利用∆判断解的个数，即为直线与圆的交点个数。
若∆>0,方程有两个不同的解，即直线与圆有两个不同交点，故直线与圆相交；若∆=0,方程有两个相同的解，直线与圆有两个相同交点，故直线与圆相切；若∆<0,方程无解，直线与圆无交点，故直线与圆相离；小结：两种方法充分体现了数学中的等价转化思想和数形结合思想。
二、新课讲解提问：回顾了直线与圆的位置关系的判断方法以后，那么对于直线与椭圆的位置关系如何判断呢？直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢？刚才两种方法都可以吗？一、公共点问题问题1：判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k 0142>+k ，)516(162-=∆∴k（1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 小结：法1不能推广应用到直线与椭圆的位置关系中，因为椭圆不具备圆特有的性质，椭圆的中心到椭圆上各点的距离不都相等.变式一：直线01=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系呢？ 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416122y x kx y 可得0128)14(22=-++kx x k 0142>+k ，0)316(162>+=∆∴k∴直线01=+-y kx 与椭圆141622=+y x 总相交 为什么上述直线与椭圆总相交呢？与问题1的区别在哪里？你能来解释一下吗？ 因为该直线恒过点（0，1），该点在椭圆的内部，故由图形可知，该直线与椭圆总相交。
上例又提供给了我们一种判断直线与椭圆的位置关系的方法，即对于一些特殊的直线和椭圆，可以采用数形结合来判断其位置关系。
[评述] 直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系.由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，故将直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。
或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如变式2中法一是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点),(o o y x M 在椭圆内部或在椭圆上则12222≤+bya x o o二、弦长问题问题2：已知AB 是过椭圆14522=+y x 的左焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长. 分析：只需求出AB 的直线方程，与椭圆方程联立得一元二次方程，求出A ，B 的坐标，再利用两点间距离公式求出AB 的长.不需求出A ，B 的坐标，直接利用韦达定理求解即可.解法一：解：4,522==b a ，1222=-=b a c ，F ∴坐标为（-1,0）,又AB 倾斜角为3π，所以AB 方程为)1(30+=-x y ，即)1(3+=x y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=145)1(322y x x y 可得0530192=-+x x设A(x 1y 1),B(x 2,y 2)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+>-⨯⨯-=∆19519300)5(1943021212x x x x∴AB ==-+-221221)()(y y x x 221221)]1(3)1(3[)(+-++-x x x x=2212)]()3(1[x x -+=]4)[(221221x x x x -+=51932（特殊到一般归纳）：直线y=kx+m 与椭圆方程联立得一元二次方程ax 2+bx+c=0,则弦长公式为：ak x x k AB ∆+=-+=221211 提问：该题有没有其他解法？ 解法二：解：因为该弦过左焦点，所以可以用焦点弦公式来求弦长.BF AF AB +==)()(21ex a ex a +++=)(221x x e a ++=25+)1930(55-⨯=51932 [评述]1、直线y=kx+b 与曲线C 交于A ，B 两点，则2121x x k AB -+=ak ∆+=2121211y y k -+=特别地，过焦点的弦的弦长可利用焦半径公式简化运算. 2、用弦长公式212212111y y k x x kAB -+=-+=（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212111x x e a ex a ex a BF AF AB ++=+++=+=时，应结合韦达定理解决问题。
三、中点问题问题3：点M(3,2)是椭圆1163622=+y x 内一点，过此点的弦被这点平分，求此弦所在直线方程分析：要求直线方程，只需求出直线的斜率即可，若设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由已知条件：弦被该点平分，可得621=+x x ，故只需将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理即可求出斜率k 解法一解：设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意，直线斜率必存在，设为k ，则直线AB 方程为y-2=k(x-3),即y=kx-3k+2,由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+231163622k kx y y x ，得 010810881)23(18)94(2222=--++-++k k x k k x k0942>+k ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+>∆222194)23(180k k k x x ，又621=+x x ∴32-=k ，满足0>∆ ∴此弦所在直线方程为432+-=x y提问：要求直线的斜率，还有其他解法吗？（提示：621=+x x ，421=+y y ） 解法二设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),代入椭圆方程，得116362121=+y x ○1，116362222=+y x ○2，○2-○1，得0163621222122=-+-y y x x整理得3616))(())((21212121-=-+-+x x x x y y y y ，将621=+x x ，421=+y y 代入得，322121-=--x x y y∴此弦所在直线方程为432+-=x y ，将直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，经检验，得直线与椭圆有两个公共点. 三、巩固练习：1、已知椭圆141622=+y x ，求以点P （2，-1）为中点的弦所在直线的方程. 2、已知椭圆14522=+y x ，过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若9516=AB ，求直线l 的方程.四、课堂小结1、直线与椭圆的位置关系三类问题： （1）公共点问题：（数）：联立方程组→一元二次方程→⎩⎨⎧∆二次项系数（形）：直线是否过定点，结合图形考虑定点与椭圆的位置关系 （2）弦长问题：直线y=kx+b 与曲线C 交于A （x 1,y 1），B(x 2,y 2)两点，则2121x x k AB -+=ak ∆+=2121211y y k -+=特别地，过焦点的弦的弦长可利用焦半径公式简化运算.（3）弦的中点问题：1、联立方程组→一元二次方程→⎪⎩⎪⎨⎧∆韦达定理二次项系数2、 点差法（注意检验）2、三种问题的通法：都可以通过直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理来解决.3、要重视数形结合，以形助数来解题，根据问题特点去寻找解题途径，设计解题方法，在椭圆上设点，“设而不求”是简化运算过程的常用技能，要认真领会. 五、课后作业1、直线y=2x+m 与椭圆13422=+y x 有两个交点，求实数m 的取值范围. 2、已知斜率为1的直线过椭圆1422=+y x 的右焦点，且与椭圆交于A 、B 两点，求弦AB 的长.3、求经过椭圆x 2+4y 2=16内一点P(2,1)且被点P 平分的弦所在直线方程.附：板书设计。
