垂直平分线与角平分线典型题

中考：角平分线、垂直平分线经典试题知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

例题图1 F EC B A例题图2 G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

1线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：1.下列命题中正确的命题有（ ）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA22 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°， △ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

角平分线与线段垂直平分线的练习题11、在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm2、三角形中到三个顶点距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交3、如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。

4、如图，在△ABC 中，∠C ＝90o ，AM 是∠CAB 的平分线，CM ＝20cm ，那么M 到AB 的距离为 ．5、如图，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC 边的长.6、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ， 求证：BE ＝CF 。

第3题图D A B C F C DA B E 第6题图M C B AA B C D E 7、已知，如图BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于D.求证：PM ＝PN 。

☆8、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定9、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝BC,AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB 垂足为E ，求证△DBE 的周长等于AB ．C NP M DB A DC A E B第8题图。

沪教版八年级第一学期角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.3、考点深入练习例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。

求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。

BPABCD GHFEDCBA例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（8分）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE图1 图2例5:△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BCC B垂直平分线的性质与判定强化练习1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm2题2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥B ．ED AC ⊥C ．ACE BCE ∠=∠D ．AE CE =3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________．5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________．6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。

图1图2 D C E A B 0角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是cm ．例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC ,交AC 于D .(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由;(2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数. 3、考点深入练习例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。

求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。

例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ．（8分）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC ⊥BE例5:△DAC,△EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N. 求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3)△CMN 为等边三角形（4）MN ∥BC垂直平分线的性质与判定强化练习1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmDA CB N MA B C P AB C D GHF E D CB A E2题2如图，在Rt ABC△中，90ACB D E∠=，，分别为AC AB，的中点，连DE CE，．下列结论中不一定正确的是（）A．ED BC∥ B．ED AC⊥ C．ACE BCE∠=∠ D．AE CE=3、△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于（）A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________．5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________．6、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=cm；AB+BD+DC=cm；△ABC的周长是cm。

角平分线与垂直平分线期末专项训练题一、选择题（共23小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．若BC＝8，AB＝10，则点D到AB 的距离是（）A．3B．4C．5D．62．为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（）A．△ABC三条高线的交点处B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（）A．BF＝CF B．∠BAF＝∠CAFC．∠B+∠BAD＝90°D．S△ABC＝2S△ABF4．如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P，则射线OP就是∠AOB角平分线的依据是（）A．等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等D．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上5．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（）cm2．D．108 A．27B．54C．2726．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（）A．PE＝6B．PE＞6C．PE≤6D．PE≥67．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD ＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）A．16B．20C．40D．808．三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．三角形的三条角平分线的交点处B．三角形的三条中线的交点处C．三角形的三条高的交点处D．以上位置都不对9．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（）A．4B．5C．6D．710．如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C＝∠BADC．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF11．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（）A．4：3：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：512．如图：已知∠ABC＝∠ACB＝50°，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（）A．∠DCP＝65°B．∠BDC＝40°C．∠DBE＝85°D．∠E＝50°13．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm14．如图，在△ABC中，AB＝3BC，BD平分∠ABC交AC于点D，若△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，则关于S1与S2之间的数量关系，下列说法正确的是（）A．S1＝4S2B．S1＝3S2C．S1＝2S2D．S1＝S215．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处16．如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）A．48cm2B．54cm2C．60cm2D．66cm217．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为（）A ．8B ．7C ．10D ．918．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是20cm 2，AB ＝15cm ，AC ＝5cm ，则DF 的长为（ ）A ．10cmB ．5cmC ．4cmD ．2cm19．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列四个结论：①∠BOC ＝90°+12∠A ，②∠EBO =12∠AEF ，③∠DOC +∠OCB ＝90°，④设OD ＝m ，AE +AF ＝n ，则S △AEF =mn 2．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直BC 于点E ，AB ＝6，DE ＝3，则△ABD 的面积为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1021．如图，BD 为∠ABC 的角平分线，DE ⊥BC 于点E ，DE ＝6，∠A ＝30°，则AD 的长为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1622．如图，OP 平分∠AOB ，点E 为OA 上一点，OE ＝4，点P 到OB 的距离是2，则△POE 的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．723．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点P ，且与AB 垂直，若BP ＝5，CP ＝12，则AD 的长为（ ）A．12B．13C．6013D．12013二、填空题（共11小题）24．下列语句表示的图形是（只填序号）①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：．②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：．③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：．25．定义：利用的直尺和作图，简称为尺规作图．26．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，若△ABC的面积为28，AB＝8，BC＝6，则DE的长为．27．如图，已知△ABC的周长是13，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且△ABC的面积为13，则OD长为．28．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，且EF⊥BC，垂足为点F，DE＝4，则EF的值为．29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．以上说法正确的是．30．如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，只需添加，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，AC＝4，则△ADC的面积为．32．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点D作DE⊥BC 于点E．已知DE＝1，△ABC的周长为14，则△ABC的面积为．33．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA 的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为cm．34．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝．三、解答题（共13小题）35．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，求△ABD的面积．36．如图，△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OH⊥BC垂足为H．（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；（2）求证：∠BOD＝∠COH．37．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B，AE ＝3，AD＝5，求AB的长．38．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．（1）求△CBD与△ABD的面积之比；（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．39．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．①当t＝2秒时，OC∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA 的位置开始顺时针旋转β，且0＜β＜α＜180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．40．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，AE＝AF，那么AD是∠BAC的平分线吗？请补充完成下列说明过程并在括号内填注依据．解：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝90°，∠5＝90°（）．∴∠4＝∠5（等量代换）．∴AD∥EG（）．∴∠1＝∠E（），∠2＝（两直线平行，内错角相等）．又∵（已知），∴∠3＝∠E（）．∴∠1＝∠2（）．∴AD平分∠BAC（）．41．如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．（1）OD与OE是否相等．请说明理由；（2）若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积．42．已知：如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，求△ABD 的面积．43．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是，并证明；（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是，并证明；（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是．44．把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt △ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．45．阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填．想法一：如图④，由图②中的折叠可知，PE⊥AB，由图③中的折叠可知，PE⊥CD，则AB∥CD，依据是．想法二：如图④，由图②中的折叠可知，∠1＝90°，由图③中的折叠可知∠2＝90°，则∠1＝∠2，所以AB∥CD，依据是．解决问题：如图⑤，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．46．如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．47．如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝°．（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知S1S2=23，则BC的长为．（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．。

线段垂直平分线与角平分线练习题线段的垂直平分线和角的平分线是三角形中常见的概念。

下面是一些与此相关的选择题。

1.在三角形ABC中，AD平分∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD等于（）A。

50° B。

65° C。

80° D。

95°2.在三角形ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则S△A。

3:4 B。

4:3 C。

16:19 D。

不能确定3.在三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥XXX于E，则下列结论正确的有（）A。

2个 B。

3个 C。

4个 D。

1个4.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是（）A。

PD>PC B。

PD<PC C。

PD=PC D。

无法判断除了选择题，还有以下问题：5.在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是什么？6.已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状是什么？7.在三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，F在BC上，并且BF=AB，则下列四个结论正确的有（）A。

①②③④ B。

①③ C。

②④ D。

②③④8.在直角三角形ABC中，AC=4㎝，AB=7㎝，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，则EB的长度是多少？A。

3㎝ B。

4㎝ C。

5㎝ D。

不能确定9.XXX的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几个？A。

1 B。

2 C。

3 D。

410.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的什么？A。

三条中线的交点 B。

三条高的交点线段的垂直平分线和角的平分线是三角形中常见的概念。

以下是与此相关的选择题和问题。

1.在三角形ABC中，AD平分∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，求∠ACD的度数。

沪教版八年级第一学期角平分线角平分线性质定理：角平分线上点到这个角两边距离相等。

角平分线判定： 到一个叫两边距离相等点在这个角平分线上。

例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 距离是 cm ．例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 若∠BAC =30°, 则AD 及BD 之间有何数量关系，说明你理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 度数.3、考点深入练习例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。

求证：（1）AD=AG ，（2）AD 及AG 位置关系如何。

BPABCD GHFE DCBA例4：两个大小不同等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（8分）（1）请找出图2中全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识字母）；（2）证明：DC⊥BE图1 图2例5:△DAC,△EBC均是等边三角形，AE,BD分别及CD,CE交于点M,N.求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3)△CMN为等边三角形（4）MN∥BCC B垂直平分线性质及判定强化练习1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 周长等于18cm ，则AC 长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm2题2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠D ．AE CE =3、△ABC 中，∠C=90°，AB 中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ）A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定 4、线段垂直平分线上点_____________________________________． 5、到一条线段两个端点距离相等点，______________________．6、如图，在△ABC 中，AC 垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 周长是 cm 。

3.线段的垂直平分线4.角平分线例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝040，求∠NMB 的大小（2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。

例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。

求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。

AC DEBA B C NM AB C N M AB CN M例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。

⊥⊥DE AB FG ACAB E G C例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。

求证：BE垂直平分CD。

CEFA D B例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线M N∥BC，与F，求证：OE=OF例7、如图所示，AB>AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE AB⊥于，求证：BE=CF。

E，DF AC FAEB M CFD答案如下：例1：解：（1）∵∠B= 1/2（180°-∠A）=70°，∴∠M=20°；（2）同理得，∠M=35°；（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A的一半．证明：设∠A=α，则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．（4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．例2：解：连接BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FB＝FA又因为AC＝AF+CF ＝6，所以BF+CF＝6△BCF的周长＝BC+CF+BF＝4+6＝10例3：证明：因为AC=AD所以A在线段CD的垂直平分线上又因为BC=BD所以B在线段CD的垂直平分线上所以直线AB是线段CD的垂直平分线例4：解：作AH⊥BC于H，HC=15/2∵等腰∴∠ACB=∠ABC=30°∴AC=2EC/根号3EC=5根号3∵F为AC中点∴FC=5/2根号3∵FG⊥AC∴CG=5同理，BE=5∴EG=5例5：证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90∴∠BDE＝∠ACB＝90∵BD＝BC，BE＝BE∴△BCE≌△BDE （HL）∴∠CBE＝∠DBE∵BF＝BF∴△BCF≌△BDF （SAS）∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF∵∠BFC+∠BFD＝180∴∠BFC＝∠BFD＝90∴BE⊥CD∴BE垂直平分CD例6：解：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO．例7：证明：连接DC，DB∵点D在BC的垂直平分线上∴DB=DC∵D在∠BAC的平分线上∴DE=DF∵∠DFC=∠DEB∴△DCF≌△DEB∴CF=BE最新文件仅供参考已改成word文本。

0角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线的判定: 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

例1.如图,在ABC △中,90C ∠=，AD 平分CAB ∠,8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．例2．如图，已知在R ｔ△ABC 中,∠C ＝9０°, ＢD 平分∠AB Ｃ， 交ＡＣ于D .(1) 若∠ＢAC =3０°, 则AD 与ＢD 之间有何数量关系，说明你的理由; （2) 若AP 平分∠ＢAC ，交B Ｄ于P , 求∠BP Ａ的度数．3、考点深入练习例3:如图:在△ＡＢC 中,BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=ＡC,在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结A Ｄ、AG 。

求证:（1）ＡD=ＡＧ，（２）ＡD 与ＡＧ的位置关系如何。

例4:两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形,Ｂ，C,Ｅ在同一条直线上,连结DC.(8分)（１）请找出图２中的全等三角形,并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)证明:ＤC ⊥ＢＥBPABCD GHFE DCBA例５:△D ＡC, △EBC 均是等边三角形，A Ｅ,BD 分别与C Ｄ，C Ｅ交于点M,Ｎ. 求证:（1)A Ｅ=B Ｄ （２)CM=ＣN (3) △ＣMN 为等边三角形（４）M Ｎ∥BC垂直平分线的性质与判定强化练习1如图１,在△A ＢＣ中，BC=8cm ，ＡB 的垂直平分线交AB 于点D,交边AC 于点E,△BCE 的周长等于18cm,则ＡC 的长等于 ( ) A.6cm B.8cm Ｃ.１0cm D ．１2c ｍ２题2如图,在Rt ABC △中,90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是（ )A.ED BC ∥ B ．ED AC ⊥C ．ACE BCE ∠=∠D.AE CE =3、△A ＢC 中，∠C=90°,AB 的中垂线交直线ＢC 于D ，若∠ＢＡD-∠DA Ｃ=２２．5°,则∠B等于( )A.37.5°B.67.5°C.37.５°或６7.5° Ｄ.无法确定 4、线段的垂直平分线上的点_＿____________＿_＿___＿＿___＿_＿__＿___＿_＿． ５、到一条线段的两个端点的距离相等的点，_＿___＿____＿___＿_＿____＿.６、如图，在△A ＢC 中，AC 的垂直平分线交A Ｃ于E ，交BC 于D ，△ＡBD 的周长是12 cm,AC=５c ｍ,则AB+BD ＋ＡD= c ｍ;AB+BD+DC ＝ ｃm;△ABC 的周长是 ｃｍ。

线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案由于A、B都在CD的垂直平分线上，所以直线AB是CD的垂直平分线。

证毕。

例4：解：连接EF，由于AB=AC，所以∠BAC=60°，∴∠DEG=30°，∠GFC=60°，又因为DE⊥AB，FG⊥AC，所以DEGF是一个菱形，且DG=GF=7.5cm，所以EG=2DGsin30°=7.5cm。

例5：证明：因为BD=BC，所以∠XXX∠CBD，又因为BE⊥CD，CF⊥BD，所以∠BEC=∠BCF，所以BE平分∠XXX，CF平分∠CBD，又因为∠XXX∠CBD，所以BE和CF都平分∠BCD，即BE垂直平分CD。

证毕。

例6：证明：连接OF，OE，MN，∵MN∥BC，∴∠EOF=∠ACB，又∠XXX∠EOM+∠MOF，∠XXX∠EOM+∠EOF，∴∠MOF=∠ACB-∠EOF，又因为EF是AC的角平分线，∴∠XXX∠EAF，又因为EF是AC的外角平分线，∴∠XXX∠XXX，∴∠MOF=∠ACB-∠XXX，又因为OE⊥AC，OF⊥AC，所以OE=OF，证毕。

例7：证明：连接AD，因为AD是∠A的平分线，所以∠EAD=∠FAD，又因为BD=BC，所以∠XXX∠DCB，又因为AD⊥DE，所以∠EDB=90°-∠XXX，又因为DF⊥CF，所以∠XXX°-∠DCB，所以∠EDB=∠XXX，又因为∠EAD=∠FAD，所以三角形ADE与三角形ADF全等，所以DE=DF，又因为BE⊥DE，CF⊥DF，所以BE=DEsin∠EDB=DFsin∠FDC=CF，证毕。

例4：根据题意，作AH垂直BC于点H，可以得到HC 的长度为15/2.由于△ABC是等腰三角形，所以∠ACB=∠ABC=30°。

根据正弦定理，可以求得AC的长度为5√3.由于F是AC的中点，所以FC的长度为5/2√3.根据勾股定理，可以得到CG和BE的长度都为5.因此，EG的长度也为5.例5：由于DE垂直于AB，而∠ACB=90°，所以∠BDE=∠ACB=90°。

垂直平分线与角平分线综合 题集一、垂直平分线（1）（2）1.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．若，求的度数．若周长，，求长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵垂直平分，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．∵周长，，∴，即，∴．【标注】【知识点】作三角形的高，中线和角平分线（1）（2）2.的两边和的垂直平分线分别交于点、．若，求的周长．若，求．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵边、的垂直平分线分别交于、，∴，，∴的周长．∵的两边，的垂直平分线分别交于，，∴，，∴，．∵，①∴．∵，∴，即．②由①②组成的方程组．解得，故答案为：．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题3.在中，，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，∴，，∴，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．【标注】【知识点】等边三角形的构造4.已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵是的平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，，∵，，∴．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】角分线性质定理5.中，是线段的垂直平分线，垂足为点，是上一点，．求证：点在线段的垂直平分线上．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接，是线段的垂直平分线，，，，在的垂直平分线上．【标注】【知识点】线段的和差的证明【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】等边三角形的性质【思想】数形结合思想【能力】运算能力【能力】推理论证能力6.如图，四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵点是、的垂直平分线的交点，∴，，又∵，∴，∴点一定在的垂直平分线上．【标注】【知识点】作线段的垂直平分线（1）（2）7.如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点．判断与的数量关系，并说明理由．求证：过点、的直线垂直平分线段．【答案】（1）（2）相等，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，由（）可知，∴，∴，∵，∴点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段．【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力二、角平分线8.如图，平分，于，于，，．若，则．【答案】【解析】∵平分，，，∴，∵，，∴，即，解得．故答案为：．【标注】【知识点】角分线性质定理9.如图，在中，，平分，，，则点到的距离为．【答案】【解析】∵，，∴．∵平分，，∴点到的距离等于，即点到的距离等于．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.10.如图，的三边、、的长分别，，，是三条角平分线的交点，则（ ）．【答案】C 【解析】∵是三条角平分线的交点，∴点到各边的距离相等，即、、的高相等，∵、、的长分别，，，∴，故答案为．【标注】【知识点】与中线或等分线有关的等积变换A.B.C.D.11.如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．在、两边高线的交点处在、两边中线的交点处在、两内角平分线的交点处在、两边垂直平分线的交点处【答案】C 【解析】内角平分线上的点到，距离相等，内角平分线上的点到，距离相等，∴要到三条公路距离相等，应在，内角平分线交点处满足到，，距离相等．故选．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.12.如图，点是的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点到、的距离相等；③点到的三边的距离相等；④点在的平分线上．以上结论正确的个数是（）．【答案】C【解析】如图，过点作于，作于，作于，∵点是的两外角平分线的交点，，，∴点在的平分线上，故②③④正确，只有点是的中点时，，故①错误，综上所述，正确的是②③④．【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】角平分线判定定理三、角分线的角度模型（1）（2）（3）（4）13.完成下列各题：如图 ，、分别是中和的平分线，则与的关系是 (直接写出结论)．如图 ，、分别是两个外角和的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.如图 ，、分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.利用以上结论完成以下问题：如图，已知：，点 、 分别是射线、上的动点，的外角的平分线与角的平分线相交于点，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．图图图图【答案】（1）（2）（3）（4）. ..的大小没有变化，证明见解析.【解析】（1）理由如下：如图 ，∵ ,,分别是,的角平分线，∴ ,∴．（2）（3）（4）图如图 ，∵ 平分 ，∴ ，同理可证： ,∴ ,∵ ,∴,∴ .图∵ 平分 ， 平分 ，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∴．根据⑶可得： ，∵ ，∴ ，∴ 的大小不会变化始终为 ．【标注】【知识点】三角形-内角角分线；三角形-外角角分线；三角形-内外角角分线（1）（2）（3）14.回答下列问题．探索发现：如图，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图迁移拓展：如图，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图应用创新：已知，如图，、相交于点，、、的角平分线交于点，，，则 ．图【答案】（1），证明见解析．（2）（3），证明见解析．【解析】（1）（2）（3）∵点是内角和外角的角平分线的交点，∴，，∵是的外角，∴，∴∴∵是的外角，∴，∴．∵是的外角，∴，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴．∵、、的角平分线交于点，∴由（）的结论知，，，∴，故答案为：．【标注】【知识点】三角形-内外角角分线（1）15.阅读下面的材料，并解决问题：已知在中，．如图(1)，、的角平分线交于点，则可求得．如图(2)，、的三等分线交于点、，则 ．如图(3)，、的等分线交于点、、……，则．；(用含的代数式)（2）（3）图图图如图，，、的三等分线交于点、，若，，求的度数；（要求写出解答过程）如图，，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数为 （不要求写出解答过程）．【答案】（1）（2）（3）; ;．【解析】（1）（2）（3）是的外角，，、是的三等分线，，在中，，又是的平分线，，．只需抓住加．则等分，下面两个小角之和为，．【标注】【知识点】三角形-内角角分线。

1．已知：△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF．2．已知：CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．求证：OB＝OC.3．已知：如图8－9，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．4．已知：如图9－7，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．5．如图9－8，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．6．已知：如图9－9，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．7．已知：如图9－10，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF ＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．8. 如图，已知：AD平分BAC∠，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。

求证：CAF∠。

B∠=9.如图4，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。

①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②✂③,①③✂②，②③✂①。

（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题。

线段的垂直平分线与角平分线（1）之邯郸勺丸创作经典例题：例1 如图1,在△ABC 中,BC ＝8cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交边AC 于点E,△BCE 的周长等于18cm,则AC 的长等于（A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm 针对性练习：已知：1)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC于点E,如果△EBC 的周长是24cm,那么BC=2) 如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,如果BC=8cm,那么△EBC 的周长是3） 如图,AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,如果∠A=28 度,那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC,DB=DC,E 是AD 上一点,求证：BE=CE.针对性练习：已知：在△ABC 中,ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC,求证：点O 在BC的垂直平分线.例3. 在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°,△ABC 的底角∠B 的大小为_______________.针对性练习：1. 在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与AC 所在直 OB ACN B线相交所得的锐角为40°,则底角B的大小为________________.例4、如图8,已知AD是△ABC的BC边上的高,且∠C＝2∠B,求证：BD＝AC＋CD.课堂练习：1.如图,AC=AD,BC=BD,则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不合错误2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,如果AC=5 cm,BC=4cm,那么△DBC的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5.已知如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证：AO⊥BC.6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN辨别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.课后作业：1. 如图7,在△ABC中,AC＝23,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△AC E的周长为50,求BC边的长.2. 已知：如图所示,∠ACB,∠ADB都是直角,且AC=AD,P是AB上任意一点,求证：CP=DP.线段的垂直平分线与角平分线（2）经典例题：图7EDAC B例1已知：如图,点B 、C 在∠A 的两边上,且AB=AC,P 为∠A 内一点PE⊥AB,PF⊥AC,垂足辨别是E 、求证：PE=PF课堂笔记：针对性练习： 已知： PA 、PC 辨别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线,它们交于P,PD⊥BM 于D,PF⊥BN 于F,求证：BP 为∠MBN 的平分线.例2、如图10,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,E 为BC 中点,连接AE 、DE,DE 平分∠ADC,求证：AE 平分∠BAD.课堂笔记：针对性练习： 如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB 于E,DF⊥AC 于F,求证：DE=DF.例3、如图11-1,已知在四边形ABCD 中,对角线BD 平分∠ABC,且∠BA D 与∠BCD 互补,求证：AD ＝CD.课堂练习： 1. △ABC 中,AB=AC,AC 的中垂线交AB 于E,△EBC 的周长为20cm,AB=2BC,则腰长为________________.2. 如图所示,AB//CD,O 为∠A、∠C 的平分线的交点,OE⊥AC 于E,且OE=2,则AB 与CD 之间的距离等于______________.３已知：如图,∠B=∠C=900,DM 平分∠ADC, AM 平分∠DAB .求证：M B=MC图10E E B DA C F课后作业：1.如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.2. 如图所示,直线l l l，，暗示三条互相交叉的公路,现在要建一123个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处时间：二O二一年七月二十九日。

专题02垂直平分线与角平分线二种模型【类型一垂直平分线综合】例1．（2022·山西·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．(1)求∠DAF的度数．(2)若BC的长为50，求△DAF的周长．【答案】(1)∠DAF＝10°(2)△DAF的周长＝50【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，FA=FC，得到∠DAB=∠ABC=20°，∠FAC=∠ACB=65°，结合图形计算，得到答案；（2）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．(1)∵∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝95°．∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°，∴∠DAF＝∠BAC－∠DAB－∠FAC＝10°．(2)由（1）可知DA=DB，FA=FC，∴△DAF的周长＝DA＋DF＋FA＝DB＋DF＋FC＝BC＝50．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式训练1】（2022·湖南怀化·八年级期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m 分别交边AB，BC于点D和点E．(1)若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？(2)若∠ACB ＝125°，求∠DCE 的度数．【答案】(1)△CDE 的周长为10，理由见解析；(2)70°【解析】【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE 的周长=CD +DE +CE =AD +DE +BE =AB ；（2）依据AD =CD ，BE =CE ，即可得到∠A =∠ACD ，∠B =∠BCE ，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A +∠B =55°，进而得到∠ACD +∠BCE =55°，再根据∠DCE =∠ACB -（∠ACD +∠BCE ）进行计算即可．(1)解：△CDE 的周长为10．∵直线l 与m 分别是△ABC 边AC 和BC 的垂直平分线，∴AD ＝CD ，BE ＝CE ，∴△CDE 的周长＝CD +DE +CE ＝AD +DE +BE ＝AB ＝10；(2)解：∵直线l 与m 分别是△ABC 边AC 和BC 的垂直平分线，∴AD ＝CD ，BE ＝CE ，∴∠A ＝∠ACD ，∠B ＝∠BCE ，又∵∠ACB ＝125°，∴∠A +∠B ＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD +∠BCE ＝55°，∴∠DCE ＝∠ACB ﹣（∠ACD +∠BCE ）＝125°﹣55°＝70°．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式训练2】（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，EF 垂直平分AC ，交AC 于点E ，交AB 于点F ，M 是直线EF 上的动点．(1)当MD BC ⊥时．①若1ME =，则点M 到AB 的距离为________②若30CMD ∠=︒，3CD =，求BCM 的周长；(2)若8BC =，且ABC 的面积为40，则CDM V 的周长的最小值为________．【答案】(1)①1；②18(2)14【解析】【分析】（1）①如图1，作MN AB ⊥于N ，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可得ABM ACM ∠=∠，证明()NBM ECM AAS ≌，进而可知NM ME =；②根据垂直平分线的性质，30CMD ∠=︒，可得260BMC CMD ∠=∠=︒，有BCM 是等边三角形，进而求解周长即可；（2）如图2，连接AD ，由1402ABC S BC AD =⨯=，8BC =，可得AD 的值，根据C 关于直线EF 的对称点为A 与两点之间线段最短，可知AD 与直线EF 的交点即为M ，有CDM V 的周长的最小值为CD CM DM CD AD ++=+，计算求解即可．(1)①解：如图1，作MN AB ⊥于N∵MD BC ⊥，D 是BC 的中点∴MD 是BC 的垂直平分线∴BM CM =，MBD MCD∠=∠∵AB AC=∴A ABC CB=∠∠∵ABM ABC MBD ∠=∠-∠，ACM ACB MCD∠=∠-∠∴ABM ACM∠=∠在NBM 和ECM 中∵90NBM ECM BNM CEM BM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()NBM ECM AAS ≌∴1NM ME ==故答案为：1．②解：∵D 是BC 的中点，MD BC ⊥，∴MD 是BC 的垂直平分线，26BC CD ==∴BM CM =，30BMD CMD ∠=∠=︒∴260BMC CMD ∠=∠=︒，∴BCM 是等边三角形，∴6BM MC BC ===∴BCM 的周长为18BC BM MC ++=故答案为：18．(2)解：如图2，连接AD∵1402ABC S BC AD =⨯=，8BC =解得10AD =∵EF 垂直平分AC∴C 关于直线EF 的对称点为A∴由两点之间线段最短可知AD 与直线EF 的交点即为M∴CDM V 的周长的最小值为14CD CM DM CD AD ++=+=∴CDM V 的周长的最小值为14．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．【类型二角平分线综合】例2．（2022·天津市第七中学八年级期末）如图，AD 为ABC ∆的角平分线．（1）如图1，若CE AD ⊥于点F ，交AB 于点E ，7AB =，5AC =．则BE =________；（2）如图2，若7AB =，5AC =，ACD ∆的面积是10，求ABC ∆的面积；（3）如图3，若2C B ∠=∠，AB m =，AC n =，请直接写出BD 的长（用含m ，n 的式子表示）【答案】（1）2；（2）24；（3）2m m n-【解析】【分析】（1）利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得AE ＝AC ＝5，得出答案；（2）作DE ⊥AB 交于点E ，DF ⊥AC 交于点F ，根据角平分线的性质得出DE =DF ，根据ACD ∆的面积求出DF ，再求△ABD 的面积，最后求出ABC ∆的面积；（3）在AB 上取AN ＝AC ，可得CD ＝DN ＝m ﹣n ，根据△ABD 和△ACD 的高相等，面积比等于底之比可求出BD 的长．【详解】解：（1）∵AD 是△ABC 的平分线，∵CE ⊥AD ，∴∠CFA ＝∠EFA ，在△AEF 和△ACF 中，,EAF CAF AF AF AFE AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEF ≌△ACF （ASA ），∴AE ＝AC ＝5，∴BE ＝AB ﹣AC ＝7﹣5＝2，故答案为：2；（2）如图，作DE ⊥AB 交于点E ，DF ⊥AC 交于点F∵ACD ∆的面积是10，AC =5，∴DF =2×10÷5=4，∵AD 为ABC ∆的角平分线，∴DE =DF =4，∴12ABD S AB DE =△=174142⨯⨯=,∴101424ABC ADC ABD S S S =+=+=△△△．（3）如图，在AB 上取AN ＝AC，∵AD 是△ABC 的平分线，∴∠NAD ＝CAD ，在△ADN 与△ADC 中，AN AC NAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADN ≌△ADC （SAS ），∴∠AND ＝∠C ，DN ＝CD ，∵∠C ＝2∠B ，∴∠AND ＝2∠B ，∴∠B ＝∠BDN ，∴BN ＝DN ＝AB ﹣AC ＝m ﹣n ，根据△ABD 和△ACD 的高相等，面积比等于底之比可得：BD AB CD AC =，∴BD m m n n=-，∴BD ＝2m m n-，故答案为：2m m n-．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．【变式训练】（2022·广东广州·八年级期末）如图①，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，∠A ＝α．(1)如图①，若∠A ＝50°，求∠BOC 的度数．(2)如图②，连接OA ，求证：OA 平分∠BAC ．(3)如图③，若射线BO 与∠ACB 的外角平分线交于点P ，求证OC ⊥PC ．【答案】(1)115°(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC 与∠ACB 的和，再根据角平分的定义求出∠OBC 与∠OCB 的和即可解答；（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F ，证出OE =OF 即可解答；（3）根据角平分的定义求出∠OCP =90°即可解答．(1)解：（1）∵∠A =50°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A =130°，∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∴∠OBC +∠OCB =12∠ABC +12∠ACB =65°，∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ）=115°；(2)证明：过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F ，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD=OE，OD=OF，∴OE=OF，∴OA平分∠BAC；(3)证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACP=12∠ACD，∴∠OCP=∠ACO+∠ACP=1 2∠ACB+12∠ACD=12∠BCD=12×180°=90°，∴OC⊥CP．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．【专项训练】一、解答题1．（2021·云南·弥勒市长君实验中学八年级期中）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，(1)AB，AC，CE有什么关系？请你说明理由(2)①求证：AB+BD=DE；②若AB=5，AD=4，求△ACE的面积．【答案】(1)AB=AC=CE，理由见解析；(2)①见解析；②10【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质解答即可；（2）①根据（1）中结论和DC+CE=DE证明即可；②根据CE=AB=5和三角形的面积公式求解即可．(1)解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE，∴AB=AC=CE；(2)解：①AB+BD=DE．理由为：∵AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE；②∵CE=AB=5，AD=4，∴△ACE的面积为12CE AD=12×5×4=10．【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、线段的和与差、三角形的面积公式，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解答的关键．2．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边的中点，AE平分∠BAD，交BC于点E，点F在△ABC外部，且FA⊥AE于点A，FC⊥BC于点C．(1)求证：BE＝CF；(2)过点E作EM⊥BC，交AB于点M，连结MC，交AD于点N，求证：①△ACM≌△ECM；②BM＝2DN．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）根据∠BAC＝90°，FA⊥AE，可得∠BAE=∠CAE，再由AB=AC，可得∠B=∠ACB=45°，再根据FC⊥BC，可得∠ACF=∠B=45°，可证得△ABE≌△ACF，即可求证；（2）①根据等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=45°，∠ACB=45°，再根据AE平分∠BAD，可得∠CAE=∠DAE+∠CAD=67.5°，从而得到∠AEC=67.5°，进而得到AC=EC，再利用HL即可求证；②过点E作PE⊥BM 于点P，设CM交AE于点Q，先证明△ADE≌△CDN，可得DE=DN，再根据角平分线的性质定理可得PE=DN，再根据等腰直角三角形的性质可得PE为BM边的中线，从而得到BM=2PE，即可求证．(1)证明：∵∠BAC＝90°，FA⊥AE，∴∠EAF=∠BAC＝90°，∴∠EAF-∠CAE=∠BAC-∠CAE，即∠BAE=∠CAE，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=∠B=45°，在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠CAE，AB=AC，∠B=∠ACF，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF；(2)证明：①∵AB=AC，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ACB=45°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=22.5°，∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=67.5°，∴∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=67.5°，∴∠AEC=∠CAE，∴AC=EC，∵ME⊥BC，∴∠CEM=∠CAM=90°，在Rt△ACM和Rt△ECM中，∵CM=CM，AC=EC，∴△ACM≌△ECM；②如图，过点E作PE⊥BM于点P，设CM交AE于点Q，∵AB=AC，点D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴AD=CD，∵△ACM≌△ECM，∴∠ACQ=∠ECQ，AC=EC，∴CQ⊥AE，∴∠EQC=90°，∴∠NCD+∠AED=90°，∴∠DAE=∠NCD，在△ADE和△CDN中，∵∠DAE=∠NCD，AD=CD，∠ADE=∠NDC=90°，∴△ADE≌△CDN，∴DE=DN，∵AE平分∠BAD，∴EP=ED，∴PE=DN，∵ME⊥BC，∴∠BEM=90°，∵∠B=45°，∴∠BME=∠B=45°，∵PE⊥BM，∴∠BEP=∠B=45°，∠PEM=∠BME=45°，∴PE=BP=PM，∴BM=2PE，∴BM=2DN．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质是解题的关键．3．（2021·福建·厦门市第九中学八年级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．（1）求证：BE＝FD．（2）若AF＝4，AB＝6，求DF．【答案】（1）答案见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据HL证明Rt△BCE与Rt△FCD全等，再利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据AAS证明△ADC≌△AEC全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴CE＝CD，在Rt△BCE和Rt△FCD中，CE CDCB CF=⎧⎨=⎩，∴Rt△BCE≌Rt△FCD（HL），∴BE＝FD；（2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴∠BAC=∠CAD，∠CDA=∠CEA=90°，在△ADC和△AEC中，BAC CADCDA CEAAC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△AEC，∴AD=AE∵AF＝4，AB＝6，BE＝FD，∴AF+DF=AB-BE，∴4+DF=6-DF，∴2DF=2，∴DF=1．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等判定与性质，做题的关键是掌握三角形全等判定与性质．4．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3DE=【解析】【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论；（2）根据DE＝DF，得111++()15222ABD ACDS S AB ED AC DF DE AB AC==+=，代入计算即可．【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，在Rt△AED与Rt△AFD中，AD ADDE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE＝DF，∴111++()15222ABD ACDS S AB ED AC DF DE AB AC==+=，∵AB+AC＝10，∴DE ＝3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，D 是BC 的垂直平分线DH 上一点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，且BF =CE ．（1）若∠BAC =80°，则∠EDF =________．（2）求证：AD 平分∠BAC ；（3）在（1）的条件下，求∠BCD 的度数．【答案】（1）100°；（2）证明见解析；（3）40°．【解析】【分析】（1）直接根据四边形内角和为360度求解即可；（2）连接BD ，由线段垂直平分线的性质得到BD =CD ，证Rt BDF Rt CDE ≅△△，得到DE =DF ，再由DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC ，即可得到AD 平分∠BAC ；（3）由Rt BDF Rt CDE ≅△△，得到∠CDE =∠BDF ，则∠BDC =∠EDF ，从而得到∠BDC =100°，再由BD =CD ，得到1(180)402DC D B B C =︒-=︒∠∠．【详解】（1）解：∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠AFD =∠AED =90°，∵∠AFD +∠AED +∠BAC +∠EDF =360°，∴∠EDF =360°-（∠AFD +∠AED +∠BAC ）＝100°，故答案为：100°；（2）证明：如图，连接BD ，∵DH 垂直平分BC ，∴BD =CD ，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，BD CD BF CE =⎧⎨=⎩，∴()Rt BDF Rt CDE HL ≅△△，∴DE =DF ，∵DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC ；（3）∵Rt BDF Rt CDE ≅△△，∴∠CDE =∠BDF ，∴∠CDE +∠CDF =∠BDF +∠CDF ，即∠BDC =∠EDF ，∴∠BDC =100°，∵BD =CD ，∴1(180100)402DCB =︒-︒=∠︒．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．6．（2021·陕西西安·八年级阶段练习）如图，已知CD 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，C 点在D 点上方，∠BAC ＝30°，P 是直线CD 上一动点，E 是射线AC 上除A 点外的一点，PB ＝PE ，连接BE ．(1)如图1，若点P 与点C 重合，求∠ABE 的度数；(2)如图2，若P 在C 点上方，试猜想线段PD ，AC ，CE 的数量关系并说明理由；(3)若AC ＝6，CE ＝2，则PD 的值为．（直接写出结果）【答案】(1)90°(2)PD 12+AC ＝CE ，理由见解析(3)1或5【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：△BPE为等边三角形，则∠CBE＝60°，故∠ABE＝90°；（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，构造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形（Rt△PGB≌Rt△PHE），根据含30度的直角三角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；（3）分两种情形，分别求解即可．(1)解：如图1，∵点P与点C重合，CD是线段AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∴∠BPE＝∠PAB+∠PBA＝60°，∵PB＝PE，∴△BPE为等边三角形，∴∠CBE＝60°，∴∠ABE＝90°；(2)解：结论：PD 12 AC＝CE．理由：如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，∵CD垂直平分AB，∴CA＝CB．∵∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠BCD＝60°．∴∠GCP＝∠HCP＝∠BCE＝∠ACD＝∠BCD＝60°．∴PG＝PH，CG＝CH12=CP，CD12=AC．在Rt△PGB和Rt△PHE中，PG PHPB PE=⎧⎨=⎩，∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．∴BG＝EH，即CB+CG＝CE﹣CH．∴CB 12+CP＝CE12-CP，即CB+CP＝CE．又∵CB＝AC，∴CP＝PD﹣CD＝PD 12-AC．∴PD 12+AC＝CE；(3)解：如图3，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC于G，此时Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．∴BG＝EH，即CB﹣CG＝CE+CH．∴CB 12-CP＝CE12+CP，即CP＝CB﹣CE＝6﹣2＝4．又∵CB＝AC，∴PD＝CP﹣CD＝4﹣3＝1．如图4，同理，PC＝EC+BC＝8，PD＝PC﹣CD＝8﹣3＝5．故答案是：1或5．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质是解题的关键．7．（2022·四川成都·八年级期末）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB，连接CE．(1)若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；(2)若∠AED＝α，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；(3)如图2，延长EC到点H，连接BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究BE与FH的关系．【答案】(1)45(2)∠AEC-∠AED=45°，证明见解析(3)BE⊥FH，BE=2FH．【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE=140°，可得∠CAE=50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE=180°-2α，可得∠CAE=90°-2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠ACE=45°+α，可得结论；（3）由条件得出∠BHC=90°，进而得出BH=EH，再结合AB=AE，得出AH垂直平分BE，进一步得出结论．(1)解：∵AB=AC，AE=AB，∴AB=AC=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠ACE=∠AEC，∵∠AED=20°，∴∠ABE=∠AED=20°，∴∠BAE=140°，且∠BAC=90°，∴∠CAE=50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，∴∠AEC=∠ACE=65°，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=45°，故答案为：45；(2)猜想：∠AEC-∠AED=45°，理由如下：∵∠AED=∠ABE=α，∴∠BAE=180°-2α，∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，∴∠AEC=45°+α，∴∠AEC-∠AED=45°；(3)解：BE⊥FH，BE=2FH．理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴BC2=AB2+AC2=2AB2，∵AE=AB，BH2+CH2=2AE2，∴BH2+CH2=2AB2=BC2，∴∠BHC=90°，由（2）得：∠DEC=45°，∴∠HBE=45°，∴BH=EH，∵AB=AE，∴AH垂直平分BE，∴BE⊥FH，BE=2FH．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线判定等知识，解决问题的关键熟练掌握等腰三角形和勾股定理逆定理等相关知识．8．（2021·江苏·宜兴市和桥镇第二中学八年级阶段练习）在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若△AMN是等边三角形，则∠BAC＝°；（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2＋CN2＝MN2（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝4，CB＝9，求AH的长．【答案】（1）120；（2）证明见详解；（3）AH=5 2．【解析】【分析】（1）先求出∠AMN=60°，再利用垂直平分线求出∠B=30°，同理求出∠C=30°，最后利用三角形内角和定理即可得出结论；（2）先判断出∠B+∠C=45°，进而求出∠MAN=90°，即可得出结论；（3）先判断出Rt△APH≌Rt△CPE，进而判断出Rt△BPH≌Rt△BPE，即可得出结论．【详解】解：（1）如图①，设AB、AC边的垂直平分线分别交AB、AC于G，H，∵△AMN是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵MG是AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴∠B=∠BAM=30°，∵NH是AC的垂直平分线，∴AN=CN，∴∠C=∠CAN=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，故答案为120；（2）如图①，连接AM、AN，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=45°，又∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM=BM，∴∠BAM=∠B，又∵点N在AC的垂直平分线上，∴AN=CN，∴∠NAC=∠C，∴∠BAM+∠CAN=45°，∴∠MAN=90°，∴AM2+AN2=MN2；∴BM2+CN2=MN2；（3）如图②，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH=PE，∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP=CP，在Rt△APH和Rt△CPE中，AP CPPH PE=⎧⎨=⎩，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL）∴AH=CE，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴∠HBP=∠CBP，∠BHP=∠BEP=90°，在△BPH和△BPE中，HBP EBPBHP BEPBP BP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPH≌△BPE（AAS），∴BH=BE，∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH，∴AH=（BC-AB）÷2=945 22 -=．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线定理，角平分线，正确作出辅助线是解本题的关键．9．（2022·江苏淮安·八年级期末）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的长度有关问题，这种方法称为面积法．在ABC ∆中，D 是BC 边上的点（不与点B 、C 重合），连接AD ．(1)如图①，当点D 是BC 边上的中点时，:ABD ACD S S ∆∆=；(2)如图②，当AD 是BAC ∠的平分线时，若AB m =，AC n =，:ABD ACD S S ∆∆（用含m ，n 的代数式表示）＝；(3)如图③，在ABC ∆中，∠BAC ＝90°AD 平分BAC ∠，AB ＝8，AC ＝6，求BD 的长度．【答案】(1)1:1(2)m :n(3)407【解析】【分析】（1）过A 作AE ⊥BC 于E ，根据三角形面积公式求出即可；（2）过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，根据角平分线性质求出DE ＝DF ，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据已知和（2）的结论求出43BD CD =，再利用勾股定理求出BC ，即可求出答案．(1)如图1中，过A 作AE ⊥BC 于E ，∵点D 是BC 边上的中点，∴BD ＝DC ，∴S △ABD ：S △ACD ＝（12×BD ×AE ）：（12×CD ×AE ）＝1：1，故答案为：1：1；(2)如图2中，过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴DE ＝DF ，∵AB ＝m ，AC ＝n ，∴S 1×AB ×DE ）：（1×AC ×DF ）＝m ：n ；(3)由（2）知S△ABD：S△ACD＝（12×BD×AE）：（12×CD×AE）＝43AB AC=，∴43 BDCD=，∴34CD BD=，∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴10 BC==，∴3104BD CD BD BD+=+=，∴407 BD=．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．10．（2021·江苏·无锡市港下中学八年级阶段练习）已知：如图1，一次函数y＝mx＋5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝－23x的图像交于点C，点C的横坐标为－3．（1）求点B的坐标；（2）若点Q为直线OC S△QAC＝2S△AOC，求点Q的坐标；（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD＝∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规．．．．．作图找到点P的位置；(保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．)②求点P的坐标．【答案】（1）B（0，5）；（2）点Q的坐标为（-9，6）或（3，-2）；（3）①见解析；②点P的坐标为（-5-，0）或（-5+，0）．【解析】【分析】（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，则易求点B的坐标；（2）由S离相等；（3）①如图2，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，该弧与x 轴的交点即为P ；②先求出AC ，再判断出AP =AC ，即可求出点P 的坐标．【详解】解：（1）把x =-3代入y =-23x 得到：y =2．则C （-3，2）．将其代入y =mx +5m ，得2=-3m +5m ，解得m =1．则该直线的解析式为：y =x +5．令x =0，则y =5，即B （0，5）；（2）由（1）知，C （-3，2）．如图1，设Q （a ，-23a ）．∵S△QAC =2S △AOC ，∴S △QAO =3S △AOC ，或S △Q ′AO =S △AOC ，①当Q 在第二象限即S △QAO =3S △AOC 时，12OA •yQ =3×12OA •yC ，∴yQ =3yC ，即-23a =3×2=6，解得a =-9，∴Q （-9，6）；②当Q 在第四象限S△Q ′AO =S △AOC 时，12OA •yQ =12OA •yC ，∴yQ =2yC ，即23a =2，解得a =3（舍去负值），∴Q ′（3，-2）；综上，点Q的坐标为（-9，6）或（3，-2）；（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．∵C（-3，2），A（-5，0），∴AC=，∵P2H=P2G，P2H⊥CD，P2G⊥OC，∴CP2是∠OCD的平分线，∴∠OCP2=∠DCP2，∴∠AP2C=∠AOC+∠OCP2，∵∠ACP2=∠ACD+∠DCP2，∴∠ACP2=∠AP2C，∴AP2=AC，∵A（-5，0），∴P2（-5+0）．同理：P1（-5-0）．综上，点P的坐标为（-5-，0）或（-5+0）．【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强．11．（2022·重庆开州·八年级期末）已知，在Rt ABC △中，90,30ACB A ∠=︒∠=︒．(1)如图1，取AB 的中点D ，连接CD ，在CA 上截取CE CB =，连接DE ，求ADE ∠的度数；(2)如图2，分别以,AB AC 为边向外作等边ABG 和等边ACH ，连接GH 交AB 于点K ，求证：2BC AK =；(3)如图3，QD 垂直平分AB 交AC 于点Q ，点P 在线段AC 上运动（不与点,Q C 重合），以BP 为一边，在BP 下方作60,BPS PS ∠=︒交QD 的延长线于点S ，请直接写出,AQ PQ 与QS 之间的数量关系．【答案】(1)45°(2)见解析(3)当点P 在CQ 上运动时，AQ QS PQ =+；当点P 在AQ 上运动时，AQ QS PQ=-【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得1,602BC AB ABC =∠=︒，再由D 为AB 的中点，可得到DBC △是等边三角形，从而得到60,BDC BCD CB CD ∠=∠=︒=，再由CE CB =，可得75CED CDE ∠=∠=︒，即可求解；（2）过点G 作GF AB ⊥于点F ，先证明Rt GAF Rt ABC ≌，可得GF AC =，再证得HKA GKF ≌，可得AK FK =，即可求证；（3）分两种情况讨论：当点P 在AQ 上运动时，当点P 在CQ 上运动时，即可求解．(1)解：在Rt ABC △中，90,30ACB A ∠=︒∠=︒，1,602BC AB ABC ∴=∠=︒，又D Q 为AB 的中点，12BD AB ∴=，BC BD ∴=，DBC ∴△是等边三角形，6,0BDC BCD CB CD ∴∠=∠=︒=，906030DCE ACB BCD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，又CE CB =，75CED CDE ∴∠=∠=︒，180180756045ADE CDE BDC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；(2)证明：过点G 作GF AB ⊥于点F ，ACH △是等边三角形，60HAC ∴∠=︒，又30BAC ∠=︒，603090HAB HAC BAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，又GF AB ⊥，90GFA ∴∠=︒，HAB GFA ∴∠=∠，又ABG △是等边三角形，12,AB AG AF AB ∴==，又12BC AB =，AF BC ∴=，()Rt GAF Rt ABC HL ∴≌，GF AC ∴=，又ACH △是等边三角形，HA AC ∴=，HA GF ∴=，又HKA GKF ∠=∠，()HKA GKF AAS ∴≌，AK FK ∴=，2AF AK ∴=，(3)解：当点P 在AQ 上运动时，AQ QS PQ =-；当点P 在CQ 上运动时，AQ QS PQ =+，理由如下：当点P 在AQ 上运动时，如图，连接BQ ，在QS 上截取QJ ，使得QP =QJ ，设PB 交QS 于点K ，∵DQ 垂直平分线段AB ，∴QA =QB ，QD ⊥AB ，AD =DB ，∴∠QAD =∠QBA =30°，∴∠AQD =∠BQD =60°，∵QP =QJ ，∴△PQJ 是等边三角形，∴PJ =PQ ，∠PJQ =60°，∴∠PJS =∠PQB =120°，∵∠BPS =60°，∴∠BPS =∠BQK ，∠PKS =∠QKB ，∴∠S =∠PBQ ，∴△PJS ≌△PQB （AAS ），∴SJ =QB =QA ，∴QS =QJ +JS =PQ +QA ；如图，当点P 在CQ 上时，连接BQ ，在BQ 上截取PQ =PJ ，设PS 交BQ 于点E ，∵DQ 垂直平分线段AB ，∴QA =QB ，QD ⊥AB ，AD =DB ，∴∠QAD =∠QBA =30°，∴∠AQD =∠BQD =60°，∴∠PQJ =60°，∵PQ =PJ ，∴△PQJ 是等边三角形，∴∠QPJ =60°，PQ =QJ ，∵60BPS ∠=︒，∴∠QPJ =∠BPS =∠BQD =60°，∴∠QPJ -∠SPJ =∠BPS -∠SPJ ，即∠QPS =∠BPJ ，∵∠QES =∠PEB ，∴∠S =∠PBJ ，∵PQ =PJ ，∴△PQS ≌△PJB ，∴QS =BJ ，∴AQ BQ QJ BJ QS PQ ==+=+．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．12．（2022·河南新乡·九年级期末）已知：如图，OC 是AOB ∠的平行线，点P 是OC 上的任意一点．PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为点D 和点E ．求证：PD PE =．分析图中有两个直角三角形PDO 和PEO ，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD PE =．(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．(2)【类比探究】（Ⅰ）如图②，OC 是AOB ∠的平分线，P 是OC 上任意一点，点M 、N 分别在OB 、OA 上，连接PM 和PN ，若180PMO PNO =∠∠+︒，求证：PM PN =；（Ⅱ）如图③，ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，若60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，DC =直接写出ABD △的面积．【答案】(1)见解析(2)（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1【解析】【分析】（1）利用AAS定理证明△OPE≌△OPD，根据全等三角形的性质证明结论；（2）（Ⅰ）过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，根据角平分线的性质得到PE＝PF，证明△PME≌△PNF，根据全等三角形的性质证明结论；（Ⅱ）过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据等腰直角三角形的性质求出DH，进而求出BD，根据三角形内角和定理、三角形的外角性质得到∠BDA＝∠A，根据等腰三角形的性质求出BA，根据角平分线的性质求出DG，根据三角形的面积公式计算，得到答案．(1)证明：在△OPE和△OPD中，POE PODOPE OPDOP OP∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OPE≌△OPD（AAS），∴PD＝PE；(2)（Ⅰ）证明：如图②，过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∵OC是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PF⊥OA，∴PE＝PF，∵∠PMO＋∠PME＝180°，∠PMO＋∠PNO＝180°，∴∠PME＝∠PNO，在△PME和△PNF中，PME PNFPEM PFNPE PF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△PME≌△PNF（AAS），∴PM＝PN；（Ⅱ）解：如图③，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，在Rt△DHC中，∠C＝45°，DC，∴DH＝DC＝1，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BD＝2HD＝2，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠A＝180°−60°−45°＝75°，由三角形的外角性质可知，∠BDA＝∠DBC＋∠C＝75°，∴∠BDA＝∠A，∴BA＝BD＝2，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DH⊥BC，∴DG＝DH＝1，∴△ABD的面积＝12×AB×DG＝12×2×1＝1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。