[课堂练通考点]1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n解析：选A 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .2．(2014·济南模拟)数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A 记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.答案：nn ＋15．(2014·惠州调研)已知向量p ＝(a n,2n )，向量q ＝(2n ＋1，－a n ＋1)，n ∈N *，向量p 与q垂直，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵向量p 与q 垂直，∴2n ＋1a n －2n a n ＋1＝0，即2n a n ＋1＝2n ＋1a n ，∴a n ＋1a n＝2，∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝log 2a n ＋1＝n －1＋1＝n ， ∴a n ·b n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，① ∴2S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，②①－②得，－S n ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝1＋(n －1)2n .[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1，故选C.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100解析：选A 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 3．(2013·北京东城一模)已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 200解析：选B f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数)＝(－1)n ·n 2， 由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18(n >3) D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n (n >3)解析：选C ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列， 且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n >3).5．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝(－1)n ＋12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.解析：由题意知，a 1＝－12，a 2＝1，a 3＝－32，a 4＝2，a 5＝－52，a 6＝3，…，所以数列{a n }的奇数项构成了首项为－12，公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，通过分组求和可得S 2 013＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12×1 007＋1 007×1 0062×(－1)＋⎝⎛⎭⎫1×1 006＋1 006×1 0052×1＝－1 0072. 答案：－1 00726.(创新题)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－27．(2013·江西高考)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，得b n ＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 8．(2014·襄阳调研)已知数列{a n }，如果数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n ＋a n －1，n ≥2，n ∈N *，则称数列{b n }是数列{a n }的“生成数列”．(1)若数列{a n }的通项为a n ＝n ，写出数列{a n }的“生成数列”{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }的通项为c n ＝2n ＋b (其中b 是常数)，试问数列{c n }的“生成数列”{q n }是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{d n }的通项为d n ＝2n ＋n ，求数列{d n }的“生成数列”{p n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，b n ＝a n ＋a n －1＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝a 1＝1适合上式， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)q n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ，n ＝1，4n ＋2b －2，n ≥2，当b ＝0时，q n ＝4n －2，由于q n ＋1－q n ＝4， 所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }是等差数列． 当b ≠0时，由于q 1＝c 1＝2＋b ，q 2＝6＋2b ，q 3＝10＋2b ， 此时q 2－q 1≠q 3－q 2，所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }不是等差数列．(3)p n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3·2n －1＋2n －1，n ≥2，当n >1时，T n ＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n －1＋2n －1)，∴T n ＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(3＋5＋7＋…＋2n －1)＝3·2n ＋n 2－4.又n ＝1时，T 1＝3，适合上式，∴T n ＝3·2n ＋n 2－4. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…，对一切正整数n ，点P n 在函数y ＝3x ＋134的图像上，且P n 的横坐标构成以－52为首项，－1为公差的等差数列{x n }．(1)求点P n 的坐标；(2)设抛物线列C 1，C 2，C 3，…，C n ，…中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，抛物线C n的顶点为P n ，且过点D n (0，n 2＋1)．记与抛物线C n 相切于点D n 的直线的斜率为k n ，求1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n. 解：(1)∵x n ＝－52＋(n －1)×(－1)＝－n －32，∴y n ＝3x n ＋134＝－3n －54.∴P n ⎝⎛⎭⎫－n －32，－3n －54. (2)∵C n 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n ， ∴设C n 的方程为y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋2n ＋322－12n ＋54.把D n (0，n 2＋1)代入上式，得a ＝1， ∴C n 的方程为y ＝x 2＋(2n ＋3)x ＋n 2＋1. ∴k n ＝y ′|x ＝0＝2n ＋3， ∴1k n －1k n ＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝⎛⎭⎫15－12n ＋3＝110－14n ＋6.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b n n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)∵S n ＝3n ， ∴S n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2)．当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. (2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3. 以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)(1＋2n －3)2＝(n －1)2.∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n .(3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2(n －2)×3n －1，n ≥2. 当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1，∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n ， ∴相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n .∴T n ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1) ＝(n －2)×3n－3n －32＝(2n －5)3n ＋32.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，(2n －5)3n ＋32，n ≥2.∴T n ＝(2n －5)3n ＋32(n ∈N *)．3．已知正项数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列， 且{a n }，{b n }都为正项数列， ∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．可得a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6， 又{b n }是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2， 解得b 1＝2，b 2＝322.∴b n ＝22(n ＋1)． (2)由(1)可得a n ＝b n b n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2，则1a n ＝2(n ＋1)(n ＋2)＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2， ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝1－2n ＋2，∴2S n ＝2－4n ＋2，又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8(n ＋2)(n ＋3). ∴当n ＝1,2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.。
规范练(五) 数列问题1．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋……＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； (2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和． 解 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n 2＝3n .因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根． 所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n . (2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8，T 2 015＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 015)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 014)． ＝2×(1－81 008)1－8＋4×(1－81 007)1－8＝20×81 007－67. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n ＜7时n 的最大值． 解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1， 两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1.∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n ，∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4·13(1－13n －1)1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n .∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1. T n －T n ＋1＝4(n ＋1)＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－(4n ＋3)3n ＜0. ∴T n ＜T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599＜7，T 4＝649＞7，∴T n ＜7时，n 的最大值为3.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13.(1)解 由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3，又当n ＝1时，a 2a 1＝3也符合上式，∴a n ＝3n －1. 由数列{b n }为等差数列，b 3＝3，b 5＝9，设{b n }公差为d ， ∴b 5－b 3＝9－3＝2d ，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6.(2)证明 由(1)知：a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，所以c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ，所以c n ＋1－c n ＝1－2n 3n ＋1＜0，∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13.4．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 5和a 7的等差中项为11，且a 2·a 5＝a 1·a 14，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .(1)求a n 及T n ； (2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意得 ⎩⎨⎧ a 5＋a 7＝22，a 2·a 5＝a 1·a 14， 即⎩⎨⎧ 2a 1＋10d ＝22，(a 1＋d )(a 1＋4d )＝a 1(a 1＋13d )，整理得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝11，d ＝2a 1⇒⎩⎨⎧d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.由b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1) 所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. (2)假设存在．由(1)知，T n ＝n 2n ＋1， 所以T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1，若T1，T m，T n成等比数列，则有T2m＝T1·T n⇒(m2m＋1)2＝13·n2n＋1⇒m24m2＋4m＋1＝n6n＋3⇒4m2＋4m＋1m2＝6n＋3n⇒3 n＝4m＋1－2m2m2，……①因为n＞0，所以4m＋1－2m2＞0⇒1－62＜m＜1＋62，因为m∈N*，m＞1，∴m＝2，当m＝2时，带入①式，得n＝12.综上，当m＝2，n＝12时可以使T1，T m，T n成等比数列．。
第2讲 空间中的平行与垂直考情解读 1．以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2提醒 3．平行关系及垂直关系的转化热点一 空间线面位置关系的判定例1 （1）设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥αB ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC ．若a ∥α且a ∥β，则α∥βD ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β（2）平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α思维启迪 判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定．思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ②若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ④若n ⊥α，n ⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④热点二 平行、垂直关系的证明例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （1）P A ⊥底面ABCD ； （2）BE ∥平面P AD ； （3）平面BEF ⊥平面PCD .思维启迪 (1)利用平面P AD ⊥底面ABCD 的性质，得线面垂直；(2)BE ∥AD 易证；(3)EF 是△CPD 的中位线． 思维升华 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直．如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点． 求证：（1）AF ∥平面BCE ； （2）平面BCE ⊥平面CDE .热点三 图形的折叠问题例3 如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．（1）求证：DE ∥平面A 1CB ； （2）求证：A 1F ⊥BE ；（3）线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？请说明理由．思维启迪 折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以证明DE ∥BC ；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A 1F ⊥平面BCDE ；第(3)问取A 1B 的中点Q ，再证明A 1C ⊥平面DEQ .思维升华 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．如图(1)，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD上的点，EF ∥BC ，AE ＝x .沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图(2)所示)，G 是BC 的中点．（1）当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D －BCF 的体积f (x )的函数式．1．证明线线平行的常用方法（1）利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； （2）利用平行四边形进行转换； （3）利用三角形中位线定理证明；（4）利用线面平行、面面平行的性质定理证明． 2．证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行； （2）利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行． 3．证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行． 4．证明线线垂直的常用方法（1）利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直； （2）利用勾股定理逆定理；（3）利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可． 5．证明线面垂直的常用方法（1）利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； （2）利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；（3）利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 6．证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.真题感悟1．(2014·辽宁)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α2．(2014·辽宁)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点． （1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D －BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．押题精练1．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题： ①P A ∥平面MOB ；②MO ∥平面P AC ； ③OC ⊥平面P AC ；④平面P AC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （1）证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；（2）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？并证明你的结论．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定2．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ∥n ，且n ⊥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ⊥n ，且n ∥β3．ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论错误的是( ) A ．BD ∥平面CB 1D 1B ．A 1C ⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．AC 1⊥BD 14．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD .则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 5．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；②若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是( ) A ．12π B ．32π C ．36π D ．48π 二、填空题7．已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n .其中正确的个数为_________________．8．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．9．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .10．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (不含端点)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．三、解答题11．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （1）求证：AC ⊥BC 1； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1.12．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB .（1）求证：EF ∥平面BC 1D ；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．13．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，∠ABC ＝120°，E ，M 分别为AB ，DE 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，F 为A ′C 的中点，A ′C ＝4. （1）求证：平面A ′DE ⊥平面BCD ； （2）求证：FB ∥平面A ′DE .例1 (1)D (2)D 变式训练 D 答案 B 答案 ②④DBDDDC 7．2 8．①③ 9．a 或2a 10．⎝⎛⎭⎫12，111．证明 (1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴AC ⊥BC .CC 1⊥平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥CC 1，又BC ∩CC 1＝C ， ∴AC ⊥平面BCC 1B 1， BC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ， ∵D 是AB 的中点，E 是C 1B 的中点， ∴DE ∥AC 1，∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.12．(1)证明 取AB 的中点M ，连接A 1M . 因为AF ＝14AB ，所以F 为AM 的中点．又E 为AA 1的中点，所以EF ∥A 1M .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，M 分别是A 1B 1，AB 的中点， 所以A 1D ∥BM ，A 1D ＝BM ，所以四边形A 1DBM 为平行四边形，所以A 1M ∥BD . 所以EF ∥BD .因为BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ， 所以EF ∥平面BC 1D .(2)解 设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15，如图所示．则V E －AFG ∶VABC －A 1B 1C 1＝1∶16， 所以V E －AFGVABC －A 1B 1C 1＝13×12AF ·AG sin ∠GAF ·AE 12×AB ·AC sin ∠CAB ·AA 1＝13×14×12×AG AC ＝124×AG AC ， 由题意，124×AG AC ＝116，解得AG AC ＝2416＝32.所以AG ＝32AC >AC ，所以符合要求的点G 不存在．13．证明 (1)由题意，得△A ′DE 是△ADE 沿DE 翻折而成的， ∴△A ′DE ≌△ADE .∵∠ABC ＝120°，四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝60°. 又∵AD ＝AE ＝2，∴△A ′DE 和△ADE 都是等边三角形． 如图，连接A ′M ，MC ， ∵M 是DE 的中点， ∴A ′M ⊥DE ，A ′M ＝ 3.在△DMC 中，MC 2＝DC 2＋DM 2－2DC ·DM cos 60° ＝42＋12－2×4×1×cos 60°， ∴MC ＝13.在△A ′MC 中，A ′M 2＋MC 2＝(3)2＋(13)2＝42＝A ′C 2. ∴△A ′MC 是直角三角形，∴A ′M ⊥MC . 又∵A ′M ⊥DE ，MC ∩DE ＝M ， ∴A ′M ⊥平面BCD . 又∵A ′M ⊂平面A ′DE ， ∴平面A ′DE ⊥平面BCD . (2)取DC 的中点N ，连接FN ，NB .∵A ′C ＝DC ＝4，F ，N 分别是A ′C ，DC 的中点， ∴FN ∥A ′D .又∵N ，E 分别是平行四边形ABCD 的边DC ， AB 的中点， ∴BN ∥DE .又∵A ′D ∩DE ＝D ，FN ∩NB ＝N ， ∴平面A ′DE ∥平面FNB . ∵FB ⊂平面FNB ， ∴FB ∥平面A ′DE .。
第五章 数列第5课时 数列的简单应用第六章(对应学生用书(文)、(理)79～81页)1. (必修5P 14例4改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有________个座位．答案：8202. 从2007年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2013年1月1日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数为________万元．答案：1p[(1＋p)7－(1＋p)]3. 某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后，细胞的存活数是________．答案：654. 办公大楼共有14层，现每一层派一人集中到第k 层开会，当这14位参加会议的人员上下楼梯所走路程的总和最小时，k ＝________．答案：7或8数列应用题常见模型 (1) 银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a(1＋rx)． (2) 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a(1＋r)x (x ∈N 且x>1)．(3) 产值模型原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值y ＝N(1＋p)x (x ∈N 且x>1)．(4)分期付款模型设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额地分成n 次付清，每期期末所付款是x 元，每期利率为r ，则x ＝ar （1＋r ）n（1＋r ）－1(n ∈N 且n>1)．[备课札记]题型1 以等差数列为模型的实际问题例1 某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1) 求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y(万元)；(2) 为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解：(1) y ＝100＋0.5x ＋（2＋4＋6＋…＋2x ）x，即y ＝x ＋100x＋1.5(x ＞0)． (2) 由均值不等式得 y ＝x ＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5， 当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取到等号，故该企业10年后需要重新更换新设备． 变式训练(2013·江西文)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n ∈N *)为________．答案：6解析：S n ＝2×（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2≥100，n ≥6.题型2 以等比数列为模型的实际问题例2 水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9 100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%.(1) 试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？(2) 为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？解：(1) 设2002年起经x 年西部地区基本上解决退耕还林问题．依题意，得515＋515×(1＋12%)＋515×(1＋12%)2＋…＋515×(1＋12%)x －1＝9 100×70%，即515×[1＋1.12＋1.122＋…＋1.12x －1]＝6 370，1－1.12x －1×1.121－1.12＝6 370515＝1 274103 1.12x －10.12＝1 274103， 整理得1.12x ≈2.484 3x ≈log 1.122.484 3＝lg2.484 3lg1.12≈0.359 20.049 2≈8.03.又x ∈N ，故从2002年起到2009年年底西部地区基本解决退耕还林问题．(2) 设到西部地区基本解决退耕还林问题时国家共需支付y 亿元． 首批退耕地国家应支付：515×104×(300×0.7＋20)×8，第二批退耕地国家应支付：515×104×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×7， 第三批退耕地国家应支付：515×104×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×6， …最后一批退耕地国家应支付：515×104×(1＋20%)7×(300×0.7＋20)×1. y ＝515×104×（300×0.7＋20）×（8＋7×1.12＋6×1.122＋…＋1×1.127）108，令S ＝8＋7×1.12＋6×1.122＋…＋1×1.127，①1．12S ＝8×1.12＋7×1.122＋6×1.123＋…＋1×1.128，②②－①，得0.12S ＝－8×(1.12＋1.122＋1.123＋…＋1.127)＋1×1.128， 即0.12S ＝－8＋1.12－1.128×1.121－1.12＝－8＋1.129－1.120.12≈－8＋2.773－1.120.12，解得S ≈48.1，故y ≈(515×104×230×48.1)÷108≈569.7亿元．故到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元． 备选变式（教师专享）设C 1、C 2、…、C n 、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线y ＝33x 相切，对每一个正整数n ，圆C n 都与圆C n ＋1相互外切，以r n 表示C n 的半径，已知{r n }为递增数列．(1) 证明：{r n }为等比数列；(2) 设r 1＝1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n r n 的前n 项和.(1) 证明：将直线y ＝33x 的倾斜角记为θ，则有tanθ＝33，sin θ＝12. 设C n 的圆心为(λn ，0)，则由题意得r n λn ＝12，得λn ＝2r n ；同理λn ＋1＝2r n ＋1，从而λn ＋1＝λn＋r n ＋r n ＋1＝2r n ＋1，将λn ＝2r n 代入，解得r n ＋1＝3r n ，故{r n }为公比q ＝3的等比数列．(2) 解：由于r n ＝1，q ＝3，故r n ＝3n －1，从而n r n＝n ×31－n ，记S n ＝1r 1＋2r 2＋…＋nr n，则有S n ＝1＋2×3－1＋3×3－2＋…＋n ×31－n ，①S n 3＝1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ＋n ×3－n ，② ①－②，得2S n 3＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n －n ×3－n ＝1－3－n 23－n ×3－n ＝32－⎝⎛⎭⎫n ＋32×3－n ， ∴S n ＝94－12⎝⎛⎭⎫n ＋32×31－n ＝9－（2n ＋3）×31－n4. 题型3 数列中的综合问题例3 已知各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，且0＜q ＜12.(1) 在数列{a n }中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；(2) 若a 1＝1，且对任意正整数k ，a k －(a k ＋1＋a k ＋2)仍是该数列中的某一项． (ⅰ) 求公比q ；(ⅱ) 若b n ＝－loga n ＋1(2＋1)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，T r ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，试用S 2 011表示T 2 011.解：(1) 由条件知a n ＝a 1q n －1，0＜q ＜12，a 1＞0，所以数列{a n }是递减数列．若有a k ，a m ，a n (k ＜m ＜n)成等差数列，则中项不可能是a k (最大)，也不可能是a n (最小)，若2a m ＝a k ＋a n 2q m －k ＝1＋q n －k ，(*)由2q m －k ≤2q ＜1，1＋q h －k ＞1，知(*)式不成立， 故a k ，a m ，a n 不可能成等差数列．(2) (ⅰ) (解法1)a k －a k ＋1－a k ＋2＝a 1q k －1(1－q －q 2)＝a 1q k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫q ＋122＋54，由－⎝⎛⎭⎫q ＋122＋54∈⎝⎛⎭⎫14，1，知a k －a k ＋1－a k ＋2＜a k ＜a k －1＜…，且a k －a k ＋1－a k ＋2＞a k ＋2＞a k ＋3＞…，所以a k －a k ＋1－a k ＋2＝a k ＋1，即q 2＋2q －1＝0，所以q ＝2－1.(解法2)设a k －a k ＋1－a k ＋2＝a m ，则1－q －q 2＝q m －k ， 由1－q －q 2∈⎝⎛⎭⎫14，1知m －k ＝1，即m ＝k ＋1， 以下同解法1. (ⅱ) b n ＝1n，(解法1)S n ＝1＋12＋13＋…＋1n，T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋...＋(1＋12＋13＋ (1))＝n ＋n －12＋n －23＋…＋n －（n －1）n＝n(1＋12＋13＋…＋1n )－(12＋23＋34＋…＋n －1n )＝nS n －[(1－12)＋(1－13)＋(1－14)＋…＋(1－1n)]＝nS n －⎣⎡⎦⎤（n －1）－⎝⎛⎭⎫12＋13＋…＋1n ＝nS n －⎣⎡⎦⎤n －⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n ＝nS n －n ＋S n＝(n ＋1)S n －n ，所以T 2 011＝2 012S 2 011－2 011.(解法2)S n ＋1＝1＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1＝S n ＋1n ＋1，所以(n ＋1)S n ＋1－(n ＋1)S n ＝1，所以(n ＋1)S n ＋1－nS n ＝S n ＋1，2S 2－S 1＝S 1＋1， 3S 3－2S 2＝S 2＋1， … …(n ＋1)S n ＋1－nS n ＝S n ＋1，累加得(n ＋1)S n ＋1－S 1＝T n ＋n ，所以T n ＝(n ＋1)S n ＋1－1－n ＝(n ＋1)S n －n ＝(n ＋1)(S n ＋b n )－1－n＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫S n ＋1n ＋1－1－n ＝(n ＋1)S n －n ，所以T 2 011＝2 012S 2 011－2 011. 备选变式（教师专享）已知等差数列{a n }满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b n }的前三项．(1) 分别求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2) 设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n (n ∈N *)，若T n ＋2n ＋32n －1n <c(c ∈Z )恒成立，求c 的最小值．解：(1) 设d 、q 分别为等差数列{a n }、等比数列{b n }的公差与公比，且d>0.由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1，1，3有b 1＝2，b 2＝2＋d ，b 3＝4＋2d. (2＋d)2＝2(4＋2d)，d 2＝4. ∵ d>0，∴ d ＝2，q ＝b 2b 1＝42＝2，∴ a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，b n ＝2×2n －1＝2n .(2) T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1.② ①－②，得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n －1－2n －12n ＋1，∴ T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n .∴ T n ＋2n ＋32n －1n ＝3－1n <3.∵ 3－1n 在N *上是单调递增的，∴ 3－1n∈[2，3)．∴ 满足条件T n ＋2n ＋32n －1n<c(c ∈Z )恒成立的最小整数值为c ＝3.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知数列{a n }是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为q(q ＞1)的等比数列．(1) 若a 5＝b 5，q ＝3，求数列{a n ·b n }的前n 项和；(2) 若存在正整数k(k ≥2)，使得a k ＝b k .试比较a n 与b n 的大小，并说明理由． 审题引导： ① 等差数列与等比数列对应项的积错位相减求和；② 作差比较．规范解答： 解： (1) 依题意，a 5＝b 5＝b 1q 5－1＝1×34＝81，故d ＝a 5－a 15－1＝81－14＝20，所以a n ＝1＋20(n －1)＝20n －19.(3分)令S n ＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n －19)·3n －1，①则3S n ＝1×3＋21×32＋…＋(20n －39)·3n －1＋(20n －19)·3n ， ② ①－②，得－2S n ＝1＋20×(3＋32＋…＋3n －1)－(20n －19)·3n＝1＋20×3（1－3n －1）1－3－(20n －19)·3n＝(29－20n)·3n －29，所以S n ＝（20n －29）·3n ＋292.(7分)(2) 因为a k ＝b k ， 所以1＋(k －1)d ＝qk －1，即d ＝q k －1－1k －1，故a n ＝1＋(n －1)q k －1－1k －1.又b n ＝q n －1，(9分)所以b n －a n ＝q n －1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（n －1）q k －1－1k －1 ＝1k －1[(k －1)(q n －1－1)－(n －1)(q k －1－1)] ＝q －1k －1[(k －1)(q n －2＋q n －3＋…＋q ＋1)－(n －1)(q k －2＋q k －3＋…＋q ＋1)]．(11分)(ⅰ) 当1＜n ＜k 时，由q ＞1知 b n －a n ＝q －1k －1[(k －n)(q n －2＋q n －3＋…＋q ＋1)－(n －1)(q k －2＋q k －3＋…＋q n －1)] ＜q －1k －1[(k －n)(n －1)q n －2－(n －1)(k －n)q n －1] ＝－（q －1）2q n －2（k －n ）（n －1）k －1＜0；(13分)(ⅱ)当n ＞k 时，由q ＞1知 b n －a n ＝q －1k －1[(k －1)(q n －2＋q n －3＋…＋q k －1)－(n －k)(q k －2＋q k －3＋…＋q ＋1)] ＞q －1k －1[(k －1)(n －k)q k －1－(n －k)(k －1)q k －2] ＝(q －1)2q k －2(n －k) ＞0，(15分)综上所述，当1＜n ＜k 时，a n ＜b n ；当n ＞k 时，a n ＞b n ；当n ＝1，k 时，a n ＝b n .(16分) (注：仅给出“1＜n ＜k 时，a n ＜b n ；n ＞k 时，a n ＞b n ”得2分)错因分析： 错位相减时项数容易搞错，作差比较后学生不能灵活倒用等比数列求和公式1－q n ＝(1－q)(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)．1. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 9成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 11－S 9S 7－S 6＝________．答案：3解析：设公差为d ，则(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋8d)，∴ a 1d ＝d 2，又d ≠0，∴ a 1＝d ， 则S 11－S 9S 7－S 6＝66a 1－45a 128a 1－21a 1＝3. 2. (2013·福建)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1) 若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2) 若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．解：(1) 因为数列{}a n 的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列， 所以a 21＝1×(a 1＋2)， 即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2) 因为数列{}a n 的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1；即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.3. 设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1) 求数列{a n }的公比；(2) 证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．(1) 解：设公比为q ，则2a 3＝a 5＋a 4，得2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.又q ≠0，a 1≠0，q ≠1，∴ q ＝－2.(2) 证明：S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2)＝0，∴ S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．4. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数都成立． (1) 求a 1，a 2的值；(2) 设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 前n 项和为T n ，当n 为何值时，T n 最大？并求出最大值．解：(1) 取n ＝1时，a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，①取n ＝2时，a 22＝2a 1＋2a 2. ② 由②－①得，a 2(a 2－a 1)＝a 2. ③ 若a 2＝0，由①知a 1＝0；若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1. ④由①④解得a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上所述，a 1＝0，a 2＝0或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2) 当a 1＞0时，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2. n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ， (2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，∴ (1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴ a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)(2)n －1. 令b n ＝lg10a 1a n ＝1－n －12lg2， 故{b n }是递减的等差数列，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg1＝0，n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，T 7＝7－212lg2.1. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出________万元资金进行奖励．答案：2 046解析：设第10名到第1名得到的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2，a n －a n －1＝⎝⎛⎭⎫12S n ＋1－⎝⎛⎭⎫12S n －1＋1＝12(S n －S n －1)＝12a n ，即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2（1－210）1－2＝2 046.2. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c ＝________．答案：1解析：由已知a ＝12，第1行的各个数依次是：1，32，2，52，3；第2行的各个数依次是：12，34，1，54，32.∴b ＝52×⎝⎛⎭⎫123＝516，c ＝3×⎝⎛⎭⎫124＝316，∴a ＋b ＋c ＝12＋516＋316＝1.3. 我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度．公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a 1，a 2，…，a n 是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定利率为r(r>0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1(1＋r)n －1，第二年所交纳的储备金就变为a 2(1＋r)n －2，…，以T n 表示到第n 年所累计的储备金总额．(1) 写出T n 与T n －1(n ≥2)的递推关系式；(2) 求证：T n ＝A n ＋B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列． (1) 解：由题意可得：T n ＝T n －1(1＋r)＋a n (n ≥2)． (2) 证明：T 1－a 1，对n ≥2反复使用上述关系式，得T n ＝T n －1(1＋r)＋a n ＝T n －2(1＋r)2＋a n －1(1＋r)＋a n ＝…＝a 1(1＋r)n －1＋a 2(1＋r)n －2＋…＋a n－1(1＋r)＋a n ，①在①式两端同乘1＋r ，得(1＋r)T n ＝a 1(1＋r)n ＋a 2(1＋r)n －1＋…＋a n －1(1＋r)2＋a n (1＋r)，②②－①，得rT n ＝a 1(1＋r)n ＋d[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)]－a n ＝d r [(1＋r)n －1－r]＋a 1(1＋r)n －a n .即T n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r)n －d r n －a 1r ＋d r 2. 如果记A n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r)n，B n ＝－a 1r ＋d r 2－d r n ，则T n ＝A n ＋B n .其中{A n }是以a 1r ＋d r 2(1＋r)为首项，以1＋r(r>0)为公比的等比数列；{B n }是以－a 1r ＋d r 2－d r 为首项，以－dr 为公差的等差数列．4. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多⎝⎛⎭⎫23n －1a 万元．(1) 设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n 、b n, 求a n 、b n 的表达式；(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？解：(1) 假设甲超市前n 年总销售额为S n ，则S n ＝a2(n 2－n ＋2)(n ≥2)，因为n ＝1时，a 1＝a ，则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝a(n －1)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，（n －1）a ，n ≥2.又b 1＝a ，n ≥2时，b n －b n －1＝⎝⎛⎭⎫23n －1a ，故b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋23a ＋⎝⎛⎭⎫232a ＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋23＋⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1a ＝1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝⎛⎭⎫23n －1a ，显然n ＝1也适合，故b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝⎛⎭⎫23n －1a(n ∈N *)．(2) 当n ＝2时，a 2＝a ，b 2＝35a ，有a 2>12b 2；n ＝3时，a 3＝2a ，b 3＝199a ，有a 3>12b 3；当n ≥4时，a n ≥3a ，而b n <3a ，故乙超市有可能被甲超市收购．当n ≥4时，令12a n >b n ，则12(n －1)a>⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2·⎝⎛⎭⎫23n －1a n －1>6－4·⎝⎛⎭⎫23n －1.即n>7－4·⎝⎛⎭⎫23n －1. 又当n ≥7时，0<4·⎝⎛⎭⎫23n －1<1，故当n ∈N *且n ≥7时，必有n>7－4·⎝⎛⎭⎫23n －1.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．1. 深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉他们的推导过程是解题的关键，两类数列性质既有类似的的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．2. 等比数列的前n 项和公式要分q ＝1，q ≠1两种情况讨论，容易忽视．3. 在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)，在解方程组时，仔细体会两种情形下解方程组的方法的不同之处．请使用课时训练(A)第5课时(见活页)．[备课札记]。
