计算方法-刘师少版第四章课后习题完整答案

第4章 因式分解4.1 因式分解一、参考答案 【学习准备】1．整数乘法，因数分解． 2．整式乘法，成立．3.2x xy -=)(y x x -=113×100=11300． 【课本导学】 『思考一』1. （1）整式乘法，分配律2．对象是多项式，结果是几个整式的积．『练习』第98页做一做2．（1）（4）不是因式分解，（2）（3）是因式分解．第99页作业题1．（1）（2）（3）不是因式分解，（4）是因式分解． 第99页作业题2．『归纳』（1）由和差的形式（多项式）转化为整式积的形式． （2）左右两边都必须是整式． 『思考二』1．因为整式乘法与因式分解是互逆关系． 2．如：2(2)(1)2x x x x +-=+-，22(2)(1)x x x x ∴+-=+-．『练习』第99页课内练习1 ．(1)(2)正确，(3)不正确．2 ．(1)8700; (2) 400．第100页作业题3． (1)(2)不正确，(3) (4)正确．『归纳』．看等式右边几个整式的积与左边的多项式是否相等，若相等则正确，否则就不正确．（注意：左右两边都必须是整式） 【学习检测】1．D 2．教师版3．(1)250；(2)4000.4．2232(2)()a ab b a b a b ++=++． 【拓展提高】 1．D 2．2(32)(1)32x x x x +-=--，1,2m n ∴=-=-．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，“思考二”可先让学生独立思考、尝试完成后，再由老师引导小结，挖掘拓展，检测部分可视课堂进展灵活处理． 三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）因式分解的概念和意义． （2）因式分解与整式乘法之间的关系． 2．思想方法方面通过因式分解与整式乘法的类比，理解因式分解的意义和方法，体会事物之间可以互相转化的辩证思想．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．（1）通过因式分解与整式乘法的相互转换，使学生获得逆向思维的经验和能力．（2）困惑：由于学生缺乏代数式的完整分类，在某些代数式的变形中如出现分式或无理式时，不知如何解释它不是因式分解．4．需要进一步研究的问题：如怎样将一个多项式因式分解？因式分解的方法有哪些？等.4．2 提取公因式一、参考答案 【学习准备】1．3.8×3.7＋6.2×3.7＝3.7×(3.8＋6.2)=37． 2．()ma mb m a b +=+． 3. 是因式分解． 【课本导学】 『思考一』1．不对，因为如果提取的公因式为2a ，那么多项式余下的各项仍然含有公因式b ，还需要再次提取，这就造成了不必要的麻烦. 应提取的公因式是：2ab ． 2．多项式余下的各项中不再含有公因式．[练习]第101页“做一做”．应提取的公因式为abc 5，()c b abc abc c ab 3515522+=+．第102页课内练习1．（1）应提取的公因式为a ，)(y x a ay ax +=+．（2）应提取的公因式为x 3，()nx m x nx mx 23632-=-．（3）应提取的公因式为ab 2，)52(2210422b a ab ab ab b a -+=-+．第102页作业题1．（1）1232+-a a ； （2）1532-+p p ．作业题2．.应提取的公因式为222b a ，()bc a b a c b a b a 522104223223-=-．『归纳』1．按以下几步进行：（1）公因式的系数是y ax 23、yz x 36这两项系数3、6的最大公约数3； （2）两项都含有的字母x 、y ，取它们的最低次幂即2x 、y ；（3）取系数的最大公因数3、相同字母的最低次幂2x 、y 的积：y x 23，即是该多项式的公因式．2．用这个多项式除以公因式，所得的商即是另一个因式． 3．互逆变形 『思考二』1．3；2p ，q ；3q p 2．2．首项系数为负数时，通常提取负因数，应注意余下的各项都要变号． [练习] 第102页课内练习3．（1）错，应改为)132(3222++=++x x x x x x ；（2）错，应改为()a c a c a c a 21363232-=-； （3）错，应改为()322642223+--=-+-s s s s s s ； （4）错，应改为()4322864222+--=-+-b ab a a ab b a第102页作业题3．（1）()y x x xy x 33932-=-； （2）()1334-=-n n n n ．（3）()b a ab b a ab 22332218168-=-. （4）()a m ma ma ma a m +-=+-43312322.『归纳』提取公因式法的一般步骤是： ①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式． 『思考三』1．目的是为了产生因式(a －b )，使多项式的各项有公因式可以提取； 2．(a －b )；3．相等；相等； 能进行因式分解，即：[]22()()()2()1()(221)a b b a b a b a b a b a -+-=--+=--+；最后所得的结果从表面形式上来看，结果不一样，每一个因式都相差一个“-”号. [练习] 第102页课内练习2．（1）x 21-； （2）x ＋2； （3）122-+x x .第102页作业题4．（1）122+-x x ； （2）1442+-b b ； （3）b a +.5．（1）()a p ap a 432422+--； （2）()()122---b a b a .（原第6题答案去掉） 『归纳』1. 应提取的公因式常见有单独的一个数字、含字母的单项式、多项式.2.可从以下几方面思考：①准确找出应提取的公因式，保证提取公因式后，多项式余下的各项不再含有公因式； ②善于观察，灵活运用整体思想找出充当公因式的多项式； ③灵活应用添括号法则，避免符号错误；④最后的结果是整式的积的形式，分解要彻底，结果要化简，相同因式的积写成幂的形式. 【学习检测】 1.D ．2．(1)2(43)mn m -；(2) 23(31)x x x ---；(3) 3(2)(22)x a b a b y ++-；(4) ()(2)a b a b ---． 3. (1)123； (2)42．4.原式()(73)a b a b =+-，当22,73a b ==时，原式222222()(73)()00737373=+⨯-⨯=+⨯=【拓展提高】1．(1) ()()32322x y x y --+； （2）()()252x y x y --+； （3）2(x+y)(y+z) 2．10010,10010c b a a b c ++++；(10010)(10010)999999()a b c c b a a c a c ++-++=-=-，∴新三位数与原三位数之差能被99整除．二、《学习导航》使用建议“学习准备”所涉及的情景问题，能使学习者从简单的算式到含字母的整式所蕴含的规律中体验到由特殊到一般的思维过程．在“思考一”中，注重引导学习者对“公因式”、“应提公因式”的理解，尽可能避免公因式提取不当引起的错误．“思考二”及“思考三”中，重视对寻找应提公因式的引导，更加关注多项式中的异常情况：首项系数为负数、公因式为多项式等情况的处理，使得学习者面对多变的多项式有更清晰的头脑去分析、解决．通过回答“归纳”中的问题，使得学习者真正掌握提取公因式法分解因式，理解添括号法则及其依据． 三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）确定公因式的方法和提取公因式法的一般步骤． （2）添括号法则． 2．思想方法方面当公因式是一个多项式时，要把这个多项式作为一个整体，运用“整体”思想和“换元”方法解决问题． 3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等． 分解因式需要注意的问题：(1)分解要彻底，即每一个多项式都不能分解为止；(2)结果要化简，即不能含大、中括号，相同因式的积要写成幂的形式． 4．需要进一步研究的问题：除了提取公因式法外，分解因式还有哪些方法？4．3 用乘法公式分解因式（1）一、参考答案 【学习准备】1．22()()a b a b a b +-=-．2．平方差公式，两数和与这两数差的积等于这两数的平方差． 【课本导学】 『思考一』1．(1)不能，因为没有公因式．(2)．①是m 与4的平方差，②是2x 与3y 两式的平方差．联想到平方差公式． 2．222294(3)(2)x y x y -=-，a ∴表示3,x b 表示2y ． [练习]第103页做一做．(1)a 表示x ，b 表示1 ，(1)(1)x x +-．(2) a 表示m ，b 表示3 ，(3)(3)m m +-．(3) a 表示x ，b 表示2y ，(2)(2)x y x y +-． 『归纳』 (1)多项式必须能化成两式(或两数)的平方差，具体的说多项式应符合下列三个要求：①有两部分组成；②两部分都可写成整式(或数)的平方的形式；③两部分的符号应相反． (2)分解的结果应是这两式(或两数)的和与这两式(或两数)的差的乘积．1．依据是加法的交换律，目的是把它化为22a b -的形式． 2．a 表示x z +，b 表示y z +．[练习]第104页课内练习1．(1)(52)(52)x x +-；(2)(112)(112)ab ab +-；(3))312)(312(-+x x ； (4)(3)(3)x x +-．第104页课内练习2．(2)(4)(5)可以，因多项式都可以化成两数的平方差．(1)(3)(6)不可以，因多项式都不能化成两数的平方差．第104页作业题1．(1)(5)(5)x x +-；(2)(43)(43)a b a b +-；(3)11()()22c ab c ab +-； (4)(0.1)(0.1)s t s t +-． 『归纳』 (1)先把二项式转化成22a b -的形式；(2)套用公式22()()a b a b a b -=+-分解因式； (3)把结果化成最简形式．『思考三』1．不能，因为它不能直接写成22a b -的形式． 2．应先提出这个公因式． 3．(1)分解要彻底，即每一个多项式都不能分解为止；(2)结果要化简，即不能含大、中括号，相同因式的积要写成幂的形式,同类项要合并，单项式要写在前等．[练习]第104页课内练习3．(1)(21)(21)x x x +-；(2) 2(9)(3)(3)a a a ++-．第104页作业题2．(1)5(2)(2)a b a b +-； (2)8n ．3．(1) 1997； (2)480．『归纳』(1)若多项式的各项有公因式，要先提出公因式，再用公式法进一步分解因式；(2)分解要彻底，结果要化简．【学习检测】 1． C2．(1)(2)(2)x y x y +-；(2)(75)(75)xy xy +-；(3)22(9)(3)(3)a b a b a b ++-；(4)(1)(1)a b a b +++- ． 3．(1) 508000；(2)3x y +=且5x y -=-；22()()3(5)15x y x y x y ∴-=+-=⨯-=-a-bab aba-b b a-b abaab a-bb a【巩固提高】1．(1)(4)(23)x y x y ++；(2)3(52)(2)x x --；(3)()()x y x y x 423+- ．2．10,10y y +-． 原式2(10)(10)100987654321100987654221y y y =+-=-=-=．二、《学习导航》使用建议“学习准备”和“思考一”的内容可以安排在课前完成，课堂上针对“学习准备” 和“思考一”自主学习中所形成的共识、产生的困惑和疑问开展交流讨论，以及“思考二”和“思考三”的学习和讨论，检测部分可视课堂进展灵活处理．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）平方差公式的结构特征．（2）用平方差公式因式分解的方法和一般步骤． 2．思想方法方面运用平方差公式因式分解，有时需要把某些多项式作为一个整体，运用“整体”思想和“换元”方法解决问题．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．(1)经历通过整式乘法的平方差公式逆用，得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力．(2)通过自主学习，逐步形成独立思考、主动探索的学习习惯．4．需要进一步研究的问题：除了平方差公式外，还有哪些公式可用来分解因式？4.3用乘法公式分解因式（2）一、参考答案 【学习准备】1、（1）222b ab a ++ （2）222b ab a +- （3）1442+-x x （4）2244y xy x ++右边都是三项，其中首尾二项是数（或式）的平方，另一项是这两数（或式）的积的2倍； 2、（1）2)(b a + （2） 2)(b a - 【课本导学】 『思考一』1、是因式分解，可理解成化为a b +和a b +的积．2、（1）（5）（6）是完全平方式，（2）（3）（4）不是完全平方式． [练习]第106页“做一做”．课本第107页作业题1．(1)25，5a -；(2)22,1a y ay +；(3),2rs rs - ． 『归纳』：(1)多项式应是两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍的二次三项式；(2)分解的结果应是这两数和（或差）的平方．『思考二』 1、b a 3,2．2、依据是添括号法则．3、提取公因式法；公式法．[练习]第107页课内练习1．(1) 2(3)a b - ；(2)2(5)a -+；(3)2(7)b a + (4)2(2)xy x y +(5)22(3)(3)x x +-．2.都不对第107——108页作业题2．(1)是，2(2)m +；(2)不是；(3)是，2(1)2x +； (4)是，2(34)p q -．3．(1)2(7)x -；(2)2(8)x y --；(3)21()2a b +； (4)2(0.20.6)a + ．4．原式2(20052003)4=-=；『归纳』：如果多项式有公因式，应先提取公因式，再运用公式法因式分解，分解要彻底，结果要化简． 『思考三』 y x +2，3．[练习]第108页作业题5．（1）2)5(--b a ， （2）2)32(b a -．『归纳』：学生学习完全平方公式进行逆向运用，拓展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比思想的理解． 【学习检测】 1．C2．（1）2)(y x + （2）2)34(b a + （3）2)6(n m - （4）2)332(y x +-3．(1)原式2(991)10000=+=；(2)原式2(8713)10000=+=． 4．21【巩固提高】1．1-，24x -，4x ，4x -，44x ；2．(1)B ；(2)公式法(完全平方公式)；(3)不彻底，4(2)x -； (4)设22x x y -=，则原式22224(2)121(1)(21)(1)y y y y y x x x =++=++=+=-+=-． 二、《学习导航》使用建议学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，通过“学习准备”中的问题的解答，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．“思考一”的学习着重让学生了解能用完全平方公式因式分解的多项式的特征． “思考二”中，要让学生对不同形式的多项式进行变形，使得多项式符合完全平方式的特征．“思考三”让学生尝试复杂的多项式的因式分解，让学生理解整式乘法与因式分解是互逆过程．三、课堂小结建议结合本节课教学内容和教学目标，引导学生从以下方面进行归纳总结： 1．知识技能方面（1）完全平方公式的结构特征．（2）用完全平方公式因式分解的方法和一般步骤．（3）综合运用提取公因式法、公式法分解因式的方法和一般步骤． 2．思想方法方面运用完全平方公式因式分解，有时需要把某些多项式作为一个整体，运用“整体”思想和“换元”方法解决问题．3．本课学习中获得的经验和需要注意的问题、困惑等．(1) 综合运用提取公因式法、公式法分解因式，培养学生观察、分析问题的能力，进一步提高分解因式的正确性和灵活性．(2)通过自主学习，逐步形成独立思考、主动探索的学习习惯．4．需要进一步研究的问题：除了可以简化某些运算外，分解因式还有哪些应用？第4章 因式分解 复习一、参考答案【复习准备】1．B ． 2．(1)2(2)(2)ab c c +-； (2)(67)(67)m n m n +-； (3)23(1)x x -； (4)2(3)a b --． 3．224(2)(2)(15050)(15050)20000a b a b a b -=+-=+-=． 4．22222()0a b c b a c ++-+=，2222220a b c ab bc ∴++--=， 22()()0a b b c ∴-+-=，a b c ∴==，ABC ∴∆为正三角形． 【知识整理】1．多项，整，积，互逆．2．(1)提取公因式法,(2)公式法；22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=±． 3．不变号，变号．4．步骤：(1)若有公因式，应先提公因式；(2)用公式法进一步分解． 要求：(1)分解要彻底；(2)结果要化简． 【例题】例1[解]222(4)(2)(2)xy x y x y x y ++-例2[解]解法一: 设另一个因式为x m +，则25(1)()x ax x x m -+=++，225(1)x ax x m x m ∴-+=+++，5,1m m a ∴=+=- 6a ∴=-．解法二: 设另一个因式为M ，则25(1)x ax x M -+=+，10 当1x =-时，2(1)-150a --⨯+=（），6a ∴=- 【复习检测】1．B 2．7,9- 3．201024．(1)23(23)ab a b -；(2)2(9)(3)(3)a a a ++-；(3) 22(6)m m --；(4)2(2)a b c -- ． 5．2()2()10x y x y ++++=，2(1)0x y ∴+-=，1x y ∴+=；2222222422(2)2()212x xy y x xy y x y ++=++=+=⨯=．【拓展提高】1.原式(20122011)(20122011)+(20102009)(2010-2009)+(43)(43)(21)(21)=+-+++-++- 20122011201020094321=++++++++(20121)201220250782+⨯==． 2．22185a b -=，()()3751851a b a b ∴+-=⨯=⨯，又,a b 为自然数，375a b a b +=⎧∴⎨-=⎩或1851a b a b +=⎧⎨-=⎩，2116a b =⎧∴⎨=⎩或9392a b =⎧⎨=⎩． 3．(1)33x y +，33x y -；(2) 33x y +，33x y -； (3)①22(2)(24)a b a ab b +-+；②3322(1)(1)(1)(1)(1)(1)m m m m m m m m +-=+-+-++．（原第3题答案去掉，将原题号“4”改为“3”）。

习题一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法xmax x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A nR n n .2.试证明maxa ij , A ( a ij )1 in1 i n1j证明：（ 1）令 x rmaxxi1 i nnp 1/ pnx ip1/ pnx r p 1/ p1/ pxlim(x i lim x r [( ]lim x r [limx r))() ]x r npi 1pi 1 x rpi 1 xrp即 xx rnp1/ pnp 1/ p又 lim(lim(x rx i)x r)pi 1pi 1即 xx rxx r⑵ 设 x(x 1,... x n )0 ，不妨设 A 0 ，nnnn令maxaijAxmaxaijx jmaxa ij xjmax x i maxaijx1 i nj 11 i nj 11 i nj 11 i n1 i nj 1即对任意非零 xR n，有Axx下面证明存在向量 x 00 ，使得Ax 0，x 0n( x 1,... x n )T 。

其中 x j设j a i 0 j ，取向量 x 0sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。

1nn显然x 01 且 Ax 0 任意分量为ai 0 jx jai 0 j，i 1i1nn故有Ax 0maxaijx jai 0 j即证。

ii 1j 13. 古代数学家祖冲之曾以355作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？113解： x325 &0.314159292 101133xx355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。

4. 若 T(h)逼近其精确值T 的截断误差为R(T ) : T (h) T A i h2 ii 1T0 ( h) T (h) 其中，系数 A i与h无关。

《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。

计算方法第3版习题答案习题1解答1.1 解：直接根据定义得*411()102x δ-≤⨯*411()102r x δ-≤⨯*3*12211()10,()1026r x x δδ--≤⨯≤⨯*2*5331()10,()102r x x δδ--≤⨯≤1.2 解：取4位有效数字 1.3解：4335124124124()()()101010() 1.810257.563r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=⨯++⨯123()r a a a δ≤123132231123()()()a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016=1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故******(())(())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x xδδδ-=≈==1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=±2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤，1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈=现100,()1x S δ=≤，从而得()1()0.00522100S x xδδ≈≤=⨯ 1.7 解：因S ld =，故S d l ∂=∂，Sl d∂=∂，*****()()()()()S S S l d l d δδδ∂∂≈+∂∂*2()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+⨯=, ******()()0.0744()0.55%13.4784r S S S l d S δδδ===≈1.8 解：（1）4.472 （2）4.471.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减(3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357sin ..3!5!7!x x x x x -=-+-，（2）1(1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N=N N +-N N +N +-⎰1(1)1lnln N +=N +N +-N1.11 解：0.00548。

第二章 数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造一多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利用差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++．2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使用多少个节点能够保证误差不超过61102-⨯． 答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<=的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b ah n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章 函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差．答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-⨯+-，二次最佳平方逼近的平方误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=⨯⎰．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-⎰取最小值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平方逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章 数值积分与数值微分4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =⎰，并与精确值比较．答案：计算结果如下表所示4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度． （１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰ （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-⎰答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++⎰中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的二次插值多项式，用2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =⎰的数值积分公式h I ，并用台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+． 答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+⎰．4.5 给定积分10sin xI dx x =⎰（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-⨯． （２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？ 答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=⨯ （３）取７个节点处的函数值．4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分10sin xI dx x =⎰．要求用事后误差估计法时，截断误不超过31102-⨯和61102-⨯． 答案：使用复化梯形公式时，80.946I T ≈=满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，40.946 083I s ≈=满足精度要求．4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+⎰，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈． （２）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--⎰，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++，而 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==-．4.8 用龙贝格方法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字． 答案：49.6884l I =≈．4.9确定高斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+⎰的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证高斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+⎰的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章 解线性方程组的直接法5.1 用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中111210110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭． 答案： 1110331203321133A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭5.2 用矩阵的直接三角分解法解方程组1234102050101312431701037x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 用追赶法求解三对角方程组123421113121112210x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章 解线性代数方程组的迭代法６.１ 对方程1212123879897x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩作简单调整，使得用高斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，用该方法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤． 答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２ 讨论松弛因子 1.25ω=时，用SOR 方法求解方程组121232343163420412x x x x x x x +=⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩ 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<⨯． 答案：方程组的近似解为*1 1.50001x =，*23.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３ 给定线性方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯－赛得尔迭代法收敛．６.４ 设有方程组112233302021212x b x b x b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，讨论用雅可比方法和高斯－赛得尔方法解此方程组的收敛性．如果收敛，比较哪种方法收敛较快．答案：雅可比方法收敛，高斯－赛得尔方法收敛,且较快．６.５ 设矩阵A 非奇异．求证：方程组Ax b =的解总能通过高斯－赛得尔方法得到．６.６ 设()ij n nA a ⨯=为对称正定矩阵，对角阵1122(,,,)nn D diag a a a =．求证：高斯－赛得尔方法求解方程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章 非线性方程求根例７.４ 对方程230xx e -=确定迭代函数()x ϕ及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ∀∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ϕ+==均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x ϕ=，则在[1,0]-中满足收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +==在(1,0)-中有惟一解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ϕ=，在[0,1上满足收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +==在[0,1]中有惟一解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=-在[3,4]上，将原方程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ϕ==．满足收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +==在[3,4]中有惟一解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６ 对于迭代函数2()(3)x x c x ϕ=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ϕ+=产生的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ϕ51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所示表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ϕ+=的迭代函数()x ϕ具有二阶连续导数，*x 是()x ϕ的不动点，且*()1x ϕ'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y xϕϕ+==⎧⎪=-⎨=-⎪-+⎩二阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ϕ=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ϕ为迭代函数的迭代法至少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有高阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第八章 矩阵特征值8.1 用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这里()1k λ表示1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 用反幂法求矩阵110242012A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的按模最小的特征值．知A 的按模较大的特征值的近似值为15λ=，用5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最小的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设方阵A 的特征值都是实数，且满足121, ||||n n λλλλλ>≥≥>，为求1λ而作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 用二分法求三对角对称方阵1221221221A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小特征值，使它至少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 用平面旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平行的向量．答案：203/2/00001010/0T ⎛⎫⎪- ⎪=⎪--⎝0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭8.6 若532644445A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后用QR 方法求A 的全部特征值．第九章 微分方程初值问题的数值解法9.1 用反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤⎧⎨=⎩，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-． 答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ⎧=+≤⎪⎨⎪=⎩的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位小数)．答案：用二阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈用二阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 用如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，小数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使二阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-⎧⎨=⎩为实常数绝对稳定，试求步长h 的大小应受到的限制条件． 答案：2h λ≤．9.5 用如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++⎧=+⎪⎪=++⎨⎪⎪==⎩，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '⎧=<≤⎨=⎩时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛． 答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式二步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能高，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时方法的局部截断误差阶最高，为五阶5()O h ．9.7 试用欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx⎧=-⎪⎪≤⎨⎪=+=⎪⎩，取步长0.1h =，小数点后至少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =⎧⎨=⎩ ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩ 220.604 820z 2.090 992y =⎧⎨=⎩ ， 22(0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩。

《计算方法教程（第二版）》习题答案第一章习题答案1、浮点数系F（0丄L、U）共有2（0-l）0i（U-厶+1） + 1个数。

3、a.4097b.0.11101000 x 22 , 0.11101110 x 25 6c.0.11111101x264、设实数xeR,则按0进制可表达为：1"1 V00 <> d j < p , J = 2,3,…+ 1,…按四舍五入得原则，当它进入浮点数系F（PJ,LM）时，若心V丄0,则2/心）"（第+2+…2“P pZ P1cK （1 +1/（□"（卡+样+…丄厂）〃P P L P l对第一种情况妝一."（x）| = （滸 + …）X0**G）X0‘ =^0 一对第二种情况:卜_/心卜爭巴一…"V *（£）x0詁旷就就是说总有：心）&丄0一2另一方面，浮点数要求1M/V0,故有|A-|^1/7\将此两者相除，便得r5 a. 1.5960 b. 1.5962后一种准确6最后一个计算式:0.00025509原因:避免相近数相减，避免大数相乘,减少运算次数2\I~X (Jx ，+1 + J 牙2 _])(2x)2 (2x)4 (2x)6(2x)2"^! 41- ~6!2!_3 -0.20757 5 0.8 7107计算宜采用:去)+G -親)x+G - 土用+…]第二章习题答案1. a.x = (3,1, 2)7b.x = (2, — 1, 2, — 1 )zc.无法解2、 a.与b.同上，c.x = —(-17, 39, -10,-39)7 « (-0.5312,1.218&一0.3125,-1.2188)7(2 -2 -1、/ 、 1、2 -2 -15p -17、a.3-12 =% 12%=3 21J 23,、％ %1J 3%丿1 1J<12 1 -2〕1-2 1 -2、 25 3 -22 11 12 -2 -23 5 -2 2 13 -3、132 3 >、1 2 0 1；3 ,(1 、 (\2 1 -2]2 1 1 1 2 -2 2 31 -1\ 1 2 0 3； 1 19、=(46.3415 , 85.3659 , 95.1220 , 95.1220 , 85.3659 , 46.3415)b. y =2x 2(l + x)(l +8、 X| =55.98 9、m 1x 2 = 0.01786 /(10-H,) -0.233406x 2 =(26.8293, 7.3171, 2.4390,2.4390, 7.3171,26.8293/ 10、厶£）厶了分解:D = diag( 10,1.9, 3.579,0.015)12、阀“16, ||州厂 12, ||州8 = 16h||2 =1.4083, ||A|L=1%Cond x (A|) = Cond n (A 】)=4% Cond 2 (^) = 2 Cond { (A 2) = Cond^(A 2) = 748Cond 2(A 2) = 524第三章习题答案1、Lagrange 插值多项式:'0.0139 -0.1111 ・0.0694、( 9.0000 -36.0000 30.0000、v-0.1111 0.0556 -0.1111，^2 = -36.0000 192.0000 -180.0000,・ 0.0694 ・ 0.1111 0.0139>(30.0000 -180.0000 180.0000,A ；'= 372.1151 -眉— 0.1666…,0.91L =0.7 0.89471.0.5 0.7895 0.6030 Cholesky 分解、H1623 2.8460G =2.2136 1.2333 1.8918J.5811 1.0833 1.1408 0.1225丿15. A 】 :对应 Gauss — Seidel 迭代收敛,Jacobi 迭代不收敛;:对应 Gauss — Seidel 迭代收Jacobi 迭代不收敛;:对应 Gauss — Seidel 迭代收Jacobi 迭代收敛;1丿 解：2(2, — 2,1, —1)(x - 2.70)(x- 3・20)(x - 4.80)(x 一 5.66)(1.00 - 2.70)(l .00 - 3.20)(1.00 - 4.80)(l .00 - 5.66)(x 一 1.00)(% 一 3.20)(x 一 4.80)(x 一 5.66)(2.70 -1.00)(2.70 - 3.20)(2.70 - 4.80)(2.70 - 5.66)(x -1.00)(x- 2.70)(x 一 4.80)(x- 5.66) (3.20 -1.00)(3.20 - 2.70)(3.20 - 4.80)(3.20 - 5.66)… (x-l ・00)(x-2・70)(x-3・20)(x-5・66) + 3 & 3 x -------------------------------------------(4.80 一 1.00)(4.80 一 2.70)(4.80 一 3.20)(4.80 一 5.66) (x-1.00)(x 一 2.70)(x 一 3.20)(x- 4.80)+ 51.7 x ---------------------- ---------------------(5.66 一 1.00)(5.66 一 2.70)(5.66 一 3.20)(5.66 - 4.80)Newton 插值多项式：^4(x) = 14.2 + 2.117647059(% -1.00)+ 2.855614973(x- 1.00)(x 一 2.70)一 0.527480131(x-1.00)(x 一 2.70)(x- 3.20)+ 0.21444779(“ 一 1.00)(x- 2.70)(x - 3.20)(x 一 4.80)差商表:2、设y = y(x),其反函数就是以y 为自变量得函数x = x(y)^x(j)作插值多项式: N(y)= 0.1000-0・3350(y — 0.7001)+ 0.009640( y-0.700 l)(y - 0.4016)+ 0.0153 l(y - 0.700 l)(y - 0.4016)(y - 0.1081) + 0.01253(0.7001)( V - 0.4016)(y -0.108 l)(y - 0.1744)N(0) = 0.3376 就是 y(x) = 0在［0.3, 0.4 ］中得近似根。

（五）课后习题4.1 对于积分⎰-aadx x f )(，以a x x a x ==-=210,0,为节点，构造形如⎰-++≈aax f A x f A x f A dx x f )()()()(221100的插值型求积公式，并讨论所得公式的代数精度。

解答：⎰⎰--=------=----=aa a a a dx a a a a x x dx x x x x x x x x A 31))(0())(0())(())((2010210⎰⎰--=-+-+=----=aa a a a dx a a a x a x dx x x x x x x x x A 34)0)(0())(())(())((2101201⎰⎰--=-+-+=----=aa a a a dx a a a x a x dx x x x x x x x x A 31)0)(()0)(())(())((1202102易知为Simpson 公式,因此代数精度为34.2 确定 下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度。

（1）⎰++≈2210)2()1()0()(f A f A f A dx x f（2）⎰-⋅++≈hh f f h h f f hdx x f 0''2)]()0([)]()0([2)(α解答：（1）令2,,1)(x x x f =，假定求积公式均准确成立，从而有： ⎰++==202102A A A dx 21022102⋅+⋅+⋅==⎰A A A xdx22212022210038⋅+⋅+⋅⋅==⎰A A A dx x 解以上三元线性方程组从得：34,31120===A A A ，显然仍为Simpson 公式,因此代数精度为3（2）求积公式中只含一个待定参数α，当x x f ,1)(=时，有 ⎰++=hh dx 00]11[2，⎰-++=h h h hxdx 02)11(]0[2α故令2)(x x f =时求积公式准确成立，即⎰-⨯++=hh h h h dx x 0222]202[]0[2α，解得121=α将3)(x x f =代入上述确定的求积公式，有：⎰-++=hh h h h dx x 02233]30[12]0[2，这说明求积公式至少有3次代数精度，再令 4)(x x f =，代入求积公式时有：⎰-++≠hh h h h dx x 03244]40[12]0[2故所建求积公式为⎰-++≈hh f f h h f f h dx x f 0''2)]()0([2)]()0([2)(4.3 对于xxx f sin )(=，利用下表数据，计算8,4=n 时的复合梯形公式84,T T ，以及4=n 复合Simpson 公式4S 的值。

计算⽅法-刘师少版课后习题答案1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*?≤=- x x .即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到⼩数点后第2位. ⼜近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10?50≤00000740=-.. x x 即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字.⽽近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有4-1*10?50≤00009260=-.. x x即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五⼊得到的，那么该数有s 位有效数字1.2 指出下列各数具有⼏位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00解（1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*?≤≤-=-x x xm -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字1x =2，相对误差限000025.010221102151)1(1=??=??=---n r x ε（2）∵－0.00200= -0.2×10-2, m =-25105.00000049.0)00200.0(-*?≤≤--=-x x xm -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字1x =2，相对误差限3110221-??=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4，0105.049.09000?<≤-=-*x x xm -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字4110921-??=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，2105.00049.000.9000-*?<≤-=-x x xm -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字相对误差限为6110921-??=rε＝0.000 00056 由(3)与(4)可以看到⼩数点之后的0，不是可有可⽆的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？解精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005,故⾄少要保留⼩数点后三位才可以.ln2≈0.693 2.1 ⽤⼆分法求⽅程013=--x x在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-?⾄少要⼆分多少？解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使⽤⼆分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满⾜ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝10.2.3 证明⽅程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有⼀个根，使⽤⼆分法求误差不超过0.5×10-4的根要⼆分多少次？证明令f (x )＝1－x －sin x ，∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.⼜ f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯⼀实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使⽤⼆分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满⾜ε<-+)(211a b k 即可，亦即7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝14.2.4 ⽅程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把⽅程写成四种不同的等价形式，并建⽴相应的迭代公式：（1）211xx +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+（3）112-=x x，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x试分析每种迭代公式的收敛性，并选取⼀种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。

A. det A = 0B.detA k = 0(1 乞 k n)c. detA 0D. det A ：： 0《计算方法》练习题一一、填空题1.理=3.14159…的近似值3.1428 ,准确数位是()。

2 .满足 f(a) = C, f(b) = d 的插值余项 R(X)=()。

3 .设｛P k (x)｝为勒让德多项式，则(F 2(χ), P 2(x)) - ( )o4 •乘幕法是求实方阵()特征值与特征向量的迭代法。

5 .欧拉法的绝对稳定实区间是()o6. e =2.71828…具有3位有效数字的近似值是( )。

7 .用辛卜生公式计算积分[fc ( ) oVHx8 .设A (kJ0 =(a (Z )第k 列主兀为a Pk J),则a (Pk A) =()10 •已知迭代法：X n 1 =(X n ), (n=0,1,…)收敛，则：(x)满足条件()。

、单选题1•已知近似数a,b,的误差限；(a), ；(b),则；(ab)=()。

A. E(a)E(b)B. E(a)+^(b)c. ag(a)+∣bw(b) D . a E (b)+'b w(a)2 .设 f(x) =X 2 X ,则 f[1,2,3]=()。

A.lB. 2C. 3D .4 3 . 设A =们 ,则化A 为对角阵的平面旋转 Q =().：1 3一ππππ A.—B .—C .—D .—23 464 . 若双点弦法收敛， 则双点弦法具有()敛速.A.线性B.超线性C.平方D .三次5 .改进欧拉法的局部截断误差阶是().A. o(h)Bo(h 2)C.o(h 3)D.o(h 4)6 .近似数 a = 20.47820 "0的误差限是()o1 一 c -51 _ -4 1__3 1 _ _2A. ×10B.×10 C.×10D . × 1022229 .已知贝TtJ 1 25 4_-7 .矩阵A满足(),则存在三角分解A=LR)&已知 X =(—1,3,-5)T ,则 X 1 =()。

第4章位运算一、复习题1．逻辑运算和算术运算有什么区别？答：逻辑运算是把二进制位看成逻辑值（真或假）进行的运算，包括或运算、与运算、非运算和异或运算。

算术运算是把二进制位看成数值（整数、浮点数）进行的运算，包括加、减、乘、除运算。

2．乘法与加法有什么关系？请举例说明。

答：乘法相当于连加。

例如：3*2=2+2+2。

3．在最后的相加中，最左边一列是怎样进位的？答：如果最左边的列相加后还有进位，则舍弃进位。

4．N（位分配单位）可以等于1吗？为什么？答：不可以，因为在N位分配单位中，最左边的数用来表示正负。

当N=1时，不能表示任何数。

5．解释“溢出”这个词。

答：是指试图把一个数存储在超出指定分配单元所允许的范围时发生的错误。

6．在浮点数的加法运算中，怎么样调整指数不同的数的表示？答：移动小数点，使两者指数相同。

一般调整小指数为大指数。

7．一元运算和二元运算有何不同？答：一元运算输入一个位模式输出一个位模式。

二元运算输入二个位模式输出一个位模式。

8．二元逻辑有哪些？答：或运算、与运算和异或运算。

9．什么是真值表？答：所有输入组合与相应的输出值的对照表。

10．非运算符的作用是什么？答：有1个输入操作数，对输入的位模式逐位取反，即将0变为1，将1变为0。

11．与运算符的结果何时为真？答：当两个操作数同时为真时，与运算的结果为真。

12．或运算符的结果何时为真？答：当两个操作数不全为假时，或运算的结果为真。

13．异或运算符的结果何时为真？答：当两个操作数不相同时，异或运算符的结果为真。

14．何谓与运算符的固有规则？答：任何数与0进行与运算的结果为0。

15．何谓或运算符的固有规则？答：任何数与1进行或运算的结果为1。

16．何谓异或运算符的固有规则？答：如果一个输入位为1，则运算结果就是另一个输入的相对应位取反。

17．何种二元运算可以用来置位？掩码应该用什么位模式？答：或运算。

对于目标位模式中需要置1的位，掩码的相应位设为1。

1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。

3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。

4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。

5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。

6、 已知近似值2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y =≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。

9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。

10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。

七年级数学课本第4章复习题答案在复习七年级数学课本第4章时，我们通常会涉及到一些基础的数学概念和运算，如分数的加减乘除、比例问题、以及简单的几何知识等。

以下是一些可能的复习题答案示例，但请注意，这些答案需要根据实际课本内容和习题来确定。

1. 分数的加减法：当分母相同时，分子相加或相减，分母不变。

当分母不同时，需要先找到通分母，再进行加减运算。

2. 分数的乘法：分子相乘的积作为新分数的分子，分母相乘的积作为新分数的分母。

3. 分数的除法：除以一个分数等于乘以它的倒数。

即，\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times\frac{d}{c} \)。

4. 比例的计算：如果两个数的比值相等，那么它们的比例也相等。

例如，\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) 意味着 \( a \) 和 \( b \) 的比例与 \( c \) 和 \( d \) 的比例相同。

5. 几何图形的周长和面积计算：对于矩形，周长 \( P = 2(l + w) \)，面积 \( A = l \times w \)，其中 \( l \) 是长度，\( w \)是宽度。

对于三角形，如果知道底和高，面积 \( A = \frac{1}{2}\times \text{底} \times \text{高} \)。

6. 单位换算：在进行单位换算时，需要了解不同单位之间的换算关系。

例如，1米等于100厘米。

7. 应用题：解决实际问题时，需要将问题转化为数学表达式，然后根据数学知识求解。

例如，如果一个班级有30个学生，其中男生和女生的比例是3:2，那么男生和女生各有多少人？8. 图形的对称性：在几何学中，了解图形的对称性有助于解决关于图形分割和组合的问题。

在复习时，重要的是理解每个概念背后的原理，并且能够灵活运用这些原理来解决不同类型的问题。

同时，通过做大量的练习题来巩固所学知识也是非常有帮助的。

第四章 习题答案1。

用Gauss 消去法解方程组12312312323463525433032x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对其进行Gauss 消去得123234414726002x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭得方程组12312323323461314482224x x x x x x x x x ++=⎧=-⎧⎪⎪⎪-=-⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩-=-⎪⎩ 2。

用Gauss 列主元素消去法解方程组1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12r r ↔−−−→1231070732645156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭21311310122310707161061010550522r r r r x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23r r ↔−−−→12310707550522161061010x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭32125r r +−−−→1231070755052231310055x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到方程组12123233107705551221313155x x x x x x x x ⎧⎪-==⎧⎪⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩ 3。

1.1.1 给出以下表达式的值：a. ( 0 + 15 ) / 2b. 2.0e-6 * 100000000.1c. true && false || true && true答案：a.7,b.200.0000002 c.ture1.1.2 给出以下表达式的类型和值：a. (1 + 2.236)/2b. 1 + 2 + 3 + 4.0c. 4.1 >= 4d. 1 + 2 + "3"答案：a.1.618 b. 10.0 c.true d.331.1.3 编写一个程序，从命令行得到三个整数参数。

如果它们都相等则打印equal，否则打印not equal。

public class TestUqual{public static void main(String[] args){int a,b,c;a=b=c=0;StdOut.println("Please enter three numbers");a =StdIn.readInt();b=StdIn.readInt();c=StdIn.readInt();if(equals(a,b,c)==1){StdOut.print("equal");}else{StdOut.print("not equal");}}public static int equals(int a ,int b , int c){if(a==b&&b==c){return 1;}else{return 0;}}}1.1.4 下列语句各有什么问题（如果有的话）？a. if (a > b) then c = 0;b. if a > b { c = 0; }c. if (a > b) c = 0;d. if (a > b) c = 0 else b = 0;答案：a. if (a > b) c = 0; b. if (a > b) { c = 0; }1.1.5 编写一段程序，如果double 类型的变量x 和y 都严格位于0 和1 之间则打印true，否则打印false。