下载文档原格式
⼤学物理学习指导第2章流体⼒学基础第2章流体⼒学基础2.1 内容提要(⼀)基本概念 1.流体：由许多彼此能够相对运动的流体元(物质微团)所组成的连续介质，具有流动性，常被称为流体。
流体是液体和⽓体的总称。
2.流体元：微团或流体质量元，它是由⼤量分⼦组成的集合体。
从宏观上看，流体质量元⾜够⼩，⼩到仅是⼀个⼏何点，只有这样才能确定流体中某点的某个物理量的⼤⼩；从微观上看，流体质量元⼜⾜够⼤，⼤到包含相当多的分⼦数，使描述流体元的宏观物理量有确定的值，⽽不受分⼦微观运动的影响。
因此，流体元具有微观⼤，宏观⼩的特点。
3.理想流体：指绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体。
它是实际流体的理想化模型。
4.定常流动：指流体的流动状态不随时间发⽣变化的流动。
流体做定常流动时，流体中各流体元在流经空间任⼀点的流速不随时间发⽣变化，但各点的流速可以不同。
5.流线：是分布在流体流经区域中的许多假想的曲线，曲线上每⼀点的切线⽅向和该点流体元的速度⽅向⼀致。
流线不可相交，且流速⼤的地⽅流线密，反之则稀。
6.流管：由⼀束流线围成的管状区域称为流管。
对于定常流动，流体只在管内流动。
流线是流管截⾯积为零的极限状态。
（⼆）两个基本原理 1.连续性原理：理想流体在同⼀细流管内，任意两个垂直于该流管的截⾯S 1、S 2，流速v 1、v 2，密度ρ1、ρ2，则有111211v v S S ρρ= （2.1a ）它表明，在定常流动中，同⼀细流管任⼀截⾯处的质量密度、流速和截⾯⾯积的乘积是⼀个常数。
也叫质量守恒⽅程。
若ρ为常量，则有Q = S v = 常量（2.1b ）它表明，对于理想流体的定常流动，同⼀细流管中任⼀截⾯处的流速与截⾯⾯积的乘积是⼀个常量。
也叫体积流量守恒定律或连续性⽅程。
2 伯努利⽅程：理想流体在同⼀细流管中任意两个截⾯处其截⾯积S ，流速v ，⾼度h ，压强p 之间有11222121gh p gh p ρρρρ++=++2122v v (2.2) 或写成常量=++gh p ρρ221v 。
理论力学中的流体力学基础在理论力学领域中，流体力学是研究液体和气体在力学规律下的行为及其相互作用的学科。
它是力学的一个重要分支，被广泛应用于工程、地质、天文等领域，为解释和预测自然现象和工程问题提供了重要理论基础。
本文将介绍理论力学中的流体力学基础，包括连续性方程、动量方程和能量方程等内容。
1. 连续性方程连续性方程是流体力学中最基本的方程之一，描述了流体质点在空间中的运动特性。
它基于质量守恒定律，即在任意给定的时间和空间内，流体质点所占据的体积是不变的。
数学上，连续性方程可以表达为：∇·v + ∂ρ/∂t = 0，其中，v是流体质点的速度矢量，ρ是流体的密度。
这个方程告诉我们，对于一个连续流体体系，如果流体速度增大，其密度将减小，反之亦然。
2. 动量方程动量方程描述了流体运动中的力和加速度之间的关系。
理解动量方程对于研究流体力学中的流动行为非常重要。
动量方程可以写成：ρ(dv/dt) = -∇p + ∇·τ + ρg，其中，ρ是流体的密度，dv/dt是速度矢量的时间导数，p是流体的压力，τ是模拟流体粘性的应力张量，g是重力加速度矢量。
这个方程说明了动量的变化率与压力梯度、摩擦力和重力之间的关系。
简单来说，当我们施加力于流体时，它将产生加速度，并随时间推移改变其速度和位置。
3. 能量方程能量方程是描述流体力学中的能量转移和转换的方程。
它如下所示：ρ[(∂e/∂t) + v·∇e] = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρv·g + Q，其中，e是单位质量的流体的内能，v是速度矢量，p是压力，k是热传导率，T是温度，g是重力加速度矢量，Q是单位质量的流体受到的外部能量源。
能量方程描述了流体在运动和传热时的能量转化过程。
它包括了压力做功、粘性耗散、重力势能转化、热传导和外部能量源等因素。
结语通过对理论力学中流体力学基础的讨论，我们了解到连续性方程、动量方程和能量方程在描述流体运动和相互作用方面的重要性。
第二章流體力學基礎
1.流動描述法
在質點力學和固體力學的學科中，因可以很清楚看到或想像質點或固體的運動情形，所以，也就比較容易去分析。
流體雖然可視為由無數的流體質點或元素(element)所組成，但是，在分析或想像流體各質點的運動時，就可能引起困難。
為研究流體流動的問題，通常有兩種不同定義流場流動的描述或分析的方法，分別是拉氏描述法(Lagrangian method of description)和歐拉氏(Eulerian method of description)描述法。
甲、拉氏描述法
這種描述法的觀念和分析質點力學的問題相同，即視流體
的流動是由無數個流體質點或元素所組成。
茲假設某一流
體質點(取名為A質點)的運動軌跡或路徑(pathline)為已
知，則該運動軌跡在卡氏座標(Cartesian coordinates)上可表
示為：
r= r(ξA, t) = x i+ y j+ z k
式中，
ξA = x A i+ y A j+ z A k
=流體A質點在已知時間t時的位置向量，故為已
知值。
因此，流體A 質點隨時間而運動的軌跡r ，應僅為時間t 的函數，其分量為
x = F x (ξA , t )
y = F y (ξA , t ) (2-1) z = F z (ξA , t )
所以，流體A 質點運動的速度(u , v, w )和加速度(a x , a y , a z )，可依定義對時間t 微分而得。
即：
u = (dt dx )A ξ a x = (dt du )A ξ = (22dt
x d )A ξ
v = (dt dy )A ξ (2-2) a y = (dt dv )A ξ = (22dt y
d )A ξ (2-3)
w = (dt dz )A ξ a z = (dt dw )A ξ = (22dt
z
d )A ξ
顯然地，這些結果和質點力學所表示的式子是完全相同的。
乙 歐拉氏描述法
這種描述法的觀念是在流場中隨意選取某定點P 或固定區域，然後注視佔據該定點P 或固定區域上的流體，注意其流動變數(flow variables)的變動情形。
歐拉假設流體的流動情形，可以一速度場ν表示：
ν = ν(r , t ) = u i + v j + w k
流體質點P 的運動軌跡
x
式中，r = x i + y j + z k 為流場中隨意選定的位置向量。
因此，流場的速度ν為位置和時間的函數，其速度分量可表示為
u = f x (x , y , z , t )
v = f y (x , y , z , t ) (2-4) w = f z (x , y , z , t )
如此，如流場以流動的速度場表示時，即為歐拉氏描述法。
依從歐拉氏描述法，在某時刻t 的速度場中，可知P 點上的速度為ν，其分量如式(2-4)所示。
而在另一方面，若依從拉氏描述法，定義當時佔據P 點上的流體質點為P 質點，然後採取拉氏描述法的觀念，則可應用P 質點的運動軌跡，求得P 質點佔據P 點時的速度，而其x 向的速度分量u 可表示為
歐拉氏描述法
(
dt
dx
)p = u = f x (p r , t ) =已知 拉氏描述法
因此，上式最左項對時間t 積分後，可得流體質點的運動軌跡：
x = ⎰t
T f x (p r , t ) dt = F x (p r , t ) y = ⎰t T f y (p r , t ) dt = F x (p r , t ) z = ⎰t T f z (p r , t ) dt = F x (p r , t )
上式，即為拉氏描述法所得的結果(即式2-1)，其中p r 即為P 質點某在時刻t 的位置向量。
由此知，拉氏的描述法和歐拉氏的描述法是互通的。
在研究一般流體力學的問題，如採取拉氏描述法的觀念，則較簡單易懂，其結果也可以從積分獲得流體質點的運動軌跡(即拉氏描述法所得的結果)。
因此，在以後的討論中，均採用歐拉的方法來描述流場，作為分析和研究流體運動的依據。
2. 流體質點加速度
茲有一流場，場中各點的速度ν為位置向量r 與時間t 的函數(此即為歐拉的流動描述法)。
依據全微分的定義，則流場中各點的加速度為
a = t
t t t t ∆ν-∆+ν→∆)
()(lim
=
t δν∂+x δν∂(dt dx )+y δν∂(dt
dy )+z δν∂(dt dz ) 上式中∆t →0的意義，必須針對同一個流體質點的運動路徑才具有物理意義，亦即必須隨著流體的運動，其速度ν為
ν = ν(r , t ) = u i + v j + w k = 流體的流動速度
因此，得
(dt dx ) = u ， (dt dy ) = v ， (dt
dz
) = w
所以，流場中各點的加速度，即為該點上流體質點的加速度，或稱為實質(material 或substantial)加速度，可表示為
a =
Dt
D υ =
t
δν∂ + (ν ⋅ ∇)ν
(2-5)
= 局部加速度 + 對流加速度
式中，
Dt
D = t δ∂
( ) + (ν ⋅ ∇)( )
稱為實質導數式，將經常在以後章節中出現。
3. 控制體方法
在流場中圈選一有限空間或體積，然後注視該體積上流體物理量(如質量，動量或能量等)的變化情形，稱為控制體分析方法(Control V olume Approach)。
這種利用控制體的分析方法，即為熱力學上的開放系統(open system)分析法。
當時間為t 0時，將佔據控制體上的流體視為物理系統(physical system)，系統中含有某物理量N(t 0)。
當時間為(t 0+∆t)時，該流體系統的物理量成為N(t 0+∆t)。
因此，有部份流體系統流出控制體外(III)，有部份流體系統仍留在控制體內(II)，至於控制體中所空出的部份，則由外圍的流體填滿(I)，詳情如下圖所示：
0+∆t)時間之流體系統
因此，該流體系統中物理量隨流體流動的變化率為
Dt DN =0t lim →∆(t )
t (N )t t (N 00∆-∆+) (2-6) 上式中，流體的物理量N 為整體物理量(extensive property)，其定義為
N =
⎰η
system
(ρd ) (2-7)
其中η為流體單位質量的物理量，稱為密集物理量(intensive property)。
例如，流體的整體質量M 、整體動量P
和整體能量E 可分別寫成：
M =
⎰
system
(ρd ) 因此，η＝ 1
P =
⎰
system
V (ρd ) 因此，η＝ V
E = ⎰system
e (ρd ) 因此，η＝ e = u +
2V 2
+ gz
依據式（2-6）的定義，流體系統由時間t 0到t 0+△t 的流動關係，必須跟隨t 0時的流體系統才有意義。
因此，式(2-6)可寫成
Dt DN
=0
t lim →∆(t )NI NII ()NII NIII (0t t 0t ∆+-+∆+)
=0
t lim →∆(
t
)
NI NIII ()NII NII (0t t 0t 0t t 0t ∆-+-∆+∆+)
=
⎰⎰⎰⋅ρη+ρη∂∂
.
c .
s .c )A d v ()d (t (2-8) 因此，流體系統物理量隨流體流動的變化率共有兩部份，即：控制體內流體物理量隨時間的變化率和流體系統在當時經控制體表面流入和流出控制體的物理量。
這個連結物質運動的拉氏觀念和選擇空間控制體歐拉氏觀念的關係式(2-8)稱為雷諾轉換原理（Reynolds Transport Theory ）。
4. 質量守恆
質量守恆(mass conservation)的意義是流動系統的質量M ，在流動過程中永不改變。
即
Dt DM = Dt D
(⎰ρsystem
d ) = 0
從式(2-7)的積分定義知，η=1，因此從雷諾轉換公式(2-8)的關係，可得
⎰⎰⎰⋅ρ+ρ∂∂
.
c .
s .c A d v d t = 0 此即為質量守恆公式。
