大学数学(高数微积分)专题三第1讲(课堂讲义)
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《微积分》讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
高等数学第三版教学课件3-1-2
《高等数学》
课堂练习
§3.1.2不定积分的计算
用凑微分法求下列不定积分
(1) (3x 1)5dx ；
(2)
1 dx ； x4
(3) sin2 xcos xdx ；
(4) xex2 dx ；
《高等数学》
新知识
§3.1.2不定积分的计算
2. 不定积分的分部积分法
分部积分法是与两个函数乘积的导数运算法则对应的，也是一种基本积分方法．
例 14 求 xln xdx ．
解
x
ln
xdx
ln
xd(
1 2
x2
)
1 2
x2
ln
x
1 2
x2d(
ln
x)
1 2
x2
ln
x
1 2
x2
1 x
dx
1 2
x2
ln
x
1 2
xd x
1 x2 ln x 1 x2 C ．
2
4
有时需要连续两次凑微分，然后应用分部积分公式进行计算
《高等数学》
知识巩固
§3.1.2不定积分的计算
例 15 求 xcos2xdx ．
解
xcos2xdx
1 2
xcos2xd(2x)
1 2
xd(sin2x)
1 2
(
x sin
2x
sin2xdx)
1 2
[x
sin
2x
1 2
sin2xd(2x)]
1 2
[x
sin
2x
1 2
cos
2x]
C
1 xsin 2x 1 cos 2x C ．
2
微积分专题讲座讲义
d dy dy 2 dy dt d y dt dx ） 公式法） ；⑷参数方程确定的函数（用导数公式： ， 2 ；⑸抽象函数（正确使用导数记 dx dx dx dx dt dt
号，注意 f ( x ) 和 [ f ( x )] 的区别） ；⑹幂指函数（对数求导法） ；⑺反函数（导数公式：
2 0
f (sin x)dx ；
▲记 I n
2 0
sin n xdx 2 cos n xdx ，则有递推公式 I n
0
n 1 I n2 . n
⑤含 f ， f （用分部积分） ⑥变限积分（用分部积分） 若 f ( x) 在 [ a, b] 上连续，则 ( x) 公式
x a
f (t )dt 在 [a, b] 上可导，且 x [a, b] ， ( x) f ( x) .
d b d ( x) f (t )dt f ( x) ； f (t )dt f ( ( x)) ( x) ； dx x dx a d ( x) f (t )dt f ( ( x)) ( x) f ( ( x)) ( x) dx ( x ) ▲当被积函数含变量 x 时不能直接求导， 必须将变量 x 从被积函数中分离出去， 常用的方法是： 提出去或者换元.
【- 4 -】
一、一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式是： F ( x, y, y) 0 ，解出 y ：
dy f ( x, y ) ，要求掌握变量可分离的微分方程、一阶 dx
线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法. 求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 二、可降阶的微分方程 1. y f ( x) 型的微分方程 特点：右端仅含 x .解法：积分两次. 2. y f ( x, y) 型的微分方程 特点：右端不显含未知函数 y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令 y p ，则 y
《高等数学(一)微积分》讲义
1．概念回顾
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A ．
n→∞ x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
知识点：设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ，
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
6/69
5n − 4 n − 1 例 6.（1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
5
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5：
x+5 ． 求 lim 2 x →∞ x − 9
解：
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0． lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A ．
n→∞ x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
知识点：设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ，
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
6/69
5n − 4 n − 1 例 6.（1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
5
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5：
x+5 ． 求 lim 2 x →∞ x − 9
解：
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0． lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +
微积分高等数学课件完整版
y csc x
5.反三角函数
反正弦函数 y arcsin 函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域 自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
函数的两要素: 定义域与对应法则.
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( a , a ) ( a 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在( , ) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 六、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 七、求 f ( x ) x 的反函数，并指出其定义域. x e e
5.反三角函数
反正弦函数 y arcsin 函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域 自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
函数的两要素: 定义域与对应法则.
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( a , a ) ( a 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在( , ) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 六、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 七、求 f ( x ) x 的反函数，并指出其定义域. x e e
《微积分》第一篇第三章讲-义--导数的应用市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
高等数学基础
微积分
第三章 导 数 应 用
本章要点：
•极大（小）值，边际及需求弹性概念
本章难点：
•极值点，导数在几何、经济分析中旳 应用
注：3.2节－－“函数极值”只要了解概念
一、函数旳单调性
主要学会用导数去判断函数旳单调性。
1、单调性定义： P－8
什么叫函数旳单调性？1.1节中定义函 数旳单调性为：一种函数在一种区间之间 伴随自变量旳增长，函数值也在增长，叫 做单调增长旳；假如伴随自变量旳增长， 函数值却在降低，叫做单调降低旳．
措施一：用定义鉴别，见P-9例8。 这种措施一般较麻烦、计算困难。
措施二：用一阶导数鉴别法 定理3.1
定理3.1
P－124
设函数y f (x)在区间[a,b]上连续，在
区间(a, b)上可导.
(1)如果x (a,b)时f (x) 0，则f (x)在
[a, b]上单调增加；
(2)如果x (a,b)时f (x) 0，则f (x)在
2
二、函 数 极 值
1、函数极值旳定义：
(1) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 大值, 称x0为函数f (x)的极大值点. (2) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 小值, 称x0为函数f (x)的极小值点.
函数旳极大值与极小值统称为函数 旳极值，极大值点与极小值点统称为极 值点．
(1) 列出目旳函数：此处旳目旳函数就是使所 求实际问题到达最大值或最小值旳函数。 (2) 对目的函数求导数；
(3) 令目旳函数旳导数为0，求出驻点；
(4) 若驻点惟一，则该驻点就是我们所求旳最 值点； (5) 得出结论。
3、经济分析中旳最值问题 例3.2 生产某种产品q台的边际成本为C(q)
微积分
第三章 导 数 应 用
本章要点：
•极大（小）值，边际及需求弹性概念
本章难点：
•极值点，导数在几何、经济分析中旳 应用
注：3.2节－－“函数极值”只要了解概念
一、函数旳单调性
主要学会用导数去判断函数旳单调性。
1、单调性定义： P－8
什么叫函数旳单调性？1.1节中定义函 数旳单调性为：一种函数在一种区间之间 伴随自变量旳增长，函数值也在增长，叫 做单调增长旳；假如伴随自变量旳增长， 函数值却在降低，叫做单调降低旳．
措施一：用定义鉴别，见P-9例8。 这种措施一般较麻烦、计算困难。
措施二：用一阶导数鉴别法 定理3.1
定理3.1
P－124
设函数y f (x)在区间[a,b]上连续，在
区间(a, b)上可导.
(1)如果x (a,b)时f (x) 0，则f (x)在
[a, b]上单调增加；
(2)如果x (a,b)时f (x) 0，则f (x)在
2
二、函 数 极 值
1、函数极值旳定义：
(1) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 大值, 称x0为函数f (x)的极大值点. (2) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 小值, 称x0为函数f (x)的极小值点.
函数旳极大值与极小值统称为函数 旳极值，极大值点与极小值点统称为极 值点．
(1) 列出目旳函数：此处旳目旳函数就是使所 求实际问题到达最大值或最小值旳函数。 (2) 对目的函数求导数；
(3) 令目旳函数旳导数为0，求出驻点；
(4) 若驻点惟一，则该驻点就是我们所求旳最 值点； (5) 得出结论。
3、经济分析中旳最值问题 例3.2 生产某种产品q台的边际成本为C(q)
第一课同济大学微积分第三版课件第一章第一节
典型问题一 面积问题
如图, 求由曲线 y x2 , x 1与x轴围成区域的面积.
解决方法
1.将区间0,1n 等分, 分点依 y
次为
1 , 2 , , n 1.
nn
n
y x2
O
1x
2.以这些分点为基础, 构作n个矩形, 并以矩形面积
之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
Sn
前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节中 我们将全面引入各类形式的极限.
精品课件！
精品课件！
0
1 n
1 n
2
1 n
2 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
1 n3
12
22
(n
1)2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
Hale Waihona Puke 1 n ,
3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 近. 由此得到曲边三角形面积S.
为什么每本微积分教程都以极限理论作为其开始部分的 内容.
在本章中, 我们将介绍极限的概念、性质和运算法则. 介绍与极限概念密切相关、且在微积分运算中扮演重要 角色的无穷小量; 我们还将求得两个应用非常广泛的重 要极限.
在本章的最后部分将引入一类最重要的函数—— 连续函数.
第一节 微积分中的极限方法
高数3-1
第三章 微分中值定理与导数的应用 本章主题词：中值定理、罗必达法则、单 调性、凸性、极值、拐点、弧微分、渐近线
数学还有另一个重要的作用，这就 是通过对数学知识的介绍，对数学问题 的解决，教会人们一种重要的分析问 题，解决问题的思想方法。简单地讲， 数学教会人如何进行逻辑推理，如何进 行正确的抽象思维，如何在纷繁的事物 中抓住主要的联系，并如何使用明确的 概念，等等。丁石孙（中国数学家）
(0 < θ < 1).
3. 记a = x0 , b = x0 + Δx , 则有 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx ( 0 < θ < 1). 也可写成 Δy = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx (0 < θ < 1).
ξ在a与b之间.
2. 注意到，只要 a ≠ b, 均有 ξ −a ξ −a ＝θ 0< <1 记
b−a
b−a 则 ξ = a + θ (b − a ), 于是，拉格朗日中值公式又有形式：
(0 < θ < 1)
f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a ))(b − a ),
则F ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b )内可导， f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) a = , F (a ) = f (a ) − b−a b−a f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) b = , F (b) = f (b) − b−a b−a ∴ F (a ) = F (b ). 即F ( x )满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′( ξ ) = 0.
数学还有另一个重要的作用，这就 是通过对数学知识的介绍，对数学问题 的解决，教会人们一种重要的分析问 题，解决问题的思想方法。简单地讲， 数学教会人如何进行逻辑推理，如何进 行正确的抽象思维，如何在纷繁的事物 中抓住主要的联系，并如何使用明确的 概念，等等。丁石孙（中国数学家）
(0 < θ < 1).
3. 记a = x0 , b = x0 + Δx , 则有 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx ( 0 < θ < 1). 也可写成 Δy = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx (0 < θ < 1).
ξ在a与b之间.
2. 注意到，只要 a ≠ b, 均有 ξ −a ξ −a ＝θ 0< <1 记
b−a
b−a 则 ξ = a + θ (b − a ), 于是，拉格朗日中值公式又有形式：
(0 < θ < 1)
f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a ))(b − a ),
则F ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b )内可导， f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) a = , F (a ) = f (a ) − b−a b−a f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) b = , F (b) = f (b) − b−a b−a ∴ F (a ) = F (b ). 即F ( x )满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′( ξ ) = 0.
微积分31微分中值定理省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
比如,
x2 -1 x 1
f (x)
0 x 1
f (0) 0
0 1X
第6页
例1 证明方程 x5 x 1 0 有且仅有一个正实根 . 证: 1）存在性
设 f ( x) x5 x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 1. 由零点定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程正实根.
f ( x) a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n o( x x0 )n
Pn ( x)
Rn ( x)
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
第18页
2 Pn和 Rn的确定
近似程度越来越好
分析:
1.若在 x0 点相交
y
Pn ( x0 ) f ( x0 )
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
第13页
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
一点C(F (), f ()),在
该点处的切线平行于
A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
第12页
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x)
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讲
栏 目
项和．
开 关
(1)若 a1>0，当 Sn 取得最大值时，求 n 的值；
(2)若 a1＝－46，记 bn＝Sn－n an，求 bn 的最小值．
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解 (1)设{an}的公差为 d，则 由 3a5＝5a8，得 3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－223a1.
∴Sn＝na1＋nn－2 1×－223a1＝－213a1n2＋2243a1n
本 讲
思想的运用．
栏
目 开
(2)等差数列的性质
关
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列； ③am－an＝(m－n)d⇔d＝amm－－ann(m，n∈N*)；
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④
an bn
＝
A2n－1 B2n－1
(A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的
则 10<4＋λ，得 λ>6.
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等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法
(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求
本 讲
解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．
栏
目 开
(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问
关
题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应
公差为13的等差数列，
本 则 bn＝1＋13(n－1)＝n＋3 2，
讲 栏 目
则 an＝3nbn＝(n＋2)×3n－1，
开
关 从而有n＋an2＝3n－1，
故 Sn＝a31＋a42＋a53＋…＋n＋an2
＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝11－－33n＝3n－2 1，
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则SS2nn＝332nn－－11＝3n＋1 1，
解得q＝32(q＝－1不合题意，舍去)．
答案 (1)D
3 (2)2
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(1)证明数列是等比数列的两个方法：①利用定
义：aan＋n 1(n∈N*)是常数，②利用等比中项a2n＝an－1an＋1(n≥2，
本 n∈N*)．
讲
栏 目
(2)等比数列中的五个量：a1，an，q，n，Sn可以“知三求
开
关 二”．
所有正整数 n 的值．
开
关 (1)证明 由 bn＝3－nan 得 an＝3nbn，
则 an＋1＝3n＋1bn＋1.
代入an＋1－3an＝3n中，得3n＋1bn＋1－3n＋1bn＝3n，
即得bn＋1－bn＝13.
所以数列{bn}是等差数列．
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(2)解 因为数列{bn}是首项为 b1＝3－1a1＝1，
主干知识梳理
(1)定义法
(1)定义法
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋ (2)中项公式法：a2n＋1＝
an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列 an·an ＋ 2(n≥1)(an≠0)
本
判 (3) 通 项 公 式 法 ： an ＝ pn ＋ ⇔{an}为等比数列
讲 栏 目
定 q(p、q 为常数)⇔{an}为等差 (3)通项公式法：
本 ＝2n＋5n0－52≥2 2n×5n0－52＝－32，
讲
栏 目 开 关
当且仅当2n＝5n0，即n＝5时，等号成立．
故 bn 的最小值为－32.
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(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公
差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而
解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程
本 讲 栏
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
目 开 关
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
(2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝
－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于
()
A．3
本 讲 栏
由1218<SS2nn<14，得1128<3n＋1 1<14，
目
开 关
即3<3n<127，得1<n≤4.
故满足不等式1128<SS2nn<14的所有正整数n的值为2,3,4.
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1．在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn 五个量中知道其
中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般
第1讲 等差数列、等比数列
【高考考情解读】
高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：
本 讲
1．以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列
栏
目 开
的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的
关
计算问题，属于基础题；
2．以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通
项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考
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考点三 等差数列、等比数列的综合应用
例3 已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺
本 讲
序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存
栏
假设存在 n，使得 Sn≥2 013，
本 则 1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.
讲
栏 目
当 n 为偶数时，(－2)n>0.上式不成立；
开
关 当 n 为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，
即 2n≥2 012，则 n≥11.
综上，存在符合条件的正整数 n，且所有这样的 n 的集合为 {n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
{Sn}是递增数列，但 S1＝－1<0，故 C 错误；
对任意 n∈N*，Sn 均大于 0 时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列， D 正确．
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(2)am＝2，am＋1＝3，故 d＝1，
因为 Sm＝0，故 ma1＋mm2－1d＝0，
本 故 a1＝－m－2 1，
讲
栏 目 开
因为 am＋am＋1＝5，
本
讲 栏 目 开
＝－213a1(n－12)2＋12434a1.
关
∵a1>0，∴当 n＝12 时，Sn 取得最大值．
(2)由(1)及 a1＝－46，得 d＝－223×(－46)＝4，
∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50，
Sn＝－46n＋nn－ 2 1×4＝2n2－48n.
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∴bn＝Sn－n an＝2n2－5n2n＋50
{logaan}为等差数列
且 a≠1)
主干知识梳理
(1)若 m、n、p、q∈N*，(1)若 m、n、p、q∈N*，
且 m＋n＝p＋q，则
本 讲 栏 目 开 关
性质
且 m＋n＝p＋q，则 ＋an＝ap＋aq (2)an＝am＋(n－m)d
am
am·an＝ap·aq (2)an＝amqn－m (3)等比数列依次每
本 和)．
讲
栏 目
(3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)
开
关 是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn＝An2＋
Bn(A2＋B2≠0)．
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(1)(2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数
列{an}的前n项和，则下列命题错．误．的是
()
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
故aan－n 1＝－2，故 an＝(－2)n－1.
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(2)(2013·湖北)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3
成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
①求数列{an}的通项公式；
②是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条
本 讲
件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
开 关
数列 方
an＝c·qn(c、q 均是不为
法 (4)前 n 项和公式法：Sn＝An2 0 的 常 数 ， n∈N*) ⇔
＋Bn(A、B 为常数)⇔{an}为 {an}为等比数列
等差数列
(4){an} 为 等 差 数 列 ⇔
(5){an}为等比数列，an>0⇔ {a an } 为 等 比 数 列 (a>0
B．4
C．5
D．6
热点分类突破
解析 (1)利用函数思想，通过讨论 Sn＝d2n2＋a1－d2n 的单调
性判断．
本 讲
设{an}的首项为 a1，则 Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋a1－d2n.
栏
目 开
由二次函数性质知 Sn 有最大值时，则 d<0，故 A、B 正确；
关
因为{Sn}为递增数列，则 d>0，不妨设 a1＝－1，d＝2，显然
栏
目 开 关
解
①设等比数列{an}的公比为 q，则 a1≠0，q≠0.由题意得
S2－S4＝S3－S2， a2＋a3＋a4＝－18.
即－ a1qa11q＋2－qa＋1qq32＝＝a1－q21，8，
解得aq1＝＝－3，2. 故数列{an}的通项公式为 an＝3×(－2)n－1.
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②由①有 Sn＝3[11－－－－22n]＝1－(－2)n.
目 开
在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数
关
λ的取值范围．
解 (1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，