大学数学(高数微积分)专题三第1讲(课堂讲义)
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《微积分》讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
高等数学第三版教学课件3-1-2
《高等数学》
课堂练习
§3.1.2不定积分的计算
用凑微分法求下列不定积分
(1) (3x 1)5dx ；
(2)
1 dx ； x4
(3) sin2 xcos xdx ；
(4) xex2 dx ；
《高等数学》
新知识
§3.1.2不定积分的计算
2. 不定积分的分部积分法
分部积分法是与两个函数乘积的导数运算法则对应的，也是一种基本积分方法．
例 14 求 xln xdx ．
解
x
ln
xdx
ln
xd(
1 2
x2
)
1 2
x2
ln
x
1 2
x2d(
ln
x)
1 2
x2
ln
x
1 2
x2
1 x
dx
1 2
x2
ln
x
1 2
xd x
1 x2 ln x 1 x2 C ．
2
4
有时需要连续两次凑微分，然后应用分部积分公式进行计算
《高等数学》
知识巩固
§3.1.2不定积分的计算
例 15 求 xcos2xdx ．
解
xcos2xdx
1 2
xcos2xd(2x)
1 2
xd(sin2x)
1 2
(
x sin
2x
sin2xdx)
1 2
[x
sin
2x
1 2
sin2xd(2x)]
1 2
[x
sin
2x
1 2
cos
2x]
C
1 xsin 2x 1 cos 2x C ．
2
微积分专题讲座讲义
d dy dy 2 dy dt d y dt dx ） 公式法） ；⑷参数方程确定的函数（用导数公式： ， 2 ；⑸抽象函数（正确使用导数记 dx dx dx dx dt dt
号，注意 f ( x ) 和 [ f ( x )] 的区别） ；⑹幂指函数（对数求导法） ；⑺反函数（导数公式：
2 0
f (sin x)dx ；
▲记 I n
2 0
sin n xdx 2 cos n xdx ，则有递推公式 I n
0
n 1 I n2 . n
⑤含 f ， f （用分部积分） ⑥变限积分（用分部积分） 若 f ( x) 在 [ a, b] 上连续，则 ( x) 公式
x a
f (t )dt 在 [a, b] 上可导，且 x [a, b] ， ( x) f ( x) .
d b d ( x) f (t )dt f ( x) ； f (t )dt f ( ( x)) ( x) ； dx x dx a d ( x) f (t )dt f ( ( x)) ( x) f ( ( x)) ( x) dx ( x ) ▲当被积函数含变量 x 时不能直接求导， 必须将变量 x 从被积函数中分离出去， 常用的方法是： 提出去或者换元.
【- 4 -】
一、一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式是： F ( x, y, y) 0 ，解出 y ：
dy f ( x, y ) ，要求掌握变量可分离的微分方程、一阶 dx
线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法. 求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 二、可降阶的微分方程 1. y f ( x) 型的微分方程 特点：右端仅含 x .解法：积分两次. 2. y f ( x, y) 型的微分方程 特点：右端不显含未知函数 y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令 y p ，则 y
《高等数学(一)微积分》讲义
1．概念回顾
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A ．
n→∞ x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
知识点：设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ，
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
6/69
5n − 4 n − 1 例 6.（1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
5
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5：
x+5 ． 求 lim 2 x →∞ x − 9
解：
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0． lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A ．
n→∞ x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
知识点：设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ，
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
6/69
5n − 4 n − 1 例 6.（1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
5
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5：
x+5 ． 求 lim 2 x →∞ x − 9
解：
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0． lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +
微积分高等数学课件完整版
y csc x
5.反三角函数
反正弦函数 y arcsin 函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域 自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
函数的两要素: 定义域与对应法则.
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( a , a ) ( a 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在( , ) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 六、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 七、求 f ( x ) x 的反函数，并指出其定义域. x e e
5.反三角函数
反正弦函数 y arcsin 函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域 自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
函数的两要素: 定义域与对应法则.
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( a , a ) ( a 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在( , ) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 六、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 七、求 f ( x ) x 的反函数，并指出其定义域. x e e
《微积分》第一篇第三章讲-义--导数的应用市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
高等数学基础
微积分
第三章 导 数 应 用
本章要点：
•极大（小）值，边际及需求弹性概念
本章难点：
•极值点，导数在几何、经济分析中旳 应用
注：3.2节－－“函数极值”只要了解概念
一、函数旳单调性
主要学会用导数去判断函数旳单调性。
1、单调性定义： P－8
什么叫函数旳单调性？1.1节中定义函 数旳单调性为：一种函数在一种区间之间 伴随自变量旳增长，函数值也在增长，叫 做单调增长旳；假如伴随自变量旳增长， 函数值却在降低，叫做单调降低旳．
措施一：用定义鉴别，见P-9例8。 这种措施一般较麻烦、计算困难。
措施二：用一阶导数鉴别法 定理3.1
定理3.1
P－124
设函数y f (x)在区间[a,b]上连续，在
区间(a, b)上可导.
(1)如果x (a,b)时f (x) 0，则f (x)在
[a, b]上单调增加；
(2)如果x (a,b)时f (x) 0，则f (x)在
2
二、函 数 极 值
1、函数极值旳定义：
(1) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 大值, 称x0为函数f (x)的极大值点. (2) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 小值, 称x0为函数f (x)的极小值点.
函数旳极大值与极小值统称为函数 旳极值，极大值点与极小值点统称为极 值点．
(1) 列出目旳函数：此处旳目旳函数就是使所 求实际问题到达最大值或最小值旳函数。 (2) 对目的函数求导数；
(3) 令目旳函数旳导数为0，求出驻点；
(4) 若驻点惟一，则该驻点就是我们所求旳最 值点； (5) 得出结论。
3、经济分析中旳最值问题 例3.2 生产某种产品q台的边际成本为C(q)
微积分
第三章 导 数 应 用
本章要点：
•极大（小）值，边际及需求弹性概念
本章难点：
•极值点，导数在几何、经济分析中旳 应用
注：3.2节－－“函数极值”只要了解概念
一、函数旳单调性
主要学会用导数去判断函数旳单调性。
1、单调性定义： P－8
什么叫函数旳单调性？1.1节中定义函 数旳单调性为：一种函数在一种区间之间 伴随自变量旳增长，函数值也在增长，叫 做单调增长旳；假如伴随自变量旳增长， 函数值却在降低，叫做单调降低旳．
措施一：用定义鉴别，见P-9例8。 这种措施一般较麻烦、计算困难。
措施二：用一阶导数鉴别法 定理3.1
定理3.1
P－124
设函数y f (x)在区间[a,b]上连续，在
区间(a, b)上可导.
(1)如果x (a,b)时f (x) 0，则f (x)在
[a, b]上单调增加；
(2)如果x (a,b)时f (x) 0，则f (x)在
2
二、函 数 极 值
1、函数极值旳定义：
(1) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 大值, 称x0为函数f (x)的极大值点. (2) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 小值, 称x0为函数f (x)的极小值点.
函数旳极大值与极小值统称为函数 旳极值，极大值点与极小值点统称为极 值点．
(1) 列出目旳函数：此处旳目旳函数就是使所 求实际问题到达最大值或最小值旳函数。 (2) 对目的函数求导数；
(3) 令目旳函数旳导数为0，求出驻点；
(4) 若驻点惟一，则该驻点就是我们所求旳最 值点； (5) 得出结论。
3、经济分析中旳最值问题 例3.2 生产某种产品q台的边际成本为C(q)
第一课同济大学微积分第三版课件第一章第一节
典型问题一 面积问题
如图, 求由曲线 y x2 , x 1与x轴围成区域的面积.
解决方法
1.将区间0,1n 等分, 分点依 y
次为
1 , 2 , , n 1.
nn
n
y x2
O
1x
2.以这些分点为基础, 构作n个矩形, 并以矩形面积
之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
Sn
前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节中 我们将全面引入各类形式的极限.
精品课件！
精品课件！
0
1 n
1 n
2
1 n
2 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
1 n3
12
22
(n
1)2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
Hale Waihona Puke 1 n ,
3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 近. 由此得到曲边三角形面积S.
为什么每本微积分教程都以极限理论作为其开始部分的 内容.
在本章中, 我们将介绍极限的概念、性质和运算法则. 介绍与极限概念密切相关、且在微积分运算中扮演重要 角色的无穷小量; 我们还将求得两个应用非常广泛的重 要极限.
在本章的最后部分将引入一类最重要的函数—— 连续函数.
第一节 微积分中的极限方法
高数3-1
第三章 微分中值定理与导数的应用 本章主题词：中值定理、罗必达法则、单 调性、凸性、极值、拐点、弧微分、渐近线
数学还有另一个重要的作用，这就 是通过对数学知识的介绍，对数学问题 的解决，教会人们一种重要的分析问 题，解决问题的思想方法。简单地讲， 数学教会人如何进行逻辑推理，如何进 行正确的抽象思维，如何在纷繁的事物 中抓住主要的联系，并如何使用明确的 概念，等等。丁石孙（中国数学家）
(0 < θ < 1).
3. 记a = x0 , b = x0 + Δx , 则有 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx ( 0 < θ < 1). 也可写成 Δy = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx (0 < θ < 1).
ξ在a与b之间.
2. 注意到，只要 a ≠ b, 均有 ξ −a ξ −a ＝θ 0< <1 记
b−a
b−a 则 ξ = a + θ (b − a ), 于是，拉格朗日中值公式又有形式：
(0 < θ < 1)
f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a ))(b − a ),
则F ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b )内可导， f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) a = , F (a ) = f (a ) − b−a b−a f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) b = , F (b) = f (b) − b−a b−a ∴ F (a ) = F (b ). 即F ( x )满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′( ξ ) = 0.
数学还有另一个重要的作用，这就 是通过对数学知识的介绍，对数学问题 的解决，教会人们一种重要的分析问 题，解决问题的思想方法。简单地讲， 数学教会人如何进行逻辑推理，如何进 行正确的抽象思维，如何在纷繁的事物 中抓住主要的联系，并如何使用明确的 概念，等等。丁石孙（中国数学家）
(0 < θ < 1).
3. 记a = x0 , b = x0 + Δx , 则有 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx ( 0 < θ < 1). 也可写成 Δy = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx (0 < θ < 1).
ξ在a与b之间.
2. 注意到，只要 a ≠ b, 均有 ξ −a ξ −a ＝θ 0< <1 记
b−a
b−a 则 ξ = a + θ (b − a ), 于是，拉格朗日中值公式又有形式：
(0 < θ < 1)
f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a ))(b − a ),
则F ( x )在[a , b]上连续，在 (a , b )内可导， f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) a = , F (a ) = f (a ) − b−a b−a f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) b = , F (b) = f (b) − b−a b−a ∴ F (a ) = F (b ). 即F ( x )满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′( ξ ) = 0.
微积分31微分中值定理省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
比如,
x2 -1 x 1
f (x)
0 x 1
f (0) 0
0 1X
第6页
例1 证明方程 x5 x 1 0 有且仅有一个正实根 . 证: 1）存在性
设 f ( x) x5 x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 1. 由零点定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程正实根.
f ( x) a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n o( x x0 )n
Pn ( x)
Rn ( x)
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
第18页
2 Pn和 Rn的确定
近似程度越来越好
分析:
1.若在 x0 点相交
y
Pn ( x0 ) f ( x0 )
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
第13页
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
一点C(F (), f ()),在
该点处的切线平行于
A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
第12页
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x)
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
《微积分入门》课件
《微积分入门》ppt课件
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
大学数学(高数微积分)专题三第讲数列求和及数列的综合应用(课堂讲义)
本 到当年年底资金增长了 50%，预计以后每年资金年增长率
讲 栏
与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上
目 开
缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n
关 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元．
n为偶数，
综上所述，Sn＝3n－n－2 1ln 3－ln 2－1， n为奇数.
9
热点分类突破
在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思
想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，
本 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数
讲
栏 列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的
(2)解 当 n≥2 时，2Sn＝nan＋1－13n3－n2－23n，
2Sn－1＝(n－1)an－13(n－1)3－(n－1)2－23(n－1)， 19
热点分类突破
两式相减得 2an＝nan＋1－(n－1)an－13(3n2－3n＋1)－(2n－1) －23，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，
目
开 关
各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后
再验证是否可以合并为一个公式．
10
热点分类突破
(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan －21n，n∈N*，则：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
本
讲 栏
解析
本 解 (1)由已知，得当 n≥1 时，
讲
栏 目
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
开
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讲
栏 目
项和．
开 关
(1)若 a1>0，当 Sn 取得最大值时，求 n 的值；
(2)若 a1＝－46，记 bn＝Sn－n an，求 bn 的最小值．
热点分类突破
解 (1)设{an}的公差为 d，则 由 3a5＝5a8，得 3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－223a1.
∴Sn＝na1＋nn－2 1×－223a1＝－213a1n2＋2243a1n
本 讲
思想的运用．
栏
目 开
(2)等差数列的性质
关
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列； ③am－an＝(m－n)d⇔d＝amm－－ann(m，n∈N*)；
热点分类突破
④
an bn
＝
A2n－1 B2n－1
(A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的
则 10<4＋λ，得 λ>6.
热点分类突破
等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法
(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求
本 讲
解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．
栏
目 开
(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问
关
题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应
公差为13的等差数列，
本 则 bn＝1＋13(n－1)＝n＋3 2，
讲 栏 目
则 an＝3nbn＝(n＋2)×3n－1，
开
关 从而有n＋an2＝3n－1，
故 Sn＝a31＋a42＋a53＋…＋n＋an2
＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝11－－33n＝3n－2 1，
热点分类突破
则SS2nn＝332nn－－11＝3n＋1 1，
解得q＝32(q＝－1不合题意，舍去)．
答案 (1)D
3 (2)2
热点分类突破
(1)证明数列是等比数列的两个方法：①利用定
义：aan＋n 1(n∈N*)是常数，②利用等比中项a2n＝an－1an＋1(n≥2，
本 n∈N*)．
讲
栏 目
(2)等比数列中的五个量：a1，an，q，n，Sn可以“知三求
开
关 二”．
所有正整数 n 的值．
开
关 (1)证明 由 bn＝3－nan 得 an＝3nbn，
则 an＋1＝3n＋1bn＋1.
代入an＋1－3an＝3n中，得3n＋1bn＋1－3n＋1bn＝3n，
即得bn＋1－bn＝13.
所以数列{bn}是等差数列．
热点分类突破
(2)解 因为数列{bn}是首项为 b1＝3－1a1＝1，
主干知识梳理
(1)定义法
(1)定义法
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋ (2)中项公式法：a2n＋1＝
an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列 an·an ＋ 2(n≥1)(an≠0)
本
判 (3) 通 项 公 式 法 ： an ＝ pn ＋ ⇔{an}为等比数列
讲 栏 目
定 q(p、q 为常数)⇔{an}为等差 (3)通项公式法：
本 ＝2n＋5n0－52≥2 2n×5n0－52＝－32，
讲
栏 目 开 关
当且仅当2n＝5n0，即n＝5时，等号成立．
故 bn 的最小值为－32.
热点分类突破
(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公
差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而
解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程
本 讲 栏
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
目 开 关
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0
D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
(2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝
－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于
()
A．3
本 讲 栏
由1218<SS2nn<14，得1128<3n＋1 1<14，
目
开 关
即3<3n<127，得1<n≤4.
故满足不等式1128<SS2nn<14的所有正整数n的值为2,3,4.
热点分类突破
1．在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn 五个量中知道其
中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般
第1讲 等差数列、等比数列
【高考考情解读】
高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：
本 讲
1．以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列
栏
目 开
的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的
关
计算问题，属于基础题；
2．以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通
项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考
热点分类突破
考点三 等差数列、等比数列的综合应用
例3 已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺
本 讲
序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存
栏
假设存在 n，使得 Sn≥2 013，
本 则 1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.
讲
栏 目
当 n 为偶数时，(－2)n>0.上式不成立；
开
关 当 n 为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，
即 2n≥2 012，则 n≥11.
综上，存在符合条件的正整数 n，且所有这样的 n 的集合为 {n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
{Sn}是递增数列，但 S1＝－1<0，故 C 错误；
对任意 n∈N*，Sn 均大于 0 时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列， D 正确．
热点分类突破
(2)am＝2，am＋1＝3，故 d＝1，
因为 Sm＝0，故 ma1＋mm2－1d＝0，
本 故 a1＝－m－2 1，
讲
栏 目 开
因为 am＋am＋1＝5，
本
讲 栏 目 开
＝－213a1(n－12)2＋12434a1.
关
∵a1>0，∴当 n＝12 时，Sn 取得最大值．
(2)由(1)及 a1＝－46，得 d＝－223×(－46)＝4，
∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50，
Sn＝－46n＋nn－ 2 1×4＝2n2－48n.
热点分类突破
∴bn＝Sn－n an＝2n2－5n2n＋50
{logaan}为等差数列
且 a≠1)
主干知识梳理
(1)若 m、n、p、q∈N*，(1)若 m、n、p、q∈N*，
且 m＋n＝p＋q，则
本 讲 栏 目 开 关
性质
且 m＋n＝p＋q，则 ＋an＝ap＋aq (2)an＝am＋(n－m)d
am
am·an＝ap·aq (2)an＝amqn－m (3)等比数列依次每
本 和)．
讲
栏 目
(3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)
开
关 是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn＝An2＋
Bn(A2＋B2≠0)．
热点分类突破
(1)(2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数
列{an}的前n项和，则下列命题错．误．的是
()
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
故aan－n 1＝－2，故 an＝(－2)n－1.
热点分类突破
(2)(2013·湖北)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3
成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
①求数列{an}的通项公式；
②是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合条
本 讲
件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
开 关
数列 方
an＝c·qn(c、q 均是不为
法 (4)前 n 项和公式法：Sn＝An2 0 的 常 数 ， n∈N*) ⇔
＋Bn(A、B 为常数)⇔{an}为 {an}为等比数列
等差数列
(4){an} 为 等 差 数 列 ⇔
(5){an}为等比数列，an>0⇔ {a an } 为 等 比 数 列 (a>0
B．4
C．5
D．6
热点分类突破
解析 (1)利用函数思想，通过讨论 Sn＝d2n2＋a1－d2n 的单调
性判断．
本 讲
设{an}的首项为 a1，则 Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋a1－d2n.
栏
目 开
由二次函数性质知 Sn 有最大值时，则 d<0，故 A、B 正确；
关
因为{Sn}为递增数列，则 d>0，不妨设 a1＝－1，d＝2，显然
栏
目 开 关
解
①设等比数列{an}的公比为 q，则 a1≠0，q≠0.由题意得
S2－S4＝S3－S2， a2＋a3＋a4＝－18.
即－ a1qa11q＋2－qa＋1qq32＝＝a1－q21，8，
解得aq1＝＝－3，2. 故数列{an}的通项公式为 an＝3×(－2)n－1.
热点分类突破
②由①有 Sn＝3[11－－－－22n]＝1－(－2)n.
目 开
在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数
关
λ的取值范围．
解 (1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，