1.3 函数的极限

第1章 函数与极限

V.同步练习

第1章 函数、极限与连续

1.1 函数及其性质

一、填空题

1.已知

2

5fxaxbx

且

183fxfxx

, 则a ；b ；

2.

cos21yx

的周期为 ；

3.

函数1

sin,0;

()

0,0.x

fxx

x













 的定义域为 ； 值域为 .

解答:1.

a 4 ;b -1

2. 周期为

；

3. 定义域为

,

; 值域为

1,1

;

二、 设

1,01,

()

2,12.x

fx

x









求函数)3(xf的定义域.

解 1, 01

(),

2, 12x

fx

x









1, 031

(3)

2, 132x

fx

x







1, 32

2, 21x

x









故函数)3(xf的定义域:].1,3[

三、已知函数322

3x

yfxm

xm







, 求它的反函数, 若函数

fx

的图形与它

的反函数的图形重合, 求m

.

解 由32x

y

xm



, 解得2

3my

x

y



. 故反函数为

12

3mx

fx

x



, 因

fx

的图形

与

1

fx

的图形重合, 则322

3xmx

xmx



, 解得3m

.

四、以下函数中哪些是初等函数, 说明理由:

1.yx

; 2. 

0x

yxx

；

3. sin,0

sin,2xx

y

xx









； 4. 1,

0,x

y

x





为有理数

为无理数.

解. 1.是,

因2

yxx

可看作2

,yuux两个幂函数的复合函数;

2. 是, 因lnxxx

yxe可看作,,lnu

yeuxvvx的复合函数;

3. 是, 因sin,0

sin

sin,2xx

yx

xx











;

4. 不是, 因不能由基本初等函数经有限次四则运算或复合运算且能由一个数学式子表示

五、设

大一高数知识点总结全

一、导数与微分

1. 函数极限和连续性

1.1 函数极限的定义和性质

1.2 无穷大与无穷小

1.3 函数的连续性与间断点

2. 导数与微分

2.1 导数的定义与性质

2.2 常见函数的导数

2.3 高阶导数与隐函数求导

二、微分中值定理与高阶导数应用

1. 中值定理

1.1 罗尔定理

1.2 拉格朗日中值定理

1.3 柯西中值定理

2. 泰勒公式与函数的局部性质 2.1 泰勒公式及余项

2.2 函数的单调性与极值

2.3 函数的凹凸性与拐点

3. 高阶导数的应用

3.1 曲率与曲线的切线与法线

3.2 凸函数与凹函数的判定

三、定积分与不定积分

1. 定积分的意义与性质

1.1 定积分的定义

1.2 定积分的性质与运算法则

1.3 可积条件与Newton-Leibniz公式

2. 不定积分

2.1 不定积分的定义与基本公式

2.2 基本不定积分的计算方法

2.3 图形与面积的应用

四、微分方程

1. 常微分方程基本概念

1.1 微分方程的定义与基本概念

1.2 一阶线性微分方程

1.3 可分离变量的微分方程

2. 常系数线性微分方程

2.1 齐次线性微分方程

2.2 非齐次线性微分方程

2.3 变量变换与常系数线性微分方程

3. 高阶线性微分方程

3.1 n阶齐次与非齐次线性微分方程

高等数学（电子版）

第一章 函数与极限

1.1 函数的概念

函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。在高等数学中，我们主要研究实数集上的函数，即定义域和值域都是实数集的函数。

1.2 函数的性质

函数具有许多重要的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。

1.3 极限的概念

极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。当我们讨论一个函数的极限时，我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。

1.4 极限的运算法则

极限运算法则是指对于一些基本函数的极限，我们可以通过简单的运算得到它们的极限。这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。

1.5 无穷小与无穷大

无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于0；无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大。

1.6 连续性与间断点 连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点附近的行为。如果一个函数在某个点连续，那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。间断点是函数不连续的点，它们在函数图像上表现为跳跃或断开。

第二章 导数与微分

2.1 导数的概念

导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。它表示了函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线斜率。

2.2 导数的运算法则

导数运算法则是指对于一些基本函数的导数，我们可以通过简单的运算得到它们的导数。这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。

2.3 高阶导数

高阶导数是指函数的导数的导数。它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。

2.4 微分的概念

微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点附近的微小变化。微分运算可以用来求解一些实际问题，如曲线的切线问题、最值问题等。

高等数学教材第八版本

第一章 函数与映射

高等数学是大学数学中的重要基础课程，主要涉及函数、极限、微积分等内容。而在高等数学教材第八版本中，函数与映射是第一章的重点内容。本章将引导学生深入了解函数与映射的定义、性质和应用。

1.1 函数的概念与性质

函数是实数集之间的一种特殊关系，它将每个自变量与唯一一个因变量相对应。在本章中，我们将学习函数的各种定义方式，例如显式定义、隐式定义、参数方程等。此外，我们还将研究函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

1.2 映射与复合函数

映射是一种更一般的函数关系，它可以将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。在本节中，我们将学习映射的定义、分类以及常见的映射表示方法，如箭头图、集合对集合的表示法等。此外，我们还将讨论复合函数的概念，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

1.3 反函数与参数方程

在某些情况下，我们需要找到一个函数的逆函数，以便求解方程或解决实际问题。本节将介绍反函数的概念与求解方法，并且会讨论参数方程的基本概念与应用。 第二章 极限与连续性

函数的极限与连续性是高等数学中的重要概念，对理解微积分和实分析等学科有着重要作用。在高等数学教材第八版本中，极限与连续性是第二章的重点内容。

2.1 函数的极限

函数的极限是函数在无穷接近某一点时的行为，它是微积分的基础。在本节中，我们将学习函数极限的定义、性质以及极限存在的判定方法。此外，我们还将研究函数的左极限和右极限，并探讨无穷极限的概念与性质。

2.2 连续与间断

函数的连续性是指函数在某一点上无间断，即函数图像没有突变。本节将介绍函数连续性的定义与判定方法，包括闭区间上的连续性、间断点的分类等。

2.3 无穷小与无穷大

无穷小与无穷大是描述函数在某一点上逼近某些特殊值的概念。本节将讲解无穷小与无穷大的定义、性质以及它们与函数极限的关系。

第三章 导数与微分

导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。在高等数学教材第八版本中，导数与微分是第三章的重点内容。