微磁动力学的新进展

第31卷第3期2011年9月物理学进展PROGRESS IN PHYSICSVol.31No.3Sep.2011微磁动力学的新进展严鹏，王向荣*香港科技大学物理学系，香港九龙清水湾，香港特别行政区摘要:本文介绍微磁动力学领域的一个最新进展，我们的研究发现在磁场驱动下且保持畴结构不变地沿着纳米磁线运动的磁畴壁，其运动源于能量耗散，磁畴壁运动速度正比于能量耗散率。

与此同时，我们根据能量守恒原则，给出了磁畴壁速度的一个合理定义，该定义适用于任意的磁畴壁结构。

在此定义下，即使磁畴壁没有做刚性运动，我们也能得到磁畴壁运动的瞬时速度和平均速度。

我们的结果不仅能重复低磁场下的沃克（Walker）解，还能反映出当磁场高于沃克极限（Walker limit）时速度–磁场的依赖关系，该结果跟数值模拟和实验数据都符合得很好。

我们根据微磁动力学研究的这一新进展，最终澄清了一个事实即“磁畴壁质量”这个概念是错误的。

关键词:磁动力学；磁畴壁；沃克极限；畴壁质量中图分类号：O482.5文献标识码：A目录I.引言161II.朗道–栗弗席兹–吉尔伯特方程162III.场致畴壁运动的分析和结果162A.轴向外场下静态畴壁结构不存在162B.畴壁运动速度的合理定义163C.高场下的速度–磁场公式163D.畴壁不存在质量166 IV.总结166致谢166参考文献166I.引言磁动力学是研究包括单磁畴（Single Domain）和磁畴壁（Domain Wall）等磁结构内部磁矩运动规律的一门学问[1,2]。

所谓磁畴，是指磁性材料内部拥有均一磁化强度的区域，而相邻磁畴之间，磁化方向从一个方向改变为另一个方向的中间过渡区域称为磁畴壁。

而对畴壁的操控有可能应用在磁性随机存储器（Magnetic Random Access Memory）、磁性传感器收稿日期：2010-12-26*phxwan@ust.hk 和磁性逻辑电路等当中[3,4]。

经过近50年的集中研究，利用磁场来驱动畴壁运动已经成为写进教科书的知识[1,2]。

然而近年来随着纳米磁性制造工艺和测量方法的发展，在场驱动畴壁运动领域，人们又不断发现大量新的现象，相比之下人们对畴壁运动理论上的理解却还停留在几十年前的认识。

如何解释实验上观察到的新奇结果有赖于我们对畴壁运动更深刻的理解[3]，尤其是外场如何影响畴壁的运动速度。

一些非常基本的问题也需要澄清，比如畴壁运动的机制是什么？畴壁是否存在质量这个概念？等等。

我们知道畴壁的动力学可以用朗道–栗弗席兹–吉尔伯特（Landau-Lifshitz-Gilbert，或简写成LLG）方程来描述。

这是一个高度非线性的偏微分方程组，一般来讲没有解析解，解析的结果只在少数特殊的情况下才能得到[5,6]。

因此，很多理论被提了出来处理这个问题，这些理论在文献里被广泛使用，有些还写进了教科书[1,2]。

比如在无耗散假设下的运动学势理论[1]，又如适用于刚性畴壁运动的蒂勒（Thiele）动力平衡理论[1],再如一维模型下著名的沃克（Walker）解[5]，以及将畴壁运动简化成只用畴壁中心位置和畴壁面的偏转角度来描述的斯隆祖斯基（Slonczewski）方法[1]。

尽管以上这些理论丰富了我们对畴壁动力学的理解，它们却只在低场和特殊的各向异性情况下才是精确的，对一般的各向异性或者当外场高于沃克极限时它们就失效了。

运动学势理论不能正确地描述畴壁的移动，因为它违反了“没有耗散就没有移动”的原理，本文章编号:1000-0542(2011)03-0161-7161162严鹏，王向荣：微磁动力学的新进展文随后将详述这一理论。

蒂勒动力平衡理论在外场低于沃克极限时能很好地描述畴壁刚性移动，但是当外场高于沃克极限时该理论就不再成立。

沃克解也仅仅适用于一维、低场和特殊各向异性情况，它对高场运动规律的预言有很多是不对的，例如，它预言高场下畴壁运动速度与外场的函数关系v−H曲线会通过原点，这与实验观测和微磁模拟都不相符[7∼10]，它的另外一个关于饱和速度的预言也与实验结果和数值模拟矛盾[11]。

斯隆祖斯基公式是朗道–栗弗席兹–吉尔伯特方程的极大简化，它将偏微分方程组化为常微分方程组，这种简化同样是基于蒂勒刚性运动的假设，而我们知道这种刚性假设只在低场和特殊各向异性情况下才精确成立，对一般的各向异性或者当外场高于沃克极限时，畴壁结构的变形是不能忽略的。

蒂勒理论和斯隆祖斯基公式存在的问题也能从它们的v−H公式看出来[10,12]，它们都没能正确地解释高场下速度随外场的变化趋势。

还有一些理论将畴壁移动的动力归因于磁压力[2]，这也是不对的。

更加让我们惊奇的是，现在所有的理论都没有对非刚性运动畴壁的速度给出一个合理的定义。

本文将重新审视场驱动下的畴壁运动，并给出一个对低场和高场都普适的理论描述[13]，并且不会有前文提到的种种问题。

对于保持畴结构不变的畴壁运动，我们的理论揭示了畴壁运动源于能量耗散。

首先，我们证明当外场沿各向同性纳米线轴向时，静态的畴壁不可能存在，运动的畴壁总会消耗能量，根据能量守恒原理，这一能量只能通过畴壁的运动释放塞曼（Zeeman）能来补偿。

这种能量的考虑能清楚地解释为什么当外场高于沃克极限时畴壁的速度会发生震荡。

其次，能量守恒可以对畴壁运动速度给出一个合理的定义。

通过该定义，我们能发现畴壁运动速度和畴壁结构之间的一般关系。

最后，当外场高于沃克极限时，我们得到了一个新的v−H公式。

我们的结果与实验数据和数值模拟都符合得很好，与此同时，我们进一步澄清了质量这个概念在畴壁运动中是不存在的。

下面，我们首先介绍一下什么是朗道–栗弗席兹–吉尔伯特方程，然后将会阐述我们对场致畴壁运动的分析及主要结果，最后是全文的总结。

II.朗道–栗弗席兹–吉尔伯特方程我们知道，当磁矩受到外磁场作用时，如果磁矩方向与外磁场的方向不同，磁矩将受到力矩的作用。

在该力矩作用下，磁矩将绕着外磁场做进动。

如果进动过程中没有阻尼，进动会不停地继续下去。

但实际上，由于阻尼作用的存在，能量逐渐被消耗，磁矩在旋进的过程中会逐渐靠近外磁场方向。

考虑到这一点，描述真实磁矩运动的方程应该同时包含进动项和阻尼项。

1935年朗道和栗弗席兹在研究铁磁共振时提出了带阻尼的朗道–栗弗席兹方程[14]，但是该方程在大阻尼下会给出非物理的描述。

为了克服这个问题，1955年吉尔伯特通过唯象理论提出了另外一种带阻尼的运动方程来描述铁磁体里面磁化强度M的动力学规律，后来被称为朗道–栗弗席兹–吉尔伯特方程[15]。

方程的形式如下：∂M∂t=−γM×H eff+αMM×∂M∂t(1)这里γ=|e|/m e是旋磁比，α是定性的无量纲的阻尼系数，M是磁化强度M的大小，H eff是磁矩感受到的总的有效磁场，它与磁系统自由能的关系将在第三节中给出。

方程（1）右边的第一项描述的是磁矩绕着有效场方向的进动，而第二项给出的是向着有效场方向的阻尼运动。

本文后面的分析和计算都将以此方程作为基础。

III.场致畴壁运动的分析和结果A.轴向外场下静态畴壁结构不存在朗道的磁畴理论[14]告诉我们，在铁磁材料中，磁畴的形成使得系统自由能最小。

而两个磁畴之间的畴壁结构是磁性材料里面的交换能与磁各向异性能之间平衡的结果。

我们考虑磁纳米线中一个头对头（head-to-head）的畴壁结构，它的易磁化轴沿z方向（如图1所示）。

在朗道–栗弗席兹–吉尔伯特方程描述下[6]，磁化强度M的大小并不会发生变化，因此它可以很方便图1.头对头畴壁的示意图。

其中∆表示畴壁宽度，A表示磁纳米线的横截面积。

纳米线由三部分组成：左右两个磁畴和中间的畴壁。

磁畴区I和II里面的磁化强度分别指向+z方向（θ=0）和−z方向（θ=π）。

III是畴壁所在区，当中的磁化强度分布可以很复杂。

H是沿着+z方向施加的外场。

严鹏，王向荣：微磁动力学的新进展163地用极化角θ(x,t)（表示M与z轴之间的夹角）和方位角φ(x,t)来描述。

一般地，磁纳米线的总磁能可以写成E=F(θ,φ,∇θ,∇φ)d3x(2)这里磁能密度F=f(θ,φ)+J2[(∇θ)2+sin2θ(∇φ)2]−MH cosθ。

在F的表达式里面，f表示由各种磁各向异性贡献的磁能密度，函数f有两个相等的极小值点，分别在θ=0和θ=π位置，我们假设这是系统可以存在的两个等效的稳定相，也就是说f(0,φ)=f(π,φ)。

J表示交换作用系数。

H是沿轴向外加磁场H的大小。

在这里，我们忽略由于静磁相互作用引起的非局域的各向异性能。

这样做有两个原因，首先，当磁纳米线的半径很小的时候，静磁作用能与总磁能比起来小得多，可以忽略不计；其次，部分的静磁作用可以写成局域相互作用的形式，从而可以包括在f里面，对各向同性的纳米线结构，我们的微磁模拟结果也证实了这一点。

因此，在长程的静磁相互作用不太重要的条件下，我们下面导出的理论都是成立的。

一个广泛知道的事实是，在没有外场条件下，静态的畴壁结构是存在的[5]。

为了证明H=0时，静态的头对头畴壁结构不存在，我们只需要证明如下的方程在固定边界条件θ(z=−∞)=0和θ(z=+∞)=π时没有解，∂E ∂θ=J∇2θ−∂f∂θ−HM sinθ−J sinθcosθ(∇φ)2=0∂E ∂φ=J∇·(sin2θ∇φ)−∂f∂φ=0(3)将第一个式子左右两边同时乘以∇θ，第二个式子两边同乘∇φ，然后再将它们加起来，我们可以得到等式∇·T=0，这里T是一个张量，它的表达式为T=[−f+HM cosθ−J2(|∇θ|2+sin2θ|∇φ|2)]1+J(∇θ⊗∇θ+sin2θ∇φ⊗∇φ)(4)上式中，1是3×3的单位矩阵，∇θ⊗∇θ和∇φ⊗∇φ代表通常的并矢。

张量T的对角元表示磁拉格朗日密度。

如果假设头对头畴壁能够存在，这就要求−f(0,φ)+ HM=−f(π,φ)−HM成立，然而这只会发生在H= 0的时候。

换句话说，静态的畴壁结构只能存在于能量密度相等的两个磁畴之间。

而在外加磁场作用下，畴壁位于两个能量密度并不相等的磁畴之间，头对头畴壁结构一定会随时间而变化。

应该指出的是，上面的结论只对各向同性的磁性材料成立，因为我们知道在有杂质的情况下，静态的畴壁结构是可以在弱外场下存在的，这是由于杂质的钉扎（pinning）作用。

B.畴壁运动速度的合理定义静态畴壁结构不存在的直接后果就是外场作用下的畴壁一定会随时间变动。

众所周知，变化的磁结构会消耗能量[16]。

根据朗道–栗弗席兹–吉尔伯特方程（1），可以推导出能量耗散率为d Ed t=−αMγ+∞−∞(∂m/∂t)2d3x这里m=M/M是单位磁化矢量。

类似单畴的斯托纳（Stoner）粒子的推导[17]，我们发现运动畴壁的能量耗散率与畴壁结构之间存在如下关系d Ed t=−αγ(1+α2)M+∞−∞(M×H eff)2d3x(5)这里有效磁场H eff=−δEδM。