黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
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2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高一（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合 ， ，则
A.
B.
C. 2，3，4， D. 2，3，
【答案】C
【解析】解： 集合 ，
2，3，4，5，6， ，
2，3，4， ．
故选：C．
先分别求出集合A，B，由此能求出 ．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 已知函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ，则
A.
B.
C. D.
【答案】D
【解析】解： 函数 是定义在R上的偶函数，且 时， ；
．
故选：D．
根据 是偶函数，即可得出 ，而由 时， 即可求出 的值．
考查偶函数的定义，对数的定义，以及已知函数求值的方法．
3. 已知
， ，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：已知
， ，
则
故选：C．
直接利用三角函数的定义的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
4. 已知向量 和 的夹角为
， ， ，则
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】解：
，
故选：D．
首先把原式展开，再利用数量积求值．
此题考查了数量积计算问题，属容易题．
5. 设函数 ，若 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意，函数
，若 ，即
，
变形可得： ，
故选：A．
根据题意，由函数的解析式可得
，变形可得答案．
本题考查函数解析式，涉及不等式的性质，属于基础题．
6. 函数 的零点所在的区间为
A.
B.
C. D.
【答案】B
【解析】解： 函数 ，在 时，是连续增函数，
，
，
，
函数函数 零点所在大致区间是
．
故选：B．
由已知条件分别求出 ，
，由此利用零点存在性定理能求出结果．
本题考查函数的零点所在大致区间的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和零点存在性定理的合理运用．
7. 若函数
，
，则函数 的图象经过怎样的变换可以得到函数 的图象
先向左平移
个单位，再将横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标保持不变．
先向左平移
个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变．
将横坐标缩短到原来的
倍，再向左平移
个单位，纵坐标保持不变．
将横坐标缩短到原来的
倍，再向左平移
个单位，纵坐标保持不变． A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：函数
先向左平移
个单位，得到
的图象，再将横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标保持不变，
得到：
的图象，故： 正确．
由于先向左平移
个单位，得到
的图象，再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变．
出现了错误．
故： 错误．
函数
将横坐标缩短到原来的
倍，得到：
的图象，再向左平移
个单位，纵坐标保持不变，
得到：
的图象 故： 正确．
将横坐标缩短到原来的
倍，再向左平移
个单位，纵坐标保持不变，
后半部分出现错误．
故： 错误．
故选：A．
直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果，主要考察先平移后伸缩或先伸缩后平移的应用．
本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8. 已知函数 ，则函数 的最小正周期为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：函数 ，
则函数 的最小正周期为 ，
故选：C．
先化简函数的解析式，再结合三角函数的周期性，正弦函数的图象，得出结论．
本题主要考查三角函数的周期性，正弦函数的图象，属于基础题．
9. 已知函数 且 ，若
，则函数 的单调递减区间是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：函数 且 ，
，
可得 ，函数 且 ，
关于 对称 当 时，函数是增函数，
则函数 的单调递减区间是： ． 故选：D．
求出a的范围，然后利用复合函数的单调性求解单调区间即可．
本题考查复合函数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力．
10. 已知函数
的图象中相邻两条对称轴之间的距离为
，当
时，函数 取到最大值，则
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 的图象关于
对称
C. 函数 的图象关于
对称
D. 函数 在
上单调递减
【答案】D
【解析】解：函数
的图象中相邻两条对称轴之间的距离为
，
可得
，可得 ，
，则A错；
当
时，函数 取到最大值，可得
，
即
， ，由
，可得 ，
．
则
，
由
，
为最小值，
则B，C均错；
由
，可得
， ，
即有 在在
上单调递减，则D正确．
故选：D．
由相邻对称轴的距离可求得周期，可判断A；由条件求得 的解析式，计算
，
，可判断B，C；由正弦函数的减区间，解不等式可判断D．
本题考查三角函数的图象和性质，主要是周期性、单调性和对称性的判断，考查化简运算能力，属于中档题．
11. 在三角形 中，若点P满足
，
，则 与 的面积之比为
A. 1：3 B. 5：12 C. 3：4 D. 9：16
【答案】B 【解析】
解：点P满足
，
由
，则点P，B，C三点共线，且点P为BC的三等分点，靠近点C，
由
，则点Q，B，C三点共线，且点Q为BC的四等分点，靠近点B，
又 三角形 ： 三角形 ： ：12，
所以 与 的面积之比为：5：12
故选：B．
由点P满足
，
，及三点共线的充要条件可得：点P，B，C三点共线，且点P为BC的三等分点，靠近点C，点Q为BC的四等分点，靠近点B，由等高的三角形面积之比等于底边之比可得解．
本题考查了平面向量基本定理及三点共线的充要条件、三角形面积公式，属中档题
12. 已知函数 ，若关于x的不等式 恰有一个整数解，则实数a的最小值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：函数 的图象如图所示，
当 时， 化为
，
当 时， ，
由于关于x的不等式 恰有1个整数解，
因此其整数解为4，又 ，
， ，
则 ，
不必考虑．
当 时，对于 ，
，
解得
，
只考虑 ，
则
，
由于 时，不等式的解集中含有多于一个整数解 例如，0， ，舍去． 可得：实数a的最小值是 ．
故选：A．
画出函数 的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．
本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量 不共线， ， ，若 ，则 ______
【答案】
【解析】解： ，且 不共线；
存在 ，使 ；
即 ；
；
解得 ．
故答案为： ．
不共线，从而得出 ，从而由 可得出，存在实数 ，使得 ，即得出
，根据平面向量基本定理即可得出 ，解出 即可．
考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．
14.
且 ，a的取值范围为______．
