3.2.3 直线的一般式方程 课件(22张PPT)高中数学必修2(人教版A版)

1 3.2.3 直线的一般式方程

（一）导入新课

思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.

思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.

(1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.

由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx=1、121696xy、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?

②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?

③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?

④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?

⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?

讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.

1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.

2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.

结论1°：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.

②分析：a当B≠0时，方程可化为y=-BAx-BC，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y轴上的截距为-BC的直线.b当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y轴平行或重合的直线.

一、选择题

1．已知直线0AxByC不经过第一象限，且A，B，C均不为零，则有

A．0C B．0C

C．0BC D．0BC

【答案】C

【名师点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题．

2．经过点A(2,-1),B(-4,5)的直线的一般式方程为

A．x+y+1=0 B．x-y+1=0

C．x-y-1=0 D．x+y-1=0

【答案】D

【解析】因为直线过A(2,-1),B(-4,5),所以由直线方程的两点式得直线方程为125142yx,化为一般式得x+y-1=0.故选D.

3．已知直线410axy与直线2350xy垂直，则a

A．143 B．52

C．112 D．3

【答案】B

【解析】直线（a﹣4）x+y+1=0与直线2x+3y﹣5=0垂直，可得2（a﹣4）+3=0，解得a=52．

故选B．

【名师点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．运用两直线垂直的

条件，可得2（a﹣4）+3=0，解方程即可得到所求值．

4．把直线310xy绕点1,3逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是

A．3yx B．3yx

C．320xy D．320xy

【答案】B

【解析】已知直线310xy的斜率为1，则其倾斜角为45°，所以直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l的斜率为tan

α＝tan 60°＝3，∴直线l的方程为y－3＝3(x－1)，即y＝3x.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查由直线方程求得斜率及倾斜角及结合象灵活运用，还有由点斜式写直线方程.

教师课时教案

备课人 授课时间

课题 3.2.3 直线的一般式方程

课标要求 明确直线方程一般式的形式特征；

会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

教

学

目

标 知识目标 明确直线方程一般式的形式特征；

技能目标 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

情感态度价值观 认识事物之间的普遍联系与相互转化；

重点 直线方程的一般式。

难点 对直线方程一般式的理解与应用

教

学

过

程

及

方

法 问题与情境及教师活动 学生活动

1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示吗？

（2）每一个关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？

教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当0B时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论：

关于yx,的二元一次方程，它都表示一条直线。

教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示；同时，任何一个关于yx,的二元一次方程都表示一条直线。

我们把关于关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。

2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？

学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线。

使学生理解直线和二元一次方程的关系。

1

教师课时教案

教

学

过

程

及

方

法 问题与情境及教师活动 学生活动

第1页 共2页 3.2.3直线的一般式方程

学习目标：1.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式以及它们之间的联系和转化.

2.并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程.

3.通过一般式的教学培养学生全面,系统,周密的分析讨论及解决问题的能力.

学习重点：直线方程的一般式和特殊式之间的互化.

学习难点：直线与二元一次方程的对应关系的理解.

导学流程：

一． 了解感知

1.知识准备：

（1）填表

适用范围

（2）观察上述四种形式的直线方程的共同点是 .

（3）二元一次方程的一般形式是 .

2.阅读课本97—98页感知直线的一般式方程；

二．深入学习

【知识点】

（1）直线一般式方程：

，其中 ；

（2）在方程 （A,B不同时为0） 中，

1.当 时，方程表示的直线与x轴平行；

2.当 时，方程表示的直线与x轴垂直；

3.当 时，方程表示的直线与x轴重合 ；

4.当 时，方程表示的直线与y轴重合 ；

5.当 时，方程表示的直线过原点.

【典型例题】

例1.(1) 已知直线经过点A（6，-4），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程.

(2) 把直线 化成斜截式，求出直线的斜率以及它在y轴上的截距。

方程名称已知条件直线方程点斜式斜截式两点式截距式0CByAx3401553yx